Equations Lineaires Differentielles

8/3/2019 Equations Lineaires Differentielles

1/23

U n i v e r s i t M o h a m m e d I

E c o l e N a t i o n a l e d e s S c i e n c e s A p p l i q u e s

O u j d a

A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8

E N S A 1 - A n a l y s e I I

E n s e i g n a n t : I . E l m a h i

C h a p i t r e 1

E q u a t i o n s L i n a i r e s

D i r e n t i e l l e s


2/23

T a b l e d e s m a t i r e s

1 E q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s l i n a i r e s d u p r e m i e r o r d r e 1

1 . 1 G n r a l i t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 2 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e h o m o g n e ( H ) : y + ay = 0

. . . . . . . . . 1

1 . 3 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e n o r m a l i s e ( L ) :

y + ay = b. . . . . . . . . 3

1 . 4 P r o b l m e d e C a u c h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 5 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n n o n n o r m a l i s e ( L ) : y + ay = b

. . . . . . . . . . . . . 7

2 E q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s l i n a i r e s d u s e c o n d o r d r e 8

2 . 1 G n r a l i t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 . 2 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n h o m o g n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 . 3 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n n o r m a l i s e : ( L ) : y + ay + by = c(x)

(c

c o n t i n u e d e I

d a n s K

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 4 R s o l u t i o n d e ( L ) : y + ay + by = c(x)

a v e c c

f o n c t i o n q u e l c o n q u e . . . . . . . . 1 7

3 E q u a t i o n s v a r i a b l e s s p a r a b l e s 2 1

3 . 1 D n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

3 . 2 M t h o d e d e r s o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

3 . 3 A p p l i c a t i o n a u x q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s l i n a i r e s d u

1ero r d r e . . . . . . . . . . . 2 1


3/23


4/23

E N S A 1 A n a l y s e I I E q u a t i o n s D i r e n t i e l l e s

D o n c y(x)eF(x) = cte

y(x) = cte.eF(x)

O n d d u i t l e t h o r m e s u i v a n t :

1 . 2 . 1 T h o r m e 1

L e s s o l u t i o n s d e l ' q u a t i o n h o m o g n e ( H ) : y + ay = 0

s o n t l e s f o n c t i o n s

y : I Kx ceF(x) o c e s t u n e c o n s t a n t e e t F u n e p r i m i t i v e d e a s u r I.

R e m a r q u e

D a n s l a p r a t i q u e , s i o n a i n t g r e r u n e q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( H ) :

y + ay = 0o n c r i t :

dy

dx

=

ay

S o i t

dy

y

=

a(x)dx

e n i n t g r a n t o n o b t i e n t ln|y(x)| = a(x)dx + K

S o i t |y(x)| = e

a(x)dx+K

y(x) = cea(x)dx+K

N . B c e t t e p r s e n t a t i o n n ' e s t p a s v a l a b l e s i a

e s t c o m p l e x e o u a d m e t d e s d i s c o n t i n u i t s .

1 . 2 . 2 T h o r m e 2

N o t o n s p a r S(H)

l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s d e l ' q u a t i o n ( H ) : y + ay = 0

.

S(H)e s t u n e s p a c e v e c t o r i e l s u r

K, d e p l u s

dim S(H) = 1.

P r e u v e

I l s u t d e m o n t r e r q u e

S(H)e s t u n s o u s e s p a c e v e c t o r i e l d e

D1(I,K)( e n s e m b l e d e s

f o n c t i o n s d r i v a b l e s d e I

d a n s K

.

S(H) =

y : I Kd r i v a b l e s

/y + ay = 0

O n aS(H) D1(I,K)

.

S o i e n t f, g S(H)

;, R

.

M q

f + g

S(H).

(f + g) + a(f + g) = (f + af 0

) + (g + ag0

) = 0

D o n c f + g S(H)

M q :

dim S(H) = 1d ' a p r s l e t h o r m e 1 , o n a :

S(H) =

y : x ceF(x)o

cu n e c o n s t a n t e e t

Fe s t u n e

p r i m i t i v e d e a

s u rI

. D o n c S(H)

e s t l a d r o i t e v e c t o r i e l l e e n g e n d r e p a r l a f o n c t i o n x ceF(x)

.

I . E l m a h i

2 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


5/23


E x e m p l e s

1 . ( H 1 ) : y + 5y = 0

L e s s o l u t i o n s d e ( H 1 ) s o n t l e s f o n c t i o n s y

d n i e s p a r :

y : R Rx ce

5dx = ce5x

2 . ( H 2 ) :

y 7x2

y = 0L a s o l u t i o n d e ( H 2 ) e s t d n i e s u r

Rp a r

y(x) = ce7x2

y(x) = ce7

3x3

3 . ( H 3 ) : y + 1

x2y = 0

L a f o n c t i o n a(x) = 1

x2n ' e s t p a e d n i e e n 0 . O n d o i t t r a v a i l l e r s u r l e s d e u x i n t e r v a l l e s :

I1 =] ; 0[ e t I2 =]0; +[ .

S u rI1 =] ; 0[ : L a s o l u t i o n g n r a l e e s t y1(x) = c1e

1

x2dx = c1e

1x

S u r

I2 =]0; +[ : L a s o l u t i o n g n r a l e e s t y2(x) = c2e 1x

1 . 3 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e n o r m a l i s e ( L ) :

y + ay = bC o n s i d r o n s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e n o r m a l i s e ( L ) :

y + ay = b, o

a, b : I Kc o n t i n u e s

e t s o i t ( H ) l ' q u a t i o n h o m o g n e a s s o c i e ( L ) : ( H ) : y + ay = 0

.

N o t o n s p a r :

S(H)l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s d e ( H ) .

S(L)l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s d e ( L ) .

N o u s a v o n s l e t h o r m e s u i v a n t :

1 . 3 . 1 T h o r m e

O n s e d o n n e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e S(L)

. A l o r s o n a :

S(L) = + S(H)

P r e u v e

S o i t

y S(L)m q

y ( + S(H))(y ) + a(y ) = (y + ay) ( + a) = b b = 0d ' o

(y ) S(H)d o n c

y + S(H)

S o i t

y + S(H)m q

y S(L)

y + S(H) (y ) S(H) (y ) + a(y ) = 0 (y + ay) ( + a) = 0 y + ay b = 0 y S(L)

R e m a r q u e

C e t h o r m e m o n t r e q u e l a s o l u t i o n g n r a l e d e ( L ) s ' o b t i e n t p a r l a s o m m e d e l a s o l u t i o n

g n r a l e d e ( H ) e t u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) .

