Energie, její formy a měření

aneb

Od volného pádu k E=mc2

Přednášející: Martin Zápotocký

Seminář Aplikace lékařské biofyziky 2014/5

Definice energie

• Energos (ἐνεργός) = pracující, aktivní; ergon = práce

• Energie kvantifikuje množství práce, které může vykonat daný

fyzikální systém

• Druhy energie rozlišujeme podle druhu síly, která tuto práci koná:

– mechanická (síla gravitační, setrvačná, …)

– elektromagnetická (síla elektrostatická, magnetické indukce, …)

– chemická (síla chemické vazby)

– nukleární (síla působící mezi částicemi v jádru atomu)

– atd.

Síla a práce sílou vykonaná

• Síla je vektorová veličina (má směr)

• Síla, která svým působením přemisťuje těleso, koná práci

• Pokud je za působení stálé síly 𝐹 těleso přemístěno o interval 𝑥 , vykonaná práce je

kde α je úhel mezi sílou a směrem pohybu

• Práce je skalárni veličina (a může byt kladná či záporná)

• Jednotky

– síla: 1 Newton (N) = kg m/s2

– práce: 1 Joule (J) = N m = kg m2/s2

• Příklad: volný pád v gravitačním poli 𝑔 :

cosW F x Fx

1 2 1 2( )cos0W mg x mg h h mg h h

Práce vykonaná tlakem

• Práce vykonaná plynem při přemístění pístu (plocha A) o malou

vzdálenost dx:

𝑑𝑊 = 𝐹 ⋅ 𝑑𝑥 = 𝑝 𝐴 𝑑𝑥 = 𝑝 𝑑𝑉

kde 𝑑𝑉 = 𝐴 𝑑𝑥 je změna objemu plynu

• Tudíž práce vykonaná během obecného procesu, kdy objem vzroste z

𝑉1 na 𝑉2, je dána integrálem

𝑊 = 𝑝 𝑑𝑉𝑉2

𝑉1

Kde tlak 𝑝 𝑉 může záviset na objemu 𝑉!

• Význam integrálu: plocha pod křivkou 𝑝 𝑉

• Tudíž W obecně závisí na dráze procesu, tedy práce není stavová

veličina. Např. pro isotermální proces v ideálním plynu

𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 𝑙n(𝑉2𝑉1)

Příklad: pracovní diagram srdce

• Množství práce, které na krvi vykoná levá komora během jednoho

stahu, dostaneme jako plochu uvnitř smyčky v diagramu tlak vs objem

• 1 stah (v klidovém fyzickém stavu) vykoná práci 1.1 J.

• Celkový výkon srdečního svalu 1.3 W až 8 W, podle zátěže.

• Mechanická účinnost srdce je nízká, 3% až 15%.

Teplo, disipace energie

• Teplo je přenos energie mezi dvěma systémy, při

kterém se nevykonává práce

• Tepelný přenos energie probíhá spontánně z tělesa s

vyšší teplotou T1 na těleso s nižší teplotou T2 (jsou-li

tělesa v tepelném kontaktu).

ΔQ1 < 0, ΔQ2 > 0 (těleso 2 přijalo teplo)

• “Teplo = neuspořádaná energie”

• Tření je nevratný proces přeměny mechanické

energie v teplo

• Přeměna (části) tepelné energie v mechanickou:

tepelný stroj

James Prescott Joule

1818-1889

Zákon zachováni energie

• Celková energie izolovaného systému se zachovává (nemění se s

časem):

𝐸𝑡𝑜𝑡 = 𝐸1 𝑡 + 𝐸2 𝑡 + . . . = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 • V praxi je každý systém v kontaktu se svým okolím. Interakcí je

konaná práce a vyměňováno teplo

• První věta termodynamická: (pouze vnitřní energie je stavová veličina)

Δ𝑈 = 𝑄 −𝑊 • Přiklad: pro izobarickou reakci

Δ𝑈 = 𝑄 − 𝑝𝐴Δ𝑥 = 𝑄 − 𝑝Δ𝑉

Entalpie: 𝐻 = 𝑈 + 𝑝𝑉 → Δ𝐻 = 𝑄 teplo přenesené během izobarického děje je rovno změně entalpie

Měření energie, kalorimetr

• Měřitelná je změna energie systému, prostřednictvím jeho kontaktu s

jiným systémem

• Příklad měření mechanické energie: siloměr

• Teplo vydané / přijaté systémem je měřeno pomocí kalorimetru

• Měrná tepelná kapacita (specifické teplo) c:

teplo potřebné k zahřátí 1 kg látky o 1 K

• 1 calorie: 1 gram vody z 14.5 ºC na 15.5 ºC

1 cal = 4,187 J ; 1(kg)cal = 1 Cal =4.187 kJ

• Reakční teplo určeno ze změny teploty;

při isobarické reakci ekvivalentní změně energie

Δ𝐻 = 𝑄 = 𝐶𝑡𝑜𝑡Δ𝑇

Potenciální energie

• Potenciální energie je práce nutná k umístění tělesa v konzervativním

silovém poli (kde práce nezávisí na dráze)

• Příklad: gravitační potenciální energie

• Pouze změna energie (= práce) je měřitelná! Nulová hladina energie je

definovaná konvencí.

