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EM34B
Transferência de Calor 2Prof. Dr. André Damiani Rocha
Aula 04 – Convecção Forçada
Escoamento Externo
Aula 04
Convecção Forçada: Escoamento Externo
Escoamento Externo
É definido como um escoamento não-confinado por
paredes;
As camadas-limite se desenvolvem livremente, sem
restrições impostas por superfícies adjacentes;
Concentraremos a atenção em problemas de
convecção forçada, com baixas velocidades e sem
mudança de fase no fluido;
2
Aula 04
Convecção Forçada: Escoamento Externo
Escoamento Externo
O principal objetivo é determinar os coeficientes
convectivos em diferentes geometrias do escoamento.
3
𝑁𝑢𝑥 = 𝑓 𝑥∗, 𝑅𝑒𝑥 , 𝑃𝑟
𝑁𝑢 = 𝑓 𝑅𝑒𝑥 , 𝑃𝑟
Aula 04
Convecção Forçada: Escoamento Externo
02 Abordagens – Empírica e Teórica
Empírica ou Experimental: envolve a execução de
medidas de transferência de calor sob condições
controladas de laboratório e a correlação de dados
através de parâmetros adimensionais apropriados;
Teórica: envolve a resolução das equações da
camada-limite para uma determinada geometria
4
Aula 04
Convecção Forçada: Escoamento Externo
Método Empírico
Os valores específicos do coeficiente C e dos expoentes
m e n variam com a natureza da geometria dasuperfície e com o tipo de escoamento.
6
Aula 04
Convecção Forçada: Escoamento Externo
Avaliando as Propriedades
A hipótese de propriedades do fluido constantes está
frequentemente explícita nos resultados;
Porém, a temperatura não é constante dentro da camada
limite;
02 abordagens:
o Temperatura de Filme:
7
𝑇𝑓 ≡𝑇𝑠 + 𝑇∞
2
𝑃𝑟∞ 𝑃𝑟𝑠𝑟
𝜇∞ 𝜇𝑠𝑟
o Termo de correção: as propriedades são
avaliadas em T e um parâmetro adicional é
utilizado na forma:
Aula 04
Convecção Forçada: Escoamento Externo
Placa Plana em Escoamento Paralelo
Apesar de ser simples, o escoamento paralelo sobre
uma placa plana ocorre em numerosas aplicações da
engenharia.
8
Aula 04
Convecção Forçada: Escoamento Externo
Placa Plana em Escoamento Paralelo: Laminar
Considerações:
o Laminar
o Incompressível
o Regime permanente
o Propriedades constantes
o Dissipação viscosa desprezível
9
𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕𝑣
𝜕𝑦= 0
𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
𝑢𝜕𝑇
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑇
𝜕𝑦= 𝛼
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite fluidodinâmica
A solução fluidodinâmica segue o método de Blasius;
A primeira etapa é definir uma função corrente:
Essas definições satisfazem a equação de conservação
da massa
10
𝑢 ≡𝜕𝜓
𝜕𝑦𝑣 ≡ −
𝜕𝜓
𝜕𝑥
Aula 04Placa Plana Isotérmica Laminar
Solução: Camada-limite fluidodinâmica
As novas variáveis dependente e independente, f e ,são então definidas de modo que
O uso dessas variáveis simplifica a questão através da
redução da EDP para uma EDO.
11
𝑓 𝜂 ≡𝜓
𝑢∞ 𝜈𝑥/𝑢∞𝜂 ≡ 𝑦 𝑢∞/𝜈𝑥
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite fluidodinâmica
A solução de Blasius é dita uma solução por
similaridade, e é uma variável similar.
É similar porque o perfil de velocidades 𝑢 𝑢∞
permanece geometricamente similar.
