c053618ELEMENTOS DE ANLISE DE SISTEMAS DE POTNCIA

William D. Stevenson Jr.

(tens50 base, kvLL)' 1000 Impedncia base = kVA3$base ,

(tenso base, kvLL)? Impedncia base = MVA3$ base

Exceto pelo subscrito, as Equaes (2.42) e (2.43) so idnticas s EquaUes (2.49) e (2.50), respectivamente. Subscritos foram usados para expressar estas relaes com o objetivo de enfatizar a distino entre trabalhar com quantidades trifsicas e quantidades monofsicas. Usaremos estas quantidades sem os subscritos, mas devemos ( I ) usar tenses entre linhas com quilovolt-ampt?re ou megavolt-ampre trifsicos e (2) usar quilovolts entre linha e neutro com quilovolt-ampre ou rnegavolt-ampre por fase. A Equao (2.40) determina a corrente base para sistemas mono- fsicos ou sistemas trifsicos onde as bases so especificadas em quilovolt-ampdre por fase e quilo- volt com relao ao neutro. A Equao (2.47) determina a corrente base para sistemas trifsicos onde as bases so especificadas em quilovolt-ampre total das trs fases e em quLiovolt entre linhas.

Exemplo 2.4 Ache a soluo do Exemplo 2.3 trabalhando em por-unidade sobre uma base de 4,4 kV, 127 A, tal que as grandezas de tenso e corrente sero 1 ,O por-unidade. A corrente, em vez de quilovolt-ampre, est especificada aqui j que esta ltima quantidade no entra no problema.

Soluo A impedncia-base

e, portanto, a magnitude da impedncia da carga tambm 1 ,O por-unidade. A ihedncia da linha

V', = 1 , o m + 1 ,o=

= 1,0495 + j 0,0495 = = 1 ,o5 /2,700 p.u.

4400 V,,, = 1,051 x -- = 2670 V, ou 2,67 kV

,,h V,,, = 1,051 x 4,4 = 4,62 k V

Quando problemas a serem resolvidos so mais complexos e, particularmente, quando h envolvimento de transformadores, as vantagens de clculos em por-unidade sero mais evidentes.

Conceitos bsicos 35

2.1 1 MUDANA DE BASE DE GRANDEZAS EM POR-UNIDADE

Algumas vezes, a impedncia em por-unidade de um componente do sistema expressa numa base diferente daquela selecionada como base para a parte do sistema na qual o compo- nente est localizado. Como todas as impedncias em qualquer parte do sistema devem ser expres- sas na mesma base de impedncia quando efetuando clculos, C necessrio ter um meio de converter impedncias por-unidade de uma base para outra. Substituindo a expresso para impedncia base dada pela Equao (2.42) ou (2.49) pela impedncia base na Equao (2.46) d

Impedncia por-unidade - (impedncia existente, a) x (kVA base) de um elemento de circuit (tenso base, k ~ ) ~ x 1 .O00 (2.5 1 )

indicando que a impedncia em por-unidade diretamente proporcional a quilovolt-ampres base e inversamente proporcional ao quadrado da tenso base. Portanto, para mudar a impe- dncia em uma dada base para uma impedncia em por-unidade em uma base nova, a seguinte equao aplicada

kVdado base Znovo por-unidade = Zdad; por-unidade (kVnovo base) r*) (2.52)

Esta equao no tem nada a ver com a transferncia do valor hmico da impedncia de um lado do transformador para outro lado. O grande valor da equao na mudana da impedncia por-unidade dada numa base em particular para uma nova base.

Em vez de usar a Equao (2.52), entretanto, a mudana de base pode ser obtida pela con- vem0 do valor em por-unidade numa dada base para ohms e dividindo-o pela nova impedncia base.

Exemplo 2.5 A reatncia de um gerador, designada por x", dada como sendo 0,25 por- unidade baseado nos dados de placa do gerador de 18 kV, 500 MVA. A base para clculos 20 kV, 100 MVA. Encontre X" na nova base.

Soluo Pela Equao (2.52)

ou pela converso do valor dado para ohms e dividindo pela nova base de impedncia

A resistncia e a reatncia de um dispositivo em percentagem ou por-unidade sLo geral- mente fornecidas pelo fabricante. Entende-se como base os quilovolt-amperes e quilovolts nominais do dispositivo. As Tabelas A.4 e A.5 no Apridice listam alguns valores representativos de reatncia para geradores e transformadores. Discutiremos quantidades em por-unidade, poste- riormente, no Captulo 6 em conexo com nosso estudo de transformadores.

