Capitolul 1

1.1. Introducere

Noţiunea de corp a apărut în urma încercărilor de abstractizare şi de extindere la alte mulţimi a regulilor de calcul cu numere raţionale. Spre deosebire de inelul întregilor Z, inelul numerelor raţionale Q are proprietatea, esenţiala in definirea noţiunii de corp, că orice element diferit de 0 este inversabil. Astfel, dacă într-un inel avem o “adunare”, o “înmulţire” şi o “scădere”, care derivă din adunare, într-un corp avem în plus o “împarţire” prin elemente nenule care derivă din înmulţire.

1.2. Definiţie şi exemple remarcabile:

Definiţia 1: Un triplet ( K ; + ; ∙ ) se numeşte corp dacă sunt satisfăcute următoarele proprietaţi:

a) ( K ; + ; ∙ ) este inel;b) 0 ≠ 1 (inelul K are cel puţin două elemente );c) Orice element din K \ {0} este inversabil.

Definiţia 2: Corpul ( K ; + ; ∙ ) se numeşte corp comutativ (câmp) dacă, în plus, operaţia ” ∙” este comutativă.

Exemple: 1) Inelele comutative ( K ; + ; ∙ ) , unde K = Q, R sau C , sunt corpuri comutative

deoarece U(K) = K*.

2) Un exemplu de corp necomutativ este corpul cuaternionilor, H .

Fie inelul 2(C) al matricelor pătratice de ordin 2 peste corpul C şi H 2(C), unde

H = .

Avem că H este un subinel al lui M2(C) .Într-adevăr, ţinând seama că suma, respectiv produsul conjugaţilor a două numere

complexe este conjugatul sumei respectiv produsului numerelor, avem

i. şi

ii.

oricare ar fi .

Aşadar H, împreună cu operaţiile obişnuite de adunare şi înmulţire a matricelor, este la rândul său un inel.

Matricea este elementul unitate a lui H.

Mai mult, H este corp. Într-adevăr, dacă

h = ,

atunci numărul real este nenul. Inversul lui h este

.

Deci H este un corp numit corpul cuaternionilor, elementele sale fiind numite cuaternioni.

Definim funcţia , prin , care este un morfism de corpuri,

deci injectiv.

Aceasta ne permite să identificăm numărul real a cu cuaternionul .

Notăm , , , a căror înmulţire este definită prin

tabla

∙ i j ki - 1 k - jj - k - 1 ik j - i - 1

Se observă că H este un corp necomutativ. Dacă şi sunt numere complexe, putem scrie

= =

= .

Deci orice cuaternion h poate fi scris, în mod unic, sub forma h = , unde a, b, c, d sunt numere reale.

Este important să observăm că o ecuaţie cu coeficienţi în corpul necomutativ H poate să aiba mai multe rădăcini decât gradul său. De exemplu, i, j, k sunt rădăcini ale ecuaţiei , acest lucru nefiind posibil în cazul corpurilor comutative.

Problemă: Fie Q(i) = { x + yi x, y Q, i2 = - 1}. Să se arate că(Q(i), + ; ∙ ), unde + şi ∙ sunt adunarea respectiv înmulţirea numerelor complexe , este corp comutativ.

Soluţie: Dacă z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i Q(i), atunci :

z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i Q(i),

z1z2 = ( x1 x2 - y1y2 ) + ( x1 y2 + y1x2 )i Q(i),

de unde rezultă că + şi ∙ sunt legi de compoziţie pe Q(i). Adunarea şi înmulţirea sunt comutative şi asociative, iar înmulţirea este

distributivă faţă de adunare deoarece aceste proprietăţi sunt valabile pe C. 0 = 0 + 0i Q(i) şi 1 = 1 + 0i Q(i) sunt elemente neutre faţă de adunare

respectiv înmulţire. Observând şi că orice z Q(i) are opusul – z , deducem că ( Q(i) ; + ; ∙ ) este inel

comutativ cu 0 ≠ 1.Rămâne să arătăm că pentru orice z Q(i), z = x + yi , z ≠ 0, există z Q(i)

astfel încât z z = 1. Într-adevăr ,

z = = = = - i Q(i)

şi satisface zz = 1.

