1

ENSAYO SOBRE TEORIA DE LA ELASTICIDAD Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 3ª Edición. Noviembre 2000.

i

PROLOGO

Este ensayo ha tenido por objeto el comprobar la utilidad del método de cálculo tensorial desarrollado por el autor en "Algebra y Cálculo tensorial" en el cálculo ordinario y concretamente en el estudio de la mecánica elástica.

Este método es una ampliación natural del álgebra escalar corriente, que considera intrínsecamente vectores y tensores de cualquier orden y simplifica la mayor parte de operaciones habituales.

Con su aplicación a la teoría de la elasticidad, que lleva como es natural a las conclusiones de todos conocidas, creemos que ha demostrado su utilidad.

Independientemente de ello, en este trabajo se han hecho resaltar algunas circunstancias que inciden sobre el tema y que muchas veces se omiten. Señalamos principalmente las siguientes:

a) La velocidad de los puntos materiales es una magnitud vectorial de punto, pero no sucede siempre lo mismo con sus componentes velocidad relativa de rotación y velocidad relativa de deformación. En consecuencia lo mismo sucede con los desplazamientos.

b) El tensor deformación que normalmente se utiliza para deformaciones pequeñas y se define con los desplazamientos, pasa a ser considerado diferencial de un tensor magnitud de punto y se define con el campo de velocidades.

c) Se considera un vector desplazamiento como magnitud de punto, así como otro vector magnitud de punto que denominamos vector de posición original.

d) Las dos formas de las ondas materiales no son exactamente propias del movimiento de los puntos materiales. Una de las formas, las ondas de condensación, radican en el coefi-ciente de dilatación relativa, y la otra de las formas, las ondas de distorsión, en el rotacional de la velocidad, y actúan con independencia una de otra.

Esperamos de los lectores sus comentarios.

Barcelona, Abril 1996.

1

MECANICA DE LOS CUERPOS ELÁSTICOS

A. INTRODUCCION

1.- Llamamos cuerpo elástico al cuerpo material que bajo solicitaciones exteriores se deforma y que, al cesar éstas, tiende a recuperar la forma primitiva. Si la recuperación del cuerpo es completa, lo llamamos perfectamente elástico, y si es parcial, parcialmente elástico.

2.- De ahora en adelante, de no indicar otra cosa, solo estudiaremos los cuerpos considerados perfectamente elásticos de un espacio tridimensional y admitiremos que se verifican las siguientes condiciones generales:

10. La materia de cada parte del cuerpo es conservati-va y la forma es variable. Los puntos materiales son identifica-bles y en todo momento se conoce la correspondencia de cada uno de ellos con un punto geométrico de un sistema de referencia.

20. Las velocidades materiales consideradas son despreciables respecto a la velocidad de la luz y los campos de fuerza no producen distorsión sensible en el espacio-tiempo. Por tanto podemos considerar que las medidas espaciales y temporales son independientes del punto de referencia. Se supondrá que el espacio es euclideo y tridimensional.

30. Son aplicables los métodos del cálculo diferencial e integral basados en la hipótesis de la continuidad de la materia ya que consideramos que las medidas de orden molecular de sus discontinuidades son suficientemente pequeñas para ello.

41. En cada momento y para cada parte material del cuerpo quedan determinados los valores de sus magnitudes de volumen (volumen, masa, peso, etc.) y a todo conjunto de partes corresponde un valor que es la suma (escalar, vectorial, etc.) de los valores de la magnitud relativas a cada parte en el mismo momento.

50. En cualquier sistema de referencia quedan determi-nados,para cada punto material y momento dados, los valores de las distintas magnitudes de punto. Entre ellas se incluyen las definidas por ser límites de la relación entre dos magnitudes distintas de volumen, cuando el volumen tiende a cero conservando siempre al punto en su interior.

60. Las magnitudes de punto, de no advertir lo contrario, supondremos que en cada momento son funciones regulares del vector de posición y en cada punto son funciones regulares del tiempo.

3

B. CINEMATICA

1. Magnitudes de punto en general. Velocidades.

1.01.- Sea τ→ una magnitud tensorial función regular de una variable vectorial r→. Sabemos por cálculo tensorial que la derivada de τ→ respecto a r→ se expresa por el tensor ∇⊗τ→.

Cuando τ→ no solamente es función regular de una variable vectorial r→, sino que además es función regular de una variable escalar t independiente de r→ conocemos la siguiente expresión para dτ→ :

(1) dtt

+ rdr

= d∂∂

∂∂ τττ

rrr

rr

en la que dr→ y dt son respectivamente las variaciones considera-das de r→ y de t, y también:

rr

r

∂∂τ

= Derivada parcial de τ→ respecto a r→ )( jk..iτ∂

t∂

∂τr = Derivada parcial de τ→ respecto a t

La magnitud tensorial ∇⊗τ→ cuyo orden es el de τ→ más

uno,será ahora la derivada parcial de τ→ respecto a r→ o derivada espacial y, por lo tanto, podremos escribir

(2) r)d( = d :0)=(dt dt;t

+ )r(d = dtt

+ r)d( = drrr

rrr

rrrr τττττττ ⊗∇

∂∂

∇∂∂

⊗∇

Estos conceptos son evidentemente aplicables al sistema

objeto de nuestro estudio. Basta para ello considerar como variable vectorial r→ a la magnitud vector de posición y como variable escalar t a la magnitud temporal.

Así pues, de ahora en adelante, r→ y t se considerará que tienen el significado antedicho.

Señalemos, para evitar confusiones, que, en las

expresiones tensoriales de este texto, todos los símbolos, sean de tensores, vectores o escalares representan magnitudes de punto. Asimismo, decimos tensor para significar magnitud de punto tensorial y vector cuando es vectorial.

Llamaremos constantes las magnitudes que tienen igual valor en cualquier punto y momento (p.e. el escalar 4), y uniformes las que tienen igual valor en todos los puntos del espacio aunque este valor varíe con el tiempo.

1.02.- No todas las magnitudes σ→ de punto pueden

4

expresarse en la forma σ→ =∇⊗τ→, es decir,no todas son integrables espacialmente con una integral τ→.

Vamos a recordar algunas características de la integración espacial o sea de la operación opuesta a la deriva-ción espacial.

a) El orden tensorial de la integral espacial de una magnitud de punto es inferior al de ésta en una unidad.

b) Si τ→ es una integral de σ→ también lo será τ→+α→, siendo α→ cualquier magnitud uniforme de punto de igual orden que τ→. Esta magnitud uniforme, corresponde a la constante de integración del cálculo escalar ordinario, y la denominaremos tensor uniforme de integración. Tendremos por consiguiente:

σ→ = ∇ ⊗ (τ→ + α→) = ∇ ⊗ τ→

c) Si σ→ es una magnitud uniforme, o sea de derivada espacial nula, siempre es integrable, y su integral es σ→r→ + α→. Puesto que su producto contracto con cualquier vector a→, sabiendo que ∇r→=3 y ∇⊗r→=I→ (I→=tensor fundamental), resulta:

σ→a→ = σ→[a→(∇⊗r→)] = σ→[(a→∇)r→] = (a→∇)(σ→r→) = [∇⊗(σ→r→)]a→ d) Hay que tener en cuenta que, al hablar de una integral, sobreentendemos la existencia de una constante de integración. Así pues en el caso b) podemos decir que τ→ es la integral de σ→ y al hablar de la integral de una magnitud nula diremos que es 0→, entendiendose que se trata de una magnitud uniforme. e) En un espacio vectorial n-dimensional, sabemos por cálculo tensorial, que la condición de integrabilidad espacial de una magnitud tensorial σ→ es que su circulación sea nula para cualquier circuito cerrado,es decir:

∫ rdrrσ = 0

y que esta condición equivale a la siguiente:

∇⊗σ→ = Magnitud tensorial con simetría entre las posiciones 1-2 (incluído el valor nulo).

1.03.- Vamos a considerar el tensor derivada parcial respecto a r→ cuando la magnitud de punto que examinamos es un vector v→ . Este tensor se expresará pues por ∇⊗v→ y es de segundo orden.

A los tensores de segundo orden sabemos descomponerlos en forma única en dos sumandos, uno simétrico y otro antisimétri-co y procediendo así con esta derivada y llamando v→⊗∇ al tensor transpuesto, tendremos:

(3) ∇⊗v→ = )]v(+)v[(21 + )]v(-)v[(

21

∇⊗⊗∇∇⊗⊗∇rrrr

5

Es fácil comprobar que el primer sumando es antisimé-trico y que el segundo es simétrico:

)]v(-)v[(21- = )v(-)v[(

21 = )]v(-)v[(

21

Transp ∇⊗⊗∇⊗∇∇⊗∇⊗⊗∇ rrrrrr

)]v(+)v[(21 = )]v(+)v[(

21 = )]v(+)v[(

21

Transp ∇⊗⊗∇⊗∇∇⊗∇⊗⊗∇rrrrrr

1.04.- Expresemos por (m→×) siendo × el signo de multiplicación vectorial y m→ y n→ vectores cualesquiera, el tensor de 21 orden que verifica

(m→×)n→ = m→×n→

y vamos a demostrar que siempre es antisimétrico.

Efectivamente, el producto contracto de (m→×) por cualquier tensor simétrico, que siempre se puede expresar por

)aa( ii

rr ⊗Σ es nulo, como vamos a ver: (m→×) m[(=)]aa([ ii

rrr ΣΣ ⊗ × 0 =]a)a iirr

y por tanto (m→×) es un tensor antisimétrico.

1.05.- Sea ω→ un vector función de v→ definido por la relaciòn (4) ω→ = 2(∇×v→) y efectuemos el producto contracto de (ω→×) con un vector n→ cualquiera. Se verifica:

]n)v( - n)v[(21 = )]nv( - v)n[(

21 = n)v(

21 = n = n)(

rrrrrrrrrrrrrr∇⊗⊗∇∇∇××∇×× ωω

y por consiguiente:

(5) )]v( - )v[(21 = )( ∇⊗⊗∇×

rrrω

Si llamamos π→ al tensor componente simétrico de ∇⊗v→

tendremos también:

(6) )]v( + )v[(21 = ∇⊗⊗∇ rrrπ

y, por lo tanto, podemos simplificar así la expresión de ∇⊗v→: (7) πω rrr

+ )( = v ×⊗∇

La ecuación de las trazas, como sabemos que con I→

tensor fundamental, la traza de cualquier tensor σ→ de segundo orden es I

→σ→ , que la traza de a→⊗b→ es a→b→ y que la traza de un

6

tensor antisimétrico es nula, resulta ser: (8) ∇v→ = I→π→

1.06.- Los tensores simétricos de segundo orden tales como π→ también sabemos descomponerlos, asimismo en forma única, en la suma de dos tensores simétricos, el uno π→2 de igual traza y el otro π→1 de traza nula, ambos ortogonales entre sí. Conocemos por cálculo tensorial que cuando π→ es el componente simétrico del tensor ∇⊗v→ se verifica:

(9) ) de y v de traza = v( I3v

= 2 ππrrrrrr ⊗∇∇

∇

y por tanto

ππrr

rrrrrrr de Traza = v =

3II

)v( = I3v

I = de Traza 2 ∇∇∇

Por todo ello podremos escribir:

(10) ππωπππ rrrrrrr2121 + + )( = v ; + = ×⊗∇

1.07.- Integrabilidad espacial en tensores de 20 orden.

Consecuencia de lo expuesto en ' 1.02 es que un tensor

σ→ de segundo orden es integrable espacialmente, es decir, puede expresarse por ∇⊗w→ siendo w→ alguna magnitud de punto vectorial, si y solo si se verifica:

∇⊗σ→ = Tensor con simetría entre 10 y 20 posición. (Incluyendo el tensor nulo). y la constante de integración es vectorial.

En nuestro espacio tridimensional, y siendo ε→ el tensor de Ricci, podemos expresar esta condición con notación einsteniana de la siguiente manera: (11) εijk(∂iσjs) = 0

La condición necesaria y suficiente para que σ→ sea el transpuesto de una derivada o sea un tensor como s→⊗∇ será en consecuencia:

∇⊗σ→ = Tensor con simetría entre 10 y 30 posición, o sea:

εrst(∂rσjs) = 0

A la vista de las condiciones anteriores resulta que la condición necesaria y suficiente para que σ→ pueda ponerse como funcion lineal de las dos formas anteriores es evidentemente:

∇⊗σ→ = Tensor con simetría entre 10 y 20 ó entre 10 y 30

7

posición, εijkεrst(∂i∂rσjs) = 0

ó condición de congruencia de St. Vénant.

Esta última condición es evidentemente la que debe cumplir todo tensor para ser función lineal de un tensor derivada y de su transpuesto, como es el caso de los componentes (ω→×) y π→ antes estudiados en '10.5. El primero exige además la antisimetría y el segundo la simetría.

1.08.- Integrabilidad espacial de una magnitud de punto σ→ antisimétrica (en todo punto y momento).

Sea el tensor σ→ de antisimetría constante. Su derivada espacial será ∇⊗σ→ con antisimetría 2-3.

La condición de integrabilidad de σ→ es que la derivada espacial tenga simetría 1-2 ('1.07) y como esta simetría es incompatible con la antisimetría anterior, la condición se reduce a que la derivada espacial sea nula y por tanto σ→ uniforme.

Entonces la integral sabemos por '1.02c que es σ→r→.

1.09.- Integrabilidad espacial de un tensor αI→ (α magnitud escalar; I

→ tensor fundamental).

Vamos a ver que solo es integrable para α uniforme y

entonces la integral es αr→.

La condición de integrabilidad espacial es ('1.07) que ∇⊗σ→ tenga simetría 1-2. Pero como por hipótesis σ→ es simétrico, tendrá también la simetría 2-3 con lo que será completamente simétrico, y por lo tanto se habrá de verificar: ∇ ⊗ αI→ = ∇α ⊗ I→ = I→ ⊗ ∇α

El producto contracto de los miembros 11 y 31 de la igualdad anterior por el tensor I

→, sabiendo que I

→I→=3, que si a→ y

b→ son vectores se verifica I

→(a→⊗b→) = a→b→, y que I→∇=∇, es:

Miembro 11 _ I

→(∇ ⊗ αI→) = (I→∇)(αI→) = (∇I→)α = ∇α

Miembro 31 _ I→(I→ ⊗ ∇α) = (I→I→)(∇α) = 3∇α

y como estas expresiones deben tener igual valor y esto solo es posible para ∇α = 0→, la condición de integrabilidad se reduce a que α sea uniforme o sea αI→ uniforme, y por '1,02c conocemos que la integral es αI→r→ o sea αr→.

