위 치 정 정 전 정 정 후

P. 25

표 아래 6째줄

<내용 추가>

VaR로 불리는 새로운 위험측정치를 계산하는 이유는 무엇인가? 다음에는 이

에 대해 설명해 보기로 한다.

4 VaR의 정의

VaR(Value at Risk)는 “정상적인 시장(normal market) 여건하에서 주어진

신뢰수준(confidence level)으로 목표기간(target period) 동안에 발생할 수

있는 최대손실금액(maximum loss)”으로 정의된다. 이 정의에서 알 수 있듯

이 VaR는 통계학적인 위험측정치(statistical risk measure)이다. 예를 들어

목표기간 1주일, 신뢰수준 95%에서 계산된 어떤 포지션의 VaR가 10억원일

때 다음과 같은 통계학적 표현이 가능하다.

① 포지션의 가치에 향을 미치는 어떤 위험요인의 변화로 인해 1주일 동안에 발생할 수 있는 손실이 10억원보다 적을 확률이 95%이다(또는 손실이 10억원보다 작을 것을 95% 신뢰수준에서 확신한다).

② 포지션의 가치에 향을 미치는 어떤 위험요인의 변화로 인해 1주일 동안에 발생할 수 있는 손실이 10억원보다 클 확률이 5%이다. 여기서 5%를 허용수준(tolerance level)이라고 한다.

목표기간은 포지션을 정상적인 상황에서 헤지하거나 또는 청산하는 데 소요

되는 기간을 고려하여 결정된다. 그리고 신뢰수준은 위험의 회피 정도와

VaR보다 더 큰 손실이 발생하는 경우 기업이 부담해야 하는 비용을 고려하

여 결정된다. 대체로 목표기간이 길어지거나 또는 신뢰수준이 높아지면 VaR

는 커진

다. 바젤위원회는 10일 기준, 99% 신뢰수준에서 VaR를 측정하도록 권장한

다.

1993년에 G-30보고서는 위험관리 측면에서 20개의 최선의 실무지침을 권

고하였는데 다음과 같은 다섯 번째 지침에서 시장위험의 측정치로 Value at

Risk를 사용하도록 권장하였다.

“Dealers should use a consistent measure to calculate daily the

market risk of their positions, which is best measured with a

value-at-risk approach.”

<재무위험관리사 4권 1부> 개정 내용

위 치 정 정 전 정 정 후

P. 30

위에서 6째줄6 VaR의 개념 6 VaR의 계산

P. 30

위에서 7째줄

VaR(Value at Risk)는 “정상적인

시장(normal market) 여건하에서

주어진 신뢰수준(confidence level)

으로 목표기간(target period) 동안

에 발생할 수 있는 최대손실금액

(maximum loss)”으로 정의된다. 이

정의에서 알 수 있듯이 VaR는 통계

학적인 위험측정치이다. 예를 들어

목표기간 1주일, 신뢰수준 95%에서

계산된 어떤 포지션의 VaR가 10억

원일 때 다음과 같은 통계학적 표현

이 가능하다.

① 포지션의 가치에 향을 미치는 어

떤 위험요인의 변화로 인해 1주일 동안에 발생할 수 있는 손실이 10억원보다 적을 확률이 95%이다(또는 손실이 10억원보다 작을 것을 95% 신뢰수준에서 확신한다).

② 포지션의 가치에 향을 미치는 어

떤 위험요인의 변화로 인해 1주일 동안에 발생할 수 있는 손실이 10억원보다 클 확률이 5%이다. 여기서 5%를 허용수준(tolerance level)이라고 한다.

일반적으로 목표기간이 증가하면

VaR는 커진다. 또한 신뢰수준이 높

아지면 VaR도 증가한다. <삭제>

<내용 삭제>

P. 31

<그림 1-9>

바로 위

<내용 추가>

--- 리스크메트릭스가 사용하는 방법

이다.

VaR는 신뢰수준에서 발생할 수 있는

최대손실금액으로 정의되므로 분포의

양쪽 꼬리(two-tail)를 이용하지 않고

한쪽(즉, 왼쪽) 꼬리(one-tail)만을 이

용한다. 따라서 95% 신뢰수준 이용시

위 치 정 정 전 정 정 후

1.65 표준편차를 이용하는 이유는 －

∞부터 －1.65×표준편차까지의 누적

확률이 5%이기 때문이다.

P. 33

밑에서 7째줄

<내용 추가>

이때 손실이 얼마인지는 알 수 없다.

② 동일한 방법론을 사용하더라도 VaR 상업프로그램 간의 차이가 큼

Marshall과 Siegel은 1997년 리스크메트릭스의 방법론에 의해 VaR를 계산

하는 11개 상업프로그램(vendor)을 이용하여 계산된 VaR간의 차이를 분석

하였다. 데이터 간의 차이를 통제하기 위하여 동일한 수익률 자료가 제공되

었다. 11개 상업프로그램은 통화선도계약, 국채, 금리스왑 등의 포지션에 대

하여 VaR를 계산하였는데 그 결과는 다음과 같다.

