Enseigner les décimaux et les fractions au CM1-CM2 · 2019. 3. 8. · Enseigner les décimaux et les fractions au CM1-CM2 Mars 2018 Sophie Joubert CPC Marseille 5 [email protected]

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Enseigner les décimaux et les fractions au CM1-CM2

Mars 2018

Sophie Joubert CPC Marseille 5 [email protected]

ORGANISATION DE LA FORMATION HYBRIDE

•  Un temps en présentiel : 3h

•  Un temps de mise en oeuvre dans les classes : 5 ou 6h

•  Un temps d’accompagnement individuel (facultatif) : 1h

L’ÉVALUATION INTERNATIONALE TIMSS 4°

LE « PLAN MATHS » Novembre – décembre 2017

igen Inspection générale de l’Éducation nationale

3

« L’inquiétant niveau des élèves français en maths et sciences »

« Mathématiques : les petits Français sont les plus mauvais d’Europe

Les élèves de CM1 sont f â c h é s a v e c l e s mathématiques. Ils sont les plus mauvais de l’Union Européenne. »

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« M a t h é m a t i q u e s e t sciences : les écoliers français en chute libre »

« BONNET D'ÂNE En maths et sciences, les écoliers français tout en bas du classement »

« TIMSS 2015 : en maths, des résultats tragiques pour la France »

Les compétences des élèves français dans le domaine des nombres

ce qu’en dit l’évaluation TIMSS


L’ÉVALUATION INTERNATIONALE TIMSS 4°

LE « PLAN MATHS » Novembre – décembre 2017


§  Compétences en calcul et en résolution de problèmes, quatre ans après le début de la scolarité obligatoire

§  Participation de la France en 2015

TIMSS = Trends in mathematics and science survey

Inspection générale de l’Éducation nationale

470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580

Ensemble des domaines Nombres

Scores moyens par domaine des élèves des 22 pays ou régions de l'Union Européenne ayant participé à TIMSS 4 en 2015

OBJECTIFS DE FORMATION

§ Développer le sens critique sur des progressions ou programmations « clé en main »

§ Développer la maitrise didactique de la construction des savoirs relatifs aux nombres décimaux avec

§  Développer l’apprentissage par le jeu.

Consigne : comparer diverses programmations à partir d’indicateurs que vous choisirez : définir des indicateurs et comparer les programmations 5’

Matériel : chaque groupe a 3 programmations de manuels ou de sites

Modalité : travail par groupe 4 ou 5 •  Phase 1 : travail de groupe (15-20 minutes) •  Phase 2 : mise en commun

ÉLÉMENTS D’OBSERVATION

– avec une répartition non homogène des séances précédant ou suivant l’introduction de l’écriture à virgule.

– avec un nombre variable de séances entre l’introduction des deux codages (écriture fractionnaire ou écriture a virgule) - avec un nombre variable de "séances-manuels"


ÉLÉMENTS DE PRECONISATION

Ø  une introduction très tôt des fractions et des nombres décimaux

Ø  Une introduction de l’écriture à virgule en période 2 avec un maniement en parallèle, tout au long du CM1 des écritures de fractions décimales et des écritures à virgule.

Ø  une introduction progressive tout au long du cycle des différentes techniques opératoires en s’appuyant sur le sens (ce que représente chaque chiffre dans le nombre).

Ø  Une introduction des décimaux par les fractions décimales, mais aussi une entrée rapide dans l'écriture à virgule des nombres décimaux.

Ø  Il serait préconisé de ne pas avoir une période complète de travail

sur les fractions décimales avant d'aborder l'écriture à virgule, une ou deux semaines de décalage entre l'introduction des fractions décimales et l'introduction de l'écriture à virgule semblerait raisonnable.

Ø  Les fractions décimales ne doivent pas être juste une entrée, mais être présentées tout au long des trois années du cycle en invitant les élèves à passer régulièrement d'une écriture à l'autre en fonction des besoins.

