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Dept. of Physics, Hallym University
벡터해석학 소개2
Dept. of Physics, Hallym University
선적분
Dept. of Physics, Hallym University
벡터장
벡터값을 가지는 물리량으로 구성된 장
해류의 흐름, 바람, 파이프를 흐르는 액체전기장, 자기장, 중력장
),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ)( zyxVzzyxVyzyxVxrV zyx
Dept. of Physics, Hallym University
경로의존성 물리량경로에 따라 결과가 바뀌는 물리량예) 경로, 비보존력이 작용하는 경우한 일의 양, 열기관이 한 일의 양, Action 등
l
rdFW
Dept. of Physics, Hallym University
선적분
벡터장 및 미분작용소의 변수를 하나의 변수로 변환
)()()(
)(),,(
thztgytfx
with
tVzyxV
Dept. of Physics, Hallym University
예제 1yyxxyF ˆˆ 2
)1,2()0,0(
22
2
,2:4)1,2()1,0()0,0(:3
4/:22/:1
tytxpathpath
xypathxypath
dyydxxrd ˆ
dyyxydxrdF 2
4,3,2,1
2 )( dyyxydxW
Dept. of Physics, Hallym University
경로 1
dxdyxy21;
21
dxxxdxxdyyxydx21)
21(
21 22
1
)41
21(
1
22
dxxdxxW
Dept. of Physics, Hallym University
경로 2
xdxdyxy21;
41 2
xdxxxdxxdyyxydx21)
41(
41 22
32
)321
41(
2
53
dxxdxxW
Dept. of Physics, Hallym University
경로 3
35
)01()0()(2
0
1
0
2
3
2
xy dxxdyydyyxydxW
Dept. of Physics, Hallym University
경로 4
tdtdydttdxtytx 2;6;;2 223
tdttdttttdyyxydx 2)(62 222232
67
62
812)212(
4
57
dttdxtW
Dept. of Physics, Hallym University
예제 2
22
ˆˆyxyxxyF
2,1
22 yxydxxdyI
경로 1:
ddyddx
yx
cossin
sincos
d
ddyxydxxdy
1sincos 22
22
0dW
Dept. of Physics, Hallym University
예제 2경로 2:
)1,0()0,1( 1 xy
2,1
22 yxxdyydxI
)1,0()0,1( xy 1
2)
4(
4)1(tan1tan)12(tan
1)12(2
1221
)1()1(
110
1
1
0
1 2
0
1 2
0
1 22
x
dxx
dxxxxx
dxxxdxI
2)
4(
4)1(tan1tan)12(tan
1)12(2
1221
)1()1(
111
0
1
1
0 2
1
0 2
1
0 22
x
dxx
dxxxxx
dxxxdxI
Dept. of Physics, Hallym University
그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리
Dept. of Physics, Hallym University
미적분의 기본정리
)()()( afbfdttfdtdb
a 꼭 당연하지만은 않음.
?
2차원: 그린 정리
AA
QdyPdxdxdyyP
xQ )()(
Dept. of Physics, Hallym University
그린 정리
스칼라장 에 대해
uy),( yxP
A
ul
lu
y
y
dxyxP
dxyxPdxyxP
dxyxPyxP
dyy
yxPdxdxdyy
yxP ul
),(
)),(()),((
)),(),((
),(),(
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1)),(( dxyxP l
ly
1
2)),(( dxyxP u
Dept. of Physics, Hallym University
그린 정리스칼라장 에 대해
lx
),( yxQ
A
lr
lr
x
x
dxyxQ
dxyxQdxyxQ
dyyxQyxQ
dxx
yxQdydxdyx
yxQ rl
),(
),(),(
)),(),((
),(),(
3
4
4
3
4
3
4
3
4
3)),(( dxyxQ l
rx
4
3)),(( dxyxQ u
Dept. of Physics, Hallym University
그린 정리
따라서
AA
dxdyyP
xQQdyPdx )()(
그린정리의 의미
소구간의 경계영역에서 선적분방향이 반대이므로 서로 소거됨→외곽선만 남음경계면이 가장 중요함!
