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Teoría de grafos

Los grafos son el objeto de estudio de esta rama de las matemáticas. Arriba elgrafo pez, en medio el grafo arco y

abajo el grafo dodecaedro.

La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de

las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también

llamadas gráficas) estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el

conjunto de aristas, líneas o lados (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.

La teoría de grafos es una rama de la matemáticas discretas y aplicadas, y es una disciplina que unifica

diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad,geometría de polígonos, aritmética y topología.

Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la informática, las ciencias de la

computación y telecomunicaciones.

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Fish_graph.svg&page=1

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Dart_graph.svg&page=1

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Dodecahedral_graph.neato.svg&page=1

Elementos y características de los grafos.

Grafos simples

Un grafo es simple si a lo sumo sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que

una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.

Un grafo que no es simple se denomina Multigráfica o Gráfo múltiple.

Grafos conexos

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de

vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.

Un grafo es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos;

es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.

Grafos completos

Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de

vértices (a, b) debe tener una arista e que los une.

El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente , siendo el grafo completo de n vértices.

Un , es decir, grafo completo de n vértices tiene exactamente aristas.

Grafos bipartitos

Un grafo G es bipartito si puede expresarse como G = {V_1 cup V_2, A} (es decir, sus vértices son la unión

de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:

* V1 y V2 son disjuntos y no vacíos.

* Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.

* No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que

une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes.

Lazos o bucles

Un lazo o bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo

final coinciden.

Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo G = (V,E) donde:

* Vneqemptyset

* Esubseteq {xinmathcal P(V): |x|=2} es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V,.

Un par no ordenado es un conjunto de la forma {a,b}, de manera que {a,b} = {b,a}. Para los grafos, estos

conjuntos pertenecen al conjunto potencia de V de cardinalidad 2, el cual se denota por mathcal P(V).

Grafo dirigido

Un grafo dirigido o digrafo es un grafo G = (V,E) donde:

* Vneqemptyset

* E subseteq {(a,b) in V times V: a neq b }, es un conjunto de pares ordenados de elementos de V,.

Dada una arista (a,b), a es su nodo inicial y b su nodo final.

Por definición, los grafos dirigidos no contienen bucles.

Un grafo mixto es aquel que se define con la capacidad de poder contener aristas dirigidas y no dirigidas.

Tanto los grafos dirigidos como los no dirigidos son casos particulares de este.

Conectividad en grafos

A diferencia de los conceptos anteriores, que afectaban a vértices del grafo, la conectividad es una propiedad

del grafo en su conjunto. Un grafo orientado puede ser conexo o fuertemente conexo. Un grafo orientado sólo

puede ser conexo. Más concretamente, tenemos:

Diremos que un grafo es conexo si existe al menos un ciclo entre toda pareja de vértices. El concepto es

aplicable tanto a grafos orientados como para no orientados: obsérvese que se ha definido ciclo tanto para

grafos orientados como para no orientados.

Diremos que un grafo orientado es fuertemente conexo si existe al menos un camino entre toda pareja de

vértices. Todo grafo orientado fuertemente conexo será también conexo.

Componentes de un grafo

Un grafo (G) es un diagrama que consta de un conjunto de vértices (V) y un conjunto de lados (L).

A partir de esta figura se definen los siguientes elementos:

vértices(nodos) se indican por medio de un pequeño circulo y se les asigna un numero o letra. En el grafo

anterior los vértices son V={a,b,c,d}.

Lados(ramas o aristas)

Son las líneas que unen un vértice con otro y se les asigna una letra, un numero o una combinación de

ambos. En el grafo anterior los lados son: L={1,2,3,4,5,6}.

Lados paralelos

Son aquellas aristas que tienen relación con un mismo par de vértices. En el grafo anterior los lados paralelos

son: P={2,3}.

Lazo

Es aquella arista que sale de un vértice y regresa al mismo vértice. En el grafo anterior se tiene el lazo: A={6}

Valencia de un vértice

Es el numero de lados que salen o entran a un vértice. En el grafo anterior las valencias de los vértices son:

Valencia (a)=2

Valencia (b)=4

Valencia (c)=2

Valencia (d)=3

Hay que observar como en el caso del vértice d el lazo solo se considera una vez, entrada o salida pero no

ambos.

