Equação Diferencial/Separação de variáveis

Resolva: rsecθdr−2a2 senθdθ=0 (1)

Primeira solução

Separando as variáveis e usando a identidade trigonométrica: secθ= 1cosθ (2)

Assim, (1) ficará:

rdr=2a ² senθdθsecθ (3)

Substituindo (2) em (3), teremos: rdr=2a ² senθcosθdθ (4)

Integrando (4): ∫rdr=2a ²∫ senθcosθdθ(5)

Em (5) vamos resolver a integral do lado direito por substituição:

u=senθ , du=cosθdθ (6)

Substituindo em (5), teremos:

Resultando em: r ²2

=2a ²∫ udu

Ou r ²2

=2a ² u ²2

+C

r ²2

=2a ² sen2θ2

+C

r ²2

−a ² sen2θ=C

Finalmente:

r ²−2a ² sen2θ=C (7)

Segunda solução

A partir da equação (5) da primeira solução, vem:

∫rdr=2a ²∫ senθcosθdθ(5)

Vamos, também, resolver a integral do lado direito por substituição, fazendo:

u=cosθ ,du=−senθdθ e −du=senθdθ(6)

Substituindo esta relação em 5, vem:

r ²2

=−2a ²∫udu

r2

2=−2a

2 u2

2 +C

Ou

r2=−2a ² cos ²θ+C

Finalmente:

r2+2a ² cos ²θ=C (7)

Conclusão:

A equação diferencial proposta admite 2 soluções, pois, se derivarmos as duas soluções retornaremos à equação (1)