N o u s a l l o n s d o n n e r q u e l q u e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s p o u r l e s q u e l l e s o n a r r i v e t r o u v e r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e .

I . E l m a h i

3 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


6/23


1 . 3 . 2 C o r o l l a i r e 1

S o i t a K

e tP

u n p o l y n m e d e d e g r n . A l o r s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e

( L ) : y + ay = P(x)

a d m e t c o m m e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e u n p o l y n m e t q :i )

deg = n + 1s i

a = 0

i i )deg = n

s ia = 0

P r e u v e

i ) S i a = 0

:

l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e d e v i e n t ( L ) : y = P(x)

. P u i s q u e P

e s t d e d e g r n a l o r s i l e s t c l a i r q u ' u n e

s o l u t i o n p a r t i c u l i r e

d e ( L ) s e r a i t d e d e g r n + 1 .

i i ) S i a = 0C h e r c h o n s u n e s o l u t i o n

d e ( L ) d e d e g r n :

(x) = 0 + 1x + 2x2 + + nxn .

L ' q u a t i o n ( L ) s ' c r i t p o u t

:x I

+ a = b

1+22x+33x2+ +nnxn1+a(0+1x+2x2+ +nxn) = a0+a1x+a2x2+a3x3+ +anxn

a0 = 1 + a0a1 = 22 + a1

.

.

.

an1 = nn + an1an = an

n =ana

(a = 0) existen1 =

an1nna

(a = 0) existek =

ak(k+1)k+1a

(a = 0) existeP o u r

k = n 1; n 2; . . . ; 1d ' o l ' e x i s t a n c e e t l ' u n i c i t d u p o l y n m e

d e d e g r n .

1 . 3 . 3 C o r o l l a i r e 2

S o i t a K

e tP

u n p o l y n m e d e d e g r n . A l o r s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e

( L ) : y + ay = P(x)emx

a d m e t u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e

d e l a f o r m e (x) = q(x)emx

, o q e s t u n p o l y n m e

t q : i) deg q = n + 1 si m + a = 0

ii) deg q = n si m + a = 0

P r e u v e

S o i t

u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) . A l o r s c o m m e

emx = 0, o n p e u t c r i r e

(x) = q(x)emx,

o q ( x ) e s t u n e f o n c t i o n .

I . E l m a h i

4 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


7/23


L ' q u a t i o n ( L ) s ' c r i t p o u r

:q(x)emx + memxq(x) + aq(x)emx = P(x)emx

S o i t q(x) + (m + a)q(x) = P(x)

( L ' )

D ' a p r s l e c o r o l l a i r e 1 , q ( x ) s e r a i t u n p o l y n m e t q :

deg q = n + 1 si m + a = 0

deg q = n si m + a = 0E x e m p l e

y + 2y = x3 3x

E q u a t i o n h o m o g n e : y + 2y = 0

. D o n c l a s o l u t i o n g n r a l e e s t y = ce2x

S o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) : O n a a = 2 = 0

e t l e s e c o n d m e m b r e e s t u n p o l y n m e d e d e g r 3 .

D o n c u n s o l u t i o n p a r t i c u l i r e s e r a u n p o l y n m e d e d e g r 3 :

(x) = ax3 + bx2 + cx + d3ax2 + 2bx + c + 2ax2 + 2bx2 + 2cx + 2d = x3 3x

a =

1

2b = 34c = 34d = 38

(x) =1

2x3 3

4x2 3

4x +

3

8

1 . 3 . 4 M t h o d e d e l a v a r i a t i o n d e l a c o n s t a n t e

C e t t e m t h o d e p e r m e t d ' a v o i r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) m m e d a n s l e c a s o a

n ' e s t

p a s u n s c a l a i r e o u l e s e c o n d m e m b r e b n ' e s t p a s d e l a f o r m e P(x)

o u(x)emx

.

P r i n c i p e d e l a m t h o d e

L e p r i n c i p e d e l a m t h o d e d e l a v a r i a t i o n d e l a c o n s t a n t e c o n s i s t e :

1 . C h e r c h e r l a s o l u t i o n g n r a l e d e l ' q u a t i o n h o m o g n e ( H ) a s s o c i e ( L ) , q u i e s t

d e l a f o r m e y(x) = ceF(x)

, o F

e s t u n e p r i m i t i v e d e a

s u r l ' i n t e r v a l l e I

.

2 . O n c h e r c h e d t e r m i n e r u n e f o n c t i o n

c(x), d r i v a b l e , t q l a f o n c t i o n

c(x)eF(x)

s o i t u n e s o l u t i o n d e ( L ) . O n s e r a m n e a l o r s u n c a l c u l d e p r i m i t i v e .

E x e m p l e s

1 . ( L ) : y + 3x2y = x2

( H ) l ' q u a t i o n h o m o g n e a s s o c i e ( L ) : y + 3x2y = 0 a p o u r s o l u t i o n g n r a l e : y(x) =cex3

.

O n f a i t v a r i e r l a c o n s t a n t e e n c h e r c h a n t u n e s o l u t i o n d e l a f o r m e y(x) = c(x)ex3

c(x)ex3 3x2c(x)ex3 + 3x2c(x)ex3 = x2d o n c

c(x)ex3 = x2

c(x) =

x2ex3

dx + K

c(x) = 13 ex3 + K

L a s o l u t i o n d e ( L ) s ' c r i t d o n c :

y(x) = ( 13

ex3 + K)ex3 = 13

+ Kex3 (K R)

I . E l m a h i

5 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


8/23


2 . ( L ) : y x

1+x2y = 3x

1+x2

O n a l e s f o n c t i o n s : x x

1+x2e t

x 3x1+x2

s o n t c o n t i n u e s s u r R

.

E q u a t i o n h o m o g n e : ( H ) : y x

1+x2y = 0

L a s o l u t i o n g n r a l e d e ( H ) s ' c r i t :

y(x) = ce

x1+x2

dxd o n c

y(x) = ce

(1+x2)

(c R)O n f a i t v a r i e r l a c o n s t a n t e e n p o s a n t

y(x) = c(x)e

1+x2. O n r e m p l a c e d a n s ( L ) :

c(x)e

1+x2 +x

1 + x2c(x)e

1+x2 x

1 + x2c(x)e

1+x2 =

3x1 + x2

c(x)e

1+x2 =3x

1 + x2

c(x) =

3x

1 + x2e

1+x2dx + K

c(x) = 3e

1+x2 + K

L a s o l u t i o n g n r a l e d e ( L ) e s t d n i e s u r (R) p a r :

y(x) = (3e

1+x2 + K)e

1+x2 = 3 + Ke

1+x2

1 . 4 P r o b l m e d e C a u c h y

1 . 4 . 1 D n i t i o n

O n a p p e l l e p r o b l m e d e C a u c h y r e l a t i f l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) : y + ay = b

, t o u t

s y s t m e d e l a f o r m e :

(C)

y + ay = b

y(x0) = y0

O

(x0; y0) IK.y(x0) = y0 e s t d i t e c o n d i t i o n i n i t i a l e d u p r o b l m e d e C a u c h y ( C ) .