1.10.- Vamos a ver ahora la integrabilidad de los componentes π→ y (ω→×) de ∇⊗v→ dados por (5) y (6), si ninguno es nulo. El doble de su derivada espacial será:

a) ∇⊗⊗∇⊗∇⊗∇∇⊗⊗∇⊗∇⊗∇ v + v = )]v( + )v[( = 2

rrrrrπ

8

b) ∇⊗⊗∇⊗∇⊗∇∇⊗⊗∇⊗∇×⊗∇ v - v = )]v( - )v[( = )( 2rrrrrω

y como los tensores que resultan de permutar los términos 1-2 son a) ∇⊗∇⊗⊗∇⊗∇ v+v

rr

b) ∇⊗∇⊗⊗∇⊗∇ v-v

rr

la condición de integrabilidad indicada en '1.07 que es la simetría 1-2 resulta ser tanto para π→ como para (ω→×): 0 = )]v( - )v[( v=v

rrrrr ∇⊗⊗∇⊗⇔∇⊗∇⊗∇⊗⊗∇ ∆ Esto significa que la condición común para que (ω→×) y π→

no nulos sean integrables, es que (ω→×) sea uniforme, o sea ω→ uniforme.

Al mismo resultado podíamos haber llegado, a partir de que en '1.08 se ha visto que la condición de integrabilidad de cualquier tensor uniformemente antisimétrico es que sea uniforme, - condición que también concurre en el tensor nulo,- y de que consideramos que la suma de integrales de los sumandos es la integral de la suma. En nuestro caso la integral de la suma de π→ y (ω→×) es v→.

Podremos pues considerar los casos siguientes:

11.- (ω→×) uniforme (con integral ω→×r→). a) π→ uniforme (con integral π→r→ = v→ - ω→×r→). b) π→ integrable no uniforme (con integral v→ - ω→×r→).

21.- (ω→×) no uniforme (no integrable).

π→ no integrable.

Tendremos en cuenta para ∇⊗v→ igual a (ω→×) uniforme, que se verificará ω→×r→ = v→ y π→=0→, y para ∇⊗v→ igual a π→, que se verificará (ω→×)=0→, y si además π→ es uniforme, será π→r→=v→.

Observaremos que hay algunos casos imposibles:

11.- ∇⊗v→ antisimétrico y no uniforme. Pues su escritura indica que tiene una integral que es v→ y su descripción, según '1.08, es la de un tensor no integrable.

21.- (ω→×) integrable y π→ no integrable. No es posible, según se demuestra en '1.10.

31.- (ω→×) no integrable y π→ integrable. No es tampoco posible, por igual motivo.

41.- ∇⊗v→ y π→. Uno uniforme y el otro no. Si el primero es uniforme, lo es su transpuesto, y por la ecuación (6) lo es el otro. Si el segundo es uniforme, es integrable, y por '1.10 sabemos que (ω→×) también lo es. El primero tendrá que ser uniforme por ser la suma de dos tensores uniformes.

1.11.- Integrabilidad de los componentes de π→.

9

El tensor π→2, cuya expresión según (9) es 1/3 (∇v→)I→, por lo que hemos visto en '1.09, será integrable espacialmente si y solo si ∇v→ es uniforme [∇(∇v→)=0]. π→2 entonces será uniforme y de derivada espacial nula. Tendremos también ∇⊗π→2 = 0

→ ⇒ 0

→ = I

→(∇⊗π→2) = (I

→∇)π→2 = ∇π→2

Por otra parte en '1,09 hemos visto que la condición de integrabilidad espacial de un tensor simétrico es que su derivada sea completamente simétrica. Por consiguiente, si el tensor σ→ es integrable y simétrico y si I→ es el tensor fundamen-tal, dicha condición se puede expresar así: ∇⊗σ→= σ→⊗∇ ⇒ I

→(∇⊗σ→)=I→(σ→⊗∇) ⇔ (I

→∇)σ→=(I→σ→)∇ ⇔ ∇σ→=(I→σ→)∇ con I

→∇=∇ y con I→σ→ = traza de σ→.

En '1.06 se ha visto que la traza de π→ es ∇v→ y que la traza de π→1 es 0, y por tanto, para π

→1 y π

→ podremos escribir las siguientes condiciones: π→ integrable: I→(∇⊗π→) =I→(π→⊗∇) ⇒ ∇π→ = (I→π→)∇ = ∇(∇v→) π→1 integrable: I

→(∇⊗π→1)=I

→(π→1⊗∇) ⇒ ∇π→1 = (I

→π→1)∇ = 0→

Si π→ y π→2 son integrables a la vez, deberá serlo π→1.

Tendremos ∇(∇v→)=0→ por serlo π→2 y por tanto ∇π=0→. Veremos que se cumplen las condiciones necesarias anteriores: ∇π→ = ∇(∇v→) = 0→ ∇π→1 = ∇π→ - ∇π→2 = 0

→ - 0

→ = 0

→

Estamos en este caso siempre que π→ sea uniforme, pues

entonces su traza ∇v→ es uniforme, con lo que π→2 resulta integra-ble y uniforme y en consecuencia π→1 también.

Recordaremos que en ' 1.10 hemos visto que π→ es integrable si y solo si (ω→×) es integrable. 1.12.- Vamos ahora a representar los tensores de segundo orden estudiados, en formas no intrínsecas asociadas a sistemas coordenados ortonormales. En estos sistemas los conjuntos de coeficientes de cada uno de los cuatro tipos existentes coinciden en un conjunto único, ya que la altura de los índices no varía entonces el valor de los coeficientes. No obstante, con el conjunto único, siguen habiendo dos formas mutuamente transpuestas de representación matricial según se considere de un factor a la derecha o a la izquierda. Nosotros nos situaremos en este último caso. En dichos sistemas se verifica además que la representación de un tensor simétrico es simétrica y la de un tensor antisimétrico es antisimétrica.

10

v = )v( ;

vvv

vvv

vvv

=}v{ ji

ji

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

∂⊗

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

′⊗ rr ∆∆

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

′×

0)v-v(21

)v-v(21

-

v-v(21

-0)v-v(21

)v-v(21

)v-v(21

-0

= }{

yz

zy

zx

xz

yz

zy

xy

yx

zx

xz

xy

yx

ωr

)v - v(21 = )( i

jj

iji ∂∂× rrω

)v + v(21

=;

v)v+v(21

)v+v(21

)v+v(21

v)v+v(21

)v+v(21

)v+v(21

v

= }{ ij

ji

ji

zz

yz

zy

zx

xz

yz

zy

yy

xy

yx

zx

xz

xy

yx

xx

∂∂

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂

′ ππr

y también tendremos:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧′×⇒∂−∂

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

∂∂

′

0-

-0

-0

=}{ )v v(21 = ;

)v - v(21

)v - v(21

)v - v(21

=}{xy

xz

yz

jk

kj

i

xy

yx

zx

xz

yz

zy

ωωωωωω

ωωω rrr

Tomando como direcciones coordenadas las propias de π→

su representación matricial es más sencilla pues resulta una matriz diagonal. Tenemos así:

v = v ;

v00

0v0

00v

31 = }{ ;

v00

0v0

00v = }{ i

i2

zz

yy

xx

∂⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧′

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂

∂′ r

r

r

r

rr ∆∆

∆∆

ππ

1.13.- Hasta aquí hemos hablado de las magnitudes de

punto refiriéndonos solamente a su correspondencia con puntos del espacio-tiempo de un sistema de referencia elegido. Desde ahora podremos referirnos además a otro sistema, esta vez de puntos llamados materiales, distinto del anterior, y tal que en cada momento se corresponden un punto espacial del sistema de referencia y un punto material, de manera que se verifica:

11

a) Si dos puntos materiales son distintos lo son en

cualquier momento.

b) A dos puntos materiales distintos corresponden siempre dos puntos espaciales distintos y recíprocamente.

c) A una línea continua de puntos materiales corresponde una línea contínua de puntos espaciales y recíprocamente.

La variación, con el tiempo, de la correspondencia entre puntos materiales y puntos espaciales se interpreta como movimiento del sistema material respecto al espacial de referen-cia y define una nueva magnitud de punto: la velocidad de los puntos materiales. Aquí la consideraremos como función regular del radio de posición y del tiempo.

Por consiguiente, todo lo que hemos dicho acerca de las magnitudes vectoriales de punto tendrá validez para la velocidad material y más teniendo en cuenta que a estas magnitudes las hemos representado genéricamente con una v→, que es el símbolo corriente para la velocidad.

1.14.- Establecida como magnitud de punto la velocidad v→ puntual de la materia, su conocimiento establece una ligadura entre las magnitudes radio de posición y tiempo, que corresponde al movimiento del sistema material y que es la siguiente: dr→ = v→dt

Esta ligadura nos permite hallar las variaciones de una magnitud de punto cualquiera cuando se refiera a un punto material.

Para ello utilizaremos la igualdad (2), en la que previamente habremos dividido cada miembro por dt. Se obtiene:

(12) t

+ )v( = t

+ )(v = dtd

∂∂

∇∂∂

⊗∇τττττ r

rrr

rrr

y en esta expresión no figura r→.

El primer miembro define ahora la que llamaremos derivada de τ→ sin más, y que representa la relación por cociente entre la variación de τ→, referida al mismo punto material de velocidad v→, y el tiempo transcurrido.

En cuanto a la derivada parcial de τ→ respecto a t significa lo mismo que en (2), es decir, la relación por cociente entre la variacion de τ→, referida al punto espacial fijo, y el tiempo transcurrido.

1.15.- Actos de movimiento.

Llamamos acto de movimiento de un sistema material en

12

un instante dado, al conjunto de velocidades que entonces tienen sus puntos. Bajo los supuestos de este estudio, siempre existe una función regular del vector de posición, que determina las distintas velocidades que corresponden a un momento considerado, función que define el acto de movimiento. Diremos que el sistema que estudiamos es un sistema regular y que todos los actos de movimiento del sistema son regulares.

1.16.- Acto de movimiento homográfico.

Decimos que es homográfico todo acto de movimiento que define las velocidades de los puntos materiales en función de los radios vectores con esta expresión: (13) v→-v→0 = τ

→(r→-r→0) ⇔ (-c→=τ→r→0-v→

0): v→ = τ→r→ + c→

siendo v→0 la velocidad del punto material situado en r

→0, τ

→ un tensor uniforme y c→ un vector uniforme.

Vamos a ver que en este acto de movimiento se conservan las alineaciones rectas. Efectivamente, en el tiempo dt el punto material r→ ha pasado a r→' y por tanto r→' = r→ + v→dt = I

→r→ + (τ→dt)r→ + c→dt = (I→+τ→dt)r→ + c→dt

Sean ahora tres puntos r→1, r

→2 y r

→3. Tendremos:

λ1r

→'1 = (I→ + τ→dt)λ1r

→1 + λ1c

→dt λ2r

→'2 = (I→ + τ→dt)λ2r

→2 + λ2c

→dt λ3r

→'3 = (I→ + τ→dt)λ3r

→3 + λ3c

→dt y sumando miembro a miembro: λ1r

→'1+λ2r→'2+λ3r

→'3 =(I→+τ→dt)(λ1r

→1+λ2r

→2+λ3r

→3)+(λ1+λ2+λ3)c

→dt

Si r→1, r→2 y r

→3 están en línea recta y λ1+λ2+λ3 = 0

tendremos λ1r

→1 + λ2r

→2 + λ3r

→3 = 0

→

y por tanto λ1r

→'1 + λ2r→'2 + λ3r

→'3 = 0→

lo que significa que r→'1, r

→'2 y r→'3 están en línea recta, como

queríamos demostrar.

Es fácil deducir de ello que también se conservan la planitud y el paralelismo y que todas estas cualidades se mantienen con actos sucesivos de movimiento homográfico a través del tiempo.

1.16.- La integral espacial de τ→ uniforme, sabemos por '1.02c que es τ→r→+c→ y por tanto v→ es la integral de τ→ y ∇⊗v→ coincide con τ→.

Así pues, todo acto de movimiento homográfico, es un acto de movimiento regular con ∇⊗v→ tensor uniforme.

13

En un sistema regular, en el entorno infinitesimal de un punto r→, sabemos que siempre se verifica: (14) dv→ = (∇ ⊗ v→)dr→ y como ésta es la ecuación diferencial de la (13), podemos decir que todo acto de movimiento regular es localmente homográfico y que en el entorno infinitesimal de un punto material se conservan a través del tiempo la alineación recta, la planitud y el paralelismo.

Cuando ∇⊗v→ es un tensor uniforme, también podremos decir que todo acto de movimiento regular es homográfico.

1.17.- Como sabemos descomponer ∇⊗v→ según (7) y (10), la ecuación (13) se puede escribir en esta forma: v→ = (∇⊗v→)r→ + c→ = ω→×r→ +π→r→ + c→ = ω→×r→ + π→1r

→ + π→2r→+ c→

con todos los tensores uniformes por serlo ∇⊗v→ y por tanto integrables y v→ resulta la suma vectorial de las velocidades parciales o integrales en la forma que corresponda a las ecuaciones anteriores.

Llamamos velocidad de rotación a ω→×r→, con ω→ vector de rotación o simplemente rotación, velocidad de deformación a π→r→, velocidad de deformación sin dilatación a π→1r

→ y velocidad de dilatación a π→2r

→. Al vector uniforme de integración c→ le llamamos velocidad de traslación, y de acuerdo con lo formulado en (13), es la velocidad del punto material situado en el origen de coordenadas, dependiendo por tanto de éste.

Según los valores adoptados por los componentes de ∇⊗v→, podremos establecer distintos tipos de actos de movimiento homográficos. De momento consideraremos solamente el acto de movimiento rígido.

1.18.- Acto de movimiento rígido

Un acto de movimiento rígido es un acto de movimiento homográfico en el que π→ uniforme es nulo.

Tendremos τ→ = ∇⊗v→=(ω→×), con lo que la forma de la ecuación (13) que corresponde al movimiento rígido es: (15) v→ = ω→×r→ + c→

Así como cualquier acto de movimiento regular es localmente homográfico en el entorno infinitesimal de cada punto, será localmente rígido en dicho entorno sólo para los puntos en que π→ sea nulo.

