Energietechnik ENT T2ELA3860 2 Uebungen - DHBW Stuttgartsrupp/ENT/Energietechnik_ENT_T2ELA38… · Energietechnik Übungen zur Vorlesung Ausgabe 0.5, 14.11.2015 Autor: Stephan Rupp

Energietechnik

Übungen zur Vorlesung

Ausgabe 0.5, 14.11.2015Autor: Stephan Rupp

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Inhaltsverzeichnis1. Grundlagen! 6

1.1. Leistungsübertragung und Wirkungsgrad! 6

1.2. Wechselstrom oder Gleichstrom (AC/DC)! 6

1.3. Drehstrom! 8

1.4. Blindleistung! 10

1.5. Darstellung als Zeiger (Phasoren)! 12

1.6. Zeiger im Drehstromsystem! 13

1.7. Elektrische Leitungen! 14

1.8. Anpassung an die Leitungseigenschaften! 15

1.9. Transiente Vorgänge bei endlicher Leitung! 16

1.10. Eingeschwungener Zustand bei Wechselspannung und endlicher Leitung! 18

1.11. Effekte der Wellenausbreitung im Netz! 19

1.12. Zwei Spannungsquellen im Netz! 20

2. Übertragung elektrischer Energie! 21

2.1. Ersatzschaltbild der Leitung! 21

2.2. Verhalten von Leitungen im Netz! 22

2.3. Transientes Verhalten einer induktiven Last! 23

2.4. Ohmsch-induktiver Verbraucher im Ortsnetz! 24

2.5. Leistungsgeregelter Verbraucher im Ortsnetz! 25

2.6. Einspeisung! 27

2.7. Qualität der Spannung am Anschlusspunkt! 29

2.8. Erzeugerzählpfeilsystem und Verbraucherzählpfeilsystem! 30

2.9. Lastfluss im Netz! 30

2.10. Transformatoren! 33

2.11. Parallelbetrieb von Transformatoren! 35

2.12. Transformatoren im Netz! 36

2.13. Phasenschieber-Transformatoren! 37

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2.14. Hochspannungs-Gleichstromübertragung! 38

3. Erzeugung elektrischer Energie! 39

3.1. Erzeugungsanlagen im Niederspannungsnetz! 39

3.2. Erzeugungsanlagen im Mittelspannungsnetz! 40

3.3. Erzeugungsanlagen im Hochspannungs- und Übertragungsnetz! 41

3.4. Synchrongeneratoren! 42

3.5. Betriebsarten der Synchronmaschine! 44

3.6. Stabiler Betriebsbereich der Synchronmaschine! 46

3.7. Anlagen mit Wechselrichtern! 46

4. Speicherung elektrischer Energie! 48

4.1. Pumpspeicher! 48

4.2. Druckluftspeicher! 49

4.3. Schwungmassen! 49

4.4. Wärmespeicher! 50

4.5. Batteriespeicher! 50

4.6. Wasserstoffspeicher! 50

4.7. Kondensatorspeicher! 51

4.8. Magnetspeicher! 51

5. Verbraucher! 52

5.1. Antriebe! 52

5.2. Punktlast! 52

5.3. Mischlast! 53

5.4. Lastverhalten! 54

6. Spannungsregelung! 55

6.1. Regelbare Transformatoren! 55

6.2. Spannungsregler! 56

6.3. Regelbare Ortsnetztransformatoren! 58

6.4. Verteilte Regelung! 58

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7. Leistungsregelung! 60

7.1. Primärregelung! 60

7.2. Sekundärregelung! 61

7.3. Regelung im Verbundnetz! 62

7.4. Regelzonen im Verbundnetz! 63

7.5. Auswirkungen erneuerbarer Energien im Netz! 64

8. Klausuraufgaben! 66

8.1. Leistungsanpassung und Wirkungsgrad! 66

8.2. Drehstrom! 66

8.3. Kompensation! 67

8.4. Transformatoren im Netz! 67

8.5. Synchrongenerator! 69

8.6. Einschalten und Abschalten einer induktiven Last! 70

8.7. Regelbarer Ortsnetztransformator! 72

8.8. Synchronmaschine im Motorbetrieb ! 73

8.9. Umlage für Erneuerbare Energien! 74

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1. Grundlagen

1.9. Leistungsübertragung und WirkungsgradEine Gleichspannungsquelle mit Innenwiderstand R1 versorgt eine Last R2.

Frage 1.1.1: Berechnen Sie die von der Last R2 aufgenommene Leistung.

Lösung: P2 = u2 * i = u22 / R2.

Die Spannung u2 errechnet sich aus dem Spannungsteiler u2 / u1 = R2 / (R1 + R2).

Somit erhält man: ! P2 = u12 R2 / (R1 + R2)2.

Frage 1.1.2: Berechnen Sie die insgesamt von der Quelle abgegebene Leistung (an den Innenwider-stand und den Lastwiderstand).

Lösung: ! ! ! P1 = u1 * i = u12 / (R1 + R2).

Frage 1.1.3: Wirkungsgrad. Als Wirkungsgrad definiert man das Verhältnis der in der Last umge-setzten Leistung P2 zur Gesamtleistung P1. Berechnen Sie den Wirkungsgrad in Abhängigkeit von R1 und R2. Wann ist der Wirkungsgrad maximal?

Lösung: Aus Frage 1.1.1 und 1.1.2 erhält man für das Verhältnis

! ! ! η = P2 / P1 = R2 / (R1 + R2)

Der Wirkungsgrad ist umso größer, je geringer der Innenwiderstand R1 im Verhältnis zum Last-widerstand R2 ist. Im Sinne des Wirkungsgrades wird man also eine Quelle mit verhältnismäßig kleinem Innenwiderstand einzusetzen.

Frage 1.1.4: Übersetzen Sie diesen Zusammenhang auf die Netze zur elektrischen Energieversor-gung. Als Quelle (Erzeuger) dient hierbei ein Generator, die Rolle der Last spielen die Verbraucher. Zwischen Erzeuger und Verbraucher befindet sich das Leitungsnetz. Skizzieren Sie eine Ersatzschaltung mit Generator, Leitungsnetz und Verbraucher.

1.10.Wechselstrom oder Gleichstrom (AC/DC)Bei Gleichstrom berechnet sich die elektrische Leistung aus dem Produkt aus Strom und

Spannung. Bei Wechselstrom gilt dieser Zusammenhang ebenfalls, jedoch sind Strom und Spannung zeitanhängig, d.h. es gilt i(t) = î sin(ωt) und u(t)= û sin (ωt). Hierbei bedeuten î und û die Scheitelwerte von Strom und Spannung.

Frage 1.2.1: Berechnen Sie die elektrische Leistung p(t) = u(t) i(t). Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung p(t) in einem Diagramm.

Lösung: ! ! ! p(t) = u(t) i(t) = û sin(ωt) * î sin(ωt) = î û sin2(ωt)

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Aus einer Formelsammlung entnimmt man für sin2x:

! ! ! p(t) = î û (1 + sin (2ωt)) / 2

Frage 1.2.2: Berechnen Sie den Mittelwert P = ∫ p(t) dt der elektrischen Leistung. Stellen Sie den Mittelwert P in Ihrem Diagramm dar.

Lösung: Der Mittelwert der elektrischen Leistung ergibt sich aus der Formel bzw. Diagramm oben zu P = î û / 2. Die Leistung entspricht somit der Hälfte des Produktes aus den Scheitelwerten.

Frage 1.2.3: Führen Sie für Strom und Spannung Effektivwerte U und I ein, so dass gilt P = U I.

Lösung: Wenn man die Effektivwerte so definiert, dass:

! ! ! U = û / √2

! ! ! I = î / √2

Errechnet sich die mittlere Leistung wieder zu P = U I = î û / 2. Als Effektivwerte verwendet man also die auf Wurzel 2 normierten Scheitelwerte.

Frage 1.2.4: Ein Netz soll als Gleichstromnetz realisiert werden. In der Niederspannungsebene wird eine Spannung u2 = 230 V vom Leiter zum Nulleiter verwendet. Welche Leistung (bzw. Energie) kann das Netz an eine Last RL übertragen?

Lösung: Die Anordnung entspricht Aufgabe 1, siehe Skizze unten. Bei Gleichspannung ist die Spannung gleich der Scheitelspannung, d.h. u2 = û2 = 230V. Die von der Last aufgenommene Leistung beträgt:

! ! ! P2 = u2 * i = u22 / RL = û22 / RL

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Frage 1.2.5: Ein Netz soll als Wechselstromnetz realisiert werden. In der Niederspannungsebene wird eine Spannung mit dem Scheitelwert û = 230 V vom Leiter zum Nulleiter verwendet. Welche Leistung (bzw. Energie) kann das Netz an eine Last RL übertragen?

Lösung: Die Gleichspannungsquelle wird durch eine Wechselspannungsquelle mit gleichem Scheitelwert ersetzt, siehe Skizze oben. Bei Wechselspannung mit dem Scheitelwert û2 = 230V beträgt die von der Last aufgenommene Leistung beträgt:

! ! ! P2 = û2 * î / 2 = û22 / 2 RL

Frage 1.2.6: Betriebsmittel im Netz müssen auf die Scheitelwerte bemessen werden. Vergleichen Sie die bei gleicher Bemessung der Scheitelwerte das Wechselspannungsnetz mit dem Gleich-spannungsnetz. Welches Leistung (bzw. Energie) kann das jeweilige Netz übertragen? Welches Netz würden Sie zur Energieversorgung empfehlen?

Lösung: Im Wechselspannungsnetz wird bei vergleichbaren Scheitelwerten nur die Hälfte der Leistung von der Last aufgenommen bzw. übertragen. Ein Wechselspannungsnetz ist also nur halb so effizient wie ein Gleichspannungsnetz und somit nicht konkurrenzfähig.

1.11.DrehstromBei einem Drehstromsystem werden drei Wechselspannungen erzeugt, die jeweils 120 Grad in

der Phasenlage zueinander versetzt sind. Folgende Abbildung zeigt die drei Spannungen und das zur Übertragung benötigte Leitersystem.

Frage 1.3.1: Skizzieren Sie die Spannungen im dreiphasigen System.

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Lösung:

Frage 1.3.2: Bis auf die Phasenlage der Spannungen ist das system völlig symmetrisch aufgebaut. Berechnen Sie die von der jeweiligen Last aufgenommen mittlere Leistung in Abhängigkeit der Scheitelwerte der Spannungen. Welche Leistung ergibt sich insgesamt?

Lösung: Die Berechnung erfolgt genau wie bei Frage 2 (einfaches Wechselspannungsnetz). Pro Last RL ergibt sich eine mittlere Leistung

! ! PLi = ûLi * î / 2 = ûLi2 / 2 RL

Insgesamt wird die dreifache Leistung übertragen, d.h.

! ! Pdreh = 3 * PLi = 3 ûLi2 / 2 RL

Frage 1.3.3: Berechnen Sie die Summe der drei Spannungen im System. Wenn das System völlig symmetrisch aufgebaut ist, wird der Nulleiter zur Übertragung der Leistung im Netz benötigt?

Lösung: Im symmetrischen Fall summieren sich die Spannungen (und somit die Ströme) der drei Phasen stets zu Null. Der Nullleiter wird also zur Übertragung im Netz nicht benötigt. Drei Leitungen zur Übertragung der 3 Phasen genügen.