6.1.2 Tipos de grafos

Grafos simples

Son aquellos grafos que no tienen lazos ni lados paralelos.

Grafo completo de n verticales (kn )

Es el grafo en donde cada vértice está relacionado con todos los demás sin lazos ni lados paralelos. Se

indica como kn en donde n es el número de vértices del grafo.

La valencia en cada uno de los vértices de los grafos completos es (n - 1), y el numero de lados esta dado

por la expresión

Núm. De lados = n(n - 1)/2, en donde n es el numero de vértices del grafo.

Complemento de un grafo (G ‘)

Es el grafo que le falta al grafo G, de forma que entre ambos formas de grafo completo de n vértices. Este

grafo no tiene lazos ni ramas paralelas.

Grafo bipartido

Es el grafo que esta compuesta por dos conjuntos de vértices , A = {a1 ,a2, a3 ..., an } y B =

{b1 ,b2 ,..., bm } en donde los elementos del conjunto B, pero entre los vértices de un mismo conjunto no

existe arista que los una.

Una forma muy sencilla de saber si un grafo es bipartido es aplicar el hecho de que nunca tiene un ciclo de

longitud impar, además de que debe cumplir con la característica mencionada anteriormente.

Grafo bipartido completo (kn, m )

Es el grafo que esta compuesto por dos conjuntos de vértices, uno de ellos A ={a1 ,a2, a3 ..., an } Y otro B=

{b1 ,b2 ,..., bm ), y en el cada vértice de A esta unido con todo los vértices de B, pero entre los vértices de un

mismo conjunto no existe arista que los una. El grafo bipartido completo se indica como kn, m .

6.1.1 Componentes de un grafo (vértices,flechas y nodo)Un grafo (G) es un diagrama que consta de un conjunto de vértices (V) y un conjunto de lados (L).

A partir de esta figura se definen los siguientes elementos:

vértices(nodos) se indican por medio de un pequeño circulo y se les asigna un numero o letra. En el grafo

anterior los vértices son V={a,b,c,d}.

Lados(ramas o aristas)

son las líneas que unen un vértice con otro y se les asigna una letra, un numero o una combinación de

ambos. En el grafo anterior los lados son: L={1,2,3,4,5,6}.

Lados paralelos

Son aquellas aristas que tienen relación con un mismo par de vértices. En el grafo anterior los lados paralelos

son: P={2,3}.

Lazo

Es aquella arista que sale de un vértice y regresa al mismo vértice. En el grafo anterior se tiene el lazo: A={6}

Valencia de un vértice

es el numero de lados que salen o entran a un vértice. En el grafo anterior las valencias de los vértices son:

Valencia (a)=2

Valencia (b)=4

Valencia (c)=2

Valencia (d)=3

Hay que observar como en el caso del vértice d el lazo solo se considera una vez, entrada o salida pero no

ambos.

6.1.2 Tipos de grafos (Simples, completos, bipartidos)

Grafos simples

Son aquellos grafos que no tienen lazos ni lados paralelos.

Grafo completo de n verticales (kn )

Es el grafo en donde cada vértice está relacionado con todos los demás sin lazos ni lados paralelos. Se

indica como kn en donde n es el número de vértices del grafo.

La valencia en cada uno de los vértices de los grafos completos es (n - 1), y el numero de lados esta dado

por la expresión

Núm. De lados = n(n - 1)2 en donde n es el numero de vértices del grafo.

Complemento de un grafo (G ‘)

Es el grafo que le falta al grafo G, de forma que entre ambos formas de grafo completo de n vértices. Este

grafo no tiene lazos ni ramas paralelas.

Grafo bipartido

Es el grafo que esta compuesta por dos conjuntos de vértices , A = {a1 ,a2, a3 ..., an} y B = {b1 ,b2 ,..., bm }

en donde los elementos del conjunto B, pero entre los vértices de un mismo conjunto no existe arista que los

una.