1 . 4 . 2 T h o r m e

E t a n t d o n n s (x0; y0) I K. L e p r o b l m e d e C a u c h y : (C)

y + ay = b

y(x0) = y0a d m e t u n e s o l u t i o n u n i q u e s u r t o u t l ' i n t e r v a l l e

I.

P r e u v e

L ' q u a t i o n h o m o g n e ( H ) : y+ay = 0

a d m e t u n e s o l u t i o n g n r a l e q u i s ' c r i t y(x) = ceF(x)

.

O c

e s t u n e c o n s t a n t e e t F l a p r i m i t i v e d e a

s u rI

.

O n f a i t v a r i e r l a c o n s t a n t e e n p o s a n t : y(x) = c(x)eF(x)

O n r e m p l a c e d a n s ( L ) : y + ay = b

y(x) = c(x)eF(x) a(x)c(x)eF(x) + a(x)c(x)eF(x) = b(x)c(x) = b(x)eF(x)

c(x) =

xx0

b(u)eF(u)du + K

D o n c l a s o l u t i o n g n r a l e d e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e y

+ ay = bs ' c r i t

y(x) =

xx0

b(u)eF(u)du + KeF(x)

I . E l m a h i

6 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


9/23


L a c o n d i t i o n i n i t i a l e y(x0) = y0 s ' c r i t Ke

F(x) = y0 . D o n c K = y0eF(x) .O n a d o n c l ' e x i s t a n c e e t l ' u n i c i t d e l a c o n s t a n t e K . D ' o l ' e x i s t a n c e e t l ' u n i c i t d e l a s o l u t i o n

d u p r o b l m e d e C a u c h y .

1 . 4 . 3 P r o p o s i t i o n : P r i n c i p e d e s u p e r p o s i t i o n d e s s o l u t i o n s

S o i t l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s l i n a i r e : ( L ) : y + ay = b1(x) + b2(x)

S iy1(x) e s t u n e s o l u t i o n d e ( L 1 ) : y

+ ay = b1(x)e t S i

y2(x) e s t u n e s o l u t i o n d e ( L 2 ) : y + ay = b2(x)

A l o r s y(x) = y1(x) + y2(x) e s t u n e s o l u t i o n d e ( L ) : y

+ ay = b1(x) + b2(x)

1 . 5 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n n o n n o r m a l i s e ( L ) :

y + ay = b

C o n s i d r o n s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e y + ay = b

, a v e c ,a,b : I K

c o n t i n u e s .

L o (x)

n e s ' a n n u l e p a s , l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) p e u t s ' c r i r e : ( L ' ) : y + a

y = b

D o n c p o u r r s o u d r e ( L ) , o n c o m m e n c e t o u t d ' a b o r d p a r r s o u d r e ( L ' ) l o e l l e n e s ' a n n u l e p a s

p u i s o n r a c c o r d e l e s s o l u t i o n s p o u r a v o i r u n e s o l u t i o n d e ( L ) s u r t o u t l ' i n t e r v a l l e I

.

S u p p o s o n s p a r e x e m p l e q u e I = R

e t(x)

s ' a n n u l e e n x0 (i , e (x0) = 0).

A l o r s p o s o n s : I1 =] ; x0[ e t I2 =]x0; +[ e t s o i e n t :

y1(x) l a s o l u t i o n g n r a l e d e ( L ' ) s u r I1 .y2(x) l a s o l u t i o n g n r a l e d e ( L ' ) s u r I2 .P o u r q u e

y1 e t y2 s e r a c c o r d e n t e n u n e s o l u t i o n s u r t o u t l ' i n t e r v a l l e I, i l f a u t q u e :

limxx

0

y1(x) = limxx+

0

y2(x) = l

O n d n i t a l o r s u n e s o l u t i o n y c o n t i n u e s u r I

p a r :

y(x) =

y1(x) si x I1y2(x) si x I2l si x = x0

I l f a u t a u s s i q u e y

s o i t d r i v a b l e e n x0 .

E x e m p l e

x3y 2y = 0

L e s f o n c t i o n (x) = x3

,a(x) =

2

e tb(x) = 0

s o n t c o n t i n u e s s u r R

.

L a f o n c t i o n (x) = x3

s ' a n n u l e e n x0 = 0. P o s o n s a l o r s I1 =] ; 0[ e t I2 =]0;+[.

S u rI1 =] ; 0[ , l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( H ) s ' c r i t : y 2x3 y = 0. L a s o l u t i o n g n r a l e s ' c r i t

y1(x) = c1e 1x2

.

D e m m e s u r I2 =]0;+[ , l a s o l u t i o n g n r a l e s ' c r i t : y2(x) = c2e

1

x2.

R a c c o r d s e n 0

:

C o n t i n u i t e n

0:

limx0

y1(x) = limx0

c1e 1x2 = 0

limx0

+y2(x) = lim

x0+

c2e 1x2 = 0

O n d n i t a l o r s d e s s o l u t i o n s y

c o n t i n u e s s u r R

p a r :

I . E l m a h i

7 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


10/23


y : R R

x

c1e 1x2

s ix I1 =] ; 0[

0s i

x = 0

c2e 1x2

s ix

I2 =]0;+

[

(1)

D r i v a b i l i t e n

0:

( limx0

y(x) y(0)x 0 = limx0+

y(x) y(0)x 0 = l

)

limx0

y(x) y(0)x 0 = limx0

c1e 1x2

x= 0

D e m m e

limx0+

y(x) y(0)x 0 = limx0+

c2e 1x2

x= 0

D ' o o n d d u i t q u e l e s s o l u t i o n s d e ( H ) s o n t t o u t e s c e l l e s d n i e s p a r ( 1 ) .

