Enrique Luis Arnáez Braschi

ENFOQUE PRÁCTICO DEL

CONTROL MODERNO

Con aplicaciones en Matlab

Contenido

| Introducción 15

| Capítulo 1: Introducción al control moderno 1.1 Clasificacióndelossistemasdecontrol 18

1.2 TransformadasdeLaplace 19

1.2.1 PropiedadesdelasTransformadasdeLaplace 20

1.2.2 Expansiónporfraccionesparciales 20

1.3 Álgebradelosdiagramasdebloques 24

1.4 Estabilidad 31

| Capítulo 2: Análisis de la respuesta en el estado transitorio 2.1 Sistemasdeprimerorden 35

2.2 Sistemasdesegundoorden 44

2.2.1 Conceptosgenerales 52

2.3 Diseñodecontroladoresclásicos 58

2.3.1 Tiposdecontroladoresclásicos 59

2.3.2 Ventajasydesventajasdeloscontroladoresclásicos 60

| Capítulo 3: Análisis de los sistemas de control en el dominio de la frecuencia 3.1 DiagramasdeBode 66

3.1.1 Estabilidadenfrecuencia 71

3.1.2 Relaciónentreeltipodesistemaylosdiagramasdemagnitud-fase 72

3.1.3 Frecuenciadeanchodebanda 73

3.1.4 Performancedelazocerrado 76

3.2 Controladoresocompensadoresdeadelantooatrasodefase 77

3.2.1 Compensadordeadelantodefase 78

3.2.2 Compensadordeatrasodefase 79

3.2.3 Compensadordeadelanto-atrasodefase 80

Enrique Arnáez Braschi | Enfoque práctico del Control Moderno8

| Capítulo 4: Modelamiento matemático en espacio de estados 4.1 Diseñoenelespaciodeestados 117

4.2 Definicionesdeespaciodeestados 118

4.2.1 Estado 118

4.2.2 Variablesdeestado 118

4.2.3 Vectordeestado 118

4.2.4 Ecuacionesdeestado 118

4.2.5 Espaciodeestados 118

4.3 Pasosbásicosparaelmodelamientomatemático 118

4.4 ProgramaciónenMatlab 131

4.5 Linealizacióndesistemas 135

4.5.1 Nolinealidadalcomienzo 136

4.5.2 Nolinealidadinterna 137

4.5.3 Nolinealidadcompleta 138

4.6 Identificaciónprácticadeunsistemadesegundoorden 147

| Capítulo 5: Transformaciones 5.1 TransformacionesdesistemasSISO 159

5.1.1 Apartirdeloscoeficientesdeunafuncióndetransferencia 159

a.Formacanónicacontrolable 159

b.Formacanónicaobservable 159

5.1.2 Apartirdelospolosdeunafuncióndetransferencia 161

a.Formacanónicadiagonalomodal 161

b.FormacanónicadeJordan 161

5.1.3 ComandosdelMatlabparalastransformacionescanónicas 163

5.2 TransformacióndeunsistemaSIMO 166

5.3 TransformacióndeunsistemaMIMO 167

5.4 Transformacionesinversas 167

5.4.1 Cálculodelafuncióndetransferenciadesdelasformascanónicas 168

5.4.2 CálculodelamatrizdetransferenciaatravésdelaTransformada

deLaplace 170

5.5 Equivalenciasotransformacionesdesemejanzadelasecuacionesdeestado 172

| Capítulo 6: Propiedades de los sistemas de espacio de estados 6.1 Solucióndelasecuacionesdeestado 177

6.1.1 Solucióndelasecuacionesdeestadodecasohomogéneo 177

6.1.2 Matrizdetransicióndeestados 178

6.1.2.1Propiedadesdelamatrizdetransicióndeestados 179

Contenido 9

6.1.3 Solucióndelasecuacionesdeestadodecasonohomogéneo 180

6.2 Estabilidadenespaciodeestados 182

6.3 Controlabilidad 185

6.3.1 Métodoparadeterminarlacontrolabilidad 185

6.3.2 Matlabparaprobarlacontrolabilidad 186

6.4 Observabilidad 188

6.4.1 Métodoparadeterminarlaobservabilidad 188

6.4.2 Matlabparaprobarlaobservabilidad 189

6.5 Controlabilidaddelasalida 191

6.5.1 Métodoparadeterminarlaobservabilidad 191

| Capítulo 7: Diseño de controladores de estado 7.1 Algoritmoparaelcálculodelcontroladordeestados 200