Una forma muy sencilla de saber si un grafo es bipartido es aplicar el hecho de que nunca tiene un ciclo de

longitud impar, además de que debe cumplir con la característica mencionada anteriormente.

Grafo bipartido completo (kn, m )

Es el grafo que esta compuesto por dos conjuntos de vértices, uno de ellos A ={a1 ,a2, a3 ..., an } Y otro B=

{b1 ,b2 ,..., bm ), y en el cada vértice de A esta unido con todo los vértices de B, pero entre los vértices de un

mismo conjunto no existe arista que los una. El grafo bipartido completo se indica como kn, m .

Representación matemática del circuito - Nociones de teoría de grafos

Para la representación matemática del esquema eléctrico del circuito, y comprender la forma en

que se expresan las ecuaciones de Kirchoff matricialmente, vamos a ver unas pocas definiciones

de teoría de grafos:

1) Grafo de un circuito: Llamamos grafo de un circuito al esquema obtenido reemplazando

cada una de las ramas del circuito por una línea y manteniendo la estructura de las conexiones.

2) Rama de un grafo: Para el análisis que vamos a realizar, consideraremos una rama (línea)

por cada componente del circuito, aunque se encuentren en serie.

3) Nudo de un grafo: Llamamos nudo de un grafo a la intersección de dos o más ramas del

grafo.

4) Incidencia: Una rama es incidente en un nudo si ese nudo es una extremidad de la rama

considerada.

5) Grado de un nudo: El grado de un nudo será el número de ramas incidentes en ese nudo.

6) Camino en un grafo: Un camino entre dos nudos i y j está constituido por una sucesión de

ramas del grafo, a través de las cuales se unen los dos nudos.

7) Malla de un grafo: Es un camino del grafo que une un nudo consigo mismo.

8) Arbol de un grafo: Es un conjunto de ramas del grafo que contiene a todos los nudos y no

forma ninguna malla. Veamos un ejemplo:

Grafo de un circuito y dos posibles árboles

9) Eslabones y ramas de árbol: Las ramas del grafo que pertenecen al árbol se llaman ramas

de árbol, y las restantes son eslabones, de forma que si se añade un eslabón al árbol se forma

una malla.

10) Grafo orientado: Un grafo es orientado cuando a cada una de sus ramas se le atribuye un

sentido, elegido de forma arbitraria. Este sentido representará la corriente de cada rama.

Grafos Conexos.

Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vértice V pertenece al conjunto de vértices y es alcanzable por algún otro. Otra definición que dejaría esto más claro sería: "un grafo conexo es un grafo no dirigido de modo que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une".

Árboles.

Un árbol se define como un tipo de grafo que no contiene ciclos, es decir es un grafo también acíclico, pero a su vez es conexo. Tal es el caso de los siguientes dos grafos en donde se puede notar que ninguno de los dos contiene repeticiones (ciclos).

Bosques de árboles.

Los bosques de árboles son un caso similar a los árboles, son acíclicos, pero no son conexos. Como ejemplo tenemos la siguiente figura.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Recorrido de un grafo.

Recorrer un grafo significa tratar de alcanzar todos los nodos que estén relacionados con uno que llamaremos nodo de salida. Existen básicamente dos técnicas para recorrer un grafo: el recorrido en anchura; y el recorrido en profundidad.

Recorrido en anchura: El recorrido en anchura supone recorrer el grafo, a partir de un nodo dado, en niveles, es decir, primero los que están a una distancia de un arco del nodo de salida, después los que están a dos arcos de distancia, y así sucesivamente hasta alcanzar todos los nodos a los que se pudiese llegar desde el nodo salida.

Recorrido en profundidad: el recorrido en profundidad trata de buscar los caminos que parten desde el nodo de salida hasta que ya no es posible avanzar más. Cuando ya no puede avanzarse más sobre el camino elegido, se vuelve atrás en busca de caminos alternativos, que no se estudiaron previamente.

Representación de grafos en programas.

Hay tres maneras de representar un grafo en un programa: mediante matrices, mediante listas y mediante matrices dispersas.

