Upload
vuongdiep
View
332
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 1
PEMBELAJARAN
EKSPONENSIAL
sumber: http://static.ddmcdn.com/gif/water-slide-ex-2.jpg
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah
Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran eksponensial, siswa diharapkan mampu:
1. memilih dan menerapkan aturan eksponen sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya;
2. menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 2
Pengalaman Belajar :
Melalui pembelajaran materi eksponen, siswa memperoleh pengalaman belajar:
1. mengomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait
eksponen;
2. merancang model Matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan
dengan eksponen;
3. menyelesaikan model Matematika untukmemperoleh solusi permasalahan yang
diberikan;
4. menafsirkan hasil pemecahan masalah.
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi eksponensial dibuat
berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang
diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu.
Model 5E tersebut adalah:
1. Engagement
Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan
perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan
apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration
Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat
rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun
semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah
siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga.
3. Explanation
Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil
eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa
temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration
Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas
pemahaman mereka.
5. Evaluation
Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru
memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta
memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 3
Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:
MATERI EKSPONENSIAL Eksponen didefinisikan sebagai pangkat dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia.
Keberadaan bilangan Eksponen sangat dibutuhkan di berbagai bidang ilmu
pengetahuan baik berkenaan dengan alam maupun sosial. Bilangan Eksponen meluas
penggunaannya dalam ekonomi, sains, dan kependudukan. Misalnya, kita dapat
memprediksi hasil investasi uang yang kita simpan dalam beberapa tahun kedepan
dengan sistem bunga majemuk; kita dapat memprediksi peluruhan sebuah atom; ahli
kependudukan juga dapat memprediksi tingkat populasi penduduk dari masa ke masa.
Selain itu kita juga dapat menemukan aplikasi Eksponensial dalam papan seluncur di
kolam renang. Semakin tinggi dan semakin curam papan seluncur, akan semakin tinggi
kecepatan kita saat meluncur. Bentuk dari papan seluncur ini dapat dimodelkan dengan
menggunakan fungsi eksponen.
Topik Eksponensial akan sangat menarik bagi para siswa di sekolah tingkat menengah
atas (SMA), apabila guru dalam pembelajaran di kelas dapat menyampaikan berbagai
aplikasi dari konsep Eksponensial dalam kehidupan sehari-hari siswa. Misalnya, siswa
diajak untuk memprediksi jumlah bakteri hasil dari pembelahan sejumlah bakteri,
siswa diajak untuk menuliskan jumlah hasil pembelahan bakteri tersebut dalam notasi
matematika, dan lainnya. Lebih lanjut, topik Eksponensial sebagai salah satu materi
yang esensial pada Mata Pelajaran Matematika di SMA mencakup beberapa konsep
dasar yang direpresentasikan oleh bagan berikut ini:
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 4
Peta Konsep Topik Eksponensial pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 5
Bentuk Eksponen
1. Bentuk Eksponen Bulat Positif
Bilangan berpangkat dapat dituliskan dalam bentuk umum, yaitu 𝑎𝑛 ,
dengan 𝑎 disebut bilangan pokok dan n disebut eksponen(pangkat) serta dibaca a
pangkat n. Jadi
Contoh 1:
Sederhanakanlah perkalian berikut dalam eksponen bulat positif!
a. 45 × 43
b. 𝑚3 × 𝑚2
Penyelesaian:
a. 45 × 43 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 48
5 faktor 3 faktor
b. 𝑚4 × 𝑚 = 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 = 𝑚5
4 faktor 1 faktor
Daricontoh 1, kita dapat menyimpulkan Sifat 1, yaitu
𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Contoh 2:
Sederhanakanlah pembagian berikut dalam eksponen bulat positif!
a. 45 ÷ 43
b. 𝑚4 ÷ 𝑚
Penyelesaian:
a. 45 ÷ 43 =4 × 4 × 4 × 4 × 4
4 × 4 × 4= 4 × 4 = 42
b. 𝑚4 ÷ 𝑚 =𝑚 × 𝑚 × 𝑚 × 𝑚
𝑚= 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 = 𝑚3
Daricontoh 2, kita dapat menyimpulkan Sifat 2, yaitu
𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 ,𝑎 ≠ 0,𝑚 > 𝑛
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 6
Contoh 3:
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah soal-soal
berikut ini!
a. 53 4
b. 𝑞7 4
Penyelesaian:
a. 53 4 = 53 × 53 × 53 × 53 = 54×3 = 512
b. q7 4 = q7 × q7 × q7 × q7 = 𝑞4×7 = 𝑞28
Daricontoh 3, kita dapat menyimpulkan Sifat 3, yaitu
𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛
Contoh 4:
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah soal-soal
berikut ini!
a. 2 × 3 4
Penyelesaian:
a. 2 × 3 4 = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3
= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 24 × 34
Daricontoh 4, kita dapat menyimpulkan Sifat 4, yaitu
𝑎 × 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛
2. Bentuk Eksponen Bulat Negatif dan Nol
Amatilah barisan bilangan berikut:
Barisan 1: 4, 2, 1,1
2,1
4,…
Barisan 2: 22, 21, 20 , 2−1, 2−2,…
Jika kita perhatikan, Barisan 1 dan Barisan 2 membentuk korespondensi satu-
satu, yakni kita dapatkan:
4 berkorespondensi satu − satu dengan 22
2 berkorespondensi satu − satu dengan 21
1 berkorespondensi satu − satu dengan 20 1
2berkorespondensi satu − satu dengan 2−1
1
4berkorespondensi satu − satu dengan 2−2
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 7
Dengan demikian, kita dapat simpulkan bahwa:
4 = 22 , 2 = 21, 1 = 20 , 1
2= 2−1 ,
1
4= 2−2
3. Bentuk Eksponen Pecahan
𝐚. 𝐄𝐤𝐬𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧 𝐫𝐚𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐛𝐞𝐫𝐛𝐞𝐧𝐭𝐮𝐤 𝒂𝟏
𝒏
𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟕: 𝒂𝟏
𝒏 = 𝒂𝒏
Bukti:
Menurut definisi akar, 𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎
Menurut definisi bilangan eksponen,
𝑎1
𝑛 × 𝑎1
𝑛 × …× 𝑎1
𝑛 = 𝑎1
𝑛 𝑛
= 𝑎𝑛
𝑛 = 𝑎1 = 𝑎
n buah faktor
𝐛. 𝐄𝐤𝐬𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧 𝐫𝐚𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐛𝐞𝐫𝐛𝐞𝐧𝐭𝐮𝐤 𝒂𝒎
𝒏
𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟖: 𝒂𝒎
𝒏 = 𝒂𝒎𝒏
Bukti:
Menurut 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟑, 𝑎𝑚
𝑛 = 𝑎𝑚 1
𝑛
Menurut 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟕, 𝑎𝑚 1
𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
Dengan menggunakan 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟐,𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛kita mendapatkan
𝑎−𝑛 = 𝑎0−𝑛 =𝑎0
𝑎𝑛=
1
𝑎𝑛
𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟔:𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛, dengan 𝑎 ≠ 0
Sifat 5: 𝑎0 = 1, dengan 𝑎 ≠ 0
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 8
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa yang sudah memiliki
pemahaman tentangkonsep eksponensial dasar (bilangan berpangkat) dan
menggambar plot.
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat memahami beberapa konsep eksponensial yang diaplikasikan pada dua
buah eksperimen nyata, yaitu dengan melipat kertas dan melempar sejumlah dadu
secara bersamaan.
Pembukaan (10 menit)
1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. Guru
menyampaikan tujuan pembelajaran kepada siswa.
2. Guru menstimulus siswa dengan menampilkan video tentang penerapan
eksponensial dalam kehidupan sehari-hari. Video tersebut berjudul “How folding
paper can get you to the moon” dan dapat diunduh melalui link
http://www.youtube.com/watch?v=AmFMJC45f1Q. Siswa diharapkan fokus
memperhatikan tayangan video. (Engagement)
3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai pesan dari video yang telah ditonton
bersama-sama. Beberapa siswa diharapkan aktif menyampaikan ide dan pendapat
mengenai video tersebut.Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan
menyampaikan keterkaitan antara pesan di video dengan aktivitas pembelajaran
yang akan dilaksanakan.(Explanation)
Kegiatan inti (65 menit)
1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berpasangan dan membagikan
selembar kertas A3 dan lembar kerja (LK) kepada setiap siswa. Siswa menyiapkan
alat tulis yang diperlukan untuk melakukan eskperimen melipat kertas.
2. Siswa secara individu melipat kertas yang telah diberikan dan membuat garis
lipatan. Siswa mengulangi kegiatan yang sama seperti sebelumnya sampai kertas
tidak memungkinkan lagi untuk dilipat.(Exploration)
3. Siswa secara berpasangan mendiskusikan hasil yang diperoleh dari percobaan
melipat kertas dan menuliskan temuan mereka pada LK masing-masing.
(Explanation)
4. Selanjutnya, guru membimbing siswa mengaitkan hasil eksperimen dengan konsep
eksponensial. Hal tersebut dilakukan dengan meminta siswa menggambar diagram
garis pada kertas kotak-kotak dengan menggunakan data yang dihasilkan dari
kegiatan eksperimen. Siswa juga diajak meninjaukembali gambar yang mereka buat
dengan menggunakan beberapa media pembelajaran berbasis
teknologi.(Elaboration)
5. Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau
mempresentasikan kesimpulan dari eksperimen yang telah dilakukan. Jika
kesimpulan dari salah satu atau beberapa siswa belum tepat, siswa lainnya diminta
menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya dan sampai akhirnya guru
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 9
memberikan klarifikasi tentang jawaban yang diharapkan. (Explanation &
Evaluation)
6. Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat
diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudian guru memberikan
pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan sifat-sifat
eksponen untuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan
bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum
dimengerti siswa. (Elaboration and Evaluation)
Penutup (5 menit):
1. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah
dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 10
LEMBAR KERJA SISWA
Eksperimen Paper Folding
1. Lipatsebuah kertas berukuran A3 menjadi dua bagian yang sama/ kongruen.
Buatlah garis lipatan yang terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.
http://www.graficaobscura.com/fold/001.gif
2. Lipat kertasmenjadi dua bagian padalipatanyang samaseperti sebelumnya,
kemudianlipat dualagi menjadi dua bagian yang sama. Buatlah garis lipatan yang
terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.
3. Lanjutkanmelipatkertassetengah, membuat garis lipatan dan mencatat
jumlahbagianyang diperoleh dari hasil melipat kertas. Ulangi langkah yang sama
sampaitidak mungkin lagimelipatkertas tersebut.
http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_paper_folding_introdu
ction.html
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 11
4. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut:
Tabel 1: Hasil percobaan melipat kertas
Pelipatan kertas ke- Jumlah bagian kertas yang diperoleh 0 1 2 3 4 5 6
5. Selanjutnya, isilah tabel 2 dan gunakan kertas kotak-kotak yang telah disediakan
untuk menggambar diagram garis hasil percobaan anda.
Tabel 2:Data pada diagram garis
X Y (X,Y)
6. Cek keakuratan diagram garis yang telah anda buat dengan membuat diagram
garis dari data yang sama dengan menggunakan kalkulator grafik, Microsoft
Excel, software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashberikut ini:
sumber:
http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_applet_grapher.html
7. Tuliskan polanilai-nilai yangmuncul dari hasil percobaan! Jelaskan cara anda
menemukan nilai pada diagram garis yang anda buat!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 12
8. Tentukan persamaaneksplisitdari data yang anda peroleh. Beri penjelasan
atasjawaban/ prosedur yang anda gunakan.
EksperimenRolling Dices
sumber:
https://encrypted-
tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSIF6ldkT6aVQCIGV2M8sQx30nRrz7PQ7Q2qgx1SAArLMdzPFEu8w
1. Lakukan percobaan melempar 40 buah dadu secara bersamaan. Sebelum
melempar seluruh dadu, tentukan mata dadu yang apabila muncul sebagai hasil
pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan selanjutnya. Anda dapat memilih
beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal 5 jenis) untuk dikeluarkan pada
percobaan-percobaan berikutnya. Sebagai contoh, anda memilih mata dadu 1
dan 3 yang muncul akan keluar pada percobaan berikutnya. Kemudian dari
pelemparan pertama diperoleh hasil tujuh buah dadu muncul mata dadu 1 dan
sembilan buah dadu muncul mata dadu 3, sehingga pada pelemparan kedua
hanya akan ada 29 buah dadu yang dilempar secara bersamaan.
http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/applets/exponential_dice.html
2. Lanjutkan kegiatan percobaan melempar dadu dengan cara yang sama dengan poin 1
sampai seluruh dadu habis. Tuliskan hasil percobaan pada tabel 1 berikut ini:
Tabel 1: Hasil percobaan melempar dadu
Pelemparan ke- Jumlah dadu yang tersisa
1
2
3
4
5
6
dst
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 13
3. Selanjutnya, isilah tabel 2 dan gunakan kertas kotak-kotak yang telah disediakan
untuk menggambar diagram garis hasil percobaan anda.
Tabel 2:Data pada diagram garis
X Y (X,Y)
4. Cek keakuratan diagram garis yang telah anda buat dengan membuat diagram
garis dari data yang sama dengan menggunakan kalkulator grafik, Microsoft
Excel, software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashberikut ini:
http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/applets/exponential_dice.html
5. Tentukan persamaaneksplisitdari data yang anda peroleh. Beri penjelasan
atasjawaban/ prosedur yang anda gunakan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 14
DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN
Paper Folding Activity
Rolling Dices Activity
http://2.bp.blogspot.com/-
SrXtvJtuo2Y/T8y82VBQWII/AAAAAAAABcE/l9CfSKPPQJc
/s1600/konstantin-datz-folded-paper-
type_apetitpoisdesign.jpg
http://www.corbisimages.com/images/Corbis-42-
26194684.jpg?size=67&uid=17b8f5a8-850e-4ac2-aad8-
0dc7183e83e9
Topik pembelajaran : Eksponensial
Sub Topik : Sifat-sifat eksponensial
Kompetensi Dasar : Melalui proses pembelajaran eksponensial, siswa diharapkan mampu:
1. memilih dan menerapkan aturan eksponen sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya;
2. menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.
Pada eksperimen melipat kertas, siswa akan menemukan pola yang
menggambarkan bahwa jumlah bagian kertas akan bertambah dua kali lipat
setelah dilakukan pelipatan kertas. Sebagai contoh, siswa akan memahami
bahwa jumlah bagian kertas pada pelipatan kelima adalah setara dengan 25 . Di
akhir kegiatan, siswa dengan bimbingan guru akan membuat diagram garis yang
menggambarkan data hasil eksperimen dan menyimpulkan persamaan garis
yang diperoleh.
Pada eksperimen Rolling Dices, siswa akan mengeksplorasi suatu
persamaaneksponensialdengan bermain dadu.Berdasarkan hasil eksperimen
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 15
pelemparan sejumlah banyak dadu, siswa akanmembuat modelpeluruhan
eksponensial. Hal ini dilakukan denganmenentukan terlebih dahulu mata dadu
yang apabila muncul sebagai hasil pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan
selanjutnya. Siswa dapat memilih beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal
5 jenis) untuk dikeluarkan pada percobaan-percobaan berikutnya.Berdasarkan
temuan-temuan dari eksperimen pelemparan dadu ini, siswa diharapkandapat
memahami hubungan antarapersamaaneksponensialdenganfenomena nyata
terkait.
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen melipat kertas dan
melempar dadu adalah sebagai berikut:
1 lembar kertas ukuran A3
Pena
Penggaris
Dadu dengan enam sisi sejumlah 40 atau lebih
Kertas kotak-kotak
Lembar Kerja
LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Langkah-langkah percobaan melipat kertasadalah sebagai berikut:
1. Lipatsebuah kertas berukuran A3 menjadi dua bagian yang sama/ kongruen.
Buatlah garis lipatan yang terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.
http://info.cfsbinds.com/wp-content/uploads/2011/10/fold-300x290.jpg
2. Lipat kertasmenjadi dua bagian padalipatanyang samaseperti sebelumnya,
kemudianlipat dualagi menjadi dua bagian yang sama. Buatlah garis lipatan yang
terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.
3. Lanjutkanmelipatkertassetengah, membuat garis lipatan dan mencatat
jumlahbagianyang diperoleh dari hasil melipat kertas. Ulangi langkah yang sama
sampaitidak mungkin lagimelipatkertas tersebut.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 16
http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_paper_folding_introduct
ion.html
4. Buatdiagram garis berdasarkan data yang diperoleh dari hasil percobaan melipat
kertas.Untuk mempermudah pembuatan diagram garis/ plot dari hasil percobaan,
guru dan siswa dapat menggunakan tools seperti: kertas kotak-kotak, kalkulator
grafik, Microsoft Excel, software Geogebra
(www.geogebra.org),atauprogramflashyang disediakan secara onlineuntuk
merekam data hasil percobaan dan membuat diagram garisnya.
http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_applet_grapher.html
5. Tuliskan polanilai-nilai yangmuncul dari hasil percobaan, kemudian tentukan
persamaaneksplisitdari data yang diperoleh. Beri penjelasan atasjawaban anda.
Langkah-langkah eksperimen melempar daduadalah sebagai berikut:
1. Lakukan percobaan melempar 40 buah dadu secara bersamaan. Sebelum
melempar seluruh dadu, tentukan mata dadu yang apabila muncul sebagai hasil
pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan selanjutnya. Anda dapat memilih
beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal 5 jenis) untuk dikeluarkan pada
percobaan-percobaan berikutnya.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 17
2. Lanjutkan kegiatan percobaan melempar dadu dengan cara yang sama dengan
poin 1 sampai seluruh dadu habis.
3. Catat hasil percobaan dan buatplot yang menggambarkan data yang diperoleh.
Untuk mepermudah pembuatan plot dari hasil percobaan, guru dan siswa dapat
menggunakan tools seperti: kertas kotak-kotak, kalkulator grafik, Microsoft Excel,
software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashyang disediakan
secara onlineuntuk merekam data hasil percobaan dan membuat plotnya.
http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/applets/exponential_dice.html
4. Tentukan persamaaneksplisitdari data yang anda peroleh. Beri penjelasan
atasjawaban/ prosedur yang anda gunakan.
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
http://a4a.learnport.org/page/exponential-functions
http://www.youtube.com/watch?v=V82MjlPSO9U
http://www.geogebra.org/cms/en/
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 18
PEMBELAJARAN
SISTEM PERSAMAAN LINIER
DUA VARIABEL (SPLDV)
http://3.bp.blogspot.com/_5f2hfgqfBr0/TUJyWlGENAI/AAAAAAAAABk/wwdWvzpBpsw/s1600/Untitled-1.jpg
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran SPLDV, siswa diharapkan mampu:
1. Memahami konsep SPLDV, dan mampu menerapkan berbagai strategi yang
efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa
kebenaran jawabannya.