7.1.1 Métodoporexcepción 201

7.2 UtilizandoMatlabparaeldiseñodecontroladores 205

7.2.1 MatlabM-Filedecontrolador.mparaeldiseñodecontroladores

deestado 206

| Capítulo 8: Diseño de observadores de estado 8.1 Tiposdeobservadoresdeestado 230

8.2 Observadoresdeestadodeordencompleto 230

8.3 Diseñodeobservadoresdeestado 232

8.3.1 Algoritmoparaelcálculodelobservadordeestados 233

8.3.2 AlgoritmodeAckerman 235

8.3.3 Métodoporexcepción 236

8.4 Comparacionesconrespectoaldiseñodeloscontroladoresdeestado 239

8.5 UtilizandoelMatlabparaeldiseñodeobservadoresdeestado 241

8.6 Observadordeestadoensistemasdelazocerrado 242

8.7 Consideracionesadicionales 246

| Capítulo 9: Diseño de sistemas de seguimiento 9.1 Tiposdesistemasdeseguimiento 255

9.1.1 Sistemadeseguimientoconintegrador 255

9.1.2 Sistemadeseguimientosinintegrador 260

| Capítulo 10: Control óptimo 10.1 CriteriodeestabilidaddeLyapunov 279

10.1.1Funcióndefinidapositiva 279

10.1.2Matrizdefinidapositiva 280

Enrique Arnáez Braschi | Enfoque práctico del Control Moderno10

10.1.3FuncióndeLyapunov 281

10.1.4Pruebadeestabilidad 281

10.1.5SolucióndelaecuacióndeLyapunov 282

10.2 Controlóptimocuadrático 285

10.2.1OptimizacióndeparámetrosmedianteelcriteriodeLyapunov 287

| Apéndice: Introducción al Matlab Operadoresdematemáticas A–2

Operadoresrelacionales A–2

Operadoreslógicos A–3

Variables A–3

Polinomios A–3

Condicional A–4

Lazosdeprogramación A–4

Constantesdelsistema A–5

Algunoscomandosútiles A–6

Figurasygráficos A–8

M-Files A–8

Toolboxes;SymbolicMathToolbox(toolboxdematemáticassimbólicas) A–9

Integrales A–12

Derivadas A–13

Resolucióndeecuaciones A–14

Transformaciones A–15

Toolboxesdecontrolyseñales A–16

Funcionesdetransferenciadefiltrosanalógicos A–22

Contenido 11

EjemploE.1.1: ExpansióndefraccionesparcialesycálculodelaTransformadainversadeLaplaceEjemploE.1.2: ExpansióndefraccionesparcialesycálculodelaTransformadainversadeLaplaceEjemploE.1.3: ExpansióndefraccionesparcialesycálculodelaTransformadainversadeLaplaceEjemploE.1.4: DeterminacióndelafuncióndetransferenciadesistemacircuitoRLC (entrada:voltaje/salida:corriente)EjemploE.1.5: DeterminacióndelafuncióndetransferenciadesistemacircuitoRLC (entrada:voltaje/salida:caídadetensiónenelcapacitor)EjemploE.1.6: Determinacióndelafuncióndetransferenciadesistemamasa-resorteEjemploE.1.7: DeterminacióndelafuncióndetransferenciadesistemamotorDCdeposiciónEjemploE.1.8: CálculodelospolosyloscerosdeunafuncióntransferenciaEjemploE.1.9: Cálculodelospolosyloscerosdeunafuncióntransferencia

EjemploE.2.1: AnálisisdeunsistemadeprimerordenEjemploE.2.2: AnálisisdeunsistemadeprimerordenconruidoenelsensorEjemploE.2.3: AnálisisdeunsistemadesegundoordenEjemploE.2.4: AnálisisdeunsistemadesegundoordenEjemploE.2.5: DiseñodeuncontroladorPID