2 E q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s l i n a i r e s d u s e c o n d o r d r e

2 . 1 G n r a l i t s

2 . 1 . 1 D n i t i o n 1

O n a p p e l l e q u a t i o n d i r e n t i e l l e l i n a i r e d u s e c o n d o r d r e t o u t e q u a t i o n d e l a f o r m e :

( E ): y + ay + by = c

O

,a

,b

e tc

s o n t d e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s d ' u n i n t e r v a l l e I

v e r s u n c o r p s K

. N o t r e

t u d e s e l i m i t e r a i c i a u c a s o

,a

e tb

s o n t c o n s t a n t s . ( = 0)

2 . 1 . 2 D n i t i o n 2

U n e f o n c t i o n

y : I Kx y(x) s e r a d i t e s o l u t i o n d e ( E ) s i e t s e u l e m e n t s i :

i )y

e s t d e u x f o i s d r i v a b l e s u r I

.

i i )x I

;y(x) + ay(x) + by(x) = c(x)

2 . 1 . 3 D n i t i o n 3

D a n s l e c a s o = 1, l ' q u a t i o n d e v i e n t : ( L ) : y + ay + by = c q u i e s t d i t e q u a t i o n n o r m a l i s e .

L ' q u a t i o n h o m o g n e a s s o c i e ( L ) e s t : ( H ) : y + ay + by = 0

2 . 2 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n h o m o g n e

C o n s i d r o n s l ' q u a t i o n h o m o g n e ( H ) : y + ay + by = 0

e t s o i t SK(H) l ' e n s e m b l e d e s

s o l u t i o n s d e ( H ) .

2 . 2 . 1 T h o r m e

SK(H) e s t u n e s p a c e v e c t o r i e l s u r K.

I . E l m a h i

8 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


11/23


P r e u v e

I l s u t d e m o n t r e r q u e SK(H) e s t u n s e v d e D2(I,K) ( E n s e m b l e d e s f o n c t i o n s d e u x f o i s

d r i v a b l e s d e

Id a n s

K) .

A S o l u t i o n c o m p l e x e d e ( H )

A . 1 T h o r m e

S iK = C

a l o r s dim SC(H ) = 2 .

P r e u v e

C o m m e n o n s p a r c h e r c h e r u n e s o l u t i o n d e ( H ) d e l a f o r m e : (x) = ex

. ( H ) s ' c r i t a l o r s :

erx(r2 + ar + b) = 0.

S o i t :

r2 + ar + b = 0( E ) . ( E ) e s t d i t e q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e .

S o i t

u n e s o l u t i o n d e ( E ) . (

e x i s t e c a r o n e s t d a n s C

) . D o n c ex

e s t u n e s o l u t i o n d e ( H ) .

C o m m e ex = 0 x I

, o n p e u t c r i r e y

s o u s l a f o r m e :

y(x) = g(x)ex

y(x) = (g(x) + g(x))ex

y(x) = (g(x) + 2g(x) + 2g(x))ex

O n r e m p l a c e d a n s ( H ) :

(g + 2g + 2g)ex + a(g + g)ex + bgex = 0

g + (a + 2)g + (2 + a + b) =0 (c a r e s t s o l u t i o n d e ( E ) )

g = 0

g + (a + 2)g = 0

S i

= 0

A l o r s

s e r a ( = a2 ) , u n e s o l u t i o n d o u b l e d e ( E ) . E t o n a = a2 d o n c 2 + a = 0 .

O n a u r a a l o r s g(x) = 0

d ' o g(x) = c1 a l o r s g(x) = c1x + c2 .

d ' o y(x) = (c1x + c2)e

x

SC(H) = y : I C

x (c1x + c2)ex

SC(H) e s t e n g e n d r p a r l a f a m i l l e (xex; ex)

.

M q(xex; ex)

e s t l i b r e .

x I; xex + ex = 0; x + = 0

= = 0c a r

(1; x)e s t u n e b a s e d e

P1 .D o n c

dim SC(H) = 2 ( b a s e d e P1(C)).

I . E l m a h i

9 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


12/23


S i

= 0A l o r s ( E ) a d m e t d e u x s o l u t i o n s d i s t i n c t s :

e t

, t q :

+ = a.

g + (a + 2)g = 0d o n c

g(x) = c1e(a+2)x d ' o g(x) = c12 + a

e(a+2)x + c2

D o n c y(x) = ( c1

2 + ae(a+2)x + c2)ex = c1

2 + ae(a2)x + c2ex

y(x) =c1

ex + c2e

x

SC(H) =

y : I C

x ex + ex

M q(ex; ex)

e s t l i b r e .

x I

ex + ex = 0 (1)ex + ex = 0 (2)

(1) (2)d o n n e

( )ex = 0 = 0

e t d o n c = 0

d o n c dim SC(H) = 2

E t o n d d u i t l e t h o r m e s u i v a n t :

A . 2 T h o r m e

O n s e p l a c e d a n s K = C

.

S o i t l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e ( E ) : r2 + ar + b = 0

, = a2 4b

s o n d e s c r i m i n a n t .

S i

= 0, a l o r s ( E ) a d m e t u n e s o l u t i o n d o u b l e

= a2 , e t l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s d e ( H ) e s t :

SC(H) =

y : I C

x (c1x + c2)ex

(c1 e t c2 d a n s C)

S i

= 0, a l o r s ( E ) a d m e t d e u x s o l u t i o n s d i s t i n c t s

e t

. E t o n a :

SC(H) =

y : I C

x c1ex + c2ex

(c1 e t c2 d a n s C)

B S o l u t i o n r e l l e d e ( H )

C o n s i d r o n s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e h o m o g n e ( H ) :

y + ay + by = 0, o

ae t

bs o n t m a i n -

t e n a n t d e s r e l s .

L e t h o r m e s u i v a n t d o n n e l e s s o l u t i o n s r e l l e s d e ( H ) .

B . 1 T h o r m e

I . E l m a h i

1 0 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


13/23


S o i t ( E ) : r2 + ar + b = 0

l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e e t = a2 4b

.

