ENERALITAT DE CATALUNYA LA FUNCIÓ AFÍ O DE 1R GRAU 1 ...ccubas/3r ESO/funcio1rgrau/0809_funcio1rgrau.pdf · relació entre la velocitat que portem i la inclinació de l’atracció

GENERALITAT DE CATALUNYA LA FUNCIÓ AFÍ O DE 1R GRAU DEPARTAMENT D’EDUCACIÓ DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES. CURS 2008-2009 SES PLA MARCELL

1


2

Quan pugem a una muntanya russa, la velocitat que portem depèn de la inclinació que té la muntanya en cada moment. A més pendent o inclinació més velocitat. Hi ha una relació entre la velocitat que portem i la inclinació de l’atracció. Diem que la velocitat està en funció de la inclinació . Aquests tipus de relacions les hem treballat durant el curs passat i començament d’aquest i, ara, la ampliarem amb l’estudi en profunditat d’una funció concreta: La funció afí o de 1r grau. El concepte de funció es va originar amb el interès pel canvi. Tenim una variable que està constantment canviant: el temps. En quant l’home va ser capaç de mesurar el temps amb prou exactitud, va intentar saber com es mou un cos, es a dir, va tractar d’analitzar els diferents tipus de moviments. En aquest context, el concepte de funció va ser una eina imprescindible en el desenvolupament de la ciència del s. XIV. Actualment, el concepte de funció és inherent a qualsevol disciplina científica.


3

Full de treball A: Gràfics, taules i frases A.1 Els gràfics i taules següents corresponen a quatre funcions que relacionen la temperatura d’unes substàncies amb el temps. Hi ha dos gràfics que corresponen a dues taules, i per tant hi ha un gràfic que no té taula i una taula que no té gràfic.

a) Digues quins són els dos gràfics que tenen taula i quina és la seva taula. Justifica la resposta. b) Fes una taula de valors per al gràfic que no en té. c) Fes el gràfic de la funció de la taula que no en té. d) Descriu quatre situacions reals que corresponguin a les quatre funcions explicant en cada cas el comportament de la temperatura segons el temps.

TAULA A TAULA B TAULA C

t (min) T (ºC) t (min) T (ºC) t (min) T (ºC) 0 -20 0 10 0 80

0.5 -10 2.5 50 5 60

1 0 5 90 10 52

2.5 0 7.5 80 15 50

3 20 10 71 20 60

4 80 15 56 25 70

4.5 100 20 45 30 100

5 100

30 35


4

DEPENDÈNCIA ENTRE LA VARIABLE INDEPENDENT I LA DEPENDENT Les situacions anteriors expressaven "dependència " entre dues quantitats variables. Aquesta "dependència" pot venir donada de diverses formes : - per un gràfic, - per una taula, - per una regla, fórmula, ... Sigui quina sigui la manera d’expressar-la, les característiques comunes d’aquestes situacions són: - que hi ha dues variables, - que una depèn de l’altra: els valors que pren una d’elles venen donats pels que agafa l’altra. Considerem per exemple la funció de la taula A de l’exercici anterior:

t (min) 0 0.5 1 2.5 3 4 4.5 5

T (ºC) -20 -10 0 0 20 80 100 100

Hi ha dues variables : el temps i la temperatura. El temps en minuts pot agafar qualsevol valor dins del conjunt dels nombres reals positius entre 0 i 5, per això l’anomenem variable independent . La temperatura de la substància depèn o és funció del temps; disposem d’una taula que ens permet, donat el temps, determinar la temperatura. Per això l’anomenem variable dependent . La taula assigna a cada valor del temps un i només un valor de la temperatura. La temperatura o variable dependent pren valors en el conjunt dels nombres reals més grans o iguals que -20. (Els nombres reals són els nombres que obtenim com a resultat d’una mesura, per tant són els nombres decimals tant positius com negatius, enters o no).

DEFINICIÓ. Una funció està formada per: a) Un conjunt A de valors que pot agafar la variable independent, anomenat domini de la funció. b) Un conjunt B de valors que pot agafar la variable dependent, anomenat conjunt d’arribada. c) Una regla que assigna a cada element del domini un i només un element del conjunt d’arribada. En el cas que la regla no compleixi la condició que a cada element li correspongui un i només un element del conjunt d’arribada, direm que la relació entre els dos conjunts no és una funció. En aquest cas direm que només és una correspondència .