EjemploE.3.1: TrazodelosdiagramasdeBodeEjemploE.3.2: DeterminacióndelaestabilidaddeunsistemaEjemploE.3.3: DiseñodeuncontroladordelpénduloinvertidoEjemploE.3.4: DiseñodeuncompensadordeadelantodefaseEjemploE.3.5: Métododediseñoderespuestadefrecuenciaparaelcontroladordecabeceo deunaviónEjemploE.4.1: CálculodelasecuacionesdeestadodeuncircuitoRLCEjemploE.4.2: Cálculodelasecuacionesdeestadodeunsistemamasa-resorteEjemploE.4.3: Cálculodelasecuacionesdeestadodeunsistemamúltiplemasa-resorteEjemploE.4.4: CálculodelasecuacionesdeestadodeunsistemamotorDCdeposiciónovelocidadEjemploE.4.5: LinealizacióndeunsistemaEjemploE.4.6: LinealizacióndeunsistemadesuspensióndeunabolapormagnetismoEjemploE.4.7: Linealizacióndeungiróscopo

EjemploE.5.1: Obtencióndelasformascanónicascontrolable,observableydiagonaldeunsistemaEjemploE.5.2: TransformacióndefuncióndetransferenciaaespaciodeestadosEjemploE.5.3: TransformacióndefuncióndetransferenciaaespaciodeestadosEjemploE.5.4: TransformacióndeecuacionesdeestadoenmatrizdetransferenciaEjemploE.5.5: TransformacióndeecuacionesdeestadoenmatrizdetransferenciaEjemploE.5.6: Transformaciónequivalentedeunsistema

Lista de ejemplos

Enrique Arnáez Braschi | Enfoque práctico del Control Moderno12

EjemploE.6.1: DeterminacióndelamatrizdetransformacióndeestadosEjemploE.6.2: DeterminacióndelarespuestaeneltiempodeunsistemaEjemploE.6.3: DeterminacióndelaestabilidaddeunsistemaEjemploE.6.4: DeterminacióndelaestabilidaddeunsistemaEjemploE.6.5: DeterminacióndelacontrolabilidaddeunsistemaEjemploE.6.6: DiseñodeuncontroladordeestadosparalaaltituddeunsatéliteEjemploE.6.7: DeterminacióndelaobservabilidaddeunsistemaEjemploE.6.8: DiseñodeunobservadordeestadosparalosestadosdeunsatéliteEjemploE.6.9: Determinacióndelacontrolabilidad,observabilidadycontrolabilidaddeunsistemaEjemploE.6.10: Cálculodelasecuacionesdeestadoydelaspropiedadesdeuntrenmagnético

EjemploE.7.1: DeterminacióndeuncontroladorporubicacióndepolosporelmétodocompletoEjemploE.7.2: Determinacióndeuncontroladorporubicacióndepolosporelmétodo porexcepciónEjemploE.7.3: DeterminacióndeuncontroladorporubicacióndepolosEjemploE.7.4: Determinacióndeuncontroladorporubicacióndepolos,utilizandolafunción controlador.menMatlabEjemploE.7.5: Determinacióndeuncontroladorporubicacióndepolos,utilizandolafunción controlador.menMatlabEjemploE.7.6: Pruebadelafuncióncontrolador.mconunsistemaMIMOEjemploE.7.7: ProblemadelpénduloinvertidoEjemploE.7.8: Diseñodeuncontroladordeestadosparaunmotordeposición

EjemploE.8.1: DeterminacióndelaecuacióncaracterísticaconunobservadordeestadosEjemploE.8.2: DeterminacióndeunobservadordeestadosEjemploE.8.3: DeterminacióndeunobservadordeestadosEjemploE.8.4: Determinarelvalordel

1yl

2desdeelpolinomiocaracterístico

EjemploE.8.5: DeterminacióndeunobservadordeestadosEjemploE.8.6: DeterminacióndelnuevosistemadelazocerradoconobservadorEjemploE.8.7: DeterminacióndeunobservadordeestadosEjemploE.8.8: Determinacióndeunobservadordeestados,utilizandolafunciónackerenMatlabEjemploE.8.9: Determinacióndeunobservadordeestadosparaunmotordeposición