[Eléments d’observation issus de la conférence de consensus et du document d’accompagnement d’EDUSCOL]

Ø  Le langage oral est essentiel dans la désignation et le passage à la symbolisation des nombres (entiers, décimaux,...) ;

Ø  Un formalisme prématuré nuit à la compréhension des nombres.

Ø  Le recours à la manipulation et à l’expérimentation ne concerne pas seulement l’école maternelle, mais doit s’étendre à l’école élémentaire.

Ø  Les mathématiques doivent être présentées aux élèves comme des

outils pour penser, résoudre des problèmes et faire face à des situations de la vie quotidienne.

Ø  L’acquisition du système de numération décimale de position est fondamentale pour les apprentissages numériques.

Ø  L’étude des fractions précède celle des nombres décimaux, mais doit se limiter aux fractions simples (demi, tiers, quart...) et aux fractions décimales (dixièmes, centièmes...) dans le cas du fractionnement de l’unite.

Ø  Le système d’écriture des nombres décimaux est un prolongement de celui des nombres entiers.

LES NOMBRES DÉCIMAUX

LES NOMBRES DÉCIMAUX COMMENT AMÉLIORER LES APPRENTISSAGES ?


LES NOMBRES DÉCIMAUX Novembre – décembre 2017

Avant de commencer…


QU’EST-CE QU’UN NOMBRE DÉCIMAL ?

2. Comprendre l’écriture à virgule igen


Ø Un nombre qui s’écrit avec une virgule. §  Non. §  2 ; 5/2 et 7/10 sont des nombres décimaux et pourtant ils s’écrivent sans

virgule.

ü  Un nombre qui peut s’écrire sous forme d’une

fraction décimale (un nombre entier au numérateur et une puissance de 10 au dénominateur). §  7,18 est un nombre décimal car il peut s’écrire 718/100 §  57/25 est un nombre décimal car il peut s’écrire 228/100 §  1/3 n’est pas un nombre décimal

Ø Un nombre qui s’écrit avec une virgule.

QUESTION 1: QU’EST-CE QU’UN NOMBRE DÉCIMAL ?



Ø  Un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. §  57/25  est un nombre décimal car il peut s’écrire 2,28 §  1/3  n’est pas un nombre décimal, son écriture à

virgule (elle est unique) 0,3333… ne s’arrête jamais

Le « peut » est important car l’écriture décimale n’est pas unique :

2,53000… a un nombre infini de chiffres après la virgule mais il peut aussi s’écrire 2,53 ou 2,530 et c’est donc bien un nombre décimal.

QUESTION 2

Avant de commencer… LES NOMBRES DÉCIMAUX

Des trois affirmations ci-dessous, laquelle ou lesquelles vous semblent correctes ? Ⓐ Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire

sous forme d’une fraction décimale. Ⓑ Un nombre décimal est un nombre avec une virgule. Ⓒ Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire

avec un nombre fini de chiffres après la virgule.




Parmi les trois affirmations ci-dessous, laquelle ou lesquelles vous semblent acceptables ? Ⓐ Un nombre décimal est un nombre qui peut

s’écrire sous forme d’une fraction décimale. Ⓑ Un nombre décimal est un nombre avec une

virgule. Ⓒ Un nombre décimal est un nombre qui peut

s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Parmi les trois affirmations ci-dessous, laquelle ou lesquelles vous semblent acceptables ? Ⓐ Un nombre décimal est un nombre qui peut

s’écrire sous forme d’une fraction décimale. Ⓑ Un nombre décimal est un nombre avec une

virgule. Ⓒ Un nombre décimal est un nombre qui peut

s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

QUESTION N°3


Ⓑ L’utilisation des couleurs bleue et verte pour repérer la partie entière et la partie décimale est intéressante à condition de l’utiliser tout au long du cycle afin de permettre aux élèves de garder les mêmes repères.