5

A.2 Recordem un problema ja vist el curs passat: El franqueig d’una carta. Els estanquers tenen una taula que els permet saber el franqueig de les cartes segons llur pes. Per enviar una carta, la taula és:

Pes en gr. Preu en € Fins a 20 0.20

de 20 a 50 0.26

de 50 a 100 0.39

de 100 a 250 0.85

de 250 a 500 1.70

de 500 a 1000 2.35

de 1000 a 2000 4.20

a partir de 2000 han d’anar a Correus

a) Quant s’hauria de pagar per una carta de 350 g? Amb quin valor de la variable dependent està relacionat el valor 19,5 g de la variable independent? I el valor 1022 g? b) En un full de paper mil·limetrat sencer i apaïsat, fes un gràfic que ens doni el preu que s’ha de pagar segons el pes de la carta.

Recorda que per a dibuixar un gràfic cal: a. Determinar quines són les variables. b. Determinar l’eix que li correspon a cada variable. c. Determinar l’escala de cada eix. Per fer-ho hem de:

i.Trobar el valor més gran i més petit de cada variable. ii.Decidir els cm que tindrà cada eix iii.Relacionar les quantitats anteriors i assignar a cada cm de l’eix un valor de la variable.

d. Marcar al gràfic els punts de la taula. e. Construir el gràfic d’esquerra a dreta. f. Posar el nom a les variables i un títol al gràfic.

c) Què sabem del pes d’una carta que ens ha costat 0.26 €? d) Quina és o són els valors e la variable independent amb els que esta relacionat el valor de 0,30 € ?

A.3 Considera l’exercici anterior sobre el franqueig de les cartes.

a) Fes la representació gràfica de la relació entre les dues variables si intercanviem el domini pel conjunt d’arribada, o sigui si posem la variable pes a l’eix d’ordenades i la variable preu a l’eix d’abscisses.

b) Aquesta relació que has representat, és una funció?


6

Full de treball B: El llenguatge matemàtic

SIMBOLITZACIÓ D’UNA FUNCIÓ Considerem una altra vegada la funció del franqueig de les cartes. És còmode posar un nom a la funció: l’anomenarem funció f. (Hauríem pogut posar-li un altre nom d’una o més lletres). f està formada per dos conjunts: A = Nombres reals de 0 i 1000. Aquest és el conjunt de sortida o domini de la funció . B = Nombres reals de 0.28 a 2.85. És el conjunt d’arribada . i una regla ( la taula de l’estanquer). Per indicar que f és una funció d'A en B escriurem: f : A B ho llegirem "f és una funció d'A en B “ La variable independent és el pes i la variable dependent el preu. Direm que el preu és funció del pes. Esquemàticament ho escriurem:

Preu = f (pes) que ho llegirem "el preu és funció del pes" o bé ho escriurem: pes preu = f (pes) i anomenant x al pes i y al preu:

x y = f (x) que es llegeix "a x li correspon y ; y és igual a f de x" Continuant amb l’exemple de les cartes, per indicar que el franqueig d’una carta de 24 g és de 0.40 € s’utilitza el simbolisme: 24 0.40 o bé f(24) = 0.40 o bé 24 f(24) = 0.40 També hi ha altres maneres d’expressar-ho amb una frase: - dir que 0.40 és la imatge de 24, o bé - que a 24 li correspon 0.40, o bé - que 24 és la antiimatge de 0.40. Observa que les imatges són sempre elements del conjunt d’arribada, i les antiimatges són elements del domini.


7

B.1 Si f és la funció del franqueig de les cartes: a) Quina és la imatge de 110? Escriu-ho amb llenguatge simbòlic. b) Indica una antiimatge de 0.63. Expressa-ho amb llenguatge simbòlic. c) Quins nombres del conjunt d’arribada tenen antiimatges? B.2 Si h és una funció, expressa en forma simbòlica:

a) 3 és la imatge de 2 per la funció h. b) -5 és antiimatge d' 1 per la funció h. c) a 1/2 li correspon 1/4 per la funció h. d) La funció h és una funció d'A en B. e) y és la imatge de x per la funció h. B.3 Expressa literalment els següents símbols:

a) f(3) = -2

b) g(1/2) = 1/3

c) f-1(2) = 0

d) y = x + 1

e) f(-3) = - 4 B.4 Considerem ara la funció que assigna a cada nombre el seu quadrat. Anomenant g aquesta funció, completa els requadres i parèntesis de les expressions següents i fes una frase en cada cas:

a) g: b) 1 g ( ) c) g (-3) = d) g(0) = e) 5 f) 1,5 g ( )

g) 3 g( ) = h) 2 g ( ) = i) x g ( ) = j) g ( ) = 81

B.5 Donades les funcions f(x) = 3x i g(x)=x+4 troba:

a) f(0)= b) g(2)= c) f-1(6)=

d) g-1(-2)= e) f(-2)= f) f-1(9)=

g) g (-3)= h) f(2

1)= i) f-1(-3)=

j) g-1(0)= k) f(23,5)= l) g(-0,3452)=


8

B.6 Observa el gràfic següent de la funció h , completa les línies de punts i expressa cada frase en llenguatge simbòlic: a) La imatge de -1 és .......