EjemploE.9.1: Diseñodeuncontroladordeestadosdeseguimientoydeterminacióndelsistema delazocerradoEjemploE.9.2: DiseñodeuncontroladorconacciónintegralEjemploE.9.3: DiseñodeuncontroladordeestadosconacciónintegralparaunmotordeposiciónEjemploE.9.4: Realimentarlosestadosconmedianteunobservadordeestadosparaelmotor deposiciónconcontroladordeacciónintegralEjemploE.9.5: Realimentarlosestadosconmedianteunobservadordeestadosparaelmotor deposiciónconcontroladordeacciónintegralcuyosensorgeneraruidoEjemploE.9.6: Compararyanalizarlasdiferenciasdelaterceravariabledeestadodecadauno deloscasospresentadosenlostresejemplosanteriores

Contenido 13

EjemploE.10.1: PruebadeunfunciónsobresiesdefinidapositivaEjemploE.10.2: PruebadeunfunciónsobresiesdefinidapositivaEjemploE.10.3: DeterminacióndelamatrizPmediantelaEcuacióndeRiccatiEjemploE.10.4: DeterminacióndelamatrizPmediantelaEcuacióndeRiccatiEjemploE.10.5: AnálisisdeunsistemamedianteelcontrolóptimoEjemploE.10.6: Diseñodeuncontroladordeestadosmediantelafuncióndecostosdecontrol óptimoEjemploE.10.7: DiseñodeuncontroladoróptimoparauntelescopiodeinstrucciónEjemploE.10.8: Diseñodeuncontroladoróptimoparauntelescopiodeinstrucciónrealimentando losestadosmedianteunobservadorEjemploE.10.9: Análisiscompletodecontrolsobreunsistemadiseñandotodotipodecontroladores ycerrandoellazoconobservadores

Estelibrohasidopreparadopensandoencondensartemassumamenteabstractosdemanerasencillaqueapoyeneldictadodeloscursosrelacionados,específicamente,merefieroalostemasdecontrolmoderno,yaquecuandometocóaprenderyluegodictarestoscursos,ellenguajequeempleabanlaspublicacionesylaformadeescribirlasmatemáticaseransumamentecomplicadas.

Asimismo,noseteníanaplicacionesenMatlabdelosejemplosqueplanteaban,siendounagraninte-rrogantecómolosautoresprogramabanyllegabanalosresultados.

Enestelibrosecondensa,enunaformapráctica,estudios,trabajoseinvestigacionesdemásdecatorceañostratandodeplasmarelenfoqueprácticodelaparteteóricadelcontrolmoderno.

Lateoríadecontrolmodernoempleadurantesusdiferentesetapasparaeldiseñodeloscontroladores,unamplionúmerodecienciasyherramientastalescomoálgebralineal,teoríadevectoresymatrices,cálculodiferencialyprogramación.Paraestaúltimaherramienta,empleamoselMatlab,porellosiellectornoestáfamiliarizadoconestostemas,esconvenientequeprimerodesarrolleciertashabilidadesantesdecomenzar conestos conocimientos, yaque solamente semencionarán losprocedimientosnecesariossinprofundizarenellos.

Adicionalmente, todoingenieroquevayaaanalizarelcomportamientodeunsistemacontrolado,oparacontrolarlo,deberáinvestigarlateoríaquesostienedichocomportamiento.Enestecaso,usamosteoríadeelectricidad,electrónica,mecánicaydinámicadesólidosofluidos,economía,químicaocual-quieraquefueraeloloscamposdetrabajodelsistemaencuestión.

Complementariamente, el controlmodernoutiliza análisisnumérico, teoríadeoptimización, lógicadifusa,redesneuronalesyotrasnuevasteoríasquepuedanmejorareldesempeñodelossistemasquemanejemos.

SepuedeverquedesdeelCapítulo1al3,abarcamoslasáreastradicionalesdelcontrolclásico,talescomolosanálisisdelarespuestaeneltiempotransitorioyenlafrecuencia.Sepresentandemaneracompletayconejemplosdesarrollados,losconceptosfundamentalesdelcontrol,yaquelateoríaclási-capermitehacerlodeunamanerafácildecomprender.