Frage 1.3.4: Vergleichen Sie im Sinne einer betriebswirtschaftlichen Kalkulation die im Netz pro Leiter übertragene Leistung des 3-phasigen Wechselspannungnetzes mit der pro Leitung übertrag-baren Leistung eines Gleichspannungsnetzes. Welches Netz überträgt Leistung effizienter?

Lösung: Pro Leiter überträgt

! ! das Drehstromnetz: ! PLi = ûLi * î / 2 = ûLi2 / 2 RL

! ! das Gleichstromnetz: ! PLi = ûLi * î / 2 = ûLi2 / 2 RL

Betriebswirtschaftlich betrachtet (Aufwand bzw. übertragene Leistung pro Leiter) sind beide Lösungen also gleichwertig.

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Frage 1.3.5: Folgende Abbildung zeigt Leitungsbilder aus elektrischen Energieversorgungsnetzen. Wozu dienen diese Anordnungen? Erläutern Sie den Aufbau.

Frage 1.3.6: In einigen Fällen wird Gleichspannung zur Übertragung eingesetzt (HGÜ, die sogenannte Hochspannungs-Gleichstrom-Übertragung). Welchen Zweck verfolgt man hiermit? An welchen Eigenschaften könnte man ein Interesse haben?

1.12.BlindleistungWenn man in der Schaltung aus Frage 1.2 eine Induktivität LL anstelle des Lastwiderstandes RL

als Verbraucher anschliesst, ergibt sich für Spannung und Strom der folgende Verlauf.

Frage 1.4.1: Der Strom eilt der Spannung um 90 Grad (gleich π/2) nach. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Leistung sowie den Mittelwert der am Verbraucher (Induktivität L) umgesetzten Leistung.

Lösung: Die Leistung p(t) = u(t) * i(t) pendelt periodisch um den Wert Null (siehe Abbildung oben). Somit beträgt die mittlere Leistung Null. Die Induktivität nimmt keine Leistung auf.

Frage 1.4.2: Die Ersatzschaltung zu Frage 1.4.1 entspricht folgender Abbildung im Teil A links. Würde denn im Netz (d.h. vom Ersatzwiderstand R1) Leistung aufgenommen werden? Falls ja, was geschieht mit dieser Leistung?

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Lösung: Ja. Obwohl die Last als ideale Induktivität im zeitlichen Mittel keine Leistung aufnimmt, sind Strom i(t) und die Spannung uR1(t) über dem ohmschen Widerstand R1 in Phase. Somit beträgt der Mittelwert der an R1 umgesetzte Leistung PR1 = ûR1 * î / 2 = ûR12 / 2 R1. Im Netz stellt R1 den ohmschen Widerstand der Leitung dar. Die hier umgesetzte elektrische Leistung erwärmt die Leitung.

Frage 1.4.3: Rechnen mit Effektivwerten. Stellen Sie u(t) und i(t) mit den Scheitelwerten û und î als Effektivwerte U und I dar. Berechnen Sie hieraus das Produkt von U und I. Welche Bedeutung hat das Produkt der Effektivwerte U2 * I?

Lösung: Für die periodischen Signale u2(t) = û2 sin(ωt) und i(t) = î sin(ωt) ergibt sich in der Schreibweise mit den Effektivwerten U2 und I:

! ! ! u2(t) = û2 sin(ωt) = U2 √2 sin(ωt)

! ! ! i(t) = î sin(ωt) = I √2 sin(ωt - π/2)

Für das Produkt p(t) = u(t) * i(t) erhält man somit:

! ! ! p(t) = u2(t) i(t) = U2 √2 sin(ωt) * I √2 sin(ωt - π/2)

! ! ! p(t) = 2 * U2 * I * sin(ωt) * sin(ωt - π/2) = - U2 * I * sin(2ωt)

Das Produkt U * I gibt mit Blick in den zeitlichen Verlauf von u2(t), i(t) und p(t) somit den Betrag (die Amplitude) der periodisch veränderlichen Leistung p(t) wieder. Dieser Betrag hat den Wert U2*I = û2 * î / 2, wie in der Abbildung zu erkennen (wegen û2 =1 und î = 1 ergibt sich als Amplitude 1/2).

Frage 1.4.4: Blindleistung. Die Phasenlage von Strom und Spannung bestimmt den Mittelwert der elektrischen Leistung. Sind Strom und Spannung zueinander im 90 Grad versetzt (gleich π/2), beträgt die mittlere Leistung Null. In diesem Fall bezeichnet man das Produkt der Effektivwerte als Blindleistung Q = U2 * I. Experimentieren Sie mit der Phasenlage zwischen Strom und Spannung und berechnen sie die Zeitverläufe wie in der Abbildung eingangs zu Frage 1.4. Wie groß ist der jeweilige Anteil der Blindleistung?

Frage 1.4.5: Fall B. Berechnen Sie die Zeitverläufe u2(t), i(t) und p(t) für den Fall B. Welche Leistung wird von der kapazitiven Last aufgenommen?

Frage 1.4.6: Fall C. Berechnen Sie die Zeitverläufe u2(t), i(t) und p(t) für den Fall C. Nehmen Sie hierfür an, dass Lastwiderstand RL und Induktivität LL so gewählt sind, dass sich zwischen Spannung u2(t) und Strom i(t) -45 Grad (gleich -π/4) beträgt (d.h. der Strom eilt der Spannung um diesen Betrag nach). Welche Leistung wird von der Last aufgenommen (Wirkleistung)? Wie groß ist die Blindleistung?

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1.13.Darstellung als Zeiger (Phasoren)Berechnungen mit periodischen, harmonischen Größen konstanter Frequenz lassen sich erheb-

lich vereinfachen, indem die periodische Änderung als Drehbewegung interpretiert. Die Phasenlage zwischen zwei Größen lässt sich dann mit Hilfe eines Zeigers darstellen. Folgende Abbildung beschreibt das Prinzip.

Frage 1.5.1: In der oben gezeigten Abbildung sei ω die konstante Geschwindigkeit, mit der sich der Winkel ändert. Es gilt: φ(t) = ωt + φ0. Hierbei bezeichnet φ0 den Winkel φ(t) zum Zeitpunkt t=0. Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf y(t) der Projektion des Zeigers der Länge ŷ auf die y-Achse, wenn der Zeiger sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit im Kreis bewegt.

Lösung: ! ! ! y(t) = ŷ * sin (ωt + φ0).

Frage 1.5.2: Beschreiben Sie den Zeiger Yz(t) als komplexe Zahl.

Lösung: ! ! ! Yz(t) = ŷ * e j(ωt + φ0)

Frage 1.5.3: Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem komplexen Zeiger und der Projektion auf die y- Achse?

Lösung: ! ! ! Yz(t) = ŷ * e j(ωt + φ0) = ŷ cos(ωt + φ0) + j ŷ sin (ωt + φ0).

Die Schreibweise die Projektionen auf die x-Achse und y-Achse wieder, wobei diese Achsen jetzt als reelle Achse und imaginäre Achse in der komplexen Ebene interpretiert werden.

Frage 1.5.4: Phasenlage zwischen zwei Zeigern. Folgende Abbildung zeigt zwei Zeiger Uz(t) und Iz(t).

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! Beide Zeiger werden mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω im Kreis bewegt. Zwischen den beiden Zeigern besteht eine konstante Phasenverschiebung φ0. Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Projektionen der Zeiger auf der Zeitachse (rechts in der Abbildung). Beschreiben Sie beide Zeiger als komplexe Zahlen.

Lösung: Zeitlicher Verlauf: Der Strom eilt der Spannung um den Winkel φ0 nach. Mathema-tische Beschreibung: ! ! Uz(t) = Û * e j(ωt + 0) = U * e jωt

! ! ! Iz(t) = Î * e j(ωt + φ0) = I * e jωt

Hierbei enthalten die komplexen Zeiger U und I nur die konstante Phasenlage:

! ! ! U = Û

! ! ! I = Î * e j φ0

Die zeitliche Abhängigkeit (periodische Drehbewegung) wird hierdurch eliminiert. Es verbleiben nur die Phasen und Amplituden. Zeiger dieser Art werden auch als Phasoren bezeichnet.

Frage 1.5.5: Zeigerdiagramme. Erstellen Sie Zeigerdiagramme für die Schaltungen aus Frage 1.1.4 für die Fälle A, B und C unter Verwendung der Phasorenschreibweise.

Frage 1.5.6: Ermitteln Sie aus den Zeigerdiagrammen von Strom und Spannung für die Schaltungen aus Frage 1.1.4 die Wirkleistung und Blindleistung.

1.14.Zeiger im DrehstromsystemZwischen Leiter und Nullleiter eines Drehstromsystems ist jeweils eine Last ZL = R + jX ange-

schlossen, wie in der folgenden Abbildung links gezeigt. Die Spannungen zwischen den Phasen und dem Nulleiter sind als Effektivwerte gegeben. Das System ist symmetrisch, d.h. die Beträge der Pha-sen sind gleich und die Phasenwinkel jeweils 120 Grad versetzt.

Frage 1.6.1: Berechnen Sie die elektrische Leistung sowie die Blindleistung für das auf der linken Seite gezeigte System (Sternschaltung).

Frage 1.6.2: Ergänzen Sie im Zeigerdiagramm für die Sternschaltung die Ströme für eine induktive bzw. für eine kapazitive Last. Wie groß ist der Strom im Nullleiter?

Frage 1.6.3: Berechnen Sie die elektrische Leistung sowie die Blindleistung für das auf der rechten Seite gezeigte System (Dreieckschaltung). Vergleichen Sie die Leistung mit der Sternschaltung.

Frage 1.6.2: Ergänzen Sie im Zeigerdiagramm für die Dreieckschaltung die Ströme für eine induktive bzw. für eine kapazitive Last. Wie groß ist der Strom im Nullleiter?

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1.15.Elektrische LeitungenMit Hilfe elektrischer Leitungen wird Leistung (bzw. Energie) über große Entfernungen trans-

portiert. Die Leitung stellt das Medium für die Ausbreitung der elektrischen Spannung bzw. des elek-trischen Stromes dar. Die Leitung transportiert jede Form von Spannungen und Strömen, das heisst auch Einschaltvorgänge, Störungen durch Blitzeinschlag, sowie Wechselspannung.

Für eine Wechselspannung breiten sich im eingeschwungenen Zustand die Spannungswelle und Stromwelle auf der Leitung aus, wie in der folgenden Abbildung dargestellt. Die gestrichelten Linien zeigen hierbei die zu einem späteren Zeitpunkt weiter fortgeschrittene Spannungswelle bzw. Stromwelle. Mit der Fortbewegung der Spannungswelle und Stromwelle transportiert die Welle Energie in Ausbreitungsrichtung.

z

u(z,t)

i(z,t)

Ausbreitung der Spannungswelle und Stromwelle

Die bisher diskutierte, ungestörte Ausbreitung der Spannungswellen und Stromwellen gilt unter der Annahme, dass das Ausbreitungsmedium unbegrenzt ist, also für unendlich lange Leitungen. In diesem Fall nimmt ein Generator, der wie in der Abbildung unten gezeigt, eine Spannung an den Anfang z=0 in die Leitung einspeist. Die Leitung wird hierbei repräsentiert durch Ihren Wellen-widerstand RW.

