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En el aula. Orientaciones teóricas y didácticas para la escuela primaria

© Fondo Editorial Básico del IFDC General Roca.Bartolomé Mitre 945 (8332)General Roca, Río Negro, Argentina

Noviembre 2009

Compilador:Liliana Carbajal

Autores:Susana E. Abdala,Marcela Alcaraz,Marcelo Amela,Diana Avaca,Nilda Bonacci, Laura Brion, Liliana Carvajal,Pamela Diaco,Patricia FernándezMónica Gestido, Alicia M. Iturbe,Eduardo Lozano,Néstor Martínez,Roberto Molina,Carmen Moresco, Roxana Muñoz,Pedro Perez Pertino, Eduardo Prado Morillo, Verónica Puig, Eva Rave,Iliana Ronco,Fernando Samuel,Ma Claudia Suárez, Susana Vidal,Constanza Zinkgräf,

Correctora:Susana E. Abdala,

Diseño y diagramación de la publicación: Bettina Pinto Aparicio

Fecha de catalogación: 26/11/2009

En el aula: orientaciones teóricas y didácticas para la escuela primaria / Susana Abdala ... [et.al.]. - 1a ed. - General Roca : Fondo Editorial Básico, 2009.

150 p. ; 25x18 cm.

ISBN 978-987-23030-6-8

�. Procesos de Enseñanza. 2. Aprendizaje. 3. Formación Docente. I. Abdala, Susana CDD 371.1

Orientaciones teóricas y didácticas para la escuela primaria

Este libro es una producción institucional, y forma parte de las acciones desarrolladas dentro del Proyecto de Mejora Institucional “Producción�de�materiales�educativos�y�curriculares�en�el�IFDC�de�General�Roca”�de la provincia de Río Negro y que fueran financiados por el Instituto Nacional de Formación Docente

INSTITUTO DE FORMACION DOCENTE CONTINUA

GENERAL ROCA / RÍO NEGRO

INFDInstituto Nacional deFormación Docente

En el aula

DOCENTES

Área ResidenciaProf. Falcó, LidiaProf. Vidal, SusanaProf. Perez, Anahí Prof. Fernandez, Patricia

Área Ciencias de la EducaciónProf. Sobrino, Mónica Prof. Puig, VerónicaProf. Zinkgraff, CostanzaProf. Torres, Gerardo RobertoProf. Roberts, Sandra IvettProf. Fernandez, Patricia

Área MatemáticaProf. Cassina, SusanaProf. Iturbe, AliciaProf. Zinelli, María TeresaProf. Pistonesi, María VictoriaProf. Caminos Mercedes

Área Lengua y LiteraturaProf. Abdala, SusanaProf. Muñoz, Roxana Prof. Dimarco, LauraProf. Ronco, Iliana del LujanProf. Romaniuk, Yenia

Área Ciencias NaturalesProf. Alcaraz, María MarcelaProf. Carvajal, LilianaProf. Lozano, EduardoProf. Rave, EvaProf. Diaco, Pamela

Área Ciencias Sociales Prof. Bonacci, NildaProf. Gestido, MónicaProf. Brion, LauraProf. Perez Pertino, PedroProf. Samuel, Fernando

Área Estético ExpresivaProf. Moresco, CarmenProf. Prado Morillo, EduardoProf. Suarez, María ClaudiaProf. Morales, Jorge Enrique

Área Educación y TecnologíasProf. Avaca, DianaProf. Amela, MarceloProf. Martinez, NéstorProf. Molina, RobertoProf. Pinto Aparicio, Bettina

AUTORIDADES

Directora Prof. Marcela Alcaráz

Coorinadoras de CapacitaciónProf. Anahí Perez

Prof. Nilda Bonacci

Coordinadora de Investigación y Extensión

Prof. Liliana Carbajal

Coordinadora de FormaciónProf. Lidia Falcó

Prof. Diana Avaca

CONSEJO DIRECTIVO

Pesidenta del ConsejoProf. Marcela Alcaráz

Consejeros DocentesProf. Eduardo Prado Morillo

Prof. Roberto MolinaProf. Gerardo Torres

Prof. Ma. Teresa Zinelli

Consejeros AlumnosCarmen AedoJavier Cibura

Consejeros GraduadosBarbarita Sánchez

Valeria Alegre

Instituto de Formación Docente Continua / General Roca

ÍndiceIntroducción, 7

Capítulo I Instituciones de la formación en Residencia, �5 Por Susana Vidal

Capítulo II Las infancias en la escuela hoy, algunas preguntas y reflexiones, 27 Por Constanza Zinkgräf, Verónica Puig, Patricia Fernández

Nuevas tecnologías: Un mundo de cambios, 3� Por Nestor Martínez, Diana Abaca

Capítulo III La escuela y las tecnologías, 39 Por Roberto Molina, Marcelo Amela

Capítulo IV La enseñanza del cálculo aritmético en la escuela de hoy ¿Para qué? ¿Qué? Y ¿Cómo?, 53 Por Alicia M. Iturbe

Capítulo V La reflexión metalingüística: Una propuesta de abordaje en la escuela primaria, 73 Por Roxana Muñoz, Susana Abdala

¿Cómo significan, en el aula, los textos literarios?, 83 Por Iliana del Lujan Ronco

Capítulo VI La construcción del conocimiento escolar en las clases de Ciencias Naturales, 89 Por Marcela Alcaraz , Liliana Carbajal, Eduardo Lozano, Eva Rave, Pamela Diaco

Capítulo VII ¿Se terminó el mundo del trabajo?, �07 Por Nilda Bonacci, Monica Gestido, Prof. Bonacci, Nilda, Laura Brion, Pedro Perez Pertino, Fernando Samuel.