b) La imatge de ...... és 2,5.

c) Les dos antiimatges de 0 són

...... i ........

d) La ......................... de -2 és ......

e) La antiimagen de 5 és

B.7 El gràfic mostra la variació de temperatura en graus Fahrenheit d’una substància. L’experiment s’inicia a les 6 del matí amb una temperatura de 40º F. La substància s’ha tret del frigorífic a les 2 de la matinada

Respon a cada pregunta amb una frase traduint-ho desprès al llenguatge simbòlic.

a) Quina era la temperatura a les 9 del matí?

b) Quina era la temperatura dues hores abans de començar l’experiment, o sigui, a les 4 de la matinada?

c) Durant la realització de l’experiment, en quin moment la temperatura és màxima? En quin moment és mínima?

d) Durant tot e procés (contant la descongelació), quan la temperatura va ser de 0º F?

e) En algun moment la temperatura va ser de 50º F?


9

Full de treball C: La funció de proporcionalit at C.1 Utilitzant un paper mil.limetrat sencer, representa en un mateix gràfic les funcions: (NOTA.- Fes taules de valors).

a) f(x) = x b) f(x) = 2

1x c) y = 2x d) f(x) = - x e) y = -

2

1x f) f(x) = - 2x

Què tenen en comú i en què es diferencien aquests 6 gràfics? Classifica les rectes en creixents i decreixents. C.2 Observant les equacions del problema anterior intentarem donar un model d'equació que serveixi per totes. Respon a les preguntes:

a) Com és el gràfic de la funció tipus y = ax , on a és un nombre real que s’anomena pendent de la recta?

b) En quin punt tallen aquests gràfics l’eix d’ordenades? c) Si una recta és creixent, quin signe té el seu pendent? d) I si és decreixent?

Fitxa’t que el pendent té la següent interpretació geomètrica:

Per cada unitat que augmenta la "x", Per cada unitat que augmenta la la "y" augmenta a unitats. "x", la "y" disminueix a unitats. És a dir, el pendent d'una funció de proporcionalitat és un nombre real "a" que indica quantes unitats varia la variable dependent "y" quan la variable independent "x" varia una unitat .


10

C.3 Troba l’equació de la recta representada en el gràfic següent. Segueix els passos que s’indiquen. a)La imatge de l’1 és el 2 b) Quan passem del punt (0,0) al punt (1,2):

- la variable "x" passa de 0 a ......

- la variable "y" passa de 0 a .......

- Per tant, quan la "x" creix 1 unitats, la "y" creix ...... unitats.

Aquest valor a = 2 és el pendent de la recta del gràfic. d) Per tant l’equació d’aquesta recta és:

y = ....... x.

C.4 Troba les equacions de les rectes representades en els següents gràfics seguint l'exemple anterior.

C.5 Digues si són certes o falses les següents afirmacions. Justifica les respostes seguint el model.

a) El punt (-2,5) pertany a la recta f(x) = 2x . b) El punt (1/2,4) pertany a la recta y = 8x . c) La recta d'equació y = -3x passa pel punt (-9,3). d) Totes les rectes de proporcionalitat passen per el punt (0,0).


11

Full de treball D: La funció afí D.1 En un mateix sistema de referència cartesià, dibuixa en un paper mil·limetrat sencer els gràfics de les següents funcions reals de variable real: a) f(x) = 2x b) h(x) = 2x + 5'5 c) l(x) = 2x + 1

d) g(x) = 2x - 4'75 e) k(x) = 2x - 3 f) t(x) = 2x + 3'2 Què tenen en comú aquests gràfics? En què es diferencien? Fixa’t que l’angle format per cadascuna d’aquestes rectes amb l’eix d’abscisses és el mateix. De quin nombre depèn la inclinació de les rectes? D.2 Representa en un mateix sistema de referència i en un altre paper mil·limetrat sencer els gràfics de les funcions: a) y = x + 3 b) f(x) = 2x + 3 c) f(x) = -x + 3 d) y = -2x + 3 e) y = 3x + 3 f) f(x) = 0x + 3 Per quin punt passen totes? A quin punt les rectes anteriors tallen l’eix d’ordenades? Classifica les rectes anteriors en creixents i decreixents.