RW~

Rwuq u0

i0

z

Gespeiste unendlich ausgedehnte Leitung

Die Leitung wird in diesem Beispiel als verlustfrei angenommen. Der Wellenwiderstand ist eine Materialeigenschaft der Leitung. Er entspricht dem Verhältnis der Amplitude der Spannungswelle zur Amplitude der Stromwelle auf der Leitung. Berechnen lässt sich der Wellenwiderstand aus dem Kapazitätsbelag C‘ der Leitung (Kapazität pro Meter) und dem Induktivitätsbelag der Leitung L‘ (Induktivität pro Meter) aus:

! ! ! RW = √ (L´/ C´)! ! ! ! ! ! (1.7.1)

Aus den gleichen Materialeigenschaften berechnet sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu:

! ! ! v = 1/ √ (L´* C´)! ! ! ! ! (1.7.2)

Frage 1.7.1: Materialeigenschaften. Eine Leitung hat einen Induktivitätsbelag L‘ = 800 mH/km und einen Kapazitätsbelag von C‘ = 15 nF/km. Berechnen Sie den Wellenwiderstand und die Ausbrei-tungsgeschwindigkeit.

Lösung: L‘ = 800 mH/km = 800 10-6 Vs/Akm; C‘ = 15 10-9 As/Vkm. Hieraus erhält man:

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! ! ! L‘ / C‘ = (800 / 15) *103 V2/A2

! ! ! L‘ * C‘ = 800 * 15 * 10-21 s2/m2

Hieraus errechnen sich gemäß (1.7.1) und (1.7.2):

! ! ! RW = √ (L´/ C´) = 231 Ω

! ! ! v = 1/ √ (L´* C´) = 289 *106 m/s

Im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit im Freiraum von c ≈ 300 106 m/s breiten sich Wellen also etwas langsamer aus.

Frage 1.7.2: Einschaltvorgang. Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannung der uq(t) Quelle von Null auf den konstanten Wert û angehoben. Welcher Wert ergibt sich für u0(t)? Skizzieren Sie den zeit-lichen Verlauf der Spannung über der Leitung u(t, z).

Frage 1.7.3: Spannungspuls. Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein kurzer Spannungspuls der Höhe û auf die Leitung gegeben. Welcher Wert ergibt sich für u0(t)? Skizzieren Sie den zeit-lichen Verlauf der Spannung über der Leitung u(t, z).

Frage 1.7.4: Harmonische Spannung. Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine periodische Spannung uq(t) = û sin(ωt) auf die Leitung gegeben. Welcher Wert ergibt sich für u0(t)? Skizzieren Sie den zeit-lichen Verlauf der Spannung über der Leitung u(t, z).

1.16.Anpassung an die LeitungseigenschaftenDer Idealfall einer unendlich langen Leitung lässt sich durch ein Ersatzschaltbild wiedergeben,

bei dem die unendlich lange, verlustlose Leitung durch ihren Wellenwiderstand repräsentiert ist. Als Folgerung sollten sich also auch Verhältnisse nachbilden lassen, bei denen die Leitung endlich ist und durch einen Lastwiderstand abgeschlossen ist. Zunächst word vorausgesetzt, dass als Abschluss-widerstand eine ohmsche Last der Grösse des Wellenwiderstandes verwendet wird. Die Leitung besitzt die gleichen Eigenschaften wie in Frage 1.7.

~

Rwuq RW

i0

u0RW~

Rwuq u0

i0

RW

Ersatzschaltbild der Leitung im angepassten Fall (Abschlusswiderstand gleich Wellenwiderstand)

Frage 1.8.1: Laufzeit. Die Länge der Leitung beträgt 28,9 km. Wie lange benötigt ein Signal, um von einem Ende der Leitung bis zum anderen Ende zu laufen? Wäre diese Laufzeit messbar?

Frage 1.8.2: Einschaltvorgang. Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannung der uq(t) Quelle von Null auf den konstanten Wert û angehoben. Welcher Wert ergibt sich für u0(t)? Skizzieren Sie den zeit-lichen Verlauf der Spannung über der Leitung u(t, z). Ist das Ende der Leitung von der Welle ausgesehen erkennbar? Was genau geschieht am Ende der Leitung?

Frage 1.8.3: Spannungspuls. Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein kurzer Spannungspuls der Höhe û auf die Leitung gegeben. Welcher Wert ergibt sich für u0(t)? Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung über der Leitung u(t, z). Was genau geschieht am Ende der Leitung?

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Frage 1.8.4: Wenn man an den Laufzeiten kein Interesse hat, lässt sich die Ersatzschaltung wie links in der Abbildung vereinfachen. Erläutern Sie, wie dieses Ersatzschaltbild die Leitung für folgende Fälle repräsentiert: (1) aus Sicht der Einspeisung (Eingangsimpedanz), (2) aus Sicht der Last (Netzimpedanz).

Frage 1.8.5: Harmonische Spannung. Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine periodische Spannung uq(t) = û sin(ωt) auf die Leitung gegeben. Welcher Wert ergibt sich für u0(t)? Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung über der Leitung u(t, z).

Frage 1.8.6: Harmonische Spannung. Welchen Einfluss hat die willkürlich gewählte Entfernung z auf die Phasenlage der Spannung u(t, z) am Leitungsanfang zur Stelle u(t, 0)? Welcher Phasenunterschied ergibt sich zwischen Ende und Anfang der Leitung? Wie ändert sich dieser Phasenunterschied mit der Leitungslänge? Welcher Unterschied der Phasenlage ergibt sich zwischen Spannung und Strom, z.B. am Ende der Leitung?

1.17.Transiente Vorgänge bei endlicher LeitungFolgende Abbildung zeigt die Anordnung für einen Einschaltvorgang bei einer endlichen Lei-

tung. Die Leitung besitzt den Wellenwiderstand RW und am Endpunkt b ist abgeschlossen mit der Last RL. Der Leitungsanfang an der Stelle a wird gespeist von einer Quelle mit Innenwiderstand R1.

RW

R1u1 ua RLub

! Es wird ein Satellitenkabel der Länge 246 m verwendet. Im Datenblatt sind als Wellenwider-stand RW = 75 Ohm und als Ausbreitungsgeschwindigkeit v = 82% der Lichtgeschwindigkeit im Freiraum angegeben. Außerdem finden sich als Kapazitätsbelag ein Wert von 53 pF/m. Der Innenwiderstand der Quelle beträgt R1 = 10 Ohm, ebenso der Lastwiderstand RL = 10 Ohm.

Frage 1.9.1: Welche Laufzeit T hat die Signalflanke beim Einschalten von a nach b?

Lösung: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beträgt

! ! ! v = 82% c = 0,82 * 300 * 106 m/s = 246 * 106 m/s.

Somit benötigt der Durchlauf von 246 m eine Mikrosekunde, d.h. T = 1 us.

Frage 1.9.2: Welcher Signalpegel ub(t) ergibt sich am Leitungsende im eingeschwungenen Zustand (d.h. Für t ≫ T)? Hinweis: Was erwarten Sie als Praktiker?

Lösung: Der Praktiker erwartet beim Anschluss einer Last von 10 Ω an einer Gleichspannungs-quelle mit Innenwiderstand 10 Ω über eine wie immer geartete, verlustlose Leitung nach der Span-nungsteilerregel eine Spannung von ua = ub = u1 / 2. Auf diesen Wert schwingt sich der Pegel ein.

Frage 1.9.3: Welchen Signalpegel hat die Spannung ua(t) unmittelbar nach dem Einschalten?

Lösung: Unmittelbar nach dem Einschalten (d.h. 0 < t < T) ist das Ende der Leitung noch nicht absehbar. Die einlaufende Spannungswelle sieht den Wellenwiderstand der Leitung von 75 Ω. Nach der Spannungsteilerregel beträgt ua(t) unmittelbar nach dem Einschalten somit

! ! ! ua(t) = 75 / 85 u1 = 0,88 u1

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Frage 1.9.4: Auf welche Weise kommt der Übergang von Zustand unmittelbar nach dem Einschalten bis zum eingeschwungenen Zustand zustande? Hinweis: An den Leitungsenden treten Refle-xionen auf. Erklären Sie hiermit den Übergang.

Lösung: Der Übergang kommt durch fortgesetzte Reflexionen zustande.

Frage 1.9.5: Unter dem Reflexionsfaktor versteht man den Anteil der reflektierten Spannungswelle im Verhältnis zur einlaufenden Spannungswelle, siehe folgende Abbildung.

RW Rb

Reflexionsfaktor

Ub

rb

x

yz

a b

Ib

! Der Reflexionsfaktor für die Spannungswelle am Ende der Leitung ergibt sich aus dem Abschlusswiderstand RL und dem Wellenwiderstand RW der Leitung:

! ! ! ! rb = (Rb - Rw) / (Rb + Rw)! ! ! ! (1.9.1)

! Für die reflektierte Spannungswelle ergibt sich am Leitungsanfang wiederum ein Reflexions-faktor:

! ! ! ! ra = (R1 - Rw) / (R1 + Rw)! ! ! ! (1.9.2)

! Berechnen Sie die Reflexionsfaktoren am Leitungsende und am Leitungsanfang. Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Spannungen am Leitungsanfang und Leitungsende vom Zeitpunkt des Einschaltens bis zum eingeschwungenen Zustand.

Lösung: Der Reflexionsfaktor ergibt sich in beiden Fällen zu rb = ra = -0,76. Jeweils dieser Anteil wird reflektiert. Die neue Wellenfront ergibt sich aus der Überlagerung der einlaufenden und

Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 17/89

reflektierten Anteile. Für die Spannungen am Eingang und Ausgang ergibt sich im Intervall T folgende Reihe bis zum eingeschwungenen Zustand:

! ! Intervall: ! Spannungen:! !

! ! 0 < t < T! ua / u1 = 0,88 ! ⇒! ub / u1 = 0

! ! T < t < 2T! ua / u1 = 0,88 ! ⇐! ub / u1 = 0,21 ! !

! ! 2T < t < 3T! ua / u1 = 0,63 ! ⇒! ub / u1 = 0,21

! ! 3T < t < 4T! ua / u1 = 0,63 ! ⇐! ub / u1 = 0,58 ! !

! ! ...! ! ...! ! ! ...

! ! t ≫ T! ! ua / u1 = 0,5 ! ! ub / u1 = 0,5.

Zum Experimentieren finden sich hier ein Excel-Kalkulationsblatt.

Frage 1.9.6: Welcher Anteil der Spannungswelle wird bei am Ende kurzgeschlossener Leitung reflektiert? Wie groß ist die resultierende Wellenfront? Welcher Anteil der Stromwelle wird in diesem Fall reflektiert? Wie groß ist die resultierende Wellenfront? Welchen Wert erhält man im eingeschwungenen Zustand? Beantworten Sie die gleichen Fragen für den Fall einer am Ende kurzgeschlossenen Leitung.

1.18.Eingeschwungener Zustand bei Wechselspannung und endlicher LeitungBei der Reflexion und Überlagerung von harmonischen Spannungswellen (bzw. Stromwellen)

ergibt sich eine Mischung aus stehende Wellen und fortschreitenden Wellen. Bei Totalreflexion ist der Anteil der fortschreitenden Wellen gleich null, man erhält nur stehende Wellen.

Reflexionen bei offener und kurzgeschlossener Leitung

Frage 1.10.1: Totalreflexion am Kurzschluss. Welchen Wert hat die resultierende Spannung am Lei-tungsende? Was folgt hieraus für den Betrag der hinlaufenden und reflektierten Spannungs-welle, sowie für den Reflexionsfaktor? Welchen Wert hat der resultierende Strom am Leitungs-ende? Was folgt hieraus für den Betrag der hinlaufenden und reflektierten Stromwelle?