186 ~lernnros de anlise de sistemas de potncia

admitncia 8go colocados em concordncia. As matrizes colunas so particionadas de tal maneira que os elementos associados com os n6s a serem eliminados so separados dos outros elementos. A matriz admitncia C particionada de tal maneira que os elementos identificados somente com os n6s a serem eliminados estejam separados dos outros elementos por linhas horizontais e verticais. Quando particionada de acordo com estas regras, a Equago (7.21) torna-se

onde I, 6 a submatriz composta das correntes entrando no n a ser eliminado e V, C a sub- matriz composta das tenses destes ns. Obviainente, cada elemento de I, 6 zero, sen%o os ns nffo poderiam ser eliminados. As admitncias prprias e mtuas compondo K sSo aquelas identificadas somente com os n6s retidos. M 6 composta de admitncias prbprias e mtuas identificadas somente com os n6s a serem eliminados. Esta matriz M B uma matriz quadrada de ordem igual ao nmero de 116s a serem eliminados. L e sua transposta sao compostas somente das admitncias miituas comuns a algum n6 a ser retido e a outro que ser eliriunado.

Executando a multiplicao indicada na Equao (7.22) fenios

I , = KV,, -t- L V ,

I , = I."V, + MV.,

Como todos us elementos de IX srlo zero, subtraindo L ~ v , . ~ nos dois lados da Equaio (7.24) e prC-niiiltiplicando ambos os lados pela inversa de M (representada por M-' ) resulta

Esta expressa0 para V, substitu(la na Equaqo (7.23) resulta

que uma equao de n6s tendo como ntatriz admitncia

Estas matrizes admitiicias permitem-nos construir a circiiito com os nbs indesejjveis j eliminados, como veremos nu exeniplo seguinte.

Exemplo 7.3 Se o gerador e o transformador d barra 3 s%o removidos do circuito da Figura 7.3, eliminando os n6s 3 e 4 pelo procedimento alg6brico-matricial descrito, encontre o circuito eqiiivaleiite com aqueles n6s eliminados e a potncia complexa transferida para dentro ou para fora da rede no n6 I e 2. Encontre, tambm, a tens'o no n6 1.

Soluo A matriz admitncia de barramento do circuito particionado pela elimiiiasao dos n6s 3 e 4 6

A inversa da submatriz do circuito particionado localizada na posi%o direita e embaixo 6

Um exame da matriz indica-nos a admitncia entre as duas barras restantes, 1 e 2: C -j4,0730 e sua reciproca C a impedncia em por-unidade entre estas barras. A admitncia entre cada unia destas barras e a referncia LI

O circuito resultante est indicado na Figura 7.50. Quando as fontes de correntes sgo convertidas nas suas equivalentes fontes de fem ent%o o circuito, com impedncias eni por-unidade, aquele da Figura 7.5b. Assim, a corrente 6

188 EIemmtos de anlise de r i s t e m de poincb - - -.

I.igura 7.5 C i c u i t o da Figur3 7.3 sem a fonle no n 3 (o) com a fonte aquivalen~e de comente e ( b ) com a fonte d e tenuro original nos ns I r 2.

I'otricia para fora da Sorrte a

Note que os volt-aiiip~re ie;~fivos rio circ~irio s3o iguais a

No circuito si~iiples deste exeniplo, a eliiiiin;iqo de ns poderia ser execut:id;i iis:indo a Iia~tstoriiia%o Y-A e tial~alliarido coiii cornhinapo de impedincias em srie c p:iralel;is. O rittodo de partiao de ii~atrizes uiii rritodo geral. mais adequado a soliies por coiiipritadoi. L:ritretanto, pela eliriiuiaq30 de um grailde nniero de 116s. a matriz M , cuja inversa deve ser encontrada, ser grande.

A inversffo da matriz pode ser evitada fazerido a elimina30 de iim n6 por vez, e o processo L' bastarite siriiples. O ri6 a ser eliiiiiiiado deve ser o de numera3o mais alta e provavelmente iitria remuneraao deva ser necessria. A riiatriz M torna-se de uiii s6 ele~iiciito e 111-i a recproca deste eleniento. A matriz adinitncia original particionada nas submatrizes K, L, LT e M

.................-....~

[inl . . . i:, . , . ; 1;" 1 '-c - - - ---- V

I matriz reduzida (n - 1) x (n - 1) sed, de acordo com a Equao (7.27)

e quando a manipulao indicada das matrizes for executada, o elemento na linha k e coluna j da matriz resultante (n- I ) x (n- I) ser

Cada elemento r i a matriz driginal K deve ser modificado. Quando a Equazo (7.28) B coniparada (7.30) pode-se ver como proceder. Multiplicamos o elemento da ltima linha e da mesma coluna com o elemento sendo modificado. Dividimos, entao, este produto por Y, e subtramos o resultado ao elemento sendo modificado. O seguinte exemplo ilustra este simples procedimento.

Exemplo 7.4 Faa a eliminao de 116s do Exemplo 7.3, primeiro removendo o n6 4 e entzo reinovendo o n6 3.

Soluo Corno no Exemplo 7.3, a matriz origuial agora particionada para remoa0 de um n6 6

Para modificar o elemento j 2 ,5 na tinha 3 coluna 2, primeiro subtraia dele O produto dos elementos encaixados por retngulos e dividido pelo elenaento posicbnado no canto direito e embaixo. Encontramos assim o elemento modificado.