Definiţia 3: Numim corp de numere algebrice o extindere finită Q K a corpului numerelor raţionale.

Observaţie: 1) După cum bine este cunoscut, o astfel de extindere este algebrică, adică orice

este rădăcină a unui polinom neconstant f Q[X]. De asemenea, conform teoremei elementului primitiv, există un K astfel încât K = Q( ) = { | ai Q, }, unde n = [K:Q].

2) Deoarece, conform teoremei fundamentale a algebrei, corpul C al numerelor complexe este algebric închis rezultă că orice corp de numere algebrice K poate fi considerat subcorp al lui C.

Definiţia 4: Un element se numeşte întreg algebric dacă este rădăcină a unui polinom monic f Z[X].

Observaţie: Mulţimea AK = { | întreg algebric} este un subinel al lui K numit inelul de întregi al corpului de numere K. Se arată că AK dacă şi numai dacă polinomul său minimal peste Q, IrrQ( ) Z[X]. De asemenea, este un Z modul liber de rang = [K:Q].

Definiţia 5: Un corp de numere algebrice K având [K:Q] = 2 se numeşte corp pătratic.

Prin urmare K = Q() , şi verifică o ecuaţie de forma a2 + b + c = 0, unde

a, b, c Z, a ≠ 0 . Se obţine 1,2 = , unde d = b2 – 4ac .

Avem Q() = Q( ) , iar d Z \ {0} se poate reprezenta, d = l2 ∙ d1 , cu d1 liber de pătrate, incluzând şi cazul d1 = – 1 . Rezultă Q() = Q( ) = Q( ) , unde prin

şi am notat unul din cele două numere complexe al cărui pătrat este d, respectiv d1.

Din cele de mai sus rezultă că orice corp pătratic se reprezintă sub forma K = Q( ), d Z şi d liber de pătrate. Această reprezentare este unică.

Cele două scufundări ale lui K în C sunt K = Q( ) , i = ; 1 = 1K , iar 2 ( a + b ) = a – b ( aceasta intrucât din i (d) = d rezultă i( )=

) . Se constată uşor că i (K) = K ( aceste scufundări induc automorfisme ale lui K).

Dacă = a + b Q( ) şi = a - b = 2( ), notăm cu

N( ) = ∙ = a2 – db2 şi T( ) = + = 2a . norma respectiv urma lui . Se vede că mulţimea { , } este bine determinată de norma şi urma elementelor sale.

Altfel spus, şi sunt rădăcini pentru polinomul X2 – T( )X + N( ) Z[X].Prin urmare, inelul de întregi AK = { K T( ) Z , N( ) Z }. Vom numi AK inel de întregi pătratici şi îl vom nota în continuare cu Ad .

Capitolul 2

2.1. Determinarea unei baze de întregi în AK :

Propoziţie : 1) Dacă d 2, 3 (mod 4) atunci

Ad = Z[ ] ={ m + n m, n Z},iar (1, ) este bază în Ad ca Z – modul . Avem ∆( Q( ) ) = 4d.

2) Dacă d = 1(mod 4), atunci

Ad = Z = ,

iar este o bază în Ad peste Z . Avem ∆( Q( ) ) = d.

Demonstraţie: Un element din Q( ) este întreg algebric dacă simultan norma şi urma sunt

numere întregi. Observăm că putem reprezenta Ad , sub forma

= , cu a, b Q şi m, n, p Z , (m, n, p) = 1, p > 0. Avem

T( ) = 2a = Z şi N( ) = a2- 2b2 = Z . Se obţine Z , de unde şi

Z . Deoarece p2 | 4m2 şi p2 | 4dn2 , dar (m, n, p) = 1, rezultă p2 | 4 şi p {1, 2}. Am

obţinut că sau , cu m, n Z . Se observă că dacă p = 1, atunci

Z [ ], iar dacă p = 2, atunci m2 – dn2 0 (mod 4) .1) Fie d 2, 3 (mod 4). Atunci din m2 – dn2 0 (mod 4) se obţine m n 0(mod2),

deoarece m2, n2 0 sau 1(mod 4).Prin urmare în cazul d 2, 3 (mod 4) avem p = 1 şi m+ n Z [ ] . Rezultă

că {1, } este bază în Ad ̸� ̸Z , iar

∆( Q( ) ) = = 4d.