표 1－5 포지션별 VaR값

상업프로그램 통화선도

머니

마켓

예금

FRA 정부국채금리

스탑

통화

옵션

금리캡

금리

플로어

A N/A 498,425 N/A N/A 438,680 N/A N/A

B 426,288 673,101 426,288 3,808,750 315,177 889,609 416,722

C N/A N/A N/A 5,490,568 N/A N/A N/A

D 437,379 668,690 437,379 3,802,820 305,502 N/A N/A

E 426,000 673,000 426,000 3,754,000 307,000 943,000 N/A

F 425,677 673,034 425,677 3,824,799 425,677 N/A N/A

G 425,189 671,626 425,189 3,809,410 425,189 501,811 616,145

H N/A 671,060 N/A 4,823,042 N/A N/A N/A

J 425,363 639,968 425,363 3,806,757 425,363 718,846 416,523

아래의 표는 포지션별로 계산된 VaR의 평균, 중위값, 표준편차, 표준편차/중

위값을 보여준다. 통화선도계약과 같이 간단한 포지션의 경우 차이가 거의

없으나 옵션이 내재된 포지션의 경우 표준편차/중위값이 20%를 초과할 정도

로 차이가 큰 것으로 분석되었다.

이상의 분석은 동일한 방법론을 따르고 동일한 자료를 이용하더라도 VaR 값

에 큰 차이가 있을 수 있음을 보여준다. 따라서 모형의 정확성을 정기적으로

검증하는 사후검증이 대단히 중요하다. 그러나 VaR의 추정오차가 크더라도

계산된 VaR의 시간적 변화는 여전히 중요한 정보를 제공해 준다.

위 치 정 정 전 정 정 후

표 1－6 포지션별 VaR 평균, 중위값, 표준편차, 표준편차/중위값

포지션 평균 중위값 표준편차 표준편차/중위값

FX forwards 427,649 425,839 4,784 1%

Money market deposits 646,113 671,343 60,720 9%

Forward rate agreements 78,856 78,856 7,534 10%

Government bonds 4,140,018 3,809,080 652,762 17%

Interest rate swaps 306,663 311,089 66,648 21%

FX options 763,317 804,228 198,829 25%

Interest rate caps and floors 483,130 416,722 115,194 28%

③ 사건위험

만일 VaR를 과거자료에 근거하여

P. 80

5 종합예시

<내용 교체>

5 종합 예시A주식의 가치는 100억원이고 일별 변동성은 3%이다. B주식의 가치는 50억

원이고 일별 변동성은 2%이다. 1일 기준 95% 신뢰수준에서 개별VaR는 아

래와 같이 각각 4.95억원과 1.65억원이다.

VaRA＝1.65×100억원×0.03＝4.95억원

VaRB＝1.65×50억원×0.02＝1.65억원

두 주식수익률간의 상관계수를 0.5라고 가정하면 포트폴리오 수익률의 표준

편차는 다음과 같이 2.404%이고 포트폴리오의 VaR는 5.95억원이다.

σ p= ( 23 )2

(0.03)2+( 13 )2

(0.02)2+2( 23 )(13 )(0.5)(0.03)(0.02)=2.404%

VaRp＝ α×V p×σ p＝1.65×150억원×0.02404＝5.95억원

또는 개별VaR로부터 직접 포트폴리오 VaR를 계산한다. 개별VaR가 각각

4.95억원과 1.65억원이므로, 포트폴리오 VaR는 5.95억원이다.

VaRp= (4.95)2+(1.65)2+2(0.5)(4.95)(1.65)=5.95억원

두 주식간의 상관계수가 0.5인 경우, 분산효과로 인한 VaR의 감소금액은 다

음과 같이 0.65억원이다.

분산효과로 인한 VaR의 감소금액＝A주식의 개별VaR＋B주식의 개별VaR－

위 치 정 정 전 정 정 후

포트폴리오 VaR＝(4.95＋1.65)－5.95＝0.65억원

정규분포를 가정하는 경우 포트폴리오의 VaR는 개별VaR의 합보다 작거나

같다. 만일 두 주식 수익률간의 상관계수가 0.5보다 크면, VaR의 감소금액,

즉 분산효과는 더 작아진다. 다음의 표는 상관계수가 －1에 접근함에 따라

VaR의 감소금액(즉, 분산효과)이 증가함을 보여준다.

표 1－15 상관계수와 분산효과 (단위 : 억원, VaRA＝4.95억원, VaRB＝1.65억원)

상관계수 －1 －0.5 0 0.5 1

포트폴리오의 VaR 3.30 4.37 5.22 5.95 6.60

분산효과 3.30 2.23 1.38 0.65 0

그리고 전체 포트폴리오의 VaR에 각 주식의 공헌비율을 곱하면 각 주식의

공헌VaR가 계산된다. A주식과 B주식의 공헌비율 및 공헌VaR는 각각 다음

과 같이 계산된다. 포트폴리오를 구성하는 개별주식의 공헌VaR의 합은 당연

히 포트폴리오의 VaR이다. 즉, 4.81억원＋1.14억원＝5.95억원이다.