S i

> 0, a l o r s ( E ) a d m e t d e u x s o l u t i o n s r e l l e s d i s t i n c t s

e t

. E t o n

a :

SR(H) = y : I R

x c1ex

+ c2ex (c1 e t c2 d a n s R)

S i

= 0, a l o r s ( E ) a d m e t u n e s o l u t i o n r e l l e d o u b l e

= a2 . E t o n a :

SR(H) =

y : I R

x (c1x + c2)ex

(c1 e t c2 d a n s R)

S i

< 0, a l o r s ( E ) a d m e t d e u x s o l u t i o n s c o m p l e x e s c o n j u g u e s :

= r + is = r is

E t o n a :

SR(H) =

y : I Rx ( cos(sx) + sin(sx))erx

B . 2 E x e m p l e s

T r o u v e r l e s s o l u t i o n s c o m p l e x e s e t r e l l e s d e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :

1 .y 4y + 4y = 0

(L1 )

2 .y + 3y + 2y = 0

(L2 )

3 .y + 2y + 4y = 0

(L3 )

1 .y 4y + 4y = 0

(L1 )

L ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e : r2 4r + 4 = 0

. = 0

d o n c ( E ) a d m e t u n e s o l u t i o n d o u b l e

= 2. D o n c l e s s o l u t i o n s c o m p l e x e s d e (

L1 ) s o n t :

y : R Cx (c1x + c2)e2x (c1 e t c2 d a n s C)

L e s s o l u t i o n s r e l l e s d e ( L1 ) s o n t :

y : R Rx (c1x + c2)e2x (c1 e t c2 d a n s R)

2 .y + 3y + 2y = 0

(L2 )

L ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e : r2 + 3r + 2 = 0

. = 1 > 0

d o n c r1 = 2 e t r2 = 1 .

D o n c l e s s o l u t i o n s c o m p l e x e s d e ( L2 ) s o n t :

y : R

C

x c1e2x + c2ex (c1 e t c2 d a n s C)

I . E l m a h i

1 1 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


14/23


E t l e s s o l u t i o n s r e l l e s s o n t :

y : R Rx c1e2x + c2ex (c1 e t c2 d a n s R)

3 .y + 2y + 4y = 0

(L3 )

L ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e : r2 + 2r + 4 = 0

. = 12 < 0 = (i23)2

d o n c = 1 + i3

e t = 1 i3

.

L e s s o l u t i o n s c o m p l e x e s s o n t :

y : R Cx c1e(1+i

3)x + c2e

(1i3)x (c1 e t c2 d a n s C)

L e s s o l u t i o n s r e l l e s s o n t :

y : R Rx ( cos(3x) + sin(3x))ex ( e t d a n s R)

2 . 3 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n n o r m a l i s e : ( L ) :

y + ay + by = c(x)(

cc o n t i n u e

d eI

d a n s K)

S o i e n t

S( L ) l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s d e ( L )

S( H ) l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s d e ( H )

. O n a l e t h o r m e s u i v a n t :

2 . 3 . 1 T h o r m e

O n s e d o n n e S(L). O n a : S(L) = + S(H) .

P r e u v e F a c i l e .

R e m a r q u e C e t h o r m e e x p r i m e l e f a i t q u e l a s o l u t i o n g n r a l e d e ( L ) s ' o b t i e n t p a r l a s o m m e

g n r a l e d e ( H ) e t u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) . L a u s s i n o u s a l l o n s d o n n e r q u e l q u e s q u a t i o n s

p o u r l e s q u e l s o n a r r i v e t r o u v e r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e

.

A L e s e c o n d m e m b r e e s t u n p o l y n m e

A . 1 P r o p o s i t i o n

S o i t

pu n p o l y n m e d e d e g r

n. A l o r s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) :

y + ay + by = p(x)a d m e t c o m m e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e u n p o l y n m e

(x)t q :

i) deg = ns i

b = 0ii) deg = n + 1

s ib = 0

e ta = 0

iii) deg = n + 2s i

a = b = 0

P r e u v e

i ) s i

b = 0O n p o s e

p(x) = a0 + a1x + + anxn , e t o n c h e r c h e (x) = 0 + 0x + + nxn.

I . E l m a h i

1 2 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


15/23


O n r e m p l a c e d a n s ( L ) e t o n m o n t r e f a c i l e m e n t l ' x i s t a n c e d e s ( i(i = 0, 1, . . . , n))

i i ) s i b = 0

e ta = 0

( L ) s ' c r i t y + ay = p(x)

. O n p o s e u = y

, o n a u r a : ( L ' ) u + au = p(x)

.

U n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ' ) e s t u n p o l y n m e d e d e g r

n. ( v o i r l e s s o l u t i o n s p a r t i c u l i r e s

d ' q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s d u p r e m i e r o r d r e ) .

E t c o m m e u = y

, a l o r s y

s e r a i t d e d e g r n + 1

.

i i i ) s i a = b = 0

( L ) s ' c r i t y = p(x)

. D o n c c o m m e degp = n

, a l o r s deg y = n + 2

B L e s e c o n d m e m b r e e s t d e l a f o r m e ekxp(x)

B . 1 P r o p o s i t i o n

C o n s i d r o n s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) : y + ay = ekxp(x)

, a v e c k K

e tdegp = n

e t ( E ) : r2 + ar + b = 0

( l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e ) .

A l o r s u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) a l a f o r m e : (x) = ekxQ(x)

, a v e c Q

e s t u n

p o l y n m e t q :

i) deg Q = ns i

kn ' e s t p a s u n e r a c i n e d e ( E )

.ii) deg Q = n + 1

s ik

e s t u n e r a c i n e s i m p l e d e ( E ) .

iii) deg Q = n + 2s i

ke s t u n e r a c i n e d o u b l e d e ( E )

.

P r e u v e

C h e r c h o n s u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e (x)

d e l a f o r m e (x) = ekxQ(x)

(x) = (kQ(x) + Q(x))ekx

(x) = (Q(x) + 2kQ(x) + k2Q(x))ekx

O n r e m p l a c e d a n s ( L ) :

(Q(x) + 2kQ(x) + k2Q(x))ekx + (akQ(x) + aQ(x))ekx + bekxQ(x) = ekxp(x)

Q(x) + (2k + a)Q(x) + (k2 + ak + b)Q(x) = p(x)

O n d d u i t d ' a p r s l a p r o p o s i t i o n p r c d e n t e q u e Q

e s t u n p o l y n m e t e l q u e :

i ) s i k2 + ak + b = 0

( i , e k

n ' e s t p a s u n e r a c i n e d e ( E ) )

A l o r s

deg Q = n.

i i ) s i k2 + ak + b = 0

e t2k + a = 0

( i , e k

e s t u n e r a c i n e s i m p l e d e ( E ) ) .

A l o r s deg Q = n + 1

.

i i i ) s i k2 + ak + b = 0

e t2k + a = 0

( i , e k

e s t u n e r a c i n e d o u b l e d e ( E ) )

A l o r s deg Q = n + 2

.

I . E l m a h i

1 3 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


16/23


B . 2 E x e m p l e s

1 . ( L ) : y 3y + 2y = x2 1

E q u a t i o n h o m o g n e ( H ) : y

3y + 2y = 0

, q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e : r2

3r + 2 = 0

.

