Enunciado e Solução Eqconst Nov 2007

8/17/2019 Enunciado e Solução Eqconst Nov 2007

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EM 406 Resistência dos Materiais – Material Didático – DMC/FEM/UNICAMP – Prof. Euclides (PED Labaki)

1

**********************************************************************Exercício eqconst 01

Enunciado. Uma peç a est á submetida a um estado homogêneo d e tens õe scaracterizado pelo seguinte tensor de tensões:

2

230 0 150

0 120 80 /

150 80 100ij N mmσ

− + = + + + + −

O material da peça é homogêneo e possui um módulo de elasticidadelongitudinal (Young) E=210 kN/mm2 e um módulo de cisalhamento G=80kN/mm2. Para esta peça determine:

a) o coeficiente de Poisson ν;b) o tensor de deformações ijε ;

c) a dilatação cúbicakk

ε ∆ = ;

Soluçãoa)

2 (1 ) E G ν = + 3

3

210 101 1 0,3125

2 2 80 10

E

Gν

⋅= − = − =

⋅ ⋅

b)

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

=

10 0 0

10 0 0

1 0 0 0

10 0 0 0 0

21

0 0 0 0 02

10 0 0 0 0

2

xx xx

yy yy

zz zz

xy xy

xz xz

yz yz

E E E

E E E

E E E

G

G

G

ν ν

ν ν ε σ

ε σ

ν ν ε σ

ε σ

ε σ

ε σ

− −

− −

− − =

Partindo-se da equação constitutiva acima, pode-se determinar a relação entreas compon entes de tens ão e deformação:


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2

( )1

xx xx yy zz E

ε σ ν σ σ = − +

( )31

230 0,3125 120 100210 10 xx

ε = − − − ⋅

31,125 10 xxε −= − ⋅

( )1

yy yy xx zz E

ε σ ν σ σ = − +

( )31

120 0,3125 230 100210 10 yy

ε = − − − ⋅

31,0625 10 yyε −= ⋅

( )1

zz zz yy xx

E

ε σ ν σ σ = − +

( )31

100 0,3125 230 120210 10 zz

ε = − − − + ⋅

30,3125 10 zz

ε −= − ⋅

1

2 xy xyGε σ =

3

10 0

2 80 10 xyε = ⋅ =

⋅ ⋅

12 xz xzG

ε σ =

33

1150 0, 9375 10

2 80 10 xzε

−= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

1

2 yz yzGε σ =

33

180 0,5 10

2 80 10 yzε

−= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

3

1,125 0 0,9375

0 1,0625 0,5 10

0,9375 0,5 0,3125ij

ε −

− ∴ = ⋅ −

c)

kk xx yy zzε ε ε ε ∆ = = + +

3( 1,125 1, 0625 0, 3125) 10−∆ = − + − ⋅ 30,375 10−∆ = − ⋅


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3


Enunciado. Um elemento retangular possui dimensões x L , y L e z L antes de

ser submetido a qualquer esforço. Na seqüência a peça foi submetida a duasforças xF e yF , tal como mostrado na figura 2a abaixo. Para este problema,

pode-se imaginar que as forças resultantes x

F e y

F se distribuem

uniformemente o longo das suas superfícies, gerando um carregamentodistribuído com taxas xq e yq , ver figura 2b. Este carregamento por sua vez

gera um estado de tensão homogêneo na peça. Assume-se que não existevariação de t emperatura na peç a durante o process o.

Dados:

x L =500mm,

y L =80mm,

z L =100mm,

xF =224 kN,

yF =2200 kN,

zF = 0 N

Módulo de elasticidad e longitudinal (Young) E=71 G Pa

Módulo de elasticidade transversal (cisalhamento) G=26 GPa.

Para e sta peça pede-se:

a) o tensor de tensõe sij

σ que caracteriza o estado homogêneo de ten sõe s,

b) o coeficiente de Poisson do material ν

c) o tensor de deformações existente na peça ijε

d) a variação dos comprimentos dos lados x L∆ , y L∆ , z L∆

a) b)Figura eqconst2-1: Peç a subm etida a um estado homogên eo de ten sõe s

devido a forças externas aplicadas.