D.3 Intenta donar un model de funció, una fórmula tipus, que et serveixi per als problemes anteriors. O sigui, busca quelcom semblant al model del full de treball anterior y = ax de les funcions de proporcionalitat.

a) Quin seria el gràfic d’aquesta funció tipus? b) En quin punt talla aquest gràfic l’eix d’ordenades? Aquest paràmetre

es representa per la lletra b i es diu l’ordenada a l’origen . c) De quin paràmetre dependrà la inclinació de la recta.

AQUESTES FUNCIONS SÓN LES FUNCIONS AFINS

D.4 Segueix els següents passos per calcular el pendent d’una recta que passa pels punts A(1,3) i B(3,5).

- Estudiem la variació de la "x" i de la "y" entre els punts A i B.

La "x" passa de 1 a 3, per tant varia ....... unitats.

La "y " passa de 3 a 5, per tant varia ......... unitats.

- Recorda que per saber el pendent hem de saber quantes unitats varia la "y" quan la "x" varia una unitat: Si quan la "x" varia 2 unitats la "y" també varia 2 unitats, cada unitat que varia la "x", la "y" variarà també ...... unitat.

- És a dir el pendent de la recta és .....


12

D.5 Seguint el model anterior, calcula el pendent de la recta que passa pels punts A(-1,3) i B(1,0) D.6 Dibuixa la recta anterior en un sistema de coordenades i comprova que té el pendent trobat a l’exercici anterior. Quin serà la seva ordenada a l’origen? Quina serà, doncs, la seva fórmula? D.7 Determina geomètricament el pendent i l’ordenada a l’origen de cadascuna de les rectes dels gràfics següents. Escriu, a més, les fórmules corresponents.


13

Full de treball E: La funció constant E.1 Dibuixa, en paper mil·limetrat i fent servir d’una taula de valors, els gràfics de les funcions següents:

a) y = 3 b) y = -2'5 c) f(x) = 0

a) Què hi observes? b) Quin és el pendent d’aquestes rectes? c) Quina és l’ordenada a l’origen d’aquestes rectes?

E.2 Intenta donar un model de funció, una fórmula tipus, que et serveixi per al problema anterior. O sigui, busca quelcom semblant al model de les funcions de proporcionalitat (y=ax ) i de les funcions afins (y=ax+b ).

a) Quin seria el gràfic d’aquesta funció tipus? b) En quin punt tallaran aquests gràfic l’eix d’ordenades?. c) Quina és la raó per la qual seran sempre horitzontals aquestes

funcions?

AQUESTES FUNCIONS SÓN LES FUNCIONS CONSTANTS E.3 Dóna les equacions de cinc funcions de proporcionalitat, cinc funcions afins i cinc funcions constants. E.4 Representa en un mateix sistema de referència i sense fer ús de les taules de valors en un altre paper mil·limetrat sencer els gràfics de les funcions: a) y = -x + 5 b) f(x) = 2x - 2 c) f(x) = 3x + 1 d) y = -2x + 4 e) Una recta amb a=3 i b=-2 f) f(x) = -3


14

Full de treball F: La funció polinòmica de 1r grau F.1 Omple el següent quadre al teu dossier amb tot l’espai necessari per poder anotar els càlculs i les explicacions necessàries:

FUNCIÓ

PENDENT

a

CREIX o

DECREIX

ORDENADA A L’ORIGEN

b

NOM DE LA

FUNCIÓ

PUNTS DE LA

RECTA

y = 3/2x - 4 (3, ) ( ,-1) y = 4x (1/3, ) ( ,-2)

f(x) = 0 (1600, ) ( , 0 ) 2x - 3y + 1 =0 (-3/4, ) ( ,0) f(x) = -3 (-0'75, ) ( ,-3) x + y - 3 = 0 (3, ) ( ,2/5)

F.2 Omple aquest quadre a un full sencer del teu dossier de manera que tinguis un resum del que has de saber sobre les funcions polinòmiques de primer grau:

FUNCIÓ POLINÒMICA DE 1r GRAU

EQUACIÓ

TIPUS

PENDENT

ORDENADA A

L’ORIGEN

CARACTERÍSTIQUES

DEL GRÀFIC

PROPORCIONALITAT

CONSTANT

AFÍ

F.3 Encercla la resposta correcta. A) Dues rectes són paral·leles si tenen: a) diferent pendent. b) el mateix pendent. c) diferent ordenada a l’origen. d) la mateixa ordenada a l’origen. B) Dues rectes tallen en el mateix punt l’eix d’ordenades si tenen:

a) diferent pendent. b) el mateix pendent. c) diferent ordenada a l’origen. d) la mateixa ordenada a l’origen.