= 1 d o n c r1 = 312 = 1 e t r2 = 3+12 = 2 .L a s o l u t i o n g n r a l e d e ( H ) e s t :

y(x) = ex + e2x

S o l u t i o n p a r t i c u l i r e :

L e s e c o n d m e m b r e e s t u n p o l y n m e p ( x ) d e d e g r 2 . e t c o m m e b = 2 = 0

, a l o r s u n e s o l u t i o n

p a r t i c u l i r e

e s t u n p o l y n m e t q deg = 2

(x) = a0 + a1x + a2x2

( L ) s ' c r i t :

2a2 3a1 6a2x + 2(a0 + a1x + a2x2) = x2 12a2

3a1 + 2a0 + (

6a2 + 2a1)x + 2a2x

2 = x2

1

2a2 3a1 + 2a0 = 16a2 + 2a1 = 0

2a2 = 1

a0 =54

a1 =32

a2 =12

D o n c (x) =

5

4+

3

2x +

1

2x2

D o n c l a s o l u t i o n g n r a l e d e ( L ) e s t :

y(x) = ex + e2x +5

4

+3

2

x +1

2

x2

2 . ( L ) : y 4y + 4y = (x3 + x)e2x

E q u a t i o n h o m o g n e ( H ) : y 4y + 4y = 0

, q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e : r2 4r + 4 = 0

.

= 0d o n c

r1 =42 = 2.

L a s o l u t i o n g n r a l e d e ( H ) e s t : y(x) = (c1x + c2)e

2x

S o l u t i o n p a r t i c u l i r e :

U n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) e s t d e l a f o r m e (x) = e2xQ(x)

. O n a k = 2

e s t u n e r a c i n e

d o u b l e d e ( E ) d e d e g r deg Q = 5

.

(x) = (2Q(x) + Q(x))e2x

(x) = (2Q(x) + Q(x) + 4Q(x) + 2Q(x))e2x = (Q(x) + 4Q(x) + 4Q(x))e2x


(Q(x) + 4Q(x) + 4Q(x) 8Q(x) 4Q(x) + 4Q(x))e2x = e2x(x3 + x)e2x

Q(x) = x3 + x

Q(x) =x4

4+

x2

2+

Q(x) =x5

20+

x3

6+ x +

I . E l m a h i

1 4 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


17/23


D o n c (x) = (

x5

20+

x3

6+ x + )e2x

C o m m e o n r e c h e r c h e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e , o n p r e n d

= = 0d o n c

(x) = (x5

20 +x3

6 )e2x

D o n c

y(x) = (

x5

20 +

x3

6 + c1x + c2)e2x

C L e s e c o n d m e m b r e e s t d e l a f o r m e A(x) cos(kx) + B(x) sin(kx)

C o n s i d r o n s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) : y + ay + by = A(x)cos kx + B(x)sin kx

, a v e c a

,

be t

k R,

A(x)e t

B(x)d e u x p o l y n m e s r e l s .

O n c h e r c h e s e u l e m e n t l e s s o l u t i o n s r e l l e s .

P r o p o s i t i o n

S o i t ( E ) : r2 + ar + b = 0

l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e . L ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) a d m e t

u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e

(x) = U(x) cos(kx) + V(x)sin(kx)

o U

e tV

s o n t d e s p o l y n m e s r e l l e s t q :

i) sup(deg U; deg V) = sup(deg A; deg B)s i

ikn ' e s t p a s u n e r a c i n e d e ( E )

ii) sup(deg U; deg V) = 1 + sup(deg A; deg B)s i

ike s t u n e r a c i n e d e ( E )

.

P r e u v e

O n u t i l i s e l a f o r m u l e d ' E u l e r :

cos kx =eikx + eikx

2; sin kx =

eikx eikx2i

y + ay + by = A(x)(eikx + eikx

2) + B(x)(

eikx eikx2i

)

= (A(x)

2 i B(x)

2)eikx + (

A(x)

2+ i

B(x)

2)eikx

P o u r c h e r c h e r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) , i l s u t d e c h e r c h e r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e

1 d e ( L 1 ) :

y + ay + by = (A(x)

2 i B(x)

2)eikx

e t u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e

2 d e ( L 2 ) :

y + ay + by = (A(x)

2+ i

B(x)

2)eikx

D o n c = 1 + 2 .

U n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L 1 ) a l a f o r m e : 1(x) = Q(x)e

ikx, a v e c :

1er

c a s : S i

ikn ' e s t p a s u n e r a c i n e d e ( E ) a l o r s

deg Q = deg(A iB

2) = sup(deg A; deg B)

I . E l m a h i

1 5 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


18/23


P u i s q u e

(A+iB2 )eikx

e s t l e c o n j u g u d e

(AiB2 )eikx

, e ta

e tb R

, a l o r s u n e s o l u t i o n p a r t i -

c u l i r e d e ( L 2 ) s e r a i t 2(x) = 1(x).

D o n c u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ) e s t :

(x) = 1(x) + 1(x)= 2(1(x))= 2((Q) + i(Q))(cos(kx) + i sin(kx))= 2(Q)

U(x)

cos(kx) 2(Q) V(x)

sin(kx)

O n v o i t b i e n q u e U(x)

e tV(x)

s o n t d e s p o l y n m e s r e l s , d e p l u s o n a :

sup(deg U; deg V) = deg Q = sup(deg A; deg B)

2 m ec a s : S i

ike s t u n e r a c i n e d e ( E ) a l o r s

deg Q = 1 + deg( A iB2

) = 1 + sup(deg A; deg B)

L e m m e r a i s o n n e m e n t q u e d a n s l e p r e m i e r c a s p e u t s ' e e c t u e r .

D L e s e c o n d m e m b r e e s t d e l a f o r m e (A(x) cos(kx) + B(x) sin(kx))emx

D . 1 P r o p o s i t i o n

C o n s i d r o n s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) :

y + ay + by = (A(x) cos(kx) + B(x) sin(kx))emx

A v e c

a,

be t

k R,

m K.

Ae t

Bs o n t r e l s . O n c h e r c h e l e s s o l u t i o n s r e l l e s .