Capítulo VIII Sobre la Alfabetización Estético Expresiva, �33 Por Carmen Moresco, Eduardo Prado Morillo, Ma. Claudia Suarez, Jorge E. Morales

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Área�Matemática

El Área�Matemática�del IFD de Gral Roca está conformada por: Prof. Cassina, Susana, Prof. Iturbe, Alicia, Prof. Zinelli, María Teresa, Prof. Pistonesi, María Victoria y la Prof. Caminos Mercedes

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Área�Matemática

…el profesor, o el formador de profesores, entenderán que hacer que las matemáticas

gusten es también hacer que guste este cálculo, sin el cual no existirían las matemáticas, sin el cual serían inservibles. Para ello, se debe encontrar

un equilibrio en la enseñanza y el aprendizaje del cálculo

entre la automatización y la razón, sus dos facetas indisociables. No se trata ni mucho menos de algo fácil; requiere atención e

inteligencia y, sobre todo, oponerse a esos caminos

que suelen tender a tratar el cálculo desde los

automatismos sin alma, cuando se trata de un desafío

que la enseñanza debe revelar desde el parvulario hasta la

universidad… Artigue1

La enseñanza del cálculo aritmético en la escuela de hoy ¿Para qué? ¿Qué? Y ¿Cómo?

La educación se encuentra en estos tiempos atravesada por profundas y diferentes tensiones. En particular, para la enseñanza de la Matemática, Artigue distingue diferentes desequilibrios como:

• la pretensión social de asegurar una cultura matemática científica y sólida que permita a los ciudadanos ejercer sus responsabilidades y por otro lado, sociedades que se organizan en base a una cultura matemática y científica, poco profunda; • la diversidad cultural y la evolución de las relaciones sociales entre niños, jóvenes y adultos no coincidente con los valores tradicionales de la escuela; • las incidencias del contexto tecnológico actual sobre el contexto escolar.

Estos desequilibrios, desestabilizan las bases de las relaciones didácticas tradicionales, ponen en tela de juicio la validez de lo que se enseña en la escuela, cuestionan, demandan la revisión profunda del ¿qué?, ¿cómo?, ¿por qué? y ¿para qué? de la enseñanza escolar.

Sadovsky2, al reflexionar sobre estas cuestiones, aclara que es necesario habilitar la discusión sobre el sentido del conocimiento en la escuela, pues lo que era antes ya no satisface. Por ejemplo, el sentido que tenía la matemática en la escuela, basado en la comunicación de mecanismos aislados que algún día irían a ser útiles para resolver problemas ya no convoca ni a docentes ni a alumnos.

�. En “Problemas y desafíos en educación matemática: ¿que

nos ofrece hoy la didáctica de la matemática para afrontarlos?”.

2. En “Enseñar Matemática Hoy. Miradas, sentidos y desafíos”.

Prof Alicia M. Iturbe

La enseñanza del cálculo aritmético en la escuela de hoy ¿Para qué? ¿Qué? Y ¿Cómo?

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Hablar de sentido, dice Sadovsky, es examinar la distancia entre las expectativas de que la escuela brinde a los alumnos la posibilidad de acceder a productos de la cultura, que los posicione con mejores herramientas en la sociedad y las experiencias educativas que la escuela realmente les brinda.

Sadovsky reconoce, también, que la investigación didáctica con el importante desarrollo de los últimos treinta años realiza significativos aportes a estas problemáticas, con enfoques teóricos parcialmente renovados sobre la articulación entre lo micro y lo macro didáctico, con nuevas miradas sobre el docente y su papel en la relación didáctica, con mayor atención al lugar que ocupan las herramientas materiales y simbólicas en los aprendizajes y una mirada más lúcida sobre la evolución tecnológica y sus efectos posibles.

Las tensiones descritas, los saberes producidos interpelan y demandan y a la tarea de formar para la enseñanza de la Matemática y es desde aquí que el desarrollo de este escrito intenta poner en cuestión la enseñanza del cálculo aritmético en la escuela de estos tiempos.

¿Qué nos dice la matemática sobre el “cálculo”?

El término cálculo proviene del latín “calculus” que quiere decir “guijarro”, “piedra”. El hecho de que los romanos enseñaran a contar a sus hijos por medio de guijarros incidió en que la palabra llegara a designar cualquiera de las operaciones aritméticas básicas.

En la cultura, casi siempre se asocian los cálculos numéricos elementales a los aprendizajes básicos concernientes a la trilogía “leer, escribir, contar”.

Desde la matemática, en cambio, “el cálculo” se refiere a distintos objetos y según dichos objetos matemáticos se distinguen diferentes clases de cálculo: cálculo numérico, cálculo vectorial, cálculo diferencial e integral, cálculo proposicional…, y se acompaña a cada uno, de modos de pensamiento y de unas técnicas específicas.

La actividad Matemática consiste en dar preferencia a determinadas características de los objetos, ocultando otras, (asociar un número a

“Convertir los objetos matemáticos en calculables es lo que consigue que las

matemáticas tengan finalmente el poder que tienen no sólo es el hecho de que estén dotadas de objetos calculables y de sistemas de representaciones que sostengan eficazmente ese cálculo,

sino también que el cálculo se puede ajustar a algoritmos y automatizar. En el cálculo también es esencial otro potente movimiento, el de la mecanización, que, cuando se consigue, permite ejecutarlo

sin inteligencia reduciéndolo a una sucesión automatizada de gestos. Esta

mecanización es necesaria para el avance del conocimiento y en la mayoría de los

cálculos hay, por lo tanto, una alquimia sutil entre inteligencia y rutina.” Artigue

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una colección de objetos olvidando las características propias de esos objetos que no entrarán en juego en el cálculo, o de asociar las magnitudes tales como longitudes, áreas o ángulos a formas geométricas por ejemplo), para hacerlos accesibles al cálculo. El cálculo es, por lo tanto, un objeto matemático multiforme y fuertemente relacionado con la actividad matemática.

¿Qué nos dice la escuela sobre el cálculo?

