EQUAÇÕES do 2º grau

Historia Pensamento Matemático

Henrique Gomes / Wanderleia Furtado Praia 19 de junho 2008

Índice

INTRODUÇÃO............................................................................................................................. 2

RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS SEGUNDO

DESCARTES. ............................................................................................................................... 3

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS NA ANTIGA BABILÓNIA ...................................................... 4

BABILÓNIA EQUAÇÃO DO 2º GRAU...................................................................................... 6

A EQUAÇÃO QUADRÁTICA NA ANTIGA GRÉCIA ............................................................. 8

MÉTODO DE VIÉTE PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU.......................... 10



INTRODUÇÃO

Este Trabalho insere-se no âmbito da disciplina de História do Pensamento Matemático,

do 4º ano do curso de Licenciatura em ensino da Matemática, leccionada pela professora

Astrigilda Silveira e constitui um dos elementos de avaliação da referida cadeira. A

escolha do tema deu-se de modo aleatório em função dentro das propostas da

professora. Assim, o nosso tema é Equações nas Civilizações Antigas: Babilónia, Egipto e

Grécia.

A disciplina de História do Pensamento Matemático contribui largamente para alargar o

nosso conhecimento a nivel historio, nos esclarece os diversos aspectos e ou contextos

de descobertas dos conceitos matemáticos que poderá ajudarnos a compreender – los

melhor e consequentemente a transmiti-los da melhor forma possível a nível didáctico –

pedagógico de modo a preparar-nos para a carreira docente. Deste modo o meu trabalho

engloba os seguintes itens:

� Resolução Geométrica Das Equações Quadráticas Segundo Descartes.

� Equações Quadráticas Na Antiga Babilónia

� Babilónia Equação Do 2º Grau

� A Equação Quadrática Na Antiga Grécia

� MÉTODO DE VIÉTE PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU

O trabalho foi feito com base em pesquisas bibliográficas e orientações fornecidas pela professora.

Para a realização do mesmo foram encontradas algumas dificuldades, bem como algumas dúvidas

pontuais que foram superadas com a orientação do professor,


2

2

2

x bx c

x bx c

x c bx

+ =

= +

+ =

O

T S

P

C

Q

TS

R

C


Resolução geométrica das equações quadráticas segundo Descartes.

Consideramos as equações completas de 2º grau cujo coeficiente do termo quadrático é unitário,

isto é, da forma:

em qualquer destes casos, são dados dois segmentos de recta de b e c ( coeficientes) e procuram-se

o segmento de recta x ( incógnita) que satisfazem a condição expressa pela igualdade em causa.

Sejam então dado os segmento unidade e os coeficientes b e c. Para resolver qualquer uma das

equações acima mencionados, constrói-se a raiz quadrada, c , do termo dependente traça-se uma

circunferência de diâmetro b e, sobre uma recta tangente a este circunferência e a partir do ponto de

tangencia marca-se um segmento recta de comprimento igual a c . Designar-se-ão por C, T e S

respectivamente o centro da circunferência, o ponto de tangencia é a entre extremidade do segmento

de recta tangente. Sejam O e P os pontos de intersecção da circunferência com a recta CS��

(como na

figura 1) e Q e R os pontos da intersecção, caso existam da circunferência com a recta que passa por

S e é perpendicular a TS pela proposição elementos III, 36 de Euclides, subsistem as igualdades.

2 2. e .SP SO ST SQ SR ST= =

Figura 1- Resolução geométrica das equações quadráticas segundo Descartes.


´ 210xy =


Daqui se conclui que o segmento de recta SP é solução da equação 2x bx c+ = , com efeito a

primeira das igualdades precedentes pode ser escrito como ( )SP SP b c+ = .

Uma vez que essa mesma igualdade também pode ser escrita na forma ( )SO SO b c− = .

Dela se conclui igualmente que o segmento de recta SO é solução da equação 2x bx c= + .