Posteriormente,desdeelCapítulo4 al6, establecemos los fundamentosde la teoríadeespaciodeestados,dondeveremoselmodelamientomatemático,sustransformacionesypropiedades.Estateo-ríanospermitiráprogramarlassimulacionesyeldiseñodeunamaneramásreal,yaqueunadesuscapacidadesesladepodertrabajarconsistemasdemúltiplesentradasysalidas,cosaquenoerapo-sibleconlateoríadecontrolclásica.Delmismomodo,introducelosconceptosdecontrolabilidadyobservabilidad.

Introducción

Enrique Arnáez Braschi | Enfoque práctico del Control Moderno16

Loscapítuloscentralesdeestetextosonel7yel8.Ahíesdondeaplicamostodoslosconocimientospreviosparaeldesarrollodecontroladoresyobservadoresdeestado.

DesdeelCapítulo9al10veremosunaseriedeteoríascomplementariasquesirvenparamejorarelcomportamientodelossistemasdecontroldeestados.Hemosvistoconvenienteresaltarelseguimien-toyelcontrolóptimo.Todasestasteoríasseutilizaránenlasdiferentespartesdelanálisisodiseño.Igualmente,nodebemoslimitarnosaellasporquesisabemosemplearotrasteoríasquepuedanapo-yaraestecampo,asícomodeotrasnuevasquepuedandesarrollarse,debemosexperimentarsuusoenlateoríadecontrolmoderno.

Adicionalmente,sepresentaunapéndicedondeplanteamosunaintroducciónalMatlab.Sufinalidadesenseñarausaresteprograma,sinodeexplicaralgunasdesusfuncionesyaplicacionesparaayudarasuempleoenelcontrol.

Lostemasteóricosestánpresentadosconejemplosensuaplicaciónconlafinalidaddeunafácilyrápi-dacomprensión,ycasiensutotalidadsondesarrolladosadicionalmenteenMatlab,siempreycuandoseaaplicable.

EnriqueArnáezBraschi

Acontinuación,recordaremosunaseriedeconceptosquedeberemostenerpresentesparacom-prenderlostemasquesedesarrollaránposteriormente.

Comenzamospordefiniralcontrolrealimentadocomounaoperaciónque,apesardeestarbajolainfluenciadeperturbaciones,tiendeareducirladiferenciaentrealgunaentradadereferenciayelresultadodelprocesoesperado,ylocontinúahaciendoconbaseenestadiferenciahastaqueelsistemaseestabiliceyenelmejordeloscasos,hastaqueladiferenciadesaparezca.

Elsistemasedefinecomounacombinacióndecomponentesqueactúanconjuntamenteyquecumplendeterminadoobjetivo.

Laplantaeselobjetosobreelcualseejecutanlasaccionesespecialesorganizadasconelfindelograrresultadosdefuncionamientodeseados.Eselobjetoquesedeseacontrolar.

Gráfico 1.1. Sistema

Lasaccioneselaboradasporelcontroladorsedenominanseñalesdecontrol,mientrasquelasquenodependendelsistemadecontrol,quenosepuedenpredeciryquenosondeseadas,sedenominanperturbaciones.

Losresultadosparaloscualessediseñóelcontroladorsonlasvariablesdesalida.

Elprocesoeslasucesióndecambiosqueseproducenenunaplanta:cambiosdemateria,energía,in-formación,etcétera.

Capítulo 1: Introducción al control moderno

Enrique Arnáez Braschi | Enfoque práctico del Control Moderno18

Gráfico 1.2. Sistema de control en varias formas

1.1 Clasificacióndelossistemasdecontrol

a. Segúnsudimensión:

– Sistemasdeparámetrosconcentrados:representadosporecuacionesdiferencialesuotraexpresiónqueledécarácterfinito.

– Sistemasdeparámetrosdistribuidos: sondecarácter infinitopor loque requierende derivadas parciales dentro de su representación, por ejemplo: elmodelo de unoleoducto.

b. Segúnelconocimientodesusparámetros:

– Sistemasdeterminísticos:sistemasdeparámetrosconocidos.– Sistemasestocásticos:dondealgunosotodossusparámetrossonconocidosprobabi-

lísticamente.

c. Segúneltipodecontinuidad:

– Sistemascontinuos:tienendefiniciónparatodoinstantedetiempoymediantepuntoscontiguos,porejemplounaparábola.

Capítulo 1 | Introducción al control moderno 19

– Sistemasdiscontinuos:tienenunaomásdefinicionesencadainstantedetiempolascualesnoson,necesariamente,puntoscontiguos,porejemplo:untrendepulsosounatangente.

