Energía Eólica: clase 3

HAWT ideal con rotación de estelaLa generación de energía cinética (KE) detrás del rotor afecta la eficiencia de generación.

La KE en la estela del rotor será mayor si el torque es mayor.

Por eso turbinas eólicas que rotan lentamente con alto torque tienen más pérdidas debidas a la rotación de la estela.

Geometría del análisis:U = Velocidad a la entradaa = factor de inducciónArea del tubo de corriente de radio r y espesor dr es 2 r dr

Suponiendo vel. angular inducida en la estela es pequeña comparada con la del rotor: presión en estela lejos del rotor= presión en la entrada lejos del rotor.

La presión, rotación de la estela y factores de inducción son funciones de r.

Usando CV que gira a razón de las ecs. De energía pueden aplicarse antes y después de los álabes para calcular la diferencia de presión. La vel. angular se incrementa al pasar de un lado al otro del rotor desde hasta + , mientras que la componente axial permanece constante.

Se obtiene:

La fuerza de propulsión en un elemento anular, dT, is:

Se define el factor de inducción angular a’ como:

Si se toma en cuenta la rotación de la estela, existe ahora también una componente inducida en el plano del rotor r a'.

La propulsión queda:

Del análisis lineal anterior se tiene la fuerza de propulsión en función del factor de inducción lineal a :

Igualando las expresiones anteriores se tiene:

Donde r es la razón local de rapidez:

Ahora se obtendrá el torque a partir de la conservación de momentum angular. El torque ejercido en el rotor, Q, debe ser igual al cambio de momento angular. En un elemento diferencial anular queda:

Como U2 = U (1 - a) y a' = / 2 , esta expresión queda:

La potencia del elemento diferencial, dP, está dada por:

Sustituyendo dQ en esta expresión y usando la definición de la razón local de rapideces, r , la expresión de potencia en el elemento diferencial anular queda:

Que es una función de los factores de inducción tanto axial como angular, así como la razón de rapidez de la punta del álabe y del viento.

Los factores de inducción determinan la magnitud y dirección de viento en el plano del rotor. La razón local de rapidez es función de la razón de rapidez en la punta del álabe (tip-speed ratio) y el radio.

La contribución incremental al coeficiente de potencia, dCP, para cada elemento anular es:

De ecuaciones anteriores r (slide 6), a’ se relaciona con r :

Las condiciones aerodinámicas para que la potencia sea máxima ocurren cuando el términoa’ (1 - a) en la ecuación para CP en la lámina anterior tiene un valor máximo. Sustituyendo el valor de a’ de la última ecuación en a’ (1 - a) y haciendo la derivada respecto a a igual a cero queda:

Esta ec. define el factor de máxima producción de potencia como función de la razón de rapidez en cada anillo.

Substituyendo en

Se encuentra que para cada elemento anular queda:

Si la ecuación

Se deriva con respecto a a, se obtiene la relación entre dr y da en la condición de máxima potencia:

Sustituyendo las tres ecs. anteriores en la expresión del coef. de potencia

queda:

Donde el límite inferior de integración a1 corresponde al factor de inducción para el cual r = 0 y el límite superior a2 corresponde al mismo factor cuando r = .

También, para se tiene para a2:

Y también r = 0 para a1 = 0.25.

Esta ec. para puede ser resuelta para valores de a2 que corresponden a razones de rapidez de punta de álabe (TSR o tip speed ratio) de interés, notando que a2 = 1/3 es el límite superior para a, dando un valor infinito del TSR.

La integral para CP,max se puede evaluar con el cambio de variables x = (1 - 3a):

Valores de CP,max como función de con correspondientes valores del factor de inducción axial a2 se tabulan a continuación:

Las siguientes gráficas ilustran estos datos.

Coeficiente de potencia máximo teórico para una turbina, tomando en cuenta la rotación de la estela.

Entre más alto es el tip-speed ratio más grande es CP

Factores de inducción para una turbina ideal con rotación de estela; tip speed ratio, = 7.5, a = axial induction factor

a’ = angular induction factor, r = radius, R = rotor radius

Factores de inducción axiales (a) cerca del valor ideal 1/3 hasta que se aproxima el cabezal o “hub” (r 0).Factores angulares de inducción (a’) cerca de cero lejos del cabezal (r=R), se incrementan al acercarse al hub.