Soluçãoa)


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4

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ

=

36224 10 28 10

0,1 0,08 x x

xx

x y z

F F N Pa A L L m m

σ ⋅= = = = ⋅⋅ ⋅

362200 10 44 10

0,1 0,5 y y

yy

y x z

F F N Pa

A L L m mσ

− ⋅= = = = − ⋅

⋅ ⋅

00

0,5 0,08 z z

zz

z y x

F F N

A L L m mσ = = = =

⋅ ⋅

0 xy xz yz

σ σ σ = = = (somente c argas axiais)

6

28 0 0

0 44 0 10

0 0 0ij Paσ

= − ⋅

b)2 (1 ) E G ν = +

9

9

71 101 1 0,3653

2 2 26 10

E

Gν

⋅= − = − =

⋅ ⋅

c)

1 0 0 0

10 0 0

10 0 0

10 0 0 0 0

21

0 0 0 0 0

21

0 0 0 0 02

xx xx

yy yy

zz zz

xy xy

xz xz

yz yz

E E E

E E E

E E E

G

G

G

ν ν

ν ν ε σ

ε σ ν ν

ε σ

ε σ

ε σ

ε σ

− −

− −

− −

=

( )1

xx xx yy zz E

ε σ ν σ σ = − +

( )6 691

28 10 0,3653 44 10 071 10 xx

ε = ⋅ − − ⋅ + ⋅

46,21 10 xx

ε −= ⋅


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5

( )1

yy yy xx zz E

ε σ ν σ σ = − +

( )6 691

44 10 0,3653 28 10 071 10 yy

ε = − ⋅ − ⋅ + ⋅

47,64 10 yyε −= − ⋅

( )1

zz zz yy xx E

ε σ ν σ σ = − +

( )6 691

0 0,3653 28 10 44 1071 10 zz

ε = − ⋅ − ⋅ ⋅

40,823 10 zz

ε −= ⋅

0 xy xz yz

ε ε ε = = =

4

6,21 0 0

0 7,64 0 10

0 0 0,823ijε

−

∴ = − ⋅

d)

iii i i ii

i

L L L

Lε ε

∆= ⇒ ∆ = ⋅

4 40,5 6,21 10 3,105 10 x x xx L L mε

− −∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

( )4 40,08 7,64 10 0,6112 10 y y yy L L mε − −∆ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ 4 40,1 0,823 10 0,0823 10

z z zz L L mε − −∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅


Enunciado: Um contínuo isotrópico e homogêneo sofre um deslocamento euma deformação que é descrita pela seguinte equação:

1 1 2 2 2 30,0003 0,0007 0,002u x e x e x e= + −

Sabe-se que o contínuo apresenta as seguintes propriedades constitutivas:Módulo de elasticidade longitudinal (Young) E =210 kN/mm2 e coeficiente dePoisson =0.33.

Para este meio pede-s e:

a) O tensor de deformaçõ es infinitesimais de Cauchy ( ), ,12ij i j j iu uε = +

b) A dilatação cúbica específica kk ε ∆ = ,


6/19



6

c) O módulo de elasticidade transv ersal (cisalhamento) do contínuo G (N/mm2),

d) O tensor de tensõe s ijσ que caracteriza do estado de tensão existente no

contínuo,

e) O vetor de forças de superfície ni ij jt nσ = que atu a e m uma superfície do

contínuoSoluçãoa)

1 1 1

1 2 3

42 2 2,

1 2 3

3 3 3

1 2 3

3 0 0

0 7 0 10

0 0 20

ii j

j

u u u

x x x

u u u uu

x x x x

u u u x x x

−

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

4

6 0 01 1

0 14 0 102 2

0 0 40

jiij

j i

uu

x xε

−

∂∂ = + = ⋅ ∂ ∂ −

b)

kk xx yy zzε ε ε ε ∆ = = + +

4 31 (6 14 40) 10 102

− −∆ = + − ⋅ = −

c)2 (1 ) E G ν = +

( )

33

2

210 1078,95 10

2(1 ) 2 1 0,33

E N G

mmν

⋅= = = ⋅

+ +

d)