– Sistemasdiscretos:estándefinidosenciertosperiodos,porejemplo:unaseñalmues-treada.

d. Segúnsuestructuramatemática:

– Sistemaslineales:sucomportamientopuedeserrepresentadoporunalínearecta.Sepuedeaplicarelprincipiodesuperposición.

– Sistemasnolineales:nopuedenserrepresentadosporunalínearectaensutotalidadoenunaporcióndelmismo,asíseamuypequeña.

e. Segúnelcomportamientodesusparámetros:

– Sistemasinvarianteseneltiempo:cuyosparámetrossonigualesparatodoslosins-tantesdetiempo,porejemplo:unsistemadesuspensiónmecánica.

– Sistemasvariantesenel tiempo: cuyosparámetros cambian conformeva transcu-rriendoeltiempo,porejemplo:lamasadeuncoheteodeuncarroFórmula1,volu-mendecuerpossometidosadiferentestemperaturasyotrossimilares.

Paralasaplicacionesenelcursoqueestamosdesarrollandoypormotivosdeinstrucciónva-mosautilizarsistemaslinealesinvarianteseneltiempo.

1.2 Transformadas de Laplace:

LasTransformadasdeLaplaceseencargandefacilitarelcálculodeoperacionesíntegro-dife-renciales.EstoserealizacambiandoeldominiodeltiempoaunoimaginarioquedenominamosDominiodeLaplace,endondelasolucióndeecuacionesdiferencialessealcanzamediantepro-cedimientosalgebraicos.

LasTransformadasdeLaplacemáscomunessonlassiguientes:

EsconvenienterecalcarquepararealizarlastransformacionesinversasdeLaplaceseutilizanlasmismasfórmulas,peroensentidocontrario.

Enrique Arnáez Braschi | Enfoque práctico del Control Moderno20

1.2.1 Propiedades de las Transformadas de Laplace:

Lastransformacionessefacilitannotablementecuando,ademásdelasfórmulasmásco-munes,aplicamoslaspropiedadesquerigenaestas.Acontinuaciónvamosapresentarlasmásimportantes:

Dondetodaslasderivadasdelafunciónsonigualesa0,cuandolascondicionesinicialesson0.

{ } sF

dtft

0=∫L (t)

(s)

F(s + a)(t)–atL { }fe =

(as)L aFf =

ta

{ } )(2)(10 )(2)(1 ss

t

t FFdff =∫ − τττ

Teoremadelvalorinicial:

)()0( lim sssFf

∞→=+

Teoremadelvalorfinal:

lim )(0)()(lim ssttsFff

→∞∞→==

1.2.2 Expansión por fracciones parciales:

Laexpansiónporfraccionesparcialesesutilizadaparadescomponerunafunciónquecon-tienepolinomiosenelnumeradoryeneldenominador,enunconjuntodefraccionesquerespondanfácilmentealatransformacióninversadeLaplace.

Loscasosmásfrecuentessonexpresionescondenominadorcompuestoporunamultipli-cacióndebinomios,yexpresionescondenominadorcompuestoporbinomioselevadosaalgunapotencia.Paralosdemáscasosquenoestánexplícitamentecitados,sedeberáncombinarestasalternativasdesoluciónydeberáusarsemuchaálgebraparafactorizardelamaneraadecuadaestasexpresionesynosapoyaremosbastanteenlaspropiedadesdelasTransformadasdeLaplace.

Presentaremoslaformaderesolverestasexpansionesconlossiguientesejemplos:

Capítulo 1 | Introducción al control moderno 21

Ejemplo E.1.1: Expandir en fracciones parciales y calcular la transformada inversa deLaplacedelasiguientefunción:

)2)(1(4

)( +++=

sssF s

Solución:

Expandamoslaexpresiónanteriorenlacantidaddefraccionesigualesalosbinomiosquecontengaeldenominadorycolocaremoscadabinomioeneldenominadordecadafrac-ción,dejandocomoincógnitaacadanumerador.