El acto de movimiento rígido también puede definirse como el acto de movimiento homográfico que conserva la distancia entre un par cualquiera de puntos materiales. Es decir, que para dos puntos cualquiera r→1 y r

→2, la velocidad relativa de uno

respecto al otro ó diferencia entre sus velocidades, es un vector

14

ortogonal a la recta de unión de los puntos, ó sea a r→1-r→

2.

Teniendo presente la ecuación (13) la condición anterior puede expresarse con la ecuación: (∀r→1)(∀r→2): (τ

→r→1 - τ→r→2)(r

→1 - r

→2) = 0

→

que, llamando a→ a la diferencia r→1-r

→2, podemos escribir así:

(∀a→): 0 = (τ→a→)a→ = τ→(a→⊗a→)

Si y sólo si el tensor τ→ es antisimétrico, verificará esta igualdad, ya que decir que un tensor es ortogonal a a→⊗a→ para cualquier a→, es lo mismo que decir que es ortogonal a cualquier tensor simétrico, pues Σ(a→i⊗a

→i) es una representación

exclusiva de los tensores simétricos.

Como una forma de expresión propia de los tensores antisimétricos es la de (ω→×), esto nos conduce a la ecuación (15) y por tanto las dos definiciones son equivalentes.

1.19.- Por todo lo que antecede vemos que en todo acto de movimiento rígido, la velocidad de un punto material puede considerarse compuesta por una rotación ω→×r→ y una traslación c→. La rotación es la integral de (ω→×), y c→ es el vector uniforme de integración que depende del origen elegido para los vectores de posición.

Cuando se adopta como origen un punto espacial, si existe, correspondiente a un punto material inmóvil, el vector c→, que siempre es igual a la velocidad del punto material que coincide con el origen, es nulo.

Como ni las velocidades v→ ni los tensores ∇⊗v→ y (ω→×) varían con el origen o punto de referencia, con un cambio de origen, cambia solamente la distribución del valor de v→ entre los de las velocidades de rotación y traslación.

1.20.- Si y sólo si c→ es ortogonal a ω→ podremos anularlo con un cambio de origen. Si se cumple esta condición, el lugar geométrico de los orígenes que anulan a c→ es una línea recta, cuya dirección es la de ω→, que recibe el nombre de eje instantáneo de rotación. Decimos entonces que la materia gira, en este momento, alrededor de este eje.

Si r→' es un nuevo origen que anula a c→, es preciso que se verifique: ω→×r→ + c→ = ω→×(r→-r→') ⇔ -c→ = ω→×r→' y esto es imposible si c→ no es ortogonal a ω→, pero si lo es, siempre tendrá solución la última ecuación en r→' y entonces los puntos solución forman una línea recta paralela a ω→.

1.21.- Actos de movimiento en general.

15

Hemos visto que a ∇⊗v→ uniforme corresponde un acto de movimiento homográfico, que incluye a los rígidos. Pero en general ∇⊗v→ no será uniforme y entonces, tal como hemos visto en '1.10, solo existen dos posibilidades en la integración:

a) (ω→×) y π→ integrables. Como la integral de ∇⊗v→ es v→, la de la velocidad de rotación (ω→×) es ω→×r→ y π→ no será uniforme. La integral de π→, ó velocidad de deformación total, valdrá: v→ - ω→×r→ (≠ π→r→)

b) (ω→×) y π→ no integrables. No existen como magnitudes de punto ni la velocidad de rotación ni la de deformación, aunque se verifique en cada punto dv→ = (∇⊗v→)dr→ = ω→×dr→ + π→dr→ sin que ω→×dr→ ni π→dr→ sean diferenciales espaciales de ninguna magnitud de punto.

1.22.- Sistemas coordenados euclidianos.

Los sistemas coordenados euclidianos tienen la misma característica que distingue a los cuerpos rígidos, que es que la distancia entre sus puntos es invariable con el tiempo. Se distinguen en que en un caso nos referimos a puntos espaciales y en el otro a puntos materiales.

Ello da lugar a la creación del concepto de sistema coordenado en movimiento tal como se utiliza en cinemática. Estos sistemas se mueven respecto al sistema coordenado original a la manera de cuerpos rígidos y la velocidad de los nuevos puntos de referencia se regirá por la ecuación (15) como si fueran puntos de un sistema rígido en movimiento.

Cada sistema coordenado en movimiento se caracteriza pues por una rotación ω→ y una traslación c→, y se puede conside-rar la suma de una rotación y de una traslacion sin que el orden de los sumandos influya en el resultado.

Si una magnitud de punto material es escalar o en su definición no interviene el tiempo, evidentemente no variará su valor para un punto material y momento dados, según nos refiramos al sistema original o al sistema en movimiento. Pero con la intervención del tiempo no es evidente que suceda lo mismo, por cuya razón habrá que examinar los efectos producidos.

1.23.- Sea una magnitud de punto material vectorial w→, y un sistema de referencia considerado fijo que llamaremos original ó 1 para distinguirlo de otro nuevo sistema de referen-cia ó sistema 2, móvil con rotación ω→ y traslación c→ respecto al 1, y vamos a ver qué sucede con la magnitud derivada según se considere en relación con el sistema 1 ó con el sistema 2.

Refiriéndonos a un determinado punto material, sean w→ y w→+dw→ los valores de la magnitud en los instantes t y t+dt según

16

el sistema 1 y tracemos sus equipolentes desde el origen de vectores de posición de este mismo sistema.

Los vectores de la magnitud según el sistema 2, serán en general distintos a los anteriores y si trazamos sus equipo-lentes desde el mismo punto que antes, como siempre podremos hacer coincidir un vector 1 con un vector 2 relativos al mismo instante, lo haremos con los del instante t+dt.

De acuerdo con esta representación, la variación de w→ en el intervalo dt para el sistema 1 sigue siendo dw→ o sea la diferencia (w→ + dw→) - w→ entre los vectores correspondientes a t+dt y t en el sistema 1. Para el sistema 2, el minuendo será el mismo, pero el sustraendo es una teórica nueva posición del vector w→, supuesto formando parte integrante del sistema 2, al cabo del tiempo dt, y que podemos calcular con la ecuación (15) aplicada a sus puntos extremos w→ y 0→. w→' = w+ (ω→×w→ + c→)dt - (0→ + c→)dt = w→ + (ω→×w→)dt y por lo tanto dw→2 = w

→+dw→-[w→+(ω→×w→)dt] = dw→ - (ω×w→)dt ⇔ dw→ = (ω→×w→)dt + dw→2 de donde obtenemos

(17) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dtwd

+ w = dtwd

21

rrr

rω

De esta expresión deducimos:

a) La ecuación sigue válida si consideramos fijo el sistema

2, pues en este supuesto la rotación es inversa. Y es fácil ver que continúa así si el sistema fijo es un sistema 3 distinto del 1 y del 2 como se deduciría de las ecuaciones 1-3 y 3-2.

Para comparar la derivada en 1 con la derivada en 2, no es pues preciso saber si un determinado sistema es realmente fijo. Basta conocer la rotación relativa, y si es nula las derivadas son iguales.

b) Si la magnitud ω→ es variable, su variación es la misma en los dos sistemas. Puesto que ω→×ω→= 0→.

c) La aplicación de (17) a una magnitud vectorial de punto material obliga a tratar las derivadas obtenidas mediante el sistema 1, como pertenecientes a una magnitud distinta de la correspondiente a las derivadas obtenidas mediante el sistema 2. Sólo coinciden sus valores cuando la rotación relativa es nula. Debemos tener todo esto en cuenta si volvemos a aplicar la ecuación (17) a estas magnitudes derivadas

Para aplicar (17) a los vectores de posición y comparar las

17

velocidades obtenidas según cada sistema, evidentemente los vectores de posición deberán corresponder a una misma magnitud y por tanto a un mismo origen en cada momento.

1.24.- Antes de pasar adelante recordaremos que el producto matricial de dos tensores de segundo orden τ→ y σ→, que se expresa por τ→∗σ→ con ∗ como signo de multiplicación matricial, es el que con cualquier vector n→ verifica (τ→∗σ→)n→ = τ→(σ→n→)

1.25.- Cuando la magnitud de punto material que se deriva es un tensor empezaremos el estudio para el caso de que el tensor sea un producto tensorial de dos vectores y aplicaremos la regla hallada para los vectores a cada uno de los factores. Tendremos:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⊗⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⊗dtbd

+ )bx(a + bdtad

+)ax(= dtbd

a + bdtad

= dt

)bad(

22111

rrrrrr

rrr

rrrrrωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⊗⊗

dtbd

a + bdtad

+ )bx(a + b)ax( =22

rrrrrrrrrr

ωω

Efectuemos la multiplicación contracta del primer

término del último miembro por un vector cualquiera m→: [(ω→×a→)⊗b→]m→ =[(ω→×a→)m→]b→ =[a→(m→×ω→)]b→ =(a→⊗b→)(m→×ω→) =

=-(a→⊗b→)(ω→×m→) = -[(a→⊗b→)∗(ω→×)]m→ ⇔ (ω→×a→)b→ = - (a→⊗b→)∗(ω→×)

Operando igual con el segundo término: [a→⊗(ω→×b→)]m→ =(a→m→)(ω→×b→) =ω→×[b→(a→m→)] =(ω→×)[(a→b→)m→ =

= [(ω→×)∗(a→⊗b→)]m→ ⇔ a→⊗(ω→×b→) = (ω×)∗(a→⊗b→)

Para el tercero y el cuarto se tiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dt)bad(

= dtbd

a + bdtad

222

rrrrrr

Efectuando sustituciones queda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⊗⊗∗××∗⊗⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⊗dt

)bad( + )]ba()[( + )]()ba[(- =

dtbad(

21

rrrrrrrrrr

ωω

y esto nos autoriza a escribir para cualquier tensor τ→ de segundo orden:

18

(18) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×∗∗×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dtd

+ )]([ - ])[( = dtd

21

τωττωτ rrrrr

r

1.26.- Sistema natural de referencia.

Sea, en un momento dado, un punto material de

velocidad v→0, con derivada espacial ∇⊗v→ = (ω→×)+π→, que tomaremos como origen de los vectores de posición r→. Para su entorno infinitesimal tendremos:

r + r = r)v( = dtrd rrrrrrr

πω×⊗∇

Si adoptamos un sistema de referencia 2, móvil respecto

al sistema original o sistema 1, con rotación ω→ y traslación v→0, a este último lo llamaremos sistema natural de referencia para el punto considerado. Según hemos visto, se ha de verificar la ecuación (17) que en este caso será

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dtrd

+ r = dtrd

21

rrr

rω

y como también, al mismo tiempo, se verifica en aquel entorno la otra ecuación anterior, resulta para sus puntos:

(19) r = dtrd

2

rrr

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

es decir, que π→r→ expresa la velocidad de los puntos del entorno infinitesimal del origen en el sistema natural de referencia.

19

2. Aceleraciones. Volumen y masa específica.

2.01.- Sabemos que la aceleración de un punto material es la variación de su velocidad por unidad de tiempo.

En consecuencia, podremos aplicar a la aceleración la ecuación (12) según lo visto en '1.14, y se verificará:

(20) tv

+ v)v( = tv

+ )v(v = dtvd

= a∂∂

∇∂∂

⊗∇r

rrr

rrr

r

2.02.- Sea el producto contracto de una magnitud

tensorial de punto de cualquier orden tensorial por un tensor operador tal como ∇, (∇×) ó (∇⊗) que representaremos por φ→.

Siempre se verificará la igualdad

(21) )(t

= t

τφτφ rrr

r

∂∂

∂∂

cuyos miembros son de igual orden y que expresa la permutabilidad entre derivadas parciales propia de un sistema euclidiano.

Vamos a demostrar que con v→=velocidad se verifica:

(22) )](v[ + )(dtd

= dtd τφτφτφ rrrrrr

r⊗∇

en cuyo último término, φ→, como operador de derivación, actúa solo sobre v→.

Por regla general, en nuestros desarrollos, y cuando pueda haber duda, subrayaremos la magnitud sobre la que actúa un operador de derivación. En este mismo último término figura el operador de derivación ∇ aplicado a τ→ y no se ha efectuado indicación especial por considerar suficiente que τ→ se haya escrito a la derecha de ∇. Si lo considerásemos necesario se indicaría con algún signo la relación entre operador y el tensor sobre el que actúa.

Para demostrar (22), multiplicando por φ→ los dos miembros de la ecuación (12) tendremos:

])v[( + t

= dtd τφτφτφ rrr

rr

rr

∇∂∂

y desarrollando el primer término del 21 miembro por (21) y después por (12) considerando ϕ→τ→ en lugar de τ→

20

))(v( - )(dtd

= )(t

= t

τφτφτφτφ rrrrrrrr

r∇

∂∂

∂∂

y el segundo por cálculo diferencial (ϕ→ se refiere a τ→ y v→) ϕ→[(v→∇)τ→] = ϕ→[(v→∇)τ→] + ϕ→[(v→∇)τ→] = (v→∇)(ϕ→τ→) + ϕ→[v→(∇⊗τ→)] al sustituir en la ecuación primitiva, tendremos

)(dtd

= dtd τφτφ rrr

r - (v→∇)(ϕ→τ→) + (v→∇)(ϕ→τ→) + ϕ→[v→(∇⊗τ→)]

y como los términos segundo y tercero del segundo miembro se anulan entre sí, queda la ecuación (22).

2.03.- La ecuación (22) evidentemente será válida cuando por tensor τ→ consideremos la velocidad v→, con lo que la escribiremos así:

(23) ϕ→a→ = dtd(ϕ→v→) + ϕ→[v→(∇⊗v→)]

Sabiendo por (7) que se verifica

v→(∇⊗v→) = v→(ω→×) + vπ→ = ω×v→ + π→v→ también se puede escribir en esta otra forma:

(24) ϕ→a→ = dtd(ϕ→v→) + ϕ→(ω→×v→) + ϕ→(π→v→)

y nos permitirá desarrollar las expresiones ∇a→,2∇×a→ y ∇⊗a→.

