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店址 ：新北市立明德高中國中部數學科教學研究會

店長 ：杜鼎祥 老師

執行長：陳玉芬 老師

大掌櫃：周芸竹

師傅群：王琦雅 鄭昀倪

跑堂 ：林家誠 李應昇

數食店月刊

第56期 10１年 10月號

從國中生的觀點看外接圓半徑 李伶芳老師

在明德教數學多年來，往往到第五冊「幾何證明」時，學生越來越沒反應，我也就只好把課本

該講的觀念及公式證明完，再多練習一些例題即可。直到某天，上到『外心』這個單元時，有位學

生給了我非常震撼的反應了！

原因是，課本中除了說明直角三角形，外心是斜邊的中點，外接圓半徑即斜邊長度的一半之外，

還有一個以等腰三角形為例，要同學算出其外接圓半徑，而這位同學卻從例題中找出了規則，我將

它轉述整理如下：

證明一

OA ＝OB ＝ R （外接圓半徑），

AB ＝ AC （ ABC 為等腰三角形），

OBD 為直角三角形（ AD BC ），

BD2 ＋ OD

2 ＝ OB2 （畢氏定理），

BD2 ＋（ AD － R ）2

＝ R 2 ，

BD2 ＋ AD

2 －2× AD ×R ＋ R 2 ＝ R 2 （BD

2 ＋ AD

2 ＝ AB

2 ）

R ＝ AD2

1× AB

2

而當我向其他同學講解時，真高興又有另一個回應，若是任意三角形有沒有辦法找外接圓半

徑？ 而這位同學又證得了下列結果。

證明二

ABC 為任意三角形， AH BC ， AD 為圓 O 直徑，

ABC ＝ ADC （對同弧 AC ）

AHB ＝ ACD ＝ 90。 （半圓圓周角）

ABH ADC （AA 相似）

AB ： AD ＝ AH ： AC （ AD ＝2R）

R ＝ AH2

1× AB × AC

由此二個證明，說明了任意給三邊長的三角形，都能算出外接圓半徑!

（以上證明由王仕銘及廖家明同學證得，現已就讀明德高中二年級）

2

現在，我們不妨從高中數學教科書對外接圓半徑的公式證明切入，來比較是否有一致性？

簡單證明如下： ( )2 2 2 2 4

ab ab ab c abcABC SinC SinD

R R ，由此可知：

(1) 若三角形為直角三角形，則

4

abcABC

R 可改寫成：

2 4

ac abc

R ，

2

bR (即外接圓半徑為斜邊一半)