Lösung: Spannung: Bei Kurzschluss am Leitungsende ist die resultierende Spannung ub(t) an dieser Stelle gleich Null. Es entsteht ein Spannungsnoten. Für die Überlagerung der reflektierten Spannungswelle mit der eintreffenden Spannungswelle bedeutet dies, dass sich beide an dieser Stelle auslöschen: die reflektierte Welle hat also umgekehrtes Vorzeichen wie die einlaufende Welle. Hieraus errechnet sich der Reflexionsfaktor rb = - 1 (da dieser als Verhältnis der Amplituden von reflektierter zur eintreffenden Spannungswelle definiert ist).

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http://wwwlehre.dhbw-stuttgart.de/~srupp/DHBW_4/resources/Reflexionen.xlsxhttp://wwwlehre.dhbw-stuttgart.de/~srupp/DHBW_4/resources/Reflexionen.xlsx

Strom: Bei Kurzschluss am Leitungsende ist der resultierende Strom ib(t) an dieser Stelle maximal. Im Sinne einer stehenden Welle entsteht ein Wellenbauch. Für die Überlagerung der reflektierten Stromwelle mit der eintreffenden Stromwelle bedeutet dies, dass sich beide an dieser Stelle verstärken: die reflektierte Welle hat also gleiches Vorzeichen wie die einlaufende Welle, die Amplitude an dieser Stelle verdoppelt sich.

Frage 1.10.2: Totalreflexion an der offenen Leitung. Welchen Wert hat die resultierende Spannung am Leitungsende? Was folgt hieraus für den Betrag der hinlaufenden und reflektierten Spannungs-welle, sowie für den Reflexionsfaktor? Welchen Wert hat der resultierende Strom am Leitungs-ende? Was folgt hieraus für den Betrag der hinlaufenden und reflektierten Stromwelle?

Lösung: Spannung: Bei offenem Leitungsende ist die resultierende Spannung ub(t) an dieser Stelle maximal. Es entsteht ein Spannungsbauch im Sinne einer stehenden Welle. Für die Überlagerung der reflektierten Spannungswelle mit der eintreffenden Spannungswelle bedeutet dies, dass sich beide an dieser Stelle verstärken: die reflektierte Welle hat also gleiches Vorzeichen wie die einlaufende Welle. Hieraus errechnet sich der Reflexionsfaktor rb = 1. Strom: folgt sinngemäß als Stromknoten, d.h. am offenen Ende der Leitung ist der resultierende Strom gleich Null.

Frage 1.10.3: Reflexion mit gegebenem Reflexionsfaktor. Der Reflexionsfaktor rb für die Spannungs-welle am Leitungsende bewegt sich irgendwo zwischen den Extremen rb = -1 (Kurzschluss) und rb = 1 (offene Leitung). Nehmen Sie einen beliebigen Wert für rb an. Skizzieren Sie den Verlauf der Überlagerung der resultierenden stehenden Welle mit der fortschreitenden Welle über dem Leitungsabschnitt für den Fall, dass man mit Hilfe einer Spannungssonde zeitliche Mittelwerte erfasst. Zusatzfrage: Welche Verhältnisse ergeben sich für den Fall rb = 0? Wie lässt sich dieser spezielle Fall durch Beschaltung am Leitungsende realisieren?

Frage 1.10.4: Änderung der Eingangsimpedanz durch Reflexionen am Leitungsende. Für den Fall, dass man die zeitlichen Mittelwerte von Spannung Ua und Strom Ia am Leitungsanfang mess-technisch ermitteln könnte, schätzen Sie die hieraus errechnete Impedanz Ra = Ua / Ia für die folgenden Fälle: (1) Kurzschluss am Leitungsende, (2) offene Leitung. Verwenden Sie folgende Annahmen: (a) im Verhältnis zur Wellenlänge λ sehr kurze Leitung der Länge l = λ/100, (b) Leitung der Länge einer Viertelwelle, d.h. l = λ/4. Hinweis: Verwenden Sie zur qualitativen Abschätzung die Abbildung unter Frage 1.10 und detaillieren Sie den Verlauf am Leitungsende.

1.19.Effekte der Wellenausbreitung im NetzIn der Energietechnik wird Wechselstrom mit einer Frequenz von 50 Hz (in Europa) oder 60 Hz

(in Amerika) eingesetzt. Diese Frequenz ist von Anwendungen aus der Hochfrequenz weit entfernt. Dennoch entstehen im Leitungsnetz Effekte der Wellenausbreitung, da die Leitungen gemessen an der Wellenlänge ebenfalls sehr lang sind. Solche Effekte ergeben sich immer, wenn die technische Realisierung eines Gerätes oder Netzes in die Größenordnung der Wellenlänge (bzw. der Viertel-wellenlänge) kommt.

Frage 1.11.1: Berechnen Sie die Wellenlänge der Wechselspannung mit 50 Hz mit einer Ausbrei-tungsgeschwindigkeit von 290 * 106 m/s für die Leitung.

Frage 1.11.2: Bei welchen Leitungslängen rechnen Sie mit Effekten der Wellenausbreitung? Welche Effekte vermuten Sie?

Frage 1.11.3: Eine mit 50 Hz betriebene Übertragungsleitung hat die Länge λ/4. Am Ende der Leitung ist ein Kurzschluss entstanden. Welche Eingangsimpedanz misst man am Anfang der Leitung?

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Frage 1.11.4: Eine mit 50 Hz betriebene Übertragungsleitung hat die Länge λ/4. Die Leitung läuft leer, d.h. die Last am Ende der Leitung hat eine im Verhältnis zum Wellenwiderstand der Leitung sehr hohe Impedanz. Welche Eingangsimpedanz misst man am Anfang der Leitung?

Frage 1.11.5: Welche Länge hätte eine λ/4 - Leitung in der elektrischen Energieversorgung? Welche Effekte ergeben sich für die Eingangsimpedanz bereits bei kürzeren Leitungen? Wie hängen diese Effekte von der Lastsituation ab (geringe Last, bzw. hohe Last)? Wie lassen sich diese Effekte vermeiden?

Frage 1.11.6: Hätte man in einem Gleichstromnetz die gleichen Effekte? Wenn nein, was spricht gegen Gleichstromnetze in der elektrischen Energieversorgung? Wo werden Gleichstrom-Strecken sinnvoll eingesetzt?

1.20.Zwei Spannungsquellen im NetzFolgende Abbildung zeigt ein Netz bestehen aus einer Last mit zwei Spannungsquellen. Ein

Anwendungsfall wäre beispielsweise ein Erzeuger im Netz in Ergänzung der Netzspannung.

Frage 1.12.1: Es seien U1 = 230 V und U2 = 240 V. Ergänzen Sie den Strom in der Skizze, sowie die Spannung, die über dem Widerstand abfällt. Welche Spannung fällt über dem Widerstand ab? Überprüfen Sie Ihre Skizze mit Hilfe der Maschenregel. Welche Quelle speist den Widerstand? Wie ist der Lastfluss (in welche Richtung fliesst elektrische Leistung)?

Frage 1.12.2: Es seien U1 = 230 V und U2 = 220 V. Ergänzen Sie den Strom in der Skizze, sowie die Spannung, die über dem Widerstand abfällt. Welche Spannung fällt über dem Widerstand ab? Welche Quelle speist den Widerstand? Wie ist der Lastfluss (in welche Richtung fliesst elektrische Leistung)?

Frage 1.12.3: Es seien U1 = - 230 V und U2 = - 240 V. Ergänzen Sie den Strom in der Skizze, sowie die Spannung, die über dem Widerstand abfällt. Welche Spannung fällt über dem Widerstand ab? Überprüfen Sie Ihre Skizze mit Hilfe der Maschenregel. Welche Quelle speist den Widerstand? Wie ist der Lastfluss (in welche Richtung fliesst elektrische Leistung)?

Frage 1.12.4: Es seien U1 = - 230 V und U2 = - 220 V. Ergänzen Sie den Strom in der Skizze, sowie die Spannung, die über dem Widerstand abfällt. Welche Spannung fällt über dem Widerstand ab? Welche Quelle speist den Widerstand? Wie ist der Lastfluss (in welche Richtung fliesst elektrische Leistung)?

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S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 20/89

2. Übertragung elektrischer Energie

2.9. Ersatzschaltbild der LeitungDer Energietechniker verwendet für Leitungen vereinfachte Modelle und Begriffe wie natürliche

Leistung, Blindleistung und Leistungsfaktor. Für die in aller Regel im Verhältnis zur Wellenlänge kurze Leitung wird folgendes vereinfachtes Ersatzschaltbild verwendet.

Bild 2.1 Ersatzschaltbild der Leitung mit Einspeisung und Last

Die Leitung hat den Widerstandsbelag R‘, den Induktivitätsbelag L‘, sowie den Kapazitätsbelag C‘. Der Kapazitätsbelag ist in der PI-Ersatzschaltung zu gleichen Anteilen an den Leitungsenden angeordnet. Die Beträge R‘, L‘ und C‘ erhöhen sich mit der Länge der Leitung. Die Leitung wird gespeist von einer Quelle UN mit dem Innenwiderstand ZN (wobei das Kürzel N für Netz steht). Die Leitung ist abgeschlossen mit der Lastimpedanz ZL (mit dem Kürzel L für Last).

Frage 2.1.1: Für die Leitung seien folgende Parameter angenommen: Länge l = 10 km, R‘ = 0 (verlustlose Leitung), C‘ = 15 nF/km, L‘= 800 μH/km. Skizzieren Sie das Ersatzschaltbild der verlustlosen Leitung.

Lösung:

Frage 2.1.2: Die Last sei rein ohmsch, d.h. ZL = RL. Es sollen folgender Betriebsfall untersucht werden: starke Last, d.h. hoher Laststrom. Wie vereinfacht sich das Ersatzschaltbild?

Frage 2.1.3: Die Last sei rein ohmsch, d.h. ZL = RL. Als Betriebsfall soll schwache Last untersucht werden, d.h. geringer Laststrom. Wie vereinfacht sich das Ersatzschaltbild in diesem Fall?

Lösung (zu 2.1.2 und 2.1.3):

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Frage 2.1.4: Wie verhält sich in beiden Betriebsfällen der Strom am Anfang der Leitung im Verhältnis zur Netzspannung? Erstellen Sie Zeigerdiagramme für Ströme und Spannungen für beide Betriebsfälle. Eilt der Strom der Netzspannung vor oder umgekehrt? Hinweis: Verwenden Sie die vereinfachten Ersatzschaltbilder.

Lösung:

Frage 2.1.5: Berechnen Sie den Wellenwiderstand RW der Leitung. Skizzieren Sie das Ersatzschaltbild der verlustlosen Leitung mit Hilfe des Wellenwiderstandes.

Frage 2.1.6: Als Lastfälle seien wiederum vorgegeben: (1) starke Last, d.h. RL < RW, (2) schwache Last, d.h. RL > RW. Wie verhält sich die Spannung am Leitungsanfang für die gegebenen Fälle? Argumentieren Sie mit Hilfe des Reflexionsfaktors (siehe Abschnitt 1, Grundlagen).

2.10.Verhalten von Leitungen im NetzDas Ersatzschaltbild der Leitung soll nun ohne Vereinfachungen aus folgenden Perspektiven

betrachtet werden: (1) Aus Sicht des Netzes (die Leitung wird zur Last gerechnet), (2) aus Sicht der Last (die Leitung wird zum Netz gerechnet. Hierfür ergeben sich die folgenden Ersatzschaltbilder.