2.04.- Vamos a aplicar la ecuación (23) al desarrollo del tensor ∇⊗a→. Para ϕ→ igual a (∇⊗) podremos escribir:

)]v(v[( + dt

)vd( = a

rrr

r⊗∇⊗∇

⊗∇⊗∇

Pero el primer término del 21 miembro con (7) verifica:

dtd

+ dtd

= ] + )[(dtd

= )v(dtd πωπω

rrrrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××⊗∇

y utilizando un vector auxiliar m→ cualquiera con el segundo término, tendremos {∇⊗[v→(∇⊗v→)]}m→ =(m→∇)[v→(∇⊗v→)] =(∇⊗v→)[(m→∇)v→] =(∇⊗v→)[(∇⊗v→)m→] y por ser m→ un vector cualquiera y de acuerdo con '1.24, se tiene

21

∇⊗[v→(∇⊗v→)] = (∇⊗v→) ∗ (∇⊗v→) Sustituyendo los dos términos por las expresiones halladas podremos escribir

(25) )]v( )v[( + )v(dtd

= arrrr

⊗∇∗⊗∇⊗∇⊗∇

Por ser (∇⊗v→) igual a (ω→×)+π→ también se verificará:

(26) )(+)]}([+]){[(+)]()[(+dtd

+dtd

= a ππωππωωωπω rrrrrrrrrr

r∗×∗∗××∗×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×⊗∇

2.05.- Cálculo de ∇a→.

Aplicando la ecuación (24) al caso ϕ→= ∇ tendremos:

)v( + )v( + )v(dtd

= arrrrrr πω ∇×∇∇∇

y como ω→=2(∇×v→) por definición y (ω→×) y π→ son ortogonales por ser uno antisimétrico y el otro simétrico, y además (v→⊗∇) es el transpuesto de [(ω→×)+π→] se verifica: ∇(ω→×v→) = ω→(v→×∇) = -ω→(∇×v→) = -ω→(2ω→) = -2ω→2 ∇(π→v→) = π→(v→⊗∇) = π→[π→-(ω→×)] = π→π→ tendremos finalmente:

(27) ππωrrrrr

+ 2 - )v(dtd

= a 2∇∇

2.06.- Expresiones de 2(∇×a→).

Antes de hacer este estudio, advertiremos que cuando

usamos expresiones en que figuran dos operadores ∇ que afectan a dos vectores iguales a v→ en distinta situación, de manera que cada ∇ afecta a un solo v→, entenderemos que ∇ afecta solo a v→ y que ∇ sin subrayar afecta solo a v→ sin subrayar.

Sabiendo que ω→=2(∇×v→), aplicaremos las ecuaciones generales (23) y (7) al caso que nos ocupa, obteniendo:

(28) )]v(v[21

+ dtd

= )]v(vx[21 + )v(

dtd

21 = )a(

21 rr

rrrrr

⊗∇×∇⊗∇∇×∇×∇ω

(29) )v( + )v( = )]v(v[

rrrrrr πω ×∇××∇⊗∇×∇

Como el vector ∇×[∇(v→v→)] resulta idénticamente nulo, puesto que los dos factores v→ ocupan posiciones equivalentes y por tanto ∇×[∇(v→v→)] = 3(∇×∇)(v→v→) = 0→, y como ω→=2(∇×v→), al desarrollar el último término de la primera ecuación por una

22

conocida propiedad del doble producto vectorial,tendremos: ∇×2[v→(∇⊗v→)] = ∇×2[(v→∇)v→] = ∇×2[(v→∇)v→] - ∇×2[∇(v→v→)] = ∇×2[{(v→∇)v→} - {∇(v→v→)}] = ∇×2[(∇×v→)×v→] = ∇×(ω→×v→)

De acuerdo con esto y teniendo en cuenta la ecuación (29) podemos establecer: (30) 2{∇×[v→(∇⊗v→)} = ∇×(ω×v→) = ∇×(πv→) con lo que la ecuación (28) se podrá ampliar así:

(31) )v( +dtd

= )v( +dtd

=)]v(v[21 +

dtd

= )a(21 rr

rrr

rrr

rr πωωωω

×∇××∇⊗∇×∇×∇

Si desarrollamos ∇×(ω→×v→) por la anterior propiedad del

doble producto vectorial se verifica ∇×(ω→×v→) = ω→(∇v→) - (ω→∇)v→ y como (ω→∇)v→= ω→(∇⊗v→) = (ω→×)ω→ + π→ω→ = π→ω→ sustituyendo en la anterior expresión obtenemos ∇×(ω→×v→) = (∇v→)ω→ - π→ω→ y finalmente tenemos:

(32) ωπωω rrrrr

r - )v( +

dtd

= )a(21

∇×∇

2.07.- La expresión (26) de ∇⊗a→ se compone de cinco

términos, y es fácil comprobar que el primero y el cuarto son antisimétricos y que los demás son simétricos.

Siendo ∇a→ la traza de ∇⊗a→, es también igual a la suma de trazas de los términos simétricos

)(I + )]()[(I + dtd

I = )a(I = a ππωωπ rrrrrrr

rrrr∗×∗×⊗∇∇

Para el primer término del segundo miembro, de acuerdo

con (8), se verifica

)v(dtd

= )I(dtd

= dtd

Irrr

rr

∇ππ

y para el tercer término, teniendo en cuenta que un tensor simétrico puede representarse siempre en la forma ∑(ai⊗ai) y que (a→⊗b→)∗(c→⊗d→) = (a→d→)(c→⊗b→), se verifica

23

I→(π→∗π→) = ∑∑I→[(a→i⊗a

→i)∗(a→j⊗a

→j)] = ∑∑I→[(a→ia

→j)(a

→j⊗a→

i) = = ∑∑[(a→ia

→j)(a

→ia→

j)] = ∑∑[(a→i⊗a→

i)(a→j⊗a→j)] = π

→π→

Sustituyendo queda

ππωω rrrrrrr + )]()[(I + )v(

dtd

= a ×∗×∇∇

Por otra parte, el tensor [2(∇×a→)×],que según (4) y

(7) es la componente antisimétrica de ∇⊗a→, será igual a la suma de los términos antisimétricos, o sea:

)}]({+})[{( + dtd

= ])a(21[ ×∗∗×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×××∇ ωππωω rrrr

rr

Teniendo en cuenta estos resultados, de la comparación de las últimas expresiones de ∇a→ y [2(∇×a→)×] con las ecuaciones (27) y (31), resulta: I

→[(ω→×)∗(ω→×)] = - 2ω→2

[(ω→×)∗π + π→∗(ω→×)] = [∇×(π→v→)]× como se podría demostrar directamente.

2.08.- Movimiento en volumen

Sea un punto material O y en el sistema de referencia natural de este punto una superficie continua y cerrada que, conservando siempre el punto en su interior, tiende hacia cero al mismo tiempo que el volumen que determina.

Llamaremos ds→i a los elementos vectoriales que corresponden a cada elemento de la superficie al adoptar para sentido positivo el centrífugo y r→i a los vectores de posición con origen en O de tales elementos superficiales. Tendremos por hipótesis ∑ds→i=0

→.

Refiriéndonos ahora a la materia encerrada en esta superficie y a su movimiento a través del tiempo, el incremento de su volumen dV en un tiempo dt será la suma de los espacios barridos por cada elemento de superficie ds→i, desde la posición original de la materia a la posición posterior determinada por el vector velocidad v→ri correspondiente y el tiempo dt, posición posterior que tiende a ser paralela a la primitiva al tender dt a cero.

Como el espacio barrido por un elemento de superficie es entonces dVi= ds

→i(v→ridt), al ser I

→ el tensor fundamental y saber

por (19) que v→ri= π→r→i, podremos escribir

dVi = (I

→ds→i)(πr

→i)dt

expresión que, por cálculo tensorial, sabemos integrar para todo

24

el elemento de volumen V con el siguiente resultado: dV = (I

→π→)V dt y como I→π→ sabemos por (8) que es igual a la traza de ∇⊗v→ cuyo valor es ∇v→, escribiremos: dV = (∇v→)V dt ⇔

(33) V)(dtd

= v = dtVdV

dt )v( = VdV

lrr ∇⇔∇⇔

Así pues, para cada punto, ∇v→ es igual a la velocidad

relativa del aumento de volumen.

El sentido positivo adoptado para los vectores que representan los elementos de superficie, nos ha permitido hacer corresponder en el cálculo, una diferencial de volumen positiva con una dilatación y una negativa con una compresión.

El mismo resultado habríamos obtenido sin acudir al sistema de referencia natural del punto 0, pues aparecería entonces ∇⊗v→ en lugar de π→, pero I→π→=I→(∇⊗v→)=∇v→.

2.09.- Conservación de la masa.

Como cada partícula infinitesimal de materia con

volumen V y masa específica ρ tiene una masa ρV, en Mecánica podemos expresar la ley de la conservación de la masa, con la condición

Cte. = V + 0= VdV

+ d

0 = V)d( llρρρρ ⇔⇔

para cualquier particula identificable, en cualquier cambio de situación espacio-temporal.

Por consiguiente, de acuerdo con (33) tendremos:

(34) )v(- = dtd

dt

)d(- = v 0 = )dtv( +

d rlrrr ∇⇔∇⇔∇ ρρρρρ

Como por otra parte por (12) se verifica

t

+ )v( = dtd

∂∂

∇ρρρ r

restando de esta ecuación la anterior miembro a miembro, tenemos

⇔∂∂

∇∂∂

∇∇ t

+)v( = t

+ )v( + )v( = 0ρρρρρ rrr

25

(35) )v( - = t

rρρ∇

∂∂

Esta igualdad es la que expresa normalmente la ley de

conservación de la masa en un sistema material móvil regular.

2.10.- Podemos hallar una expresión de la condición anterior en función de cualquier magnitud tensorial τ→ de punto material, pues por cálculo diferencial sabemos que se verifica:

dtd

+ dtd

= dt

)d( ρττρτρ rrr

y dando el valor de (34) a la derivada de ρ, se obtiene:

(36) dt

)d( + )v)(( =

dtd

)v)((-dtd

= dt

)d( τρτρτρτρτρτρ rrr

rrr

rr

∇⇔∇

2.11.- Finalmente hallaremos otra expresión interesante

de la misma condición, referida a derivadas parciales. Para ello desarrollaremos los dos últimos términos de la última ecuación. El segundo término aplicando (2) a ρτ→. ρτ→(∇v→) = ∇(v→⊗ρτ→)= ∇(v→⊗ρτ→)- ∇(v→⊗ρτ→) = ∇(ρv→⊗τ→)-(v→∇)(ρτ→)

(37) t)(

+ ))(v( = dt

)d(∂

∂∇

τρτρτρ rrr

r

Sustituyendo su suma en la 20 ecuación (36) y teniendo

en cuenta que se anulan entre sí dos de los términos resultantes, obtenemos finalmente

(38) t)(

+ )v( = dtd

∂∂

⊗∇τρτρτρr

rrr

2.12.- Deformaciones. Posición original.

Vamos a estudiar ahora los sistemas materiales en

movimiento regular, haciendo referencia a una situación y a una distribución especial de sus puntos materiales estimadas posibles para un momento dado, y concretamente supondremos que esta distribución corresponde al estado natural o de no deforma-ción de la materia.

Admitida la posibilidad de tal estado, podremos considerar que cada punto material móvil corresponde a un punto espacial único y determinado del sistema de referencia que indica su posición en una distribución ideal de no deformación. Queda así definida una magnitud vectorial p→ de punto material que denominaremos punto o vector de posición original.

El valor de p→ es así una señal de identidad del punto material a través del tiempo, y se verifica siempre:

26

(39) 0 = dtpd rr

En un instante dado y refiriéndonos a un punto en que

la derivada espacial de p→ es ∇⊗p→, para otro punto material de su entorno infinitesimal tendremos según (2): (40) dp→ = (∇⊗p→)dr→ o sea que ∇⊗p→ es el tensor de la aplicación lineal que en este momento hace corresponder al vector distancia actual dr→ entre dos puntos materiales el vector distancia natural dp→ entre los mismos. Su componente simétrica (∇⊗p→)s señala, por tanto, la configuración estructural de la materia en el entorno infinitesi-mal común y su componente antisimétrica (∇⊗p→)a indica la rotación efectuada respecto a la posición considerada como original.

El núcleo del tensor ∇⊗p→ ha de ser únicamente el vector nulo, puesto que de lo contrario, a algún dr→ no nulo correspondería dp→=0→, o sea la existencia de un mismo punto material en dos puntos geométricos distintos, y esto se opondría a la hipótesis admitida sobre la naturaleza del cuerpo elástico. Esta característica se puede expresar así: (41) El tensor ∇⊗p→ es un tensor regular.

Sólo en los puntos de una zona en estado natural se verificará pues: (∇⊗p→)s = ∇⊗r→ = I→; ∇p→ = ∇r→ = 3; 2.13.- Vector desplazamiento.

Llamaremos así al vector diferencia entre el vector de posición r→ de un punto material y el vector p→ propio del punto y lo representaremos por s→. Así pues, para todo punto material se verificará; s→ = r→ - p→ ∇⊗s→ = ∇⊗r→ - ∇⊗p→ = I→ - ∇⊗p→ ∇s→ = ∇r→ - ∇p→ = 3 - ∇p→

tp

- = ts

;v = dtrd

= dtsd

∂∂

∂∂

rrr

rr

y en el estado natural, indicando con subíndice s el componente simétrico de un tensor, se verifica: (∇⊗s→)s = 0

→; ∇s→ = 0→

2.14.- Relación entre ∇⊗p→ y ∇⊗v→.

27

Teniendo en cuenta (39) al aplicar la ecuación (12) a la magnitud p→, obtenemos:

tp

+ p)v( = 0 = dtpd

∂∂

∇r

rrrr

Derivando espacialmente miembro a miembro se tiene:

)p(t

+ ]p)v[( + ]p)v[( = tp

+ ]p)v[( = 0rrrrr

rrrr

⊗∇∂∂

∇⊗∇∇⊗∇∂∂

⊗∇∇⊗∇

y desarrollando los tres últimos términos (ver apéndice), y sustituyendo por sus expresiones finales obtenemos:

)p(dtd

= )v()p(- )p(dtd

+ )v()p( = 0rrrrrrr

⊗∇⊗∇∗⊗∇⇔⊗∇⊗∇∗⊗∇

Si tenemos en cuenta que ∇⊗p→ según (41) es un tensor

regular, tendrá inverso, y además su producto matricial por este inverso será el tensor fundamental I

→.