Representación mediante matrices: La forma más fácil de guardar la información de los nodos es mediante la utilización de un vector que indexe los nodos, de manera que los arcos entre los nodos se pueden ver como relaciones entre los índices. Esta relación entre índices se puede guardar en una matriz, que llamaremos de adyacencia.

Representación mediante listas: En las listas de adyacencia lo que haremos será guardar por cada nodo, además de la información que pueda contener el propio nodo, una lista dinámica con los nodos a los que se puede acceder desde él. La información de los nodos se puede guardar en un vector, al igual que antes, o en otra lista dinámica.

Representación mediante matrices dispersas: Para evitar uno de los problemas que teníamos con las listas de adyacencia, que era la dificultad de obtener las relaciones inversas, podemos utilizar las matrices dispersas, que contienen tanta información como las matrices de adyacencia, pero, en principio, no ocupan tanta memoria como las matrices, ya que al igual que en

las listas de adyacencia, sólo representaremos aquellos enlaces que existen en el grafo.

Dígrafo (grafo dirigido).

A un grafo dirigido se le puede definir como un grafo que contiene aristas dirigidas, como en el siguiente caso.

Aplicaciones de los dígrafos

Una de las aplicaciones mas importantes es de hallar el camino mas corto hacia un destino, ya sea de una ciudad a otra, de unos departamentos a otros, para el recorrido de árboles, sirve para la representación de algoritmos, etc. Un ejemplo de esto es la tarea de freír un huevo.

Grado de un grafo.

Grado de incidencia positivo: El grado de incidencia positivo de un nodonjes

el número de arcos que tienen como nodo inicial anj. Ejemplo: El grado de incidencia de 1 es igual a 3.

Grado de incidencia negativo: El grado de incidencia negativo de un nodonjes el número de arcos que terminan ennj. Ejemplo: El grado de incidencia negativo de 1 es igual a 1.

Grado de un nodo: Paradigrafoses el grado de incidencia positivo menos el grado de incidencia negativo del nodo. Ejemplo: El grado de 1 es igual a 3 –1 = 2, el grado del nodo 4 es 2 –2 = 0. Para grafos no dirigidos es el número de líneas asociadas al nodo.

Ciclo de un grafo.

Ciclo: Es una cadena finita donde el nodo inicial de la cadena coincide con el nodo terminal de la misma.

Ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.

Estructuras no lineales: Grafos

Las estructuras de datos no lineales se caracterizan por no existir una relación de adyacencia, entre sus elementos, es decir, un elemento puede estar relacionado con cero, uno o más elementos.

La estructura no lineal de datos más general es el grafo donde sus nodos pueden relacionarse de cualquier manera sin una relación de orden predefinida.

Estructuras no lineales: Grafos Entre las múltiples aplicaciones que tienen estas estructuras podemos mencionar:•Para modelar diversas situaciones tales como: sistemas de aeropuertos, flujo de tráfico, y responder a preguntas como: ¿Qué tiempo es más corto?, ¿Cómo es más barato?, o ¿Qué camino es más corto?. •Los grafos también son utilizados para realizar planificación de actividades, tareas del computador, planificar operacionesen lenguaje de máquinas para minimizar tiempo de ejecución.¿Qué tarea debo hacer primero?. •Para representar circuitos eléctricos, de aguas etc... , y preguntar, están todas las componentes conectadas.

Grafos Los grafos pueden ser utilizados como la estructura básica para múltiples aplicaciones en el área de la Computación. Un grafo G (N, A, f) es un conjunto no vacío, donde:•N={n1, n2, ... ,nM) es el conjunto de nodos o vértices•A={a1, a2, ..., a K} es el conjunto de aristas y•La función f : R →ΜΧΜindica los pares de nodos que estαn relacionados.•Grafos Dirigidos (Dígrafos) En estos grafos, las aristas que comunican dos nodos tienen un único sentido, una arista puede ir de x a y, pero no de y a x. Se expresa gráficamente con flechas que indican el sentido de la relación entre cada par de nodos.

