INTEGRALA DUBL. CALCULAREA INTEGRALEI DUBLE. SCHIMBUL DE VARIABIL N INTEGRALA DUBL

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EP 3.2

I. S se calculeze integralele iterate

1) 24

2 0

xdx xdy ;

2) 6

2 0

x ydx dyx ;

3)3

1 0

ydy ydx ;

4) 32

51 0

4ydy dxy ;

5) 5

1 0

ydy xydx ;

6) ( )21 0

cosx

dx x y dy

+ ;

7) ( )1

1 2

y y

ydy x y e dx

;

8) cos

20 1

sin lnd r rdr

;

9) 21 1

20 0 1x dydx

y+ ;

10)2

0 sin

a

ad d

.

II. S se schimbe ordinea de integrare n integralele iterate; s se reprezinte domeniul:

1) ( )2

0 0,

xdx f x y dy ;

2) ( )24 12

0 3,

x

xdx f x y dy ;

3) ( )21

0 0,

y ydy f x y dx

+

;

4) ( )21 1

0 1,

y

ydy f x y dx

;

5) ( )26 12

3 0,

x xdx f x y dy

;

6)2 2

22

0 0 022

Rx R R x

R

dx fdy dx fdy

+ 7)

2 3

1 ln( , )

x

xdx f x y dy ;

8) ( )sin

cos4

,x

xdx f x y dy

;

9) 2

2

1 2 1

1( , )

x

xdx f x y dy

;

10) 2

22

02

( , )x

x x

dx f x y dy

.

III. S se calculeze integralele duble pe domeniul D, mrginit de liniile indicate:

1) 2 2; : ,D

xydxdy D y x y x= =

2) 2 2, : , 4D

x ydxdy D y x y= =

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EP 3.2

3) 2 2 2, : 4, 2 0D

y xdxdy D x y x y+ = + =

4) ( ) , : 0 1, 2D

xy y dxdy D y y x y+

5) , : , 0, 2x y xD

e dxdy D y e x y+ = = =

6) 2 , :1 2, 10D

xy y dxdy D y y x y

7) ( )2 ,D

x y dxdy D+ este triunghiul cu vrfurile ( )2, 2A , ( )1,2B , 31,2

C

8) ( )2 2D

x y dxdy+ , a) D : 2x = , 2 2, 8y x x y= + = ,

b) 2 2: , 3 , 8D y x y x x y = + = ( )0, 0x y .

IV. S se calculeze integralele duble, folosind schimbul de variabil:

1) 2 2 2 22 2

, : 4, 16, 0, 0D

xdxdy D x y x y x yx y

+ = + = +

2) 2 2 2 2, : 1x y

D

e dxdy D x y+ +

3) 2 2 2 2, : 6 , 0D

x y dxdy D x y x y+ +

4) 2

2 2 2 2 2cos , : 44D

x y dxdy D x y + +

5) 2 2 2 225 , : 9D

x y dxdy D x y +

6) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2, : , 0, 0, 0D

x y dxdy D x y a x y y x y+ + = = > >

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EP 3.2

7) ( )22 2 2, : 2D

xydxdy D x y a xy+ =

8) 2 2 2 24 425 , : 1

16 25 16 25D

x xdxdy D + =

9) 2 2 2 2, : 4 0, 6 0, 0,D

dxdy D x y x x y x y y x+ = + = = =

10) 3 3 2 2, : , 2 , 2 , 3D

xydxdy D y x y x y x y x= = = =

11) ( )2 2 , : 1, 2, 2 , 5 , 0, 0D

x y dxdy D xy xy y x y x x y+ = = = =

12) 2 2, : 1, 3, , 2D

xydxdy D xy xy y x y x= = = =

V. S se calculeze ariile domeniilor, mrginite de liniile:

1) 2,y x y x= =

2) 2 1, 3 0y x x y= + + =

3) , 3 , 2y x y x x= = =

4) 2 22 2 , 1y x x y x= = +

5) 24 , 4 0x y x y= + =

6) 2 2 2 24 0, 2 0x y y x y y+ + = + + =

7) 2 2 2 216, 8 0, 0x y x y x y+ = + = =

8) 2 2 2 24 0, 4 0x y x x y y+ + = + + =

9) 4 4 22x y a xy+ =

10) 2, 3, 3 , 5xy xy y x y x= = = =

VI. S se calculeze volumul corpurilor mrginite de suprafeele:

1) 2 0, 2 5 0, 2 3 18 0, 0x y z x y x y z+ = + = + = =

2) 2 216 , 3, 3, 0z x y x y z= = = =

3) 2 2 2, , 12y x x y z y x= = = +

4) 2 2 2 2, 4, 0z x y x y z= + + = =

5) 2 2 2 2 2, , 0z x y x y a z= + + = =