2) Fie d 1 (mod 4) . Din m2 – dn2 0 (mod 4) se obţine m2 – n2 0 (mod 4), de

unde m n (mod 2) . Rezultă că , m, n Z sau , cu m, n Z ,

ambele impare. Se obţine

Ad = , iar ∆( Q( ) ) = = d.

2.2. Structura grupului unităţilor inelului Ad ̸:

Ne propunem acum să determinăm structura grupului unităţilor inelului Ad , grup ce îl vom nota prin Ud . Un element Ad este inversabil dacă şi numai dacă N( )= 1(în cazul nostru N( ) = ∙ , unde este „conjugatul lui ” , adică X2 – ( + )X + este polinomul minimal al elementului Ad \ Z ).

Propoziţie: Fie d < 0 un întreg liber de pătrate. Atunci:

U-1 = { }

U-3 = { }, unde ;

Ud = { }, dacă d = -2 sau d < -3.

Demonstraţie: Dacă d , atunci , cu x, y Z , iar N( )= 1 este

echivalent cu x2+ y2= 1. Pentru d < - 1 singurele soluţii sunt ( ,0), iar pentru d=-1, obţinem soluţiile ( ,0), (0, ), ceea ce demonstrează propoziţia în cazurile menţionate.

Dacă d , atunci , cu x, y Z şi x y (mod 2). Faptul că N(

) = este echivalent cu x2+ y2= 4 . Pentru d < - 3 soluţia este ( 2, 0) . Pentru d = -3, se obţin soluţiile ( 2,0), ( ). Concluzia propoziţiei este

justificată.

Propoziţie: Fie d >1 un întreg liber de pătrate. Atunci există astfel încât orice unitate

este de forma , m Z .

Demonstraţie: Ecuaţia lui Pell x2- dy2= 1 are o soluţie (x,y), cu x>0, y>0. Rezultă că

1 < u = este unitate în Ad . Fie M un număr real, M > u. Atunci în intervalul (1,M) există doar un număr finit

de elemente din Ud . Într-adevăr, dacă 1< <M şi este unitate, atunci N( )= ∙ = 1,

(0,1).Avem = , = (0,1) şi a= ) , b= ( - ) Z .

Avem un număr finit de posibilităţi pentru întregii a şi b. În aceste condiţii există cea mai mică unitate din Ad în intervalul (1, ).

Dacă u Ud şi u > 0 atunci există un unic s Z astfel încât . Rezultă şi deoarece este unitate, avem în mod necesar = 1, adică u= .

Dacă u < 0, atunci 0 < – u este de asemenea o unitate şi avem u = pentru un s Z.

Definiţie: Unitatea determinată mai sus se numeşte unitate fundamentală a

corpului Q( ).

Exemplu : În Q( ) unitatea fundamentală este 2 + , iar în Q( ) aceasta este 5+2 .

O unitate din Ad este de forma cu x, y Z astfel încât x2 y2= 4. De

aici rezultă că pentru numerele d care au măcar un factor prim p 3(mod 4) este necesar ca x2- d y2= 4, adică orice unitate u are N(u) = 1. Nu este determinată mulţimea întregilor d > 0 pentru care norma unităţii fundamentale din Ad este – 1. Calculul unităţii fundamentale chiar pentru valori relativ mici ale lui d poate fi extrem de dificil. Spre exemplu, unitatea fundamentală a corpului Q( ) este = 2143295 + 221064 . Conform unei teoreme a lui Schur, este majorat de .

Rezultatul anterior privitor la unităţile lui Ad este un caz particular al importantei teoreme a lui Dirichlet asupra unităţilor unui inel de întregi algebrici. Conform acestei teoreme grupul U(AK) al unităţilor inelului de întregi algebrici AK este un produs direct dintre grupul (finit) al rădăcinilor unităţii din K şi un grup liber de rang s +t –1 , unde s este numărul rădăcinilor reale, iar 2t numărul celor din C \ R ale lui q (∙) , polinomul minimal al unui generator al corpului K ( K = Q ( ) ).