21 2ij ij ij kk

G ν

σ ε δ ε ν

= + −

21 2 xx xx

G ν

σ ε ν

= + ∆ −

( )3 4 30,33

2 78,95 10 3 10 101 2 0,33 xx

σ − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − − ⋅

2105,88

xx

N

mmσ = −


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7

21 2 yy yy

G ν

σ ε ν

= + ∆ −

( )3 4 30,33

2 78,95 10 7 10 101 2 0,33 yy

σ − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − − ⋅

242,72

xx

N

mmσ = −

21 2 zz zz

G ν

σ ε ν

= + ∆ −

( )3 4 30,33

2 78,95 10 20 10 101 2 0,33 zz

σ − − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − − ⋅

2469,04

zz

N

mmσ = −

2 0 xy xy

Gσ ε = = . Analogamente, 0 xz yz

σ σ = =

2

105,88 0 0

0 42,72 0

0 0 469,04ij

N

mmσ

− = − −

e)

Cauchy: i ij jt nσ = ⋅ 105,88 0 0 1

10 42,72 0 0

20 0 469,04 1

it

− = − −

r

2

105,881

02

469,04i

N t

mm

−

= −

r


Enunciado: Um corpo contínuo, homogêneo e isotrópico apresenta o seguinte

campo de deslocamentos quanto submetido à aç ão de forças externas:

( ) ( ) ( ) 52 1 1 2 2 2 3 36 5 3 4 2 10 (m)u x x e x e x x e − = − + − + − ×


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8

Sabe-se que o corpo apresenta as seguintes propriedades constitutivas:

Módulo de elasticidade longitudinal (Young) E =70 kN/mm2 e módulo de

elasticidade transvers al (cisalhamento) G= 26 kN/mm2.

Para este meio pede-s e:

a) O tensor de deformaçõ es infinitesimais de Cauchy ( ), ,12ij i j j iu uε = +

b) A dilatação cúbica es pe cíficakk

ε ∆ = ,

c) Coeficiente de Poisson ν do meio

d) O tensor de tensõe sij

σ que caracteriza do estado de tensão existente no

corpo,e) O vetor de forças de superfície ni ij jt nσ = que atu a e m uma superfície do

corpo cuja orientação é fornecida pela normal { } { }1

3,2, 14

T n = − − .

Soluçãoa)

1 1 1

1 2 3

52 2 2,

1 2 3

3 3 3

1 2 3

5 6 0

0 3 0 10

0 4 2

ii j

j

u u u

x x x

u u u uu

x x x x

u u u

x x x

−

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = = = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

5 5

5 5 6 0 0 5 3 01 1

0 6 3 3 0 4 10 3 3 2 102 2

0 4 0 2 2 0 2 2

jiij

j i

uu

x xε

− −

− − + − ∂∂ = + = + − − + ⋅ = − ⋅ ∂ ∂ + − − −

b)kk xx yy zz

ε ε ε ε ∆ = = + + 5 4( 5 3 2) 10 10− −∆ = − − − ⋅ = −

c)2 (1 ) E G ν = +

3

3

70 101 1 0,3461

2 2 26 10

E

Gν

⋅= − = − =

⋅ ⋅

d)


9/19



9

21 2ij ij ij kk

G ν

σ ε δ ε ν

= + −

2 1 2 xx xxG

ν σ ε

ν

= + ∆

−

( )3 5 40,3461

2 26 10 5 10 101 2 0,3461 xx

σ − − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − − ⋅

28,447

xx

N

mmσ = −

21 2 yy yy

G ν

σ ε ν

= + ∆ −

( )3 5 40,3461

2 26 10 3 10 101 2 0,3461 yyσ − −

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − − ⋅

27,41

yy

N

mmσ = −

21 2 zz zz

G ν

σ ε ν

= + ∆ −

( )3 5 40,3461

2 26 10 2 10 101 2 0,3461 zz

σ − − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − − ⋅

26,89 zz N

mmσ = −

( ) ( )3 5 22 2 26 10 3 10 1,56 xy xy N

Gmm

σ ε −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

( )32 2 26 10 0 0 xz xzGσ ε = = ⋅ ⋅ ⋅ =

( ) ( )3 5 22 2 26 10 2 10 1,04 yz yz N

Gmm

σ ε −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2

8,45 1,56 01,56 7,41 1,04

0 1,04 6,89ij

N

mmσ

− = − −

e)Cauchy:

i ij jt nσ = ⋅

8, 45 1,56 0 31

1,56 7,41 1,04 24

0 1,04 6,89 1it

− − = − − −

r


10/19



10

2

14,235

10,27

4,485i

N t

mm

= −

r


Enunciado. O material de uma peça de dimensões x L , y L e z L é caracterizadopelo módulo de Young ( E ), pelo coeficiente de Poisson (ν ) e pelo coeficientede dilatação térmica ( α ). A seção transversal da peça indicada pelas letrasABCD na figura eqconst05-1, abaixo, está encaixada em um molde rígido,indicado na mesma figura pelas letras EF. O encaixe inicial da peça no moldeocorre sem folga e sem interferência, de forma que não causa tensão edeformação na peça. Em um segundo momento a peça é carregada com umaforça d e intensidade yF através de uma outra peça rígida, indicada por GH, tal

como mostrado na figura abaixo. Assume-se que a força y

F resulte em um

carregamento uniformemente distribuído y

q . Na direção do eixo z, a peça n ão é

solicitada e não existe restrição à sua deformação nesta direção. Assume-setambém que toda a peça fica sujeita e um estado homogêneo de tensões edeformações. A aplicação da carga yF e o estado de tensões e deformações

dela resultantes, ocorre sem variação de temperatura da peça.

Dados:

x L =250mm,

y L =80mm,

z L =200mm,

yF =1.5x106 N,

Módulo de elasticidade longitudinal (Young) E =210 GPaCoeficiente de Poisson ν =0.33

Coeficiente d e dilatação térmica α =1.1x10−7 (oC−1)

Para e sta peça pede-se:

a) Qual o estado de tensõe s ijσ existente na p eça após o c arregame nto yF

b) Qual a variação de comprimento da peç a qu e ocorre na direção z, z L∆

c) Qual a variação de temperatura ( T ∆ ) que deve ser aplicada à peça, paraque na direção x, ela volte a ter um enc aixe sem ten sões .


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11

Figura eqconst05-1: Peça encaixada em um molde rígido e sujeitacarregamento yF

Soluçãoa)

( )1

xx xx yy zz T

E ε σ ν σ σ α = − + + ⋅ ∆ (1)

( )1

yy yy xx zz T

E ε σ ν σ σ α = − + + ⋅ ∆ (2)

( )1

zz zz yy xx T

E ε σ ν σ σ α = − + + ⋅ ∆ (3)

Três equações e 7 incógnitas: εxx, εyy, εzz, σxx, σyy, σzz e ∆T. É necessárioconhecer o valor de pelo meno s quatro delas.

• Como há um estado homogêneo de tens ão, tem-se qu e:661,5 10 30 10

0,25 0,2 y y

yy

y x z

F F N Pa

A L L m mσ

− − − ⋅= = = = − ⋅

⋅ ⋅;

• Não há variação de temperatura, 0T ∴∆ = ;• Há restrição de de slocamento em x, 0

xxε ∴ = ;

• Não há restrição ao deslocamento em z, 0 zz

σ ∴ =

Assim, de (1) tem-s e:0 0,33

xx yyσ σ = −

( )6 60,33 30 10 9,9 10 xx Paσ = − ⋅ = − ⋅ De (2) tem-se:

( )6 691 1

30 10 0,33 9,9 10210 10 yy yy xx E

ε σ νσ = − = − ⋅ − − ⋅ ⋅

41,273 10 yy

ε −= − ⋅

De (3) tem-se:

[ ] 690,33

9,9 30 10210 10 zz yy xx E

ν ε σ σ

− − = + = − − ⋅ ⋅

40,627 10 zz

ε −= ⋅


12/19



12

6

9,9 0 0

0 30 0 10

0 0 0ij Paσ

− ∴ = − ⋅

40 0 00 1,273 0 10

0 0 0,627ij

ε − ∴ = − ⋅

b)40,2 0,627 10 z

zz z z zz

z

L L L m

Lε ε

−∆= ⇒ ∆ = ⋅ = ⋅ ⋅

40,1254 10 zz

mε −= ⋅

c)Voltando a (1), desta vez com σxx = 0,

( )1

0 0 0 yy T E

ν σ α = − + + ⋅ ∆

yy T

E

ν σ

α = ∆

( )

