ENCICLOPEDIA MATEMATIC‚ CLASELOR DE NUMERE NTREGI

  • View
    237

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of ENCICLOPEDIA MATEMATIC‚ CLASELOR DE NUMERE NTREGI

  • 1

    ENCICLOPEDIA MATEMATIC A

    CLASELOR DE NUMERE NTREGI

    Marius Coman mariuscoman13@gmail.com

    mailto:mariuscoman13@gmail.com

  • 2

    Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing

    1313 Chesapeake Avenue

    Columbus, Ohio 43212

    USA

    Tel. (614) 485-0721

    Recenzeni: Prof. Univ. dr. ing. Adrian Olaru, Universitea Politehnic, Bucureti, Romania.

    Prof. Ion Ptracu, Fraii Buzeti National College, Craiova, Romania.

    Prof. Nicolae Ivchescu, Str. Iuliu Cezar, Nr. 26, Craiova, Jud. Dolj, Romania.

    EAN: 9781599732374 ISBN: 978-1-59973-237-4

  • 3

    Introducere

    Numerele naturale au fascinat dintotdeauna omenirea, ce le-a considerat, pe

    bun dreptate, ca fiind mai mult dect mijloace de a studia cantitile, le-a considerat

    entiti avnd o personalitate proprie. Mistica tuturor popoarelor abund de proprieti

    supranaturale atribuite numerelor. ntr-adevr, pare c, pe msur ce le cercetezi mai

    adnc, descoperi c au consisten, c, departe de a fi o creaie conceptual a omului,

    un simplu instrument la ndemna sa, se conduc de fapt dup legiti proprii, pe care nu-

    i permit s le influenezi, ci doar s le descoperi.

    Printre primii oameni care au simit acest lucru se numr Pitagora, ce a nceput

    prin a cerceta numerele i a sfrit prin a ntemeia o micare religioas puternic fondat

    pe simbolistica numerelor. Pasiunea sa pentru numerele naturale era att de mare

    (accepta, totui, i existena numerelor raionale, ce sunt, n fond, tot un raport de

    numere naturale), nct circul o legend conform creia i-ar fi necat un discipol

    pentru vina de a-i fi relevat existena numerelor iraionale. Mult mai aproape pe scara

    istoriei, n secolul XIX, matematicianul german Leopold Kronecker este creditat a fi

    spus: Dumnezeu a creat numerele naturale; toate celelalte sunt opera omului.

    Departe de considerente de filozofie a matematicii, ne-am limitat enciclopedia la

    numerele ntregi pentru c am considerat c este un domeniu ndeajuns de vast n sine

    pentru a face obiectul unei astfel de lucrri.

    Am mprit enciclopedia n dou pri, Clase de numere (se subnelege,

    ntregi), respectiv Clase de prime i pseudoprime, prima cuprinznd principalele clase

    de numere cu care se opereaz actualmente n teoria numerelor (ramura matematicii ce

    studiaz n principal numerele ntregi), cea de-a doua cteva tipuri consacrate de prime

    (numere care au sfidat dintotdeauna matematicienii prin rezistena lor n a se lsa

    nelese i ordonate) i tipurile cunoscute de pseudoprime (o categorie aparte de numere,

    ce mpart ns multe atribute cu numerele prime).

    Am ncercat s folosim noiuni ct mai simple i operaii elementare pentru a nu

    ndeprta cititorii prin simboluri i denumiri de funcii; din acelai motiv am definit

    toate clasele de numere doar n sistemul comun, zecimal, i nu am considerat clasele de

    numere care, dei ntregi, se definesc apelnd la numere iraionale sau complexe.

    Subliniem c lucrarea nu este exhaustiv (dei se intituleaz enciclopedie), pe

    de o parte pentru c unele clase de numere ntregi au fost deliberat omise, ca innd de

    ramuri specializate ale matematicii ce depesc cadrul pe care ni l-am propus

    (topologie, combinatoric etc.), iar pe de alt parte pentru c pur i simplu este

    imposibil s fii exhaustiv n acest domeniu: OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer

    Sequences), o organizaie axat exclusiv pe acest domeniu al matematicii, numr n

    baza de date peste 200.000 de articole iar numrul acestora crete zilnic.

    Deoarece pentru unii termeni din lucrare nu exist corespondeni larg consacrai

    n limba romn i de asemenea pentru o mai uoar consultare a link-urilor de pe net,

    majoritatea n limba englez (vom prezenta la sfritul lucrrii o list de astfel de site-

    uri, enciclopedic matematice sau privind strict teoria numerelor), am nzestrat

    enciclopedia cu un cuprins bilingv, romn-englez. Pentru cei nefamiliarizai cu

    terminologia specific teoriei numerelor subliniem c n acest domeniu aparenele

    neal: n spatele unor sintagme aparent frivole precum numere fericite sau numere

    prietenoase se ascund noiuni ct se poate de serioase n timp ce, dimpotriv,

    denumirile de tetradic numbers sau dihedral primes, de exemplu, ce par denumiri

    serioase, desemneaz numere ce au doar caliti pur recreative.

    Pentru cei ce doresc s aprofundeze ulterior studiul teoriei numerelor, am anexat

    la sfritul lucrrii un dicionar englez-romn de termeni uzuali n aceast materie; n

  • 4

    cadrul acestui dicionar am definit i noiuni pe care nu le-am folosit ca atare n

    enciclopedia propriu-zis (e.g. natural density), de asemenea am expus i clase de

    numere ntregi pentru definirea crora este nevoie de numere aparinnd altui sistem de

    numeraie dect cel zecimal (e.g. digitally balanced numbers) sau care in de

    matematica recreativ (e.g. strobogrammatic numbers).