2.3. Numere prime în inele de întregi pătratici:

În continuare prezentăm o caracterizare a numerelor prime p Z care rămân prime ( respectiv ireductibile) într-un inel de întregi pătratici Ad . Această caracterizare este în principal legată de reprezentarea numerelor prime prin forme pătratice binare.

Propoziţie: Fie p un număr prim, , p relativ prim cu d. Atunci:

1) p este element prim în Ad

2) Dacă , atunci p este reductibil în Ad există x, y Z astfel încât .

3) Dacă , atunci p este reductibil în Ad există x, y Z astfel încât .

Demonstraţie:

1) Dacă , fie a Z astfel ca (mod p) . Rezultă că p divide

şi cum p divide , rezultă că acesta nu este prim în Ad . Reciproc, dacă p nu este prim în Ad , există , i = 1,2 astfel încât p divide

, dar nu divide nici unul dintre factori ( ceea ce este echivalent cu

faptul că p nu divide ). Aplicând funcţia normă se obţine că p2 divide

, de unde p divide cel puţin unul din factori, adică .

2) Dacă avem , cu x,y Z , se obţine o descompunere proprie a lui p în Ad , deoarece nu sunt inversabile în Ad , deci p este reductibil. Reciproc, fie , cu Z o descompunere proprie a lui p în Ad.

Aplicând funcţia normă se obţine , iar

Rezultă că .

3) Demonstraţia este analoagă celei de la punctul 2), cu menţiunea că acum o descompunere a lui p în Ad este de forma

,

cu şi .

Observaţie: Fie d astfel încât inelul de întregi Ad este principal. Deci în inelul Ad un element

este prim dacă şi numai dacă este ireductibil. Rezultă că pentru asemenea numere d

(respectând condiţiile propoziţiei anterioare), avem dacă şi numai dacă există x,y

astfel încât . În particular, pentru d < 0 şi d 2,3(mod 4) avem

dacă şi numai dacă p se reprezintă sub forma p = x2 + |d| ∙ y2 .

Capitolul 3

3.1. Studiul modulelor complete din corpurile pătratice:

Definiţia 1: Fie K un corp de numere algebrice şi un sistem finit arbitrar de numere din K. Mulţimea M a tuturor combinaţiilor liniare

cu coeficienţi întregi raţionali se numeşte modul (peste Z), sau grupul abelian general de , în corpul K . Numerele se numesc în acest caz generatori ai modulului M.

Bineînţeles că unul şi acelaşi modul M poate fi dat prin sisteme diferite de generatori. Faptul că este un sistem de generatori ai modulului M se scrie M = { }

Definiţia 2: Două module M şi M1 din corpul K de numere algebrice se spune că sunt asemenea, dacă M1 = M pentru un anumit din K .

Definiţia 3: Dacă modulul M din corpul K de numere algebrice al cărui grad este n conţine n numere liniar independente ( peste corpul numerelor raţionale ), atunci el se numeşte complet, iar în caz contrar, necomplet.

Deoarece orice modul { } este asemenea cu modulul , ne putem limita

la examinarea modulelor de forma .

Orice număr iraţional din Q( ) este rădăcină a unui polinom cu coeficienţi întregi raţionali. Dacă impunem lui a, b, c condiţia (a, b, c) = 1 şi a > 0, atunci pentru dat polinomul va fi unic definit. În cele ce urmează vom nota acest polinom prin . Pentru conjugatul numărului avem = . Mai mult, chiar

egalitatea = subzistă dacă şi numai dacă este fie egal cu , fie cu .

Definiţie: Numărul din corpul K de numere algebrice se numeşte stabilizator al modulului complet M al corpului K dacă , adică dacă oricare ar fi produsul aparţine de asemenea lui M.

Observaţie: Mulţimea tuturor stabilizatorilor modulului M constituie un inel numit inelul stabilizatorilor:

AM = { }.

Lema 1: Dacă pentru numărul iraţional din Q( ) polinomul este ,

atunci inelul stabilizatorilor D modulului M = este ordinul având discriminantul D = .