A주식의 공헌

VaR＝ 5.95×[ 4.952+ 0.5×4.95×1.65

5.95 2 ]＝5.95×0.808＝4.81억원

B주식의 공헌

VaR＝ 5.95×[ 1.652+ 0.5×4.95×1.65

5.95 2 ]＝5.95×0.192＝1.14억원

이번에는 가정을 바꾸어 상관계수가 －0.5라고 가정하고 공헌VaR를 계산해

보자. 위의 표에서 상관계수가 －0.5이면 포트폴리오의 VaR는 4.37억원이

다. 상관계수가 －0.5인 경우, 공헌비율은 107%와 －7%이므로 공헌VaR는

각각 4.68억원과 －0.31억원으로 계산된다.

A주식의 공헌

VaR＝ 4.37×[ 4.952+ (-0.5)×4.95×1.65

4.372 ]＝4.37×1.07 = 4.68억원

B주식의 공헌

VaR＝ 4.37×[ 1.652+ (-0.5)×4.95×1.65

4.37 2 ]＝4.37×－0.07＝－0.31억원

공헌VaR가 음수라는 것은 B주식 포지션이 추가됨으로 인해 포트폴리오의

위험이 감소한다는 것을 의미하며, B포지션이 헤지포지션(hedge position)의

역할을 하고 있음을 알 수 있다. 상관계수에 따른 각 포지션의 공헌VaR는

위 치 정 정 전 정 정 후

다음의 표와 같이 정리된다. 표에서 확인할 수 있듯이, 상관계수가 음(-)인

경우 공헌VaR가 포트폴리오 VaR보다 클 수 있다.

표 1－16 상관계수와 공헌VaR (단위 : 억원, VaRA＝4.95억원, VaRB＝1.65억원)

상관계수 －1 －0.5 0 0.5 1

포트폴리오의 VaR 3.30 4.37 5.22 5.95 6.60

A의 공헌VaR 4.95 4.68 4.69 4.81 4.95

B의 공헌VaR －1.65 －0.31 0.52 1.14 1.65

A주식과 B주식의 한계 VaR는 각각 4.3억원과 1억원이다.

A주식의 한계 VaR＝VaRp－VaRB＝5.95억원－1.65억원＝4.30억원

B주식의 한계 VaR＝VaRp－VaRA＝5.95억원－4.95억원＝1.00억원

한계VaR와 공헌VaR의 차이점을 B주식을 중심으로 아래의 그림을 이용하여

설명하기로 한다. B주식의 한계VaR는 1억원이고 공헌VaR는 1.14억원이다.

B주식 포지션이 커짐에 따라 포트폴리오의 VaR는 두 주식간의 상관계수가

0.5이므로 비선형으로 증가한다. 즉, B주식이 포함되기 전에는 4.95억원이었

으나 B주식 포지션 50억원이 포함됨에 따라 포트폴리오의 VaR는 5.95억원

으로 증가한다. 반면에 현재 B주식 포지션 50억원이 포함된 상태에서 B포지

션 1원의 변화는 포트폴리오의 VaR를 0.0228만큼 변화시키므로 이 변화에

기초하여 50억원이 전부 제외된다고 가정하면 포트폴리오의 VaR는 4.81억

원까지 감소하게 된다. 그러나 0.0228의 기울기는 현재 시점에서의 기울기이

므로, B주식 포지션의 변화가 크지 않는 경우에만, B포지션 변화에 따른 포

트폴리오 VaR의 변화를 추정하는 데 적합하다. 그러나 포지션의 변화가 큰

경우(즉, B포지션을 완전히 제거한다고 가정하는 경우) 포트폴리오의 VaR는

선형으로 감소하지 않으므로 이 경우에 공헌VaR는 포트폴리오 VaR 감소금

액으로는 적합하지 않다. 리스크메트릭스는 어떤 포지션을 부분

● 그림 1－20 공헌VaR와 한계VaR(상관계수가 0.5인 경우) ●

위 치 정 정 전 정 정 후

● 그림 1－21 한계VaR와 공헌VaR(상관계수가 1인 경우) ●

적으로 헤지할 것인가의 의사결정에 공헌VaR를 이용한다.

이번에는 두 포지션 간의 상관계수가 1이라고 가정하자. 이 경우에 분산효과

가 전혀 없으므로 포트폴리오의 VaR는 선형으로 증가하고 결국 B주식의 한

계VaR와 공헌VaR는 동일하게 된다.

<표 1－17>은 B포지션이 매도포지션이라는 가정하에서 여러 상관계수의 경

우 포트폴리오의 VaR를 계산한 것이다. 분산효과가 전혀 없는 경우의 포트

폴리오의 VaR는 상관계수가 －1인 경우로 6.60억원이며 이는 모두 매입포

지션이고 상관계수가 1인 경우인 VaR와 동일하다. 매입포지션과 매도포지션

이 동시에 존재하면, 상관계수가 －1인 경우에 분산효과가 전혀 없고, 상관

계수가 +1인 경우에 분산효과가 극대화됨을 확인할 수 있다. 여기서 분산효

과는 |VaRA| + |VaRB| -VaRp으로 계산된다.