2. Membuat model matematika berupa SPLDV dari situasi nyata dan matematika,
serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 19
Pengalaman Belajar :
Melalui pembelajaran materi SPLDV, siswa memperoleh pengalaman belajar:
1. menjelaskan karakteristik masalah otentikyang penyelesaiannya terkait dengan
modelmatematika sebagai SPLDV;
2. merancang model matematika dari sebuahpermasalahan otentik yang
merupakan SPLDV;
3. menyelesaikan model matematika untuk memperolehsolusi permasalahan yang
diberikan;
4. menginterpretasikan hasil penyelesaianmasalah yang diberikan;
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi SPLDV dibuat
berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang
diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu.
Model 5E tersebut adalah:
1. Engagement
Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan
perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan
apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration
Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat
rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun
semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah
siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga.
3. Explanation
Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil
eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa
temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration
Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas
pemahaman mereka.
5. Evaluation
Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru
memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta
memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 20
Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:
MATERI SPLDV Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta
danlingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-
permasalahan tersebut kita jadikan bahan inspirasi dengan menyusun model-model
Matematika untuk memperoleh solusinya. Model matematika tersebut, dijadikan bahan
abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear.Peta konsep dari materi
SPLDV yang dibahas pada Mata Pelajaran Matematika di SMA kelas Xdirepresentasikan
pada bagan berikut ini:
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 21
Peta Konsep Topik SPLDV pada Kelas X SMA
Persamaan
Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Eliminasi SubstitusiEliminasi
& Substitusi
Metode Grafik
Determinan
Himpunan Penyelesai
an
Grafik SPLDV
Sistem Pertdaksamaan Linear
Sitem Pertidaksamaan Liniear Dua Variabel
(SPtLDV)
Grafik SPtLDV
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 22
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1. Bentuk Umum
Keterangan :
𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑝, 𝑞, 𝑟 𝑅
a, p = koefisien dari x
b, q = koefisien dari y
c, r = konstanta
x, y = variabel
2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel,
antara lain :
a. Metode Grafik
Langkah-langkahnya sebagai berikut :
Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat
Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong
tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari sistem persamaan
yang dimaksud.
b. Metode Eliminasi
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara mengalikan
dengan bilangan selain nol.
Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian
dari kedua persamaan linear yang baru tersebut.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
1022
1935
yx
yx dengan cara eliminasi !
Jawab:
a) Eliminasi y
1022
1935
yx
yx
2
2
x
x
3066
38610
yx
yx
4x = 8
x = 2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 23
b) Eliminasi x
1022
1935
yx
yx
5
2
x
x
501010
38610
yx
yx
-4y = -12
y = 3
Jadi HP = {(2,3)}
c. Metode Substitusi
Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :
Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain dari
salah satu persamaan.
Substitusikan hasil dari langkah pertama ke persamaan yang lain.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
9
1224
yx
yx dengan cara substitusi !
Jawab:
1224 yx ... (1)
𝑥 + 𝑦 = 9 𝑥 = 9 – 𝑦 … (2)
Hasil pada persamaan(2) disubstitusikan ke persamaan (1), sehingga
diperoleh
4(9 − 𝑦) – 2𝑦 = 12
36 – 4𝑦 – 2𝑦 = 12
− 6𝑦 = 12 − 36
− 6𝑦 = −24
𝑦 = 4… (3)
Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (2), sehingga diperoleh
𝑥 = 9 – 4
𝑥 = 5
Jadi 𝐻𝑃 = {(5,4)}
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 24
d. Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
102
53
yx
yx
dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !
Jawab:
Dengan mengeliminasi y akan diperoleh:
3𝑥 – 𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = 10 +
5𝑥 = 15
𝑥 = 3
𝑥 = 3disubstitusi ke 3𝑥 – 𝑦 = 5
3 3 – 𝑦 = 5 9 – 𝑦 = 5
− 𝑦 = 5 − 9 − 𝑦 = −4
𝑦 = 4
Jadi 𝐻𝑃 = {(3,4)}
e. Menggunakan Determinan
Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur
sangkar (persegi). Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari
bentuk persamaan :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟
diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi
𝐷,𝐷𝑥,𝐷𝑦. Dengan :
𝐷 = qp
ba = 𝑎𝑞 – 𝑏𝑝
𝐷𝑥 = qr
bc = 𝑐𝑞 – 𝑏𝑟
𝐷𝑦 = rp
ca = 𝑎𝑟 – 𝑐𝑝
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 25
Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :
𝑥 = D
Dx 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = D
Dy
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
53
132
yx
yx dengan cara determinan !
Jawab:
𝐷 = 13
32 = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = −7
𝐷𝑥 = 15
31 = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = −14
𝐷𝑦 = 53
12 = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7
𝑥 = D
Dx = 7
14
= 2
𝑦 = D
Dy =
7
7
= −1
Jadi HP = {(2, -1)}
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 26
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa sebelum guru
menjelaskan secara rinci metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier dua
variabel.
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat menentukan solusi dari masalah sistem persamaan linier dua variabel
melalui kegiatan bermain kartu SPL.Dengan bermain kartu SPL, diharapkan siswa dapat
berpikir kritis dalam menyelesaikan masalah-masalah SPLDV yang diberikan.
Pembukaan (5 menit)
1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2. Guru menayangkan video tentang testimonial berbelanja di pasar tradisionalyang
telah direvitalisasi. Video tersebut dapat diunduh melalui
linkhttp://www.youtube.com/watch?v=lKBiFAyXYsQ. Siswa diharapkan fokus
memperhatikan tayangan video. (Engagement)
3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai video yang telah ditonton bersama-
sama. Beberapa siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide dan pendapat
mengenai video tersebut.Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan
menyampaikan keterkaitan antara kegiatan yang ditampilkan pada video dengan
aktivitas pembelajaran yang akan dilaksanakan.(Explanation)
4. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan
pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (70 menit)
1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berkelompok (maksimal tiga orang)
dan membagikan set kartu SPL, set uang-uangan kertas, dan lembar kerja (LK)
kepada siswa. Siswa menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan
eksperimen melipat kertas.
2. Siswa mengamati penjelasan guru mengenai deskripsi set kartu SPL dan uangan-
uangan yang akan digunakan dalam kegiatan pembelajaran. Guru memberikan
penjelasan mengenai aturan bermain kartu yang harus diikuti oleh setiap
kelompok.(Engagement)
3. Setiap kelompok melakukan simulasi pembelanjaan sesuai dengan kasus-kasus
yang diberikan pada LK. Simulasi dilakukan dengan memainkan kartu-kartu SPL
dan uang-uangan kertas sedemikian sehingga sesuai dengan masalah pembelanjaan
yang tertera pada LK. Setiap anggota kelompok diharapkan dapat saling berbagi ide
dalam menyelesaikan kasus-kasus SPL yang diberikan.(Exploration)
4. Siswasecara individu menuliskan hasil diskusi kelompoknya pada lembar kerja
yang telah disediakan. Lebih lanjut, setiap kelompok membuat poster yang
merepresentasikan langkah-langkah pemecahan ketiga masalah dengan mengacu
pada permainan kartu SPL yang telah dilakukan.(Explanation)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 27
5. Siswa dan guru bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh
dari kegiatan yang telah dilakukan.Jika kesimpulan dari salah satu atau beberapa
siswa belum tepat, maka siswa lainnya diminta menyampaikan pendapatnya,
demikian seterusnya dan sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang
jawaban yang diharapkan. (Explanation& Evaluation)
6. Selanjutnya, guru membimbing siswa untuk mengaitkan hasil eksperimen dengan
metode penyelesaian SPLDV, yaitu metode grafik dan substitusi. Siswa secara
terbimbing menyelesaikan kembali kasus-kasus SPLDV dengan menggunakan
metode grafik dan substitusi. Siswa juga diberi kesempatan membuat grafik dari
masalah SPLDV tersebut dengan menggunakan software Geogebra. (Explanation
&Elaboration)
7. Siswa dan guru bersama-sama membuat kesimpulan mengenai materi yang telah
dibahas dalam pembelajaran di kelas. Guru memberikan penguatan kembali bila
masih ada materi yang belum dimengerti siswa.(Evaluation)
Penutup (5 menit):
1. Guru memberikan pekerjaan rumah sebagai bahan latihan siswa pada materi
SPLDV.
2. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 28
LEMBAR KERJA SISWA
Bermain Kartu SPL (Sistem Persamaan Linier)
Perhatikan set kartu SPL (Sistem Persamaan Linier) yang diberikan!
Dalam satu set kartu terdapat 6 jenis kartu dengan gambar yang berbeda, yaitu kartu
dengan gambar satu kilogram buah jeruk, satu kilogram buah apel, satu kilogram buah
pear, satu buah buku tulis, satu buah pena dan satu buah jangka.
Gambar 1. Kartu-kartu SPL
Selain set kartu SPL, diberikan pula set uang-uangan kertas yang terdiri atas pecahan
seribu rupiah, dua ribu rupiah, lima ribu rupiah, dan sepuluh ribu rupiah. Contoh
gambar dari set uang-uangan kertas yangakan digunakan pada permainan kartu SPL
adalah sebagai berikut:
Gambar 2. Uang-uangan kertas
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 29
Lakukan simulasi pembelian barangdengan menggunakan set kartu SPL dan
uang-uangan kertas yang tersedia dengan mengacu pada kasus-kasus berikut ini:
a) Ibu Susydan Ibu Sugi pergi bersama-sama ke USBI mart untuk berbelanja
buah-buahan. Ibu Susy membeli satu kilogram buah apel dan satu kilogram
buah pear dengan mengeluarkanuang sebesar Rp 35.000,-. Kemudian
diketahui juga bahwa Ibu Sugi membeli dua kilogram buah apel dan tiga
kilogram buah pear dengan mengeluarkan uang sebesar Rp 85.000,-.
Lakukan simulasi terhadap kedua transaksi pembelian tersebut dan
tentukan harga masing-masing buah per satu kilogram.
b) Pak Budi dan Pak Rian bersama-sama membelibuah di USBI mart. Pak Budi
membeli 3 kilogram buah jeruk dan 2 kilogram buah apel dengan
mengeluarkan uang sebesar Rp 85.000. Sementara itu,Pak Rian membeli 2
kilogram buah jeruk dan 3 kilogram buah apel dengan mengeluarkan uang
sebesar Rp 90.000,-.
Lakukan simulasi terhadap kedua transaksi pembelian tersebut dan
tentukan selisih harga pembelian satu kilogrammasing-masing buah.
c) Pak Hatim dan Pak Aldi bersama-sama membeli beberapa alat tulis di
koperasi USBI. Pak Hatim membeli 1 buah buku tulis, 2 buah pena, dan 1
buah jangka dengan total uang yang dikeluarkan sebesar Rp 33.000,-.
Sementara itu,Pak Aldi membeli 2 buah buku tulis, 1 buah pena, dan 1 buah
jangka dengan total uang yang dikeluarkan sebesar Rp 28.000,-.
Ibu Mima selaku petugas koperasi USBI menginformasikan kepada mereka
bahwa harga 1 buah pena sama dengan harga 2 buah buku tulis.
Lakukan simulasi terhadap kedua transaksi pembelian tersebut dan
tentukan harga masing-masing alat tulis per buahnya!
Diskusikan hasil yang anda dapatkan dengan anggota kelompok, kemudian
tuliskan kesimpulan dari hasil kegiatan bermain kartu SPL yang telah anda
lakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 30
DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN
Topik pembelajaran : Sistem Persamaan Linier
Sub Topik : Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Kompetensi Dasar : 1. Memahami konsep Sistem Persamaan Linier
Dua dan Tiga Variabel, dan mampu
menerapkan berbagai strategi yang efektif
dalam menentukan himpunan penyelesaiannya
serta memeriksa kebenaran jawabannya.
2. Membuat model matematika berupa SPLDV
dari situasi nyata dan matematika, serta
menentukan jawab dan menganalisis model
sekaligus jawabnya.
Melalui eksperimen bermain kartu SPL, siswa diberi kesempatan untuk menyelesaikan
beberapa masalah yang berkaitan dengan aplikasi Sistem Persamaan Linier Dua
Variabel (SPLDV). Siswa diajak bernalar tentang bagaimana menentukan harga beli
suatu barang dengan melakukan simulasi pembelian menggunakan kartu SPL dan uang-
uangan kertas. Penerapan eksperimen bermain kartu SPL akan membangun
pemahaman siswa terhadap konsep SPLDV. Disarankan agar permainan kartu SPL
diberikan kepada siswa sebelum guru menjelaskan berbagai metode-metode
penyelesaian SPLDV (metode grafik, substitusi, dan eliminasi). Hal ini ditujukan agar
siswa dalam kelompok diskusinya dapat secara kritis menemukan langkah-langkah
penyelesaian kasus-kasus SPLDV dengan menggunakan set kartu yang diberikan dan
mengacu pada informasi awal. Pembelajaran akan lebih optimal jika kelompok-
kelompok siswa dapat menemukan solusi masalah dengan cara-cara yang bervariasi.
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan dengan kartu pada pembelajaran
Sistem Persamaan Linieradalah sebagaiberikut:
1 set kartu SPL yang terdiri atas kartu bergambar buah apel, kartu bergambar
buah jeruk, kartu bergambar buah pear, kartu bergambar buku tulis merah, kartu
bergambar pena, dan kartu bergambar jangka dengan jumlah masing-masing
sebanyak 10 kartu berukuran 7cm x 10 cm.
1 set uang-uangan kertas pecahan seribu rupiah, dua ribu rupiah, lima ribu rupiah,
dan sepuluh ribu rupiah.
Lembar Kerja Siswa
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 31
LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN
Siswa secara berkelompok diminta menyelesaikan 2 buah masalah yang berkaitan
dengan SPLDV dan 1 buah masalah SPL Tiga Variabel. Ketiga masalah tersebut harus
diselesaikan dengan simulasi menggunakan kartu-kartu yang mewakili benda pada
masalah SPL yang diberikan. Salah satu alternatif langkah-langkah yang dapat dilakukan
siswa dalam menyelesaikan masalah-masalah pada LKadalah sebagai berikut:
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 32
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 33
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 34
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 35
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 36
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 37
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
http://www.geogebra.org/cms/en/
http://www.youtube.com/watch?v=lKBiFAyXYsQ
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 38
PEMBELAJARAN LOGIKA
sumber: http://4.bp.blogspot.com/-
zCEAtdxAWDQ/ULwPqGDrl2I/AAAAAAAAAd0/aXLlvlFG024/s1600/MaxMind.jpg
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran logika, siswa diharapkan mampu mendeskripsikan
ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.
Pengalaman Belajar :
Melalui pembelajaranmateri logika, siswa diharapkan mampu:
menentukan nilai kebenaran dari ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi,
biimplikasi dan ingkarannya;
menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan ingkaran, konjungsi,
disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 39
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi eksponensial dibuat
berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang
diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu.
Model 5E tersebut adalah:
1. Engagement
Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan
perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan
apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration
Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat
rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun
semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah
siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga.
3. Explanation
Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil
eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa
temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration
Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas
pemahaman mereka.
5. Evaluation
Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru
memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta
memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.
Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 40
MATERI LOGIKA Bernalar merupakan proses mendapatkan kebenaran baru yang bersandarkan pada
fakta-fakta yang telah ada. Kebenaran yang baru ini nantinya dapat digunakan untuk
menurunkan kebenaran baru lainnya. Dengan kemampuan bernalar, manusia mampu
memecahkan berbagai masalah kehidupan secara logis. Lebih lanjut, logika berasal dari
kata “Logos” (Bahasa Yunani) yang berarti kata, ucapan, atau pikiran. Aristoteles (384 –
322 SM) merupakan ilmuwan pertama yang menemukan konsep mengenai
logika.Logika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari cara-cara yang
meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang berdasarkan
pada penalaran yang logis.Peta konsep dari topik Logika yang dibahas pada Mata
Pelajaran Matematika di SMA kelas X direpresentasikan pada bagan berikut ini:
Peta Konsep Topik Logika pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 41
Pernyataan , Kalimat Terbuka, Ingkaran Pernyataan, dan Pernyataan Majemuk
1. Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak
sekaligus kedua-duanya.Contoh-contoh pernyataan adalah sebagai berikut:
a) Hasil kali 5 dan 4 adalah 20
b) Semua unggas dapat terbang
c) Ada bilangan prima yang genap
Contoh pertama dan ketiga adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan
contoh keduapenyataan yang bernilai salah.Contoh-contoh kalimat yang bukan
pernyataan adalah sebagai berikut:
a) Semoga nanti engkau naik kelas
b) Tolong tutupkan pintu itu
c) Apakah Ali sudah makan?
Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, dan r. Sebagai
contoh:
p : Semua bilangan prima adalah ganjil
q : Jakarta ibukota Indonesia
Ada 2 dasar yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran suatu
pernyataan, yaitu:
i. Dasar empiris, yaitu jika nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan
pada saat tertentu.Contohnya adalah: rambut adik panjang, besok pagi
cuaca cerah.
ii. Dasar tidak empiris, yaitu jika nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah
atau hukum tertentu. Jadi, nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan
tempat. Contohnya adalah: jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800,tugu
muda terletak di kota Semarang.
2. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai
kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau
variabel.Contoh-contoh kalimat terbuka adalah:
a) 2x + 3 = 9
b) 5 + n adalah bilangan prima
c) Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 42
3. Ingkaran dari pernyataan
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari
pernyataan semula.Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “bukan p”
atau “tidak p”.Tabel kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan ditentukan
sebagai berikut:
p ~ p
B S
S B
Contoh dari ingkaran suatu pernyataan adalah sebagai berikut:
a) p : Ayah pergi ke pasar
~ p: Ayah tidak pergi ke pasar
b) q : 2 + 5 < 10
~ q: 2 + 5 10
4. Pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran
kuantitas.Ada 2 macam kuantor, yaitu:
i. Kuantor Universal
Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang
menyatakan semua atau setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan
(dibaca untuk semua atau untuk setiap). Contoh-contoh pernyataan
dengan kuantor universal adalah sebagai berikut:
x R, x2> 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real maka
berlaku x2> 0.
Semua ikan bernafas dengan insang.
ii. Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang
menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial
dinotasikan dengan (dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian). Contoh-
contoh pernyataan dengan kuantor eksistensial adalah sebagai berikut:
x R, x2 + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real
dimana x2 + 3x – 10 < 0
Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 43
5. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah kuantor eksistensial dan
sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor
universal.Contoh :
a) p : Semua ikan bernafas dengan insang
~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang
: Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru
: Tidak semua ikan bernafas dengan insang
b) q : Beberapa siswa SMA malas belajar
~ q : Semua siswa SMA tidak malas belajar
6. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang
dihubungkan dengan kata hubung.Ada 4 macam pernyataan majemuk:
i. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”.
Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan "" qp yang
dibaca p dan q. Tabel kebenarannya adalah:
p q qp
B B B
B S S
S B S
S S S
Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa konjungsi hanya
bernilai benar apabila kedua pernyataan bernilai benar.Berikut adalah
contoh dari pernyataan konjungsi:
p : 34 = 51 (bernilai salah)
q: 2 + 5 = 7 (bernilai benar)
qp : 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 (bernilai salah)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 44
ii. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.
Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan qp dan dibaca p atau q.
Tabel kebenarannya adalah:
p q qp
B B B
B S B
S B B
S S S
Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa disjungsi hanya
bernilai salah apabila kedua pernyataan bernilai salah. Berikut adalah
contoh dari pernyataan disjungsi:
p : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 (bernilai benar)
q: tugu pahlawan terletak di Jakarta (bernilai salah)
qp : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di
Jakarta (bernilai benar)
iii. Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ... maka
...”. Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q, yang
dibaca “jika p maka q”. Pada implikasi p q, p disebut anteseden atau
sebab atau hipotesa, dan q disebut konsekuen atau kesimpulan atau
konklusi.Tabel kebenarannya adalah:
p q qp
B B B
B S S
S B B
S S B
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 45
Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa implikasi akan
bernilai salah hanya jika sebabnya benar dan akibatnya salah. Berikut
adalah contoh dari pernyataan implikasi:
p : 5 + 4 = 7 (bernilai salah)
q: Indonesia berada di benua eropa (bernilai salah)
p q : jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)
iv. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “... jika dan
hanya jika ...” dan dilambangkan .Biimplikasi dari pernyataan p dan q
ditulis p q, yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan
jika q maka p. Tabel kebenarannya adalah:
p q qp
B B B
B S S
S B S
S S B
Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa biimplikasi
hanya akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya nilai kebenarannya
sama. Berikut adalah contoh dari pernyataan biimplikasi:
p : 3 + 10 =14 (bernilai salah)
q : Persegi adalah segitiga (bernilai salah)
p q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga
(bernilaisalah)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 46
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa yang sudah memiliki
pemahaman tentangkonsep pernyataan dan bukan pernyataan, nilai kebenaran suatu
pernyataan, dan negasi dari suatu pernyataan.
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan konjungsi, disjungsi,
implikasi, dan biimplikasi berdasarkan hasil percobaan dengan menggunakan alat
peraga Logika Listrik.
Pembukaan (10 menit)
1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. Guru
menyampaikan tujuan pembelajaran kepada siswa.
2. Guru menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan tentang kelistrikkan
yang digunakan oleh siswa sehari-hari. Siswa diharapkan secara aktif merespon
stimulus tersebut dengan menyebutkan beberapa contoh kegiatan sehari-hari
yang membutuhkan listrik.(Engagement)
3. Guru menunjukkan alat peraga berupa rangkaian listrik seri dan paralel, serta
menyampaikan bahwa rangkaian listrik tersebut merupakan aplikasi konsep
Logika yang sedang siswa pelajari. (Engagement)
Kegiatan inti (60 menit)
Guru meminta salah seorang siswa untuk mendemonstrasikan rangkaian listrik seri dan
paralel di depan kelas. Siswa lainnya diminta mengamati jalannya demonstrasi kedua
rangkaian listrik. (Engagement& Exploration)
1. Beberapa siswa diharapkan menyampaikan hasil pemikirannya mengenai hasil
demonstrasi kedua rangkaian listrik. Selanjutnya, guru memandu siswa untuk
mengaitkan hasil demonstrasi kedua rangkaian listrik dengan konsep nilai
kebenaran dari pernyataan konjungsi dan disjungsi. (Explanation)
2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil yang masing-
masing terdiri dari 3 orang.Guru memastikan setiap kelompok siswa telah
memiliki alat peraga Logika Listrik dan lembar kerja (LK).
3. Setiap kelompok melakukan percobaan sesuai dengan instruksi guru dan
mengamati hasilnya. (Exploration)
4. Siswa mengisi LK berdasarkan hasil diskusi kelompok mengenai temuan pada
percobaan yang telah dilakukan.(Explanation)
5. Kelompok siswa diminta menyimpulkan hasil percobaan yang telah dilakukan
dan menjelaskan konsep konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau
mempresentasikan kesimpulan dari eksperimen yang telah dilakukan di
kelompok masing-masing. Jika kesimpulan dari salah satu kelompok belum
tepat, kelompok lain diminta menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya
dan sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang jawaban yang
diharapkan.(Explanation& Evaluation)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 47
6. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah
mereka lakukan. Kemudian guru memberikan pertanyaan-pertanyaan(problem
solving) seputar aplikasi masalah konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
untuk menguatkan pemahaman siswa.Guru memberikan kesempatan bertanya
bila masih ada materi yang belum dimengerti siswa.(Elaboration and
Evaluation)
Penutup (10 menit):
1. Guru memberikan pekerjaan rumah sebagai bahan latihan siswa pada materi
konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
2. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah
dilakukan.
LEMBAR KERJA SISWA
1. Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika
Listrik Konjungsi!
2. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut:
Tabel 1: Hasil percobaan konjungsi(A ⋀ B)
Lampu A Lampu 𝑨 Lampu B Lampu 𝑩 Lampu P
menyala mati menyala mati menyala
3. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil
pada Tabel 1!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 48
Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika Listrik Disjungsi.
4. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut:
Tabel 2: Hasil percobaan disjungsi (A V B)
Lampu A Lampu 𝑨 Lampu B Lampu 𝑩 Lampu P
menyala mati menyala mati menyala
5. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil
pada Tabel 2!
6. Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika
Listrik Implikasi.
7. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut:
Tabel 3: Hasil percobaan implikasi (A B)
Lampu A Lampu 𝑨 Lampu B Lampu 𝑩 Lampu P
menyala mati menyala mati menyala
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 49
8. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil
pada Tabel 3!
9. Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika
Listrik Biimplikasi.
10. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut:
Tabel 4: Hasil percobaan biimplikasi(A B)
Lampu A Lampu 𝑨 Lampu B Lampu 𝑩 Lampu P
Menyala mati menyala mati menyala
11. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil
pada Tabel 4!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 50
DESKRIPSI ALAT PERAGA
Logika Listrik
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi
Topik pembelajaran : Logika
Sub Topik : Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi
Kompetensi Dasar : Setelah mengikuti pembelajaran logika, siswa diharapkan mampu mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 51
Alat peraga Logika Listrik dapat digunakan sebagai sarana untuk
mengaplikasikan konsep Logika. Siswa dapat melakukan beberapa percobaan
melalui alat peraga tersebut untuk membuktikan nilai kebenaran dari konjungsi,
disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.Sebelum menggunakan alat peraga Logika
Listrik, guru sebaiknya memastikan bahwa siswa sudah memahami materi
prasyarat yang diperlukan untuk memahami konsep yang akan dibahas pada
kegiatan percobaan. Materi prasyarat tersebut adalah mengenai konsep
pernyataan dan bukan pernyataan, nilai kebenaran dari suatu pernyataan, dan
negasi dari suatu pernyataan. Kegiatan eksperimen dengan alat peraga Logika
Listrik juga akan lebih maksimal, apabila siswa terlebih dahulu diberi
kesempatan mengenal rangkaian listrik seri dan paralel yang merupakan
aplikasi dari konsep konjungsi dan disjungsi.
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat alat peraga logika listrik adalah
sebagai berikut:
1 buah gergaji
1 buah alat ukur meter
1 buah papan kayu berukuran 17x47 cm
4 buah kayu reng ukuran 6x26 cm
2 buah duplex tebal 1 cm ukuran 27x47 cm
1 buah kabel 2 meter dan colokan
20 buah bola lampu hias
1 buah kabel lampu hias ukuran 2 meter
1 buah travo 220 V
1 buah solder dan timah solder
1 buah alat bor
1 buah solatip kabel
8 buah stop kontak kecil
1 buah palu
1 buah obeng
1 plastik lem fox
LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga logika
listrik:
1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan
2. Buatlah sebuah kotak persegi panjang dengan menggunakan kayu dan duplex
terelebih dahulu.
3. Paku kotak persegi panjang tersebut ke papan sebagai alas kotak tersebut.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 52
4. Bor papan bagian depan untuk memasang 20 buah bola lampu hias dan 8 buah
stop kontak lampu.
5. Lem 20 buah bola lampu tersebut pada lubang yang sudah tersediadan kancinglah
stop kontak tersebut menggunakan sekrup.
6. Sambungkan kabel dari travo ke semua stop kontak dan dari stop kontak ke bola
lampu yang sudah siap secara parallel. Sambungkan pula dari travo ke sumber
listrik.
7. Tutup bagian belakang kotak dengan menggunakan duplex, kemudian kancinglah
menggunakan sekrup.
8. Lampu siap dinyalakan
CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Penerapan alatperagaLogika Listrik dalam pembelajaran Logika bertujuan untuk
menjelaskan konsepnilai kebenaran dari konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
melalui serangkaian percobaan menyalakan dan mematikan lampu.Langkah-
langkahpenggunaannyaadalah sebagaiberikut:
1. Perhatikan cara kerjalampu dan saklar pada alat peraga Logika Listrik yang memenuhi ketentuan berikut ini: a. Saklar dengan posisi ke atas akan membuat lampu menyala dan
mengindikasikan pernyataan benar. Sebaliknya,apabila saklar di posisikan ke bawahmaka lampu akan mati (mengindikasikan pernyataan salah). Kedua kondisi tersebut berlaku baik bagi saklar I maupun saklar II.
b. Ketentuan pada saklar I: apabila saklar I diposisikan ke atas maka lampu A menyala dan lampu
𝐴 mati apabila saklar I diposisikan ke bawah maka lampu A mati dan lampu
𝐴 menyala c. Ketentuan pada saklar II:
apabila saklar II diposisikan ke atas maka B menyala dan lampu 𝐵 mati
apabila saklar II diposisikan ke bawah maka lampu B mati dan lampu 𝐵 menyala
Konjungsi: 1. Dengan memainkan kedua saklar yaitu dengan menyalakan lampu Adan
menyalakan lampu B,makalampu P akan menyala. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A benar dan pernyataan B benar, maka pernyataan (A⋀B) bernilai benar.
2. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu A dan menyalakan lampu 𝐵 ,maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A benar dan pernyataan Bsalah, maka pernyataan (A ⋀𝐵 ) bernilai salah.
3. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu𝐴 dan menyalakan lampu B, maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A salah dan pernyataan Bbenar, maka pernyataan (𝐴 ⋀B) bernilai salah.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 53
4. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu 𝐴 dan menyalakan lampu 𝐵 , maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A salah dan pernyataan Bsalah, maka pernyataan (𝐴 ⋀ 𝐵 ,) bernilai salah.
Disjungsi:
1. Dengan memainkan saklar untuk menunjukkan bahwa apabila A benar (lampuA
menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P menyala. Hal
inimenunjukkan bahwa (A V B) bernilai benar.
2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka P benar (lampu
Pmenyala). Hal ini menunjukkan bahwa (A V 𝐵 ) bernilai benar.
3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar maka P benar (lampu
Pmenyala), ini menunjukkan bahwa (𝐴 V B) bernilai benar.
4. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka P salah
(lampu P tidak menyala). Hal ini menunjukkan bahwa (𝐴 V 𝐵 )bernilai salah.
Dari percobaan tersebut dapat disimpulkan:
a. (A V B) bernilai benar
b. (A V 𝐵 ) bernilai benar
c. (𝐴 V B) bernilai benar
d. (𝐴 V 𝐵 )bernilai salah
Implikasi:
1. Dengan memainkan saklar yaitu untuk menunjukkan bahwa apabila A
benar(lampu A menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P
menyala. Hasil ini menunjukkan bahwa implikasi dua pernyataan (A B)bernilai
benar.
2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka lampu P tidakmenyala.
Hasil ini menunjukkan bahwa implikasi (A 𝐵 )bernilai salah.
3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar, maka lampu P menyala. Hasil
ini menunjukkan bahwa implikasi (𝐴 B)bernilai benar.
4. Apabila A salah dan B salah maka lampu pada P menyala. Hasil ini
menunjukkanbahwa implikasi (𝐴 𝐵 )bernilai benar.
Dari percobaan tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa implikasi dua pernyataan
akan bernilai salah jika anteseden bernilai benar dan konsekuensinya bernilai salah.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 54
Biimplikasi:
1. Dengan memainkan saklar yaitu untuk menunjukkan bahwa apabila A
benar(lampu A menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P
menyala.Hasil ini menunjukkan bahwa biimplikasi dua pernyataan
(A B)bernilai benar.
2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka lampu P mati. Hasil ini
menunjukkan bahwa biimplikasi (A 𝐵 )bernilai salah.
3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar, maka lampu P mati.Hasil ini
menunjukkan bahwa biimplikasi (𝐴 B)bernilai salah.
4. Apabila A salah dan B salah maka lampu pada P menyala. Ini
menunjukkanbahwa biimplikasi (𝐴 𝐵 )bernilai benar.
Dari percobaan tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa biimplikasi dua
pernyataan akan bernilai benar jika anteseden dan konsekuen keduanya bernilai
benar atau keduanya bernilai salah.
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
Buku Petunjuk Penggunaan Alat Peraga Matematikia SMA,Yogyakarta: Pusat
Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK)
Matematika, 2012
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 55
Pembelajaran Matriks
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan:
1. memahami konsep matriks sebagai representasi numerik dalam kaitannya dengan konteks nyata;
2. memahami operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 56
Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi matriks, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:
melatih berpikir kritis dan kreatif; mengamati keteraturan data; berkolaborasi, bekerja sama menyelesaikanmasalah; berpikir independen serta mengajukan ide secarabebas dan terbuka; mengamati aturan susunan objek.
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran matriks dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:
1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga.
3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka.
5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.
Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:
Engagement
Exploration
ExplanationElaboration
Evaluation
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 57
MATERI MATRIKS Pada zaman dahulu matriks digunakan untuk mencari solusi dari persamaan linear,
matriks dikembangkan di negeri Cina pada tahun 200 B.C. Matematikawan Cina merasa
penggunaan papan yang berisi kotak-kotak berupa matriks memudahkan mereka dalam
menghitung. Pada abad 19, barulah matriks digunakan oleh matematikawan dari negeri
“barat”. Tiga matematikawan penting yang mengembangkan konsep matriks yaitu
James Sylvester, William Rowan Hamilton dan Arthur Cayley. Sylvester adalah tokoh
yang pertama kali menggunakan istilah “matrix”. Sejak zaman dahulu matriks
digunakan oleh para fisikawan dan astronomer.
Dalam pembelajaran matriks ada beberapa konsep dasar yang harus diperhatikan dan
dipahami oleh siswa, yakni:
1. Menampilkan dan menginterpretasi data dalam bentuk matriks
2. Menjumlahkan dan melakukan operasi pada matriks
3. Memahami perhitungan determinan dan mencari inverse matriks
Beberapa siswa memiliki kesulitan saat melakukan operasi perkalian pada matriks,
karena prosedur yang berbeda dengan perhitungan numerik biasa. Untuk mengajarkan
tentang matriks, siswa harus dapat menggunakan matriks untuk memecahkan masalah,
sehingga mereka tidak menganggap matriks hanya sebatas komputasi saja.
Peta Konsep Topik Matriks pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 58
Matriks
1. Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang
yang diatur menurut baris dan kolom.
2. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam
matriks.
3. Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam
matriks.
4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks
o Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris.
o Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom.
o Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak
kolomnya.
o Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
o Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya
sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.
o Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya
sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
o Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen
diagonalnya bernilai nol.
o Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah
diagonal utamanya bernilai nol.
o Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas
diagonal utamanya bernilai nol.
5. Penjumlahan matriks A + B
6. Pengurangan matriks A -B
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 59
7. Perkalian Matriks adalah:
8. Invers Matriks
Inversnya adalah :
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapatmemahami operasi pada matriks dan menyelesaikan permasalahan
matematika yang berhubungan dengan matriks.
Pembukaan (10 menit)
1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang
3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang operasi pada aljabar. Guru
memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi
prasyarat untuk mempelajari matrikslebih lanjut.(Engagement)
4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan matriks di kehidupan nyata, lalu
guru mengulas sedikit tentang sejarah matriks untuk menarik perhatian siswa dan
meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement)
5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan
pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (60 menit)
1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru mematika setiap kelompok siswa memiliki alat peraga matriks.
2. Guru menjelaskan tentang ukuran orde matriks dengan alat peraga yang telah tersedia
3. Siswa menggunakan program pada Microsoft Exceltentang penjumlahan matriks 4. Guru menjelaskan tentang penjumlahan matriks dengan alat peraga yang telah
tersedia 5. Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang pengurangan matriks 6. Guru menjelaskan tentang perkalian matriks dengan alat peraga yang telah
tersedia 7. Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang perkalian matriks
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 60
8. Guru menjelaskan tentang transpos matriks dengan alat peraga yang telah tersedia
9. Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang transpos matriks 10. Siswa mendiskusikan permasalahan tentang matriks di lembar kerja siswa.
Penutup:
1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.
2. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.
3. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
LEMBAR KERJA SISWA
Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang matriks:
1. Siapkan alat peraga visualisasi matriks
2. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang penjumlahan matriks dengan
mengisi bagian yang kosong
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 61
3. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan tersebut !
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 62
4. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang pengurangan matriks dengan
mengisi bagian yang kosong
5. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan tersebut !
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 63
6. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang perkalian matriks dengan
mengisi bagian yang kosong
7. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan tersebut !
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 64
8. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang transpos matriks dengan
mengisi bagian yang kosong
9. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan tersebut !
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 65
DESKRIPSI MEDIA PEMBELAJARAN: Program pada Microsoft Excel
untuk MemvisualisasikanOperasi Matriks
Penggunaan media pembelajaran ini bertujuan untuk memvisualisasikan beberapa
operasi matriks, yaitu: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan transpos matriks.
Media pembelajaran ini dapat membantu bagi siswa-siswa yang mempunyai gaya
belajar cenderung visual, sehingga mereka tidak hanya mengingat rumus tapi
melakukan eksplorasi mengenai operasi matriks.