Essa similaridade possui a seguinte forma funcional
Onde 𝛿~ 𝜈𝑥/𝑢∞1/2 →
12
𝑢
𝑢∞= 𝜙
𝑦
𝛿𝑢
𝑢∞= 𝜙 𝜂
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite fluidodinâmica
Assim, as componentes da velocidade são escritas da
seguinte forma
13
𝑢 =𝜕𝜓
𝜕𝑦=
𝜕𝜓
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦= 𝑢∞
𝜈𝑥
𝑢∞
𝑑𝑓
𝑑𝜂𝑢∞ =
𝑑𝑓
𝑑𝜂
𝑣 = −𝜕𝜓
𝜕𝑥= − 𝑢∞
𝜈𝑥
𝑢∞
𝑑𝑓
𝑑𝑥+
𝑢∞
2
𝜈
𝑢∞𝑥𝑓 =
1
2
𝜈𝑢∞
𝑥𝜂
𝑑𝑓
𝑑𝜂− 𝑓
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite fluidodinâmica
Diferenciando as componentes da velocidade
14
𝜕𝑢
𝜕𝑥= −
𝑢∞
2𝑥𝜂
𝑑2𝑓
𝑑𝜂2
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 𝑢∞
𝑢∞
𝜈𝑥
𝑑2𝑓
𝑑𝜂2
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2=
𝑢∞2
𝜈𝑥
𝑑3𝑓
𝑑𝜂3
2𝑑3𝑓
𝑑𝜂3+ 𝑓
𝑑2𝑓
𝑑𝜂2= 0
EDO, não-linear, de 3ª ordem.
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite fluidodinâmica
As condições de contorno apropriadas são
ou ainda,
15
𝑢 𝑥, 0 = 𝑣 𝑥, 0 = 0
𝑑𝑓
𝑑𝜂𝜂=0
= 𝑓 0 = 0
𝑢 𝑥, ∞ = 𝑢∞
𝑑𝑓
𝑑𝜂𝜂→∞
= 1
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite
fluidodinâmica
A solução da equação
resultante, submetida às
condições de contorno já
discutidas, pode ser
obtida por expansão em
série ou por integração
numérica.
16
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite fluidodinâmica
17
𝑢 𝑢∞ = 0,99 → 𝜂 = 5,0
𝛿 =5,0
𝑢∞/𝜈𝑥=
5𝑥
𝑅𝑒𝑥
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite fluidodinâmica
Tensão de cisalhamento
Coeficiente de atrito local
18
𝜏𝑠 = 𝜇 𝜕𝑢
𝜕𝑦𝑦=0
= 𝜇𝑢∞ 𝑢∞/𝜈𝑥 𝑑2𝑓
𝑑𝜂2
𝜂=0
𝜏𝑠 = 0,332𝑢∞ 𝜌𝜇𝑢∞/𝑥
𝐶𝑓,𝑥 ≡𝜏𝑠,𝑥
𝜌𝑢∞2
2
= 0,664𝑅𝑒𝑥−1/2
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite térmica
A partir do conhecimento das condições da camada-
limite de velocidades, a equação da energia pode ser
resolvida;
Temperatura adimensional e forma funcional
19
𝑇∗ ≡𝑇 − 𝑇𝑠
𝑇∞ − 𝑇𝑠𝑇∗ = 𝑇∗ 𝜂
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite térmica
Efetuando as substituições necessárias, a equação da
energia fica da seguinte forma,
Observe a dependência da solução térmica em
relação às condições fluidodinâmicas, através da
variável f.