표 1－17 상관계수와 분산효과(단위 : 억원, VaRA＝4.95억원, VaRB＝－1.65억원)

상관계수 －1 －0.5 0 0.5 1

포트폴리오의 VaR 6.60 5.95 5.22 4.37 3.30

분산효과 0 0.65 1.38 2.23 3.30

P. 146

위에서 2째줄<내용 추가> <별첨 1 > 참조

P. 149

밑에서 5째줄<내용 추가> <별첨 2 > 참조

P. 149

밑에서 3째줄

채권은 발행기관이 계약에 의하여 일정한 이자를 지급함과

동시에 원금을 상환하기로 약속한 증권이다. 채권의 가치평

위 치 정 정 전 정 정 후

~ P. 150

9째줄

가 공식은 다음과 같다.

P＝ ∑T

t＝1

Ct

(1＋y) t(1.118)

단, y는 이산복리수익률이고, Ct는 t시점에서의 현금흐름

(이자 또는 원금)이다.

윗식을 y에 대하여 미분하면 식 (1.119)가 성립한다.

ΔPΔy＝－

11＋y [

1×C 1(1＋y)

＋2×C 2

(1＋y) 2＋…＋

T×CT

(1＋y)T ] (1.119)

식 (1.119)의 양변을 P로 나누어 정리하면 식 (1.120)이 성

립한다.

ΔPP＝－

Δy1＋y [

1×C 1(1＋y)

＋2×C 2

(1＋y) 2＋…＋

T×CT

(1＋y)T ]/P

＝－D×[ Δy1＋y ] (1.120)

식 (1.120)에서 D는 듀레이션(duration)이다. 듀레이션을 (1

＋ y)로 나눈 값을 수정듀레이션(Modified Duration：MD)이

라고 한다. 수정듀레이션을 이용하면 식 (1.120)은 다음과

같이 표현된다. <삭제>

<내용 삭제>

P. 151

밑에서 7째줄

듀레이션을 이용하는 이 방법은 d2P

dy2 ⋅

1P

로 정의되는 볼록

성(convexity : conv)을 고려하여 채권가격 변화를 추정함으

로써 정확성을 향상시킬 수 있다. 그러나 여전히 수익률곡선

의 비평행이동(nonparallel shift)을 고려하지 못한다는 단점

을 갖는다.

ΔPP＝－MD×Δy ＋ 1

2×conv×(Δ y) 2 (1.125)

여기서 conv ＝

1

( 1＋y) 2 [1×2×CF 1(1＋y)

＋2×3×CF 2

(1＋y) 2＋…＋

n×n＋1×CF n

(1＋y) n ]/P이다. <삭제>

<내용 삭제>

P. 153

<각주 42)> <각주 42) 삭제>

P. 173

문제 15, 1615 수익률자료가 충분하지 않거나 또는 존재하지 않는 기업의 경우 베타를 어떻

위 치 정 정 전 정 정 후

추가 16

게 추정할 수 있는가?

해설 : 15. 다음과 같은 세 가지 방법이 있다. 1) 동일산업에 속해 있는 상장기업을 비교기업

으로 선정하여 베타를 추정하는 방법, 2) 기본베타를 추정하는 방법, 3) 순이익 자료를 이용하

여 회계베타를 추정하는 방법

원금이 10,000원이고 액면이자율이 6%이고 만기가 3년인 채권을 고려해 보자. 이

자는 연 1회 지급하며 만기수익률은 10%이다. 이 채권의 가격, 금액듀레이션,

DV01, 수정듀레이션, 매콜레이 듀레이션, 그리고 콘벡시티를 계산하시오.

해설 : 16. 가격＝9,005.08원, 금액듀레이션＝23,116.8, DV01＝2.3117, 수정듀레이션＝2.567, 매

콜레이 듀레이션＝2.824, 콘벡시티＝9.144.

P. 233

문제 3. 교체

3. A포지션의 VaR가 100억원이고 B포지션의 VaR가 200억원이다. 두 포지션 간의

상관계수가 0.2이면 A포지션의 공헌VaR는 얼마인가?

① 58억원 ② 50억원③ 65억원 ④ 46억원

①

포트폴리오의 VaR는 100 2+ 200 2+ 2×0.2×100×200= 241억원이다. 따라서 A포지션의

공헌 VaR는 241× 1002+ 0.2×100×200

241 2= 58.1억원이다.

해설

<별첨 계속>

<별첨 1>

--- 포트폴리오가 적어도 20개의 주식을 포함해야 함을 알 수 있다.

3 베타의 측정과 의미상관계수 추정상의 문제로 인해 자신의 변동성을 사용하지 않고 위험요인(risk factor)으로

시장지수의 변동성을 이용하는 경우 VaR 계산에 추가적으로 필요한 항목이 베타이다. 그렇

다면 베타는 어떤 의미를 갖는가? i주식의 베타는 시장지수의 변화율에 대한 i주식 수익률

의 변화율로 정의된다. 예를 들어, 베타가 2이면 시장지수의 수익률이 1%이면 주식의 수익

률이 체계적으로 2%가 됨을 의미한다. 베타는 i주식의 수익률 Ri를 시장지수의 수익률

RM에 대하여 회귀분석하여 얻은 회귀선, 즉 증권특성선(characteristic line)의 기울기를 의

미한다.