De maneira semelhante, o elemento na linha 1 e coluna 1 d

Pela reduso da matriz acima removendo o n6 3 resulta

a qual C identica matriz encontrada pelo mtodo de partiio quando dois n6s foram removidos siniul(aneamente.

7.5. I?RAmGEES ADmmCUS B W E D I U a DE BAIZRA

No Exemplo 7.2 invertemos a matriz admitncia de barra J- e chamamos a matriz muitante de matriz impedncia de barra &. For defmi8o

A",, = Y,&,, , , , ,

a pua uma xude com trs n6s indemdentes

Como V- C simdtrlce com reiago & diagond pprindpd, deve ser simtrica da mama ira.

&, ,h na 86awd prinupel e fora da diagonal s8o chamados

dos &S. Ngo C m c e s s h a determina80 da matriz admitncia de barra para que se obtenha

;%nna e em outra sezo deste capitulo veremos como &,,, pode ser formulada diretamente. A matriz impedncia de barra importante e utilssima no clculo de falhas como veremos

posteriormente. Para que se entenda o significado fsico das vrias impedncias da matriz compa- raremos estas com as admitncias de n6s. Podemos facilmente fazer isto oihando as equabes para um n6 em particular. Partindo das equaes de n6s expressas como

Gilculo de redes 1 Y 1

Icnbiw no n6 2 parri as trCs impd&ciar do n6

Flgun 7.6 Circuito para a mediSo de Yzz, Ylz e YsZ.

Se V, e Vs @o redirzidas a zero, cwtockuitando os n6s 1 e 3 ao n6 de referncia e se I, 6 injetada ao n6 2, a admitncia pr6pria no n6 2

Assim, a admitiicia prpria de uni n6 em pariicuiar pode ser medida curtocircuitando todos os outros n6s ao n6 de referdnclr. e cntM encontrando a raso da corrente injetada no n6 pela tenso rauitante nele. A Figun 7.6 iurtn o mtodo para uma rede reativa com trCs n6s. O resultado obviamente equivalente D adifio da todas w adml*cias diretamente coneaiadar ao n6, como tem sido nosao procedimento atC agora.

A Figura 7.6 tambtm ilustra a admithcia mtua. No n6 1, a equago obtida pela expansgo da Equaao (7.33) e

da qual podemos ver que

EntXo, a admitncia mtua C medida curtocircuitando todos os n6s, exceto o 2, ao n6 de refe- rncia e injetando uma corrente I, no n6 2, como indicado na Figura 76 . Assim, Y12 6 a razo do negativo da corrente, deixando a rede atravs de ramo de curto-circuito no n6 1 pela tensao h. O negativo da corrente saindo do n6 1 6 aqui usado, j6 que I, definida como a corrente entmndo para a rede. A admitacia resultante o negativo da adrnit~~cia direla- mente conectada entre os nbs 1 e 2, como era de se esperar.

I:izemos este exame de t~ l l~ado das admitiicias de n68 para diferencid-Ias claraniente das irnpedncias pertencentes rniitriz impediincia de barra.

Resolveirios a Equapo (7.33) prerndtiplicando ambos os lados da equao por - 1 Y ,,,, = Zharra para chegar a

e devemos lerribrar-nos que usando Zoana, V e I sgo matrizes colunas de tenses de n6s e de correntes, partindo de fontes de correntes e entrando nos nbs, respectivamente. Expandindo 2 1:quao (7.38) para unia rede com trs n6s independentes resulta

!>a i3qua

194 Elementar de ondlise de sistenuu de potinck,

A corrente absorvida pelo capadtor C

Exemplo 7.6 Se uma corrente de -0326L78,03O p.u. C injetada no n6 4 dos Exemplos 7.1,7.2 e 7.5, encontrar as tenses resultantes nos n6s 1,2,3 e 4.

S o l w o Com as fems curtocircuitadas, as tenbes nos n6s e devidar somente A corrente injekda serro calculadas com o uso da impedncia de barra da rede que foi encontrada no Exemplo 7.2. Bs impsancias necassiirias est8o na coluna 4 de Z-. De V ;ebPna I tiramos as tenses desde que assumamos todas as fems curtocircuitadas.

Por superposi@o, as tensfia resultantes S o determinadas pela adigo das te injeo de correntes e com as fems curtocircuitadas tis tenses de n69 encontradas no Exemplo 7.2. As novas tenses de n6s a o

Como as mudanas nas tens&s, devidas B corrente injetada, esta0 todas com o mesmo &pulo e este ngulo difere pouco do das tenses originais, uma aproximago d a d resposta satis- fatria. A mudana no m6dulo da tensao em uma determinada barra B aproximadamente igual ao produto do mdulo da corrente em por-unidade e o m6dulo da apropriada impedncia.

Estes valores adicionados aos m6dulos da tensQes originais do o mbdulo da nova t enso & bastante aproxirna80. Esta aproximazo C vlida porque a rede C puramente reativa e ela ainda proporciona boa estimatiw quando a reatncia consideravelmente grande em comparago com a resistncia como geralmente o caso.