Por consiguiente, al multiplicar matricialmente los dos

miembros por el inverso de ∇⊗p→ se tendrá:

(42) dt

)pd( )p( = )v(- 1-

rrr ⊗∇

∗⊗∇⊗∇

y si, por similitud a las ecuaciones escalares, representamos la integral ε→ del último miembro por el logaritmo natural simbólico del tensor ∇⊗p→, tendremos finalmente:

(43) dtd

= )v(- ;)]pd( )p[( = )p( = 1- εεr

rrrrl

r⊗∇⊗∇∗⊗∇⊗∇ ∫

2.15.- Descomposición del tensor integral ε→.

Llamando (η→×) y ξ→ a los componentes antisimétricos y

simétricos respectivamente de la magnitud tensorial -ε→, y recordando que dichos componentes para ∇⊗v→ son respectivamente (ω→×) y π→ podremos escribir:

(44) dtd

= ;dt

]d[ = )(

dt)+]d([

= + )(ξπηωξηπωr

rr

rrr

rr ××⇒

××

Al tensor ξ→ lo denominamos tensor de deformación y nos

indica la deformación de la materia en el entorno de un punto.

De la multiplicación contracta por I→ de las ecuaciones

(43) y (44) resulta una ecuación entre trazas:

28

(45) dt

)Id( =

dt)Id(

- = vξεrrrr

r∇

y por otra parte, si V es el volumen y ρ la densidad de un elemento material determinado perteneciente al entorno infinite-simal de un punto material en movimiento, por las ecuaciones (33) y (34) tendremos:

dt

)d(- =

dtV)d(

= vρllr

∇

y por consiguiente

)-(I = )-(I- = V

V = -

0000

ξξεερρ rrrrrr

ll

(46) )Id(- = )Id( = d

- = VdV

;e = = V

V )-(I0

0

0 εξρρ

ρρ ξξ rrrrrrr

El coeficiente de dilatación volumétrica, en el entorno

del punto material en cuestión, es pues I→ξ→, o sea la traza de ξ→ y

ésta coincide con la traza de -ε→.

2.16.- Matrices de ξ→ y dξ→.

Adoptando el sistema natural de referencia 2 de un punto material tomado como origen, sabemos por (19) que la velocidad del punto r→ de su entorno infinitesimal es π→r→. Por consiguiente, al sustituir π→ por el valor dado en (44) tendremos:

(47) r)(d = )r(d rdtd

= r = dtrd

22

rrrrr

rrr

ξξπ ⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Por otra parte, si el sistema coordenado elegido es

ortonormal, no habrá inconveniente en designar las matrices de ξ→ y de su diferencial de la siguiente manera:

(48)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

eddd

dedd

dded

= }{d ;

e

e

e

= }{

zxy

xyz

yzx

zxy

xyz

yzx

γγ

γγ

γγ

ξ

γγ

γγ

γγ

ξrr

Sea en el espacio natural de un punto material, tomado

como origen, un cubo de arista r escalar e infinitesimal, tal que el punto es uno de sus vértices y que sus aristas siguen las direcciones de un sistema coordenado ortonormal, de versores i→,j→ y k→, y vamos a hallar la significación de los términos de dξ→, con respecto al mismo.

29

r→=ri→ ⇒ dr→=(dξ→)(ri→) = r[(dξ→)i→] = r(dexi→+dγzj

→+dγyk→)= A

_A→3

r→=rj→ ⇒ dr→=(dξ→)(rj→) = r[(dξ→)j→] = r(dγzi→+deyj

→+dγxk→)= B

_B→3

Por consiguiente:

dex = AA1/r; dey = BB1/r dγx = B2B3/r; dγy = A2A3/r dγz = A1A2/r = B1B2/r

Como dξ→ es infinitamente pequeño también tendremos: dγz = A1OA2 = B1OB2 = αxy

La deformación angular del primitivo ángulo recto AOB al pasar a ser A3OB3 será pues sensiblemente igual a A2OB2 y vale 2dγz en total.

Así pues dγz representa la mitad de la deformación angular del

angulo XOY, y análogamente sucede con dγy y dγx Hacemos observar que, en general, el tensor deformación

se define como función lineal de los desplazamientos infinitesi-males de los puntos materiales del entorno infinitesimal del punto de aplicación y en el sistema natural del punto, partiendo de la posición de no deformación. Coincide así pues con el tensor dξ→ aquí definido para ξ→=0→, y es equivalente a éste para pequeñas deformaciones.

Vemos que ex, ey y ez son los coeficientes de dilatación lineales en sentidos OX, OY y OZ respectivamente y comprobamos así que la traza de ξ→, o sea la de su matriz, es el coeficiente de dilatación volumétrico.

2.17.- Tensor (η→×). Por lo que respecta al tensor (η→×) definido por la

ecuación (44), podríamos llamarlo tensor de desviación en la orientación, puesto que nos indica esta desviación respecto a una supuesta orientación original. Por consiguiente, η→ sería el ángulo de desviación, ya que su derivada respecto al tiempo es ω→, o sea la velocidad angular de rotación.

2.18.- Tensor eεr

Llamamos así al tensor definido por la siguiente serie tensorial:

A

Figura 1

X

YO

Zαxy

αxy

B

A1 A2

A3

B3

B2

B1

30

(49) .... + n!

+.... + 2!

+ 1! + I = e

nεεεεεrrrr

rr ∗∗

en cuya expresión e es el número de Euler, ε→ una magnitud tensorial de 21 orden y ε ∗n el producto matricial de n factores iguales a ε→.

Este tensor tiene por inverso a e-εr

o sea el tensor expresado por la misma serie tensorial anterior en que figura -ε→ en lugar de ε→. Efectivamente, multiplicando matricialmente la serie tensorial de eε

r

por la de e-εr

, obtenemos para cada término del producto los mismos coeficientes que se obtendrían multiplicando las series escalares eα y e-α y estos son todos nulos menos el primero que es la unidad resultando eαe-α=1. Por lo tanto eε

r

∗e-εr

= I→.

En consecuencia los tensores eε

r

son regulares.

También tenemos que las series tensoriales que los definen son convergentes, por serlo las series matriciales correspondientes según el cálculo matricial.

Finalmente, definiremos como logaritmo natural de un tensor eε

r

al exponente ε→ y escribiremos )e( εr

l = ε→.

2.19.- Teniendo en cuenta lo dicho en los párrafos anteriores y la analogía entre la serie exponencial tensorial aquí definida y la serie exponencial escalar ordinaria, vamos a sustituir en la ecuación (43) ∇⊗p→ por el tensor exponencial anteriormente definido.

El exponente ε→ coincidirá con la integral de (43) sólo en aquellos valores para los cuales se verifique

(50) dtd

= dt

)]e(d[ =

dted)e( 1- εεε

εr

lrr

r

∗

o sea que se verifique la ecuación equivalente que resulta de multiplicar matricialmente los miembros extremos por eε

r

:

dtd

)e( = dted εεε r

rr

∗

Para comprobar esta igualdad, habrá que derivar la

serie tensorial término a término. Tomando como ejemplo el término 41 tendremos: (51) d(ε→∗3) = d(ε→∗ε→∗ε→) =(dε→)∗ε→∗ε→ + ε→∗(dε→)∗ε→ + ε→∗ε→∗(dε→)

Pero es fácil ver que sólo si se verifica (52) d(ε→∗n) = nε→∗(n-1) ∗dε→ se obtendrá la igualdad en cuestión, ya que sólo en tal caso

31

tendremos:

dtd

e = dtd

+ n!

n!3

3

2!2

+ 1!I1

+ 0 = dted 1)-(n2 εεεεε εε rr

Kr

K

rrrr r

r

∗∗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∗∗

Ahora bien, el verificarse (52) exige que el valor de ε→

sea un tensor escalar expresable por αI→ ó perteneciente a su entorno infinitesimal, con lo cual tendremos:

I)e( = + I2!

+ I1! + I = e

2I

rK

rrrrαα αα

Esta exigencia se cumple también al considerar incluído

entre los tensores escalares al tensor nulo, a cuyo entorno infinitesimal pertenecen las deformaciones infinitamente pequeñas con valores de ε→ infinitesimales. Pues tenemos entonces:

εεε εεε rrrr rrr

d e = d = )ed( ; + I = e ∗ Resumiendo, la magnitud ε→ que hemos utilizado en (49),

se puede considerar como coincidente con la magnitud integral de la función (43) de ∇⊗p→ sólo cuando nos referimos a entornos infinitesimales de valores de ∇⊗p→ que comprendan algún tensor escalar, incluído el nulo, pues entonces dε→ coincide con la diferencial de una magnitud integral exacta.

Para la correcta expresión de esta integral exacta también estimamos interesante estudiar los valores que puede tomar dε→ para cada valor de ∇⊗p→ que sea compatible con la necesidad de que ∇⊗p→ sea regular. Aquí hemos considerado que para los valores correspondientes a tensores escalares no hay incompatibilidades.

2.20.- De todo lo que acabamos de exponer y de la ecuación (43) deducimos que para todo punto en cuyo entorno infinitesimal el estado de la materia sea compresión pura, dilatación pura o el estado natural (o sea ∇⊗p→=αI→) podemos aplicar la ecuación general:

dtd

- = vε∆r

r⊗

tomando como integral ε→, y solo para este caso, el tensor utilizado en la ecuación (49).

33

C.- ESTÁTICA Y DINÁMICA

1.- Magnitudes tensoriales de superficie. Tensión.

l.01.- Análogamente a las magnitudes de volumen, las magnitudes de superficie son aquellas, tales que su valor para un conjunto de superficies es la suma de los valores de cada parte. Por lo tanto las tensoriales son las de expresión diferencial

dF→=τ→ds→ en que ds→ representa una

superficie infinitesimal que rodea a un punto y τ→ el valor para este punto de alguna magnitud tensorial de punto.

La magnitud de superficie más sencilla es el vector superficie s→ utilizado en la fórmula de Stokes. Con él tenemos τ→=I→ (tensor fundamental) y I

→ds→=ds→. Por cálculo tensorial

sabemos que su integral sobre una superficie cerrada es nula.

Adoptaremos esta magnitud vectorial para representar las superficies en la ecuación diferencial general de las magnitudes tensoriales de

superficie ya que, efectivamente, el producto contracto de ds→ por cualquier tensor τ→ resulta ser cualquier tensor de superficie. Así también, un diferencial de cualquier magnitud tensorial de superficie puede considerarse función lineal de ds→.

En una superficie cerrada y de no decir lo contrario, para los vectores de superficie consideraremos positivo el sentido de dentro a fuera.

1.02.- Estática de los sistemas regulares deformables.

En la mecánica de los cuerpos rígidos, se denominan fuerzas exteriores los agentes causantes de sus variaciones de movimiento y se distinguen dos géneros de fuerzas:

a) Fuerzas de superficie. Actúan sobre la superficie exterior del cuerpo y son una magnitud vectorial de superficie de las que acabamos de definir.

b) Fuerzas de volumen o de campo. Actúan directamente sobre la materia del cuerpo en cada punto o elemento de volumen, y por tanto son magnitudes vectoriales de punto.

El único efecto que producen las fuerzas exteriores en un cuerpo perfectamente rígido depende solo de su resultante y de su momento resultante y es la mencionada variación en su estado

M

ds→

dF→

34

de movimiento. Decimos que el cuerpo está en equilibrio cuando son nulos tanto la resultante como el momento resultante para todo punto y entonces, en un sistema inercial no se modifica la velocidad de traslación de los puntos del cuerpo.

Así pues, la introducción o retirada de un sistema de fuerzas elementales de superficie de resultante y momento nulos, en su aplicación a un cuerpo absolutamente rígido, no se manifiesta en su movimiento, pero en su aplicación a un cuerpo deformable se manifestará en movimientos internos.

Aplicadas a un cuerpo perfectamente elástico, como sus transformaciones son adiabáticas por definición, resulta de admitir el principio de la conservación de la energía, que los movimientos internos no cesarían nunca, y solo disminuirían por propagación de la energía al exterior.

Si el cuerpo deformable no es perfectamente elástico, al cabo de un tiempo de la aplicación de las fuerzas, desaparece-rán los movimientos internos por efecto de los rozamientos y quedará el cuerpo en equilibrio completo conservando el centro de gravedad su trayectoria uniforme primitiva.

El estudio de los cuerpos deformables continuos exige pues considerarlos como conjuntos de partes de su misma naturale-za. Dos partes contiguas tendrán una superficie común de separación. La superficie del cuerpo total se compone de las superficies exteriores de las partes.

Teniendo en cuenta que una deformación es un movimiento material, ampliaremos para ellos el concepto de fuerza al de agente inductor de movimientos materiales en general.

El equilibrio de un cuerpo deformable continuo consistirá evidentemente en el equilibrio de todas y cada una de sus partes, y una condición necesaria y no siempre suficiente para este equilibrio es que se cumplan las condiciones de equilibrio para el cuerpo supuesto rígido (postulado de las ligaduras adicionales).

1.03.- Las hipótesis de trabajo son las siguientes:

HIPÓTESIS 11.- La acción sobre una parte, de las demás partes del cuerpo, a través de cada elemento de la superficie de separación, puede expresarse por una magnitud vectorial f→ de superficie, que llamamos tensión. Su asimilación a una fuerza exterior de superficie permite, al ser conocida, considerar el equilibrio de esta parte prescindiendo de las demás.

HIPOTESIS 20.- La acción a través de un elemento de superficie de una parte sobre otra, es igual y opuesta a la acción de la última sobre la primera (Principio de acción y reacción).

En virtud de estas hipótesis, la resultante de las fuerzas exteriores a un cuerpo es independiente de si es rígido o

35

deformable, ya que la resultante de las tensiones internas es nula. Lo mismo sucederá con el movimiento de su centro de gravedad.

HIPÓTESIS 30.- Cuando el volumen de una parte tiende a cero, las condiciones de equilibrio de esta parte tienden a ser las de un cuerpo rígido.

1.03.- Tensor de tensión. Tensiones.

Siendo los tensiones f→, según las hipótesis anteriores,

magnitudes vectoriales de superficie de las definidas en '1.01 y asimiladas a fuerzas de superficie, existirá una magnitud tensorial τ→ de punto, llamada tensor de tensión tal que para un elemento de superficie ds→ y una superficie s verificará:

df→= τ→ds→; f→ = ∫s τ

→ds→ siendo f→ la fuerza resultante en la superficie s.

De acuerdo con lo indicado en A'2-60, admitiremos también:

HIPÓTESIS 40.- El tensor de tensión es función regular del vector de posición del punto de aplicación y por tanto varía linealmente con dr→ en su entorno infinitesimal.