● 그림 1－44 개별주식의 증권특성선 ●

● 그림 1－45 지수수익률분포, 베타, 그리고 특정주식 수익률분포 간의 관계 ●

베타모형은 VaR 계산에 σ i대신에 β iRM을 사용하므로, 베타는 위험요인의

분포를 특정 포지션의 분포로 전환시키는 역할을 한다. <그림 1－45>가 보여주듯이, 위험

요인이 평균이 0%이고 표준편차가 10%인 정규분포를 따른다고 가정하면, 베타가 1보다 작

은 방어적(defensive) 자산의 경우, 베타는 분포의 산포도(dispersion)를 줄여 표준편차를

5%로 감소시키고, 반대로 베타가 1보다 큰 공격적(aggressive) 자산의 경우, 베타는 분포

의 산포도를 늘려 표준편차를 20%로 증가시킨다.

<그림 1－46>은 개별 주식수익률의 변동이 시장지수 수익률의 변동만으로 완전히 설명될

수는 없다는 것을 보여준다. 왜냐하면 개별 주식수익률의 변동은 시장 전체의 경제 상황 변

동에 기인하기도 하지만, 개별 기업 자체의 요인에 의하여도 변동하기 때문이다.

이처럼 시장 전체의 상황에 의하여 변하는 부분을 시장위험 또는 체계적위험(systematic

risk)이라고 하고, 개별 기업의 특수요인에 의하여 변하는 부분을 특수위험 또는 비체계적위

험(unsystematic risk)이라고 한다.

특수위험은 개별기업의 특수한 사정에 의하여 영향을 받으므로 포트폴리오를 구성하게 되면

자연스럽게 서로 상쇄되어 거의 완전히 제거된다. 이를 포트폴리오의 분산효과라고 한다.1)

포트폴리오이론에 의하면 20～30개의 무작위로 추출된 포트폴리오의 경우 시장위험만을 갖

게 된다고 한다.

● 그림 1－46 포트폴리오 분산효과 ●

4 베타모형의 실제 적용분산투자된 포트폴리오의 경우 베타모형이 어느 정도 과소평가하는 지를 파악하기 위하여

다음과 같은 실증검증을 시도하였다. 1990년부터 1998년까지 연도별로 대기업 10개, 중소

기업 10개의 주식으로 각각의 포트폴리오를 구성하고 95% 신뢰수준에서 일별 VaR를 계산

하였다.2) 완전공분산모형은 연도별로 개별주식의 변동성을 이용하고, 베타모형은 연도별로

KOSPI수익률의 표준편차와 베타를 이용한다.3)

1) 일정한 가정하에서 포트폴리오의 분산은 평균 공분산(average covariance)에 수렴한다.

2) 실증분석에 다음 기업들의 주식수익률이 이용되었다. 대기업은 삼성전자, 현대자동차, LG화학, POSCO, 한국

전력, 삼성물산, SK텔레콤, SK, 한화, 현대건설 등 10개이고, 중소기업은 이수화학, 강원산업, 고니정밀, 금오

석유, 대성산업, 대원광업, 대한전선, 대한펄프, 건영, 오양수산 등 10개이다.

3) 베타는 주식수익률을 지수수익률에 대하여 회귀분석하여 연도별로 구하였다.

(1) 대기업 포트폴리오대기업 주식 10개에 총 20억원을 동일 비중으로 투자한 포트폴리오의 VaR를 계산해 보자.

이 경우에 과소평가 비율은 최소 5%에서 최대 18%이며, 평균 과소평가비율은 10%로 분석

되었다.

표 1－39 대기업 포트폴리오의 VaR 비교(단위 : 만원)

연도 완전공분산모형 베타모형 과소평가 비율

1990년 4,900 4,631 5.5%

1991년 3,974 3,683 7.3%

1992년 5,762 5,253 8.9%

1993년 3,956 3,506 11.4%

1994년 4,302 3,548 17.5%

1995년 3,955 3,452 12.7%

1996년 4,356 3,802 12.7%

1997년 8,088 7,312 9.6%

1998년 10,477 9,937 5.2%

평균 10.1%

(2) 중소기업 포트폴리오이번에는 중소기업 주식 10개에 총 20억원을 동일 비중으로 투자한 포트폴리오의 VaR를

추정해 보자. 중소기업으로 구성된 포트폴리오의 경우 과소평가의 문제점이 대기업의 경우

보다 훨씬 심각하다.

완전공분산모형의 VaR에 비교하여 베타모형의 VaR는 평균 27.1% 과소평가되는데, 작게는

90년의 9.0%에서 크게는 94년의 53.8%에 이른다. 이처럼 문제가 심각한 이유 중의 하나는

중소기업의 베타가 대기업의 베타에 비하여 훨씬 불안정하다는 것이다. 예를 들어, 고니정

밀의 연간 평균베타는 0.8이지만 94년도에 0.05로 추정되었다.