Dept. of Physics, Hallym University
발산 (Divergence)벡터연산자
xz
xy
xx
ˆˆˆ
벡터장 ),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ)( zyxVzzyxVyzyxVxrV zyx
발산: 벡터 연산자와 벡터장의 스칼라곱
zyx VzV
yV
xV
다른 좌표계에서 발산
zr VzV
rrV
rrV
1)(1
원통좌표계
V
rV
rVr
rrV r
sin1)sin(
sin1)(1 22
구면좌표계
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발산의 의미발산 – 한 점에서 벡터장이 흘러나가는 알짜비율
벡터장의 ‘유량’ vV
vV
nvV
n
시간 t 동안 단면적 A’ 를 통과하는 유량
'vtA
'A A
단면적 A의 경우
cos' AvtvtA
단위면적당 단위시간당 유량 (flux)
nVv cos
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발산의 의미미소면적 1과 2 사이의 유량 변화
xV
dxxVdxxV xxx
)()(
알짜 흐름의 총량x
x dxx
)(xVxV x )( dxxVx
1A dydzA 2
dydzdxxVAdx
xV xx )()(
폐곡면 전체에서 들어오고 나오는 흐름의 총량
dxdydzVdxdydzzV
yV
xV
dxdydzzVdzdzdy
yV
dydzdxxV
zyx
zyx
)(
)()()(
한 점에서 벡터장이 흘러나가는알짜비율→’source’가 존재하는가? 얼마나존재하는가?
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가우스 법칙 (Gauss’s theorem)
전기장의 경우: source는 전하
source (전하밀도)
sourceE
가우스 법칙 (Maxwell 방정식 1번)
0
E
ε: 유전상수: 공간이 전하를 ‘screening’ 하는 정도
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연속방정식
물질의 흐름의 경우
tsource
(물질 밀도의 변화량)
0
tV
tsourceV
음의 부호: 발산은 흐름에 의해 사라지는 물질의 양
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2차원 발산정리 (Divergence theorem) – 그린 정리
2차원 벡터장 yVxVV yx ˆˆ
그린 정리에 적용 yx VPVQ ,
yP
xQ
yV
xVV yx
AA
dxdyVdxdyyP
xQ )(
nVdxydyxyVxVdyVdxVQdyPdx yxxy ˆ)ˆˆ()ˆˆ(
AA
dsnVQdyPdx ˆ)(
AA
dsnVdxdyV ˆ
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발산정리 (Divergence theorem)미소부피 dτ에 대해
dV
dτ에서 빠져나가는 흐름
일정 부피 τ를 빠져나가는 전체 흐름의 양
dV
일정 부피 τ를 빠져나가는 전체 흐름은 표면을 빠져나가는 흐름의 양과 같음
dnV
(단위면적당 단위시간당 유량 (flux) )nVv cos
dnVdV
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가우스법칙의 추출
가우스법칙의 적분형태 (일반물리학 참조) i
iqdnD
연속적 분포의 전하의 경우 ddnD
발산정리의 적용 ddDdnD
0 ED
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무한히 넓은 도체판에서의 전기장
가우스법칙의 적분형태 (일반물리학 참조)
ADdnD
Ad
0/ zED
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회전 연산자 (Curl)
Curl
yV
xV
zz
VxVy
zV
yVx
VVVzyx
zyx
V
xyxzyz
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
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예제 1
VV
VVV
2)(
)()()(
CBACABCBA
)()()(
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Curl의 의미Curl – 회전의 양
벡터장의 흐름이 한 점에서 얼마나 ‘회전’하는지를 알려주는 값
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각속도와 회전 연산자위치 r에서의 물체의 선속도
Curl = 각속도 (회전)
CBACABCBA
)()()(
rv
회전 연산자의 적용
rrrrr )()()()()( 각속도는 일정하다고 가정
3)()(
zz
yy
xxr
zyx
zzyyxxzyx
r
zyx
zyx
ˆˆˆ
)ˆˆˆ)(()(
2 v
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2차원 스토크스 정리
그린 정리를 이용
2차원 벡터장 yVxVV yx ˆˆ
그린 정리에 적용
xy VPVQ ,
AA
dxdykVdxdyyP
xQ ˆ)()(
rdVdyydxxyVxVdyVdxVQdyPdx yxyx ˆ)ˆˆ()ˆˆ(
AA
rdVQdyPdx ˆ)(
AA
rdVdxdykV ˆ)(
)()ˆˆ()ˆˆ(ˆ)(yP
xQyxy
yVx
xV
kV xy
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스토크스 정리 – 일반화자유곡면을 미소면적요소 dσ로 분할
dd
rdVdxdykV ˆ)(
2차원 스토크스 정리 적용 가능
곡면을 구성하는 모든 미소 면적에 대해 적용→ 우변은 면적 경계에서 모두 소거됨
AA
rdVdxdykV ˆ)(
Curl의 값은 곡면의 형태와 상관없이경계면에만 의존!
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Ampere의 법칙
Ampere 법칙의 적분형
AA
dxdynHrdH ˆ)(
IrdHA
연속전류밀도 분포시 AA
dnJrdH ˆ
J
n
스토크스 정리 적용
JH
dxdynJdxdynHAA
ˆˆ)(
Ampere 법칙의 미분형 (Maxwell 방정식 3번)
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Curl 과 보존장