Os dois itimos exemplos ilustram a import6nch da matriz impedncia da barra e indicam que adicionar um capacitar a uma barra causar um crescimento nas tenses de bana. A conside- rao de que os ngulos daa tenses e as fontes de correntes permanecem constantes aps a coneao de capacitores numa barra nso C inteiraniente viida se estarnos considerando a operaao de um sistema de potncia. Consideraremos novamente os capacitores no Captulo 8 e veremos em um exemplo o clculo do efeito dos capacitores, atravs do uso de um programa computacional de fluxo de carga.

Glculo de redes 195

e 7.6 MODIFICAAO DE W MATRIZ DE W E D N C U DE B

Como Zbanr C uma importante ferramenta na anlise de sistema de potdncia, examinare- mas agora como ela pode ser modificada para adicionar novos barnunentos ou conectar novas linhas $3 barras j estabelecidas. Naturalmente que podemos criar uma nova Ybana e invert-la, mas mtodos diretos de modificago de Zbani so disponiveis e muito mais simples do que

: uma inversa0 de matriz, mesmo para poucos nmeros de 1163. Ainda, uma vez conhecido como . modificar Zbm, ent8o podemos ver como construi-la diretamentet.

Identificamos vrios tipos de modificaes envolvendo a adipo de um ramo de impedincia ; Zb a uma rede cuja Zh original conhecida e identificada com Zodg, matriz esta n x n.

Na nossa anlise as barras existentes sero identificadas por nmeros ou pelas letras h, i, j e k. A letra p designar uma nova barra a ser adicionada i rede para converter Gng em uma matriz (n + 1) x (n + I ) . Quatro casos ser80 considerados.

CASO i : Adio de Zb a partir de u m nova barra p at barra de refrnckr. A adi8o de uma nova barra p ligada A barra de referncia atravBs de Zb sem conexo com nenhuma das outras barras da rede original nao pode alterar as tenses de bana originais quando a corrente Ip for injetada na nova barra. A tens80 V p da nova barra C igual a IpZb Entgo

Notamos que a matriz coluna das correntes multip!ic.ada pela nova Z- n8o alterari as tenses da rede original e resultar a tensao correta da nova barra p.

CASO 2 : Adippao de Zb a parrir de u m nova borra at u m &ira existente k. A adio de uma nova barra p ligada atravs de Zb a uma barra existente k com Ip injetada na barra p causar a corrente que entra na rede original na barra k que vem a ser a sorna de Ik que 6 injetada na barra k mais a corrente Ip vindo atravds de Zb como indicado na Figura 7.8.

A corrente Ip fluindo para a barra k aumentara a tenso original Vk de urna tens80 igual a PpZM ; isto C

Vk(,Va) = Vk(orig) + I&kk (7.45)

P Veja H. E. &m, WU&R of hw-@ by &Rk. &sh&, John Wlcy (k Som, Inc., New York. 1975.

e Vp ser niaior do que o novo Vk de um valor de tenso igual a I&. Assim

V,= I , Z h , + I , Z k 2 + ... + I,Z,, + Ip(Z , , + Z , ) / (7.47) -

Rede original com barra k Q

barra ds mferdncia sxtralde

I;lgura 7.8 AdiPo de uma nova bani p lkada atravs de uma iinpedsncia Zb a barra exlstcntc k.

Veremos agora que a nova linha que deve ser adicionada a %,jg, com o iin de encontrar Vp

Como Z- deve ser uma matriz quadrada simtrica em tomo da diagonal principal, resulta que devemos adicionar uma nova coluna que d transposta de nova linha. A nova coluna leva em conta os acrscimos de todas as tenses de barra devidas a Ip . A equaXo matricial C

Note que os primeiros n elementos da nova linha a o os elementos da linha k da aQns e OS primeiros n elementos da nova coluria s%o os elementos da coluna k da Grig.

CASO 3: Adipio de Zb a partir de uma burra existente k ar a bam de refcncio. Para ver como alterar Z(odp) pela iigaso de uma impedincia Zb desde lima barra existente k atC a bana de referncia, devemos adicionar uma nova barra p Ligada atravs de Zb A barra k . Entgo ctlrtocircuitamos a barra p barra de referdncia, fazendo Vp igual a zero, a fim de obtermos a rilesma equago ntatricial como a Equao (7.48), com excedo de que Vp agora C nula.