Será pues aplicable la ecuación (2): (53) dτ→ = (∇⊗τ→) dr→

La matriz de τ→, en un sistema de referencia inercial ortonormal, y para un punto determinado del cuerpo, se acostumbra a representar así:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

σττ

τστ

ττσ

τ

zzyzx

yzyyz

xzxyx

= }{r

1.04.- Ecuaciones indefinidas de equilibrio.

10 ecuación.- Sea un elemento material de volumen V

infinitamente pequeño, que contiene un punto A que tomamos como origen de los vectores de posición. Designemos por ds→i a cada elemento de su superficie, por r→i el vector de posición corres-pondiente y por τ→ el tensor de tensión en el origen A. En cada elemento de superficie la tensión soportada por el elemento (sentido de fuera a dentro) será: -[τ→ + (∇⊗τ→)r→i] ds

→i = -τ

→ds→i - (∇⊗τ→)(r→i⊗ ds→i)

y para toda la superficie, como ∑ds→i = 0

→, tendremos:

-∑(τ→ds→i) - ∑[(∇⊗τ→)(r→i⊗ds

→i) = -(∇⊗τ→)∑(r→i⊗ ds

→i)

36

y como por cálculo tensorial sabemos que el valor de la suma indicada es I

→V, siendo I

→ el tensor fundamental, la resultante de

las tensiones es: -(∇⊗τ→)I→V = -(∇τ→)V

De acuerdo con la hipótesis 30, si F→ es la fuerza

interior de volumen por unidad de volumen que actúa en la partícula (por ejemplo el peso específico), si ésta está en equilibrio tendremos: F

→V = -(∇τ→)V

y la primera ecuación es: (54) F

→ + (∇τ→) = 0→

20 ecuación.- Sea el mismo elemento material anterior.

Tomando momentos de las tensiones respecto al origen, el momento de la tensión correspondiente al elemento ds→ será - r→i×(τ

→ds→i) - r→

i×[(∇⊗τ→)(r→i⊗ds→

i)] y para toda la superficie : -∑[r→i×(τ

→ds→i) - ∑{ri×[(∇⊗τ→)(r→i⊗ds→i)]}

Teniendo en cuenta que en principio el segundo término

es de orden infinitesimal inferior al del primero, bastará considerar el primer término. Multiplicándolo por cualquier vector a→, tendremos: ∑{a→[r→i×(τ

→ds→i)]} = ∑{(τ→ds→i)(a→×r→i)}

Siendo a→ cualquier vector, α→=(a→×) será cualquier tensor

antisimétrico y podemos escribir ∑[(τ→ds→i)(α

→r→i)] y por cálculo tensorial sabemos que equivale a (τ→α→)V

Siendo de inferior orden infinitesimal los momentos de las fuerzas internas de volumen, cuando la partícula se halle en equilibrio, esta expresión deberá anularse para cualquier α→, y como α→ es cualquier tensor antisimétrico, la 20 ecuación o condición de equilibrio es la siguiente: (55) τ→ = Tensor simétrico. o sea que se verifique τxy = τyx; τyz = τzy; τzx = τxz

1.05.- Para τ→ simétrico, su matriz en un sistema

37

inercial ortonormal tomará la siguiente forma:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

σττ

τστ

ττσ

τ

zxy

xyz

yzx

= }{r

Vamos a ver el significado de cada término en una

partícula cúbica infinitesimal de centro O, orientada según los ejes del sistema.

Sean i→, j

→, k

→ los versores de dirección OX,OY y OZ

respectivamente, ds la superficie de cada cara, dfx,dfy y dfz los módulos de las componentes según los ejes de la tensión df→ tensión en la cara OX. σx = i

→(τ→i→) = dfx / ds = Módulo del esfuerzo normal.

(De acuerdo con la convención de signos, σx es positivo para la dilatación y negativo para la compresión) τz = j

→(τ→i→) = dfy / ds = Módulo del esfuerzo tangencial YY'.

τy = k

→(τ→i→) = dfz / ds = Módulo del esfuerzo tangencial ZZ'.

y así sucesivamente para las demás caras.

1.06.- Presión.-

Denominamos presión a la siguiente magnitud escalar

3

de Traza- =

3I

-=pττ rrr

con I

→ tensor idéntico, que en un sistema ortonormal viene

expresada por p= - 1/3 (σx + σy + σz)

La presión se considera positiva cuando es una extensión, es decir, cuando su sentido va de dentro a fuera. Normalmente se entiende presión por compresión con sentido de fuera a dentro y entonces es negativa.

1.07.- Descomposición de τ→ en dos sumandos τ→1 y τ→2,

el primero de traza nula y el segundo tensor escalar, ambos simétricos y ortogonales entre sí.

Esta descomposición se ha estudiado ya con el tensor π→ en B'1.06 al que nos remitimos. Vimos que los tensores simétricos de traza nula y los escalares forman subespacios tensoriales ortogonales entre sí y tales que su suma es el subespacio tensorial de los tensores simétricos y vimos también que la descomposición de un tensor

38

simétrico en estos subespacios es única y determinada.

Con la representación adoptada para la matriz de τ→ , podremos escribir:

(56) }Ip{- =

p-00

0p-0

00p-

= }{ ;

p+

p +

p+

= }{ 2

zxy

xyz

yzx

1

rrr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τστττστττσ

τ

1.08.- Límites del estado elástico de la materia.

Es sabido que, aparte del fenómeno de rotura, existen

solicitaciones de la materia que no se pueden sobrepasar por haber llegado a la plasticidad.

Como las solicitaciones de la materia en cada punto se miden a través de valores deducidos del tensor de tensiones en tal punto y evidentemente estos valores no han de depender del sistema de referencia adoptado para medir el tensor, para determinar valores límites con toda generalidad, solo podremos considerar invariantes escalares.

Hay una experiencia que aconseja considerar el valor máximo posible del invariante τ→1τ

→1 para el material que se

estudia, como indicador del límite ó constante de plasticidad, máximo que designaremos por 2h2. Al valor h le llamaremos constante de plasticidad.

La experiencia consiste en colocar un sólido rectangu-lar entre dos platos paralelos indisolublemente unido a ellos, y manteniendo inmóvil el plato inferior, aplicar al otro una fuerza paralela a ambos tratando de desplazarlo. De esta manera, la materia en reposo del sólido está solicitada uniformemente por un tensor de tensiones, cuya matriz, en el sistema ortonormal construído sobre las direcciones normal a los platos y de la fuerza, tiene solamente dos elementos no nulos por ejemplo los dos τy, cuyos valores absolutos son proporcionales a las fuerzas aplicadas.

Esta experiencia nos muestra que al tomar fuerzas cada vez mayores, ocurre lo mismo con las deformaciones elásticas, pero solo hasta llegar a una fuerza determinada correspondiente a un valor absoluto máximo de τy que no es posible sobrepasar. Si no hay ligaduras especiales, los intentos de sobrepasar esta fuerza solo conducen a deformaciones plásticas.

El citado valor absoluto máximo, de acuerdo con lo que acabamos de describir, toma el nombre de constante de plasticidad y es fácil ver que coincide con la definición que antes hemos dado.

Una consecuencia inmediata de esta definición de la constante de plasticidad es que en las compresiones uniformes de la materia, como el valor de τ→1 es nulo, no se alcanza el límite

39

de elasticidad.

Otra consecuencia es que, cuando el límite de plastici-dad es muy pequeño, estamos en la situación a que nos referíamos en B.'2.20. 1.09.-Relación general entre tensiones y deformacio-nes.

Es un hecho experimental que la modificación del sistema de fuerzas a que está sometido un cuerpo elástico da lugar a modificaciones en la deformación correspondiente a su estado de equilibrio.

Es evidente por otra parte, que la variación en dicho sistema de fuerzas altera el valor del tensor de tensiones en los distintos puntos del cuerpo en equilibrio, de acuerdo con la definición del tensor, y en sentido de mayor tensión por mayor deformación.

Como la estructura ó forma de la materia en un punto viene dada por el tensor ∇⊗p→ (B'2.12), siendo p→ la magnitud vector de posición original, la deformación será una función del mismo, y dado lo visto en B'2.15 y B'2.16 podremos ensayar el expresarla con el componente simétrico del tensor ε→ o sea ξ→, en el bien entendido de admitir que se verifica lo siguiente:

En estado de equilibrio y para cada punto material el tensor de tensión es función lineal del tensor de deformación: (Ley de Hooke) (57) τ→ = β→ξ→ en cuya expresión β→ es una constante llamada tensor elástico. Es de cuarto orden y depende de la naturaleza de la materia.

Por ser simétrico el tensor de tensión, el tensor elástico tendrá simetría 3-4 y por ser simétrico el tensor de deformación, podremos admitir una simetría 1-2. Finalmente, la experiencia demuestra que también tiene la simetría 12-34.

Gracias a estas simetrías, para su cálculo basta con hallar 21 términos de su matriz, en lugar de los 81 que tiene.

Esta ley ó ley de Hooke, se demuestra experimentalmente en pequeñas deformaciones de la materia elástica. La principal experiencia es la siguiente:

Sea sobre una base fija un prisma rectangular elástico homogéneo e isótropo de altura c muy grande y dimensiones transversales a y b, que está sujeto a una tensión T vertical, bajo cuyo efecto sufre un pequeño alargamiento γ= ∆c/c, y las dimensiones transversales los acortamientos α=∆a/a y β=∆b/b.

Resulta que γ solo varía con T/ab y en forma directa-mente proporcional, mientras que α y β son iguales entre sí y

40

proporcionales a γ y por tanto a T/ab.

En estas condiciones y en el sistema ortonormal de las aristas del rectángulo se puede suponer una matriz de τ→ con todos los elementos nulos menos σx, y como las deformaciones son muy pequeñas podemos tomar ξ→ por dξ→, con lo que su matriz solo tiene los elementos diagonales no nulos. Tendremos:

-m= ee =

ee E;=

e x

z

x

y

x

xσ

con m y E escalares constantes. Siendo una matriz función lineal de la otra, y por tanto lo mismo sucederá con los tensores correspondientes, cumpliéndose la ley de Hooke.

Consecuencia de dicha ley es que se verificará (58) dτ→ = β→dξ→

Partiendo de la anterior igualdad, adoptaremos la siguiente hipótesis:

HIPÓTESIS 50.- En todo punto material en equilibrio el tensor de tensión varía linealmente con el tensor de deformación, al variar éste infinitamente poco.

De ella a su vez se deduce la ley de Hooke cuando se aplica a pequeñas deformaciones a partir del estado natural o de no deformación de la materia.

Esta hipótesis es además aplicable a pequeñas deforma-ciones partiendo de una deformación inicial.

1.10.- Como en este texto solo consideraremos cuerpos elásticos isótropos, o sea sin direcciones privilegiadas, en nuestro caso el tensor elástico debe ser isótropo.

Llamando τ→1 y τ→2 a los componentes simétricos de τ

→ de traza nula y escalar respectivamente, ξ→1 y ξ→2 a los mismos componentes de ξ→, y recordando del cálculo tensorial las propiedades de los tensores isótropos de cuarto orden, tendremos: dτ→1 = k1dξ

→1; dτ

→2 = k2dξ

→2

(59) dτ→ = k1dξ

→1 + k2dξ

→2

siendo k1 y k2 escalares dependientes del material.

Sabiendo que se verifica ξ→1 = ξ→ - ξ→2 y haciendo k1=2µ y

k2 - k1 = 3λ, podemos escribir: dτ→ = k1dξ

→1 + k2dε

→2 = k1(dξ

→-dξ→2)+ k2dξ

→2 = k1dξ

→+ (k2-k1)dξ

→2

(60) dτ→ = 2µdξ→ + 3λdξ→2 = 2µdξ

→1 + (2µ + 3λ)dξ

→2

41

Los escalares µ y λ reciben el nombre de 11 y 21 coeficiente de Lamé respectivamente.

Si entre 0→ y τ→ son constantes µ y λ, se verifica la ley

de Hooke y las ecuaciones (57) y (60) se transforman en: τ→ = 2µξ→ + 3λξ→2 = 2µξ

→1 + (2µ + 3λ)ξ

→2

1.11.- Fórmula de las presiones.

Escribamos la ecuación de las trazas correspondientes a

la ecuación (60) teniendo en cuenta (56) y que la traza de un tensor simétrico es igual a la traza de su componente escalar: Traza de dτ→ = Traza de dτ→2 = I

→d(-pI

→) = -3dp

Traza de dξ→ = Traza de dξ→2 = d(I

→ξ→) = I→dξ→

Sustituyendo estos valores tendremos: -3dp = 2µ(I→dξ→) + 3λ(I→dξ→)

(61) ξλµ rrdI

33+2

= dp −

Para ξ→ infinitesimal, esta expresión se convierte en

(62) ξλµ rrI

33+2

- = p

1.12.- Módulos.

Llamamos módulos a ciertos valores característicos

de cada material que afectan a su comportamiento elástico y que son constantes dentro de cierto margen de deformaciones. Tales son por ejemplo los valores k1 y k2, así como los µ y λ (coeficientes de Lamé) ya mencionados en los párrafos anteriores.

Podemos encontrar otros, que siempre podrán ponerse en función de un par de los mencionados. En general, dentro de un conjunto de módulos, no se pueden escoger más de dos que sean independientes.

A continuación describiremos los módulos más usados.

1.12.1.- Módulo de compresibilidad χ.

Es la relación por cociente entre el esfuerzo diferencial de compresión -dp y el incremento de volumen relativo que produce en un elemento material. Tenemos pues

42

(63)

VdVdp

- = V)d(

dp- =

lχ

y como teniendo en cuenta (33) y (45) se verifica:

(64) ξrr

dI = VdV

al sustituir en (63) el valor de dp dado por (61), resulta:

(65) 33 + 2

= dI

dI33 + 2

- - =

λµξ

ξλµ

χ rr

rr

que expresa el módulo de compresibilidad en función de los coeficientes de Lamé.

1.12.2.- Módulo de rigidez G.

Es el coeficiente de proporcionalidad entre la deformación angular de un ángulo recto y el diferencial del incremento en el esfuerzo tangencial correspondiente.

Sabemos por (60) que dτ→=2µdξ→+3λdξ→2. Si nos referimos a la figura 1 y a un sistema ortonormal, tendremos: dτz = 2µdγz y por lo visto en '2.16 podremos escribir:

µγτ =

2dd

= Gz

z

El módulo de rigidez es pues igual al primer

coeficiente de Lamé.

