Episódios da História Antiga da Matemática

Autor: Asger Aaboé

Gabriel MoreiraTassiana Carvalho

Thiago Farias

Estrutura do livro

• Prefácio e Introdução• A Matemática Babilônia• A Matemática Grega Antiga e a construção

Euclidiana para o Pentágono Regular• Três exemplos de Matemática Arquimediana• A Construção, por Ptolomeu, de uma tábua de

Trigonométrica

• As diferenças entre a matemática antiga e atual está principalmente na forma, e não de conteúdo.

• “A matemática progride de maneira ordenada, lógica, a partir de axiomas explicitamente enunciados.” (p.5)

“É muito estimulante descobrir a maneira de pensar das grandes mentes do passado distante, e nas ciências matemáticas pode-se reconhecer quando a ressonância é obtida com um grau muito mais alto de certeza do que em qualquer outro campo. É um privilégio conduzir outros pelos caminhos percorridos pela primeira vez há tanto tempo, ou segundo uma bela frase antiga, fazer com que os antigos falem novamente, em seus túmulos. Não há, contudo, nenhum substituto real para a leitura dos próprios matemáticos antigos, e se este livreto conseguir induzir alguns de seus leitores a fazerem isso, terá desempenhado bem sua tarefa.” (p. 8)

A Matemática da Babilônia

As fontes

• Região da Mesopotâmia • Escrita cuneiforme

Tábua de Multiplicação

• Os babilônios usaram, algumas vezes, um símbolo para o zero, mas apenas para representar o espaço vazio no interior de um número. Em textos mais antigos, deixava-se simplesmente um espaço aberto, ou ainda não se fazia nada.

Tábua de Recíprocos

Sistema Numérico Posicionais

• Número finito de símbolos ou algarismos• Atribuímos importância a sua posição• Exprimimos funções• Bases do sistema• Ausência do equivalente da vírgula

Equações Quadráticas

“Somei a área e dois terços do lado de meu quadrado, e o resultado é 0;35. Tome 1, o ‘coeficiente’, é 0;40. Metade disso, 0;20, você multiplicará por 0;20 [e o resultado], que é 0;6;40 você adicionará a 0;35, e [o resultado], 0;41, 40 tem raiz quadrada 0;50. Multiplique 0;20 por ele próprio e subtraia [o resultado] de 0;50, e 0;30 é [o lado] do quadrado”

Diagonal de um Quadrado

A Área de um Trapézio

“[Em] Um trapézio 30 é o comprimento, 30 o segundo comprimento, 50 a largura superior, 14 a largura inferior. 30 vezes 30 é 15;0. Subtraia 14 de 50 e o resto é 36. Metade disso é 18. 18 vezes 18 é 5;24. Subtraia 5;24 de 15;0 e o resultado é 9;36. O que deveríamos multiplicar por si próprio para que o resultado seja 9;36? 24 vezes 24 é 9;36. 24 é a reta divisora. Adicione 50 e 14, as larguras, e [o resultado é] 1;4. Metade disso é 32. Multiplique por 24, a reta divisora, por 32, e [o resultado] é 12;48.”

A Matemática Grega Antiga e a Construção de Euclides para o

Pentágono Regular

Fontes• Os elementos foram escritos em 300 a.C.• A matemática grega atingiu seu ápice no período

Helenístico (após 320 a.C)• A importância de Os elementos.

• Gregos-manuscritos??? X Babilônios-tabletas

• famílias de arqueótipos

• Habilidades do historiador matemático (língua, história da língua e conhecimento específico)

“ Em um triângulo isósceles os ângulos da ... são iguais”

“Ventos ásperos fazem balançar os ... botões das flores de maio”

Matemática Grega Antiga

• Tales de Mileto (século VI a.C.): trouxe a matemática do Egito.

• Pitágoras de Samos (530 a.C.): inspiração babilônica. Aritmética e Álgebra.