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 66
PEMBELAJARAN
FUNGSI
http://4.bp.blogspot.com/-1g4sAVW3q_g/UtkaJMQP6hI/AAAAAAAADCM/iiilrqbWNro/s1600/SAM_0231.JPG
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran fungsi, siswa diharapkan mampu:
1. menerapkan konsep fungsi dan menggambarkan grafiknya;
2. mengidentifikasi relasi yang disajikan dalamberbagai bentuk yang merupakan
fungsi.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 67
Pengalaman Belajar :
Melalui pembelajaran materi fungsi, siswa memperoleh pengalaman belajar:
1. menemukan konsep fungsi melaluipemecahan masalah otentik;
2. berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola instalasi sosial kultur;
3. berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki danmengaplikasikan konsep
fungsidalam memecahkan masalah otentik;
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi fungsi dibuat
berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang
diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu.
Model 5E tersebut adalah:
1. Engagement
Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan
perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan
apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration
Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat
rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun
semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah
siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga.
3. Explanation
Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil
eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa
temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration
Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas
pemahaman mereka.
5. Evaluation
Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru
memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta
memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 68
Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:
MATERI FUNGSI Konsep fungsi merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang
matematika.Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam
kehidupansehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat.
Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716)
digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua
himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan merupakan hal yang istimewa dari suatu
relasi antara dua himpunan. Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang dapat
dimodelkan oleh konsep fungsi. Misalnya model pertumbuhan populasi penduduk,
peluruhan radioaktif, penyebaran penyakit, bunga tabungan, dan lain sebagainya. Siswa
diharapkan dapat menerapkan konsep fungsi dalam menyelesaikan berbagai masalah
terkait dalam mata pelajaran Matematika maupun aplikasinya. Peta konsep dari
topikFungsiyang dibahas pada Mata Pelajaran Matematika di SMA kelas X
direpresentasikan pada bagan berikut ini:
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 69
Peta Konsep Topik Fungsi pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 70
Pengertian Relasi dan Fungsi
1. Relasi antara dua himpunan
Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:
B danA ),( B A yxyx , A B disebut hasil kali cartesian antara
himpunan A dan B.
Jika R (A B), maka R disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B. Relasi
dapat diartikan sebagai aturan yang mengawankan dua himpunan.
Ada beberapa cara menyatakan relasi, yaitu:
a. diagram panah;
b. himpunan pasangan berurutan;
c. grafik kartesius
Contoh dari relasi adalah sebagai berikut:
Diketahui himpunan A { 1, 4} dan B { 1, 2}, nyatakan relasi dari A ke B
dengan “dua lebihnya dari” !
Penyelesaian:
Himpunan pasangan berurutan yangb mewakili relasi dari A ke B adalah:
{(1,1), (4,2), (5,3)}
2. Pemetaan atau fungsi
Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang
menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B.
Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan dengan
f : x y atau y f(x)
dibaca “f memetakan x ke y ”
y dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua
peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range).
Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:
a. Himpunan A sebagai daerah asal atau daerah definisi (domain).
b. Himpunan B sebagai daerah kawan (kodomain).
c. Himpunan R sebagai daerah hasil (range)
d. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap
anggota A dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain setiap
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 71
A B
anggota A dipasangkan habis tetapi tidak boleh ada satu anggota A yang
punya pasangan lebih dari atau kurang dari satu.
Domain fungsi f biasanya dilambangkan dengan Df sedangkan range fungsi f
biasanya dilambangkan dengan Rf.
Contoh:
1) Diketahui suatu fungsi yang memetakan A {1, 8, 27} ke B {1, 2, 3, 4}
dengan sifat “pangkat tiga dari”
a) Buatlah diagram panahnya
b) Tentukan domain, kodomain dan range fungsi tersebut.
Penyelesaian:
a)
b) Domain fungsi (Df ) adalah A {1, 8, 27}
Kodomain fungsi adalah B {1, 2, 3, 4}
Range fungsi (Rf ) adalah R {1, 2, 3}
Diagram panah di bawah ini menunjukkan kejadian khusus dari pemetaan yang
disebut korespondensi satusatu.
1
2
3
4
1
8
27
A B
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 72
Korespondensi satusatu adalah pemetaan yang menghubungkan setiap anggota
A dengan tepat satu anggota pada B dan menghubungkan setiap anggota B
dengan tepat satu anggota pada A.
Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama,
misalkan D maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi
tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan riil
(). Untuk fungsifungsi pada kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain:
fungsi linier dan fungsi kuadrat.
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat mendeskripsikan definisi fungsi dan memahami konsep fungsi melalui
analogi fungsi sebagai suatu mesin yang jika mendapatkan input akan menghasilkan
output tertentu. Selain itu siswa diharapkan mampu menerapkan konsep fungsi linier
dan menggambarkan grafiknyamelalui kegiatan eksperimen mengukur tinggi
tumpukkan kertas.
Pembukaan (10 menit)
1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2.Guru memberikan stimulus kepada siswa dengan menayangkan video tentang konsep
fungsi yang dianalogikan sebagai suatu mesin yang jika diberikan input akan
menghasilkan iui tertentu. Video tersebut berjudul Meat-A-Morphosis An
Introduction to Functions dapat diunduh melalui
linkhttp://www.youtube.com/watch?v=VUTXsPFx-qQ. Siswa diharapkan fokus
memperhatikan tayangan video. (Engagement)
3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai video yang telah ditonton bersama-
sama. Beberapa siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide dan pendapat
mengenai video tersebut. Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan
menyampaikan konsep fungsi dengan mengaitkannya terhadap analogi mesin yang
ditayangkan pada video.(Explanation)
4. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan
pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (65 menit)
1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berpasangan dan membagikan 10
buah gelas, kertas kotak-kotak dan lembar kerja (LK) kepada pasangan siswa. Siswa
menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan eksperimen“Mengenal
Fungsi”. Sebelum memulai eksperimen, siswa mengamati penjelasan guru
mengenai kegiatan eksperimen yang akan dilakukan. (Engagement)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 73
2. Setiap pasangan siswa mulai melakukan eksperimen dengan menyusun gelas-gelas
secara bertumpuk, mengukur tinggi tumpukkan gelas, dan mencatat hasil
pengukuran. (Exploration)
3. Siswa diminta menentukan tinggi tumpukkan 10 buah gelas tanpa pengukuran
secara langsung. Siswa diharapkan mampu menggunakan informasi-informasi yang
diperoleh sebelumnya untuk menjawab pertanyaan guru. (Explanation)
4. Setelah siswa berhasil menentukantinggi tumpukkan 10 buah gelas, siswa
diperbolehkan melakukan eksplorasi lebih lanjut dengan menambahkan jumlah
gelas dan mengukur kembali tinggi tumpukkan gelas. Data hasil pengukuran tinggi
tumpukkan gelas dituliskan pada LK yang diberikan guru dalam bentuk tabel. Siswa
juga membuat grafik yang menggambarkan data hasil eksperimen yang telah
dilakukan.(Exploration&Explanation)
5. Selanjutnya, guru membimbing siswa mengaitkan hasil eksperimen dengan konsep
fungsi. Hal tersebut dilakukan dengan meminta siswa menggambar diagram garis
pada kertas kotak-kotak dengan menggunakan data yang dihasilkan pada kegiatan
eksperimen. Siswa juga diajak memeriksa gambar yang mereka buat dengan
menggunakansoftware Geogebra atau media pembelajaran lainnya.(Explanation&
Elaboration)
6. Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat
diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudianguru memberikan
pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan fungsi untuk
menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih
ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.
(Elaboration and Evaluation)
Penutup (5 menit):
1. Guru memberikan pekerjaan rumah sebagai bahan latihan siswa pada materi
fungsi.
2. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 74
LEMBAR KERJA SISWA
Eksperimen “Mengenal Fungsi”
9. Susunlah lima buah gelas yang sama ukurannya sedemikian sehingga seperti
pada gambar berikut ini:
Gambar 1. Tumpukkan lima buah gelas
10. Tentukan tinggi keseluruhan tumpukkan kelima buah gelas tersebut!
11. Tambahkan 2 buah gelas pada tumpukkan gelas tersebut, kemudian tentukan
tinggi keseluruhan tumpukkan gelas yang baru!
12. Tentukan tinggi tumpukkan 10 buah gelas berdasarkan kedua percobaan yang
telah anda lakukan! Jelaskan jawaban anda!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 75
13. Isilah tabel berikut ini sesuai dengan hasil percobaan anda!
Tabel 1. Data hasil percobaan
Banyaknya
gelas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tinggi
tumpukkan
gelas
14. Gambarlah grafik yang mewakili data pada tabel! Gunakan kertas kotak-kotak
yang telah disediakan, kemudian apabila memungkinkan gunakan juga software
Geogebrauntuk menggambar grafik data hasil eksperimen.
15. Misalkan tinggi setiap gelas dinyatakan dengan t cm dan banyaknya gelas
dinyatakan dengan g, Nyatakan hubungan antara tinggi tumpukan dan
banyaknya gelas yang ditumpukkan dengan menggunakan permisalan tersebut!
16. Diskusikan hasil yang anda dapatkan dengan anggota kelompok, kemudian
tuliskan kesimpulan dari temuan yang anda dapatkan pada poin 1-6!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 76
DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN
Topik pembelajaran : Relasi dan Fungsi
Sub Topik : Fungsi
Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep fungsi linier dan menggambarkan grafiknya.
Eksperimen “Mengenal Fungsi” bertujuan untuk mengenalkan kepada siswa konsep
fungsi linier melalui kegiatan mengukur tinggi dari tumpukkan gelas. Siswa diharapkan
dapat memahami bahwa perubahan banyaknya gelas berelasi langsung dengan
perubahan tinggi tumpukan. Siswa juga digiring untuk mendefinisikan suatu fungsi dari
percobaan mengukur tumpukkan gelas. Hal ini dilakukan dengan memberi petunjuk
kepada siswa untuk memisalkan t sebagai tinggi tumpukkan gelas dalam centimeter
dan menyatakan banyaknya gelas dengan g.Kemudian guru dapat meminta siswa
menyatakan hubungan antara tinggi tumpukkan gelas dengan banyaknya gelas yang
ditumpuk. Setelah itu diharapkan siswa dapat memahami bahwa tinggi tumpukkan
“merupakan fungsi” banyaknya gelas.
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen “Mengenal Fungsi”
adalah sebagaiberikut:
10 buah gelas plastik dengan ukuran dan bentuk yang sama.
Mistar
Pena
Kertas kotak-kotak
Lembar Kerja Siswa
LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Siswa secara berpasangan diminta melakukan eksperimen “Mengenal Fungsi” dengan
menggunakan tumpukkan beberapa gelas dengan ukuran dan bentuk yang sama. Salah
satu alternatif langkah-langkah yang dapat dilakukan siswa dalam eksperimen ini
adalah sebagai berikut:
1. Susun 3-5 buah gelas secara bertumpuk.
2. Ukur tinggi tumpukkan gelas dengan menggunakan mistar.
3. Tambahlah jumlah gelas pada tumpukkan gelas awal. Kemudian ukur kembali
tinggi tumpukkan gelas seperti pada langkah kedua.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 77
4. Catat data pengukuran tinggi tumpukkan pada tabel berikut ini:
Banyaknya
gelas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tinggi
tumpukkan
gelas
5. Gambarlah grafik sesuai dengan data pada tabel hasil percobaan dengan
menggunakan kertas kotak-kotak atau software Geogebra (www.geogebra.org)
6. Selanjutnya, tentukan fungsi yang menyatakan hubungan antara tinggi
tumpukan dan banyak gelas yang ditumpuk.
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
http://www.geogebra.org/cms/en/
http://www.youtube.com/watch?v=VUTXsPFx-qQ
http://www.ixl.com/math/
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 78
Pembelajaran Barisan dan Deret
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan:
memprediksi pola barisan dan deret aritmetikadan geometri atau barisan lainnya melaluipengamatan dan memberikan alasannya;
menyajikan hasil menemukan pola barisan danderet dan penerapannya dalam penyelesaianmasalah sederhana.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 79
Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi barisan dan deret, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:
menemukan konsep serta pola barisan danderet melalui pemecahan masalah otentik;
berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola interaksi sosial kultur; berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan
mengaplikasikankonsep serta pola barisan dan deret dalammemecahkan masalah otentik.
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran barisan dan deret dibuat
berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:
1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga.
3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka.
5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 80
Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:
MATERI BARISAN DAN DERET Menurut Buku Matematika kelas X Kurikulum 2013, materi barisan dan deret
tergambar dalam diagram berikut:
Engagement
Exploration
ExplanationElaboration
Evaluation
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 81
Barisan dan Deret
1. Barisan dan Deret Aritmatika
a. Bentuk umum barisan :
b. Beda (selisih) = b
c. Suku ke-n (𝑈𝑛)
d. Jumlah n suku pertama (𝑆𝑛)
e. Hubungan suku pertama (𝑎), suku tengah (𝑈𝑡), dan suku ke-n (𝑈𝑛)
f. Sisipan
2. Barisan dan Deret Geometri
a. Bentuk umum barisan :
b. Rasio (perbandingan) = r
c. Suku ke-n (𝑈𝑛)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 82
d. Jumlah n suku pertama (𝑆𝑛)
e. Hubungan suku pertama 𝑎 , suku tengah (𝑈𝑡), dan suku ke-n (𝑈𝑛)
f. Sisipan
3. Deret Geometri Tak Hingga
a. Konvergen (semakin mengecil), apabila limit jumlah untuk 𝑛 → ∞ dapat ditentukan.
Jumlah sampai tak hingga :
b. Divergen (semakin menyebar/membesar), apabila limit jumlah 𝑛 → ∞ tidak dapat
ditentukan.
Jumlah sampai tak hingga :
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 83
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN (problem solving)
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapatmenemukan pola dari permasalahan yang disajikan
Pembukaan (10 menit)
1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran
2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang
3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan dari guru.Guru memberikan pertanyan
tersebut untuk menstimulus ingatan dan mengetahui pemahaman siswa tentang
materi prasyarat untuk mempelajari barisan dan deretlebih lanjut.(Engagement)
4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan barisan dan deret dalam kehidupan
nyata, kemudianmengulas sedikit tentang sejarah barisan dan deret untuk menarik
perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari
matematika.(Engagement)
5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan
pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (60 menit)
1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga yang diperlukan.
2. Dalam kelompoknya siswa memainkan menara hanoi secara bergantian dan menuliskan hasil yang diperoleh pada lembar kerja yang disediakan.
3. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan menara hanoi yang telah dilakukan.
4. Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan. 5. Dalam kelompoknya siswa memainkan loncat katak secara bergantian dan
menuliskan hasilnya pada lembar kerja yang disediakan 6. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan loncat katak yang telah
dilakukan. 7. Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan. 8. Dalam kelompoknya siswa memainkan permainan pola bilangan ganjil secara
bergantian dan menuliskan hasilnya pada lembar kerja yang disediakan 9. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan pola bilangan ganjil yang telah
dilakukan. 10. Guru menjelaskan pola bilangan ganjil tersebut dengan alat peraga yang telah
disediakan
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 84
11. Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan.
Penutup:
1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan
2. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.
3. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 85
LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang statistika:
1. Lakukan percobaan menara hanoi, dan tuliskan hasilnya dalam tabel di bawah
ini:
Jumlah cakram Jumlah langkah minimun 1 2 3 4 ... ... n Buatlah polanya
...............
2. Lakukan percobaan loncat katak dan tuliskan hasilnya dalam tabel di bawah ini:
Banyaknya pasang katak
1 2 3 4 ... n Buatlah polanya
Banyaknya loncatan
Banyaknya geseran
Total perpindahan
3. Lakukanlah permainan pola bilangan ganjil dan isilah tabel di bawah ini
Penjumlahan kuadrat Hasil 12 12 + 22 12 + 22 + 32 .... Tentukanlah pola yang dihasilkan
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 86
Perhatikan alat peraga yang telah disediakan:
Coba pahami alat peraga tersebut dan koneksikan pemahaman kalian!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 87
DESKRIPSI ALAT PERAGA: Menara Hanoi
Menara hanoi adalah alat peraga permainan matematika yang terkenal dan siswa
memiliki tantangan untuk menyelesaikan menara hanoi. Menara hanoi terdiri dari
cakram-cakran dengan urutan besar cakram dari yang terbesar ke kecil. Cakram yang
terbesar diletakkan di paling bawah dan yang terkecil diletakkan di paling atas. Tujuan
dari permainan ini adalah memindahkan seluruh cakram dari satu tiang ke tiang yang
lain dengan susunan seperti semula dan siswa mencari langkah yang paling minimum.
Proses pemindahan cakram dibantu oleh satu tiang lain.
Tujuan penggunaan menara hanoi adalah menemukan pola bilangan jika yang
dipindahkan sebanyak n cakram.
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk pembuatan Menara Hanoiadalah sebagaiberikut:
1. Papan triplek
2. Gergaji
3. Amplas
4. Pisau
5. Penggaris
6. Alat tulis
7. Jangka
8. Lembar Kerja Siswa
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 88
LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga Menara
Hanoi:
1. Siapkan papan triplek berukuran sekitar 20 x 60 cm
2. Buatlah sketsa bangun persegi pada papan triplek
3. Buatlah 3 potong tongkat berbentuk tiang dan lekatkan di atas papan triplek
4. Buatlah 4 cakram dengan diameter yang berbeda-beda (susunan cakram
berbentuk kerucut dengan cakram terkecil berada paling atas)
5. Haluskan dengan amplas
CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA 1. Pindahkan 1 cakram setiap langkah
2. Cakram yang lebih besar tidak boleh berada di atas cakram yang lebih kecil.
3. Siswa dapat memulai dengan menggunakan 1 cakram, 2 cakram sampai 4
cakram
4. Lalu siswa menuliskan hasilnya pada tabel yang disediakan guru
5. Guru meminta siswa untuk membuat pola bilangan yang ada.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 89
DESKRIPSI ALAT PERAGA: Loncat katak
Alat peraga loncat katak dapat dikategorikan sebagai alat peraga permainan
matematika, kegunaannya adalah untuk mengajak siswa menemukan pola bilangan dan
menentukan suku ke-n dari barisan bilangan dengan cara bereksplorasi.