20
𝑑2𝑇∗
𝑑𝜂2+
𝑃𝑟
2𝑓
𝑑𝑇∗
𝑑𝜂= 0
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite térmica
As condições de contorno apropriadas são
21
𝑇∗ 0 = 0 𝑇∗ ∞ = 1
A solução pode ser obtida por
integração numérica
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite térmica
Uma consequência importante dessa solução é que,
Para Pr ≥ 0,6, os resultados podem ser correlacionados
por,
Representando o coeficiente convectivo local como,
22
𝑑𝑇∗
𝑑𝜂𝜂=0
= 0,332𝑃𝑟1/3
ℎ𝑥 = 𝑘𝑢∞
𝜈𝑥
1/2
𝑑𝑇∗
𝑑𝜂𝜂=0
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Solução: Camada-limite térmica
Assim, o Nusselt local tem a forma
A partir dessa solução, tem-se que, para Pr ≥ 0,6, a
razão entre as espessuras das camadas-limite de
velocidade e térmica é,
23
𝑁𝑢𝑥 ≡ℎ𝑥𝑥
𝑘= 0,332𝑅𝑒𝑥
1 2𝑃𝑟 1 3 → 𝑃𝑟 ≥ 0,6
𝛿
𝛿𝑡≈ 𝑃𝑟 1 3
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Parâmetros da camada-limite médios
Coeficiente de atrito médio
24
𝐶𝑓,𝑥 ≡𝜏𝑠,𝑥
𝜌𝑢∞2 2
𝜏𝑠,𝑥 ≡1
𝑥 0
𝑥
𝜏𝑠,𝑥 𝑑𝑥
𝐶𝑓,𝑥 = 1,328𝑅𝑒𝑥−1/2
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Parâmetros da camada-limite médios
Coeficiente de transferência de calor médio
25
ℎ𝑥 =1
𝑥 0
𝑥
ℎ𝑥 ℎ𝑥 =
𝑘
𝑥𝑃𝑟1/3
𝑢∞
𝜈 0
𝑥 𝑑𝑥
𝑥1/2
𝑁𝑢𝑥 ≡ ℎ𝑥𝑥
𝑘= 0,664𝑅𝑒𝑥
1 2𝑃𝑟1/3
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Parâmetros da camada-limite médios
Se o escoamento for laminar ao longo de toda a
superfície, o subscrito x pode ser substituído por L;
Nas expressões anteriores vemos que, para o
escoamento laminar sobre uma placa plana, os
coeficientes de atrito e convectivos médios são o dobro
dos coeficientes locais.
Observa-se também que, ao usarmos essas expressões,
o efeito de propriedades variáveis pode ser tratado
pela avaliação das propriedades usando Tf.
26
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Metais líquidos
Para fluidos como os metais líquidos (Pr pequeno) o
desenvolvimento da camada-limite térmica é muito
mais rápido.
27
𝑁𝑢𝑥 = 0,564𝑃𝑒𝑥1/2
→ 𝑃𝑟 ≤ 0,05; 𝑃𝑒𝑥 ≥ 100
𝑃𝑒𝑥 ≡ 𝑅𝑒𝑥𝑃𝑟
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar
Correlação de Churchill e Ozoe
Correlação que se aplica a todos os números de
Prandtl, considerando escoamento laminar sobre uma
placa isotérmica.
28
𝑁𝑢𝑥 =0,3387𝑅𝑒𝑥
1/2𝑃𝑟1/3
1 +0,0468
𝑃𝑟
2/3 1/4→ 𝑃𝑒𝑥 ≥ 100
𝑁𝑢𝑥 = 2𝑁𝑢𝑥
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Turbulento
Correlações
Não é possível a obtenção de soluções analíticas
exatas para camadas-limite turbulentas – instáveis;
Correlações obtidas a partir de dados experimentais;
Schlichting mostrou que para Re ~ 108, o coeficiente de
atrito local é correlacionado como,
29
𝐶𝑓,𝑥 = 0,0592𝑅𝑒𝑥−1/5
→ 𝑅𝑒𝑥,𝑐 ≤ 𝑅𝑒𝑐 ≤ 108
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Turbulento
Correlações
A camada-limite de velocidade pode ser representadacomo,
Note que o crescimento da camada-limite turbulenta émuito mais rápido quando comparado com a camada-limite laminar.
30
𝛿 = 0,37𝑅𝑒𝑥−1/5
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Turbulento
Correlações
Nusselt local para escoamento turbulento
A melhor mistura causa um crescimento mais rápido da
camada-limite turbulenta, quando comparado ao da
camada-limite laminar, e faz com que os coeficientes
de atrito e convectivo sejam maiores.
31
𝑁𝑢𝑥 = 0,0296𝑅𝑒𝑥4/5
𝑃𝑟1/3
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Mista
Camada-limite mista
A camada-limite turbulenta é, geralmente, precedida
por uma camada-limite laminar;
Se a transição ocorrer próximo à aresta de saída da
placa (0,95 xc/L 1), os coeficientes de atrito e
convectivos médios podem ser utilizados;
Se a transição ocorrer próximo à aresta de entrada
(xc/L 0,95), então os coeficientes médios serão
influenciados pelas condições tanto da camada-limite
laminar quanto pela camada-limite turbulenta.