1.12.3.- Módulos de elasticidad E y de Poisson m.

Se definen, para el caso de ξ→ muy pequeño, en la correspondencia utilizada en la experiencia de '1.08:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

e00

0e0

00e------

000

000

00

z

y

xxσ

con ey=ez, por las expresiones

43

(66) ee- =

ee- =m ;

e = E

x

z

x

y

x

xσ

Aplicando la ecuación (60) para cuando se verifica la

ley de Hooke, tenemos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

λµλλµλµµ

σ

λµ

λµσ

2 +2 =

ee-

e +

)3 + (2 =

3e2 +e3 + e2 =0

3e2 +e3 + e2 =

x

y

xx

yxy

yxxx

y por consiguiente su valor en función de µ y λ será

λµ

λλµλµµ

2 + 2 =m ;

+ )3 + (2

= E

1.13.- Ecuación fundamental de la Dinámica.

Adoptaremos la siguiente hipótesis:

HIPÓTESIS 60.- Sea un cuerpo material y consideremos

una parte del mismo cada vez más reducida. En el límite, el movimiento de un elemento infinitesimal verifica la ecuación fundamental de la Dinámica al considerar las tensiones como fuerzas exteriores.

Teniendo en cuenta la ecuación (54) escribiremos pues: F

→V + (∇τ→)V = ma→

donde V es el volumen de la partícula, m su masa, a→ la aceleración y F

→ la fuerza interior de volumen por unidad de

volumen, que para un campo de intensidad h→ si ρ es la masa

específica vale ρh→.

Dividiendo por V, tendremos finalmente: (67) ρh→ + ∇τ→ = ρa→

Podemos hallar otra expresión aplicando a v→ la ecuación (38), de la conservación de la masa, con lo que obtenemos:

t)v(

+ )vv( = dtvd

= a∂

∂⊗∇

rrr

rr ρρρρ

y sustituyendo resulta:

(68) t)v(

+ )vv( = + h∂

∂⊗∇∇

rrrrr ρρτρ

1.14.- Trabajo y energía.

44

Sea una partícula infinitesimal de masa m y volumen V y

designemos por ds→i, r→i, v

→i y τ

→i respectivamente a cada elemento de

superficie, su vector de posición con origen en un punto interior de velocidad v→ y tensión τ→, su velocidad y su tensión. En un tiempo dt, cada elemento ds→i se habrá desplazado dr

→i=v→idt y habrá

realizado con la tensión el siguiente trabajo: (τ→idsi)(vidt) = (τ

→idsi)(v

→+ω×r→i + π→r→i)dt =

= (τ→idsi)(v

→dt) + (τ→idsi)(ω→×r→i)dt + (τ

→ids→

i)(π→r→i)dt

El trabajo total de las fuerzas de superficie lo

obtendremos integrando para toda su superficie. Operando separadamente con cada término del 21 miembro de la expresión anterior obtenemos: =dtvVh - dtvVa = dtv)Vh-a( = dtv)V( = dtv)sd( ii

rrrrrrrrrrrr ρρρρτ∆τΣ dPm + )vd(‰m = )rdhm( - vdvm = dt hvm - dt avm = 2rrrrrrrrr

(P= potencial del campo) dt M = dt )sdxr( = )dtrx)(ds( iiiiii ωωτΣωτΣ rrrrrrrrr

(M→ = momento de las fuerzas de superficie respecto al origen)

Para el último término, como τ→i difiere infinitamente

poco de τ→ podremos escribir:

dt m

= dt V = )dtr)(sd ( = )dtr)(sd( iiiii πτρ

πτπτΣπτΣ rrrrrrrrrrrr

Observaremos que el término 21 que contiene M→ es infinitamente pequeño respecto a los demás y por este motivo podemos decir que el trabajo total efectuado por las fuerzas exteriores a una partícula en un tiempo dt, es el siguiente:

dt) ( m

+ dPm + )v21

d(m = T 2 πτρ

rrr

y teniendo en cuenta la ecuación (44) también tendremos:

(69) ξτρd

m + dPm + )v

21

d(m = T 2 rr

Esta es la ecuación general de la energía en las

hipótesis admitidas.

La ecuación de potenciales o sea la del trabajo específico por unidad de masa será:

(70) ρξτr

rr d + dP + )v

21

d( = T 2e

45

1.15.- Otra forma de las ecuaciones de la energía.

Antes de proceder a precisarlas, recordaremos que τ→2 y ξ→2, componentes escalares de τ

→ y ξ→, los podemos expresar por: (71) τ→2 = -pI

→; ξ→2 = 1/3 (I

→ξ→)I→ que son escalares y sus trazas coinciden con las de τ→ y ξ→ respectivamente: τ→2I

→ = -pI

→I→ = -3p; ξ→2I

→ = 1/3 (I

→ξ→)I→I→ = I→ξ→

Recordaremos asimismo que estos tensores son ortogonales a los componentes τ→1 y ξ

→1 simétricos de traza nula.

Tendremos así:

)d1

+d1 = )d+ )(d+(

1 =

d22112121 ξτ

ρξτρ

ξξττρρ

ξτrrrrrr

rr

y como teniendo en cuenta los valores anteriores y el de d(I

→ξ→) dado por (46), se verifica:

= )Id( p- = )3Id(31

p- = )II)(Id(31

p- = I)Id(31)I(-p = d

22 ξξξξξτrrrrrrrrrrrrrr

mdV p

- = VdV

p - = ρ

al sustituir, resulta:

(72) mdV p

- d1 = d

1 + d

1 =

d112211 ξτ

ρξτρξτ

ρρξτ

rrrrrrr

r

Sustituyendo este valor en (69) y (70) se tiene:

(73) dV p - dV + dPm + )v21

d(m = T11

2 ξτrrr

(74) mdV p

- d1 + dP + )v

21

d( = T 112

e ξτρ

rrr

y estas ecuaciones nos dan la energía y la energía específica por unidad de masa respectivamente, que el elemento ha recibido en un tiempo dt.

Refiriéndonos a la primera ecuación tenemos:

m d(2v→2) = Incremento de energía cinética.

m dP = Incremento de energía potencial.

Vτ→1dξ→

1 = Energía consumida en deformación pura.

46

-p dV = Energía consumida en aumento de volumen.

1.16.- Energía elástica (deformación y dilatación)

de una partícula material, dentro de los límites de validez de la ley de Hooke (τ→1=k1ξ

→1; τ

→2=+k2ξ

→2).

Su incremento dD con dξ→ para una partícula, viene dado

por (72). Pero sustituyendo τ→1 y τ→2 tenemos:

)]d[k + ]d[k(21

= )dk + dk(1 = d = dD 2

222

11222111 ξξρξξξξρξ

ρτ rrrrrrrr

Integrando entre 0

→ y ξ→ podemos suponer ρ constante, y

como verificándose la ley de Hooke los escalares k1 y k2 también son constantes, se obtiene:

(75) ρξτ

ξξξξρξξρ 2 = )+)(k + k(

21

= ])(k + )(k[21

= D212211

222

211

rrrrrrrr

47

2.- Dinámica elástica característica.

2.01.- Hasta aquí hemos considerado la dinámica de los cuerpos elásticos como relación entre fuerzas y deformaciones y entre fuerzas y movimientos y para ello se ha utilizado una categoría especial de fuerzas como son las tensiones internas.

Pero la hipótesis 50 que se ha utilizado, lo mismo que la ley de Hooke, nos da para cada materia distinta, una traducción entre tensores tensión y tensores deformación, de manera que una materia y situación determinada determinan simultáneamente uno y otro para cualquier punto material y esto es más evidente con una materia isótropa y homogénea.

Como en la definición de ambos tensores no entran magnitudes de movimiento, podremos considerarlos como aspectos distintos de la misma distribución material instantanea en el entorno infinitesimal de un punto, tales que uno define al otro.

Aparece pues como posible un estudio de la materia elástica prescindiendo de las fuerzas o tensiones, y estudiar una dinámica de la relación entre deformaciones y movimientos partiendo de la cinemática y dinámica estudiadas.

2.02.- Para ello, vamos a aprovechar las ecuaciones (60) (ley de Hooke) y (67) (ley fundamental de la dinámica). (60) dτ→ = 2µdξ→ + 3λdξ→2 (67) ρh→ + ∇τ→ = ρa→

En virtud de lo dicho en el párrafo anterior la primera ecuación autoriza que se verifique

t

3 + t

2 = t

2

∂

∂

∂∂

∂∂ ξ

λξµτrrr

Ahora bien, multiplicando esta ecuación por ∇ y

derivando parcialmente la (67) respecto al tiempo y teniendo en cuenta la conmutatividad de las derivadas parciales obtendremos:

t

3 + t

2 = t

2

∂

∂∇

∂∂

∇∂∂

∇ξ

λξµτrrr

t)a(

= t)(

+ t)h(

∂∂

∂∇∂

∂∂

rrrρτρ

y por tanto podemos eliminar τ→:

48

(76) t)a(

= t

3 + t

2 + t)h( 2

∂∂

∂

∂∇

∂∂

∇∂

∂rrrr

ρξλξµρ

En el tercer término podemos sustituir mediante la

ecuación (9) el tensor ξ→2.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∇∂

∂∇

∂∂

∇∂

∂∇

∂

∂∇

tI =

t)I(

= t)I(

I = t

]I)I(31[

3 = t

3 2 ξλξλξλξ

λξ

λr

rrrrr

rrrrr

y sustituyendo este tercer término en (76) tenemos:

(77) t)h(

- t)a(

= t

I + t

2∂

∂∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∇∂∂

∇rrr

rr

ρρξλξµ

Aplicando (38) con τ→=a→ y después con τ→=h→, tenemos:

)av( - dtad

= t)a( rr

rr⊗∇

∂∂ ρρρ

)hv( - dthd

= t)h( rr

rr

⊗∇∂

∂ ρρρ

con lo que al sustituir en (77) resultará:

(78) ])h-a[v( - dthd

- dtad

= t

I + t

2rrr

rrrr

r

⊗∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∇∂∂

∇ ρρρξλξµ

2.03.- Vamos a desarrollar algunas funciones de (78).

Multiplicando el primer término de la última ecuación

por ∇, tenemos:

t

)(2 = ]t

[2 = ]t

[2∂∂

∇⊗∇∂∂

∇∇∂∂

∇∇ξµξµξµrrr

y multiplicando el segundo:

t

]I[ = ]t

I[ = ]t

I[ 22

∂∂

∇∂∂

∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∇∇ξλξλξλr

rr

rr

r

y la suma de ambos productos:

t

)]I( + )([2 = ]t

I[ + t

2 2

∂∂

∇∇⊗∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∇∂∂

∇∇ξλµξλξµr

rr

rr

49

El producto miembro a miembro de la ecuación (78) por ∇, resulta pues:

(79) )}]h-a[v({ - dthd

- dtad

= t

)]I( + )([2 2rrr

rrrr

⊗∇∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇

∂∂

∇∇⊗∇ ρρρξλµ

El producto miembro a miembro de la ecuación (78) por

(∇×) será la siguiente relación entre ξ→ y (a→-h→)

(80) )}]h-a[v({ - dt

]h-ad[ =

t2

rrrrrr

⊗∇×∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∇×∇ ρρξµ

2.04.- Antes de seguir adelante, demostraremos algunas

ecuaciones que habremos de utilizar. Partiremos de las siguientes:

dtd

= (44) :v= I (8) ;+ )(= v (7) ;v21 = (4)

ξπππωωr

rrrrrrrrr∇×⊗∇×∇

v - )v( = )v( = )2( 2rrrr

∇∇∇×∇×∇×∇ ω

10 ecuación.

= )( + )v(- = )(-- )v[(- = )(-= 0 =)( 2 ππ∆ωω rrrrrr∇∇∇∇∇∇∇⊗∇∇×∇×∇∇

πππππ rrrrrrrr

)( + )I(- = )(+)I(- = )( + )v(- = 222 ∇⊗∇∇∇∇∇∇∇∇∇ Tenemos pues:

(81) dtd)( =

dtd

I )( = I 22 ξξπ∆πrr

rrrr∇⊗∇∇⇔⊗∇∇

20 ecuación. Hay 2 desarrollos distintos de ∇×ω→:

(82) v - )v( = )v( = )2( 2rrrr∇∇∇×∇×∇×∇ ω

ππω rrrrr

∇∇∇∇⊗∇∇× 2-v2 = 2 - ])v2[( = )2( 2 y sumando miembro a miembro, hallamos: (83) )v( - 2 = v2

rrr ∇∇∇∇ π

30 ecuación. Tenemos

(84) 0 = )v(21

= rr

×∇∇∇ω

y por consiguiente:

50

ωωωω rrrr

∇∇∇∇×∇×∇ 22 - = - )( = )( pero por otra parte: = )(- )v(= )(- ])v[(= )(= )(- 2 ππωω rrrrrr

∇×∇∇×∇∇×∇∇⊗∇×∇∇××∇×∇×∇ )( - 2 = )( - )v( = 22 πωπ∆ rrrr ∇×∇∇×∇×∇∇ y de la suma miembro a miembro de estas dos últimas ecuaciones, obtenemos: (85) )( = 2 πω rr

∇×∇∇

2.05.- En los próximos párrafos y hasta que no se advierta de lo contrario, nos situaremos en los siguientes supuestos:

a) La magnitud h→ es uniforme en el dominio considerado.

b) La magnitud ρ es siempre finita.

c) Las variaciones de forma consideradas en un movimiento, son infinitesimales, con arreglo a lo siguiente:

c 1) La magnitud velocidad v→ es infinitesimal, y por tanto ∇⊗v→ y sus componentes ω→ y π→ también.

c 2) Las derivadas en tiempo y espacio de las distintas magnitudes τ→ que se consideran, son infinitesimales.

2.06.- Los supuestos anteriores nos permiten las siguientes simplificaciones

1).- Ecuación (12)

t

+ )v( = dtd

∂∂

∇τττ r

rrr

queda en:

(86) t

= dtd

∂∂ττ rr

2).- Ecuación )( + )( = )( τφρρφττρφ rrrrrr

(ϕ→ es una función de ∇ tal como ∇, [∇×] ó [∇⊗] ) queda en: (87) ϕ→(ρτ→) = ρ(ϕ→τ→) Es decir:

51

(88) )( = ;)( = ))(( );( = )( τρτρτρτρτρτρ rrrrrr⊗∇⊗∇∇×∇×∇∇

3).- Ecuación (38)

t)(

+ )v( = dtd

∂∂

⊗∇τρτρτρr

rrr

si además tenemos en cuenta el caso 1), queda en:

(89) dtd

= dt

)d( τρτρ rr

lo que es fácil ver que vale también si, en lugar de ρ, consideramos cualquier función de ρ.