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk pembuatan Loncat Katakadalah sebagaiberikut:
1. Gergaji
2. Penggaris
3. Amplas
4. Pensil gambar
5. Pasah
6. Pisau ukir
7. Kuas cat (besar dan kecil)
8. Pahat
9. Kayu bulat jenis dolkes (1 m, diameter ±10 𝑐𝑚
10. Kayu balok ( 100 cm x 8 cm x 5 cm)
11. Cat merah 1 kaleng kecil
12. Cat hijau 1 kaleng kecil
13. Cat cokelat 1 kaleng kecil
14. Vernis 1 kaleng kecil
LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga Loncat
Katak:
1. Buatlah desain gambar sesuai dengan rencana
2. Siapkan semua alat dan bahan yang diperlukan
3. Potong kayu dolken menjadi 10 bagian yang sama panjang
4. Ukirlah kayu dolken menjadi bentuk katak dengan diameter alas 4 cm
5. Amplaslah pasak yang berbentuk katak
6. Catlah pasak yang berbentuk katak dengan warna yang berberda (5 merah, 5 hijau)
7. Membuat 11 lubang pada balok kayu dengan diameter 4 c, dengan kedalaman 2 cm, dan
jarak antar lubang 4 cm
8. Amplaslah balok kayu
9. Catlah balok kayu dengan warna coklat
10. Pasangkan pasak yang berbentuk katak pada balok kayu
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 90
11. Alat peraga loncat katak siap digunakan
CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Aturan permainan loncat katak ini adalah sebagai berikut:
1. Pindahkan dua kelompok katak, sehingga dua kelompok katak tersebut
bergantian tempat, kedua kelompok katak dipisahkan dengan satu lubang
sebagai pembantu langkah.
2. Setiap kali melangkah hanya boleh mengangkat satu katak.
3. Dalam melakukan perpindahan, hanya boleh melompati satu katak atau
menggeser ke lubang terdekat.
4. Lakukan langkah minimum sampai kedua kelompok katak bertukar tempat
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
http://putrahardiansyah.blogspot.com/2013/05/permainan-matematika-loncat-katak.html
http://merinalestarii.wordpress.com/2013/06/06/permainan-menara-hanoi/
http://www.mtm.org.sg/wp-content/resources/doc/ringkasanmateri.matematika.pdf
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 91
Pembelajaran FUNGSI KUADRAT
http://2.bp.blogspot.com/-iOw_1yyGvQk/TqEkvEnIStI/AAAAAAAABlE/oIzOS3DfJzQ/s1600/mtk13.jpg
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan:
memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilihstrategi dan menerapkan untuk menyelesaikanpersamaan kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya;
menganalisis persamaan kuadrat dari data terkaitmasalah nyata dan menentukan model matematikaberupa persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat;
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 92
Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi fungsi kuadrat, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:
merancang model matematika dari sebuahpermasalahan otentik yang berkaitan denganpersamaan dan fungsi kuadrat;
menyelesaikan model matematika untuk memperolehsolusi permasalahan yang diberikan;
menentukan akar-akar persamaan kuadrat denganpemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, danrumus abc
menentukan jumlah dan hasil kali akar-akarpersamaan kuadrat; Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran fungsi kuadrat dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:
1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga.
3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka.
5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 93
Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:
MATERI FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRAT Dalam ilmu matematika, konsep fungsi kuadrat adalah konsep yang penting dan
digunakan berulang-ulang pada materi- materi matematika yang lain.
Kesalahan yang biasa terjadi pada siswa dalam mempelajari persamaan dan fungsi
kuadrat adalah:
1. Siswa tidak memiliki pemahaman konsep mengenai persamaan kuadrat, siswa
hanya menganggap proses mencari akar adalah sesuatu yang prosedural saja.
Hal ini terjadi karena siswa tidak melewati fase enaktif. Fase enaktif adalah fase
dimana siswa disediakan alat yang nyata bukan hanya sekadar ide abstrak saja.
2. Beberapa siswa masih kesulitan mengenai penulisan bentuk persamaan kuadrat,
contoh kesalahan siswa adalah:
( a + b)2 = a2 + b2
x + x2 = x3
-x – x = x2
3. Beberapa siswa bahkan guru menuliskan notasi yang salah untuk fungsi,
contohnya y = x2 disebut sebagai fungsi, padahal bentuk tersebut adalah bentuk
persamaan bukan fungsi. y = x2 dapat disebut persamaan yang membentuk
fungsi atau persamaan dari sebuah fungsi.
Engagement
Exploration
ExplanationElaboration
Evaluation
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 94
Peta Konsep Topik Fungsi dan Persamaan Kuadrat pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 95
Fungsi dan Persamaan Kuadrat
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan
A dengan anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu fungsi dari himpunan A ke
himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu
anggota B.
Fungsi 𝑓 dari himpunan A ke B ditulis :
(dibaca : fungsi 𝑓 memetakan A ke B)
Pada fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 berlaku :
1. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari 𝑓, ditulis 𝐷𝑓 .
2. Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari 𝑓.
3. Himpunan dari semua peta 𝑓 di B disebut daerah hasil (range) dari fungsi
tersebut, ditulis 𝑅𝑓 .
Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat :
Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan :
Memfaktorkan
Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Menggunakan rumus abc
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :
1. Jumlah akr-akar persamaan kuadrat :
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :
𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 96
Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat :
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 97
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapatmemahami pemfaktoran fungsi kuadrat melalui alat peraga algebra tiles.
Pembukaan (10 menit)
1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang
3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang persamaan fungsi kuadrat.Guru
memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi
prasyarat untuk mempelajari statistika lebih lanjut.(Engagement)
4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan mempelajari fungsi kuadrat dalam
kehidupan nyata, lalu guru mengulas sedikit tentang sejarah fungsi kuadrat untuk
menarik perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari
matematika.(Engagement)
5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan
pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (60 menit)
1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru mematikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga algebra tiles
2. Siswa melakukan eksplorasi melalui alat peraga algebra tiles untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat secara individu
3. Siswa berdiskusi dengan kelompoknya mengenai kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan
4. Siswa melakukan eksplorasi dengan mengubah hasil pemfaktoran menjadi persamaan kuadrat melalui alat peraga algebra tiles
Penutup:
1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.
2. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.
3. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 98
LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan algebra tiles:
1. Persiapkan alat peraga algebra tiles
2. Lakukan percobaan sesuai dengan mencari nilai pemfaktoran dari x2 + 4 x + 3
dengan menggunakan algebra tiles
3. Ambillah 1 buah persegi yang panjang sisinya x satuan, 4 buah persegi panjang
berukuran panjang x satuan dan lebar 1 satuan, dan 3 buah persegi yang panjang
sisinya 1 satuan
4. Bentuklah persegi panjang yang utuh dari persegi dan persegi panjang yang ada
5. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian
lakukan!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 99
DESKRIPSI ALAT PERAGA : ALGEBRA TILES
http://www.assessmentservices-edu.com/images/products/detail/Algebra%20Tiles.jpg
Algebra tiles adalah alat peraga untuk membantu siswa memahami cara memfaktorkan
persamaan kuadrat. Algebra tiles menggabungkan konsep kekekalan luas dan
persamaan kuadrat.
Alat peraga ini dapat dipakai sebagai awal dalam mengenalkan prosedur pemfaktoran
bentuk kuadrat, setelah siswa melalui tahapan pembelajaran melalui alat peraga yang
bisa di manipulasi dengan hands-on activity, siswa melanjutkan pada tahapan
selanjutnya yaitu proses abstrak.
Kekurangan alat peraga ini adalah, sulit digunakan untuk persamaan kuadrat yang
mempunyai koefisien negatif, hal ini terjadi karena panjang sisi dan luas tidak mungkin
bernilai negatif.
ALAT DAN BAHAN
Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat algebra tiles adalah sebagai berikut:
1. Karton tebal
2. Gunting
3. Kertas warna
4. Spidol hitam
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 100
LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga algebra
tiles:
1. Buatlah persegi dengan panjang sisi 20 cm sebanyak 5 buah
2. Beri tulisan “ x “ di setiap panjang sisinya, untuk menunjukkan bahwa panjang
sisinya adalah x satuan.
3. Buatlah persegi dengan panjang sisi 5 cm sebanyak 15 buah
4. Beri tulisan “ 1 “ di setiap panjang sisinya, untuk menunjukan bahwa panjang
sisinya adalah 1 satuan.
5. Buatlah persegi panjang dengan ukuran 20 x 5 cm sebanyak 10 buah
6. Beri tulisan “ x “ di setiap panjangnya dan “1” di setiap sisinya, untuk
menunjukan bahwa panjangnya adalah x satuan, lebarnya 1 satuan.
7. Lapisi semua persegi dan persegi panjang yang telah dihasilkan dengan kertas
warna warni.
CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA
Pendekatan untuk menggunakan alat peraga algebra tiles adalah sebagai berikut:
Berangkat dari persamaan kuadrat dan kemudian dicari betuk pemfaktorannya. Siswa
diberikan persamaan kuadrat terlebih dahulu, contoh: x2 + 4 x + 3.
Lalu siswa mengambil 1 buah persegi yang panjang sisinya x satuan, 4 buah persegi
panjang berukuran panjang x satuan dan lebar 1 satuan, dan 3 buah persegi yang
panjang sisinya 1 satuan.
Dengan persegi dan persegi panjang yang ada siswa diminta untuk membentuk persegi
panjang yang utuh.Dari persegi yang utuh tersebut dapat dilihat bahwa persegi panjang
yang terbentuk berukuran panjang (x + 3) satuan dan lebar (x+1) satuan, kesimpulan
yang diperoleh adalah hasil pemfaktoran x2 + 4 x + 3 = ( x + 3 ) ( x + 1)
x
x x
1
1
1
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 101
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
http://www.mtm.org.sg/wp-content/resources/doc/ringkasanmateri.matematika.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=l00CeulzdZo
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 102
Pembelajaran TRIGONOMETRI
http://2.bp.blogspot.com/-_VsduVCdy30/TzUT5133VoI/AAAAAAAAATY/P0nEQ-Sii-E/s1600/IMG_0311.JPG
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan:
1. Memahami dan menentukan hubunganperbandingan trigonometri dari sudut di setiap kuadran
2. memilih dan menerapkan dalam penyelesaian masalah nyata dan matematika.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 103
Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:
1. menemukan konsep perbandingan trigonometrimelalui pemecahan masalah otentik
2. berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola interaksi sosial kultur 3. berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan kreatif)dalam menyelidiki dan
mengaplikasikankonsep trigonometri dalam memecahkanmasalah otentik. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:
1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga.
3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka.
5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 104
Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:
MATERI TRIGONOMETRI
Trigonometri adalah cabang dari ilmu matematika yang mencakup konsep
perbandingan panjang sisi pada segitiga dan fungsi trigonometri. Jika kita melihat lagi
sejarahnya, trigonometri dikembangkan untuk mengukur ketinggian dari objek seperti
pohon, gedung, dll. Selain itu trigonometri juga dikembangkan untuk mengukur jarak
contohnya adalah lebar sungai dan juga pada bidang astronomi. Apikasi-aplikasi
trigonometri tersebut dapat digunakan sebagai motivasi bagi siswa untuk mempelajari
trigonometri.
Kata “trigonometri” berasal dari Yunani, “tri” artinya tiga, “gonon” yang artinya sudut
dan “metron” yang artinya pengukuran. Oleh karena itu, sebagian besar konsep dalam
trigonometri berhubungan dengan konsep segitiga, baik itu panjang sisinya maupun
sudut-sudut dalam segitiga. Dahulu, perhitungan trigonometri menggunakan tabel
trigonometri, tetapi seiring dengan perkembangan zaman, perhitungan trigonometri
dapat dibantu dengan kalkulator scientific atau dengan software komputer. Tabel
trigonometri dibuat oleh para ahli matematika yang berasal dari Yunani untuk
menyelesaikan permasalahan pada bidang astronomi. Kemudian, tabel ini
dikembangkan oleh ahli matematika muslim sebagai alat untuk menentukan waktu
ibadah di berbagai tempat yang berbeda, contohnya adalah perhitungan waktu shalat
dan kalender islam (hijriah). Sekilas sejarah tentang trigonometri dapat disampaikan
pada siswa, untuk memotivasi mereka untuk mempelajari trigonometri.
Engagement
Exploration
ExplanationElabotaion
Evaluation
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 105
Peta Konsep Topik Trigonometri pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 106
Perbandingan Trigonometri
Terdapat 6 perbandingan trigonometri yang digunakan, yaitu: sinus, cosinus, tangen,
cotangen, secant dan cosecant. Konsep dasar perbandingan-perbandingan tersebut
menggunakan prinsip segitiga siku-siku. Pemahaman siswa tentang segitiga siku-siku
menjadi materi prasyarat untuk mempelajari trigonometri. Guru sebaiknya memastikan
pemahaman siswa tentang teorema pythagoras pada awal pembelajaran trigonometri.
Definisi dari perbandingan-perbandingan tersebut adalah sebagai berikut:
Diambil dari buku matematika kelas X Kurikulum 2013.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 107
Ada dua satuan sudut yang dipakai dalam konsep trigonometri yaitu radian dan derajat. Satuan penuh pada lingkaran bernilai 360o , artinya jika lingkaran dibagi 360 bagian maka sudut yang dibentuk adalah 10. Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat α yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya.
Jika besar sudut AOB = α dan panjang tali busur AB = AO = OB
Maka α = 𝐴𝐵
𝑟= 1
Lebih lanjut, hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π rad. Seperti dinyatakan dalam definisi 8.2 berikut (buku matematika
kelas X Kurikulum 2013) :
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 108
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan pada siswa yang sudah memiliki
pemahaman tentang cara mencari perbandingan sinus, cosinus dan tangen sebuah sudut
dalam segitiga siku-siku dan sudut inklinasi.
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat mengaplikasikan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dalam
permasalahan realistik.
Pembukaan (10 menit)
1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang
3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang konsep pythagoraspada segitiga
siku-siku, cara mencari perbandingan sinus, cosinus dan tangen pada segitiga siku-
siku dan sudut inklinasi. Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus
ingatan siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari trigonometri lebih
lanjut.(Engagement)
4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan trigonometri di kehidupan nyata, lalu
guru mengulas sedikit tentang sejarah trigonometri untuk menarik perhatian siswa
dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement)
5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan
pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (60 menit)
1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki klinometer dan lembar kerja sebagai panduan penggunaan klinometer.
2. Guru memberikan penjelasan bahwa trigonometri dapat digunakan untuk mengukur tinggi suatu objek.
3. Dalam kelompoknya, siswa menuju lapangan sekolah dan menentukan objek yang akan ditentukan estimasi tingginya, contoh: tiang bendera, gedung lantai 3, pohon, tiang listrik, atau yang lainnya.(Exploration)
4. Satu siswa menjadi pembidik, satu siswa bertugas menjadi observer sudut dan satu orang siswa yang lain bertugas sebagai pencatat hasil eksperimen. (Exploration)
5. Siswa yang bertugas menjadi pembidik membidikan klinometer pada objek yang sudah ditentukan, harus diperhatikan bahwa siswa tersebut tepat membidik pada ujung teratas objek.(Exploration)
6. Siswa lain yang bertugas sebagai observer sudut melihat besar sudut yang ditunjukan bandul pada busur dan dicatat pada lembar kerja siswa oleh siswa yang bertugas sebagai pencatat.(Exploration)
7. Sebelum melakukan perhitungan, lakukan pengukuran tinggi badan (dari ujung kaki ke mata) dari siswa yang bertugas sebagai pembidik klinometer dan jarak antar pembidik dan objek.(Exploration)
8. Setelah diketahui tinggi badan pembidik, besar sudut yang tertera pada klinometer siswa berdiskusi untuk menentukan tinggi objek. Dalam tahapan ini siswa harus mengoneksikan pemahaman mereka tentang cara mencari
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 109
perbandingan tangen sebuah sudut dan pemahaman mereka tentang sudut inklinasi, siswa diperbolehkan memakai alat bantu hitung.(Exploration)
9. Siswa menuliskan hasil diskusi pada lembar kerja siswa yang telah disediakan. (Explanation)
10. Siswa memilih 2 objek lain yang dapat diukur ketinggiannya, dan mereka bergantian tugas. Sehingga semua siswa dalam setiap kelompok mendapatkan tugas yang berlainan. (Exploration)
11. Siswa yang kesulitan mengerjakan dibantu oleh guru dan siswa lain yang mempunyai kemampuan lebih tinggi.(Evaluation)
12. Siswa mencari kelompok lain yang memilih objek yang sama untuk menyocokkan hasil ketinggian objek, jika terdapat perbedaan kedua kelompok tersebut maka siswa diminta mendiskusikan pada tahapan mana kemungkinan terjadi kekeliruan dan menuliskan alasannya pada lembar kerja.(Elaboration and Evaluation)
13. Setelah kembali ke kelas, beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan hasil pengerjaan soal dan ditanggapi secara aktif oleh siswa lain.(Explanation and Evaluation)
14. Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan.(Elaboration and Evaluation)
15. Secara perorangan, siswa mengerjakan soal tantangan yang telah tersedia di dalam lembar kerja untuk mengukur pemahaman siswa.
Penutup:
1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah
mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.
2. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.
3. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 110
LEMBAR KERJA SISWA
Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan klinometer:
1. Pilih tiga benda yang akan kalian tentukan tingginya.
2. Bekerjalah secara bergantian (observer – pembidik – pencatat)
Pembidik bertugas untuk mebidikan klinometer pada ujung objek.
Observer bertugas untuk mencatat besar sudut inklinasi yang tertera pada
klinometer, mengukur jarak antar pembidik dan objek dan mengukur tinggi
badan Pembidik.
Pencatat bertugas untuk mencatat seluruh hasil kegiatan
3. Tuliskan hasil eksperimen kalian pada tabel di bawah ini:
No. Nama Pembidik
Tinggi Pembidik
Nama objek
Sudut inklinasi
Jarak antara Pembidik dan objek
Estimasi tinggi objek
4. Untuk menghitung estimasi tinggi objek, ingat lagi cara mencari tangen. Untuk
mempermudah gambarkan sketsa pembidik dan gedungdalam sebuah segitiga
siku-siku!
5. Tuliskan perbandingan tangen yang dapat dibuat berdasarkan segitiga di atas!
6. Bandingkan hasil yang sudah kalian peroleh dengan kelompok lain yang
mengukur ketinggian objek yang sama. Apakah sama atau berbeda? Jika berbeda
coba analisis mengapa hasilnya berbeda?
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 111
7. Menurut pendapat kalian faktor apa yang dapat menyebabkan kesalahan dalam
pengukuran?
8. Tuliskan kesimpulan yang diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan!
9. Setelah kalian memahami kegiatan di atas, coba kerjakan soal tantangan berikut
ini:
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 112
DESKRIPSI ALAT PERAGA
http://resource.rockyview.ab.ca/t4t/math10c/images/m1/m10c_m1_113_opt.jpeg
Alat peraga ini dapat digunakan sebagai aplikasi konsep trigonometri. Alat ini
berfungsi untuk mengetahui estimasi tinggi sebuah gedung atau tiang. Konsep yang
digunakan saat melakukan percobaan dengan menggunakan alat peraga adalah konsep
perbandingan tangen. Melalui percobaan menggunakan klinometer, siswa diharapkan
dapat memahami aplikasi perbandingan trigonometri di kehidupan nyata. Tinggi objek
yang dihasilkan merupakan estimasi dan bukan merupakan nilai pasti, karena ada
beberapa kesalahan yang mungkin terjadi. Diantaranya adalah alat yang tidak bisa
menentukan tinggi gedung dengan tingkat presisi yang tinggi, kesalahan membaca
angka sudut pada busur atau kesalahan menghitung.