또한 오양수산의 경우에도 평균베타가 0.9임에도 불구하고 94년도의 베타는 0.2로 추정되

었다. 따라서 연도별 베타를 이용하지 않고 비교적 오랜 기간의 평균베타를 이용하면 과소

평가의 문제를 어느 정도 해결할 수 있다.

표 1－40 중소기업 포트폴리오의 VaR 비교(단위 : 만원)

연도 완전공분산모형 베타모형 과소평가 비율

1990년 5,654 5,143 9.0%

1991년 4,947 4,285 13.4%

1992년 6,035 4,174 30.8%

1993년 4,827 3,893 19.4%

1994년 4,343 2,009 53.8%

1995년 4,912 3,111 36.7%

1996년 5,166 3,707 28.2%

1997년 8,750 6,776 22.6%

1998년 11,683 8,221 29.6%

평균 27.1%

(3) 베타추정그렇다면 베타는 어떻게 추정되어야 하는가? 베타추정에는 일별 수익률 자료보다는 주별 또

는 월별 자료를 이용하는 것이 바람직하다. 왜냐하면 일별 자료를 이용하여 베타를 추정한

다는 것은 선행(lead)과 후행(lag) 현상이 전혀 없다는 것을 의미하는데 현실적으로 이는 불

가능하기 때문이다. 따라서 주별 또는 월별 수익률을 이용하든지 아니면 일별 수익률을 이

용하는 경우는 선행과 후행 효과를 반영하는 Scholes-Williams의 베타가 보다 바람직하

다.4)

연관된 이슈로, 만일 수익률 자료를 이용하여 베타를 추정할 수 없다면 경우에 베타모형을

적용할 수 없는가? 예를 들어 새로 상장된 IPO주식의 경우 베타를 추정할 만큼의 수익률자

료가 존재하지 않는다. 이 경우에 어떤 방식으로 베타를 추정할 수 있는가? 여기에는 기본

적으로 다음과 같은 세 가지 방법이 있다.

① 동일산업에 속해 있는 상장기업을 비교기업으로 선정하여 베타를 추정하는 방법으로 비교기

업으로 선정된 기업은 분석하고자 하는 기업과 동일 수준의 부채비율을 갖고 있어야 한다. 만일 부채수준이 상이하면 다음의 공식을 이용하여 조정해 주어야 한다.

부채사용시의 베타＝무부채의 베타(1＋(부채/자기자본 비율)×(1－법인세율))

② 기본베타(fundamental beta)를 추정하는 방법이다. 이 방법은 모든 공개기업의 베타를 재무변수(예를 들어, 순이익의 변동성, 레버리지, 배당성향 등)에 대하여 회귀분석하여 베타와 재무변수 간의 관계를 구한 후 이 식을 이용하여 IPO주식의 베타를 추정한다.

③ 순이익 또는 다른 회계자료를 이용하여 회계베타(accounting beta)를 추정하는 방법이다. 과거 일정기간의 순이익 자료를 이용하는 경우 분석기업의 연도별 순이익증가율을 시장 전체

순이익의 연도별 증가율에 대하여 회귀분석하여 베타를 추정한다.

4) Scholes and Williams, 1977, Estimating Betas from Nonsynchronous Data, Journal of Financial Economics, Vol. 5, No. 3, pp. 309-327.

<별첨 2>

1 채권의 전통적인 위험측정치(1) 금액듀레이션채권의 수익률이 변하면 채권가격도 변하게 된다. 채권의 위험을 측정하는 가장 기본적인

위험측정치가 채권의 수익률의 변화에 대한 채권가격의 변화인데 이를 금액듀레이션(dollar

duration : DD)이라고 한다. 채권의 금액듀레이션은 다음과 같이 정의된다(마이너스 부호를

붙이는 이유는 금액듀레이션이 양수 값을 갖도록 하기 위함임). 여기서 수익률곡선은 수평

이며 항상 평행이동만 한다고 가정한다.

DD=-ΔP/Δy

채권의 가치는 발행기관이 지급하기로 약정한 이자와 원금의 현재가치이

다. 즉, P＝ ∑T

t＝1

CFt

(1＋y) t이다. 따라서 이표채의 금액듀레이션은 다음과 같이

계산된다.

표 1－42 금액듀레이션의 계산

시점( t ) CFt PVF PV(CFt) PV(CF t)×t/(1+ y)

1 800 0.9091 727.28 661.16

2 800 0.8264 661.12 1,202.04

3 10,800 0.7513 8,114.04 22,129.20

합계 23,992.40

참고 : PVF=1/(1+y) t임

ΔPΔy=－

11＋y [

1×CF 1(1＋y)

＋2×CF 2

(1＋y) 2＋…＋

T×CFT

(1＋y)T ]DD=

1(1+y) ( ∑

t= T

t=1t×PV(CFt))

원금이 10,000원이고 액면이자율이 8%이고 만기가 3년인 채권의 금액듀레이션은 다음과

같이 23,992.40이다. 이자는 연 1회 지급되며 만기수익률은 10%라고 가정한다.