Ⓒ Ce qui est écrit ici, sans être complètement faux, est susceptible de

renforcer une conception erronée de l'écriture décimale.

Pour comparer deux nombres s’ils ont la même partie entière , on compare la partie décimale

6,32 < 6,34 car 32 < 34

Le document ci-contre est affiché en classe. Des trois commentaires ci-dessous, lequel vous semble acceptable ? (1 seule réponse) Ⓐ L’utilisation des couleurs est

intéressante, car elle aide les élèves à bien repérer les différents éléments du nombre décimal.


2. Comprendre l’écriture à virgule


Ⓒ Ce qui est écrit ici, sans être complètement faux, est susceptible de renforcer une conception erronée de l'écriture décimale.


6,32 < 6,34 car 32 < 34

Le document ci-contre est affiché en classe. Que peut-on en dire ? (1 seule réponse) Ⓐ L’utilisation des couleurs

est intéressante, car elle aide les élèves à bien repérer les différents éléments du nombre décimal.


Le document ci-contre est affiché en classe. Que peut-on en dire ? (1 seule réponse) Ⓐ L’utilisation des couleurs

est intéressante, car elle aide les élèves à bien repérer les différents éléments du nombre décimal.


Ⓒ Ce qui est écrit ici, sans être complètement faux, est susceptible de renforcer une conception erronée de l'écriture décimale.

QUESTION N°3


Ⓐ L’utilisation des couleurs est intéressante, car elle aide les élèves à bien repérer les différents éléments du nombre décimal.


Ⓒ Ce qui est écrit est mathématiquement faux et renforce une conception erronée de l’écriture à virgule des nombres décimaux.

Le document ci-dessous est affiché en classe. Que peut-on en dire ? (1 seule réponse)

Un nombre décimal est composé d’une partie entière et d’une partie décimale séparées par une virgule

37,618

P a r t i e entière

P a r t i e décimale





Ⓒ Ce qui est écrit est mathématiquement faux et il renforce une conception erronée de l’écriture à virgule des nombres décimaux.

Le document ci-dessous est affiché en classe. Que peut-on en dire ? (1 seule réponse)

Un nombre décimal est composé d’une partie entière et d’une partie décimale séparées par une virgule

37,618

P a r t i e entière

P a r t i e décimale




Ⓒ Ce qui est écrit est mathématiquement faux et il renforce une conception erronée de l’écriture à virgule des nombres décimaux.

DES OBSTACLES QUI DOIVENT ÊTRE SURMONTÉS



Un saut conceptuel important : Ø La notion de successeur est fondamentale dans la

construction des nombres entiers mais Ø « Le nombre suivant » (ou le nombre précédent)

n’a pas de sens sur les décimaux. 6,13 n’est pas le nombre qui suit 6,12.

Ø Entre deux nombres décimaux différents on peut

toujours trouver un autre nombre décimal. Entre 6,12 et 6,13, il y a 6,124.

DES OBSTACLES QUI DOIVENT ÊTRE SURMONTÉS



Ø  La difficulté peut également venir du vocabulaire dixième et centième, que les élèves confondent avec dizaine et centaine. Exemple d’erreur qui en résulte : 7/10 < 7/100  , « car les dixièmes c’est plus petit que les centièmes ».

… D’AUTRES QUI VIENNENT DE CONCEPTIONS ERRONÉES…



Mais d’autres obstacles sont liés à ce qui est dit, ou aux règles que les élèves se créent au cycle 2. Par exemple : ü  « 764 < 1 000 et 6 565 > 1 000

donc 764 < 6 565. »

Pour comparer deux nombres s’ils n’ont pas le même nombre de chiffres Le plus grand est celui qui a le plus de chiffres.