E n p o s a n t y(x) = z(x)emx

, o n s e r a m n e u n e q u a t i o n d i r e n t i e l l e d u s e c o n d o r d r e a v e c

c o m m e s e c o n d m e m b r e A(x)cos(kx) + B(x)sin(kx)

.

y(x) = z(x)emx

y(x) = (z(x) + mz(x))emx

y(x) = (z(x) + 2mz(x) + m2z(x))emx

z(x) + 2mz(x) + m2z(x) + a(z(x) + mz(x)) + bz(x) = A(x)cos(kx) + B(x) sin(kx)

z(x) + (2m + a)z(x) + (m2

+ am + b)z(x) = A(x)cos(kx) + B(x) sin(kx)

D . 2 E x e m p l e

T r o u v e r l e s s o l u t i o n s r e l l e s d e ( L ) : y 2y + 2y = ex sin(x)

E q u a t i o n h o m o g n e ( H ) : y 2y + 2y = 0

. E q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e ( E ) : r2 2r + 2 = 0

, a v e c

= 4 = (2i)2d o n c

r1 = 1 + i e t r2 = 1 i .S o l u t i o n g n r a l e r e l l e d e ( H ) :

y(x) = ( cos x + sin x)ex

S o l u t i o n p a r t i c u l i r e : p o s o n s y(x) = z(x)ex

y(x) = (z + z)ex

I . E l m a h i

1 6 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


19/23


y(x) = (z + 2z + z)ex

z + 2z + z 2(z + z) + 2z = sin x( L ' )

z + z = sin x = A(x) cos(x) + B(x) sin(x)

a v e c

A(x) = 0e t

B(x) = 1e t

sup(deg A; deg B) = 0.

C o m m e i e s t u n e s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e ( E ' ) : r2 + 1 = 0, a l o r s u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L ' ) e s t :

(x) = U(x)cos(x) + V(x)sin(x)

a v e c sup(deg U; deg V) = 1 + sup(deg A; deg B) = 1

.

E c r i v o n s a l o r s

(x) = (ax + b)cos x + (ax + b)sin x

(x) = a cos x (ax + b)sin x + a sin x + (ax + b)cos x(x) = a sin x a sin x (ax + b)cos x + a cos x + a cos x (ax + b)sinx

( L ' )

2a sin x + 2a cos x = sin x

D o n c a = 0

,a = 12 , b e t b q u e l c o n q u e s .

C o m m e o n c h e r c h e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e , b = b = 0

. D o n c u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e ( L )

e s t :

(x) = 12

x cos xex

D ' o l a s o l u t i o n g n r a l e d e ( L ) e s t :

y(x) = (12

x cos x + ( cos x + sin x))ex

2 . 4 R s o l u t i o n d e ( L ) : y + ay + by = c(x)

a v e c c

f o n c t i o n q u e l c o n q u e

A M t h o d e d e l a v a r i a t i o n d e s c o n s t a n t e s

A . 1 P r o p r i t

S o i t

((x); (x))u n e b a s e d e

SK(H). O n a p p e l l e W r o n s k i e n d e ( ; ) l e d e t e r m i n a n t :

W(; )(x) =

(x) (x)(x) (x)

E t o n a x R

,W(; )(x) = 0 .

P r e u v e

Q u e l ' o n s o i t d a n s K = R

o uC

, t r o i s c a s s o n t e n v i s a g e r :

1erc a s :

(x) = ex,

(x) = ex.

W(; )(x) =

ex ex(x)ex ex = ( )e(+)x = 0 (c a r = ).

2 m ec a s :

(x) = ex,

(x) = xex.

W(; )(x) = ex xex(x)

ex (1 + x)ex = e2x = 0.3 m e

c a s : (x) = cos(sx)erx

,(x) = sin(sx)erx

.

I . E l m a h i

1 7 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


20/23


W(; )(x) =

cos(sx)erx (s sin(sx) + r cos(sx))erxsin(sx)erx (s cos(sx) + r sin(sx))erx = se2rx = 0.

s = 0 (O n e s t d a n s l e c a s o ( E ) a d m e t d e u x s o l u t i o n s c o m p l e x e s c o n j u g u e s )

.

A . 2 P r o p o s i t i o n

S o i t ((x); (x))

u n e b a s e d e SK(H). O n f a i t v a r i e r l e s c o n s t a n t e s e n c h e r c h a n t u n e

s o l u t i o n p a r t i c u l i r e g

d e ( L ) v r i a n t :

g(x) = (x)(x) + (x)(x) (1)

g(x) = (x)(x) + (x)(x) (2)

E tg

s e r a i t s o l u t i o n d e ( L ) s i e t s e u l e m e n t s i (x)

e t(x)

v r i e n t :

(x)(x) + (x)(x) = 0 (3)

(x)(x) + (x)(x) = c(x) (4)

P r e u v e

) S o i t

gu n e s o l u t i o n d e ( L ) v r i a n t ( 1 ) e t ( 2 ) . M o n t r o n s q u e

gv r i e ( 3 ) e t ( 4 ) .

O n a

g(x) = (x)(x) + (x)(x)

g(x) = (x)(x) + (x)(x) + (x)(x) + (x)(x)

S i l ' o n u t i l i s e ( 2 ) , i l r e s t e :

(x)(x) + (x)(x) = 0 (3)D e p l u s ,

ye s t u n e s o l u t i o n d e ( L ) . D o n c

g + ag + bg = c(x)

(2) + + + + a( + ) + b( + ) = c(x)

+ + ( + a + b 0

) + ( + a + b 0

) = c(x) = 0

I l r e s t e + = c(x)

( 4 ) .

) S o i t

gu n e f o n c t i o n d o n n e p a r ( 1 ) e t v r i a n t ( 3 ) e t ( 4 ) . M o n t r o n s q u e

ge s t u n e

s o l u t i o n d e ( L ) v r i a n t ( 2 ) .

O n ag = +

, d o n c g = + +

. S i o n u t i l i s e ( 3 ) , o n o b t i e n t g = +

( 2 ) .

D e p l u s g

e s t u n e s o l u t i o n d e ( L ) , e n e e t :

g + ag + bg = + + + + a( + ) + b( + )= + + ( + a + b

0

) + ( + a + b 0

)

= c(x)d ' a p r s ( 4 )

.

I . E l m a h i

1 8 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


21/23


A . 3 E x e m p l e

I n t g r e r l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) :

y

2y + 2y =

ex

cos x

s u r]

2

;

2

[

E q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e : r2 2r + 1 = 0

d o n c = 4 = (2i)2

S o l u t i o n g n r a l e : y(x) = (A cos x + B sin x)ex

S o i t ((x); (x))

u n e b a s e d e SK(H), a v e c

(x) = cos(x)ex

(x) = sin(x)ex. O n f a i t v a r i e r l e s c o n s t a n t e s

e n c h e r c h a n t u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e g

d e ( L ) v r i a n t : g(x) = ((x)cos(x) + (x) sin(x))ex

g(x) = (x)( sin(x) + cos(x))ex + (x)(cos(x) + sin(x))ex

(x)e t

(x)s o n t s o l u t i o n s d u s y s t m e :

((x) cos(x) + (x) sin(x))ex = 0(x)( sin(x) + cos(x)) + (x)(cos(x) + sin(x)) = 1

cos(x)

=

cos(x) sin(x) sin(x) + cos(x) cos(x) + sin(x) = 1.