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat klinometer adalah sebagai berikut:
Busur kayu besar
Pipa PVC
Bandul
Tali benang kasur
Lem pipa
Paku payung
Pita meteran
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 113
LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga
klinometer :
1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan
2. Ikat bandul pada benang kasur, panjang benang kasur disesuaikan dengan jari-jari
busur
3. Tempelkan ujung benang pada ujung busur, tepat di sudut 900.
4. Tempelkan pipa PVC di bagian diameter busur menggunakan lem pipa PVC.
5. Klinometer siap untuk dipakai
CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA
Alat peraga klinometer digunakan untuk mengukur estimasi tinggi suatu pohon,
tiang atau pohon. Syarat benda yang dapat diukur oleh klinometer adalah benda yang
berdiri tegak dan tidak miring. Alat peraga ini menggunakan konsep perbandingan
tangen.
Jika diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di A, perbandingan
tangen dari segitiga siku-siku tersebut adalah panjang sisi BC dibagi dengan panjang sisi
AB. Perhatikan gambar berikut:
tan𝛼 = 𝐴𝐶
𝐴𝐵
Dalam percobaan menggunakan klinometer, hal pertama yang harus dilakukan
adalah mencari gedung atau objek lain yang akan ditentukan estimasi tingginya. Lalu
siswa harus mengetahui tinggi badannya. Tinggi badan yang digunakan adalah jarak
C
A B
α
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 114
antara telapak kaki ke mata. Siswa juga harus mengukur jarak antara dirinya dan
gedung dengan menggunakan pita meteran.
Siswa meneropong titik puncak objek melalui pipa pada klinometer. Selanjutnya
siswa yang lain menandai angka yang sejajar dengan bandul pada busur dengan
menggunakan spidol. Perhitungan yang diperlukan adalah sebagai berikut:
BD = BC + CD
Cara mencari BC dengan menggunakan perbandingan tangen
tan𝛼 = 𝐶𝐷
𝐴𝐵
Jadi, CD = AB . tan α
Dengan:
𝛼 = sudut yang tertera pada klinometer
AB = jarak antara siswa dan gedung
BD = tinggi gedung
BC = tinggi pembidik
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
A B
C
D
α
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 115
PEMBELAJARAN GEOMETRI
sumber:http://www.downloadpsds.com/wp-content/uploads/2013/09/Orange-transparent-cube-icon-psd.jpg
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran geometri, siswa diharapkan mampu:
1. Memahami konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui
demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.
2. Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam
menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik,
garis dan bidang.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 116
Pengalaman Belajar :
Melalui pembelajaran materi geometri, siswa memperoleh pengalaman belajar:
menemukan konsep dan prinsip geometri melalui pemecahan masalah otentik;
berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur;
berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki danmengaplikasikan konsep dan
prinsip-prinsipbangun datar dan ruang dalam geometri untukmemecahkan
masalah otentik.
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi geometri dibuat
berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang
diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu.
Model 5E tersebut adalah:
1. Engagement
Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan
perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan
apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration
Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat
rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun
semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah
siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga.
3. Explanation
Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil
eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa
temuan yang mereka peroleh.
9. Elaboration
Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas
pemahaman mereka.
10. Evaluation
Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru
memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta
memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 117
Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:
MATERI GEOMETRI Dalam geometri dipelajari hubungan antara titik, garis, bidang dan bangun ruang, dan
berbagaihal yang muncul akibat adanya hubungan tersebut, misalnya sudut dan jarak.
Hal lain yang juga sangatpenting ialah bahwa geometri merupakan suatu sistem, yang
dengan penalaran logis dari fakta atau hal-hal yang diterima sebagai kebenaran
ditemukan sifat-sifat baru yang semakin berkembang (Travers, 1987:2). Namun
perkembangan pendidikan matematika, khususnya kurikulum geometri yang
diterapkan di Indonesia dalam beberapa dasawarsa terakhir, kurang
mengembangkananalisis keruangan.Hal ini menjadi salah satu faktor penyebab
kemampuan keruangan para siswa umumnya lemah. Pengembangan kemampuan
analisis keruangan perlu diusahakan bagi para siswa khususnya di tingkat SMA.Hal ini
dapat direalisasikan dengan memberikan suatu arah pada pemahaman melalui
penalaran mengenai masalah keruangan. dan bukan sekedar hafalan teknis-praktis.
Lebih lanjut, topik geometri sebagai salah satu materi yang esensial pada Mata
Pelajaran Matematika di SMA kelas X mencakup beberapa konsep dasar yang
direpresentasikan pada bagan berikut ini:
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 118
Peta Konsep Topik Geometri pada Kelas X SMA
A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Kedudukan titik terhadap garis
Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka :
a. Titik T teletak pada garis g, atau garis g melalui titik T
b. Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak melalui titik T
2. Kedudukan titik terhadap bidang
Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka :
a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T
b. Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T
3. Kedudukan garis terhadap garis
Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka :
a. Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat terjadi :
garis g dan h berhimpit, g = h
garis g dan h berpotongan pada sebuah titik
garis g dan h sejajar
b. Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis g dan h
bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 119
4. Kedudukan garis terhadap bidang
Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka :
a. Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g.
b. Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus bidang H
c. Garis g sejajar dengan bidang H
5. Kedudukan bidang terhadap bidang
Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka :
a. Bidang V dan bidang H berhimpit
b. Bidang V dan bidang H sejajar
c. Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis
lurus yang disebut garis potong atau garis persekutuan.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :
a) Titik yang berada pada garis DF
b) Titik yang berada diluar bidang BCHE
c) Garis yang sejajar dengan CF
d) Garis yang berpotongan dengan BE
e) Garis yang bersilangan dengan FG
f) Bidang yang sejajar dengan bidang BDG
Jawab :
a) Titik D dan F
b) Titik A, D, F, G
c) DE
d) EA, EF, ED, EH
e) AB, DC, AE, DH
f) AFH
A B
C D
E
G H
F
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 120
B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG
1. Menghitung jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu
titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus.
Jarak antara titik A dengan garis g
Adalah AB, karena AB tegak lurus
Dengan garis g
2. Menghitung jarak antara titik dan bidang
Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu
titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang.
Jarak titik A ke bidang H
Adalah AB, karena garis AB
Tegak lurus dengan bidang H
3. Menghitung jarak antara 2 garis
a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak
b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik
dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar
yang lain.
Jarak antara garis g dan h
Adalah AB, karena AB g dan h
g
A
B
A
B
H
g
h
A
B
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 121
c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang
letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu.
Jarak antara garis g dan h
adalah AB karena AB tegak
lurus g dan h
4. Menghitung jarak antara garis dan bidang
Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik
pada garis tehadap bidang.
Jarak antara garis g dan
Bidang H adalah AB, karena
AB tegak lurus g dan
Bidang H.
5. Jarak antara dua bidang
Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada
salah satu bidang ke bidang yang lain.
Jarak antara bidang G dan H
Adalah AB.
h
g
A
B
H
g
B
A
H
A
B
H
G
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 122
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara :
a. Titik A ke H
b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)
c. Titik A ke garis CE
d. Titik A ke bidang BCGF
e. Titik A ke bidang BDHF
f. Titik A ke bidang BDE
g. Garis AE ke garis CG
h. Garis AE ke garis CG
i. Bidang ABCD ke EFGH
Jawab :
a. Jarak titik A ke H = AH
AH = 22 DHAD
= 100100
= 200
= 210 cm
b. Jarak titik A ke P = AP
= ½ AG
= 32
10 cm
c. Jarak A ke CE = AK
Pada segitiga siku-siku CAE
L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK
G
A C
G E K
A B
C D
E F
H
10
P
R
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 123
63
10
3
210
310.2
1
10.210.2
1
.310.210.210.2
1
AK
AK
AK
AK
d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm
e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD)
AR = ½ AC = ½ 210 = 25 cm
f. Jarak titik A ke bidang BDE
Perhatikan persegi panjang ACGE sbb :
Garis AG berpotongan tegak lurus dengan
Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke
Bidang BDE adalah AT.
ER = 22 AEAR
= 10050
A C
G E
R
T
A B
C D
G H
E F
T
R
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 124
= 150
= 65 cm.
L. ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT
½. 10.25 = ½ . AT.65
250 = AT.65
AT = 65
250 = 3
3
10 cm
g. Jarak AE ke CG = AC = 310
h. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm
C. PROYEKSI
1. Proyeksi titik pada bidang
Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H ditentukan sebagai
berikut :
a. Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H
b. Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya titik B. Proyeksi
titik A pada bidang H adalah B.
1. Proyeksi garis pada bidang
Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan menentukan proyeksi dua
buah titik yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada
bidang merupakan garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi.
A
B
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 125
a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang
itu berupa titik.
b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis
yang sejajar dengan garis yang diproyeksikan.
Contoh :
Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8 cm.
Hitunglah panjang proyeksi :
a. TB pada bidang ABCD
b. TB pada bidang TAC
a. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidang ABCD
= BO
BO = ½ .AC
= ½ 22 BCAB
= ½ 2525
= ½ 25
= 22
5 cm
b. Proyeksi TB pada bidang TAC = TO
TO = 22 BOTB
= 2
2564
= 2
103
A B
C D
T
O
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 126
= 2062
1 cm
D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
1. Sudut antara dua garis berpotongan
Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip.
Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah .
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah
satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud
adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.
Garis g bersilangan dg h
Garis h1 sejajar dengan h
Memotong g
Sudut antara g dan h sama dg
Sudut antara g dan h1
3. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang.
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada
bidang itu.
g
h
A
h
g h1
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 127
Garis g menembus bidang H dititik A.
Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1
Sudut antara garis g dengan bidang H
Adalah sudut yang dibentuk garis g dg g1
4. Sudut antara bidang dengan bidang
Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan.
Untuk menentukannya sbb :
a. Tentukan garis potong kedua bidang
b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong
kdua bidang
c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang
dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi.
d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi
Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H).
Garis h pada H tegak lurus garis (G,H)
Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan :
a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD
b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD
g
g1
H
A
H
G
g
h
(G,H)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 128
Jawab :
a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 450
b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH = BH
BD
=
= 3
6
35
25
A B
C D
E F
G H
5 cm
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 129
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa yang sudah memiliki
pemahaman tentangkonsepteorema phytagoras, titik, garis, dan bidang pada geometri
bidang datar.
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat menentukan jarak antara titik ke titik, titik ke garis, dan titik ke bidang
melalui kegiatan mengukur ruas garis dengan menggunakan stik lidi dan alat peraga
bangun ruang balok transparan.
Pembukaan (5 menit)
1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2. Guru menunjukkan alat peraga bangun ruang kubus, balok, dan limas. Guru
menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan mengenai benda-benda di
sekitar kelas yang merupakan contoh dari bangun ruang kubus, balok dan limas.
Siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide mengenai contoh-contoh
bendayang ditanyakan oleh guru. (Engagement)
3. Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan menyampaikan kegiatan dan
tujuan pembelajaran yang akan dilaksanakan.(Engagement)
Kegiatan inti (70 menit)
1. Guru mengondisikan siswa untuk membentuk kelompok yang terdiri dari tiga
orang siswa. Guru membagikan bagun ruang kubus atau balok, stik lidi, mistar,
gunting, spidol permanen, dan lembar kerja (LK) kepada setiap kelompok. Siswa
menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan esperimen melipat
kertas.
2. Setiap kelompok melakukan pengukuran ruas garis- ruas garis sesuai dengan
instruksi pada Lembar Kerja. Pengukuran dilakukan terlebih dahulu secara
manual dengan menggunakan stik lidi yang tersedia. Setiap kelompok kemudian
mencatat hasil pengukuran yang diperoleh dengan menggunakan stik lidi
tersebut. (Exploration)
3. Guru menstimulus siswa untuk membandingkan hasil pengukuran secara
manual dengan perhitungan secara matematis untuk memperoleh panjang ruas
garis yang diminta. Siswa berdiskusi dalam kelompoknya untuk menyelesaikan
perhitungan panjang ruas garis secara matematis.Siswa kemudian
membandingkan hasil perhitungan secara manual dengan perhitungan secara
matematis.Hasil temuan setiap kelompok dituliskan oleh setiap siswa pada LK
masing-masing. Guru membimbing kelompok siswa yang kesulitan pada tahap
ini. (Explanation)
4. Selanjutnya, guru membimbing siswa untuk mengaitkan hasil eksperimen
mereka dengan konsep proyeksi dalam bangun ruang dimensi tiga. Hal tersebut
dilakukan dengan meminta siswa mengeksplorasi kembali bangun ruang
transparan dan stik lidi yang mewakili suatu ruas garis. Siswa kemudian
menyimpulkan konsep proyeksi titik pada garis dan bidang, serta proyeksi garis
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 130
pada bidang. Siswa juga diajak melakukan eksplorasi lanjutandengan
menggunakan software pembelajaran dimensi tiga. (Explanation & Elaboration)
5. Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat
diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudian guru memberikan
pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan sub topik
jarakuntuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan
bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum
dimengerti siswa. (Elaboration and Evaluation)
Penutup (5 menit):
1. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah
dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 131
LEMBAR KERJA SISWA
Eksperimen Dimensi Tiga
1. Perhatikan balok berikut ini:
2. Posisikan balok menyerupai gambar berikut:
3. Lakukan pengukuran terhadap ruas garis AB, BC, dan AE pada balok tersebut!
AB = ... cm (panjang balok)
BC = ... cm (lebar balok )
AE = ... cm (tinggi balok )
4. Tentukan panjang segmen garis AC dan AG pada masing-masing balok dengan
melakukan pengukuran menggunakan potongan stik lidi!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 132
5. Apakah hasil pengukuran yang diperoleh memenuhi persamaan berikut:
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 dan𝐴𝐺2 = 𝐴𝐶2 + 𝐶𝐺2
6. Jelaskan jawaban anda berdasarkan hasil pada nomor 5
7. Tentukan proyeksi titik B pada garis CD dan garis AC!
8. Misalkan P adalah proyeksi titik B pada garis AC. Tentukan jarak titik B ke titik P
dengan melakukan pengukuran menggunakan potongan stik lidi! Bandingkan
hasil pengukuran anda dengan hasil perhitungan menggunakan persamaan
berikut ini:
𝐵𝑃2 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝑃2
9. Tuliskan kesimpulan yang anda peroleh dari hasil pada nomor 8!
10. Tentukan jarak titik B ke bidang ADHE, bidang EFGH, dan bidang CDHG!
( Petunjuk: tentukan terlebih dahulu proyeksi titik B pada masing-masing
bidang, kemudian ukur/ hitung jarak antara titik B dengan titik proyeksinya
pada bidang yang dituju)
11. Buatlah kesimpulan dari hasil eksperimen yang anda peroleh mulai dari nomor 1
sampai dengan nomor 10!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 133
DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN
Eksperimen Dimensi Tiga
Topik pembelajaran : Geometri
Sub Topik : Jarak antar titik, garis, dan bidang dalam ruang
dimensi tiga
Kompetensi Dasar : Setelah mengikuti pembelajaran geometri, siswa diharapkan mampu:
1. Memahami konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.
2. Menggunakan berbagai prinsip bangun datar
dan ruang serta dalam menyelesaikan masalah
nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara
titik, garis dan bidang.
Pada eksperimen dengan menggunakan balok transparan dengan menggunakan
stik lidi, siswa diberi kesempatan memahami konsep jarak antara titik dengan
titik, titik dengan garis, dan titik dengan bidang. Hal ini dilakukan dengan
meminta siswa melakukan pengukuran dengan menggunakan stik lidi kemudian
membandingkan hasilnya dengan perhitungan matematis menggunakan konsep
teorema phytagoras. Di akhir kegiatan eksperimen, siswa diharapkan memahami
konsep proyeksi titik ke garis dan bidang, serta menggunakannya dalam
menghitung jarak antara titik dengan titik, jarak titik dengan garis, dan jarak titik
dengan bidang.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 134
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen dimensi tiga adalah
sebagai berikut:
Bangun ruang balok transparan yang terbuat dari bahan akrilik dengan sisi atas
dihilangkan
Stik lidi secukupnya
Gunting atau alat potong lainnya
Pena
Spidol permanen
Penggaris
Bidang gambar dan Lembar Kerja
LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Langkah-langkah penerapan eksperimen dimensi tigaadalah sebagaiberikut:
1. Lakukan pengukuran ruas garis yang diminta dengan menggunakan stik lidi
yang tersedia.
2. Beri tanda dan potong stik lidi sesuai dengan hasil pengukuran ruas garis.
3. Ukur potongan stik lidi dengan menggunakan mistar.
4. Lakukan perhitungan secara matematis untuk memperoleh panjang ruas garis
yang diminta.
5. Bandingkan hasil pada langkah ketiga dan keempat dan buat kesimpulan
terhadap hasil eksperimen.
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
Buku Pembelajaran Sudut dan JarakDalam Ruang Dimensi Tiga, Yogyakarta: PPPPTK
Matematika, 2008.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 135
Pembelajaran LIMIT
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan: Memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 136
Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi limit, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:
1. Mampu berpikir kreatif; 2. mampu berpikir kritis dalam mengamati permasalahan; 3. mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep; 4. mengajak kerjasama tim dalam menemukan solusi permasalahan; 5. mengajak siswa untuk menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari; 6. mampu memodelkan permasalahan.
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:
1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga.
3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka.
5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.
Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:
Engagement
Exploration
ExplanationElaboration
Evaluation
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 137
MATERI LIMIT
Dalam Buku Calculus terdapat kalimat “calculus is a study about limit”
Limit adalah dasar untuk mempelajari konsep kalkulus seperti derivatif dan integral.
Dalam mengajarkan siswa tentang makna dari limit dapat dilakukan dengan bantuan
grafik atau secara analitik.
Sebelumnya, guru dapat mengambil beberapa contoh kasus yang menerangkan tentang
makna limit, salah satunya adalah tentang lingkaran:
Pendekatan mengenai keliling lingkaran dapat digunakan keliling dari segi-n dengan n
menuju tak hingga. Setelah dengan ilustrasi lingkaran, guru dapat menghubungkan
pemahaman mengenai lingkaran dengan grafik fungsi. seperti berikut:
lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿 means that when x is near but different from c then f(x) is near to L
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 138
Peta Konsep Topik Limit pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 139
Menemukan Konsep Limit Fungsi
Ubah permasalahan di atas kedalam model matematika. Model umum kurva
linear adalah f(t) = at + b dengan a, b bilangan riil.