A segunda das igualdades acima podem ser escritas quer como

( ) ( ) quer como SQ b SQ c SR b SR c− = − =

Por conseguinte, tanto o segmento de recta SQ como o segmento SR são soluções da equação

2x c bx+ = . Observe-se que, neste caso, um numero de pontos em que a circunferência intercepta a

recta perpendicular a tangente indica o numero de soluções da equação.

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS NA ANTIGA BABILÓNIA

"Comprimento, largura. Multipliquei comprimento e largura, obtendo assim a área. Então juntei à

área o excesso do comprimento sobre a largura: 3,3 [i.e., o resultado obtido foi 183]. Além disso,

juntei comprimento e largura: 27. Pede-se o comprimento, a largura e a área."

A resolução deste problema equivale a resolver o sistema.

Para uma transformação ´ 2y y= + o sistema fica transformado em:

´ 210

´ 210

xy

x y

=

+ = ( )2 210 ´ 2 2 210xy x x y x+ = ⇔ − + =

Onde x - comprimento e y - largura



Se nos lembrarmos que esta transformação foi feita. Há perto de 4000 anos (1800 e 1600 A.C.), não

podemos deixar de concluir que, na antiga Babilónia, a Álgebra atingiu um nível.

Surpreendentemente. Avançado.

Na verdade, cerca de 2000 anos antes da nossa era, os Babilónios podiam resolver sistemas de

equações da forma:

A orientação dos Babilónios para resolver o sistema:

1. Tomar metade de p:

2. Quadrar o resultado:

3. Subtrair q do resultado obtido:

4. Tomar a raiz quadrada do resultado obtido:

5. Somar o resultado obtido a metade de p:

O resultado obtido é um dos números desejados e o outro é a diferença deste para p.

- ( ) - p x x y x y= + =

o que equivale à resolução da equação quadrática 2x q px+ =

Consistia no seguinte:



BABILÓNIA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

O Problema número 1 da placa de larsa BM 13901. que traduzia a resolução da equação do tipo ,

2x x c+ = , segundo a indicação dos escribas. Podemos fazer a seguinte interpretação algébrica.

2x x c+ =

2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2x x c x c x c x c

⇔ + + = + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ = + −

Deste ponto de vista, o método indicado. Corresponderia a o que encontramos em muitos dos

nossos manuais escolares na resolução directa das equações do 2ºgrau, isto é, sem aplicação da

forma resolvente, transformando o primeiro membro da equação num quadrado. O método

corresponderia então a “ completar um quadrado “ do ponto de vista algébrico.

Vejamos agora a interpretação do mesmo problema segundo Jens Hoyrup,(1990)

(i) que a equação diz respeito á adição de duas áreas: a área de um quadrado de lado desconhecida x

e a área de um rectângulo de lados x e 1.

(ii) que as instruções de escribas correspondem a operações concretas na “ geometria corta e loca” ,

que se podem traduzir por:

• Cortar a meio de rectângulo que se adiciona ao quadrado (a)

• Deslocar uma das partes para formar uma gnómon (b)

• Completar o quadrado geométrico pela adjunção de outro quadrado (c)

• Determinar o lado do quadrado maior e finalmente, o lado do quadrado desconhecido.

cba

Figura 2- Problema nº1 de BM 13901


cba


Aqui de facto se completa os quadrados. Mas no ponto de vista geométrico.

Problema nº1 de BM 13901.

No caso da equação 2x x c− =

Jens Hoyrup, afirma que este deve ser interpretado geometricamente, como no caso anterior.

A equação traduziria: agora a diferença de duas áreas; área de um quadrado de lado desconhecida x

e a área de um rectângulo de lados x e 1.

O procedimento consiste em tirar da área do quadrado de lado desconhecido a área do rectângulo de

lados 1 e x; transformar o rectângulo que resta num gnómon. Como no problema anterior completar

o quadrado maior pela adjunção de um quadrado menor; determinar o lado de quadrado maior e

finalmente, o lado de quadrado desconhecido.

Figura 3- Problema nº2 de BM 13901


DC

BA

Q

P

T

SRNMO


A EQUAÇÃO QUADRÁTICA NA ANTIGA GRÉCIA

Os antigos gregos conseguiram resolver equações quadráticas, por meio de construções

geométricas.