Para a modificago, procedemos de modo a criar uma nova linha e uma nova coluna, exatamente da mesma maneira como no caso 2 mas depois eliminamos ri Unha (n + 1) e a coluna (n + 1) o que C possvel devido ii existncia do zero na matriz coluna das tenses. Usaremos para isso o i mdtodo desenvolvido nas Equaes (7.28) a (7.30) paria encontrar cada elemento ZM na nova matriz onde

CASO 1: Adido de Zb entre duas existentes, j e k. Para adicionar um ramo com impedncia Zb entre duas barras j tes, j e k, examinaremos a Figura 7.9 que mostra estas barras extradas da rede original. A corrente Ib est indlcada como fluindo atravds de Zb desde a bana k atC a j. Entreveremos agora algumas squq(ks para as tenscs de n6

e rearranjando V , = Z,, I , + . . . + Z l j l l + Z I k l k + . . . + I , (Z , ] - i?,,) (7.51)

de maneira mmeihante

Necessitamos de uma equaso a mais, j6 que Ib 6 desconhecida. Ento escrevemos

V,- v J = l , z b , (7.54) ou

O f I b Z b f 5 - Vk (7.55)

e substituindo as expresn6er para VI e V& dadas pelar EquaW (7.52) e (7.35) na Equago i (7.55) obtem- i I

com a, barma

? - J,k e de I refsrbncia

E do as Eqw6eri (7.51) a (7.53) e (7.56) podemos escrever a equago matricial

A nova coluna 6 a coluna f mar a oolm k de hS com Zbb na iinha (n + 1). A nova linha a transposta da nova coluna.

Ellmlnando a linha (n + 1) e a coluna (n + 1) de matriz quadrada da EquaBo (7.58) da mama maneira, como previamente vimos, cada elemento Zm na nova matriz C

&(n+ i)Z(m+ Z~ (novo)= zhi(arl,, - (7.59) 5 + 2,) + Zir - 221.4

considsrar o c a ~ , de introduzir duas novas b m ligadas por Zb porque uma delas, atm* de umrt h@&&, r uma barra existente ou a uma

de referencia, antes de adido a segunda nova barra.

Brrersl@o 7.7 Modifim a mtriz innpdnb de b m do Exemplo 7.2 de em conta u m conexilo de urn capacitar tendo ma reatands de 5,O por-unidde entre a b m 4 e a b m de referencl do circuito da Figura 7.4. EntPlo deteminar V, usando a impdncia da nova matriz e a fonte de corrente do Exmplo 7.2. Compare este valor de V4 com o encon- trado no Exemplo 7.6.

Cflculo de redes 1 Y Y ---

--

Mu@o Usando a QUEI~O (7.48) s idmtfflcluido que h 6 mmtrlz 4 x 4 do Emm- d o 7.2, que o subscrito k = 4 e que Zb = -f5,0 por-unidade, encontrar

Os tennos na quinta linha e quinta coluna foram obtidos repetindo a quarta linha e a quarta coluna de e observando que

Entao, ehuiando a quinta linha e coluna, obtemos para &(m,) da EquaSo (7.49)

e os outros elementos, de uma maneira semelhante para dar

A matriz coluna de correntes pela qual a nova & 6 multiplicada com o fim de obter as novas tensBes de barra'& a mesma do Exemplo 7.2. Assim

como encontrado no Exemplo 7.6.

?O Elementos de aMIise de r i s t e m de porincb

Vimos como determinar &, primeiramente achando h, e invertendo-a. Entretanto, a formulaKo para obter 2+,, diretamente 6 um processo direto compatvel com a irnplemen- tafo por computador e mais simples que inverter Ybaw para um sistema de grande porte.

Para comear, temos uma lista de impedncias indicando as barras que esta0 conectadas. Partirernos escrevendo a equaao de urna barra ligada atravs de uma impedncia Z, a unia barra

202 Elementos de anlb-e de sisremaa de potcinc&

Quando todos os elementos wtiTo dx+t

Finalmente, adicionamos a impedncia Zb = j0,15 entre as barras 2 e 3. b fuermos j e k na Equaao (7.58) igual a 2 e 3, respectivamente, obteremos os elementos para a hha 4 e coluna 4.

EntiTo escrevemos

e da Equaso (7.59) achamos

que C a matriz impedncia a ser determinada. O procedimento 6 simples para um computador que primeiro deve determinar o tipo de

modifica$o envolvida $ medida que cada impedncia B adicionada. Entretanto, as operaes devem seguir a seqncia tal que se evite ligaes de impedncias entre duas novas barras.

Como um assunto de interesse n6s podemos verificar os valores das impedncias de Zbarra usando os clculos de rede da Seo 7.5.

Exemplo 7.9 Encontrar Z l l do Exemplo 7.8 pela determinapo da impedncia medida entre os n6s 1 e o barramento de referncia quando as correntes injetadas nos n6s 2 e 3 &o zero.

Soluo A equaao correspondente 8 (7.42) C

z , , =-I 11 , * = , , = o

Identificamos dois caminhos paralelos entre os n6s 1 e 3 do circuito da Figura 7.10 com as impedncias resultantes de

Esta impedncia em srie com j 1,s est em paralelo com j 1,2 para resultar

que idhtico ao valor encontrado no Exemplo 7.8. Embora o mtodo de redugo de rede do Exemplo 7.9 possa parecer mais simples pela

compara50 com outros mttodos de formaao de Z-, isto n5o C verdade porque uma diferente redugo de rede 6 requerida para calcular cada elemento da matriz. No Exempig 7.9, a reduzo da rede para achar Z 1 2 , no caso, C mais difcil do que aquela para achar Zl l . O computador digital pode fazer uma reduao de rede usando eliminapo de n6s mas talvez ter que repetir o processo para cada n.