32
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Mista
Camada-limite mista
O coeficiente convectivo médio no caso de camada-
limite mista é dado por,
33
ℎ𝐿 =1
𝐿 0
𝑥𝑐
ℎ𝑙𝑎𝑚𝑑𝑥 + 𝑥𝑐
𝐿
ℎ𝑡𝑢𝑟𝑏𝑑𝑥
ℎ𝐿 =𝑘
𝐿0,332
𝑢∞
𝜈
1/2
0
𝑥𝑐 𝑑𝑥
𝑥1/2+ 0,0296
𝑢∞
𝜈
4/5
𝑥𝑐
𝐿 𝑑𝑥
𝑥1/5
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Mista
Camada-limite mista
O número de Nusselt médio, é dado por,
34
𝑁𝑢𝐿 = 0,037𝑅𝑒𝐿4/5
− 𝐴 𝑃𝑟1/3
𝑁𝑢𝐿 =0,6 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 600
𝑅𝑒𝑥,𝑐 ≤ 𝑅𝑒𝐿 < 108
𝐴 = 0,037𝑅𝑒𝑥,𝑐4/5
− 0,664𝑅𝑒𝑥,𝑐1/2
Aula 04Placa Plana Isotérmica: Mista
Camada-limite mista
O coeficiente de atrito médio, é dado por,
35
𝐶𝑓,𝐿 =1
𝐿 0
𝑥𝑐
𝐶𝑓,𝑥𝑑𝑥 + 𝑥𝑐
𝐿
𝐶𝑓,𝑥𝑑𝑥
𝐶𝑓,𝐿 = 0,074𝑅𝑒𝐿−1/5
−2𝐴
𝑅𝑒𝐿→ 𝑅𝑒𝑥,𝑐 ≤ 𝑅𝑒𝐿 ≤ 108
Aula 04
Placa Plana: Comprimento Não-Aquecido
Comprimento inicial não-aquecido
Existem casos que envolve a existência de um
comprimento inicial não aquecido (Ts = T) a montante
da seção aquecida (Ts T);
36
Aula 04
Placa Plana: Comprimento Não-Aquecido
Nusselt – Laminar
Nusselt - Turbulento
37
𝑁𝑢𝑥 = 𝑁𝑢𝑥 𝜉=0
1 − 𝜉/𝑥 3/4 1/3
𝑁𝑢𝑥 = 𝑁𝑢𝑥 𝜉=0
1 − 𝜉/𝑥 9/10 1/9
Aula 04Placa Plana: Fluxo Constante
Placa plana com fluxo de calor constante
Quando a superfícies estiver sob a condição de fluxo de
calor constante, o número de Nusselt para escoamento
laminar é dado por,
Para escoamento turbulento,
38
𝑁𝑢𝑥 = 0,453𝑅𝑒𝑥1/2
𝑃𝑟1/3
𝑁𝑢𝑥 = 0,0308𝑅𝑒𝑥4/5
𝑃𝑟1/3
Aula 04Exemplo 01
Considere os fluidos a seguir a uma temperatura de filme de
300K, em escoamento paralelo sobre uma placa plana com
uma velocidade de 1m/s: ar atmosférico, água, óleo motor e
mercúrio.
a) Para cada fluido, determine as espessuras das camadas-
limite de velocidade e térmica a uma distância de 40mm
da aresta frontal.
b) Para cada um dos fluidos especificados e nas mesmas
coordenadas, represente em um gráfico as espessuras
das camadas-limite em função da distância da aresta
frontal.
39
Aula 04Exemplo 01 (Solução)
a) Para cada fluido, determine as espessuras das camadas-
limite de velocidade e térmica a uma distância de 40mm
da aresta frontal.