    Pentru a obinui cititorii cu simbolurile de operaii uzitate n principalele

    programe de matematic sau pe principalele site-uri de teoria numerelor, vom folosi

    pentru nmulire simbolul * iar pentru ridicarea la putere simbolul ^. Din acelai

    motiv vom folosi n operaii doar parantezele rotunde, de exemplu (4^2*(5 4) 1)/5 =

    3, i vom folosi parantezele drepte i acoladele pentru denumirea unei perechi (sau

    triplet, sau mulimi) de numere naturale ntre care exist o anumit relaie de exemplu

    [220, 284] este o pereche de numere amiabile; de asemenea, n loc de radical de ordin k

    dintr-un numr ntreg n, vom folosi n operaii notaia echivalent n^(1/k).

    Considerm important s exprimm toate operaiile doar cu simboluri acceptate

    de programul Word, fr a apela la programe speciale de redactare de matematic,

    pentru c aceste simboluri sunt uor acceptate ca input de programele importante de

    matematic disponibile pe Internet. Pentru a ntri acest considerent vom anexa la

    sfritul lucrrii o list cu modele de operare n programul Wolfram Alpha, pentru

    operaiile i funciile uzuale n teoria numerelor.

    Menionm c, n afar de operaiile universal cunoscute, vom mai folosi n

    lucrare doar cteva funcii i operaii: funcia factorial: factorialul lui n (sau n factorial)

    este produsul tuturor numerelor ntregi pozitive mai mici sau egale cu n, adic, algebric

    formulat, n! = 1*2*3* * n, de exemplu 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720; operaia modulo: r

    = n modulo m, abreviat r = n mod m, unde m i n sunt numere ntregi pozitive, este

    restul mpririi lui n la m; de exemplu 3 = 13 mod 5; congruena modulo: m este

    congruent modulo x cu n i se noteaz m n (mod x) dac restul mpririi lui m la x

    este egal cu restul mpririi lui n la x, de exemplu 17 5(mod 3); funcia divizor: (n)

    sau sigma(n) reprezint suma divizorilor unui ntreg pozitiv; indicatorul lui Euler

    (funcia totient): (n) sau phi(n) este numrul de numere ntregi pozitive mai mici sau

    egale cu n ce sunt relativ prime cu n. De asemenea am notat cu C(n, k) coeficienii

    binomiali, cu valoarea egal cu n!/(n k)!*k!, cunoscui ca i combinri de n luate

    cte k, iar cu (n) sau tau(n) numrul divizorilor lui n. Alte cteva funcii le-am definit

    n cadrul prezentrii unor clase de numere (de exemplu funcia multifactorial la articolul

    Prime multifactoriale i funcia primorial la articolul Numere primoriale).

    Am mai notat cu cmmdc(k, n), respectiv cmmmc(k, n) cel mai mare divizor

    comun respectiv cel mai mic multiplu comun al numerelor k i n iar prin R(n), respectiv

    S(n) reversul unui numr n respectiv suma cifrelor sale. Apoi, n condiiile n care ntre

    clasa de numere tratat ntr-un articol din lucrare i clasa numerelor naturale exist

    coresponden biunivoc, am mai notat termenii clasei de numere prin Cn, Dn, Mn (al n-

    lea numr Catalan, Demlo, Mersenne) etc. i, n sfrit dar nu n cele din urm, am

    neles prin numerele notate precum abc numerele obinute prin concatenare, unde a,

    b, c sunt cifre, iar nu produsele a*b*c (concatenarea unor numere = operaia de

    alipire cap-coad a cifrelor lor).

    Am enumerat n cadrul fiecrei clase de numere primii civa termeni ai seriei

    am folosit n lucrare cuvntul serie n sensul de mulime ordonat de numere obinute

    printr-o formul generic (sequence) i nu n sensul de sum a termenilor unui ir

    (series) i, pentru a nu exista o discrepan ntre spaiul alocat acestora (primii cinci

    termeni ai unei serii pot avea fiecare cte 2 cifre sau 20 de cifre) am alocat cca 100 de

    caractere (cifre plus virgule i spaii despritoare) fiecrei enumerri (evident, unde s-a

    putut acest lucru: clasa primelor Wiferich, de exemplu, nsumeaz doar dou prime

  • 5

    cunoscute, 1093 i 3511; de asemenea, primii trei temeni ai clasei primelor

    Smarandache-Wellin nsumeaz 7 cifre, n timp ce al patrulea termen are 355 de cifre).

    Mai trebuie spus c nu l considerm pe 1 prim, pentru a fi n asentimentul

    majoritii matematicienilor din secolul XX, potrivit crora un numr prim are doi

    divizori (pe 1 i numrul nsui) n timp ce numrul 1 are un singur divizor (pe el

    nsui); se subnelege deci c, dac nu se specific expres altfel, nelegem prin divizori

    ai numrului natural n inclusiv pe 1 i pe n nsui. i, tot pentru a ne adapta majoritii

    definiiilor (i a evita controversele privind natura lui zero vezi articolul Numere

    ntregi) am optat pentru sintagma numr ntreg pozitiv n detrimentul celei de

    numr natural diferit de 0 i pentru cea de numr ntreg non-negativ n detrimentul

    celei de numr natural inc