Bild 2.2: Leitung aus Sicht des Netzes und aus Sicht der Last

Frage 2.2.1: Sicht des Netzes. Berechnen Sie die Last Z‘L gemäß Ersatzschaltbild in Abhängigkeit der Leitungslänge. Hinweis: Die Last kann als ohmsche Last ZL = RL angenommen werden.

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S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 22/89

Lösung: Z‘L = (C‘ l / 2 ) // ( R + jωL‘ l + (RL // C‘l/2)), wobei „//“ für Parallelschaltung steht.

Frage 2.2.2: Sicht der Last. Berechnen Sie die Impedanz des Netzes Last Z‘N gemäß Ersatzschaltbild in Abhängigkeit der Leitungslänge. Hinweis: Der Innenwiderstand des Netzes kann als ohmsche Last ZN = RN angenommen werden.

Frage 2.2.3: Berechnen Sie den Einfluss der Leitungslänge (zunehmend längere Leitung) für die beiden Betriebsfälle Starklast und Schwachlast aus Sicht des Last. Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar.

Frage 2.2.4: Wie benimmt sich eine Leitung unter Schwachlast bzw. Schwachlast? Diskutieren Sie das Verhalten und den Einfluss der Leitungslänge aus Sicht des Netzes und aus Sicht der Last.

Frage 2.2.5: Auf Seite der Last und auf Seite des Netzes spielt die Einhaltung der Spannung eine Rolle. Welchen Einfluss hat die Leitung auf die Spannung? Diskutieren Sie den Einfluss der Leitung auf die Spannung bei Schwachlast und Starklast.

Frage 2.2.6: Berechnen Sie die Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung für beide Betriebsfälle. Verwenden Sie den Zusammenhang S = P + jQ = U I*, wobei I* den konjugiert komplexen Stromzeiger (Phasor) bezeichnet, und U und I die Effektivwerte von Spannung und Strom.

2.11. Transientes Verhalten einer induktiven LastEine Spannungsquelle mit Innenwiderstand R0 wird mit einer Wirklast Rb und einer induktiven

Last Lb betrieben, wie in folgender Abbildung gezeigt.

R0

u0Rb

x

Lb

Leistungsschalter

Frage 2.3.1: Erstellen Sie die Differenzialgleichung der Schaltung. Hinweis: Geben Sie bitte Zählpfeile für Strom und Spannung vor, aus denen sich die Vorzeichen ableiten lassen.

Lösung: u0 = uR0 + uRb + uLb = (R0 + Rb) i + Lb di/dt

Frage 2.3.2: Es wird eine Gleichspannungsquelle u0 verwendet. Zum Zeitpunkt t = t0 wird die Span-nungsquelle eingeschaltet (durch Schließen des vorher geöffneten Leistungsschalters). Skiz-zieren Sie den Verlauf des Stroms, den Spannungsverlauf über der Induktivität, sowie den Spannungsverlauf über der Last (Rb und Lb) auf der Zeitachse.

Frage 2.3.3: Die Schaltung wird mit Gleichspannung betrieben. Im eingeschwungenen Zustand wird der Leistungsschalter zur Unterbrechung des Stromes zum Zeitpunkt t = t1 geöffnet, es entsteht ein Lichtbogen im Leistungsschalter. Wie groß muss die Spannung über dem Lichtbogen werden, damit der Strom ausgeschaltet werden kann? Was geschieht beim Ausschalten mit der in der Induktivität gespeicherten Energie?

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Frage 2.3.4: Die Schaltung wird mit Wechselspannung der Frequenz 50 Hertz betrieben. Erstellen Sie die Differenzialgleichung in Phasorenschreibweise. Stellen Sie die Spannung über der Last als Zeiger dar und berechnen Sie den Kosinus des Phasenwinkels (cos (φ)) zwischen Strom und Spannung.

Frage 2.3.5: Abschalten von Wechselstrom. Die zu Frage 2.3.1 erstellte Differenzialgleichung gilt auch für das Abschalten von Wechselstrom. Wodurch vereinfacht sich bei Wechselstrom im Vergleich zum Gleichstrom der Abschaltvorgang? Gemessen an der Spannung über der Last, wann wäre ein günstiger bzw. ungünstiger Zeitpunkt zum Betätigen des Leistungsschalters?

Frage 2.3.6: Die Last soll nun mit Hilfe einer Leitung an das Netz angeschlossen werden. In der elektrischen Energieversorgung spricht man von der natürlichen Leistung einer Leitung, wenn die Leitung mit einer Last der Größe ihres Wellenwiderstandes abgeschlossen ist, d.h. RL = RW. Folgende Abbildung zeigt hierzu eine Kompensation des induktiven Anteils der Last mit Hilfe einer Kapazität, so dass diese Bedingung erfüllt sei.

R0

u0

xLeistungsschalter

R0

u0

xLeistungsschalter

Rb

Lb

Rb

LbCb

RL = RW

RWuN uL

! Welche Leistung überträgt die Leitung in Abhängigkeit der Netzspannung UN und des Wellen-widerstandes RW? Wie groß ist die Spannung UL über der Last im Verhältnis zu UN? Wie groß ist der Leistungsfaktor cos (φ) (der Kosinus des Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung) am Anfang der Leitung und am Ende der Leitung?

2.12.Ohmsch-induktiver Verbraucher im OrtsnetzDie Verhältnisse in einem Ortsnetz lassen sich durch das folgende einphasige Ersatzschaltbild

beschreiben. Hierbei sind gegeben:• UNetz die Netzspannung an der Unterspannungsseite des Ortsnetztransformators • ZT = RT + jXT die Impedanz des Netzes (inklusive Transformator)• ZK = RK + jXK die Impedanz des Kabels• ZV12 = RV12 + jXV12 die Impedanz des Verbrauchers

Das verwendete Kabel wird statt durch eine PI-Ersatz-schaltung nur durch seine Impedanz modelliert, d.h. dieser Anteil überwiegt im gegebenen Lastfall. Hinweis: Wenn Sie bei den folgenden Fragen ins Schleudern geraten, untersuchen Sie bitte zunächst zum Finden des Lösungswegs den rein ohmschen Fall, d.h. alle X=0.

2 Theoretische Grundlagen

UV 12 =

U (n)V 12p3

(2.4)

Der komplexe Strom IN

mit seinem korrekten Phasenwinkel errechnet sich wie untenste-hend:

� = arctan

✓Im(U

V 12)

Re(UV 12)

◆(2.5)

' = � arctan✓Q

V 12

PV 12

◆(2.6)

IN

=| S

V 12 |3 · U

V 12(cos ('+ �) + j sin('+ �)) (2.7)

RKRT XT XK

ZV12

UNetz U

V12

IN

a)

Abbildung 1: Vereinfachtes Ersatzschaltbild Verbrauchsfall (VZS); a) Einphasiges verein-fachtes Ersatzschaltbild; b) Zeigerdiagramm der Ströme und Spannungen

31. März 2014 11

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Frage 2.4.1: Skizzieren Sie ein Zeigerdiagramm der Ströme und Spannungen.

Lösung: Startpunkt ist der Strom und die Spannung am Verbraucher. Bei einer Serienschaltung startet man mit der Vorgabe des Stroms als Zeiger. Je nach Art des Verbrauchers (ohmsch, ohmsch-induktiv, ohmsch-kapazitiv) startet man mit vorgegebenen Phasenwinkel zwischen Uv12 und I. Die übrigen Spannungen addiert man vektoriell (mit zum Strom korrekter Phasenlage). Ergebnis ist die Eingangsspannung UNetz.

Frage 2.4.2: Interpretieren Sie das Zeigerdiagramm.

Frage 2.4.3: Wie verändert sich das Zeigerdiagramm, wenn der Verbraucher ohmsch-kapazitiv ist?

Frage 2.4.4: Berechnen Sie die vom Verbraucher aufgenommene Wirkleistung und Blindleistung.

2.13.Leistungsgeregelter Verbraucher im OrtsnetzViele Verbraucher, wie z.B. elektrische Antriebe bzw. Haushaltsgeräte und Leuchtmittel sind

heute leistungsgeregelt. Sie verhalten sich somit nicht wie passive ohmsch-induktive oder ohmsch-kapazitive Verbraucher. Die Verhältnisse in einem Ortsnetz werden durch das folgende einphasige Ersatzschaltbild beschreiben. Hierbei sind gegeben:

• UNetz die Netzspannung an der Unterspannungsseite des Ortsnetztransformators • ZT = RT + jXT die Impedanz des Netzes (inklusive Transformator)• ZK = RK + jXK die Impedanz des Kabels• PV12 die Anschlussleistung des Verbrauchers• φ der Phasenwinkel am Verbraucher

In diesem Beispiel ist der Verbraucher nicht als Impedanz ZV12 vorgegeben, sondern durch seine Wirkleistung und den Leistungsfaktor (bzw. durch seine Wirkleistung und Blindleistung). Das verwendete Kabel Wurde statt durch eine PI-Ersatzschaltung nur durch die Impedanz modelliert, d.h. dieser Anteil überwiegt im gegebenen Lastfall.


UV 12 =

U (n)V 12p3

(2.4)



� = arctan

✓Im(U

V 12)

Re(UV 12)

◆(2.5)

' = � arctan✓Q

V 12

PV 12

◆(2.6)

IN

=| S

V 12 |3 · U

V 12(cos ('+ �) + j sin('+ �)) (2.7)

RKRT XT XK

ZV12

UNetz U

V12

IN

a)

Abbildung 1: Vereinfachtes Ersatzschaltbild Verbrauchsfall (VZS); a) Einphasiges verein-fachtes Ersatzschaltbild; b) Zeigerdiagramm der Ströme und Spannungen

31. März 2014 11


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Lösung: siehe folgende Abbildung. Das Diagramm lässt sich qualitativ genau so wie in Aufgabe 2.4 konstruieren, indem man für den Verbraucher einen festen Arbeitspunkt mit ohmsch-induktivem bzw. ohmsch-kapazitivem Verhalten annimmt. Es gilt die Maschenregel UNetz = Σ Ui.

Frage 2.5.2: Interpretieren Sie das Zeigerdiagramm.

Frage 2.5.3: Wie könnte man die Spannung UV12 am Verbraucher numerisch ermitteln?

Lösung: Für eine numerische Berechnung der Spannung UV12 am Verbraucher würde man iterativ vorgehen, indem man:

• den Strom Iit aus der Leistung mit Hilfe eines Startwertes Uit(0) berechnet


• Verbraucherleistung PV 12 und Phasenwinkel '

Gesucht ist die Spannung am Verbraucher UV 12. Zur Berechnung werden folgende Verein-

fachungen angenommen:

• Das übergeordnete Netz wir durch eine Spannungsquelle zusammengefasst

• Die Spannungsquelle wird als ideal angenommen

• Symmetrisches Drehstromsystem

Berechnung der Strangspannungen am Knotenpunkt V12:Die Spannung am Verbraucherknoten V12 ist nicht bekannt. Aus diesem Grund muss zumBerechnen der unbekannten Spannungen ein iteratives Verfahren angewendet werden. DieLösung bzw. die Erstellung des untenstehenden Zeigerdiagramms wurde in Octave mitdem Gauß-Seidel-Algorithmus realisiert.

