Energies, Forces, and Bonds

Dept. Phys., Tunghai Univ.

93 學年度第二學期‧生物物理施奇廷

Interatomic Potentials for Strong Bonds

Relation between potential energy and force:

For central force (only depend on the distance):

The interatomic force is attractive for long distance and repulsive for short distance (see Fig.3.1)

)()( rVrF

rrVrF /)()(

Interaction Functional Forms of Strong Bonds

由前章所介紹的各種鍵結形式暗示我們，分子中原子間的交互作用可能也有好幾種形式（雖然都來自電磁交互作用）： Closed-shell repulsion (Born-Mayer functio

n) Coulombic interaction potential Covalent interaction potential Morse potential function

Closed-Shell Repulsion

1932, derived by Max Born and Joseph Mayer

計算兩個原子，其外層軌域為全填滿 由於 Pauli’s exclusion principle ，兩者靠近時會發生很強的排斥力：

rr

ArV s2exp)(

Closed-Shell Repulsion

因為是考慮 closed-shell 之交互作用，故位能形式只與距離有關（各向同性 isotropic ）

這個函數形式有三個參數： rs: 長度參數，表示原子填滿軌域的大小（靠到多近會開始產稱排斥力

長度參數，表示此排斥力衰減的特徵距離，對 closed-shell 而言， =0.0345nm ，幾乎與原子種類無關

A: 排斥力的強度 表 3.1 為幾種原子之 A 與 rs，計算兩種不同的原子間之

Born-Mayer repulsion 時，可取其平均值

Coulombic Interaction

若兩原子之 eN一大一小，則變成兩個離子（一正一負），此二離子之間會產生 Coulomb 吸引力：

此二離子依此吸引力形成離子鍵 qe為電子電荷（ -1.602×10-19Coulomb ）， 1,

2 為兩個離子之電荷數（整數）， 0為真空介電係數 8.85×10-12Farad/meter

注意此交互作用為長程力（ 1/r2 衰減）

r

qrV e

221

04

1)(

Covalent Interaction 共價鍵的交互作用來自於兩個原子之非填滿軌域之間的重疊，其函數形式為：

此形式為「被屏蔽之 Coulomb interaction 」，將其加上一個指數衰減項（即：靜電力 × 軌域交互作用），故為一短程力

注意在此並沒有電荷數 此交互作用必為吸引力

/

2

04

1)( re e

r

qrV

Morse Function 金屬鍵的交互作用形式 包含 Born-Mayer interaction, Coulomb interac

tion (repulsion of the positive ions), and the electron-electron interaction

r0為一長度單位，滿足：

當 r=r0時為位能之最低點，極為平衡位置

)()(2 00 2)( rrrrMorse eeVrV

0|)(

0

rrr

rV

Interatomic Potentials for Weak Bonds

Van der Waals interaction: 由於原子外圍的電子分佈隨時改變，經常會產生微小的暫時性電偶極（ instantaneous dipole ），這些電偶極會調整到適當的方向產生吸引力，其形式為：

這項吸引力經常與 Pauli exclusion principle 所引起的排斥力（ Born-Mayer interaction ）合併成一個函數，稱為 Buckingham potential function

6/)( rrV

6/ /)( rAerV r

Lennard-Jones Function

有時由於數值計算上的需要，將上述的指數函數以一個多項式函數來近似，最受歡迎的表示法為所謂的 Lennard-Jones function:

這個函數的特點：短距離時排斥力很大，遠距離時變為吸引力，存在最低點（平衡位置） r0

60

120 )/(2)/()( rrrrrV

0| ,0)( ,)0(0

rrr

V(r)rVrV

Hydrogen Bond

氫鍵： N—H…O 或是 O—H…O ，虛線代表氫鍵，氫與 N 、 O 、 Cl 、 F 之類體積小、電子親和力大的原子形成共價鍵，氫附近電子雲密度小而略成正電性，鄰近這類原子時會有吸引力，此即為氫鍵，強度為 3~7 kcal/mole 。

Hydrophobic Bonds 疏水鍵並不是一種真正的交互作用力，而是一種等效

意義上的力。由於生物體中的分子都處於水的環境中，所以分子與水之間的交互作用特別重要。水具有強極性，很容易形成氫鍵，氫鍵的能量比凡得瓦力來得大，故應優先形成。

如果水與非極性基團混合，由於兩者無法形成氫鍵，故水分子為了增加自己的氫鍵數，會將非極性基團排除，故看起來好像是水與非極性基團之間有排斥力。

疏水鍵可說是「非鍵結作用力」的總和等效作用，尤與蛋白質結構有極密切的關係。

Non-Central Forces 鍵長、鍵角的變化：化學鍵之伸縮、彎曲、振動，能量約為 1~7 kcal/mole 。

扭角的變化：化學鍵之旋轉運動，能量約為 0.1~1 kcal/mole 。

Total Energy of a Molecule

Bond Energies

右表為生物體內各種常見的化學鍵之鍵能

估計人體所有的化學鍵能總和：

人體組織每公克約含有5×1022個原子

每個原子大約有三個左右的化學鍵

總化學鍵數 ~4×1027

以 C-C 鍵能（ ~0.6aJ ）估計，總能量約為2.4×109J

約為一日所需熱量之 250倍

Longer-Range Interaction and Conformation

Longer-Range Interaction and Conformation 對小分子而言，要計算分子的能量，只需求其化學鍵之總能量即可；即使有物理鍵形成，數目並不多，對能量的貢獻也不大

例如：

但對大分子而言，必須考慮物理鍵的貢獻，其原因為大分子內的原子（或原子團）較有可能互相靠近，有機會形成非常多物理鍵

Problem.1 原子間的交互作用位能會如右圖所示：

請寫出這個位能型態的重要特性

為什麼位能形式會長這付模樣？

提示：物質不會自發性潰縮，也不會自發性爆炸

Problem.2

化學鍵與物理鍵有什麼不同？各有哪些？其特性分別為何？

Problem.3 為什麼在計算小分子的化學能時只需考慮化學鍵之鍵

能總和，但是對大分子（如蛋白質）而言，這種作法是不夠的，還必須考慮物理鍵的能量？

Problem.4 氫鍵的能量約為 5 kcal/mole ，相當於每個鍵多少 aJ?