UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

ESCOLA DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

ESTUDO ORIENTADO

CÁLCILO II

Jorge Alexandrino Borges

Francisco José de Souza

Rio de Janeiro, Novembro 2012

JORGE ALEXANDRINO BORGES

Mat. 2011200355

Francisco José de Souza

Mat. 2011240163

ESTUDO ORIENTADO

CÁLCULO II

Trabalho da disciplina Cálculo II

Estudo Orientado para a A2

Professora: Antônio Fábio Serafim

Rio de Janeiro, Novembro 2012

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Objetivos desta técnica

“Estudar integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções”.

INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO

É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo:

Equação [1]

� 2 �2x � 4� . dx Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão �2� � 4� e,

em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis.

Com o diferencial:

u = 2x + 4

u’=2

du = 2 . dx

Se substituirmos estas expressões na Equação [1], obtemos:

2 �2� � 4� � 2 �2� � 4� �2. ��� � � . ��

Assim resolvendo esta integral teremos:

���5 � 1 �� � ��

6 � 16 �� � �

Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos:

� ��� � ��� �� � �� ��� � ��� � �

Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando

��� � �

� ��� � ��� � � � �� . � ��� � ���. � � � ��� � ���

e observando que este resultado é precisamente o integrante de [1].

Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I,

então:

!" ���#"$����� � �%��%

Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du como diferenciais.

Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.

APLICAÇÃO Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia Universal

Instrumentos projeta que, após a nova linha de computadores pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à taxa de 2000'1500()*,*, �0 - � - 60� unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número total de computadores que serão vendidos x meses após se tornarem disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá no primeiro ano em que eles estiverem no mercado?

Solução:

Denotemos por N(x) o número total de computadores que se espera que sejam

vendidos x meses após sua introdução no mercado. Então, a taxa de crescimento de vendas é dada por N ‘(x) unidades por mês. Assim, . ′��� � 2000 ' 1500()*,*,

. ′��� � 2000 ' 1500 ()*,*, ��

� 2000. �� ' 1500 ()*,*, ��

Calculando a segunda integral pelo método de substituição, obtemos:

.��� � 2000� � �***,* ()*,*, � � �/(01 � � '0,05�, (23ã4 �� � '0,05. ���

� 2000� � 30.000()*,*, � �

Para determinarmos o valor de K notemos que o número de computadores vendidos ao final do mês 0 é nulo, donde N(0) = 0. Isto fornece:

.�0� � 30.000 � 6 � 0 �7á 8�( (* � 1�

.��� � 2000� � 30.000()*,*, ' 30.000 � 2000� � 30.000�()*,*, ' 1�

O número de computadores que a Universal espera vender no primeiro ano á dada por

.�12� � 2000�12� � 30.0009()*,*��:� ' 1; � 10.464 �2<�1�(=

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de integração. Por exemplo, a Regra da Substituição para integração corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra que corresponde à Regra do Produto para diferenciação é chamada de integração por partes.

A Regra do Produto estabelece que se “f” e “g” são funções diferenciáveis, então >

>, !?���@���# � ?���@$��� � @���?$���

Na notação para integrais indefinidas essa equação torna-se

�!?���@$��� � @���?$���#�� � ?���@��� ou � ?���@$��� � � @���?$��� � ?���@���

Podemos rearranjar essa equação como

� ?���@′����� � ?���@��� ' � @���?$����� ! 1 # A fórmula [ 1 ], chamada fórmula de integração por partes, é mais facilmente lembrada com a seguinte notação: seja u = f (x) e v = g (x). Então as diferenciais são du = f ‘(x) dx e dv = g’(x), e assim, pela Regra da Substituição, a fórmula da integração por partes torna-se formula de integração por partes

� �. �A � �. A ' � A. �� ! 2 # Exemplo

Calcule � �(,��

Nenhum método de integração desenvolvido até agora nos permite calcular uma integral indefinida desta forma. Portanto, tentaremos escrevê-la em termos de uma integral indefinida mais fácil de ser calculada. Vamos usar a fórmula de integração por partes [ 2 ] fazendo

u = x e dv = (,

de modo que

du = dx e v = (,

Portanto, � �. (,�� � � �. �A � �. A ' � A. �� � �(, ' � (, . ��

� �. B� ' B� � � � B��� ' �� � �

O sucesso do método de integração por partes depende da escolha apropriada de u e dv. Por exemplo, se tivéssemos escolhido

u = (, e dv = x.dx

no exemplo anterior, então

�� � (, e A � �: �:

Logo, [ 2 ] teria resultado em

� �(,�� � � �. �A � �. A ' � A. �� � �� ��. B� ' � �

� ��. B� . ��

Como a integral indefinida no lado direito desta equação não é facilmente calculada (ela é de fato mais complicada que a integral original), a escolha de u e de dv feita não nos ajudou a calcular a integral indefinida dada.

Em geral, podemos usar as seguintes diretrizes:

Escolha u e dv, tais que

1. du é mais simples que u;

2. dv é mais fácil de integrar

APLICAÇÃO

A taxa estimada de produção de petróleo de certo poço t anos após a produção ter começado é dada por C�3� � 1003()*,�D milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a produção total de petróleo ao final do ano t.

Solução: Seja T(t) a produção total de petróleo do poço ao final do ano E�E F G�

Então, a taxa de produção de petróleo será dada por T’(t) barris de petróleo por ano. Logo, H�3� � C�3� � 1003()*,�D

H�3� � 1003()*,�D. �3 � 100 3()*,�D. �3

Usando a técnica de integração por partes para calcular esta integral. Sejam � � 3 ( �A � ()*,�D. �3

de modo que �� � �3 ( A � ' �*,� ()*,�D � '10()*,�D

Portanto, H�3� � 100!'103()*,�D � 10 � ()*,�D. �3# � 100!'103()*,�D ' 100()*,�D# � � � '�GGGB)G,�E�E � �G� � �

INTEGRAL DEFINIDO Definição

Seja função não negativa e contínua no intervalo fechado [a; b]. A área delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo dos xx’s e pelas retas x = a e x = b e representada

por ÁJ(1 � � ?���. ��KL

A expressão � ?���. ��KL é o integral definido de f de “a” a “b”; a é o limite de

inferior de integração e b é o limite superior de integração. Exemplo:

3�:

�. �� � !�M#� � 5M ' 1M � 125 ' 1 � 124

APLICAÇÃO

O lucro marginal de um produto tem como modelo N$��� � >O>, ' 0,005� �

12,2. Calcule a variação do lucro quando as vendas aumentam de 100 para 101 unidades. Solução:

�'000,5� � 12,2�. �� � !'00025�: � 12,2�#�**�*��*�

�**

� !�'00025. 101:� � �12,2.101� ' 9'0,00025. 100:� � 12,2.100;# P 12,15 Bibliografia: www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais5.php

www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/72/integraçã_por_partes.pdf