Zges

= ZT

+ ZK

SV 12 = P V 12 + jQ

V 12

Für den Iterationsstrom Iit

(nicht zu verwechseln mit IN

) im Verbrauchsfall gilt:

Iit

=

P12 + jQ12

U (0)it

!⇤(2.1)

Durch Einsetzen des Strom Iit

in die Maschengleichung, ergibt sich die Formel zur itera-

tiven Bestimmung der Spannung am Verbraucherknoten UV 12. Die Spannung U

(0)it

ist derStartwert der Iteration und muss zu Beginn der Berechnung geschätzt werden.

U (1)V 12 = Zges

PV 12 + jQV 12

U (0)it

!⇤� U

Netz

(2.2)

Bei jedem neuen Iterationsschritt wird die Spannung U (n)V 12 im Nenner durch die neue

berechnete Spannung UV 12 ersetzt. Die Spannung wird solange iterativ verbessert, bis sie

sich fast nicht mehr ändert.

U (n+1)V 12 = Zges

PV 12 + jQV 12

U (n)V 12

!⇤� U

Netz

(2.3)

Die Iteration wird so lange durchgeführt, bis die Spannungen U (n)V 12 und U

(n+1)V 12 in einer

gewissen Fehlerschranke liegen. Konvergiert die Iteration nicht, so wird die Berechnungnach einer gewissen Anzahl von Durchläufen abgebrochen.Die Strangspannung berechnet sich folgendermaßen:

31. März 2014 10

• hieraus einen ersten Näherungswert für die Spannung UV12(1) berechnet









Zges

= ZT

+ ZK

SV 12 = P V 12 + jQ

V 12




Iit

=

P12 + jQ12

U (0)it

!⇤(2.1)




(0)it


U (1)V 12 = Zges

PV 12 + jQV 12

U (0)it

!⇤� U

Netz

(2.2)




U (n+1)V 12 = Zges

PV 12 + jQV 12

U (n)V 12

!⇤� U

Netz

(2.3)


(n+1)V 12 in einer


31. März 2014 10

• diesen Spannungswert dann durch fortwährende Iteration verbessert, bis eine hinrei-chende Genauigkeit erreicht ist:









Zges

= ZT

+ ZK

SV 12 = P V 12 + jQ

V 12




Iit

=

P12 + jQ12

U (0)it

!⇤(2.1)




(0)it


U (1)V 12 = Zges

PV 12 + jQV 12

U (0)it

!⇤� U

Netz

(2.2)




U (n+1)V 12 = Zges

PV 12 + jQV 12

U (n)V 12

!⇤� U

Netz

(2.3)


(n+1)V 12 in einer


31. März 2014 10

Frage 2.5.4: Wie reagiert ein leistungsgeregelter Verbraucher auf Schwankungen der Netzspannung? Vergleichen Sie das Verhalten mit einem passiven, ohmschen Verbraucher. Welcher Verbrau-cher stellt höhere Ansprüche an das Netz?

Lösung: Bei Einbruch der Netzspannung nehmen ohmsche Verbraucher weniger Leistung auf. Sie unterstützen das Netz also. Die Leistungsaufnahme folgt quadratisch der Spannung. Geregelte Verbraucher (P=konstant) ziehen bei reduzierter Netzspannung mehr Strom, kommen dem Netz also nicht entgegen, sondern verstärken den Spannungsabfall.

Regelung des Phasenwinkels (cos(φ)): Folgende Abbildung zeigt zur Veranschaulichung des Verhaltens leistungsgeregelter Verbraucher noch Zeigerdiagramme im kapazitiven bzw. induktivem Betrieb. Man beachte den Einfluss des Phasenwinkels auf die Spannungen.

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2.6. EinspeisungStatt der Last wird am Ende einer Leitung durch erneuerbare Energien Strom ins Netz einge-

speist. Die Energiequelle wird hierzu als ideale Spannungsquelle UV12 abgebildet, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Folgende Größen sind gegeben:

• Die Netzspannung UNetz an der Unterspannungsseite des Ortsnetztransformators • ZT = RT + jXT die Impedanz des Netzes (inklusive Transformator)• ZK = RK + jXK die Impedanz des Kabels• PV12 die Einspeiseleistung der Energiequelle• φ der Phasenwinkel an der Energiequelle.


RKRT XT XK

UNetz U

V12

IN

Abbildung 2: Vereinfachtes Ersatzschaltbild Erzeugungsfall (EZS); a) Einphasiges verein-fachtes Ersatzschaltbild; b) Zeigerdiagramm der Ströme und Spannungen

2.1.3. Zusammenfassung der Ergebnisse

Für den Netzbetrieb ist die Qualität der Spannung UV 12 von zentraler Bedeutung, so

muss einerseits gewährleistet werden, dass im Starklastfall der Spannungseinbruch imNiederspannungsnetz am Verbraucher U

V 12 �10 % ist. Auf der anderen Seite darfim Schwachlastfall und bei Einspeisung einer EE-Anlage der Spannungshub im Nieder-spannungsnetz nicht > 3 % gegenüber dem Betrieb ohne Einspeiser sein [VDE-AR]. DieAktuelle Spannung U

V 12 am Knotenpunkt V12 kann an den Zeigern in Abbildung 1 und 2abgelesen werden. In den Zeigerdiagrammen wird auch ersichtlich, welche Möglichkeiten eszur Spannungsbeeinflussung gibt. Diese können grob in folgende vier Kategorien unterteiltwerden:

• Anpassung der Spannung UV 12 durch Verändern der Quellenspannung UNetz

• Verbesserung der Spannung UV 12 durch Reduktion des Spannungsfalls UK

• Verbesserung der Spannung UV 12 durch Bereitstellung von Blindleistung (durch

verändern des Phasenwinkels von IN

)

• Verbesserung der Spannung UV 12 durch Reduktion der Wirkleistung am Einspeise-

punkt

Im Folgenden werden die vier Möglichkeiten kurz erläutert:

31. März 2014 14


Lösung: siehe folgende Abbildung.

Hinweis: Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZP) werden Strompfeile, die in gleicher Richtung wie der Spannungspfeil über einem Element verlaufen, so interpretiert, dass Leistung aufgenommen wird. Bei einem ohmschen Widerstand ist dies der Fall. Da anstelle der Last am Ende der Leitung nun eine Einspeisung vorliegt, haben Strom und Spannung über der Einspeisung entgegengesetzte Richtung, da hier Leistung abgegeben wird. Diese Konvention ist bei dem Leser jeder Spannungsquelle geläufig, siehe z.B. Aufgabe 2.4 oder 2.5. Hier stellt die Einspeisung am Ende der Leitung nun eine Spannungsquelle dar, die Leistung abgibt. Zeigerdiagramme: siehe Anhang B.

In der folgenden Abbildung eilt die Spannung UV12 dem Strom I vor, d.h. die Einspeisung verhält sich induktiv. Es gilt die Maschenregel UV12 = Σ Ui.

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Das Diagramm lässt sich qualitativ wiederum so konstruieren, indem man für die Einspeisung den Strom IN und die Spannung UV12 mit dem Phasenwinkel φ vorgibt. Hinweis: verwenden Sie zur Vereinfachung zunächst cos φ = 1, d.h. φ = 0. Hinweis: Fügen Sie zur besseren Orientierung Zählpfeile in die Ersatzschaltung für die Spannungen über der Kabelimpedanz und Netzimpedanz ein.

Frage 2.6.2: Interpretieren Sie das Zeigerdiagramm. Vergleichen Sie das Diagramm mit dem Diagramm mit einem Verbraucher am Leitungsende. Was würden Sie unter einem Lastfluss ver-stehen? Wie ändert sich der Lastfluss bei einer Einspeisung am Leitungsende gegenüber einem Verbraucher am Leitungsende?

Frage 2.6.3: Wie könnte man die Spannung UV12 am Einspeisepunkt numerisch ermitteln?

Lösung: Für eine numerische Berechnung der Spannung UV12 am Verbraucher würde man iterativ vorgehen, indem man:

• den Strom Iit‘ im Erzeugungsfall (Achtung: andere Richtung als im Verbraucherfall) aus der Leistung mit Hilfe eines Startwertes Uit(0) berechnet




) im Erzeugungsfall gilt:

Iit

=

P12 � jQ12

U (0)it

!⇤(2.8)


in die Maschengleichung ergibt sich die Formel zur iterati-

ven Bestimmung der Spannung am Verbraucherknoten UV 12. Die Spannung U

(0)it


U (1)V 12 = Zges

PV 12 � jQV 12

U (0)it

!⇤+ U

Netz

(2.9)




U (n+1)V 12 = Zges

PV 12 � jQV 12

U (n)V 12

!⇤+ U

Netz

(2.10)


(n+1)V 12 in einer


UV 12 =

U (n)V 12p3

(2.11)



� = arctan

✓Im(U

V 12)

Re(UV 12)

◆(2.12)

' = arctan

✓Q

V 12

PV 12

◆(2.13)

IN

=| S

V 12 |3 · U

V 12(cos ('+ �) + j sin('+ �)) (2.14)

31. März 2014 13

• hieraus mit Hilfe der Maschenregel einen ersten Näherungswert für die Spannung UV12(1) berechnet





Iit

=

P12 � jQ12

U (0)it

!⇤(2.8)




(0)it


U (1)V 12 = Zges

PV 12 � jQV 12

U (0)it

!⇤+ U

Netz

(2.9)




U (n+1)V 12 = Zges

PV 12 � jQV 12

U (n)V 12

!⇤+ U

Netz

(2.10)


(n+1)V 12 in einer


UV 12 =

U (n)V 12p3

(2.11)



� = arctan

✓Im(U

V 12)

Re(UV 12)

◆(2.12)

' = arctan

✓Q

V 12

PV 12

◆(2.13)

IN

=| S

V 12 |3 · U

V 12(cos ('+ �) + j sin('+ �)) (2.14)

31. März 2014 13

• diesen Spannungswert dann durch fortwährende Iteration verbessert, bis eine hinrei-chende Genauigkeit erreicht ist:





Iit

=

P12 � jQ12

U (0)it

!⇤(2.8)




(0)it


U (1)V 12 = Zges

PV 12 � jQV 12

U (0)it

!⇤+ U

Netz

(2.9)




U (n+1)V 12 = Zges

PV 12 � jQV 12

U (n)V 12

!⇤+ U

Netz

(2.10)


(n+1)V 12 in einer


UV 12 =

U (n)V 12p3

(2.11)



� = arctan

✓Im(U

V 12)

Re(UV 12)

◆(2.12)

' = arctan

✓Q

V 12

PV 12

◆(2.13)

IN

=| S

V 12 |3 · U

V 12(cos ('+ �) + j sin('+ �)) (2.14)

31. März 2014 13

Frage 2.6.4: Wie reagiert ein Netz auf eine Einspeisung anstelle eines Verbrauchers? Beschreiben Sie die Effekte und die Unterschiede.

Lösung: Folgende Abbildung zeigt zur Veranschaulichung des Verhaltens leistungsgeregelter Erzeuger Zeigerdiagramme im kapazitiven bzw. induktivem Betrieb. Man beachte den Einfluss des Phasenwinkels auf die Spannungen (speziell den Spannungsverlust über der Leitung).

Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 28/89

2.7. Qualität der Spannung am Anschlusspunkt Für die am Anschlusspunkt angeschlossenen Geräte ist die Einhaltung von Spannungsgrenzen

UV12 von Bedeutung. Die Geräte werden für stabile Spannungsverhältnisse, d.h. für eine stabile Nennspannung gebaut. Der Netzbetreiber garantiert hierfür, dass keine dauerhafte Erhöhung der Nennspannung UV12 , sowie keine dauerhaft zu niedrige Nennspannung. Die Richtlinie EN50160 schreibt hierfür vor, dass in 95% der Zeit die Nennspannung innerhalb eines Bandes von -10% bis + 10% der Nennspannung verbleibt. Für die Messung der Zeit werden hierzu die Mittelwerte über Intervalle von 10 Minuten verwendet. Für Erzeugungsanlagen darf sich die Nennspannung nicht dauerhaft über 3% erhöhen (VDE-AR-N 4105: 2011-08, Erzeugungsanlagen am Niederspannungs-netz, 2011).