Suponhamos agora que pretendemos resolver a seguinte equação: 2x px q+ =

Esta equação é, evidentemente, equivalente à equação:

Então, para resolver a equação, basta construir 2

4

pq+ , extrair-lhe a raiz quadrada e subtrair-lhe,

em seguida 2

p .

Comecemos por considerar duas rectas r e s, concorrentes em O e, sobre r, um ponto M tal que

2

pOM = , sendo p o comprimento do segmento AB relativamente ao segmento unidadeU EF= e



Consideremos sobre s dois pontos P e Q. tais que 2

pOP U e PO= = . Unamos P e M e conduzamos

por Q uma paralela a PM; seja N o ponto de intersecção dessa paralela com r.

Tem-se OP PQ

OM MN= e, portanto,

2

2

OM PQ p

OP

×= . Consideremos agora o ponto R, de r, tal que:

Trata-se de extrairmos a raiz quadrada de 2

4

pq+ .

Para isso, marquemos sobre r o ponto S tal que RS tenha comprimento u e R fique entre M e S.

Consideremos a perpendicular a r conduzida por R. Por um teorema conhecido da geometria

Elementar (a altura de um triângulo rectângulo relativa à hipotenusa é o meio proporcional dos

segmentos que o seu pé determina uma hipotenusa). Conclui-se que RT é precisamente a raiz

quadrada de 2

4

pq+ , visto que:

Para obter x, basta determinar 2

pRT − .



MÉTODO DE VIÉTE PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU

O método fornece as soluções da equação sem que se aplique uma fórmula, ou então, se aplicando à equação 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ , fornecerá de Bhaskara. Esse método oferece uma outra alternativa para a resolução muito instrutiva.

O método:

Vamos descrever o método de Viéte para resolução de equação do 2º grau.

Seja 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ .

Fazendo-se x u v= + , onde u e v são incógnitas auxiliares, e substituindo na equação temos:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 2 0a u v b u v c a u uv v b u v c+ + + + = ⇒ + + + + + = .

Viéte transformou essa equação numa equação incompleta do 2º grau, anulando o coeficiente de v,

isto é, escolhendo 2

bu

a= − . Obteve assim a equação:

22 0

2 2

b bav a b c

a a

+ − + − + =

e chegou, após simples manipulação, a

22

2

4

2

b acv

a

−= ± .

Se 2 4 0b ac− ≥ então 2 4

2

b acv

a

−= ± .

Logo 2 24 4

2 2 2

b b ac b b acx u v

a a a

− − ± −= + = − ± = , que é a formula de Bhaskara.

Apliquemos o método na resolução da seguinte equação 2 3 2 0x x− + = ;

Fazendo x u v= + e substituindo na equação vem:

( ) ( ) ( )2 2 23 2 0 3 2 3 3 2 0u v u v v u v u u+ − + + = ⇔ − − + − + = .

Escolhendo 3

2u = donde: 2 29 9 1

2 0 ou v 04 2 4

v + − + = − = .

Resultando 1 3 1

e 2 2 2

v x u v= ± = + = + . Finalmente, temos as soluções: 2 e 1.



CONCLUSÃO

Depois de realizar este trabalho podemos afirmar que ao contrário do pensamos a abordagem

geométrica vem antes da abordagem algébrica, pois como podemos reparar nas civilizações antigas

equacionavam e resolviam habilmente equações recorrendo na maior parte das vezes a

representações geométricas. Ainda diríamos que a resolução geométrica é muito eficiente tendo em

conta a época, mesmo sem considerar as soluções negativas uma vez que trabalhavam com

comprimentos de segmentos.



Referencia:

• “ Algebra and naive.geometry.An investtigation at. Some Basic.Aspects.Of old Babylonium

Malhematical. Thought”

• Alforientalische, Forschungen, uma análise filósofica rigorasa integrada no contexto da

Antiga Babilónia

• http://www.Planeta educação.com.br/professores/suporteaoprofessor/peda/teoria 22.

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