En la cultura escolar, el cálculo se asocia al “calculo aritmético”, a problemas matemáticos que requieran hallar un número desconocido por medio de otros, a los “algoritmos da cálculo” o “cuentas” correspondientes a los métodos de cálculo indoarábigos

Las “tiras cómicas de Mafalda” y una reflexión3 sobre la forma en que aparecen las matemáticas en dichas tiras, nos puede ayudar a comprender la valoración particular que el “cálculo aritmético” tiene en el mundo escolar de las matemáticas:

“Entre las aproximadamente 2300 tiras que Quino ha hecho de Mafalda (que aparecen en el libro Todo Mafalda, Quino, 1997), hemos destacado 22 que están relacionadas con las matemáticas o con su enseñanza. Este 1% no sería significativo, si no fuera por la difusión y popularidad que ha tenido el personaje en nuestro ambiente cultural, incluso en ambientes próximos a la escuela.

Muchas de estas viñetas se desarrollan en la escuela, con lo que no es extraño que hablen de las matemáticas escolares. Pero otras no están situadas en contextos escolares, y sin embargo tratan asuntos relacionados con las

matemáticas.La mayoría de las tiras seleccionadas

se refieren a la escuela primaria e infantil, reforzando la idea de que las matemáticas son una de las materias escolares más importantes. El contenido matemático más frecuente es la aritmética, especialmente los cálculos aritméticos (tablas de operaciones, la multiplicación), y los problemas tradicionales (obras, ventas, edades, agricultores – hacendados -, porcentajes, etc.)

Los problemas que se plantean tienen enunciados que se han usado tradicionalmente para obligar a cálculos aritméticos sencillos. En la tiras se reflejan reacciones de los personajes ante los problemas. Para algunos, los problemas son un obstáculo desagradable (como todos los deberes escolares, como en la p. 125, en la que Felipe llama a la Federación Obrera para ver si están en huelga, lo que le eximiría de la obligación de resolver el problema de albañiles; difíciles, tal como manifiesta Mafalda, p. 335, que pide permiso a la profesora para lanzar, figuradamente, sapos y culebras contra el tonelero objeto del problema).

En otras tiras, los personajes se introducen en los problemas, lo que les provoca reacciones particulares (Mafalda, p. 44, se deprime cuando calcula que el que nazca hoy tendrá 50 años dentro de medio siglo), o genera respuestas originales, diferentes de las esperadas por el profesor (Susanita, p. 212, corrige la respuesta resultante de los cálculos, ya que “en este país nadie trabaja”; Libertad, p. 481, dice que el niño que da varios caramelos a un amigo queda conflictuado por estúpido). En otro caso, los problemas planteados generan en el alumno otro tipo de cuestiones, como cuando Mafalda quiere calcular el número de “personas humanas de verdad”, a partir de varios datos de población (p. 291).

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Mafalda�y�las�Matemáticas, Pablo Flores Martínez Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.

El cálculo aritmético aparece en tres tiras de las páginas �2�, �95 y 30�

Es de suponer que Quino ha recogido aspectos escolares que le han ayudado para suscitar la lectura humorística. Pero es evidente que estos temas aparecen más frecuentemente porque en la comunidad educativa se hace una identificación de la enseñanza de las matemáticas con el cálculo aritmético y los problemas.El análisis didáctico de estas viñetas nos ha permitido, en primer lugar, observar la identificación social que se hace de la matemática escolar con la aritmética (como cálculo o

resolución de problemas) y la geometría (como identificación de figuras con sus nombres y características).

Por otra parte, las tiras de Mafalda nos han dado una idea de la forma en que los alumnos viven los problemas, a veces alejados de su realidad, y por tanto como verdaderos suplicios, mientras que otras veces adoptan una perspectiva inesperada, pero con una lógica interna válida. Esto nos hace recordar que la respuesta que un alumno tiene que dar a un problema no es la que le sugiere la situación problemática, sino la que el alumno supone que el profesor espera.”

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¿Cómo se utiliza el cálculo en situaciones de la vida diaria, no escolares?

Que utilizamos el cálculo en una diversidad de situaciones que requieren tomar decisiones, interpretar información, relacionadas con la economía, la tecnología, la ciencia, o con numerosas actividades propias de la vida diaria, del contexto personal, no es una novedad para nadie.

La matemática forma parte integral del ambiente cultural, social, económico y tecnológico del ser humano”. Por ejemplo, a un niño en la calle se le puede encontrar resolviendo un problema numérico para su supervivencia; un adulto, ya sea un conductor de un transporte público, un agricultor, un albañil, entre otros; todos utilizan la matemática y resuelven problemas con sus propios métodos, a veces, sin percatarse de ello.

Ahora bien ¿Cómo realizan cálculos, las personas involucradas en dichas situaciones?

Por ejemplo, en cualquier situación de compras, para decidir qué y cuánto comprar, para que no me falte dinero, o seleccionar entre diferentes ofertas cuál es la más conveniente, para saber cuánto pago por un crédito, para entender la relación entre el total a pagar y los gastos discriminados en una factura…, utilizamos la combinación de estrategias de cálculo

mental, estimado y la calculadora si los números para calcular resultan complicados o numerosos.

Los ingenieros, los contadores, etc..., deben realizar cálculos muy complejos por lo que utilizan programas de la computadora diseñados para resolverlos.

Utilizamos el cálculo para decidir, a partir de notificación municipal4, qué alternativa de pago conviene elegir. Para realizar transacciones comerciales, para jugar, para diseñar…

Izcovitch 4 plantea al respecto que: “En nuestra sociedad actual hay una variedad de estrategias de cálculo mucho mayor de las que viven en la escuela. La situación se ha invertido con respecto a algunas décadas atrás: desde una escuela que pretendía difundir conocimientos de uso social restringido a una escuela que sigue difundiendo conocimientos sociales casi fuera de uso y que no ha incorporado como objetos de enseñanza otras práctica sociales de cálculo.

4. En “Calculadora para los tres ciclos de la EGB” GCBA

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De acuerdo a lo solicitado informamos a Ud. que el pavimento de calle Quintana tiene vencimiento 16/06/09 y asciende a $ 6.259, 25, de contando tiene un 15% de descuento, por lo que quedaría en $ 5.320, 35.