40
𝑢∞ = 1𝑚/𝑠
𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 1𝑚/𝑠
Propriedades do Ar – Tabela A.4
𝑇 = 300𝐾 → 𝜈 = 15,89𝑥10−6 𝑚2 𝑠 ; 𝑃𝑟 = 0,707
Propriedades da Água – Tabela A.6
𝑇 = 300𝐾 → 𝜇 = 855𝑥10−6𝑃𝑎. 𝑠; 𝜌 = 997 𝑘𝑔 𝑚3 𝑃𝑟 = 5,83
Aula 04Exemplo 01 (Solução)
a) Para cada fluido, determine as espessuras das camadas-
limite de velocidade e térmica a uma distância de 40mm
da aresta frontal.
41
𝑢∞ = 1𝑚/𝑠
𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 1𝑚/𝑠
Propriedades do Óleo – Tabela A.5
𝑇 = 300𝐾 → 𝜈 = 550𝑥10−6 𝑚2 𝑠 ; 𝑃𝑟 = 6400
Propriedades do Mercúrio – Tabela A.5
𝑇 = 300𝐾 → 𝜈 = 0,113 𝑚2 𝑠 ; 𝑃𝑟 = 0,0248
Aula 04Exemplo 01 (Solução)
a) Para cada fluido, determine as espessuras das camadas-
limite de velocidade e térmica a uma distância de 40mm
da aresta frontal.
42
𝑢∞ = 1𝑚/𝑠
𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 1𝑚/𝑠
Espessuras das camadas-limite
𝛿 =5𝑥
𝑅𝑒𝑥
𝛿𝑡 =𝛿
𝑃𝑟1/3𝑅𝑒𝑥 =
𝑢∞𝑥
𝜈
b) Camada-limite hidrodinâmica43
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040
0,0025
0,005
0,0075
0,01
0,0125
0,015
0,0175
0,02
0,0225
0,025
x [m]
d [
m]
ÓleoÓleo
MercúrioMercúrio
ÁguaÁgua
ArAr
b) Camada-limite térmica44
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
0,005
x [m]
dt [m
]
ÓleoÓleo
ArAr
ÁguaÁgua
MercúrioMercúrio
b) Camada-limite hidrodinâmica x térmica (Óleo)45
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040
0,0025
0,005
0,0075
0,01
0,0125
0,015
0,0175
0,02
0,0225
0,025
x [m]
d [
m]
dhdh
dtdt
b) Camada-limite hidrodinâmica x térmica (Ar)46
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
0,005
x [m]
d [
m]
dhdh
dtdt
b) Camada-limite hidrodinâmica x térmica (Mercúrio)47
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
0,0006
0,0007
0,0008
0,0009
0,001
0,0011
0,0012
x [m]
d [
m]
dhdh
dtdt
Aula 04Exemplo 02
Óleo motor a 100°C e a uma velocidade de 0,1m/s escoa
sobre as duas superfícies de uma placa plana com 1m de
comprimento mantida a 20°C. Determine:
a) As espessuras das camadas-limite de velocidade e
térmica na aresta de saída da placa;
b) O fluxo de calor e a tensão de cisalhamento na superfície
na aresta de saída da placa;
c) Represente graficamente as espessuras das camadas-
limite e os valores locais da tensão de cisalhamento na
superfície, do coeficiente convectivo e do fluxo de calor
como uma função de x, para 0 x 1m.
48
Aula 04Exemplo 03
Uma placa plana de largura 1m e comprimento 0,2m é
mantida a temperatura de 32°C. Fluido ambiente a 22°C
escoa através da superfície superior da placa em
escoamento paralelo. Determine o coeficiente de
transferência de calor médio e a taxa de transferência de
calor nas seguintes condições:
a) O fluido é água escoando a uma velocidade de 0,5m/s;
b) O fluido é água escoando a uma velocidade de 2,5m/s;
49
Aula 04Leitura Obrigatória
50
Capítulo 07 do Livro-texto: INCROPERA, F. P., DEWITT, D. P.,
BERGMAN, T. L., LAVINE, A., Fundamentos de Transferência de
Calor e de Massa. 6ª Edição, Rio de Janeiro, Editora LTC,
2008.