2.07.- 10 vibración característica de la materia.

Vamos a proceder a la simplificación de la ecuación (79) de acuerdo con los nuevos supuestos admitidos.

El primer miembro de (79) por (81) y (86) se transforma

en:

t

I) + (2 = t

]I + )([2 22

∂∂

∇∂∂

∇∇⊗∇ξλµξλµr

rr

r

El segundo miembro por (88), si consideramos la

magnitud h→ uniforme y v→ infinitesimal, se transforma en:

dtadr

∇ρ

Pero la ecuación (27) nos dice:

ππωrrrrr

+ 2 - )v(dtd

= a 2∇∇

que derivada respecto a t y simplificada, despreciando los dos últimos términos por ser de orden infinitesimal inferior queda en:

)v(tdd =

dtad

2

2 rr

∇∇

y por tanto la ecuación (79) se puede escribir así:

(90) )v(t

= )v( + 2

2

22 rr ∇

∂∂∇∇

ρλµ

La elasticidad conduce a la materia a un movimiento

52

que en el límite de los supuestos admitidos es pues vibratorio armónico sostenido con una velocidad de propagación

ρλµ+2

Esta vibración es característica del material elástico,

ya que no depende del condicionamiento de cada caso particular, y como ∇v→ es la velocidad relativa del aumento de volumen de los elementos de materia infinitesimales es una vibración en volumen, y por tanto en densidad y presión (ondas de condensación).

2.08.- 20 vibración característica de la materia.

Procediendo ahora a a la simplificación de la ecuación (80) antes obtenida, en forma análoga a la efectuada sobre la (79), queda en la siguiente forma:

)dtad

( = )(2r

r×∇∇×∇ ρπµ

Pero tenemos:

(32) dtd

= )a(21

- )v( + dtd

= )a(21 ωωπωω

rrrrrr

rr

×∇⇒∇×∇

habiendo simplificado el segundo miembro. Si esta ecuación la derivamos respecto a t, obtenemos:

t

2 = )a(dtd

2

2

∂∂×∇ωrr

Por otra parte tambien conocemos:

(85) )x( = 2 πω rr∇∇∇

y sustituyendo en (80) resulta finalmente:

(91) t

= 2

22

∂∂

∇ωω

ρµ r

r

Resulta pues otro movimiento vibratorio armónico

sostenido con velocidad de propagación

ρµ

que es función únicamente del módulo de rigidez y de la masa específica.

Esta segunda vibración también es característica del

53

material elástico y como ω→ es la rotación de la materia, es una vibración en rotación puntual (ondas de distorsión).

2.09.- Vibración de v→.

Partiendo de la ecuación (78), al simplificarla queda en la forma siguiente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂∇∇∇t

v=

dtad

= )v( + 22

2rrrr ρρλπµ

y sustituyendo el primer término por (83), tendremos:

t

v = )v( + )v( + v

2

22

∂∂∇∇∇∇∇r

rrr ρλµµ

o sea

)v(+

+ v = t

v 22

2 rrr

∇∇∇∂∂

ρλµ

ρµ

Poniendo por valor del último término el dado por la

ecuación (82) resulta:

)()+2(

+ v+2

= t

v 22

2

ωρλµ

ρλµ rr

r×∇∇

∂∂

Atendiendo a esta ecuación, vemos que para ∇×ω→=0→ la

magnitud v→ vibra como ∇v→, y atendiendo a la anterior, vemos que para ∇(∇v→)=0→, v→ vibra como ω→.

Así pues, en general, el movimiento de v→ no es vibratorio armónico. Sólo lo es en casos especiales y entonces se ajusta a una de las dos vibraciones características.

2.10.- Es fácil comprobar que la primera vibración caracteristica es común a la magnitudes derivadas respecto al tiempo de la densidad, presión, ξ→2 y τ

→2 y que el movimiento de las

magnitudes derivadas respecto al tiempo de ξ→ y τ→ es indeter-minado como el de v→.

2.11.- Vibración de un gas perfecto.

Si no consideramos los movimientos moleculares entre

dos regiones de un gas perfecto, no hay inconveniente en aplicar al mismo las hipótesis sucesivas que se han considerado.

Tratándose de un gas perfecto, podemos admitir también que el módulo de rigidez es nulo y ello conduce a las siguientes consecuencias por lo que respecta a las vibraciones elásticas:

a) No hay vibración de ω→.

54

b) La primera vibración característica es la única y

tendrá por velocidad de propagación

ρλ

Ahora bien, el módulo de compresibilidad es según (65)

33 + 2

= λµχ

y como µ es nulo, y por tanto χ=λ resulta la siguiente velocidad de propagación:

ρχ

2.12.- Onda plana longitudinal.

Por hipótesis, las velocidades de todos los puntos son

normales a los planos de onda, no varían de dirección y son iguales para todos los puntos de un mismo plano de onda.

Estamos en el caso ∇×ω→=0→ y por tanto de vibración única con velocidad de transmisión

ρ

λµ + 2

2.13.- Onda plana transversal.

Por hipótesis, las velocidades de todos los puntos son

paralelas a los planos de onda, y para todos los puntos de un mismo plano de onda son las mismas.

En consecuencia, no hay variaciones de volumen en ningún elemento material y ∇(∇v→) = 0→.

Por consiguiente, ω→, v→, las derivadas de ξ→ y τ→ tienen movimiento armónico sostenido con velocidad de transmisión

ρµ

55

APENDICE B

2.04.- Otro cálculo de ∇⊗a→.

Sea en un sistema original ó 1 un punto material móvil con velocidad v→0, derivada espacial de v

→ igual a ∇⊗v→ = (ω→×)+π, y aceleración a→0 y consideremos como sistema móvil o sistema 2, al sistema natural del punto material en aquel momento, o sea con origen en el punto material, rotación ω→ y traslación v→0.

Aplicando la ecuación general de derivación (17) a r→ en el entorno infinitesimal del punto y con origen en el mismo, teniendo en cuenta la igualdad (19) obtenemos:

v - v = r)v( = r + rx = dtrd

01

rrrrrrrrr

⊗∇⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πω

Derivando ahora en 1 respecto al tiempo, tendremos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛××⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dtrd

+ rdtd

+ dtrd

+ rdtd

= dt

rd

11112

2

1

rrr

rrrr

rrππωω

Pero tenemos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dt

rd2

2

1

r= a→-a→0 = (∇⊗a→)r→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×dtrd

1

rrω = ω→×[(ω→×r→) + π→r→] = [(ω→×)∗(ω→×)]r→ + [(ω→×)∗π→]r→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dtrd

1

rrπ = π→[(ω→×r→) + π→r→] = {[π→∗(ω→×)] + [π→∗π→]}r→

y sustituyendo valores en la derivada y suprimiendo de todos los términos el factor común r→ por ser un tensor cualquiera, queda la siguiente expresión de ∇⊗a→:

∇⊗a→ = dtd

+ dtd πω rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ × + [(ω→×)∗(ω→×)] + [(ω→×)∗π→] + [π→∗(ω→×)] + [π→∗π→]

o sea la ecuación (26) hallada en '2.04.

2.07.- Vamos a demostrar directamente las dos igualda-des últimas.

a) Utilizando un vector auxiliar m→ cualquiera tenemos:

56

[(ω→×)∗(ω→×)]m→ = ω→×(ω→×m→)= (ω→m→)ω→-ω→2m→= (ω→⊗ω→)m→- ω→2I→m→

⇔ (ω→×)∗(ω→×) = ω→⊗ω→ - ω→2I→

y por lo tanto I

→[(ω→×)∗(ω→×)] = I→(ω→⊗ω→) - ω2(I

→I→) = ω→2 - 3ω→2 = -2ω→2

b) Sea el tensor A

→ = [(ω→×)∗π→] + [π→∗(ω→×)]

Utilizando un vector auxiliar m→ como en el caso

anterior y añadiendo y quitando un término π→(π→m→), tendremos: A

→m→ = ω→×(π→m→) + π→(π→m→) - π→(π→m→) + π→(ω→×m→)=

= [(ω→×)-π→](π→m→) + π→{[(ω→×)+π→]m→} y como v→⊗∇ es el tensor transpuesto de ∇⊗v→ = (ω→×) + π→, será igual a π→ - (ω→×) y por tanto A

→m→ = -(v→⊗∇)(π→m→) + π→[(∇⊗v→)m→]

Desarrollaremos el primer término sabiendo que por ser

π→ un tensor simétrico de 21 orden se verifica para cualquier par de vectores a→ y b→ que π→(a→⊗b→)=π→(b→⊗a→) ó sea (π→a→)b→=(π→b→)a→: -(v→⊗∇)(π→m→)= -[(π→m→)v→]∇= -∇[(π→v→)m→]

Para el segundo término se tendrá: π→[(∇⊗v→)m→]= π→[(∇m→)v→]= (∇m→)(π→v→) y sustituyéndolos ambos y aplicando las reglas del doble producto vectorial, tendremos: A

→m→ = -[(π→v→)m→]∇ + (π→v→)(∇m→) = [∇×(π→v→)]×m→

y por consiguiente A

→ = [∇×(π→v→)]×

2.14.- Relación entre ∇⊗p→ y ∇⊗v→.

Teniendo en cuenta (39) al aplicar la ecuación (12) a la magnitud p→, obtenemos:

tp

+ p)v( = 0 = dtpd

∂∂

∇r

rrrr

Derivando espacialmente miembro a miembro se tiene:

)p(t

+ ]p)v[( + ]p)v[( = tp

+ ]p)v[( = 0rrrrr

rrrr

⊗∇∂∂

∇⊗∇∇⊗∇∂∂

⊗∇∇⊗∇

y desarrollando los tres últimos términos, obtenemos:

57

Primer término. Utilizando un vector a→ cualquiera resulta: {∇⊗[(v→∇)p→]}a→= (a→∇)[v→(∇⊗p→)]= [(a→∇)v→](∇⊗p→)= (∇⊗p→)[(∇⊗v→)a→] ⇔ ∇⊗[(v→∇)p→] = (∇⊗p→)∗(∇⊗v→) Segundo término: ∇⊗[(v→∇)p→] = (v→∇)(∇⊗p→) Ultimo término. Aplicaremos (12) a ∇⊗p→:

)p)(v( - )p(dtd

= )p(t

rrrr⊗∇∇⊗∇⊗∇

∂∂

Sustituyendo los antiguos valores por los ahora

obtenidos, y omitiendo los dos términos opuestos que se anulan entre sí, resulta:

)p(dtd

= )v()p(- )p(dtd

+ )v()p( = 0rrrrrrr

⊗∇⊗∇∗⊗∇⇔⊗∇⊗∇∗⊗∇

Si tenemos en cuenta que ∇⊗p→ según (40) es un tensor

regular, tendrá inverso, y además su producto matricial por este inverso será el tensor fundamental I

→.

Por consiguiente, al multiplicar matricialmente los dos

miembros por (∇⊗p→)-1 se tendrá:

(42) dt

)pd( )p( = )v(- 1-

rrr ⊗∇

∗⊗∇⊗∇

59

APENDICE C

1.12.3.- Utilizando los módulos E y m puede hallarse

con facilidad el tensor dξ→ correspondiente a un dτ→ dado.

Efectivamente, la ecuación (60) nos dice: dτ→ = 2µdξ→ + 3λdξ→2 pero tambien sabemos que

λµ

σσσ

λµττξ

3 + 2

I)d+d+(d31

= 3 + 2

d =

k

d = d

zyx2

2

2

2

rrrr

y sustituyendo en la anterior ecuación se tiene

)d+d+(dI3 + 2

+ d2 = d zyx σσσλµ

λξµτrrr

Dividiendo por 2µ y despejando dξ→ se tendrá:

)d+d+(dI)3+(22

- 2d

= d zyx σσσλµµ

λµτξ

rrr

Por otra parte, de las expresiones de E y de m en

función de λ y µ se deduce inmediatamente que

)3+(22

=)3+(2

+2+2

= Em

λµµλ

λµµλµ

λµλ

y eliminando λ se encuentra E = 2µ(1+m)

Sustituyendo, tendremos

I)d+d+(dEm

- dEm+1

= d zyx

rrrσσστξ

obteniendo finalmente:

)]d+m(d - [dE1

=)d+d+(dEm

- dEm+1

= ed zyxzyxxx σσσσσσσ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

)d+m(d-dm)d+(1m)d+(1

m)d+(1)d+m(d-dm)d+(1

m)d+(1m)d+(1)d+m(d-d

E1

= }{d

yxzxy

xxzyz

yzzyx

σσστττσσστττσσσ

ξr

60

2.07.- Ecuación diferencial de las ondas armónicas sostenidas en un campo tensorial τ→.

Es la siguiente:

ττ rr∇

∂∂ 22

2

2

v = t

Ensayaremos la solución τ→0e

α con α = mt-a→x→, siendo τ→0 un tensor uniforme y a→ un vector uniforme.

Obtenemos para el primer miembro:

me = t

e = et

= )e(t

0000αααα τ

ατττ rrr

∂∂

∂∂

∂∂

em = et

m = m)e(t

= )e(t

200002

2αααα ττττ rrrr

∂∂

∂∂

∂∂

Y para el segundo:

∇(τ→0e

α)= τ→0∇eα= τ→0[-{(a

→x→)∇}eα]= τ→0[-a→(x→⊗∇)eα]= -τ→0a

→eα ∇2(τ→0e

α)= τ→0∇2eα = τ→0[∇(∇eα)] = τ→0∇(-a

→eα) = τ→0a→2eα

Sustituyendo en la ecuación queda:

)e(am = )e(

t0

22

2

02

2αα ττ r

rr

∇∂∂

y la solución es satisfactoria para v= am 22

2 rr

Para la ecuación de la onda plana de dirección u→ se

acostumbra a considerar la siguiente ecuación:

e = )xu

-t(2 i-o λ

νπττrr

rr

siendo u→ un versor, v la frecuencia y λ la longitud de onda. Esta fórmula se ajusta a la obtenida anteriormente haciendo v2 = v2λ2.