Grafos•Grafos no dirigidos En estos grafos, las aristas que comunican dos nodos tienen dos sentidos. Si una arista va de x a y, la misma arista va de y a x. Se expresa gráficamente por líneas. La representación gráfica de un grafo se define con un círculo o rectángulo para los nodos y las relaciones con líneas o flechas según sea un grafo no dirigido o un dígrafo, respectivamente.

ANEXO

Representación de grafos

Las representaciones de grafos más habituales están basadas en matrices de adyacencia y listas de adyacencia. En este ejercicio se pretende representar distintos grafos utilizando tanto matrices como listas de adyacencia.

Apartado a)

El plan de estudios de determinada titulación se compone de 6 asignaturas, que por simplicidad, denominaremos y . A la hora de matricularse de las distintas asignaturas se ha de tener en cuenta una serie de dependencias entre ellas (prerrequisitos). De esta forma, un alumno no se puede matricular en una asignatura hasta haber aprobado aquellas otras que sean prerrequisito de dicha asignatura. Representaremos a continuación los prerrequisitos del plan de estudios como un grafo dirigido de dependencias.

Por ejemplo, un arco del nodo al nodo indica que no es posible matricularse de sin haber aprobado previamente . A continuación se muestran las operaciones del TAD grafos necesarios para construir el grafo de dependencias.


Teniendo en cuenta que una operación de la forma


añade al grafo


un arco con origen en


y destino en


, se pide: Representar gráficamente y mediante matrices de adyacencia cada uno de los grafos


Solución propuesta:

A continuación se muestra la representación gráfica de los grafos.


La representación basada en matrices de adyacencia utiliza dos componentes. El primero es un conjunto que contiene los nodos del grafo. El segundo es una matriz booleana que representa los arcos. Existe un arco entre un nodo y otro si la posición de fila y columna tiene el valor (representado por una ). Las casillas vacías tienen valor


Apartado b)

Una compañía telefónica desea realizar un estudio sobre las llamadas que realizan sus abonados. Para ello, se desea construir un grafo cuyos nodos son los abonados (identificados por su número de teléfono). La existencia de un arco con origen en el nodo y destino en el nodo indica que el abonado ha llamado alguna vez al abonado . En este grafo se realizan también borrados cuando alguno de los abonados se da de baja de la compañía telefónica. A continuación se muestra una serie de operaciones para la obtención del grafo de llamadas entre usuarios:

Se pide: Representar gráficamente y mediante listas de adyacencia cada uno de los grafos , y .



Apartado c)

Teniendo en cuenta que el conjunto de asignaturas del plan de estudios no varía (aunque si lo pueden hacer los prerrequisitos), es posible representar el grafo del apartado a) ¿utilizando listas de adyacencia? ¿Por qué?


Sí. De hecho, la representación basada en listas de adyacencia es más general que la basada en matrices de adyacencia. Por tanto, como es posible representarlo utilizando matrices de adyacencia, también es posible representarlo utilizando listas de adyacencia.

Teniendo en cuenta que el conjunto de abonados varía continuamente y es infactible dar una cota máxima del número de abonados, sería posible representar el grafo del apartado b) utilizando matrices de adyacencia? Por qué?


No, ya que no podemos fijar de antemano las dimensiones de la matriz de adyacencia ni tampoco el nombre de los nodos a que corresponde cada fila y columna de dicha matriz.

Definición:

Una Red de Transporte es una grafica dirigida, simple, con pesos y que debe cumplir las siguientes:

Poseer una fuente o vértice fijo que no tiene aristas de entrada.

Poseer un sumidero o vértice fijo que no tiene arista de salida

El peso Cij de la arista dirigida de i a j llamado capacidad de “ij” es un numero no negativo.

Este es un ejemplo de una red que parte de un punto a que es un

Muelle y llega a un punto z que es una refinería.

Definición:

Sea “G” una red y sea “Cij” la capacidad de la arista dirigida (ij) se dice que un flujo F en G asigna a cada arista dirigida (ij) un numero no negativo Fij tal que debe cumplir:

Fij " Cij

Para todos los vértices que no sea fuente ni sumidero se cumple: ec 8.1.1 (esta es la ecuación de conservación de flujo)

Teorema 1:

Dado un flujo F en una red el flujo de salida de la fuente es igual al flujo de entrada del sumidero.

