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Equações Diferenciais Ordinárias

Prof. Guilherme Jahnecke Weymar

AULA 03

Equações diferenciais de primeira ordem

Equações separáveis

Fonte:

Material Daniela Buske, Boyce, Bronson, Zill,

diversos internet

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Equações separáveis

As equações diferenciais ordinárias separáveis são equações que podem ser escritas na forma (1)

Seja

Então

Substituindo-se g(y) por dh/dy na equação (1) obtemos

(2)

)()( xfdx

dyyg

dyygyh )()(

)(ygdy

dh

)(xfdx

dy

dy

dh

3

Mas pela regra da cadeia

O que implica que (2) pode ser escrita como: (3)

A eq. (3) é do tipo (1.3) ( , vista na aula 02), ou seja, é da forma

Em que Y(x) = h(y(x)). Assim, integrando-se (3) dos dois lados obtemos que a solução geral de (1) é dada implicitamente por

Equações separáveis

dx

dy

dy

dhxyh

dx

d))((

)(tqdt

dy

)())(( xfxyhdx

d

)(xfdx

dY

Cdxxfxyh )())((

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Equações separáveis

Também podemos obter a solução anterior da seguinte maneira:

Integrando-se em relação a x ambos os membros de (1) obtemos

Que pode ser reescrita como

Fazendo a substituição y’dx = dy obtemos

Observação: As curvas que são soluções de uma equação separável podem ser vistas como curvas de nível da função

Cdxxfdxdx

dyyg )()(

Cdxxfdxyyg )(')(

Cdxxfdyyg )()(

dxxfxyhyxFz )())((),(

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Exemplo 1: Modo de resolução 1

Encontrar a solução geral da EDO:

A EDO pode ser reescrita como:

ou pela regra da cadeia:

Assim a solução geral é dada implicitamente por:

As soluções são elipses (ver fig. 1) que são curvas de nível da

função

O gráfico da função F(x,y) dada é um parabolóide elíptico (ver fig.

2)

Equações separáveis

xdx

dyy 42

xdx

dyy

dy

d4)( 2

xydx

d4)( 2

Cxdxxy 22 2)4(

22 2),( xyyxFz

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Equações separáveis

Exemplo 1: Modo de resolução 2

Encontrar a solução geral da EDO:

Integrando-se em relação a x ambos os membros obtemos:

Fazendo a substituição y’dx = dy obtemos:

Assim a solução geral é dada implicitamente por

As soluções são elipses (ver fig. 1) que são curvas de nível da

função

O gráfico da função F(x,y) dada é um parabolóide elíptico (ver

fig. 2)

xyyxdx

dyy 4'2ou 42

Cxy 22 2

22 2),( xyyxFz

Cdxxdxyy 4'2

Cdxxydy 42

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Equações separáveis

Figura 1: Soluções da equação diferencial do exemplo 1

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Equações separáveis

Figura 2: Soluções da equação diferencial do exemplo 1 como curvas de nível do parabolóide elíptico z = F(x,y) = 2x2+y2.

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Equações separáveis

Exemplo 2:a) Encontre a solução do PVI

b) Determine o intervalo de validade da solução, ou seja, o maior intervalo contendo x0=1 para o qual a solução y(x) e sua derivada dy/dx estão definidas.

c) Determine os pontos onde a solução tem um máximo local.

d) Faça um esboço do gráfico da solução.

0)1(33

122

yy

x

dx

dy

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Equações separáveis

Exercício: Fazer pela primeira metodologia para verificar

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Equações separáveis

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Equações separáveis

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Equações separáveis

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Equações separáveis

Figura 3: Solução do PVI do exemplo 2.

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Equações separáveis

Figura 4: Soluções da EDO e do PVI do exemplo 2.

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Equações separáveis

Figura 5: Soluções da EDO do exemplo 2 como curvas de nível de uma função de duas variáveis z=f(x,y)=y3-3y-x2+x.

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Equações Homogêneas

Definição: Função homogênea

Se uma função f satisfaz

Para algum número real n, então dizemos que f é uma

função homogênea de grau n .

),(),( yxfyxf n

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Equações Homogêneas

Exemplo 1:

),()(),(

),(22222222

22

yxfyxyxyxf

yxyxf

f é homogênea de grau 2

Exemplo 2:

),(13),(

13),(32233

23

yxfyxxyxf

xyxyxf

F não é homogênea

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Equações Homogêneas

Exemplo 3:

),()/()/(),(

)/(),(0//

/

yxfyxseneyxseneyxf

yxseneyxfyxyx

yx

f é homogênea de grau zero

OBS: 1. Nos exemplos 2 e 3 observamos que uma constante

adicionada à função destrói a homogeneidade, a menos que a função seja homogênea de grau zero.

2. Uma função homogênea pode ser reconhecida examinado o grau de cada termo

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Equações Homogêneas

Definição: Equação homogênea

Uma equação diferencial da forma

é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M

e N são funções homogêneas do mesmo grau.

0),(),( dyyxNdxyxM

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Equações Homogêneas

Método de solução: Equação homogênea

Uma equação diferencial homogênea

pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica.

Neste caso a substituição:

transformará a equação em uma equação diferencial de 1ª

ordem separável.

0),(),( dyyxNdxyxM

vxy

xdvvdxdyvxy ;Lembrando:

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Equações Homogêneas

Exemplo 1:

0)( 22

22

dyyxxydx

yx

xy

dx

dy

xdvvdxdyvxy ;Substituição:

fç homog. de mesmo grau

ccv

vx

v

dvv

x

dx

v

dvv

x

dxx

dvvxdxxv

dvvxdxxv

dvxvxdxxvvxvx

xdvvdxxvxxvxdx

2

2y/xv

2

3

2

3

2

3

2

2323

2323

3232322

222

2y

xlny

2

1lnln

)1()1(

)1(

)separáveis (variáveis 0)1(

0)()(

0))((

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Exercícios

• Resolva as equações diferenciais homogêneas:1) Sol. Geral:

2) Sol. Geral:

3) Sol. Geral:

4) Sol. Geral:

5) Sol. Geral:

6) Sol. Particular:

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Equações Homogêneas

Observações: Caso M(x,y) e N(x,y) sejam funções de trinômios

lineares em x e y, ou seja

(1)

Teremos de analisar se os coeficientes a1, a2, b1 e b2 são

proporcionais ou não.

0)()( 222111 dycybxadxcybxa

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Equações Homogêneas

1º caso:

Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 são proporcionais , ie,

Substituindo em (1):

(2)

A transformação

reduz (2) à forma de uma equação de variáveis separáveis.

0)(])([ 222122 dycybxadxcybxaR

022

11 ba

ba

21212

1

2

1 e RbbRaaRb

b

a

a

2

222 ;

b

dxadtdyybxat

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Equações Homogêneas

2º caso:

Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 não são proporcionais , ie,

A transformação

onde h e k são coordenadas da solução do sistema

reduz (1) à forma de uma equação homogênea.

022

11 ba

ba

dYdy

dXdx

kYy

hXx

0

0

222

111

cybxa

cybxa