21)2)(1(4

)( ++

+=

+++=

sB

sA

sssF s

Igualamoslosnumeradorespararesolverlasincógnitasmedianteecuacionessimultáneas,

s+4=A(s+2)+B(s+1)s+4=As + 2A + Bs + B

s+4=(A + B)s+(2A + B)

igualamosloscoeficientes:

A + B=1 …(1) 2A + B=4 …(2)

restamos(1)de(2): A=3 …(3)

reemplazamos(3)en(1)ydespejamos: B=–2

reemplazamosestosresultadosenlaexpansióndefraccionesyobtenemoslarespuesta:

22

13

)2)(1(4

)( +−

+=

+++=

sssssF s

Parafinalizar,ahorapodemosaplicarlatransformadainversadeLaplace:

tt eess

2232

21

3 −− −=

+−

+L −1

Ejemplo E.1.2: Expandir en fracciones parciales y calcular la transformada inversa deLaplacedelasiguientefunción:

52102

2)( +++=

sssF s

Enrique Arnáez Braschi | Enfoque práctico del Control Moderno22

Solución:

DebemostrabajareldenominadoramaneraderepresentareneldenominadorfuncionesqueseanfácilesdetransformaryparaelloutilizaremoslaspropiedadesdelasTransfor-madasdeLaplace.

2222)( 2)1(102

4)12(102

52102

+++=

++++=

+++=

ss

sss

sssF s

Unavezquehemosconseguidounaformaadecuadaeneldenominador,separaremoslasexpresionesendossumandosutilizandolosdelnumerador:

222222)( 2)1(

82)1(

222)1(

102++

+++

+=++

+=ss

ss

sF s

22222222)( 2)1(24

2)1(12

2)1(8

2)1(22

+++

+++=

+++

+++=

sss

sssF s

Aplicandolaspropiedades,podemosagrupar:

2222)( 2)1(24

2)1()1(2

+++

+++=

sssF s

Luego,mediantelatransformadainversadeLaplace,tenemos:

+++

+++

2222 2)1(24

2)1()1(2

sss{ })(sF L −1L −1 =

{ })(sF L −1L −1 = L −1+

++ 22 2)1(24

s

+++

22 2)1()1(2

ss

L −1 )2sin(4)2cos(2 tete tt −− +=

+++

52102

2 sss

Ejemplo E.1.3:ExpandirenfraccionesparcialesycalcularlatransformadainversadeLa-placedelasiguientefunción:

2

)(42 ++=

sssF s + 3)1(

Solución:

Deberemosexpandirlaexpresióninicialentantasfraccionescomobinomioscontengaeldenominador,colocandoliteralesenlosnumeradores,lascualesseránlasincógnitaspor

Enfoque práctico delcontrol moderno

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La ingeniería de control es una rama de la ingeniería que estudia el control de maquina-rias y procesos industriales –conocidos como sistemas– sin la necesidad de intervención humana; esta rama permite que sistemas como marcapasos, misiles guiados y aerona-ves puedan ser controlados por el hombre. La teoría del control moderno emplea un amplio número de ciencias y herramientas –álgebra lineal, teoría de vectores y matrices, cálculo diferencial, programación, análisis numérico, entre otras– que puedan mejorar el desempeño de los sistemas a manejar.

Enfoque práctico de control moderno reúne estudios, trabajos e investigaciones del autor en una estructura y lenguaje sencillos. A lo largo de 10 capítulos el autor abarca los conceptos fundamentales de control en la teoría clásica, la teoría de espacio de estados, y los conceptos de controlabilidad y observabilidad, que son �nalmente aplicados para el desarrollo de controladores y observadores de estado. Los capítulos �nales introdu-cen una serie de teorías complementarias que permiten mejorar el comportamiento de los sistemas de control de estados.

Este texto es útil para ingenieros y estudiantes de Ingeniería en cursos sobre Control Moderno y Control Optimo. El libro incluye aplicaciones con Matlab que requieren del lector ciertas habilidades en el software, pues menciona los procedimientos necesarios sin profundizar en ellos.

Colección: Ingeniería y salud en el trabajoÁrea: Ingeniería

Aplicaciones con Matlab (análisis de sistemas, cálculos de ecuaciones de estado, diseño y determinación de controladores y observadores).Apéndice con introducción al Matlab.

Incluye

9 789587 713244

ISBN 978-958-771-324-4

e-ISBN 978-958-771-326-8