Equivalncia de fontes e equacionamento de ns foram revistos brevemente neste captulo para prover o prC-requisito essencial ao entendimento de matriz admitncia de barra que 6 a base da maioria dos estudos de fluxo de carga. Partio de matriz foi revisto por causa da sua grande utilidade nos mCtodos de eliminao de n6s.

A matriz impedncia de barra C preferida por alguns engenheiros para estudos de fluxo de carga mas encontra sua grande validade no clculo de falhas que discutiremos posteriormente.

As modificaes de foram discutidas para indicar a simplicidade dos clculos para adio ou remoa0 de uma linha de transmissfo sem ter que inverter Ybm cada vez que uma alterago for feita. A formulago direta de & um processo que pode ser programado de uma maneira direta.

SOLUES E CONTROLE DE FLUXO DE CARGA

No Captulo 1 foi discutida a grande importncia dos estudos de fluxo de carga no planeja- mento da expanso futura de sistemas de potncia como tambm m determinago da melhor operao de sistemas existentes. A principal informatio obtida do estudo de fluxo de carga o mdulo e o ngulo de fase da tens50 em cada barra e as potncias ativa e reativa que circulam em cada linha. Entretanto, outras informa&s adicionais valiosas so fornecidas pela listagem da solu obtida dos programas de computador, os quais so usados pelas empresas de sistemas de potncia. Muitos desses aspectos aparecergo em nossos estudos de fluxo de potncia neste captulo, no qual tambm sergo estudados os princpios de controle de fluxo de carga.

Examinaremos dois dos mtodos nos quais se baseiam as solues de fluxo de carga. Tornar-se- evidente o grande valor do computador digital no projeto e operapo de um sistema de potncia.

8.1 DADOS PARA ESTUDOS DE FLUXO DE CARGA

Tanto as admitncias prbprias e mtuas de barra, que compem a matriz admitncia de barra Vb, como tambm as impedncias de excitazo e de transferncia, que compem Z-, podem ser usadas para resolver o problema do fluxo de carga. Restringiremos nosso estudo aos mtodos que usam admitncias. O ponto de partida para obter os dados que devem ser fornecidos ao computador b o diagrama unifdar do sistema. SSlo necessrios os valores das impedncias em sbne e das impedncas em derivago das linhas de transmissgo, de tal forma que o computador possa determinar todos os elementos de Vbam ou h. Outros dados essenciais incluem as impedncias e os val0:e.s de potncia e tenso nominais de transformadores, valores nominais de capacitares em paralelo, e os ajustes de derivaes de transformadores.

As condies de funcionamento devem ser sempre escolhidas para cada estudo. Em todas as barras, exceto uma, deve ser especificada a potncia ativa lquida. A potncia absorvida por uma carga uma entrada de potncia negativa ao sistema. Outras entradas de potncia so 206

Solues e controle de flwro de aaga 207

j provenientes de geradores, e potbncias positivas ou negativas podem provir de interllgaws. ' Aldm disso, nesses baaas ou a potencia reativa ou o m6dulo da tens80 deve Ber especificado; I isto 6, em cada barra necessrio decidir se 6 o mbdulo da tensao ou a potncia reativa que deve ' ser mantido constante. A situaso usual especificar a potncia reativa nas barras de carga e o

mdulo da tensao nas barras de gerago, embora algumas vezes a potncia reativa seja especificada para os geradores. Nos programas em computadores digitais existem providncias de ciculo que fazem a tens50 se manter constante em uma barra, somente enquanto a gerao de potncia reativa permanece dentro de limites especificados.

A barra em que o fluxo de potncia real n i i ~ b especificado, chamada barra de oscila@, geralmente uma barra na qual conectado um gerador. Evidentemente, o fluxo lquido de potncia para o sistema no pode ser fixado com antecedncia em cada barra, porque as perdas do sistema n!fo sao conhecidas atC que o estudo seja completado. Os geradores, na barra de oscilago fornecem a diferena entre a potncia real especificada injetada nas outras barras e a potncia real total saindo do sistema mais as perdas. Tanto o mdulo como o ngulo da tenso sgo especificados para a barra de oscilago. As potncias real e reativa nessa barra so determinadas pelo computador como parte da soluo.

A complexidade na obtenpo de uma solupo para o fluxo de carga em um sistema de potncia provem devido As diferenas nos tipos de dados especificados para as vrias espcies de barra. Embora a formula%o de equaes suficientes m o seja difcii, a forma de soluo algbbrica no 6 prztica. As solues digitais de problemas de fluxo de carga que consideraremos seguem um processo iterativo, atribuindo valores estimados para as tenses de barra desconheci- das e calculando um novo valor para cada tens80 de barra a partir dos vaiores estimados nas outras barras, da potncia real especificada e da potncia reativa especificada ou do mdulo de tenso especificada. Entso, obtido um novo conjunto de valores para as tenses em cada barra, o qual B usado para calcular outro conjunto de tenses de barra. Cada ciculo de um novo conjunto de tenses chamado uma itmto. O processo iterativo repetido at que as mudanas em todas as banas sejam menores do que um valor mnimo especificado.