La alternativa en cuotas es: > 3 cuotas de $ 1915, 45 con un 10% de descuento; > 5 cuotas de $ 1225, 17 con un 5% de descuento; > plan máximo es hasta 48 cuotas De $ 164, 83 con un interés del 1% mensual.

Fuera�de�la�escuela�utilizamos�con�mucha�mayor�frecuencia�el�cálculo�mental,�el�cálculo�estimativo�y�el�cálculo�con�calculadora�que�los�algoritmos�convencionales�que�hemos�aprendido�en�la�misma.�¿Por�qué�no�enseñarles�a�los�alumnos�toda�esa�variedad�de�estrategias�y�recursos�de�uso�social�actual?

Qué sentido tiene enseñar los algoritmos convencionales6 de cálculo?

Antiguamente la enseñanza de los algoritmos de cálculo debía hacerse con un nivel de exigencia que hoy consideraríamos excesivo. Un buen calculista no sólo tenía que saber calcular bien sino que debía hacerlo lo más rápido posible.

Desde la aparición de las primeras aritméticas impresas, los métodos de cálculo ya estaban prácticamente configurados como los conocemos hoy en día y hasta el final del siglo XVIII, apenas hay diferencias en cuanto a la forma de enseñarlos, que consistía en presentar varios métodos para una misma operación, coexistiendo los

6. Nos referimos aquí a las técnicas, “cuentas” de suma, resta multiplicación y división que se muestran en la imagen y que es objeto de enseñanza en la escuela.

algoritmos generales con los particulares y los más populares con los menos conocidos. En esa época, el maestro, probablemente, enseñaba el método que había aprendido.A partir del siglo XIX, la conjunción de varios fenómenos, como el establecimiento de un sistema general y público de enseñanza y de un currículum obligatorio común; la incorporación de nuevas ideas pedagógicas que incluyen la psicología de los niños, la creación de instituciones para la formación de los maestros, la valoración de las matemáticas como ciencia de estudio, provocará un cambio radical en la

5. Extraída de plan de pago ofrecido por la comuna de Gral. Roca durante el año 2009

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enseñanza del cálculo, que dejó de ser un compendio de reglas para efectuar sobre números, para distinguir un solo método para cada operación. Los viejos algoritmos alternativos sólo serán valorados como métodos para abreviar el número de cálculos intermedios o como métodos de cálculo mental si son susceptibles de realizarse sin lápiz y papel.

Las razones para seleccionar estos “únicos métodos”, producto de siglos de producción matemática, como contenido de enseñanza se parecen bastante a las razones por las que estos métodos fueron construidos y elegidos sobre otros, en la historia de su producción: por su utilidad y economía, porque al ser simples, seguros y breves permiten democratizar el acceso a un conocimiento que hasta ese momento era patrimonio de una elite.

Guedj7 ilustra, maravillosamente, esta idea: “Durante la alta Edad Media, en el occidente cristiano, las operaciones se efectuaban con ábacos, dispositivos de cálculo con aspecto de tablas de columnas; las cifras están

“Cuentas” realizadas por alumnos de 4° o 6° grado en una escuela de Gral. Roca durante el corriente año

inscriptas en unas fichas, los “apices”… a un abaquista, se le ocurrió la idea de colocar en las columnas vacías un carácter llamado sipos, “ficha”. Esta ficha, sustituida luego por el signo “cero”, hizo inútiles las columnas de los ábacos que a partir del siglo XII, fueron progresivamente sustituidas por “planchas de polvo”.

Pero eso no ocurrió sin un duro enfrentamiento entre los abaquistas, que reivinicaban a Pitágoras, y los algoristas, adeptos y usuarios del nuevo cálculo procedente del mundo árabe. En esta lucha de antiguos y modernos, los primeros han sido con frecuencia presentados como detentadores de los secretos del arte del cálculo y defensores de los privilegios de la corporación de los calculadores profesionales, con intereses comunes con la Iglesia.

La llegada del método indio suponía indiscutiblemente una democratización del cálculo; su sencillez sin misterios hacía que su utilización pudiera generalizarse. Y el arte del cálculo comenzó a abandonar los restringidos círculos de los especialistas.”

7. En “El�imperio�de�las�cifras�y�los�números”

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Img. izq.: Portada del Rechenbücher, de Adam Riese Competición entre algorísta y abacísta 1529).Img. der.: La�”Perla�Filosófica”, de Gregor Reisch (1503) Grabado en madera del siglo XV que muestra el triunfo del cálculo escrito sobre el cálculo con el ábaco. Uno escribe el otro no. El algorista triunfa sobre el abaquista.

Sin duda hoy día los cálculos algorítmicos son un patrimonio cultural y la escuela cumple con el objetivo de su difusión, pero ¿cómo lo difunde? es objeto de discusión. Guedj nos muestra que la construcción y adquisición de estos algoritmos responden a necesidades, posibilidades características socio-políticas del contexto histórico y desde aquí nos preguntamos: En la escuela ¿se plantea a los alumnos la posibilidad de conocer, los sentidos de estos algoritmos? ¿Se discute con los alumnos bajo qué condiciones tendría sentido utilizar estos algoritmos? ¿Cuáles son hoy en día las modalidades de cálculo que asegura la democratización de este contenido?

¿Cómo inciden los cambios tecnológicos en la enseñanza del cálculo?