( ) ( )

6

7 1 9

0,33 30 10428,57º

1,1 10 º 210 10

PaT C

C Pa− −

− ⋅∆ = = −

⋅ ⋅


Enunciado. Um bloco de aço de dimensões Lx=500mm, Ly=80mm e Lz=100mm,est á inicialmente encaixado sem folga e s em tensõe s entre os planos indicado spelas letras A e B, tal como mostrado na figura Figura eqconst06-1, abaixo.Assume-se que as planos A e B sejam perfeitamente rígidos e que nãopermitem deslocam entos ou deformaçõe s na direção x. Por outro lado as sum e-se que n ão existe atrito entre a peça e os planos A e B, de forma que as p eç aspos sa m s e expandir e contrair sem re sistência.

Em um segundo momento a peça em questão é submetida a uma forçade compress ão Fy=10

7 N. Imagina-se que es ta força Fy seja aplicada de formadistribuída sobre a superfície em que atua. Após a aplicação da força, a peçaencontra-se sob um estado de tensão homogên eo.

Para esta peça solicita-se:

a) qual a variação de temperatura a que deve ser submetida a peça de formaque a força Fx resultante de compressão que atua contra os planos A e Bseja de Fx=100 kN,


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13

b) qual a variação de comprimento dos lados Ly e Lz, respectivamente y L∆ e

z L∆ , depois da aplicação da variação de temperaturas.

Dados: E=210 GPa, 6 17,1 10 o C α − −= × , 0,33ν =

Figura e qconst06-1: Peç a e ncaixada entre dois planos A e B e sujeita a umaforça Fy.

Solução

a)Quando a força na pared e é Fx = 100 kN, a tens ão σxx é:

36100 10 12,5 10

0,08 0,1 x x

xx

x y z

F F N Pa

A L L m mσ

− − − ⋅= = = = − ⋅

⋅ ⋅

Lembrando que há res trição ao movimento em x ( 0 xx

ε = ) e que não há

restrição ao d eslocamento em z ( 0 zz

σ = ), tem-se:

( )1

xx xx yy zz T

E ε σ ν σ σ α = − + + ⋅ ∆

( )1

0 0 xx yy

T E

σ ν σ α = − + + ⋅ ∆

7810 2 10

0,5 0,1 y y

yy

y x z

F F N Pa

A L L m mσ

− − −= = = = − ⋅

⋅ ⋅

( )6 8 691

0 12,5 10 0,33 2 10 7,1 10

210 10

T − = − ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ ⋅

35,88ºT C ∆ = −

b)

( )1

yy yy xx zz T

E ε σ ν σ σ α = − + + ⋅ ∆

( ) ( )8 6 691

2 10 0,33 12,5 10 0 7,1 10 35,88210 10 yy

ε − = − ⋅ − − ⋅ + + ⋅ − ⋅

31,1875 10 yy

ε −= − ⋅


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14

( )3 50,08 1,1875 10 9,5 10 y y yy L L mε − −∆ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅

( )1

zz zz yy xx T

E ε σ ν σ σ α = − + + ⋅ ∆

( ) ( )8 6 691 0 0,33 2 10 12,5 10 7,1 10 35,88

210 10 zzε

− = − − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

57,9182 10 zz

ε −= ⋅

5 60,1 7,9182 10 7,9182 10 z z zz

L L mε − −∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅


Enunciado. Uma peça mecânica na forma de um paralelepípedo comdimensões Lx=650mm, Ly=90mm e Lz=120mm está inicialmente encaixadacom uma certa folga entre duas paredes, rígidas e indeformáveis (A e B),paralelas ao plano y-z, tal como mostrado abaixo na figura eqconst07-1. Antesde a peça ser solicitada o valor da folga é x L∆ =0.01mm. Em um segundo

instante, a peça é solicitada por duas forças de compressão Fy e Fz que atuamuniformemente sobre as superfícies indicadas. Após a aplicação das forças, apeç a encontra-se sob um estado de tensão homogêne o.