• Snížení potenciální energie umožňuje vykonat práci („potenciál pro

práci“). Příklad: vodní mlýn.

• Závisí pouze na pozici (obecně konfiguraci) tělesa v silovém poli;

nezávisí na rychlosti.

0( )E h mgh E

Elektrostatická potenciální energie

• Elektrostatická síla mezi náboji q a Q dána Coulombovým zákonem:

• Odpovidající potenciální energie náboje q v poli náboje Q:

kde je elektrický potenciál silového pole náboje Q

a podle konvence je nulová hladina energie v nekonečnu

• Příklad: v Bohrově modelu atom vodíku q = -e, Q = +e, r = Bohrův poloměr

• 1 elektron-Volt (eV) = 1,602 × 10-19 J

• vazebná energie: snížena o pohybovou energii

2

0

1

4

rF qQ

r

E qV

2

0 0

1 1 1( ) ( ) 27.2 eV

4 4B B

eE qV e e

r r

0

1 1

4V Q

r

Elastická potenciální energie

• Pružný materiál (pružina, šlacha, …) působí silou

proti změně délky vůči rovnovážné pozici 𝑥0

• Hookeův zákon (platný pro nízké stupně deformace):

kde elastická konstanta k závisí na materiálu

• Odpovídající potenciální energie:

• Nejnižší energie: , rovnovážná pozice

• Příklad přeměny druhů energie: skákající míč

0F k x x

2

12elE k L

0L

Kinetická energie

• Kinetická energie je formou mechanické energie, příslušná síla je

inerciální (setrvačná) síla

• Práce nutná pro zrychlení tělesa o hmotnosti m z nulové rychlosti na

rychlost v:

• Závisí pouze na rychlosti, nezávisí na pozici (prostorové souřadnici)

• Energie turbíny: rotační kinetická energie

• Přeměna potenciální energie na kinetickou: celková energie tělesa ve

volném pádu se zachovává (lze-li zanedbat tření)

F ma

212kinE mv

212

( ) ( ) .tot pot kinE E t E t mgh mv konst

Vnitřní energie

• Vnitřní energie systému:

vnitřní pohybová energie + potenciální energie vnitřních sil

• Vnitřní pohybová energie: součet kinetických energií všech součástí

systému

– ne pohyb systému jako celku

– zahrnuje translační, rotační, a vibrační pohybovou energii molekul

– typická kineticka energie 1 molekuly = n ½kBT ; v ~ 1 km/s

(n = počet stupňů volnosti molekuly

kB= Boltzmannova konstanta = 1.38×10−23 J /K)

• Vnitřní potenciální energie zahrnuje (chemickou) vazebnou energii;

nezahrnuje vnější síly

• Příklad: vnitřní energie 1 molu inertního plynu (bez chemické vazby):

NA 3 ½ kBT = 3/2 RT = 3406 J

Klidová energie

𝑚0 = klidová hmotnost tělesa

𝑐 = rychlost světla ve vakuu ≃ 300 000 km/s

• Důsledek speciální teorie relativity

• Zahrnuje vazebnou energii

• Klidová energie je obrovská:

– E(1 kg) = 1 kg ×(3×108 m/s)2 = 9×1016 J

– Temelín za rok 2006: 4×1016 J

• Pouze malá část z ní je uvolňována:

– chemické reakce: 10-9 celkové hmoty

– štepení, fůze: 10-3 celkové hmoty

– beze zbytku pouze při anihilaci hmoty s

antihmotou, např. při PET:

elektron + pozitron → 2mec2 = 1.022 MeV

Albert Einstein

1879-1955

𝑬𝟎 = 𝒎𝟎𝒄𝟐

Relativistická hmotnost, hybnost, energie

• Analogie II. Newtonova zákona v relativistické mechanice:

𝐹 =𝑑𝑝

𝑑𝑡

kde relativistická hybnost je 𝑝 = 𝑚𝑟𝑣

a relativistická hmotnost tělesa pohybujícího se rychlostí 𝑣 je

𝑚𝑟 =𝑚0

1 − 𝑣2/𝑐2

• Celková energie tělesa s klidovou hmotností 𝑚0 a hybností 𝑝 :

𝐸 = 𝑚02𝑐4 + 𝑝2𝑐2 = 𝑚𝑟𝑐

2

• Pokud 𝑣 ≪ 𝑐, potom kinetická energie je

𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝐸 − 𝐸0 = 𝑚𝑟 −𝑚0 𝑐2 ≃ 𝑚0 1 +

1

2

𝑣2

𝑐2− 1 𝑐2 =

1

2𝑚0𝑣

2

• Pro částice s nulovou klidovou hmotností (foton, !neutrino): 𝐸 = 𝑝𝑐

Shrnutí jednotek energie

• Základní jednotkou je 1 Joule = 1 kg m2/s2 = 1 Watt s

• V soustavě CGS: 1 erg = 10-7 J

• V kalorimetrii: 1 cal = 4,187 J (pozor na g vs kg)

• Mikroskopické jednotky:

– 1 eV = 1,602 × 10-19 J

– ½ kBT = 2.07 × 10−21 J = 0.013 eV (při pokojové teplotě 300 K)

• 1 tTNT = 4,187 × 109 J

• 1 kW h = 3.6 MJ