Vamos examinar, primeiro, a solu8o na qual se considera a tenso de uma barra como uma funo das potncias ativa e reativa entregues a uma barra por geradores ou fornecidas carga ligada barra, das tenses estimadas ou previamente calculadas nas outras barras, e das admitncias prprias e mtuas dos 116.5. A deduo das equaes fundamentais comea com uma formulao de ns das equaes do sistema. Vamos deduzir as equaoes para um sistema de quatro barras e escrever as equaes gerais mais tarde. Designando com o nmero 1 a barra de oscila%o, os clculos comeam com a barra 2. Se P, e Q, so as potncias ativa e reativa que entram no sistema pela barra 2,

V21: = P 2 + jQ, de onde I, expressa por

208 Elementos de anlise de sistemas de potncia

e em termos das admitncias pr6prias e mtuas dos ns, com os geradores e cargas omitidos porque as correntes em cada n sgo expressas como na Equago (8.2),

Resolvendo para V, , obtemos

A Equazo (8.4) fornece um valor corrigido para V , baseado nos valores fixados para P, e QZ quando os valores estimados, originalmente, so substitudos pelas expresses das tenses no lado direito da equazo. O valor calculado para V , e o valor estimado para V?, no coincidiro. Porm, substituindo o conjugado do valor calculado de V, em 5 na Equao (8.4) para calcular outro valor para V, , essa coincidncia poder ser alcanada com um bom grau de acurcia aps vrias iteraes e se ter o valor corrigido para V, com as tenses estimadas e sem relago com as potncias rias outras barras. Entretanto, esse valor no ser a solu para f; para as condies especficas do fluxo de carga, pois as terises que eritrarii no clculo de V , - - valores estimados de tenszo nas outras barras e seus verdadeiros valores ainda no so conhecidos. So recomendados dois clculos sucessivos de V , (0 segundo sendo igual ao primeiro exceto para a correao de v*,) em cada barra antes de se passar para a seguinte.

A medida que a tensao corrigida for encontrada para cada barra, ela ser usada no clculo da tensao corrigida da barra seguinte. O processo r! repetido para cada barra, consecutivamente, atravs do sistema (exceto para a barra de oscilago) para completar a primeira iterao. Ento, o processo inteiro repetido vrias vezes at que a magnitude da correo na tenso em cada barra seja menor do que uma precisfo previamente determinada.

Este processo de resolver equaes algbricas lineares conhecido por Mtodo iterativo de Causs-Seidel. Se o mesmo conjunto de valores de tenso for usado durante uma iterago completa (em vez de substituir imediatamente cada valor novo obtido para calcular a tenso na prxima barra), o processo ser chamado Mtodo itemtivo de Gauss.

Pode ocorrer convergncia em torno de uma soluo errnea se as tenses originais forem muito diferentes dos valores corretos. Uma convergncia errnea 6 , geralmente, evitada se os valores originais forem de magnitude razovel e ngo diferirem muito em fase. Qualquer solugo indesejvel geralmente detectada com facilidade por inspego dos resultados, pois as tenses do sistema nzo apresentam, normalmente, uma faixa de varialro de fase maior do que 45' e a diferena entre barras vizinhas 6 menor do que 10 e, muitas vezes, bem menor do que' 10'.

Para um total de N barras, a tenso calculada em qualquer barra k, onde Pk e Qk sgo dados,

,ik = - I (---.- pk - J Q ~ - y," v") Ykk Vk " = I

onde n # k. Os valores para as tenses no lado direito da equao szo os mais recentemente calculados para as barras correspondentes (ou as tens6es estimadas se nenhuma iterao tenha sido feita nessa barra particular).

Solues e controle de fluxo de cargo 209

Experincias com o mtodo de Gauss-Seidel na soluZo de problemas de fluxo de carga tm mostrado que um nmero excessivo de iteraes requerido antes que as correes das tensaes estejam dentro de uma precisa0 aceitvel se a terisao corrigida em uma barra meramente substituir o melhor valor prvio medida que os clculos prosseguirem de barra para barra. O nmero de iteraes requeridas fica reduzido consideravelmente se as correes na teriso para cada barra forem multiplicadas por uma constante que aumenta a quantidade da corr~o, de modo a trazer a tensao para mais perto do valor que se procura. Os multiplicadores que realizam essa conver- gncia melhorada sgo chamados fatores de acelerapio. A diferena entre a tenso iecm- calculada e a tenso anterior na barra 6 multiplicada pelo fator de acelerago apropriado para se obter uma correo a ser somada ao valor anterior. O fator de acelerao para a componente real da correzo pode diferir daquele para a componente imaginria. Para qualquer sistema, existem valores 6timos para os fatores de acelerago, e uma escolha mal feita desses fatores pode resultar em uma convergncia menos rpida ou tornar impossvel a convergncia. Costuma ser usado um fator de acelerao igual a 1,6, tanto para a componente real como para a imaginria. Para um sistema em particular pode ser feito um estudo para determinar a melhor escolha.