764 < 6 565 3 chiffres 4 chiffres

Cette règle appliquée aux nombres décimaux donne :

23,2 < 17,183

…D’AUTRES QUI VIENNENT DE CONCEPTIONS ERRONÉES…



Autre conception erronée fréquente : la virgule sépare la partie entière de la partie décimale à  « deux entiers séparés par une virgule » §  1,7 + 2,12 = 3,19 au lieu de 3,82 §  1/4 = 1,4 au lieu de 0,25 §  3 × 2,7 = 6,21 au lieu de 8,1 §  6,32 < 6,173 car 32 < 173 au lieu de 6,32 >

6,173 car trois dixièmes est supérieur à un dixième.

Ø  « Ce qu’il y a après la virgule »

Ø  « Ce qu’il y a après la virgule » §  Non.

ü  « C’est ce qui reste quand on a retiré la partie entière » 37,618 – 37 = 0,618

QU’EST-CE QUE LA PARTIE DÉCIMALE ?



37,618

0,618

La partie entière de 37,618

La partie décimale de 37,618

36 37 38 39 40

UN AFFICHAGE PERTINENT



Un nombre décimal peut s’écrire comme la somme de sa partie entière et de sa partie décimale

37,618 = 37 + 0,618 = 37 + 𝟔𝟏𝟖/𝟏𝟎𝟎𝟎 

Partie entière Partie décimale

POUR AIDER À MIEUX COMPRENDRE L’ÉCRITURE À VIRGULE



ü  Éviter de faire apparaître la virgule comme un séparateur ; la virgule a été « créée » pour repérer le chiffre des unités dans l’écriture décimale (l’écriture à virgule), pour marquer la fin de la partie entière.



Ne pas faire apparaître la virgule comme un axe de symétrie Risque : 32 unités et 7 centièmes = 32,007 ü  La symétrie se fait autour des unités :

unité dizaine dixième

centaine centième millier millième

dix-millier dix-millième

DM M C D U d c m dm

3 2 , 0 7





Être vigilant lors des comparaisons de nombres décimaux

Que feront les élèves pour comparer 6,32 et 6,317 ?


6,32 < 6,34 car 32 < 34


2. Comprendre l’écriture à virgule LES NOMBRES DÉCIMAUX Novembre – décembre 2017


Pour comparer 6,32 et 6,317

ü  Méthode 1 Pour les dixièmes : 3 = 3 Pour les centièmes : 2 > 1 Donc 6,32 > 6,317 6,32 = 6 + + et 6,317 = 6 + + +

ü  Méthode 2

6,32 = 6,320 et > donc 6,32 > 6,317


DIFFÉRENTES ÉCRITURES DES DÉCIMAUX

2. Comprendre l’écriture à virgule LES NOMBRES DÉCIMAUX Novembre – décembre 2017


ü  Travailler tout au long du cycle avec les différentes écritures possibles pour les nombres décimaux.

6 + 𝟕/𝟏𝟎  + 𝟖/𝟏𝟎𝟎  m

Quel est le périmètre du

triangle ?


L’INTRODUCTION DE L’ÉCRITURE À VIRGULE



Les manuels scolaires de mathématiques à l’école primaire De l’analyse descriptive de l’offre éditoriale a son utilisation en classe élémentaire

Éric MOUNIER & Maryvonne PRIOLET Université Paris Est-Créteil & Université Reims-Champagne Ardenne

Novembre 2015

Exemple

L’INTRODUCTION DE L’ÉCRITURE À VIRGULE



ü  Introduire successivement les fractions, les fractions décimales et l’écriture à virgule des nombres décimaux.

ü  Introduire au plus tard en période 3 de CM1 l’écriture à virgule des décimaux.

ü  L’écriture à virgule ne remplace pas l’écriture sous forme de fractions décimales, les deux écritures continuent d’être utilisées tout au long du cycle 3.

ü  Une fois les décimaux introduits, aucune période sans nombres décimaux (dans le cadre du calcul mental, de la résolution de problèmes, du calcul, des mesures de grandeurs, etc.).