Penyelesaian:
model fungsi kecepatan sepeda motor tersebut berdasarkan gambar adalah:
at + b jika 0 ≤ t ≤ 1
f(t)= 5 jika 1 ≤ t ≤ 5
mt + n jika 5 ≤ t ≤ 10
dengan a, b, m, n bilangan riil.
Dari masalah tersebut diperoleh data sebagai berikut:
Misalkan posisi start adalah posisi pada waktu t=0 dengan kecepatan 0,
disebut titik awal O(0,0)
Kemudian kecepatan sepeda motor konstan sebesar 5km/jam pada
waktu t=1 sampai t=5 di titik A(1,5) dan B(5,5)
Pada akhir waktu t=5, pengendara sepeda motor mengurangi
kecepatannya hingga berhenti kecepatan 0 di titik C(10,0)
Seorang pengendara motor memulai start dari suatu tempat. Setelah berjalan,
kecepatan sepeda motor tersebut bertambah secara linier. Setelah berjalan
selama 1 menit, kecepatan sepeda motor tersebut konstan sebesar 5km/jam
selama 4 menit. Pada menit berikutnya, pengendara sepeda motor tersebut
mengurangi kecepatannya secara linier sampai berhenti pada akhir menit
kesepuluh.
0
5
1 5 10
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 140
Berdasarkan data tersebut akan ditentukan fungsi kecepatan sepeda motor
dengan langkah-langkah berikut.
1. Substitusi titik O(0,0) ke fungsi linear f(t)= at+b diperoleh b=0
2. Substitusi titik A(1,5) ke fungsi linear f(t)= at+b diperoleh a+b = 5 karena b=0
maka a=5
3. Jadi fungsi linear tersebut adalah f(t) = 5t
4. Sepeda motor tersebut kecepatannya konstan sebesar 5km/jam, maka fungsi
kecepatannya adalah f(t) = 5
5. Substitusi titik B(5,5) ke fungsi linear f(t) = mt+n, diperoleh 5= 5m+n
6. Substitusi titik C(10,0) ke fungsi linear f(t) = mt+n, diperoleh 0= 10m+n atau
n=-10m
7. Dengan mensubstitusikan n=-10m ke 5= 5m+n diperoleh m=-1 dan n=10
8. Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = -t+10
5t jika 0 ≤ t ≤ 1
f(t)= 5 jika 1 ≤ t ≤ 5
-t + 10 jika 5 ≤ t ≤ 10
Selanjutnya limit fungsi pada saat t=1 dan t=5 dapat dicermati pada table
berikut.
Nilai pendekatan y=f(t) pada saat mendekati 1
Nilai pendekatan y=f(t) pada saat t mendekati 5
Berdasarkan tabel dapat dilihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t
mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 5.
Untuk t mendekati 1 dari kiri diperoleh: lim𝑡→1− 𝑓(𝑡) = lim𝑡→1− 5𝑡 = 5(1) = 5
Untuk t mendekati 1 dari kanan diperoleh: lim𝑡→1+ 𝑓(𝑡) = lim𝑡→1+ 5 = 5
Karena didekati dari kiri dan kanan hasilnya sama yaitu mendekati 5, maka fungsi
kecepatan sepeda motor mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 1.
t 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 f(t) 3,5 4 4,5 4,95 4,995 5 5 5 5 5 5
t 4,7 4,8 4,9 4,99 4,999 5 5,001 5,01 5,1 5,2 5,3 f(t) 5 5 5 5 5 5 4,999 4,99 4,9 4,8 4,7
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 141
Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai a adalah harga yang paling dekat dari
f(x) pada saat x mendekati nilai a
i.
ii.
g(a)
a
u(x)
g(x)
v(x)
a
f(a)
0
0
h(a)
a
u(x) v(x)
h(x)
Pada fungsi h(x) = u(x) untuk x ≤ a , v(x) untuk
x > a
Untuk x mendekati a dari kiri diperoleh nilai
u(a) dan untuk x mendekati a dari kanan
diperoleh nilai v(a). karena u(a) ≠ v(a), maka
nilai limit fungsi h(x) untuk x mendekati a
tidak ada, yaitu lim𝑥→𝑎 (𝑥) tidak ada nilainya.
Pada fungsi g(x) = u(x) untuk x ≤ a,
= v(x) untuk x > a
Untuk x mendekati a dari kiri (u(a)) dan dari
kanan (v(a)) diperoleh hasil yang sama,
sehingga nilai limit fungsi g(x) di x = a adalah
lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = g(a)
Pada fungsi f(x) untuk x mendekati a diperoleh nilai
fungsi f(x) mendekati f(a) sehingga nilai limitnya di x=a
adalah lim𝑎→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 142
A. Sifat-sifat Limit Fungsi
Untuk k konstanta, a bilangan nyata, f dan g fungsi yang mempunyai limit di a,
berlaku teorema berikut.
1. lim𝑥→𝑎 𝑘 = k
2. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a)
3. lim𝑥→𝑎 𝑘.𝑓(𝑥) = k lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
4. lim𝑥→𝑎[𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
5. lim𝑥→𝑎[𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥).lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
6. lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) =
lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) , untuk lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0
7. lim𝑥→𝑎{𝑓 𝑥 }𝑛 = {lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)}𝑛
8. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥), untuk lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 > 0
B. Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu
Diberikan fungsi f(x) = 𝑥2−1
𝑥−1
F(1) = 12− 1
1−1 =
0
0
Karena diperoleh nilai fungsi tersebut untuk x=1 adalah 0
0 yang merupakan
bentuk tak tentu, maka kita tidak bisa menentukan nilai fungsi untuk x=1.
Dengan menggunakan pendekatan (limit) x terhadap 1 diperoleh nilai
pendekatan fungsi f(1)
X 0 0,5 0,8 0,9 0,95 0,99 → 1 ← 1,01 1,05 1,1 1,2 1,5 2 f(x) 1 1,5 1,8 1,9 1,95 1,99 → ? ← 2,01 2,05 2,1 2,2 2,5 3
Dari tabel diatas, tampak bahwa untuk x mendekati 1 diperoleh f(x) mendekati 2,
yang bearti lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 2. Namun secara aljabar nilai limit f(x) untuk x
mendekati 1dapat ditentukan dengan metode pemfaktoran yaitu:
lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1𝑥2−1
𝑥−1 = lim𝑥→1
𝑥+1 (𝑥−1)
(𝑥−1) = lim𝑥→1(𝑥 + 1) = 1+1= 2
Jika fungsi f(x) mengandung bentuk akar, maka dikalikan dahulu dengan
sekawannya kemudian baru difaktorkan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 143
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat memahami arti limit.
Pembukaan (10 menit)
1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang
3.Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang definisi fungsi dan grafik
fungsi.Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa
tentang materi prasyarat untuk mempelajari limitlebih lanjut.(Engagement)
4.Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan limit di kehidupan nyata untuk
meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement)
5.Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan
pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (60 menit)
1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki kertas berbentuk persegi yang luasnya diasumsikan 1 satuan luas.
2. Siswa menggunting kertas tersebut tepat di garis tengahnya dan menuliskan luas potongan kertas yang dihasilkan
3. Lalu siswa menggunting lagi potongan kertas tepat di garis tengahnya lalu siswa menuliskan luas potongan kertas yang dihasilkan
4. Siswa menuliskan hasil eksplorasinya dalam lembar kerja yang disediakan. 5. Siswa mendiskusikan kesimpulan yang dapat mereka peroleh dari eksplorasi yang
telah dilakukan
Penutup:
1.Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.
2.Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.
3.Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 144
LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut:
1.Persiapkan selembar kertas, asumsikan bahwa luasnya adalah 1 satuan luas
2.Gunting lembaran kertas tersebut tepat di garis tengahnya, lalu tentukan luas kertas
yang terbentuk.
3.Gunting potongan kertas yang dihasilkan tepat di garis tengahnya, lakukan terus
sebanyak 10 kali
4.Tuliskan hasil eksplorasi yang telah kalian lakukan did alam tabel berikut
Potongan ke-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Luas yang terbentuk
5.Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan
dengan menghubungkan konsep limit!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 145
DESKRIPSI ALAT PERAGA: Persegi Limit
http://yos3prens.files.wordpress.com/2013/01/deret-setengah.png
Alat peraga persegi limit bertujuan untuk memberikan ilustrasi tentang konsep dasar
matriks, terutama untuk limit dimana x menuju tak hingga, dan hasil limitnya menuju
nol.
ALAT DAN BAHAN
Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat persegi limit adalah sebagai berikut:
1. Kertas warna berbentuk persegi dengan ukuran 15 x 15 cm
2. Gunting
CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA
Untuk menggunakan alat peraga ini, siswa harus melakukan eksplorasi dengan
menggunting kertas sendiri.
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 146
Pembelajaran STATISTIKA
https://encrypted-
tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQjDLh2_tMM_qqT13T8D1huWz9bUPCAvnvakCzpTRNIhPCpI1VIcw
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan: Memahami berbagai penyajian data dalam bentuk tabel atau diagram/plot yang sesuai untuk mengkomunikasikan informasi dari suatu kumpulan data melalui analisis perbandingan berbagai variasi penyajian data.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 147
Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi statistika, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:
• Melatih berpikir kritis dan kreatif; • Mengamati keteraturan data; • Berkolaborasi, bekerja sama menyelesaikanmasalah; • Berpikir independen mengajukan ide secarabebas dan terbuka; • Mengamati aturan susunan objek.
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:
1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga.
3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka.
5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.
Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:
Engagement
Exploration
ExplanationElaboration
Evaluation
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 148
MATERI STATISTIKA
Statistika adalah ilmu tentang mengumpulkan, menyusun, dan menampilkan kumpulan
data. Data yang digunakan dalam statistika adalah data numerik. Dalam sejarahnya,
tokoh yang menggunakan statistika analitik untuk memprediksi tingkat kelahiran dan
kematian adalah John Graunt (1620 – 1674), beliau juga memprediksi proporsi jumlah
laki-laki dan perempuan dalam sebuah populasi. Sejarah lain tentang penggunaan
statistika adalah Adolph Quetelet (1796 – 1874) , beliau menggunakan statistik untuk
menghitung tingkat kriminalitas. Tokoh lain adalah Florence Nightingale (1820 – 1910)
yang membuat tabel tentang kelahiran di masa perang Crimean sehingga rumah sakit
dapat meningkatkan pelayanan pada pasien. Semakin berkembangnya zaman, ilmu
statistika pun ikut berkembang.
Statistika adalah cabang ilmu matematika yang dapat dilihat di berbagai segi kehidupan
dan dipakai dalam banyak disiplin ilmu, seperti ekonomi, politik, kesehatan, perbankan
dan yang lainnya. Siswa perlu memahami ini agar mereka dapat menghargai statistika
sebagai ilmu yang akan berguna bagi kehidupan mereka di masa yang akan datang.
Untuk tahapan sekolah menengah, siswa diberikan konsep statistika untuk membaca,
menginterpretasikan dan menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan
grafik. Selanjutnya siswa diajarkan statistika deskriptif berupa: rata-rata, median,
modus, kuartil, dll.
Beberapa hal yang harus diperhatikan guru dalam mengajar statistika adalah:
1. Sebaiknya guru menggunakan data yang benar-benar nyata, aktual dan bersifat
lokal, artinya ada di sekeliling siswa. Contohnya:
• Data survey mengenai lingkungan tempat tinggal
• Eksperimen sederhana yang dapat dilakukan siswa (pelemparan dadu,
pengukuran berat badan, dll)
• Dokumen yang diperoleh dari koran setempat
2. Perlu diperhatikan pembuatan grafik harus memuat: judul grafik, skala yang
benar untuk penomoran aksis dan ordinat.
3. Ada 3 ukuran pemusatan data yang harus siswa pahami konsepnya, bukan hanya
sekedar menghitung, yaitu:
• Rata-rata (mean), makna dari statistika adalah “the centre of gravity of its
distribution”, dapat dimaknai sebagai pusat dari distribusi data. Pada
bagian selanjutnya akan dijelaskan makna rata-rata menggunakan alat
peraga.
• Median, merupakan nilai tengah dari sebuah data yang sudah diurutkan
dari yang terkecil sampai terbesar. Guru menampilkan jumlah data ganjil
dan genap untuk membuat siswa memahami tentang median.
• Modus adalah data yang paling banyak muncul, saat guru menerangkan
tentang hal ini perlu diperhatikan kasus data unik seperti:
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 149
1, 1, 1, 2, 2, 2,3,3,3,4,4,4 apa modusnya?
57, 56, 58 apa modusnya?
4. Sangat penting bagi siswa, untuk memiliki kemampuan “data-sense”. Untuk
mencapai kemampuan itu siswa dihadapkan kepada permasalahan dari
kehidupan nyata yang mengajak siswa untuk mengumpulkan data, menampilkan
data dengan jenis grafik yang sesuai, menginterpretasi data yang ada dan
mengambil keputusan berdasarkan data tersebut. Tahapan pembelajaran
statistika dengan model pembelajaran invetigasi adalah sebagai berikut:
PROBLEM
Pose the problem
collecting data analyze the data
interpret the result
making decision
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 150
Peta Konsep Topik Statistikan pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 151
STATISTIKA
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara
pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan
berdasarkan kumpulan data yang dilakukan.
Data adalah suatu informasi yang diperoleh dari pengamatan atau penelitian
Macam-macam data
1. Data kuantitatif adalah data berupa angka.
Contoh : data nilai matematika siswa SMP
2. Data kualitatif adalah data yang berhubungan dengan kategori yang berupa kata-
kata (bukan angka).
Contoh : data tentang warna favorit
Penyajian Data
Data dapat disajikan dengan :
a. Tabel frekuensi
b. Diagram batang
c. Diagram garis
d. Diagram lingkaran
e. Piktogram
Contoh :
1. Di bawah ini nilai ulangan matematika dari 30 siswa SMP : 5, 9, 8, 7, 5, 5, 4, 6, 6,
8, 9, 8, 7, 6, 6, 5, 5, 9, 8, 4, 5, 5, 9, 8, 8, 7, 7, 6, 6, 7.
Tabel frekuensi nilai matematika siswa SMP
Nilai Turus Frekuensi 4 5 6 7 8 9
II IIIII II IIIII I IIIII
IIIII I IIII
2 7 6 5 6 4
Jumlah 30
Ukuran Pemusatan Data
1. Mean (𝑥 ) atau rata-rata
𝑥 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 152
2. Modus (Mo)
Modus (Mo) adalah data yang paling sering muncul atau data yang memiliki
frekuensi terbesar.
3. Median dan Kuartil
a. Median (Me) adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan.
Data ganjil : 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1
2
Data genap : 𝑀𝑒 =𝑋𝑛
2+ 𝑋𝑛+1
2
2
b. Kuartil (Q) adalah aturan membagi data menjadi 4 bagian.
𝑄1= kuartil pertama (bawah)
𝑄2= kuartil kedua (median)
𝑄3= kuartil ketiga (atas)
Ukuran Penyebaran Data
Jangkauan data (range)
Jangkauan kuartil (hamparan)
Range = data terbesar – data terkecil
𝐻 = 𝑄3 − 𝑄1
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 153
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapatmemahami makna rata-rata dan menyelesaikan permasalahan matematika
yang berhubungan dengan rata-rata.
Pembukaan (10 menit)
1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang
3.Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang cara menampilkan data (tabel,
diagram batang, diagram garis, lingkaran, dll).Guru memberikan pertanyaan tersebut
untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari
statistika lebih lanjut.(Engagement)
4.Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan statistika di kehidupan nyata, lalu
guru mengulas sedikit tentang sejarah statistika untuk menarik perhatian siswa dan
meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement)
5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan
pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (60 menit)
1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga batang statistika.
2. Siswa melakukan eksperimen dengan melakukan batang statistika, pertama-tama siswa mengisi batang statistika dengan cairan berwarna dengan ketinggian air yang berbeda. Ketinggian air menunjukan skala
3. Siswa membuka kran air sehingga ketinggian air berubah 4. Siswa menganalisis keadaan yang terjadi dengan menghubungkan dengan konsep
statistik 5. Siswa dan guru mendiskusikan bersama kesimpulan dari kegiatan yang dihasilkan
Penutup:
1.Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.
2.Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.
3.Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 154
LEMBAR KERJA SISWA
Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang statistika:
1.Isi pipa tembus pandang dengan air berwarna, ketiga pipa memiliki perbedaan
ketinggian air, contoh pipa 1 pada skala 40. Pipa 2 pada skala 90 dan pipa 3 pada
skala 50.
2.Putar kedua buah keran air.
3.Perhatikan apa yang terjadi!
4.Air akan menunjukkan skala berapa?
5.Mengapa bisa terjadi demikian?
6.Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan!
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 155
DESKRIPSI ALAT PERAGA: Batang statistika
http://arifkristanta.files.wordpress.com/2009/10/2a2010.jpg
Alat peraga ini dapat digunakan untuk membantu siswa mengkonstruksi pemahaman
tentang makna rata-rata. Siswa melakukan hands-on activity melalui alat peraga ini
sebelum diperkenalkan tentang rumus rata-rata.
ALAT DAN BAHAN
Batang statistika dapat dibuat menggunakan bahan-bahan yang sederhana. Alat dan
bahan yang diperlukan untuk membuat batang statistika adalah sebagai berikut:
Paralon PVC ukuran ½ “ sepanjang 1 m
Keni bentuk T sebanyak 3 buah
Keni bentuk L sebanyak 1 buah
Keni pemutar sebanyak 2 buah
Lem paralon
Batang akrilik sepanjang 1 m
Papan whiteboard ukuran 60 x 90 cm
Cairan berwarna merah
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 156
Spidol permanen
Paku
Palu
Cat paralon
LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga batang
statistika:
1. Potonglah pipa paralon dengan ukuran: 30 cm sebanyak 1 buah, 5 cm sebanyak 6
buah
2. Hubungkan paralon dengan menggunakan keni yang tersedia hingga membentuk
sebuah rangkaian
3. Beri cat pada setiap komponen pipa dan keni
4. Rekatkan setiap sambungan dengan menggunakan lem pipa.
5. Taruh rangkaian pada wadah penopang sehingga dapat berdiri kokoh.
CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Prosedur menggunakan alat peraga adalah sebagai berikut:
1. Isi pipa tembus pandang dengan air berwarna, ketiga pipa memiliki perbedaan
ketinggian air, contoh pipa 1 pada skala 40. Pipa 2 pada skala 90 dan pipa 3 pada
skala 50.