Al iniciar este texto distinguíamos a la incidencia del contexto tecnológico

8. En “Transformaciones�que�las�tecnologías�de�la�información�y�la�comunicación�traen�para�la�educación�matemática”

actual como una de las tensiones que actualmente afecta a la enseñanza de la Matemática y a la educación en general. Muchas y variadas son las investigaciones al respecto, de las cuales consideramos pertinente rescatar el aporte de Villarreal8 al plantear “… hay quienes opinan que el empleo de la computadora o la calculadora impide que el alumno razone e indican que antes de utilizarla los alumnos deben primero manejar los contenidos matemáticos. Sin embargo, pocos cuestionarían que un alumno utilice lápiz y papel para resolver un ejerció matemático, sin percibir, quizás, que su raciocinio y su propia producción matemática están mediados por los dispositivos que emplea para desarrollarlos” . Villarreal toma como ejemplo las discusiones que se dieron en la década del 80, del siglo XIX, con respecto al uso del papel en la escuela argentina. Discusiones que se referían no sólo a motivos

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económicos (en ese momento el papel dejaba de ser costoso y escaso) sino en torno a la ausencia de la motricidad fina en los niños pequeños o a la cuestión de la higiene y cuidado de los cuadernos escritos en tinta (¿qué hacemos con las marcas del error?, por ejemplo, en un momento en que el error tenía un status negativo).

Así es que en 1920, el cuaderno

llegó a las aulas, habiendo librado una dura batalla con la pizarra portátil de nuestros bisabuelos. Se convirtió no sólo en un cambio tecnológico para el registro de las actividades escolares, sino como un reorganizador de la vida del aula.

Con respecto a la relación entre dispositivos y producción matemática, otra vez, Guedj, rescata un aspecto de la historia del cálculo que permite entender la relación dialéctica entre dispositivos y construcción de conocimiento matemático:

“Los calculadores indios del siglo V y tras ellos los continuadores árabes inscribían sus cifras en santo suelo, bien en la blanda tierra o arena, o en planchas de polvo. Los calculadores transportaban en unos saquitos polvo o harina. Las cifras se trazaban con el dedo, con un bastoncillo o un estilete. Más tarde, de más refinado aunque menos cómodo, se utilizaron tablillas untadas de cera y una especie de pizarras marcadas con tiza. Finalmente llegó el papel. En realidad, el registro de los números con una ayuda de una escritura y el establecimiento de dispositivos que permitieran calcularlos permanecían separados desde siempre. La numeración india de posición realizó el prodigio de abolir la distancia entre la escritura y el cálculo.

No eran necesarios los dispositivos materiales; en adelante, se operaría directamente con los propios nombres. Se habían acabado calculadores de bolas y ábacos, tablas de contar y “planchas de polvo”. Una pluma y una hoja de papiro, de pergamino o de papel bastarían para los cálculos más complejos.

Artigue, también, nos sitúa en la relación entre diferentes dispositivos, el cálculo y la enseñanza:

“El cálculo ha sido instrumentado, de siempre, por las diversas tecnologías, y hoy en día principalmente por las tecnologías informáticas. Son omnipresentes en la sociedad, están presentes en la escuela desde los primeros años de escolaridad. Definen nuestra relación con el cálculo y los objetos del cálculo. Sin�embargo,�es�necesario�reconocer�que�mientras�que�las�calculadoras�son�herramientas�escolares�oficiales�desde�hace�treinta�años,�la�enseñanza�de�las�matemáticas�tropieza�siempre�con�dificultades�a�la�hora�de�encontrar�un�equilibrio�satisfactorio�entre�el�cálculo�de�papel�y�lápiz�y�el�cálculo�instrumentado�por�las�calculadoras”.

Aún hoy, al plantear la posibilidad de incorporar la calculadora en la escolaridad primaria, en ocasiones escuchamos decir a los docentes:

• Los niños no saben más contar, sumar, multiplicar, y no hablemos de dividir…Si utilizan la calculadora van a saber menos de las técnicas operatorias• ¿Y las tablas?• ¿Podíamos introducir las máquinas en los cursos inferiores cuando los niños aún no dominan los números?

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9. Parra, (1994): “El cálculo mental en la escuela Primaria”�0. Artigue, (2004). Lenseignement du calcul aujourd?hui: problèmes, défis et perspectives. Repères IREM, no. 54.

• Un uso intensivo y sistemático podría hacer perder el hábito de la reflexión... En lugar de utilizar el cálculo mental se convierten en “aprieta botón” sin ninguna reflexión...

Objeciones, que no están totalmente desprovistas de fundamentos, pero más que revelar una preocupación sobre el uso de la calculadora en particular, están revelando una preocupación sobre la enseñanza de la operatoria en general, forma parte de la discusión sobre el papel que le otorguemos, hoy, a la enseñanza del cálculo numérico en la escuela.

¿Qué nos dicen las investigaciones didácticas sobre la enseñanza del cálculo?

Las investigaciones en Didáctica de la Matemática aportan en este sentido, el concepto de “cálculo pensado”9 o el de “inteligencia del Cálculo”10 .

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A la distinción “cálculo escrito”, “cálculo mental”, se la reemplaza por otra mucho más neta y fundamental: “cálculo automático” y cálculo pensado”.

El cálculo automático (o mecánico) se caracteriza por el empleo sistemático cualquiera sean los números, para una operación dada, de un algoritmo único: empleo de una técnica escrita, de un material (contadores, reglas de cálculo, máquinas de calcular, tabla de logaritmos), o de una regla de cálculo mental.

Las ventajas de este tipo de cálculo son: rapidez, confiabilidad, disponibilidad de la mente para otras tareas, economía en la memorización de los procedimientos… El inconveniente mayor es que como su uso depende de la memorización de ciertos pasos, sin la comprensión o el control de éstos, si los pasos se olvidan, se queda desprovisto de la herramienta.

Para el cálculo pensado “cada problema es nuevo”, los procedimientos dependerán de los números (no es lo mismo resolver 200 x 300, que 197 x 759), de las condiciones (puedo escribir o no, la calculadora funciona bien, se requiere cierta rapidez), de la operación, si el cálculo requiere que sea exacto o aproximado, etc.

El aprendizaje del cálculo pensado va a consistir esencialmente en darse cuenta de que para una misma operación ciertos cálculos son más simples que otros, que la economía no siempre simplifica el cálculo….