=

0 sin(x)1cos(x)

cos(x) + sin(x)

= tan(x). = tan(x) = sin(x)

cos(x)

= ln | cos(x)| + c1 = ln(cos(x)) + c1 (c1 R)L a s o l u t i o n g n r a l e d e ( L ) :

y(x) = (ln(cos x) + c1)cos xex + (x + c2)sin xe

x

A . 4 P r o b l m e d e C a u c h y

O n a p p e l l e p r o b l m e d e C a u c h y a s s o c i l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e

( L ) : y + ay + by = c(x)

t o u t s y s t m e d e l a f o r m e :

(C) :

y + ay + by = c(x)y(x0) =

y(x0) = (x0; ; ) IKK.

A . 5 T h o r m e

L e p r o b l m e d e C a u c h y

(C)a d m e t u n e s o l u t i o n u n i q u e

yd n i e s u r l ' i n t e r v a l l e I .

P r e u v e ( F a i t e o r a l e m e n t )

B M t h o d e r a m e n a n t u n e q u a t i o n d u 1er

o r d r e

I . E l m a h i

1 9 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


22/23


B . 1 P r o p o s i t i o n

S o i t l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) : y + ay + by = c(x)

. S u p p o s o n s q u e l ' o n c o n n a t

u n e s o l u t i o n (x)

d e ( H ) n e s ' a n n u l a n t p a s s u r I

, a l o r s e n f a i s a n t l e c h a n g e m e n t

d ' i n c o n n u y(x) = z(x)(x)

, o n s e r a m n e u n e q u a t i o n d i r e n t i e l l e l i n a i r e d u

p r e m i e r o r d r e .

B . 2 E x e m p l e

S o i t l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) :

(1 + x)y 2y + (1 x)y = xex

S u r

] 1; +[a ) M o n t r o n s q u e

(x) = exe s t u n e s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n h o m o g n e ( H ) a s s o c i e ( L ) .

b ) R s o u d r e l ' q u a t i o n ( L ) .

a ) O n a :

(1 + x)ex 2ex + (1 x)ex = 0d o n c

(x) = exe s t b i e n s o l u t i o n d e ( H ) .

b ) O n p o s e

y(x) = z(x)ex. D o n c

y(x) = (z(x) + z(x))ex, e t

y(x) = (z(x) + 2z(x) + z(x))ex.


[(1 + x)(z + 2z + z) 2(z + z) + (1 x)z]ex = xex

[(1 + x)z + (2 + 2x 2)z]ex = xex

(1 + x)z + 2xz = xe2x

O n p o s e

z(x) = u(x). O n a u r a :

(1 + x)u(x) + 2xu(x) = xe2x

E q u a t i o n h o m o g n e :

u(x) +2x

1 + xu(x) = 0

S o l u t i o n g n r a l e :

u(x) = ce

2x

1+xdx = ce2x+ln |1+x| = c(1 + x)2e2x

V a r i a t i o n d e l a c o n s t a n t e : y(x) = c(x)(1 + x)2e2x

. R e m p l a o n s :

c(x)(1 + x)2e2x =xe2x

1 + x

c(x) =x

(1 + x)3

x

(1 + x)3=

A

(1 + x)+

B

(1 + x)2+

C

(1 + x)3

O n m u l t i p l i e p a r (1 + x)3

, e t o n f a i t x = 1 C = 1

O n m u l t i p l i e p a r (1 + x)

, e t o n f a i t t e n d r e x A = 0

O n r e m p l a c e x

p a r 0 , o n a u r a

0 = B

1

B = 1

c(x) =

(

1

(1 + x)2 1

(1 + x)3)dx + K = 1

1 + x+

1

2(1 + x)2+ K

I . E l m a h i

2 0 A n n e 2 0 0 7 - 2 0 0 8


23/23


d o n c

u(x) = ( 11 + x

+1

2(1 + x)2+ K)(1 + x)2e2x = (1 + x)e2x + 1

2e2x + K(1 + x)2e2x

O n az(x) = u(x)

. D o n c :

z(x) =

((1 + x)e2x + 1

2e2x + K(1 + x)2e2x)dx + K2

3 E q u a t i o n s v a r i a b l e s s p a r a b l e s

3 . 1 D n i t i o n

O n a p p e l l e q u a t i o n v a r i a b l e s s p a r a b l e s t o u t e q u a t i o n d i r e n t i e l l e d e l a f o r m e

( S ) : y = a(x)b(y)

O

ae t

bs o n t d e u x f o n c t i o n s c o n t i n u e s s u r l e s i n t e r v a l l e s

I1e t

I2. D e p l u s

bn e s ' a n n u l e

p a s s u r l ' i n t e r v a l l e I2 .

3 . 2 M t h o d e d e r s o l u t i o n

O n c r i t :

dydx

= a(x)b(y), d o n c

dyb(y) = a(x)dx. E n i n t g r a n t , o n a u r a :

dy

b(y)=

a(x)dx + K

3 . 3 A p p l i c a t i o n a u x q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s l i n a i r e s d u 1er

o r d r e

C o n s i d r o n s l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e ( L ) : y = a(x)y

. S u p p o s o n s q u e y

n ' e s t p a s l a f o n c t i o n

n u l l e . D a n s c e c a s y

n e s ' a n n u l e p a s s u r I

( d ' a p r s l e t h o r m e d ' u n i c i t d e C a u c h y ) . ( L ) s ' c r i t :

dy

y= a(x)dx

E n i n t g r a n t o n o b t i e n t :

ln |y(x)| =

a(x)dx + K

|y(x)| = ea(x)dxeK

y(x) = (x)eK

ea(x)dx

a v e c

(x) = 1O r

ye s t u n e f o n c t i o n c o n t i n u e q u i n e s ' a n n u l e p a s s u r

I. D ' a p r s l e t h o r m e d e s v a l e u r s

i n t e r m e d i a i r e s , y

n e c h a n g e p a s d e s i g n e d o n c (x) = = 1

o u b i e n 1

. D o n c :

y(x) = cea(x)dx

a v e c c = eK

Documents

Equations Lineaires Differentielles