15

F.4 Donades les següents rectes indica quines són paral·leles i quines tallen en el mateix punt l’eix d’ordenades. 1) y = -3 2) y = -3x 3) y = + 1 4) h(x) = 2 5) g(x) = -3x + 3 Per fer aquest exercici t’ajudarà omplir un quadre com aquest:

FUNCIÓ PENDENT ORDENADA A L’ORIGEN

y = -3 0 -3 y = -3x

y = + 1

h(x) = 2

g(x) = -3x + 3

F.5 Troba l’ordenada a l’origen d’una recta de pendent 5 i que passa pel punt (1,2). Segueix els passos següents: 1) Escriu la fórmula d’una funció afí. y = ........ x + ......... 2) Substitueix el pendent per 5. y = ......... x + .......... 3) Substitueix el punt (1,2) a les variables "x" i "y". x = 1, y = 2 llavors 2 = 5 · ... + b 4) Resol l’equació i troba b. 5) L’ordenada a l’origen és ......... Escriu l’equació de la recta anterior.

F.6 Troba el pendent i l’ordenada a l’origen de la recta que passa pels punts A(5,-3) i B(-1,0). Escriu l’equació de la recta. F.7 Troba l’equació d’una recta que passi pel punt (1,0) i sigui paral·lela a la recta d’equació f(x) = 5x + 4.


16

Full de treball G: Problemes d’aplicació G.1 Un transportista fa un servei entre Barcelona i Granollers i cobra les tarifes següents: 20 € fixes prescindint de la càrrega i 0'60 € per cada quilo de pes. a) Calcula el preu del transport d'una rentadora de 85 kg. b) Quan costaria transportar un paquet de 40 kg.? c) Determina el cost del transport en funció del pes de la càrrega. d) En paper mil·limetrat fes un gràfic que doni el preu del transport des de 0 a 100 kg. G.2 Per a les festes de Nadal, una discoteca necessita un escenari de fusta. A la fusteria "BONA FUSTA" fan pagar 5.50 € per cada metre quadrat de fusta i 40 € per la instal·lació. A la fusteria "L’ALZINA" no cobren per la instal·lació, però fan pagar 7.50 € per cada metre quadrat de fusta. a) Si la discoteca vol instal·lar un escenari de 60 m2, quina fusteria és més aconsellable? I si vol instal·lar-ne un de 6 m2? b) Troba les funcions que en cada cas relacionen el cost de l’escenari segons la grandària, i representa-les en un mateix gràfic. c) A partir de quina grandària és més econòmic instal·lar l’escenari per "BONA FUSTA"? I per "L’ALZINA?. G.3 Els fulls de propaganda de dues agències de viatges per anar-nos a Londres són: "BON VIATGE": Viatge i allotjament ....... 78.50 € per dia. "LA MILLOR": Allotjament .................. 8.25 € per dia. Bitllet d’avió ................ 73.75 € a) Si volem fer-ne un viatge de 10 dies, quina agència ens fa la millor oferta? I si volem fer-ne un de 2 dies? b) Troba les funcions que, en cada cas, relacionen el cost del viatge segons els dies de durada. c) Fes la representació gràfica d’ambdues funcions i digues quants dies d’estada són necessaris per què sigui tan avantatjosa una oferta com l’altra. G.4 L’entrada al Tibidabo costa 6 € i pujar a cada atracció costa 0.75 € a) En Joan ha pujat a 5 atraccions. Quants diners ha pagat?.

b) Si la Sara ha pujat a 10 atraccions, pagarà el doble que en Joan? Quants diners pagarà la Sara? c) Indica quina és la funció que relaciona el cost d’una estada d’un dia al Tibidabo i el nombre d’atraccions a les quals pugem.

Documents

ENERALITAT DE CATALUNYA LA FUNCIÓ AFÍ O DE 1R GRAU 1 ...ccubas/3r ESO/funcio1rgrau/0809_funcio1rgrau.pdf · relació entre la velocitat que portem i la inclinació de l’atracció