(2) DV01DV01은 수익률이 1베이시스포인트(basis point : bp) 변할 때의 채권가격의 변화를 측정한

것이므로 금액듀레이션을 10,000으로 나눈 값이다.

DV01＝DD/10,000＝- ΔPΔy/10,000

만기가 3년이고 액면이자율이 8%인 채권의 DV01은 2.4이다. 그러나 DV01은 채권가격의

변화를 측정하므로 DV01이 크다고 해서 반드시 위험한 채권을 의미하지는 않는다. 왜냐하

면 DV01은 커도 채권가격의 변화율은 작을 수 있기 때문이다.

(3) 수정듀레이션금액듀레이션은 이자율과 가격을 연결시킴으로 인해 직관적으로 이해하기가 힘들다. 즉,

23,992.40의 실질적인 의미를 이해하기란 어려우며 투자자와 거래자에게 의미있는 제공을

제공할 수 없다. 또한 DV01은 앞에서 설명했듯이 위험의 측정치로서 항상 정확한 것은 아

니다. 따라서 이자율의 변화에 대한 채권가격의 변화율로 전환시키기 위하여 금액듀레이션

을 채권가격으로 나누게 되는데 이 척도를 수정듀레이션(modified duration : MD)이라고 한

다.

표 1－43 수정듀레이션의 계산

시점( t ) CFt PVF PV(CFt) PV(CF t)×t/(1+ y)

1 800 0.9091 727.28 661.16

2 800 0.8264 661.12 1,202.04

3 10,800 0.7513 8,114.04 22,129.20

합계 9,502.44 23,992.40

수정듀레이션 23,992.40 / 9,502.44 = 2.525년

MD=DD/P=-

ΔPPΔy

이표채의 수정듀레이션은 다음과 같이 계산된다.

MD= 1(1+y) [ ∑

t= T

t=1 ( t×PV(CFt)

P )]

앞에서 인용한 채권의 수정듀레이션은 표에 계산된 바와 같이 2.525년이다.

MD=-

ΔPPΔy

이므로 채권가격의 변화율은 수익률의 변화와 수정듀레이션의 곱으로 계산된다. 따라

서 수정듀레이션은 위험측정치로서의 의미를 갖는다.

ΔPP=－MD×Δy

수익률이 1% 포인트변할 때 수정듀레이션은 채권가격의 백분율 변화를 의미한다. 그러나

이 식은 Δy가 매우 작은 경우에만 성립하므로 우리가 현실적으로 고려하는 이자율의 변화

에 대해서는 윗 식은 오직 대략적으로만 성립한다. 즉, 앞에서 고려한 채권의 경우 수익률

이 10%에서 11%로 변하면 채권가격은 대략적으로 2.525% 하락하게 된다.

(4) 매콜레이 듀레이션수정듀레이션은 프레데릭 매콜레이(Frederick Macaulay)가 1938년에 처음 도출한 듀레이션

(duration: D)과 밀접하게 연관되어 있다. 듀레이션은 현금흐름이 얻어지기까지의 가중평균기간을

측정하며 채권의 실질적 만기를 의미한다.

MD=D/(1+y)이므로 듀레이션은 다음과 같이 정의된다.

D= ∑t= T

t=1 ( t×PV(CFt)

P )표 1－44 듀레이션의 계산

시점( t ) CFt PVF PV(CFt) PV (CF t)×t

1 800 0.9091 727.28 727.28

2 800 0.8264 661.12 1,322.24

3 10,800 0.7513 8,114.04 24,342.12

합계 9,502.44 26,391.64

듀레이션 26,391.64 / 9,502.44 = 2.777년

이렇게 구한 듀레이션은 다음의 식을 통해서 위험측정치로서의 의미를 갖는다.

ΔPP=－D×

Δy( 1+ y)

앞에서 고려한 채권의 듀레이션은 표에 계산되어 있듯이 2.777년이다.

듀레이션은 여러 가지 의미로 정의된다.

정의 1 : 듀레이션은 채권현금흐름의 가중평균만기로 가중치는 현금흐름의 현재가치에

의해 결정된다.

정의 2 : 채권의 듀레이션은 동등한 무이표채의 만기이다.

정의 3 : 듀레이션은 재투자수익과 채권가격의 변화가 미치는 상반된 영향을 서로 상쇄

시키는데 필요한 기간이다.

정의 4 : 듀레이션은 투자자가 현재가치를 기준으로 투자금액의 절반을 회수하는 데 평

균적으로 소요되는 기간이다.

정의 5 : 듀레이션은 현재가치로 계산된 채권현금흐름의 균형점이다.