FLUJO MÁXIMO:

En una red G, el flujo máximo es un flujo máximo. Generalmente existen varios flujos con el mismo valor máximo. Para encontrar el flujo máximo consideraremos un flujo inicial en cada arista igual a cero, después se determina un camino específico de la fuente al sumidero y se incrementa el flujo.

Si una arista esta dirigida hacia la fuente decimos que esta arista esta dirigida en forma impropia, en caso contrario esta dirigida en forma propia.

Si se determina un camino P de la fuente al sumidero en donde cada arista de P esta orientada en forma propia y el flujo en cada arista es menor que la capacidad de la arista, es posible aumentar el valor de flujo.

Es posible incrementar el flujo en ciertos caminos de la fuente al sumidero que tenga aristas orientadas en forma impropia y propia. Sea P un camino de “a” a “z” y sea “x” un vértice en P que no sea “a” ni ”z”

Ambas aristas están orientadas en forma propia, en este caso, si incrementamos el flujo en ", el flujo en la entrada en x seguirá siendo igual al flujo de salida de x.

Si incrementamos el flujo en e2 en ", debemos disminuir el flujo en e1 en " de modo que el flujo de entrada en x siga siendo igual al flujo de salida en x.

Es análogo en el caso b

Disminuimos el flujo en ambas aristas en ". En cada caso las asignaciones resultantes de las aristas dan como resultado un flujo.

Para realizar estas alteraciones debemos tener un flujo menor que la capacidad en una arista orientada en forma propia y un flujo distinto de cero en una arista orientada en forma impropia.

Teorema 2:

Sea P un camino de “a” a ”z” en una red G tal que:

Para cada arista (i,j) de P, orientada en forma propia.

Fij <Cij

Para cada arista (i,j) de P, orientada en forma impropia

0 <Fij

Se define

F'ij =

Si no existieran caminos que concuerden con el teorema 2, el flujo es máximo, entonces se considera el algoritmo:

Iniciar con un flujo

Buscar un camino que satisfaga con las condiciones del teorema 2

Si no existe el camino el flujo es máximo.

Se incrementa el flujo en ", y se regresa a línea 2.

A dicho algoritmo se le llama Algoritmo etiquetado.

Problema 1:

Para este ejemplo hemos usado una parte de la flota de la empresa multinacional ESSO.

La planta de ESSO-Texaco para el aeropuerto internacional de El Salvador posee dos tanques que son capaces de contener 180,000 galones de combustible para avion jet. Ambas distribuidoras depositan combustible en los mismos tanques, la ESSO esta encargada de depositar en los tanques de las 23:30 a las 6:00 y de las 6:00 en adelante se recibe producto de Texaco. Los camiones de la ESSO salen de la base hacia la refinería a cargar combustible o si ya están cargados, se dirigen directamente hacia la planta del aeropuerto a descargarlo. La siguiente red representa las posibles rutas que pueden tomar los camiones y sus respectivos tiempos:

Por medio del diagrama nos podemos dar cuenta que un camión que no esta cargado de combustible no puede partir mas tarde de las 23:30 y cargar combustible ya que llegaría después de las 5:00 y un camión tarda una hora en descargar todo su combustible, lo cual provocaría que chocaran los horarios de los camiones ESSO con

los horarios de los camiones de Texaco. Un camión ya cargado puede salir lo mas tarde a las 3:30 de la mañana para llegar exactamente a las 5:00. Estas restricciones de tiempo se deben a que todos los camiones de ESSO tienen un limite de velocidad por seguridad que es de 70 kmh y los tiempos ya están medidos.

Problema 2:

El problema dos que escogimos esta enfocado siempre a los camiones de la empresa ESSO, pero en este caso enfocado a la longitud de los trayectos. Para tener una idea más amplia de lo que se habla, colocamos el siguiente mapa:

El tiempo que se recorre en cada uno de los trayectos y los trayectos mismos se representan en la siguiente red:

Es evidente que el camino 2 es el mas adecuado por el tiempo que utiliza que es de 30 minutos menos que el camino 1.