CALCULER AVEC DES NOMBRES DÉCIMAUX

3. Calculer avec des nombres décimaux igen


Faire calculer les élèves permet de : -  repérer les éventuelles conceptions

erronées des élèves (à condition de poser les bonnes questions, et pour pouvoir poser les bonnes questions, il faut connaître ces conceptions erronées…) ;

-  renforcer la compréhension de la notion de nombre décimal et de l’écriture à virgule.




Revenons aux obstacles liés au passage du travail sur les entiers au cycle 2 au travail sur les décimaux au cycle 3. Pour le calcul aussi, elles peuvent être dues à ce qui est dit, ou aux règles que les élèves se créent au cycle 2. Par exemple :

§  « Pour additionner deux nombres, il faut les aligner à droite. »

ü  « Pour additionner deux nombres il faut aligner les chiffres des unités. »

4, 1 2 + 3 2, 6 7 3, 8

4,12 + 32,6 = 73,8




Effectuer des calculs permet de renforcer la compréhension de l’écriture à virgule en lui donnant du sens grâce à un oral maîtrisé. Par exemple : ü  « Pour poser une addition je dois aligner

verticalement les chiffres des unités (ou bien, qui correspondent à la même unité de numération). »

ü  « 7 dixièmes plus 6 dixièmes font 13 dixièmes, soit 3 dixièmes et 1 unité que je mets en retenue. »

1 1 1 8, 7 + 5, 6 7 2 4, 3 7


3. Calculer avec des nombres décimaux LES NOMBRES DÉCIMAUX Novembre – décembre 2017


Autre exemple d’erreur fréquente :

§  « Pour multiplier par 10, il faut ajouter un zéro

456 × 10 = 4560. »

ü  « Quand on multiplie un nombre par 10, il devient 10 fois plus grand, chacun de ses chiffres prend une valeur 10 fois plus grande, le chiffre des unités devient donc le chiffre des dizaines

456 × 10 = 4560. »

17,42 × 10 = 17,420 ou 17,42 × 10 = 170,42

3. Calculer avec des nombres décimaux

3. Développer l’apprentissage par le jeu.

En quoi l’apprentissage par le jeu permet-il d’améliorer les compétences des élèves dans les fractions décimales et les nombres décimaux ?

LES QUATRE PILIERS DE L’APPRENTISSAGE

- LA MOTIVATION

- LA CONCENTRATION

- LE RETOUR D’INFORMATION IMMEDIAT

- LA CONSOLIDATION

« En réinvestissant le travail mené sur les fractions simples, et en s’appuyant sur la manipulation (…), on travaille des relations telles que « 10 dixièmes = 1 unité », « 1 dixième est 10 fois plus petit qu’une unité »

Document d’accompagenment EDUSCOL : « Fractions et nombres décimaux »

ÉGALITÉS ERRONÉES DANS LES PRODUCTIONS D’ÉLÈVES

« dans la liste ci-dessous, entoure les écritures qui représentent 14/10 ? »

13/10=13,10

140 1,40

1+4/10

1,04 1,4

0,14

« La maîtrise insuffisante du concept des fractions, qui engendre des difficultés à concevoir la signification de la partie entière et des parties fractionnaires d’une fraction : dans ce cas le trait fractionnaire est vu « comme un « séparateur » entre deux entiers, au même titre que la virgule ce qui est illustré par des erreurs du type ¼= 1,4 »

MEN, 2016b, p.2

« l’écriture à virgule, dans le système décimale n’est pas comprise et pas mise en lien avec les fractions décimales »

ERMEL

ÉGALITÉS ERRONÉES DANS LES PRODUCTIONS D’ÉLÈVES

« dans la liste ci-dessous, entoure les écritures qui représentent 14/10 ? »

13/10=13,10

140 1,40

1+4/10

1,04 1,4

0,14

DES DOCUMENTS RESSOURCES À CONNAÎTRE



FIN



Merci de votre attention

Documents

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