El aprendizaje del cálculo pensado permite usar, tratar ciertas propiedades de las operaciones y de la numeración decimal que a menudo no son tratadas en la enseñanza de la aritmética durante la escolaridad.

Artigue habla de la “inteligencia del cálculo” cuando la actividad del cálculo en matemáticas implica:

• Escoger las representaciones de los objetos más adaptados a los cálculos que queremos llevar a cabo.• Organizar y gestionar ese cálculo desde el momento en que no supone una simple rutina. • Anticipar, interpretar o controlar los resultados.

Aclara “que para que la inteligencia del cálculo sea posible, necesita que se constituya un conjunto importante de medios, en lo que se refiere a repertorios y técnicas operatorias especialmente, desde los primeros contactos con el mundo del cálculo.

Por ejemplo para un alumno que empieza a aprender a multiplicar, encontrar el resultado de un producto como 7x8, utilizando el hecho de que es 7x7+8, y el conocimiento memorizado del valor de 7x7, ver que es fácil memorizar la tabla del 9 basándose en la del 10, es un signo de la inteligencia del cálculo.

La inteligencia del cálculo supone, entonces, una atención permanente hacia la elaboración de repertorios, su consolidación y su enriquecimiento progresivo, más allá de sus elementos más básicos, la superación progresiva de las técnicas artesanales de cálculo en beneficio de técnicas más económicas y eficaces y, por último, una rutinización suficiente de algunas de ellas. Se tratará de lograr un equilibrio entre inteligencia y rutina.

Supone, también, el desarrollo de la flexibilidad sobre la cual se sustenta cualquier cálculo inteligente. Para poder ejercerse, es necesario que no todo esté establecido, delimitado por las normas de las prácticas de cálculo,

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que la asociación tarea-técnica no sea demasiado rígida, que las tareas de cálculo no se dividan en una sucesión de subtareas.

En definitiva, que el abanico de las formas, los registros y los puntos de vista encontrados por el alumno sean suficientemente ricos. Para que esta flexibilidad pueda ejercerse no basta con enfrentar al alumno con tareas abiertas, también es necesario que le sean accesibles, que éste pueda responsabilizarse de ellas y asumirlas. Esta experiencia, para constituirse, necesita tiempo, un tiempo del que sin duda alguna carece en gran medida la enseñanza de las matemáticas hoy en día.

Esto hace que sea mucho más necesario dedicar tanta energía e inteligencia a la hora de pensar en la progresión de las competencias del cálculo, en la progresión de la responsabilidad matemática del alumno en los cálculos y en la desaparición progresiva de la intervención docente de la que hacemos uso, para pensar en la introducción de nociones nuevas, así como para inventar los problemas y las preguntas que van a motivar y acompañar esta introducción”

¿Qué y cómo enseñar el cálculo? Algunas propuestas didácticas

I. Incluir la enseñanza de los algoritmos convencionales adquiere importancia ya no sólo como “patrimonio cultural difundido” sino que su estudio nos da posibilidades de plantear ricas situaciones para desarrollar “la inteligencia del cálculo”, para problematizar diferentes conocimientos matemáticos, para humanizar la matemática.Las “cuentas”, pasan a ser “otro de los recursos de cálculo”. Comprender su funcionamiento y las razones que subyacen a dichas técnicas, Conocer y compararlas con otras técnicas, evaluar su potencialidad o limitaciones contribuiría a:

• Aprender las propiedades de las operaciones y el funcionamiento delsistema de numeración en que se apoyan.• Completar los significados de las operaciones.• Automatizar ciertos cálculos.Los tres ejemplos que siguen

ilustran este punto. Son situaciones problemáticas pensadas para alumnos del segundo o tercer ciclo.

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En este caso se destaca que la condición de “utilizar otros ya resueltos” es lo que permite poner en juego propiedades de la multiplicación como la multiplicación por potencias de 10 (para 36x240), transparentar las propiedades en las que se apoya la técnica de multiplicar: descomposición de los multiplicandos y el valor posicional de las cifras (para 366

x 40), propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y relacionar a la multiplicación con la división como operaciones inversas (para resolver 52.704 :6).

Incluir la descripción y justificación de los procedimientos empleados permite hacer explícitas las propiedades utilizadas.

Ejemplo 2

A la izquierda se muestran distintos métodos para resolver:

4608 x 36937835:254548 +4646456 –2872

a. Describa y justifique cada uno de los métodos planteados

b. Resolver por el método convencional de cálculo cada uno de los cálculos propuestos. Comparar ese método con los propuestos teniendo en cuenta:

• Ubicación de los números y cómo empieza el cálculo.• Los resultados parciales en cada caso ¿coinciden? Entre los diferentes formas de calcular.• ¿Cuál es más económico?• ¿Cuál es más transparente?

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Ejemplo 3Un documento del siguiente tipo es

dado a los chicos:Algunos alumnos de otro curso

utilizaron diferentes procedimientos

para resolver el problema: Se requieren poner 37 835 botellas en cajas que pueden contener 25 botellas cada una. ¿Cuántas de esas cajas debemos prever?,

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Se solicita a los chicos:• que expliquen cómo han realizado el cálculo en cada caso (significado con relación a la situación de los números escritos y las operaciones realizadas).• buscar correspondencias entre los diferentes modo de cálculo. Por ejemplo: ¿Dónde se encuentra el “-----------25 000” del grupo 2, en los trabajos de los otros grupos?• proponer eventualmente otro modo de resolución para el problema planteado.