Teorema de flujo máximo y corte mínimo

Tenemos una red G y tiene un flujo F al concluir nuestro algoritmo esto significa que algunos vértices están etiquetados y otros no. Sea P el conjunto de vértices Etiquetados y ( no complementados) entonces la fuente a no esta en P y el sumidero z esta . El conjunto s de aristas (v,w) con v que pertenece a P y w que pertenece a , es un corte y la suma de las capacidades de las aristas s es la capacidad de cortes.

Para el caso G es una red con una fuente a y un sumidero z luego la capacidad de las aristas i,j es Cij

Un corte (P, ) donde el complemento de P es en G consta de un conjunto P de vértices y de complementos a , donde a pertenece a P y z pertenece a .

Teorema 3

Sea F un flujo en G y teniendo (P, ) un corte en G entonces la capacidad de este es mayor o igual que el valor de F; es decir

Teorema 4

Siendo F un flujo en G sea (P, ) Un corte en G, si la igualdad se cumple en Un corte (P, ) donde el complemento de P es en G consta de un conjunto P de vértices y de complementos a , donde a pertenece a P y z pertenece a . Entonces se dice que el flujo es máximo y el corte es mínimo. La igualdad se cumple sí y solo sí:

Fij =Cij Para i que pertenece a P, j pertenece a .

Fij = 0 Para i que pertenece a , j pertenece a P.

Teorema 5

Cuando se concluye un algoritmo se produce un flujo máximo, si P (respectivamente, ) es el conjunto de vértices etiquetados (respectivamente, no etiquetados) al concluir el algoritmo el corte (P, ) es mínimo.

Redes de Petri

Son graficas del procesamiento concurrente, es un método para modelar y estudiar el procesamiento concurrente.

Una red de Petrí es un grafo dirigido bipartito, con un estado inicial, llamado marcación inicial. Los dos componentes principales de la red de Petrí son los sitios (también conocidos como estados) y lastransiciones. Gráficamente, los sitios son dibujados como círculos y las transiciones como barras o rectángulos. Las aristas del grafo son conocidas como arcos. Estos tienen un peso específico, el cual es indicado por un número entero positivo, y van de sitio a transición y viceversa. Por simplicidad, el peso de los arcos no se indica cuando éste es igual a 1. Un arco que esté etiquetado con k puede ser interpretado como k arcos paralelos.

Ejemplo de una Red de Petrí

Es una grafica dirigida G = (V, E) donde V = P U T y P "T = Ø, cualquier arista e en E es incidente en un miembro de P y un miembro de T, el conjunto P es el conjunto de lugares y el conjunto T es en conjunto de Transiciones.

Un marcado de una Red de Petrí asigna a cada lugar un entero no negativo, una red de Petrí con un marcado es una Red de Petrí Marcada (o simplemente una Red de Petrí).

Con un marcado se asigna al valor no negativo n al lugar p, decimos que existen n elementos en p, mediante los elementos a representar son los puntos.

Los lugares representan condiciones, las transiciones representan eventos, y la presencia de al menos un elemento en un lugar (condición) indica que tal condición se cumple.

Si una arista va del lugar p a la transición t, decimos que p es un lugar de entrada para la transición t. Un lugar de salida se define de manera análoga, si cada lugar de entrada de una transición t tiene al menos un elemento, decimos que t esta activada.

La descarga de una transición elimina un elemento de cada lugar de entrada y agrega un elemento a cada lugar de salida. Una serie de descargas transforma un marcado M, en un marcado M', decimos que M' esalcanzable desde M.

Un evento puede ocurrir si y solo si se cumplen todas las condiciones para su ejecución; es decir, la transición se puede descargar solo si esta activada.

Entre las propiedades más comunes de Redes de Petrí tenemos la Supervivencia y la Seguridad. LaSupervivencia se refiere a la ausencia de estancamientos, y la Seguridad se relaciona con la capacidad limitada de la memoria.