Assume-se que os planos A e B sejam perfeitamente rígidos e que não

permitem deslocam entos ou deformaçõe s na direção x. Por outro lado as sum e-se que não existe atrito entre a peça e os planos A e B, de forma que as peçaspos sa m s e expandir e contrair sem re sistência.

a) Após a aplicação das forças a folga x L∆ foi eliminada ou ainda persiste

alguma folga? Se persistir uma folga, indique o seu valor. Se não houvermais folga, indique a força resultante na direção x, Fx, que atua na peça.Indique quais são as variações de dimensões da peça nas direções y e z,respectivamente, y L∆ e z L∆ .

b) Qual deve ser a variação de temperatura a que a peça deve ser submetida,

para que não exista mais nem folga nem interferência da peça com osplanos A e B (após a aplicação das c argas)?

Dados: E=210 GPa, 6 17,1 10 o C α − −= × , 0,33ν = , Fy=1.0x106 N, Fz=1.5x10

6 N.


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15

Figura eqconst07-1: Peça entre dois planos A e B, com folga x L∆ e sujeita duasforças.

Soluçãoa)A deformação n ece ss ária para a p eça encostar no plano B sem tensõ es é:

35

_ cos

0,01 101,5385 10

0,65 x

xx en tar

x

L m

L mε

−−∆ ⋅= = = ⋅

Mas a deformação que realmente ocorreu devido a Fy e Fz é dad a por:

( )_1

xx real xx yy zz T

E ε σ ν σ σ α = − + + ⋅ ∆ , em que:

6710 1,2821 10

0,65 0,12 y

yy

x z

F N Pa

L L m mσ

−= = = − ⋅

⋅

671,5 10 2,5641 10

0,65 0,09 y

yy

x z

F N Pa

L L m mσ

− ⋅= = = − ⋅

⋅

0 xx

T σ ∆ = =

( )7 7_ 91

0,33 1, 2821 10 2,5641 10

210 10

xx realε = − − ⋅ − ⋅ ⋅

5_ 6,044 10 xx realε

−= ⋅

εxx_real > εxx_encostar, então a peça encostou no plano B. Isto é, a tensão σxx não énula.

( )_ cos1

xx en tar xx yy zz E

ε σ ν σ σ = − +

( )7 7 5_ cos 91

0,33 1,2821 10 2,5641 10 1,5385 10210 10 xx en tar xx

ε σ − = − − ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅


16/19



16

69,462 10 xx

Paσ = − ⋅

( ) ( )6 69, 462 10 9,462 10 0,09 0,12 x xx x y z

F Pa F Pa m m

L Lσ = = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅

5

1,02 10 xF N = − ⋅

b)

Não existir folga significa que 51,5385 10 x xx

x

L

Lε

−∆= = ⋅ .

Não existir interferência significa que Fx = 0 ⇒ σxx = 0.

( )1

xx xx yy zz T

E ε σ ν σ σ α = − + + ⋅ ∆

( )5 7 7 691

1,5385 10 0 0,33 1,2821 10 2,5641 10 7,1 10210 10

T − − ⋅ = − − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ ⋅

6,345ºT C ∆ = −


Enunciado. Uma peça se deforma tal como mostrado na Figura eqconst08-1,abaixo. Um quadrado na origem, caracterizado pelos pontos A(xa, ya), B(xb,yb), C(xc, yc), D(xd, yd) é levado para uma posição deformada caracterizadapelos pontos E(xe, ye), F(xf, yf), G(xg, yg), H(xh, yh). Sabe-se que o pontos

A,B,C e D são ligados aos pontos E,F,G e H da configuração deformadaatravés dos vetores de deslocamento ua, ub, uc, e ud. Sabe-se que nenhumavariação existe na direção “z”, ou seja, não existe deformações fora do plano“x,y”. As coordenadas dos pontos iniciais e as componentes dos vetoresdeslocamentos estão fornecidos abaixo. O material do contínuo é elástico,linear, homogêneo e isotrópico, caracterizado pelas constantes ν=0.30,E=2,1*103 [N/mm2].