Bei starker Last soll die Spannung also nicht unter 10% den Nennwertes sinken. Bei schwacher Last soll sich die Spannung nicht über 10% (bzw. über 3% bei Erzeugungsanlagen) erhöhen. Für kurzzeitige Spannungsschwankungen, Oberwellen und transiente Vorgänge gelten weitere Verein-barungen.

Frage 2.7.1: Verbraucher. Welche Möglichkeiten hat der Netzbetreiber, bei starker Last bzw. bei schwacher Last die Nennspannung UV12 nach o.g. Forderung einzuhalten? Wie liessen sich diese Möglichkeiten technisch realisieren?

Frage 2.7.2: Verbraucher. Welchen Einfluss hat die Blindleistungsaufnahme des Verbrauchers auf die Nennspannung UV12? Welche Forderungen könnte der Netzbetreiber an den Verbraucher stellen? Hinweis: Verwenden Sie das Zeigerdiagramm aus Aufgabe 1.8. Verwenden Sie die Begriffe Wirkleistung und Blindleistung.

Frage 2.7.3: Welche Folgen hat die Einspeisung auf die Einhaltung der Nennspannung UV12?

Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 29/89

Frage 2.7.4: Einspeisung. Welchen Einfluss hat die Blindleistungsaufnahme der Quelle auf die Nennspannung UV12? Hinweis: Verwenden Sie das Zeigerdiagramm aus Aufgabe 1.9.

2.8. Erzeugerzählpfeilsystem und VerbraucherzählpfeilsystemZählpfeile in elektrischen Ersatzschaltbildern geben die Richtung von Strömen und Spannungen

wieder, und somit auch die Richtung des Energieflusses. Bei einem Verbraucher (z.B. ein ohmscher Widerstand) indiziert die Richtung des Stromes, dass elektrische Leistung aufgenommen wird. Es gilt P = U * I. Bei einer Quelle würde man die Richtung des Stromes aus der Quelle heraus führen, d.h. in die entgegengesetzte Richtung der Spannung über der Quelle. In diesem indiziert der Strompfeil, dass Leistung abgegeben wird. In beiden Fällen verwendet man das sogenannte Verbraucherzähl-pfeilsystem. Folgende Abbildung zeigt einen Verbraucher und eine Quelle im Verbraucherzähl-pfeilsystem.

Beim Erzeugerzählpfeilsystem ist die Lesart genau umgekehrt: Die Leistung einer Quelle ist positiv, wenn Leistung abgegeben wird. Die vom Verbraucher aufgenommene Leistung ist negativ.

Frage: Diskutieren Sie die Unterschiede mit Hilfe von Zeigerdiagrammen. Wann verhält sich ein Verbraucher kapazitiv bzw. induktiv? Wann verhält sich ein Erzeuger kapazitiv bzw. induktiv?

2.9. Lastfluss im NetzFolgende Abbildung zeigt ein Netz mit den Spannungsebenen Hochspannung (110 kV),

Mittelspannung (20kV) und Niederspannung (0,4 kV). An den Sammelschienen, bzw. an den Oberspannungseiten und Unterspannungsseiten der Transformatoren sind Kenngrößen abgebildet, die die Lastsituation wiedergeben. Als Kenngrößen dienen Ströme, Spannungen, Phasenwinkel, sowie Wirkleistung und Blindleistung.

Zur Verbesserung der Lesbarkeit bzgl. der Einhaltung von Spannungsgrenzen sind zudem normierte Kenngrößen im sogenannten „per unit“-System (p.u.), d.h. bezogen auf den Nennwert und die physikalische Größe angegeben. So bedeutet u = 1,05 p.u. eine Überschreitung den Nennwertes der Spannung an der gegebenen Stelle um 5%.

Der Lastfluss gibt die statische Situation im Netz wieder. Betrachtet wird die Situation im eingeschwungenen Zustand (im Unterschied zur Betrachtung von transienten Zuständen, wie z.B. Blitzeinschlägen oder Kurzschlüssen). Betrachtet wird, welche Wirkleistung und Blindleistung ein Abschnitt des Netzes aufnimmt, sowie Abweichungen von den Nennwerten der Betriebsmittel.

Frage 2.9.1: Verschaffen Sie Sich zunächst einen Überblick über das in der folgenden Abbildung gegebene Netz (Spannungsebenen, Betriebsmittel, Anbindung an andere Netze, Verbraucher und Lasten). Beschreiben Sie das Netz.

Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 30/89

Frage 2.9.2: Analysieren Sie die in folgender Abbildung gegebene Lastsituation. Welche Wirkleistungen bzw. Blindleistungen werden an unterschiedlichen Stellen aufgenommen? Wo treten Abweichungen von den Nennwerten auf?

Frage 2.9.3: Welche technischen Möglichkeiten hat der Netzbetreiber, um in die Lastsituation einzugreifen? Beschreiben Sie diese Möglichkeiten im konkreten Fall?

Frage 2.9.4: Welche regulatorische Möglichkeiten hat der Netzbetreiber, in die Lastsituation einzugreifen? Recherchieren Sie ggf. den Stand der Technik und beschreiben Sie ggf. weitere, derzeit noch nicht ausgeschöpfte Möglichkeiten.

Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 31/89

US UP 1/BB du=6,96 %Ul=0,4 kVu=1,07 p.u.

phiu=-149,0 deg

OS UW/BB du=0,00 %Ul=110,0 kVu=1,00 p.u.

phiu=0,0 deg

HA 1/BBdu=8,38 %Ul=0,4 kV

u=1,08 p.u.phiu=-149,1 deg

HA 2/BBdu=-8,51 %Ul=0,4 kV

u=0,91 p.u.phiu=-153,6 deg

US UP 2/BB du=4,37 %Ul=0,4 kVu=1,04 p.u.

phiu=-150,9 deg

OS UP 2/BBdu=2,58 %Ul=20,5 kVu=1,03 p.u.phiu=0,0 deg

OS UP 1/BB du=2,60 %Ul=20,5 kVu=1,03 p.u.phiu=0,0 deg

SS UW/BB du=2,59 %Ul=20,5 kVu=1,03 p.u.

phiu=0,0 deg

Netz

P=-23,5 kWQ=-60,8 kvar

I=0,342 A

PV 111,1

P=100,0 kWQ=48,4 kvarI=149,938 A

UW0,2

P=-23,5 kWQ=-60,8 kvar

I=0,342 A

P=23,5 kWQ=60,8 kvar

I=1,834 A

-2

PV 25,6

P=50,0 kWQ=24,2 kvarI=73,984 A

Last 2

P=20,0 kWQ=10,0 kvarI=30,923 A

Last 1

P=90,0 kWQ=0,0 kvarI=141,936 A

Leitung(1)27,4

P=50,0 kWQ=24,2 kvarI=74,017 A

P=-49,3 kWQ=-24,0 kvarI=74,017 A

Leitung52,5

P=-89,8 kWQ=0,1 kvarI=141,744 A

P=102,4 kWQ=4,7 kvarI=141,744 A

UP 163,4

P=149,4 kWQ=72,5 kvarI=224,024 A

P=-147,4 kWQ=-68,8 kvar

I=4,577 A

-1

UP 248,7

P=-122,4 kWQ=-14,7 kvarI=170,463 A

P=123,8 kWQ=16,8 kvar

I=3,517 A

-1

L022,9

P=-123,8 kWQ=-16,8 kvar

I=3,517 A

P=123,8 kWQ=12,5 kvar

I=3,502 A

L033,9

P=147,4 kWQ=68,8 kvar

I=4,577 A

P=-147,4 kWQ=-73,2 kvar

I=4,630 A

Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 32/89

2.10.TransformatorenEin Transformator besitzt den in folgender Abbildung gezeigten Aufbau. Der Eisenkern führt den

magnetischen Fluss zwischen den beiden Wicklungen. Ausserdem bilden sich an den Wicklungen Streufelder. Im Ersatzschaltbild wird die Kopplung der Felder durch den Eisenkern mit Hilfe der Koppelinduktivität M wiedergegeben. L1 - M und L2 - M bezeichnen die Streuinduktivitäten der Wicklungen.

Hierbei wurden vereinfachend Verluste durch die ohmschen Widerstände der Wicklungen sowie durch Wirbelströme im Kern vernachlässigt. Je nach Verwendungszweck kann eine hohe Streu-induktivität erwünscht sein (Klingeltransformator, kurzschlussfest). In der Energieversorgung versucht man, Streufelder zu minimieren.

Frage 2.10.1: Unter der Kurzschluss-Spannung eines Transformators versteht man die Spannung, die an der Primärseite anliegt, wenn man die Sekundärseite kurzschliesst und die Spannung auf der Primärseite von Null soweit erhöht, bis auf der primären bzw. sekundären Seite der Nennstrom des Transformators erreicht ist. Welchen Einfluss hat die Streuinduktivität auf die Kurzschluss-Spannung?

Frage 2.10.2: Beschreiben Sie die Systemgleichungen des Transformators: (1) U1 in Abhängigkeit von I1 und I2, (2) U2 in Abhängigkeit von I1 und I2. Hinweis: Verwenden Sie die übliche Phasoren-schreibweise mit X = ωL bzw. X = ωM.

Frage 2.10.3: Die Primärwicklung besitzt w1 Windungen, die Sekundärwicklung w2 Windungen. Mit Hilfe der magnetischen Leitwerte Λ1 für die Primärwicklung (d.h. für Streuung und Kopplung), Λ2 für die Sekundärwicklung (ebenfalls für Streuung und Kopplung), sowie Λ12 für die Kopplung lassen sich die Induktivitäten L1, L2 und M folgendermassen beschreiben: (1) L1 = w12 Λ1, (2) L2 = w22 Λ2, (3) M = w1 w2 Λ12. Berechnen Sie hieraus die Streureaktanz X1, die Streureaktanz X2, sowie die Reaktanz der Kopplung X12. Wo befinden sich diese Reaktanzen in der Ersatzschaltung?

Frage 2.10.4: Einfluss der Wicklungen. Führen Sie nun das Wicklungsverhältnis Ü = w1/w2 ein, sowie den Strom I‘2 = I2 / ü und die Spannung U‘2 = ü U2. Berechnen Sie nun mit Hilfe der Reaktanzen aus Aufgabe 1.13.3 die Spannungen U1 und U2‘. Interpretieren Sie das Ergebnis mit Hilfe des Ersatzschaltbildes.

Lösung: U1 = j ω w12 Λ1 I1 - j ω w12 Λ12 I‘2, U‘2 = j ω w12 Λ12 I1 - j ω w12 Λ2 I2‘

Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 33/89

X1 = ω w12 (Λ1 - Λ12), X‘2 = ω w12 (Λ2 - Λ12), X12 = ω w12 Λ12

Das Ersatzschaltbild führt mit Hilfe des Verhältnisses ü einen idealen Übertrager ein, der den Strom gemäß der Vorgabe I‘2 = I2 / ü transformiert, sowie die Spannung U‘2= ü U2.