Un marcado M de una red de Petrí esta Vivo si, partiendo de M, sin importar la serie de descargas realizadas, es posible descargar cualquier transición dada mediante alguna secuencia de descargas adicionales. Si un marcado M esta vivo para una Red de Petrí P, entonces, sin importar la serie de descargas de transiciones, P nunca se estancara. De hecho, podemos descargar cualquier transición mediante cierta secuencia de descargas adicionales. Un marcado M para una red de Petrí esta acotado si existe algún entero positivo ncon la propiedad de que, en cualquier secuencia de descarga, ningún lugar recibe mas de n elementos. Si un marcado M, esta acotado y en cualquier secuencia de descarga ningún lugar recibe mas de un elemento, decimos que M es un marcado Seguro.

Si cada lugar representa un registro capaz de guardar una palabra de computadora y si un marcado inicial es seguro, tenemos garantizado que no se excederá la capacidad de memoria de los registros.

Problema 1:

Este es un ejercicio aplicado a casi cualquier tipo de fila donde existe una sola línea para atender a 100 personas o más. Los tiempos de llegada de los clientes serán valores sucesivos de la variable aleatoria ta, los tiempos de servicio están dados por la variable aleatoria ts, y N es el número de servidores. Este modelo en su estado inicial tiene la cola vacía y todos los servidores en estado de espera.

La red de Petrí para este escenario se muestra en la siguiente figura:

Los estados están etiquetados con letras mayúsculas y las transiciones con minúsculas. Las etiquetas de los sitios también serán usadas como las variables de cuyos valores son los tokens

Las aristas tienen etiquetas que podrían representar las funciones de transición, las cuales especifican el número de tokens eliminados o agregados cuando una transición es activada.

El estado A inicialmente contiene la llegada de 100 clientes; el sitio B evita que los clientes entren más de una vez; el sitio Q es la fila que realizan los clientes cuando tienen que esperar a que se les atienda. El estado S es donde los servidores ociosos esperan la oportunidad para trabajar, y el sitio E cuenta el número de clientes que abandonan el sistema. El estado inicial implica que los sitios tengan los siguientes valores:

A = 100

B = 1

Q = 0

S = N

E = 0

La transición a sirve para modelar a los clientes que entran al sistema y la transición b modela a los clientes cuando están siendo atendidos.

Problema 2:

La evaluación de expresiones aritméticas puede ser descrita de forma sencilla desde redes de Petrí. Ponemos un ejemplo practico con la expresión (a+b)X(c+d) puede ser caracterizada por la siguiente red de Petrí, en la que los lugares representan operandos, las transiciones operadores y la existencia de un toen en un lugar denota la disponibilidad del valor del operando:

Problema 3:

El proceso de préstamo de libros en la UAE también puede representarse con una Red de Petrí de la siguiente manera:

Podemos notar que el lugar de libro disponible es el que delimita la cantidad de libros disponibles, por ejemplo si se tienen 5 ejemplares, lo marcaríamos con 5.

Conceptos

Red:

Es un grafo dirigido formado por una fuente, un sumidero, aristas y nodos.

Arista:

Segmento de recta dirigido de un punto a otro.

Nodo:

Es el punto de intersección de dos o más aristas.

Capacidad :

En una red, es la capacidad máxima de una arista cualquiera.

Sumidero (z):

Es el punto de llegada del flujo total de una red.

Fuente (a):

Punto de partida del flujo total de la red.

Conclusiones

El modelo de redes posee una gran aplicabilidad en muchos problemas de la vida cotidiana, en nuestra sociedad moderna es casi imprescindible para lograr una mayor eficiencia en casi cualquier tipo de flujo.

Las Redes de Petrí están mas enfocadas a la optimización de procesos que pueden depender de otros al operar.

En general puede observarse la importancia de los modelos matemáticos para encontrar la solución de infinidad de problemas.

Biografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos

http://www.monografias.com/trabajos16/grafos/grafos.shtml#EULERIAN

http://html.rincondelvago.com/modelos-de-redes.html

http://html.rincondelvago.com/modelos-de-redes.html

http://www.monografias.com/trabajos16/grafos/grafos.shtml#EULERIAN

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos

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Ensayo Teoría de grafos.docx