Para este estado de deformações, pede-se:

1) As coordenada s dos pontos E,F,G e H do contínuo deformado,

2) O tensor de deformaçõ es εij (3D) medido no ponto A,3) O tensor de tensõ es σij (3D) medido no ponto A,4) O vetor força de superfície que atua no ponto A, em um plano cuja normal écaracterizada por {n}=1/ √3 {1,1,1}T,5) As componentes normais e tangenciais deste vetor força de superfície.Determine as compone ntes e o módulo.

Dados:xa=0,0ya=0,0

xb=1,0yb=0,0

xc=1,0yc=1,0

xd=0,0yd=1,0

ua=2,0 ub=2,08 uc=2,17 ud=2,09


17/19



17

va=1,0 vb=1,07 vc=1,19 vd=1,12

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

A B

CD

E F

GH

Figura eqconst08-1: Deformação plana no contínuo

Soluçãoa)xe = xa + ua = 0 + 2 = 2ye = ya + va = 0 + 1 = 1

xf = xb + ub = 1 + 2 ,08 = 3,08yf = yb + vb = 0 + 1,07 = 1,07

xg = xc + uc = 1 + 2,17 = 3,17

yg = yc + vc = 1 + 1,19 + 2,19

xh = xd + ud = 0 + 2,09 = 2,09yh = yd + vd = 1 + 1,12 = 2,12

b)( ) ( )

( ) xfinal xinicial F E B A x

xx

x xinicial B A

L L x x x x L

L L x xε

− − − −∆= = =

−

( ) ( )

( )

3,08 2 1 00,08

1 0 xxε

− − −= =

−

( ) ( )

( ) y yfinal yinicial H E D A

yy

y yinicial D A

L L L y y y y

L L y yε

−∆ − − −= = =

−

( ) ( )

( )

2,12 1 1 00,12

1 0 xxε

− − −= =

−

0 zz yz xz

ε ε ε = = = (não há deformação fora do plano xy)

( )1

2 xy xy yxε θ θ = +


18/19



18

1,07 1tan( ) 0,07

1 0F E

yx yx

B A

y y

x xθ θ

− −≈ = = =

− −

2,07 2tan( ) 0,09

1 0 H E

xy xy

D A

x x

y yθ θ

− −≈ = = =

− −

( )1

0,07 0,09 0,082 xy

ε = + =

0,08 0,08 0

0,08 0,12 0

0 0 0

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

= =

c)

1 1 2ij ij ij kk E ν

σ ε δ ε ν ν

= + + −

3

2

2,10 10 0,30,08 (0,08 0,12) 371,54

1 0,3 1 2 0,3 xx N

mmσ

⋅ = + + = + − ⋅

3

2

2,10 10 0,30,12 (0,08 0,12) 436,15

1 0,3 1 2 0,3 yy N

mmσ

⋅ = + + = + − ⋅

3

2

2,10 10 0,30 (0,08 0,12) 242,31

1 0,3 1 2 0,3 zz N

mmσ

⋅ = + + = + − ⋅

3

2

2,1 102 0,08 129,23

1 1,3 xy xy xy E N

Gmm

σ ε ε ν

⋅= = = =

+

2 2 0 0 xz xz

G Gσ ε = = ⋅ =

2 2 0 0 yz yz

G Gσ ε = = ⋅ =

2

371,54 129, 23 0

129,23 436,15 0

0 0 242,31ij

N

mmσ

=

e)Cauchy:

i ij jt nσ = ⋅

371,54 129,23 0 11

129,23 436,15 0 13

0 0 242,31 1it

=

r

2

289,11

329,42

139,89i

N t

mm

=

r


19/19



19

d)Componente na direçã o da normal:

( )nt t n n= • ⋅r r

2

289,11 1 1 1

1 1 437,87329,42 1 1 13 3 3

139,89 1 1 1

n N t mm

= • ⋅ =

r

2 2

252,81

252,81 437,87

252,81

n n N N t t

mm mm

= ⇒ =

r r

Componente na direçã o tangen cial:t n

t t t = −

2 2

289,11 252,81 36,3

329, 42 252,81 76,61 141,2

139,89 252,81 112,92

t t N N t t

mm mm

= − = ⇒ = −

r r

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Enunciado e Solução Eqconst Nov 2007