2. Putar kedua buah keran air.
3. Perhatikan apa yang terjadi, ketiga cairan akan sejajar pada sebuah skala, skala
itulah yang menunjukan rata-rata
4. Melalui eksperimen di atas, siswa diajak untuk membentuk pemahaman tentang
makna rata-rata
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 157
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,
Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 158
PEMBELAJARAN PELUANG
sumber: http://setarsbi.files.wordpress.com/2012/09/peluang-copy.jpg?w=645
Kompetensi Inti:
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan
prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran peluang, siswa diharapkan mampu:
3. memahami konsep peluang suatu kejadian menggunakan berbagai objek nyata
dalam suatu percobaan menggunakan frekuensi relatif;
4. menyajikan hasil penerapan konsep peluang untuk menjelaskan berbagai objek
nyata melalui percobaan menggunakan frekuensi relatif.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 159
Pengalaman Belajar :
Melalui pembelajaran materi peluang, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:
1. berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip peluang melalui
pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan;
2. berkolaborasi dalam memecahkan masalah otentik dengan pola interaksi
edukatif;
3. berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki, memanipulasi, dan mengaplikasikan
konsep dan prinsip-prinsip peluang dalam memecahkan masalah otentik.
Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi peluang dibuat
berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang
diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu.
Model 5E tersebut adalah:
1. Engagement
Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan
perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan
apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.
2. Exploration
Pada tahap ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat rencana
untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun semua
informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah siswa
melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga.
3. Explanation
Dalam tahap ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil
eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa
temuan yang mereka peroleh.
4. Elaboration
Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas
pemahaman mereka.
5. Evaluation
Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru
memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta
memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 160
Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:
MATERI PELUANG
Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi
tentang bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi.
Walaupun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan
judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunakan secara luas.
Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorologi, sains, dan industri.
Misalnya, perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama
seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi
kesuksesan suatu pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk
meramalkan kondisi cuaca; peluang digunakan dalam studi perilaku molekul-molekul
dalam suatu gas; peluang juga digunakan untuk memprediksi hasil pemilihan umum.
Topik Peluang akan sangat menarik bagi para siswa di sekolah tingkat menengah atas
(SMA), apabila guru dalam pembelajaran di kelas dapat menyampaikan berbagai
aplikasi dari konsep peluang dalam kehidupan sehari-hari siswa. Misalnya, siswa diajak
untuk mempertimbangkan kemungkinan mereka berhasil masuk di Perguruan Tinggi
Negeri (PTN) yang mereka minati. Hal ini dapat dilakukan dengan meminta siswa
membandingkan data mengenai banyaknya orang yang memilih jurusan di PTN
tertentu dengan daya tampungnya. Kemudian, siswa diajak menganalisis mengenai
jurusan di PTN tertentu dengan peluang lulus yang tinggi. Lebih lanjut, topik Peluang
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 161
sebagai salah satu materi yang esensial pada Mata Pelajaran Matematika di SMA
mencakup beberapa konsep dasar yang direpresentasikan pada bagan berikut ini:
Peta Konsep Topik Peluang pada Kelas X SMA
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 162
Peluang Suatu Kejadian
1. Ruang Sampel dan Peluang Suatu Kejadian
a. Ruang Sampel
Ruang sampel adalah kumpulan dari hasil yang mungkin terjadi dari suatu
percobaan. Anggota-anggota ruang sampel disebut titik sampel, sedangkan
kumpulan dari beberapa titik sampel disebut kejadian, atau kejadian adalah
merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh:
Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali, tentukan:
a) ruang sampel
b) kejadian muncul bilangan ganjil
c) kejadian muncul bilangan prima
Penyelesaian :
a) Hasil yang mungkin adalah muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, jadi ruang
sampelnya S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Kejadian muncul bilangan ganjil K = {1, 3, 5}
c) Kejadian muncul bilangan prima K = {2, 3, 5}
b. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Jika n(S) dan n(K) berturut-turut menyatakan banyaknya anggota ruang
sampel, dan banyaknya anggota kejadian K, maka nilai kemungkinan
terjadinya kejadian K adalah:
Contoh:
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola hitam.
Dari dalam kotak itu diambil satu bola. Tentukan peluang terambilnya bola
berwarna merah.
Penyelesaian :
S = {M1, M2, M3, M4, P1, P2, P3, H1, H2), maka n (S) = 9
K = {bola merah} = {M1, M2, M3, M4}, maka n (K) = 4
P (K) = 9
4
)5(
)(
n
Kn
P (K) = )(
)(
Sn
Kn
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 163
Jadi peluang bola yang terambil berwarna merah adalah 9
4
c. Tafsiran Peluang Kejadian
Misalkan K suatu kejadian dan S adalah ruang contoh dalam sebuah
percobaan. Berlaku hal-hal berikut ini:
Peluang kejadian K memenuhi 0 ≤ P(K) ≤ 1
P(S) = 1
P(∅) = 0
Peluang suatu kejadian adalah 1 berarti bahwa kejadian tersebut pasti terjadi
dan peluang kejadian adalah 0 berarti bahwa kejadian tersebut mustahil
terjadi. Peluang tersebut dapat diinterpretasikan pada gambar berikut.
Contoh:
1. Berapa peluang seekor kuda jantan melahirkan anak?
Karena tidak mungkin, maka dinamakan kemustahilan dan peluangnya 0.
2. Berapa peluang setiap orang akan meninggal?
Karena setiap orang pasti meninggal, maka dinamakan kepastian dan
peluangnya 1.
d. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah harapan yang nilai kemungkinan terjadinya paling
besar. Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan nilai kemungkinan
terjadinya kejadian K setiap percobaan adalah P(K), maka frekuensi harapan
dari kejadian K adalah:
Contoh:
Bila kita melemparkan sebuah dadu sebanyak 480 kali, berapakah kali
kemungkinan munculnya angka 4?
F(K) = n P (K)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 164
Penyelesaian :
P(K)= 6
1 dan n = 480
F(K) = n P (K) = 806
1480
Jadi harapan munculnya angka 4 adalah sebanyak 80 kali.
e. Kejadian Majemuk
Apabila dua kejadian atau lebih dioperasikan sehingga menghasilkan
kejadian baru, maka kejadian baru tersebut merupakankejadian majemuk.
1) Untuk sembarang kejadian A dan B berlaku:
n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)
jika kedua ruas dibagi dengan n (S) maka:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
Sn
BAn
Sn
Bn
Sn
An
Sn
BAn
, sehingga diperoleh:
2) Untuk sembarang kejadian A, B dan C berlaku:
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, tentukan peluang muncul mata dadu
genap atau prima.
Penyelesaian :
Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n (S) = 6
muncul mata genap A = {2, 4, 6} n (A) = 3
muncul mata prima B = {2, 3, 5} n (B) = 3
muncul mata genap dan prima = {2} n (AB ) = 1
muncul mata genap atau prima:
P (A B) = P(A) + P(B) – P (A B)
P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A B) – P (A C)
– P (B C) + P (A B C)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 165
P (AB)= P (A) + P (B) – P (AB)
= 6
1
6
3
6
3 =
6
5
3) Komplemen suatu kejadian
jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai
n elemen, maka Ac mempunyai n – a elemen.
P (Ac) = n
an =
n
a
n
n = 1 –
n
a
Jadi
Contoh:
Jika peluang hari esok akan hujan adalah 0,35, berapa peluang bahwa
cuaca akan cerah esok hari?
Penyelesaiannya :
P (A) = 0,35
P (Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0,35 = 0,65
Jadi peluang bahwa cuaca akan cerah hari esok adalah 0,65.
4) Dua kejadian saling lepas
Kejadian A dan B dikatakan saling lepas
Jika A B = maka P (A B) = 0, sehingga
jika P (A B) = 0
maka P (A B) = P(A) + P (B).
Kesimpulan :
S
A
Ac
P (Ac) = 1 – P (A)
S A B
Jika A dan B kejadiansalinglepas, maka:
P (A B) = P(A) + P (B)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 166
Contoh:
Dari satu set kartu bridge diambil 1 kartu secara acak. Tentukan peluang
untuk mendapatkan kartu As atau king!
Penyelesaian :
A = kejadian mendapatkan kartu A n (A) = 4
B = kejadian mendapatkan kartu king n (B) = 4
dan n(A B) = , sehingga P (A B) = P(A) + P (B)= 52
4
52
4 =
13
2.
Jadi peluang untuk mendapatkan kartu As atau king adalah 13
2.
5) Dua Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak
memengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak memengaruhi kejadian A.
Misalkan kita melambungkan dua buah dadu, maka angka yang muncul
pada dadu pertama tidak memengaruhi angka yang muncul pada dadu
kedua. Secara umum dapat dirumuskan:
Contoh:
Dalam sebuah kantong terdapat 5 kelereng merah dan 6 kelereng putih.
Kemudian diambil sebuah kelereng dengan acak secara berurutan
sebanyak dua kali. Setelah kelereng pertama diambil, kelereng itu
dikembalikan kemudian mengambil kelereng kedua. Tentukan peluang
bahwa yang terambil adalah kelereng merah pada pengambilan pertama
dan putih pada pengambilan kedua.
Penyelesaian:
Jika A = {kelereng merah pada pengambilan pertama}maka P (A) = 11
5
dan jika B = {kelereng putih pada pengambilan kedua}maka P (B) = 11
6
sehingga diperolehP (A B) = P (A) P (B) = 11
6
11
5 =
121
30.
Jika A dan B salingbebasmakaberlaku:
P (A B) = P (A) P (B)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 167
Jadi peluang untuk memperoleh kelereng merah pada pengambilan
pertama dan putih pada pengambilan kedua adalah 121
30.
6) Dua KejadianBersyarat
Jika kejadian A dan B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh
kejadian A atau kejadian B dengan syarat A, maka dinamakan kejadian
bersyarat. Peluang dari kejadian bersyarat disebut peluang bersyarat,
dirumuskan dengan:
P(B/A) = kejadian B dengan syarat A
atau
Contoh:
Dari satu set kartu bridge (52 lembar) diambil satu kartu secara berturut-
turut dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang pengambilan
pertama diperoleh AS dan pengambilan kedua diperoleh king!
Penyelesaian :
MisalA = kejadian terambilnyakartu AS pada pengambilan pertama
dan B = kejadian terambilnyakartu King pada pengambilan kedua
sehingga diperoleh P (A) = 13
1
52
4 dan P (B/A) =
51
4.
Jadi P (A B) = P (A) P (B/A) = 51
4
13
1 =
663
4.
P (B/A) =)A(P
)BA(P
P (A B) = P (A) P(B/A)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 168
CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan pada siswa yang sudah memiliki
pemahaman tentangkonsep ruang sampel, titik sampel, dan kejadian/ peristiwa.
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat mengaplikasikan konsep peluang dengan menentukan peluang kejadian
pada percobaan berulang menggunakan Sesatan Hexagon.
Pembukaan (10 menit)
1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.
2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil yang masing-masing
terdiri dari 3 orang.
3.Guru menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan tentang konsep ruang
sampel, titik sampel, dan kejadian/ peristiwa. Siswa diharapkan secara aktif
merespon stimulus tersebut dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan
guru.(Engagement)
4.Siswa menyebutkan beberapa contoh aplikasi dari konsep ruang sampel, titik sampel,
dan kejadian/ peristiwa. Guru mengulas mengenai peluang suatu kejadian yang
merupakan hasil dari pelemparan mata uang atau dadu. (Engagement)
5.Guru menjelaskan materi yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan
dicapai.(Engagement)
Kegiatan inti (65 menit)
1.Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa telah
memiliki sesatan hexagon dan lembar kerja siswa (LK).
2.Setiap kelompok diminta terlebih dahulu memasukkan kelereng ke lubang sesatan
hexagon, dan kemudian menjatuhkannya. Kelompok siswa diminta mengamati pada
lubang mana/ keberapa tempat jatuhnya kelereng. (Exploration)
3.Siswa secara bergantian dalam kelompoknya melakukan percobaan memasukkan
kelereng ke dalam lubang sesatan hexagon dan dua orang siswa lainnya mengamati
jatuhnya kelereng dan mencatat hasil eksperimen. (Exploration)
4.Setelah melaksanakan beberapa kali eksperimen, siswa akan diajak bernalar
mengenai kecenderungan dari jatuhnya kelereng pada lubang tertentu. Siswa
diminta mendiskusikan alasan dari kecenderungan kejadian yang muncul pada
eksperimenyang dilakukan. Jika jawaban dari salah satu kelompok belum tepat, maka
kelompok lain diminta menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya dan
sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang jawaban yang
diharapkan.(Explanation& Elaboration)
5.Siswa dalam kelompok kembali diminta melakukan eksperimen dengan mengacu
pada LK yang telah diberikan oleh guru. Satu orang siswa akan melakukan percobaan
dengan memasukkan semua kelereng yang tersedia ke lubang sesatan hexagon. Dua
orang siswa lainnya bertugas mengamati sekat-sekat yang ditempati kelereng-
kelereng tersebut, kemudian mencatat hasilnya. (Exploration)
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 169
6.Setelah percobaan selesai dilakukan, siswa dalam kelompok melakukan diskusi dan
kemudian menuliskan jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng.
Selanjutnya berdasarkan hasil tersebut,setiap kelompok menentukan banyak
lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah sesatan hexagon dan
menuliskannya pada LK. (Explanation)
7.Berdasarkan temuan-temuan sebelumnya, setiap kelompok kemudian diminta
menentukan nilai peluangkelereng masuk ke setiap celahpada sesatan hexagon.
Kelompok siswa yang kesulitan menentukan nilai peluang kejadian tersebut akan
dibantu oleh guru dan siswa lain yang mempunyai kemampuan lebih
tinggi.(Elaboration and Evaluation)
8.Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan
hasil temuan dari eksperimen yang telah dilakukan di kelompok masing-masing.
Siswa lainnya diharapkan dapatmemberikan umpan balik secara aktif terhadap
presentasi temannya.(Explanation and Evaluation)
9.Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat
diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan.Kemudian gurumemberikan
pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan peluang suatu
kejadian untuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan
bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum
dimengerti siswa.(Elaboration and Evaluation)
Penutup (5 menit):
1.Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 170
LEMBAR KERJA SISWA
1. Siapkan alat peraga sesatan hexagon (Gambar 1)
2. Masukkan semua kelereng ke lubang.
3. Perhatikan sekat-sekat yang ditempati kelereng-kelereng tersebut.
Gambar 1: sesatan hexagon
Gambar 2: celah sesatan hexagon
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 171
4. Lengkapilah tabel berikut:
Tabel 1: jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng
5. Berdasarkan Tabel 1 di atas, lengkapilah Tabel 2 dan Tabel 3 di bawah ini !
Tabel 2: banyaknya lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 172
Tabel 3: peluangkelereng masuk ke suatu celah
Kesimpulan:
Dari Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa:
Peluangkelereng masuk ke sekat L1 = 1/32
Peluangkelereng masuk ke sekat L2 = …
Peluangkelereng masuk ke sekat L3 = …
Peluangkelereng masuk ke sekat L4 = …
Peluangkelereng masuk ke sekat L5 = …
Peluangkelereng masuk ke sekat L6 = …
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 173
DESKRIPSI ALAT PERAGA
Topik pembelajaran : Peluang
Sub Topik : Peluang suatu kejadian
Kompetensi Dasar : 12. memahami konsep peluang suatu kejadian
menggunakan berbagai objek nyata dalam
suatu percobaan menggunakan frekuensi
relatif;
13. menyajikan hasil penerapan konsep peluang
untuk menjelaskan berbagai objek nyata
melalui percobaan menggunakan frekuensi
relatif.
Alat peraga ini dapat digunakan sebagai sarana untuk mengaplikasikan konsep
peluang pada pembelajaran di kelas. Alat peraga ini berfungsi untuk membantu
siswa memahami peluang kejadian suatu percobaan dengan memasukkan
kelereng melalui celah-celah pada alat peraga sesatan hexagon.Guru harus
memastikan penguasaan siswa terhadap konsep prasyarat sebelum menerapkan
percobaan dengan menggunakan sesatan hexagon. Konsep prasayarat yang
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 174
dimaksud adalah konsep mengenai ruang sampel, titik sampel, dan kejadian/
peristiwa.
ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat sesatan hexagon adalah sebagai
berikut:
Kelereng atau benda berbentuk bola yang dapat digelindingkan secara leluasa
melewati sekat-sekat pada sesatan hexagon. Lebar dari sekat-sekat harus lebih
dari diameter benda yang dipakai sebagai bola.
Gergaji
Pisau kater
Penggaris dari bahan baja
Palu
Tang
Penggaris siku
Amplas
Spon karet warna hitam untuk masing-masing hexagon (segienam beraturan)
Triplek
Potongan balok kayu
Paku
Flamir
Cat
lem
LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga sesatan
hexagon:
1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan.
2. Gergaji triplek atau multipleks sehingga berbentuk alas sesatan hexagon dengan
ukuran 90 cm x 120 cm kemudian dicat jika memungkinkan.
3. Buatlah 27 buah segienam beraturan kongruen dari kayu, plastik, atau spon.
Gunakan warna yang berbeda dari warna alas sesatan hexagon pada langkah 2.
4. Tempelkan 27 buah segienam beraturan tersebut ke alas sesatan hexagon.
Segienam beraturan yang ada harus diletakkan sedemikian sehingga peluang bagi
bola atau kelereng yang digelindingkan dapat bergerak ke kiri atau ke kanan
dengan lebar lintasan yang sama.
5. Langkah terakhir adalah mencoba memasukkan beberapa bola atau kelereng
untuk memeriksa keterpakaian alat peraga sesatan hexagon yang telah dibuat.
USAID SMART Lab Program 2014
Modul Matematika Kelas X 175
CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Penerapan alat peraga Sesatan Hexagon dalam pembelajaran peluang bertujuan untuk
menjelaskan konsep peluang kejadian suatu percobaan. Langkah-langkah penggunaan
alat peraga Sesatan Hexagon dalam pembelajaranadalah sebagai berikut:
1. Siapkan alat peraga sesatan hexagon
2. Masukkan kelereng ke lubang bagian atas
3. Kelereng akan jatuh ke bawah menempati sekat-sekatpada Sesatan Hexagon
4. Amati celah-celah yang dilewati kelereng sampai kelereng jatuh ke dalam sekat-
sekat yang tersedia.
5. Tentukan jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng.
6. Tentukan banyaknya lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah.
7. Tentukan peluangkelereng masuk ke suatu celah.
DAFTAR PUSTAKA
Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas
X,Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8
Buku Petunjuk Penggunaan Alat Peraga Sesatan Hexagon,Yogyakarta: Pusat
Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK)
Matematika, 2007.