• As lúnulas de Hipócrates• A irracionalidade• O paradoxo de Zenão sobre Aquiles e a tartaruga• Teorema fundamental dos triângulos

semelhantes.

Lúnulas de HipócratesLúnulas de Hipócrates

• Quadratura da lúnula• Quadratura do triângulo

Se retirarmos as duas áreas A1 ou a área A2 ficamos com o triângulo ABC.

Problemas mostraram que a quadratura de figuras planas era possível, mesmo não sendo constituído por segmentos de reta.

A1 A1

A2

Investigações Lógicas iniciadas por Parmenides e Zenão

• Os paradoxos de Zenão: Tartaruga e Aquiles, flecha se movimentando.

• assuntos relacionados com limite, continuidade.

•Zenão defendia um sistema filosófico porém foi importante para que o matemáticos tomassem cuidado ao analisarem problemas.

Descoberta da Irracionalidade

• Babilônios encontraram aproximações sexagesimais excelentes para a raiz de 2.

• Os gregos chegaram a um ponto final lógico, porém não tinha utilidade prática para a raiz de 2.

Os Elementos de Euclides• Treze livros: incorpora todo o conhecimento matemático acumulado em sua

época, com exceção de as seções cônicas e a geometria esféricaLivro I: Construções Elementares, teoremas de congruência, área de polígonos,

teorema de PitágorasLivro II: Álgebra GeométricaLivro III: Geometria do CírculoLivro IV: Construção de certos polígonos regularesLivro V: A teoria das proporções de EudoxoLivro VI: Figuras semelhantesLivro VII – IX: Teoria de númerosLivro X: Classificação de certos irracionais (Teateto)Livro XI: Geometria no espaço, volumes simplesLivro XII: Áreas e volumes achados pelo “método da exaustão” (integração) de

EudoxoLivro XIII: Construção dos cinco sólidos regulares

“É naturalmente impossível chegar a um acordo sobre o que constitui a beleza e a elegância matemática, mas alguns dos ingredientes mais comuns são aspectos tais como brevidade, economia de meios, lances surpreendentes e dramáticos, clareza, novas aplicações de velhas técnicas e métodos que se prestam a generalização em outras situações. Alguns desses ingredientes por vezes se contradizem, tais como a brevidade e a economia de meios. Demonstrar um bom teorema com as ferramentas mais fracas possíveis é como conseguir pescar um grande peixe com uma velha e amada linha de seda. Não significa velocidade ou brevidade, mas tem encanto inegável. Euclides nem sempre se entrega à velocidade, mas se dedica particularmente à tarefa de obter o máximo possível com o mínimo.” (p. 71)

• Postulados:1. É possível traçar uma linha reta de um ponto qualquer a outro ponto

qualquer.2. É possível prolongar arbitrariamente um segmento de reta.3. É possível traçar um círculo com qualquer centro e raio.4. Dois ângulos retos quaisquer são iguais entre si.5. Se uma reta, interceptando duas outras retas forma ângulos interiores do

mesmo lado menores do que ângulos retos, então as duas retas, caso prolongadas indefinidamente, se encontram do mesmo lado em que os ângulos são menores do que dois ângulos retos

• Axiomas:1. Grandezas iguais a uma mesma grandeza são iguais entre si.2. Se as grandezas iguais forem adicionadas grandezas iguais, as somas serão

iguais.3. Se as grandezas iguais forem subtraídas de grandezas iguais, os resultados

serão iguais4. Grandezas que coincidem entre si são iguais.5. O todo é maior do que suas partes.

A construção de Euclides para o Pentágono Regular

• Teorema 1: Paralelogramos com a mesma base, e situados entre duas retas paralelas dadas, são iguais (em área).

