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１０． 構造全体に対する外力の釣合い
V! = RA+ R
B" w
0l = 0 (a)
M(A)! = M
A+ R
Bl " w
0l
2/ 2 = 0 (b)
未知反力が３つで，釣合いの式が２つなので，反力は釣合いのみで決定されない．そこで
未知反力を残したまま，たわみの基礎方程式に進む．
M = ! w0
0
x
" (x ! t) dt + RAx ! M
A= !
w0
2x
2+ R
Ax ! M
A
EId
2y
dx2= !M =
w0
2x
2! R
Ax + M
A
EIdy
dx=w
0
6x
3!R
A
2x
2 + M
Ax + C
1,
EIy =w
0
24x
4!R
A
6x
3 +
MA
2x
2+ C
1x + C
2.
境界条件は， (I) x = 0においてdy / dx = 0， (II) x = 0において y = 0 , (III) x = lにおいて y = 0 これらより，
C1= 0 (c)
C2= 0 (d)
w0
24l
4!R
A
6l
3 +
MA
2l
2= 0 (e)
この時点で，方程式が(a)~(e)の５つ，未知数が RA, R
B, M
A, C
1, C
2の５つとなり，全ての未
知数が一意に決定できる数学的構造になっていることに注意．これらを解いて，
RA=
5
8w
0l, R
B=
3
8w
0l, M
A=
1
8w
0l
2.
たわみ角とたわみの関数は， dy
dx=
1
EI
w0
6x
3 !5w
0l
16x
2 +
w0l
2
8x
"#$
%&'
,
y =1
EI
w0
24x
4 !5w
0l
48x
3 +
w0l
2
16x
2"#$
%&'
.
l
A
B
wx= w
0
x
y
RA
MA
RB
ARA
t x ! tdt
x
M
F
MA
w0
たわみ角が零となる点は， 1
6x
2 !5l
16x +
l2
8= 0 " x =
15 ± 33
16l =
1.297l
0.5785l#$
%&'
! ymax
= 0.00542w
0l
4
EI at x = 0.5785l.
〔別解〕
EId4y
dx4= w
x= w
0.
これを４回積分して，
EId
3y
dx3= w
0x + C
1 , (a)
EId
2y
dx2=w
0
2x
2+ C
1x + C
2 , (b)
EIdy
dx=w
0
6x
3+C
1
2x
2+ C
2x + C
3 , (c)
EI y =w
0
24x
4+C
1
6x
3+C
2
2x
2+ C
3x + C
4. (d)
次に，境界条件を考える． (I) x = 0においてdy / dx = 0， (II) x = 0において y = 0 , (III) x = lにおいて y = 0 . 以上３つは与えられた問題設定より自明である．未定係数は４つあるので，残りの１つの
境界条件は元の支配方程式（EI(d2y / dx
2) = !M）を拠り所として導出する．支点 BでM = 0
は明らかである．したがって， (IV) x = lにおいてd2y / dx2 = 0 .
式(c)と(I)より，C3= 0.
式(d)と(II)より，C4= 0.
式(b)と(IV)より， w0
2l2+ C
1x + C
2= 0.
式(d)と（III）より， w0
24l4+C1
6l3+C2
2l2= 0.
これらを解いて，C1= !
5
8w
0l, C
2=
1
8w
0l
2, C
3= 0, C
4= 0.
よって， dy
dx=
1
EI
w0
6x
3 !5w
0l
16x
2 +
w0l
2
8x
"#$
%&'
, y =1
EI
w0
24x
4 !5w
0l
48x
3 +
w0l
2
16x
2"#$
%&'
.
１１． 構造全体に対する外力の釣合い
V! = RA+ R
B" w
0l = 0 (a)
M(A)! = M
A" M
B+ R
Bl " w
0l
2/ 2 = 0 (b)
未知反力が４つで，釣合いの式が２つなので，反力は釣合いのみで決定されない．そこで
未知反力を残したまま，たわみの基礎方程式に進む．
M = ! w0
0
x
" (x ! t) dt + RAx ! M
A= !
w0
2x
2+ R
Ax ! M
A
EId
2y
dx2= !M =
w0
2x
2! R
Ax + M
A
EIdy
dx=w
0
6x
3!R
A
2x
2 + M
Ax + C
1,
EIy =w
0
24x
4!R
A
6x
3 +
MA
2x
2+ C
1x + C
2.
境界条件は， (I) x = 0においてdy / dx = 0， (II) x = 0において y = 0 , (III) x = lにおいてdy / dx = 0 , (IV) x = lにおいて y = 0 . これらより，
C1= 0 (c)
C2= 0 (d)
w0
6l
3!R
A
2l
2 + M
Al = 0 (e)
w0
24l
4!R
A
6l
3 +
MA
2l
2= 0 (f)
この時点で，方程式が(a)~(f)の 6つに対して，未知数がRA, R
B, M
A, M
B, C
1, C
2の 6つとな
る．これらを解いて， RA= R
B=
1
2w
0l, M
A= M
B=
1
12w
0l
2.
たわみ角とたわみの関数は， dy
dx=
1
EI
w0
6x
3 !w
0l
4x
2 +
w0l
2
12x
"#$
%&'
,
y =1
EI
w0
24x
4 !w
0l
12x
3 +
w0l
2
24x
2"#$
%&'=
w0
24EIx
2(x ! l)2
.
たわみは， x = l / 2で最大となりその値は， ymax
=w0l4
384EI．
ARA
t x ! tdt
x
M
F
MA
w0
l
A
B
wx= w
0
x
yRA
MA
RB
MB
〔別解〕
EId4y
dx4= w
x= w
0.
これを４回積分して，
EId
3y
dx3= w
0x + C
1 , (a)
EId
2y
dx2=w
0
2x
2+ C
1x + C
2 , (b)
EIdy
dx=w
0
6x
3+C
1
2x
2+ C
2x + C
3 , (c)
EI y =w
0
24x
4+C
1
6x
3+C
2
2x
2+ C
3x + C
4. (d)
境界条件は， (I) x = 0においてdy / dx = 0， (II) x = 0において y = 0 , (III) x = lにおいてdy / dx = 0 , (IV) x = lにおいて y = 0 .
式(c)と(I)より，C3= 0.
式(d)と(II)より，C4= 0.
式(c)と(III)より， w0
6l2+C1
2l + C
2= 0.
式(d)と（IV）より， w0
12l2+C1
3l + C
2= 0.
これらを解いて，C1= !
1
2w
0l, C
2=
1
12w
0l
2, C
3= 0, C
4= 0.
よって， dy
dx=
1
EI
w0
6x
3 !w
0l
4x
2 +
w0l
2
12x
"#$
%&'
,
y =1
EI
w0
24x
4 !w
0l
12x
3 +
w0l
2
24x
2"#$
%&'=
w0
24EIx
2(x ! l)2
.