(2) 若三角形為等腰三角形，則

4

abcABC

R 可改寫成：

2

2 4 4

a AD abc ac

R R

，（因為等腰三角形，

b c ），

21

2R c

AD （與證明一呼應，此時 AD為等腰三角形底邊上的高，引用證明一的符號）

(3) 若三角形為任意三角形，則

4

abcABC

R 可改寫成：

2 4

a AH abc

R

， 所以

1

2R b c

AH （亦與證明二呼應，此時 AH

為任意三角形底邊上的高，引用證明二的符號）

也就是說，一以貫之的外接圓半徑公式就是 4

abcABC

R ， , ,a b c為三角形的三邊長，只

是在國中階段，學生並未學過正弦公式，所以無法使用，但透過直徑上的圓周角為直角以及等弧對

等角的基礎觀念，學生確實也能完成此公式的完整證明，這也足以說明學生只要概念穩固，對於數

學形式期的抽象概念自然也能成熟發展，教師能做的就是架好這過渡期的鷹架橋樑吧！

從時事學數學 新聞報導： 台灣的漁船成功突圍，而且還一度靠近釣魚台，只有 2.1 浬（參見下圖）。後來、返

航時，大家受到熱情歡迎，心情都很振奮，也見證這場保釣行動順利成功。

在這段內容裡面，本編輯部想告訴同學什麼呢？請繼續看下去………

圖片轉貼於

http://news.cts.com.tw/cts/politics/201209/201209261104384.html

也就是說，2.1 浬大約是 3.889 公里 大約近 4 公里，那目測的 4 公里有多遠呢？真的很近，請

聽下回分解……。 有興趣的同學，也歡迎先思考！

海浬有多長？

經度為東西經各一百八十度，緯度為南北緯

各九十度(1 度=六十分)，每一條經線上的

一分長度，定義為一海浬（浬），是一種用於

航海或航空的長度單位，通常等於國際單位

制 1,852 公尺。

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數學週考風雲榜

中一 單元 1-2~1-3 中二 單元 1-1~1-2 中三 單元 1-3

班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績

101 11 黃勝原 100 201 3 呂祈宏 108 301 23 李玟 100

22 陳柔柔 97 7 張立穎 104 302 7 林昀皜 95

102 4 李家丞 100 11 蔡家豪 112 13 黎治成 95

16 林千里 100 95 15 呂沂庭 96 105 19 廖文慈 95

6 張新燦 95 19 陳郁璇 109 21 鄭詠欣 95

18 陳虹羽 95 27 陳玉穎 115 303 8 黃啟倫 100

103 3 江立弘 95 202 9 蕭孟岳 108 10 蕭宇辰 95

16 王詩貽 100 95 21 黃齡儀 110 18 陳樂如 100

26 丁宇珅 95 24 林文傑 100 110 22 吳璟嘉 95

33 林彥琦 100 95 205 26 朱冠穎 100 100 305 5 陳柏翰 100

104 9 陳溫其 95 28 楊智邦 92 26 張雅雯 100

15 李佳穎 95 95 206 2 林岱泓 119 307 14 王雲螢 95

25 王皓平 100 100 5 莊智嘉 98 17 張梅玲 100

105 1 阮兆威 95 6 許智豪 117 18 陳佳慧 95

2 卓宏昇 95 100 12 藍健新 97 308 12 李羚榕 100

10 曾于恩 95 16 范于庭 120 22 陳仁川 95

106 4 吳展綸 95 17 張宜羚 114 309 13 高意雯 100

22 葉蕙瑄 100 21 劉曉芸 100 108 311 1 王易升 100

107 12 鄧紹廷 100 25 許倬偉 100 3 李應昇 100

13 黎品佑 95 207 2 林亮均 114 5 林煒傑 95

14 王珮諠 95 5 陳柏安 111 7 陳孝文 100

30 鍾日堯 100 10 王鈺媞 112 9 黃乃脩 100

108 6 張昊翔 95 16 鄒伶鈺 103 13 蘇鈺証 95

7 陳俊傑 95 22 林佳弘 115

8 陳琪祥 95 23 許右宏 109 編按：由於優秀同學太多，又限於

篇幅的大小，所以從本期開始，將

刊登每次週考達 95分以上

者，連續三次，亦可領取精緻下午

茶或精喜連連的神秘禮物一份！

9 陳薘元 95 26 黃俊霖 100

11 黃丞彥 95 29 蔡佩芸 103

12 鄭皓瑋 95 209 2 朱俞臣 97

13 蕭宇佑 95 8 陳鵬仲 111

25 戴伃亭 95 15 林欣彤 117

33 林芷伶 94 16 徐艾琳 115

109 18 陳巧翊 100 100 18 曹育溱 112 中二 單元 1-1~1-2

110 13 劉振嘉 95 210 2 109 211 3 陳友峻 107

15 李宜潔 95 4 117 7 楊欽孟 108

18 洪于涵 95 8 100 11 李美樺 96

16 101 22 高聖庭 103

17 103 24 童紹豪 105

18 115 27 王宣淯 105

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數學科教師的教師節卡片設計

第一名作品 作者：305 班 陳柏翰 同學

第一名作品 創作概念

左側內容充滿了對稱圖形，右側

圖形則利用各種幾何多邊形組合

成一個蜘蛛網的煙火鞭炮。

第二名作品 創作概念

用佈滿數學概念的符號，向最熟

悉此種語言的老師致敬。

第三名作品 創作概念

雖然我只讀了數學１上的 1/3，但

想對所有的數學老師，說聲：

老師，謝謝您！

第二名作品 第三名作品

作者：

303 林豆豆 同學 109 陳巧翊 同學

前期答案 注意：名字旁的數字表示你答對的題數，也是你可以來領取下午茶的份數哦！

305 陳柏翰×3 303 林豆豆×3 303 黃啟倫×2 311 陳筱芸×4 109 陳巧翊×3 304 朱冠穎×3 106 周君豪×2

※ 編輯部聲明：每期都有適合各年級同學的程度，希望同學們針對自己的實力誠實地全力以赴，如此獲獎才有意義！

卡片設計獲獎同學，可來領取 100元的圖書禮券哦！

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數學科團隊受邀林口國中「創意活動」演示

感謝康軒出版社（鐵人強）的牽成，讓我們明德數學教師團隊再次有對外宣揚創意活動的機會，

限於篇幅，僅以簡單圖片呈現現場活動的情形，更感謝參與此研習活動的林口國中數學教師的熱情

支持，又讓我們增添無比信心與勇氣！

此次演示由志竣老師主講 林口國中老師們的專注聆聽

最受歡迎的第一關：骨牌設計 財宏老師首披戰袍出征哦！

第二關：數言數語 最具挑戰性的行動數學

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腦力激盪區 上一期的 send+more=Money，答案是 10652，只有四位同學做對，顯然同學們不缺錢，缺的是

精神食糧，所以本編輯部再度提供下一道主菜，希望同學能賞個光！

條件相同，還是相同的國字代表相同的數字，請同學們

找出右邊的式子中各自代表的數字是多少吧！

班級： 姓名：

數數×科學＝學數學

數＝ 學＝ 科＝

數學謎語

拔蘿蔔（猜一代數用語） 答： 醫師提筆（猜一代數甪語） 答：

0.3 元（猜一幾何用語） 答： 伍角（猜一幾何用語） 答：

是否也可請同學們設計一個與數學有關的謎語？ 凡經獲選，亦有下午茶一份哦！

班級： 姓名：

年 班 姓名： 年 班 姓名：

設 a為正整數，若 648 用 a去除，餘數為 18，

747用 a去除，餘數為 12，求 a之最小值。

班級： 姓名：

有一數列：第一項是 3，第二項是 6，之後的每

一項都等於前兩項乘積的個位數字,求此數列

的第 2009項。

美國求職網站 Glassdoor 列出 2011 年度科技公司徵聘員工特怪面試 25 道題目，其中一題如下：

「你有一束花，當中除了 2 朵外，都是玫瑰；除了 2 朵外，都是雛菊；除了 2 朵外，都是鬱金香。

請問你共有多少朵花？」 參考資料來源 http://www.mathland.idv.tw/ 昌爸工作坊

９ ２ ３ ８ ６

１ ３ ５ ９

５ １

６ ９ ７ ２

７ ２ ５ ６

６ ８

８ ９ ３ ７

４ １ ８ ７ ９

４ ３ ６ １

９ １

６ ３ ９

４ ８ ９ ５ ７

８ ５

５ １ ４ ３ ８

３ ７ ９

２ ８

１ ４ ７ ２

7