II. La calculadora puede ser un recurso potente para favorecer el desarrollo del cálculo pensado. Sin descuidar el cálculo mental, la memorización de repertorios aditivos y multiplicativos, las actividades sobre aproximación de un resultado. La calculadora puede constituirse en un instrumento preferencial para: • Consolidar las técnicas ya empleadas en clase y conducir a una mejor comprensión de éstas.• Permitir un ahorro de tiempo apreciable en la aproximación a ciertas nociones para las cuales cálculos largos pero necesarios serían un obstáculo para una mejor comprensión o cuando el procedimiento es más importante que el resultado mismo.• Dar a los niños que tienen dificultades a nivel de técnicas operatorias por ejemplo, la posibilidad de trabajar al mismo ritmo que los otros. • Usar los conceptos aprendidos para tratar de “superar” a la máquina cuando ella no puede resolver un problema dado, por ejemplo, en el caso en que el número de cifras excede la capacidad de la máquina.• Plantear diferentes conjuntos de cálculos según la propiedad de las operaciones que se pretendan estudiar:

Ejemplo �

Se divide a la clase en dos grupos. Los alumnos de uno de los grupos disponen de máquinas y los del otro grupo deben realizar los cálculos mentalmente.Los cálculos que se proponen pueden ser:Se fija un tiempo prudencial y todos los alumnos deben escribir los resultados sobre el cuaderno borrador antes de enunciarlos. En cada caso se discute sobre las diferencias de los resultados, debiendo argumentar para aceptar un resultado como válido (lo cual requiere describir el procedimiento empleado y justificarlo utilizando las propiedades pertinentes). Se reflexiona también sobre las dificultades y el tiempo utilizado para resolver de cada forma (mental, con calculadora). Los cálculos propuestos determinan las propiedades que se pondrán en juego.

Multiplicaciones y división por �0, �000 y �000 de enteros o

decimales. (Algunos de los números enteros terminan en ceros y otros no).

La multiplicación y división por la unidad seguida de ceros y su relación con agregar y quitar ceros, correr comas y la modificación del valor relativo de las cifras.

Multiplicaciones por 11 y 99, sobre enteros menores que 100

Propiedad distributiva de la multiplicación. Descomposiciones aditivas convenientes.

48 + 72 + 37 x 43= 25+13+12+15+50+17+18+25+50+35 =

Propiedad asociativa y conmutativa de la suma.

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Ejemplo 2:

Para rever, para comprender una técnica operatoria son de interés las situaciones de cálculos de sumas, restas y productos, con enteros o decimales, en los cuales los números utilizados o los resultados tienen un número de cifras superior a la capacidad de la máquina.

Calcular:a) 79 054 351 483 + 43 290 586 541=b) 74 039 152 387 - 35 487 594 218 =c) 49 673 478 x 6 473 =

la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

Para resolverlas se plantea como condición utilizar la calculadora y el registro escrito. Pues por extensión de los números se hace necesario descomponer los números y registrar los resultados parciales en forma conveniente.

Por ejemplo para la multiplicación

Si bien cada uno de los factores aparece en el visor, el resultado excede la capacidad de la máquina. Se hace necesario entonces dividir los números y registrar los resultados parciales; dos soluciones posibles son:

49 673 478 x 6 473

Este tipo de problemas permite revisar las propiedades que justifican los algoritmos convencionales: del sistema de numeración, la descomposición de números y

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Ejemplo 3:

Resolver situaciones que requieran calcular elementos de la división euclidiana con la calculadora, permite comprender la relación, en todas las etapas de la división, entre dividendo, divisor, cociente y resto.

A. Calcular el cociente entero y el resto de 35 472 : 645 B. Dividir 372 025 por 429 sin apretar la tecla ?

Se sabe que para resolver el ítem a) es necesario calcular D – d. q (D, d y q designan respectivamente el dividendo, el divisor y el cociente).

La solución más económica es:

Esta larga secuencia de cálculos muestra que la falta de flexibilidad de la máquina para un cálculo relativamente simple puede ser utilizada como recurso en la enseñanza de la división, no para obtener el cociente, caso en el que los alumnos no tendrían nada para aprender, sino para comprender la división entera.

Ejemplo 4

En Primer grado para presentar los símbolos = y +, luego de haber

trabajado distintas situaciones de tipo aditivo, y que los niños disponen de un repertorio aditivo básico.

Cada niño dispone de una calculadora de bolsillo. El docente escribe en el pizarrón varias sumas dibujando en cada caso las teclas que hay que apretar.

Los niños deben decir lo que aparece en el visor y se anota en el pizarrón. Por ejemplo:

Luego de hacer esto con varias cuentas se les plantea a los alumnos, qué creen que hace la máquina. como cierre se presentan los dos símbolos + y =.

Ejemplo 5

En 7º grado para enseñar el uso de los paréntesis los alumnos disponen de un enunciado como el siguiente:

Para Navidad Marcela compra en un comercio los siguientes regalos: • Una bolsa de cosméticos a $75• 2 juegos de ping-pong a 52,20 cada uno• 2 juegos de mesa a $ 21,40 cada uno• 4 CD a $38 cada uno.

a. Prever el orden de magnitud del resultadob. Calcular (con la calculadora, sin escribir) el precio total de la compra ingresando en el transcurso del cálculo el precio por unidad.c. Registrar el procedimiento empleado en el siguiente cuadro:

7 + 8 = �5

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Ejemplo 6

Para reflexionar sobre la necesidad de anticipar un plan de acción antes de decidir qué procedimiento o qué tipo de cálculo utilizar (calculadora, mental o escrito)

Resolver con la calculadora en el menor número de pasos posible:

a. (56,7 x 72,8 ) + ( 56,7 x 37,5) + 56,7 x 47,85 ) =b. (35,2 + 29,5 + 20,5, 5 – 35,2) x 1000 x 234,698

El uso de las calculadoras en la escuela abre nuevas perspectivas. Las actividades anteriores muestran que la calculadora es una herramienta poderosa para aprender, permite efectuar las operaciones a gran velocidad y exige por parte del usuario que sea un actor que la domine como así también gran atención.

En particular para la enseñanza de la operatoria numérica, puede ser utilizada con diferentes propósitos como:• Liberar los límites del cálculo.• Plantear el problema de aproximación• Consagrar más tiempo a las actividades del sentido. • Brindar autonomía a los alumnos para examinar los procedimientos permitiéndole descubrir eventuales errores.