• Teorema 2: Triângulos que têm a mesma base e estão entre retas paralelas são iguais.• Teorema 3: Se um paralelogramo e um triângulo têm a mesma base e estão situados entre duas

paralelas dadas, então o paralelogramo tem duas vezes a área do triângulo.• Teorema 4: Em qualquer paralelogramo, os complementos dos paralelogramos construídos sobre a

diagonal do paralelogramo dado são iguais (em área)

• Teorema 5: Em triângulos retângulos, o quadrado construído sobre o lado que subtende o ângulo reto (isto é, a hipotenusa é igual à (soma dos) quadrados sobre os lados que contém o ângulo reto.

• Teorema 6: Se um segmento de reta for cortado ao meio, e um segmento lhe for adicionado, em linha reta, o retângulo contido pelo todo do segmento adicionado e pelo segmento adicionado, juntamente com o quadrado sobre a metade, é igual ao quadrado sobre o segmento de reta constituído pela metade e pelo segmento adicionado.

• Teorema 7: Dividir um segmento de reta dado de maneira que o retângulo determinado pelo todo e por uma de suas partes seja o quadrado construído sobre a outra parte.

• Teorema 8: Se de um ponto P externo a um círculo traçarmos uma reta tangente ao círculo em T, e uma reta arbitrária que o intersecta em R e S, teremos então sempre que

PR . PS = PT²

• Teorema 9: Se, de um ponto A exterior a um círculo foram traçadas duas retas, uma que intersecta o círculo em B e F, e a outra cortando em D, e se AB . AF = AD², então AD é a tangente ao círculo em D.

• Teorema 10: O ângulo α entre uma tangente e uma corda de um círculo é igual ao ângulo compreendido pelo arco determinado pela corda, do lado da corda oposto a α

• Teorema 11: Construir um triângulo isósceles que tenha cada um dos ângulos da base igual a duas vezes o terceiro ângulo

Três exemplos da Matemática Arquimediana

A vida de Arquimedes

• Prefácio de seus livros fornecem motivações e explicações sobre os problemas que ira atacar alem de outras informações

• Tratou de assuntos como matemática, astronomia, mecânica (polia) e engenharia

• Correu nu • Foi morto em 12 a.C. durante o saque de

Siracusa.

Os trabalhos de Arquimedes• Sobre o equilíbrio das figuras planas, I • A quadratura da parábola• Sobre o equilíbrio de figuras planas, II• Sobre a esfera e o cilindro, I e II • Sobre as espirais • Sobre os cones e os esferóides• Sobre as corpos flutuantes I, II• A medida de um circulo• O contador dos grão de areia

Construção de polígonos regulares

• 1 – um circulo só pode ser traçado com centro em qualquer ponto dado e com raio igual a qualquer segmento conhecido

• 2 – Dois pontos quaisquer dados pode ser unidos por um seguimento de reta

• 3 – Um segmento de reta dado pode ser estendido arbitrariamente

A trissecção do ângulo feita por Arquimedes

A construção, por Arquimedes, do heptágono regular

AB. AC = BD²CD. CB = AC²

O volume e a superfície de uma esfera, segundo o Método

A Construção, por Ptolomeu, de uma Tábua Trigonométrica

Ptolomeu e o Almagesto• Viveu e trabalhou em Alexandria em torno de

150 d.C.• Realizou estudos em matemática e o seu

trabalho Almagesto desempenhou um grande papel na astronomia

• A coleção matemática e desenvolveu modelos astronômicos, fermentas matemáticas e geometria elementar

• O Almagestos é um livro técnico e volumoso, com descrições quantitativa e matemáticas do fenômenos naturais

A tábua de cordas de Ptolomeu e seus usos

Corda do arco α

• É o comprimento da corda que corresponde a um arco de α graus cujo raio é 60

A construção, por Ptolomeu, da tábua de cordas

• Realização de demonstrações da criação da tábua de cordas

α 2α

b c/2 a

ccacrd

1202

ncrdcn

360

No final do livro• Apêndice: O modelo dos epiciclos de Ptolomeu

• Soluções dos problemas • Sugestões para leituras posteriores