Demonstraţie:Considerăm numărul , cu x şi y raţionali. Deoarece incluziunea

este echivalentă cu faptul că şi

atunci aparţine inelului stabilizatorilor D , dacă şi numai dacă numerele raţionale

sunt toate întregi, adică atunci când x şi y sunt întregi şi, mai mult, y se divide prin a (această divizibilitate rezultă din faptul că (a, b, c) = 1 ). S-a demonstrat astfel că D = =

. Pentru a încheia demonstraţia lemei 1 mai trebuie calculat discriminantul ordinului D :

.

Consecinţă:

Folosind aceleaşi notaţii, norma modulului este .

Într-adevăr, matricea de trecere de la baza 1, la baza 1, este

.

Lema 2: Pentru ca modulele şi să fie asemenea, este necesar şi suficient ca

numerele 1 şi să satisfacă o relaţie de tipul

, (1)

unde k, m, n sunt întregi raţionali care verifică egalitatea

. (2)

Demonstraţie: Deoarece două baze diferite ale aceluiaşi modul sunt legate printr-o transformare

unimodulară , atunci din egalitatea se deduce

, ,

întregii raţionali k, l, m, n verificând condiţia (2). Împărţind prima dintre aceste egalităţi prin cea de-a doua obţinem chiar (1). Atunci

egalitatea = este îndeplinită datorită relaţiei (2). Demonstraţia lemei 2 este astfel terminată.

Definiţie: Sistemul de generatori ai modulului M se numeşte bază a sa, dacă

este liniar independent peste inelul numerelor întregi, adică dacă egalitatea

( )este satisfăcută numai pentru coeficienţi nuli .

Bineînteles că dacă reprezintă o bază a modulului M, orice număr admite o reprezentare şi numai una de tipul

( ).

Să considerăm acele module din corpul Q( ) care aparţin unui ordin fixat D (adică acele module pentru care D este inel de stabilizatori ).

Teorema 1: Pentru orice ordin D din corpul K de numere algebrice există numai un număr

finit de clase de module asemenea care admit pe D ca inel al stabilizatorilor.

Conform acestei teoreme modulele din corpul Q( ) care aparţin unui ordin fixat

D se descompun într-un număr finit de clase de module asemenea. Vom introduce acum operaţia de înmulţire a claselor şi vom arăta că toate clasele de module asemenea care aparţin ordinului dat D formează grup relativ la această operaţie.

Fiind date două module şi , prin produsul acestora MM1

se înţelege modulul . Pentru şi este verificată formula . (3)

Pentru fiecare modul M vom nota prin [M] clasa de module asemenea care admit pe M ca reprezentant. Din egalitatea (3) se deduce dependenţa clasei [MM1] numai clasele [M] şi [M1]. Clasa [MM1] se numeşte produsul claselor [M] şi [M1]. Pentru a înmulţi două clase este deci necesar să se aleagă câte un reprezentant în fiecare dintre acestea şi apoi să se înmulţească între ei. Clasa de module asemenea care va conţine produsul obţinut va fi chiar produsul claselor date.

Pentru orice modul M vom nota cu M modulul compus din numerele conjugate cu toate numerele din M. Deoarece este raţional, atunci Q( ) şi deci M împreună cu M sunt module complete ale corpului Q( ). Se constată imediat că pentru orice ordin D modulul său conjugat D coincide cu D . Rezultă astfel că două module conjugate au acelaşi inel de stabilizatori.

Să demonstrăm formula

MM = N (M)D, (4)

unde prin D am notat inelul stabilizatorilor, iar N(M) este norma modulului M.

Să presupunem mai întâi că modulul M are forma {1, }. În acest caz, folosind notaţia din lema 1, obţinem

.

Deoarece numerele a, b, c sunt relativ prime, se deduce că toate combinaţiile lor liniare cu coeficienţi întregi coincid cu inelul Z al numerelor întregi şi, în consecinţă,

D = N(M)D ,

(consecinţa lemei 1). Dacă M este un modul, acesta poate fi pus sub forma M = fiind de forma {1, }. Deci

D = D = N(M)D ,

şi formula (4) a fost astfel demonstrată pentru cazul general. Fie acum două module M şi M1 aparţinând aceluiaş ordin D . Dacă Đ este inelul

stabilizatorilor pentru produsul MM1, atunci în virtutea formulei (7), avem

Đ .