두 번째 정의에 의하면, 앞에서 분석한 이표채의 듀레이션은 2.777년이므로, 액면이자율이 8%이고

만기가 3년인 이표채는 만기가 2.777년인 무이표채와 동일한 속성을 갖는다(수익률 10%임). 이때

무이표채의 원금은 이표채의 현재가치가 2.777년 동안 10%의 수익률을 얻는다는 가정하에서

9,502.44(1.1)2.777＝12,381.77원으로 계산된다. 무이표채는 현금흐름이 만기일에만 발생하

므로 만기일까지 보유하는 투자자는 어떤 종류의 위험에도 노출되지 않는다. 그런데 액면이

자율이 8%이고 만기가 3년인 이표채가 만기가 2.777년이고 원금이 12,381.77원인 무이표

채와 동일하므로, 이 이표채를 2.777년 보유하면 일정한 조건하에서 위험에 노출되지 않는

다. 다시 말해서 듀레이션 기간동안 이표채를 보유하고 그리고 일정한 조건하에서 시장이자

율이 변하면, 채권가격과 재투자수익률에 미치는 상반되는 영향이 서로 정확히 상쇄되어 순

효과(net effect)를 0으로 만드는 것이 가능하다. 이것이 면역전략(immunization strategy)

의 기본적인 아이디어이다. 그러나 이표채를 만기일까지 보유하면 투자자는 가격위험(price

risk)은 없으나 재투자수익률위험(reinvestment risk)에 노출되어 수익률이 변하는 경우 순

효과를 0으로 만드는 것이 불가능하다.

(5) 콘벡시티채권의 가격은 만기수익률의 1차함수가 아니므로 수정듀레이션 또는 듀레이션만을 이용하

여 채권가격의 변화를 추정하면 오차가 발생한다. 따라서 이 오차를 줄이기 위하여

d 2P

dy2 ⋅

1P

로 정의되는 콘벡시티(convexity) 또는 볼록성을 고려해야 한다.

수익률과 채권가격은 양의 볼록성(positive convexity)을 갖는다. 그리고 볼록한 정도는 액면이자율과

만기에 따라 다르다. [그림 1－47]은 수익률－가격 간의 관계가 볼록할 때 선형 추정치(즉, 수정듀레

이션)의 추정오차를 보여 준다.

현재 채권의 가격은 P이고 수익률이 y라고 가정하자.

만일 수익률이 y+로 상승하면 채권가격은 P+로 하락한다. 그러나 dPP

=-MD ×dy을 이용하여 계산한 채권의 새로운 가격은 P+MD이다. 왜냐하면 이 식은 완벽

하게 성립하는 것이 아니고 근사치로 성립하기 때문이다. 즉, 공식에서 채권가격은 수익률

과 선형관계(linear relationship)에 있는 것으로 가정하고 근사치를 구한 반면, 실제의 채권

가격과 수익률 간의 관계는 볼록하기 때문이다. 따라서 수익률이 크게 변하는 경우, 이 식

을 이용하면 오차가 많이 발생하나, 수익률이 조금 변하는 경우에는 비교적 정확한 값을 제

시할 수 있다.

듀레이션을 이용하는 경우, 수익률－가격 관계가 볼록할수록 또는 수익률

● 그림 1－47 볼록성으로 인한 추정오차 ●

변동폭이 클수록 발생하는 오차가 크게 된다. 수익률이 감소하는 경우 수정듀레이션을 이용

하여 추정한 채권가격 변화는 P-MD-P이고 실제가격변화는 P--P인데 P--P가

P-MD-P보다 크므로 선형 추정치는 실제 변화를 과소평가(underestimation)한다.

반면에 수익률이 증가하는 경우 수정듀레이션을 이용하여 추정한 채권가격 변화는

P-P+MD이고 실제가격변화는 P-P+인데 P-P+MD가 P-P+보다 크므로 선형 추정치는

실제 변화를 과대평가(overestimation)한다.

테일러전개식에서 2차 미분항을 고려하면 채권가격의 변화율은 다음 식으로 추정된다.

ΔPP＝－MD×Δy ＋ 1

2×cv×(Δ y) 2 (1.125)

여기서 cv＝ 1

( 1＋y) 2 [1×2×CF 1(1＋y)

＋2×3×CF 2

(1＋y) 2＋…＋

n×n＋1×CF n

(1＋y) n ]/P

만기가 3년이고 액면이자율이 8%인 채권의 경우, 만기수익률이 10%에서 6%로 크게 하락

하면 채권가격은 실제로 10,534.40원으로 10.86% 상승한다. 그러나 수정듀레이션을 이용

하여 구한 가격변화율은 10.11%로 실제의 10.86%보다 훨씬 작다. 그러나 수정듀레이션과

콘벡시티를 모두 고려하는 경우, 가격변화율은

(-2.525)(-0.04)+(0.5)(8.94)(-0.04)2=10.82%로 실제의 변화율과 크게 차이나지 않는다.

표 1－45 콘벡시티의 계산

시점( t ) CFt PVF PV(CFt) PV (CF t)×t×( t+1)

1 800 0.9091 727.28 1,454.56

2 800 0.8264 661.12 3,966.72

3 10,800 0.7513 8,114.04 97,368.48

합계 9,502.44 102,789.76

콘벡시티 102,789.76 / (1.1)2×9,502.44 = 8.94년

<끝>