III. Que los niños tengan la posibilidad de estudiar otras formas de cálculo como el cálculo mental (sin escribir), con la exigencia de rapidez, formas de cálculo escrito no algorítmico; cálculos aproximado, además de brindar la posibilidad de trabajar los diferentes contenidos aritméticos, contribuye a que el alumno cuente con medios de control de distintas situaciones y

de sus producciones; confiando en sus procedimientos y estableciendo una relación más personal con el conocimiento.

Por ejemplo, algunas situaciones de cálculo, para plantear sistemáticamente y con la intensión de mejorar la disponibilidad del repertorio y de las propiedades de las operaciones en diferentes conjuntos numéricos podrían ser:

• Para la operatoria multiplicativa con números Naturales:a. Rápidamente y sin escribir resolver 325 x 101; 126 x 9; 12 x 25; b. Pedro dice que el cociente de 126 por 4 es 30. ¿Tiene razón?c. Encontrar el cociente de 63 por 7, de 630 por 7, de 630 por 70…d. ¿Cuál esta más cercano a 758x900? 880.000, 1.000.000 ó 150.000e. Cuántas cifras tendrá el cociente 354.345 ÷ 2785f. Probar que 4.322 x 57 = 24.624 es inexacto.g. Buscar el resultado de 437 x 73 en la siguiente lista: 31.901; 28.901; 3.171 19.910h. Rodear la respuesta más cercana al resultado exacto. El cociente de 6912 por 24 ¿es más cercano a 200, 300 o 500?i. La maestra da 47x7= 329 y pide que los alumnos calculen 47x70; 470x7 ; y el cociente de 3297 por 7, el de 32900 por 70...

• Para la operatoria aditiva con números Racionales:a. Rápidamente y sin escribir, resolver:35 x ½; 1/2 + ¾; 19/3 + 1; 17/4 – 1;

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7+ 2/10 + 5/10; 15+6/10+8/100; 21 – 0,6; 32 – 1,6

b. Sin hacer el cálculo escrito, y sin calculadora, decidan cuál es la respuesta correcta:0,07 + 0,05 + 0,01 = 0,0130,07 + 0,05 + 0,01 = 1,30,07 + 0,05 + 0,01 = 0,13Verifica la respuesta con un cálculo escrito.

c. Sin hacer el cálculo escrito, y sin calculadora, decidan cuál es la respuesta correcta: 1 – 0,991 = 0,009 1 – 0,991 = 0,091 1 – 0,991 = 0,099Verifiquen su respuesta con un cálculo escrito.

•�Documentos�Curriculares,�para�ampliar:

Bressan, Ana María “La estimación, una forma importante de pensar en matemática” Desarrollo Curricular Nro. 1. EGB 1 y 2. Consejo Provincial de Educación. Provincia de Río Negro.1999.Broitman C. “Cálculo mental con números Naturales”- Para adultos- Documento de desarrollo curricular - Año 2008 – Matemática. Ministerio de Dirección de Educación. Gobierno Ciudad de Buenos Aires-Itzcovich H., Broitman C. “Aportes didácticos para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB- Documento Nº 6 - Año 2001Gabinete Pedagógico Curricular – Matemática. Dirección General de Cultura y Educación. Provincia de Buenos Aires-Quaranta, M. E.; Ponce H. “Cálculo mental con números Racionales” y “Cálculo mental con números Naturales”. Aportes para la enseñanza- Documento de desarrollo curricular - Año 2006 Ministerio de Dirección de Educación. Gobierno Ciudad de Bs As-Disponibles en http://www.abc.gov.ar/LaInstitución/http://www.buenosaires.gov.ar/educación/http://www.2educación.gov.ar/

Artigue M. (2007). El cálculo bajo todas sus formas, IREM. Universidad de París 7. Conferencia de apertura, agosto de 2005 en Universidad de Verano. Trad. del francés por Inés M. Gómez ChacónArtigue, M. (2004) “Problemas y desafíos en educación matemática: ¿que nos ofrece hoy la didáctica de la matemática para afrontarlos?” Université Paris 7 Denis Diderot.Artigue, M. (2006) La inteligencia del cálculo en revista MatematicaliaArtigue, M. (2004). Lenseignement du calcul aujourd?hui: problèmes, défis et perspectives. Repères IREM, no. 54 .Casina de Anzorena S.; Iturbe A. (2008)“Fichas de problemas para el área de Matemática II”, IFDC de General Roca RN-Clavier, Y, y otros, Objetif Calcul,C.M. 1, Hatier, Paris, 1.989 “MATH EBDO CM1 ”y “MATH EBDO CM2”, Classiques Hachette, 1.984, París. ERMEL (1995) “Aprendizajes matemáticos en la escuela elemental” Ciclo Medio tomo 1.Editorial Hatier. Paris; realizada por la Prof. Perla Sosa. Di.Fo.Ca.Pe.A. ERMEL, (1982).Aprendizajes matemáticos en la escuela elemental, Sermap-Hatier, París, FREGONA, D. (1.997) “El libro de la matemática de 7°.” Manual del alumno y libro del docente. Ed. Estrada..-Grand N, (1981) boletín de matemática para los maestros de la escuela elemental. I.R.E.M. y C.R.D.P. de Grenoble. Tomo I, Octubre.Guedj D. (1998) “El imperio de las cifras y los números” Ed. Bsa. Barcelona. España.Parra, C. (1994): “El cálculo mental en la escuela Primaria”, Didáctica de Matemática. Paidós.Sadovsky P. (2005)“Enseñar Matemática Hoy. Miradas, sentidos y desafíos” FD.Matemática. Libro el Zorzal.Villarreal M. “Transformaciones que las tecnologías de la información y la comunicación traen para la educación matemática”. Revista Yupana n1. 04. Ediciones UNL.Zinelli M. T.; Pistognesi V. (2008) “Fichas de problemas para el área de Matemática I”, IFDC Gral Roca RN.

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