Frage 2.10.5: Impedanztransformation. Wie lässt sich die Lastimpedanz Z durch das Verhältnis ü auf die Primärseite des Transformators übersetzen? Ist die Transformation der Impedanz durch die Übersetzung physikalisch plausibel erklärbar? Welchen Zweck erfüllt die Impedanztrans-formation bei der Berechnung von Schaltungen mit Transformatoren?

Lösung: Es gilt Z‘ = U‘2 / I‘2 = ü2 U2 / I2 = ü2 Z.

Auf der Primärseite findet sich ein höheres Spannungsniveau. Wenn die Last Z auf der Sekundärseite die Scheinleistung S = U2 I2 aufnimmt, so sollte sich dieser Wert bei der Transformation auf die Primärseite nicht verändern, d.h. es gilt S‘ = U‘2 I‘2 = S.

Die Impedanztransformation vereinfacht die Berechnung von Schaltungen dadurch, dass man sich entweder auf die primäre oder sekundäre Seite beziehen kann. Eine Verkettung von Transforma-toren über mehrere Spannungsebenen lässt sich auf diese Weise ebenfalls vereinfachen.

Frage 2.10.6: Vereinfachtes Ersatzschaltbild. Für Transformatoren in der Energieversorgung strebt man geringe Streuverluste und eine möglichst größe Hauptinduktivität an. Im idealen Fall (X1 → 0, X2 → 0, X12 → ∞) reduziert sich das Ersatzschaltbild dann auf den idealen Übertrager. Beim realen Transformator tritt dieses Verhalten nur im Leerlauf auf (I‘2 = 0), wenn zusätzlich die Streuinduktivitäten gegenüber der Hauptinduktivität (Koppelinduktivität) zu vernachlässigen sind. Da der Leerlauf nicht den typischen Betriebsfall darstellt, werden in der Realität die Streu-induktivitäten nicht vernachlässigt. Die Streuinduktivitäten lassen sich aus einer Kurzschluss-messung ermitteln. Es gilt Xk ≈ Uk1 / Ir1 ≈ X1 + X‘2. Bei der Messung wird bei kurzgeschlossener Sekundärseite die Spannung am Eingang so lange erhöht, bis sich an der Primärseite der Bemessungsstrom Ir1 einstellt. Hierbei bezeichnet Uk1 die gemessene Spannung an der Primär-seite. Geben Sie ein vereinfachtes Ersatzschaltbild für den Transformator an.


Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 34/89

Bemerkung: Beim realen Transformator wird für die Leerlaufübersetzung ü0 nicht das reine Windungsverhältnis verwendet, sondern der unter Berücksichtigung der Induktivitäten im Leerlauf gemessene Wert. Für den Betrieb verwendet man die Bemessungsübersetzung üT = U1T / U2T, wobei U1T und U2T die Bemessungsspannungen des Transformators bezeichnen.

Frage 2.10.7: Ermittlung der Kurzschlussreaktanz Xk aus dem Typenschild. Für einen Transformator sind folgende Kenngrößen gegeben: die Bemessungsspannung UrT, die relative Kurzschluss-Spannung uk, die Bemessungsleistung SrT. Berechnen Sie die Kurzschlussreaktanz Xk des Transformators. Hinweis: uk = UkT / UrT. Verwenden Sie das vereinfachte Ersatzschaltbild. Welcher Strom fließt bei der Kursschluss-Spannung Uk?

Frage 2.10.8: Skizzieren Sie ein Zeigerdiagramm des Transformators basierend auf dem verein-fachten Ersatzschaltbild. Wie verhält sich ein Transformator im Netz?

2.11.Parallelbetrieb von TransformatorenZwei Transformatoren werden zwischen zwei Sammelschienen parallel betrieben. Die Unter-

spannungsseite speist eine Last. Folgende Abbildung beschreibt die Anordnung.

Frage 2.11.1: Beschreiben Sie qualitativ, was passiert, wenn die beiden Transformatoren nicht exakt das gleiche Übersetzungsverhältnis haben. Welche Randbedingungen gelten an den Sammel-schienen? Wie werden durch die unterschiedlichen Übersetzungsverhältnisse bedingte Unterschiede in den Spannungen der beiden Transformatoren ausgeglichen? Halten Sie den parallelen Betrieb von Transformatoren für in der Praxis sinnvoll?

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S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 35/89

Frage 2.11.2: Verwenden Sie das vereinfachte Ersatzschaltbild des Transformators, um die Anordnung in eine Ersatzschaltung zu übersetzen. Hinweis: Beschränken Sie sich auf die Sekundärseite. Prägen Sie unterschiedlichen Übersetzungen als Spannungsquellen UT1 (für Transformator 1) und UT2 (für Transformator 2) auf. Welchen Einfluss hat die Last?

Frage 2.11.3: Zerlegen Sie die Anordnung in zwei überlagerte Betriebsfälle für die Verteilung der Ströme: (1) Die Versorgung der Last aus zwei Spannungsquellen mit identischer Spannung, (2) den lastfreien Fall mit unterschiedlichen Spannungen der Quellen. Berechnen Sie die Ströme in beiden Betriebsfällen.


Frage 2.11.4: Berechnen Sie die Ströme I1 und I2 in den beiden Strängen. Hinweis: Verwenden Sie die Überlagerung der Betriebsfälle aus Frage 1.14.3.

2.12.Transformatoren im NetzFolgende Abbildung zeigt ein Netz mit den Spannungsebenen UnN0 bis UnN04. Zwischen den

Sammelschienen befinden sich die Transformatoren T1 bis T4. Die Last ist durch die Impedanzen Z1 bis Z3 gegeben. Zu den Transformatoren sind jeweils die Übersetzung, die Kurzschluss-Spannung, die Bemessungsspannung und die Bemessungs-Scheinleistung bekannt.

Frage 2.12.1: Berechnen Sie die Kurzschluss-Reaktanzen der Transformatoren.

Energietechnik

S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 36/89

Lösung: XkTi = uki U2rTi / SrTi

Frage 2.12.2: Skizzieren Sie ein Ersatzschaltbild des Netzes unter Verwendung des vereinfachten Ersatzschaltbildes der Transformatoren.

Frage 2.12.3: Transformieren Sie zur weiteren Vereinfachung die Impedanzen auf die Primärseite der Transformatoren. Skizzieren Sie das Ersatzschaltbild de Netzes.

Frage 2.12.4: Zur weiteren Vereinfachung sei angenommen, die Übersetzungen der Transformatoren entsprechen genau dem Verhältnis der Spannungsebenen im Netz, d.h. ü1 = UnN0/ UnN1, ü2 = UnN1/ UnN2 usw. Welche Vereinfachung ergibt sich hierdurch für die transformierten Impedanzen in der Ersatzschaltung?

Frage 2.12.5: Zur Erhöhung der Ausfallsicherheit soll zwischen die Sammelschienen UnN3 und UnN4 ein weiterer Transformator T5 geschaltet werden. Welchen Einfluss hat diese Maßnahme auf die Topologie des Netzes? Was sind die technischen Konsequenzen dieser Maßnahme?

Frage 2.12.6: Welchen Einfluss hat die Annahme aus Aufgabe 1.15.4 (Übersetzung = Verhältnis der Spannungsebenen) auf das Netz? Welcher Einfluss ergibt sich speziell auf die zusätzliche Vermaschung durch T5 in Aufgabe 1.15.5?

2.13.Phasenschieber-TransformatorenBei den bisher betrachteten einphasigen Ersatzschaltbildern wurde davon ausgegangen, dass

sich die Ausgangsspannungen phasengleich in die Ausgangsspannungen übersetzen. Die Überset-zung ü war als reelle Zahl gegeben. Bei Drehstrom-Transformatoren müssen die Ausgangs-spannungen nicht in Phase zu den Eingangsspannungen verlaufen, wenn z.B. die Primärseite als Sternschaltung (Y), und die Sekundärseite als Dreieckschaltung (d) ausgeführt ist, bzw. umgekehrt. In diesem Fall lässt sich die Übersetzung als komplexe Zahl interpretieren, die auch die Phasenlage enthält (z.B. ü = U1UV / U2UV).

Eine spezielle Form von Transformatoren ist so gebaut, dass Sie eine einstellbare Zusatzspan-nung UZ erzeugen, die 90 Grad phasenversetzt zur Netzspannung ist. Wird ein solcher Transformator zwischen zwei Spannungsebenen in einem Parallelzweig parallel betrieben, so ergeben sich Ring-ströme, die nun in Phase mit der Spannung sind, d.h. als Wirkströme den Strömen in den Leitungen überlagert sind. Auf diese Weise lässt sich die Auslastung zwischen den beiden Leitungen einstellen. Folgende Abbildung zeigt eine solche Anordnung.

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S. Rupp, 2015 T2ELA3860.2 37/89

Frage 2.13.1: Skizzieren Sie ein vereinfachtes Ersatzschaltbild der Anordnung. Welche Ausgleichs-vorgänge finden statt?

Frage 2.13.2: Überlagern Sie die Ringströme mit den Lastströmen. Welche Ströme Ergeben sich in den beiden zweigen insgesamt? Vergleichen Sie mit Aufgabe 1.14.

Frage 2.13.3: Welchen Einfluss hat die einstellbare Spannung UZ auf die Ströme in den Leitungen?

Frage 2.13.4: Wozu lässt sich dieser Mechanismus in der Praxis verwenden?

2.14.Hochspannungs-GleichstromübertragungAls Alternative zur Übertragung durch ein Drehstromsystem werden Gleichstromübertragungs-

systeme eingesetzt. Folgende Abbildung zeigt eine solche Anordnung.

Frage 2.14.1: Beschreiben Sie die Anordnung und die Funktion der einzelnen Komponenten.

Frage 2.14.2: Wie verhält sich die HGÜ-Strecke bzgl. Wirkleistung und Blindleistung? Welche Rolle spielt die Netzfrequenz? Wie verhält sich der Lastfluss?

Frage 2.14.3: Vergleichen Sie die Übertragung durch ein Drehstromsystem mit der Gleichstrom-übertragung. Legen Sie geeignete Kriterien fest. Welche Unterschiede gibt es?

Frage 2.14.4: Beschreiben Sie mögliche Einsatzgebiete für HGÜ-Systeme.

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3. Erzeugung elektrischer Energie

3.9. Erzeugungsanlagen im NiederspannungsnetzNach der VDE Anwendungsregel VDE-AR-N 4105 wird empfohlen, dass durch Erzeugungsan-

lagen im Niederspannungsnetz die Netzspannung um nicht mehr als ΔU = 3% gegenüber dem Betrieb ohne Erzeugungsanlagen überschritten werden darf.

Weiterhin legt die Richtlinie fest, das einphasige Erzeuger gleichmässig auf die Aussenleiter zu verteilen sind, so dass Spannungsun-symmetrien vermieden werden. Einphasige Erzeugungsanlagen dürfen eine Leistung von 4,6 kVA nicht überschreiten. Größere Anlagen müssen dreiphasig angebunden werden, bzw. kommunikationstechnisch miteinander verkoppelt werden. Der Netz-betreiber hat das Recht, bei Gefahren für den sicheren Netzbetrieb bzw. für Instandsetzungsarbeiten die Anlagen vom Netz zu trennen.

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Energietechnik ENT T2ELA3860 2 Uebungen - DHBW Stuttgartsrupp/ENT/Energietechnik_ENT_T2ELA38… · Energietechnik Übungen zur Vorlesung Ausgabe 0.5, 14.11.2015 Autor: Stephan Rupp