Numa barra onde especificado o m6dulo da t e n s o em vez da potncia reativa, as com- ponentes real e imaginria da tensga sro obtidas, para cada iteraxo, calcularido primeiramente um valor para a potncia reativa. Da Equago (8.5)

onde n # k . Se fizermos n igual a k:

onde Im significa "parte imaginria de". A potncia reativa Qk calculada pela Equao (8.8) para os melliores valores anteriores

de tenso nas barras, e esse valor de Qk 6 substitudo na Equao (8.5) para achar um novo Vk. As componentes do novo V , so, ento, multiplicadas pela razlro do mdulo constante de Vk especificado pelo m6dulo de Vk obtido pela Equago (8.5). O resultado 6 a tenso complexa corrigida do mdulo especificado.

I A expmtTo da srie de Taylor para u m f u n g o de duas ou mais variveis 6 a base do mtodo

de Newton-Raphson para resolver o problema de fluxo de carga. Nosso estudo do mr!todo comea abordando a solu8o de um problema que envolve apenas duas equaes e duas variveis. Entgo, veremos como estender a anlise para a solu$o das equaes de fluxo de carga.

21 0 Elementos de ondlise de sistemas de potncia

Consideremos a e q u q o de uma fungo de duas variveis x , e x2 igual a uma constante K , expressa por

. f l ( ~ i ? ~ 2 ) = K1 (8.9) e uma segunda equago

f'(x1. ~ 2 ) = K2 (8.10)

onde K , e K , so constantes. Ento, estimamos as soluUes dessas equaes como sendo x y ) e x p ) . O ndices supe-

riores indicam que esses valores so estimativas iniciais. Designamos Ax?) e AX?) como sendo os valores a serem somados a x?) e x?) para dar as solues corretas. Entffo, podemos escrever:

K , =,f,(.u,, x , ) =,f,('~' + A.Y(,(", .ui0) + Ax$") (8.1 1)

Nosso problema, agora, resolver essas equaes para A x l ) e AX?), o que fazemos pela expan- so das Equaes (8.1 1) e (8.12) em sries de Taylor:

onde as derivadas parciais de ordem maior que 1 no foram listadas. O termo f , / a , , indica que a derivada parcial d calculada para os valores de x?) e x?). Os demais termos so calculados de modo semelhante.

Se desprezarmos as derivadas parciais de ordem superior a 1, podemos reescrever as Equaes (8.13) e (8.14) em forma matricial. Ento, temos

onde a matriz quadrada das derivadas parciais chamada jacobiano J, ou neste caso do) para indicar que as estimativas iniciais xfO) e xiO) foram usadas para calcular o valor numrico das derivadas parciais. Notamos que f l ( x l ) , x?)) t o valor calculado de K , para os valores estiniados de xIO) e xiO) mas este valor calculado de K, no d o valor especificado pel;i

Solubes e controle de f i x o de w q o 21 1

EquaZo (8.9), a menos que nossos valores estimados xf) e x?) sejam co 6, por AKF) o valor especificado de K , menos o valor calculado de K , , e $' maneira semelhante, teremos:

Agora, obtendo a inversa do jacobiano, podemos determinar Ax?) e Axf). Entretanto, como fuemos um truncamento na expansgo da srie, esses valores somados nossa estimativa inicial Mo determinam a soluflo correta e devemos repet o que f ~ e m o s , adotando novas estimativas x p ) e x f ) , onde

e repetir o processo at que as correes se tornem to pequenas que satisfaam uma preciso escolhida.

Para aplicar o mtodo de Newton-Raphson soluo das equaes do fluxo de carga, podemos escolher a forma polar ou retangular para expressar as tenses de barra e as adrnitncias de linha. Se escolhermos a forma polar e separarmos a Equao (8.7) em suas componentes real e imaginria com

V k = I b l & ' = I & [ & e Y k n = I Y k n l / B r n teremos

N

P k 7 j Q k = I h K y k n I / f l k n + a n - a k (8.17) n = I

Ento

Como no mtodo de Gauss-Seidel, a barra de oscilao omitida da soluffo iterativa para determinar tenses, pois tanto o mdulo como o ngulo da tenso na barra de oscilao so especificados. Se deixarmos para mais tarde as consideraes sobre barras.com tenso controlada, especificaremos P e Q em todas as barras, exceto a barra de oscilao, e estimaremos o mdulo e ngulo em todas as barras exceto a de oscilaZo, para a qual o mdulo e ngulo da tenso so especificados. Os valores constantes especificados P e Q correspondem s constantes K na