Pe de altă parte, deoarece înmulţirea modulelor este, evident, comutativă şi asociativă, înmulţind formulele MM = N (M)D şi M1M1= N (M1)D , obţinem

MM1(MM1) = N(M )N(M1)D .

Comparând această egalitate cu cele precedente şi având în vedere că două ordine diferite nu pot fi asemenea, deducem egalitatea D = Đ . Aşadar, pe baza faptului că egalitatea aD = bD , a şi b fiind numere raţionale pozitive, nu este posibilă decât dacă a = b, obţinem formula

N(MM1) = N(M)N(M1).

În acest mod, dacă modulele M şi M1 aparţin ordinului D , atunci produsul acestora MM1 aparţine şi el lui D . Deoarece pentru orice modul M având inelul de

stabilizatori D ̸ sunt verificare simultan relaţiile MD = M şi D ̸,

obţinem astfel următorul rezultat.

Teorema 2: Toate modulele unui corp pătratic, care aparţin unui ordin fixat, formează grup

relativ la operaţia de înmulţire a modulelor .

Se poate demonstra următorul rezultat:

Teorema 3:Toate clasele de module asemenea dintr-un corp pătratic având acelaşi inel de

stabilizatori D ̸ formează un grup finit, comutativ .

3.2. Ordinele dintr-un corp pătratic:

Definiţie: Un modul complet al corpului K de numere algebrice, care este inel cu identitate, se numeşte ordin al corpului K .

Observaţie: Printre ordinele corpului K de numere algebrice se află unul care este maximal, adică include toate celelalte ordine.

Ordinele într-un corp pătratic:Numerele dintr-un corp Q( ) sunt de forma

, a şi b fiind raţionali.

Deoarece polinomul caracteristic al lui este

X2 – 2aX + a2 – db2,

înseamnă că va aparţine ordinului maximal al corpului Q( ), dacă şi numai dacă 2a= T( ) şi = N( ) sunt întregi raţionali.

Vorbind despre baza ordinului maximal al corpului Q( ) vom avea în vedere

întotdeauna baza 1, , unde = pentru d 1(mod 4) şi = pentru d 2,3(mod

4).Considerăm un ordin D al corpului Q( ). Deoarece D este inclus în ordinul

maximal Ď, toate numerele din D sunt de forma a + b , a şi b fiind întregi raţionali. Să alegem dintre acestea numărul care are cea mai mică valoare pozitivă a coeficientului b. Fie acesta x+ f . Deoarece x este întreg raţional şi se găseşte deci în D, înseamnă că f D . Este clar acum că pentru orice a + b din D coeficientul b se divide la f şi deci D ̸ = {1, f }. Reciproc, pentru orice număr natural f modulul {1, f } este inel, deci este şi ordin al corpului Q( ). Deoarece pentru numere naturale f distincte, ordinele {1, f } sunt de asemenea distincte, se ajunge la următoarea situaţie : ordinele dintr-un corp pătratic se află în corespondenţă bijectivă cu numerele naturale.

Notăm ordinul {1, f } prin Df . Se constată imediat că numărul f este egal cu indicele ordinului Df ̸ în ordinul maximal Ď ̸= ̸D1 ̸= ̸ {1, }. În acest fel se deduce că orice ordin al unui corp pătratic este complet definit de indicele său în ordinul maximal.

Să calculăm discriminantul Df al ordinului Df . Vom presupune mai întâi că d1(mod 4). Deoarece T( ) = 0, atunci

T( ) = T = 1,

T ( 2) = T ,

şi deci

Df =

Dacă însă d 2 sau 3 (mod 4), atunci

Df =

Formulele pe care le-am obţinut pentru Df ne arată că orice ordin dintr-un corp pătratic este unic definit de discriminantul său.

Teoremă:Fie d 1 un număr întreg raţional liber de pătrate. Ca bază a ordinului maximal

Ď ̸ din corpul pătratic Q( ) pot fi luate numerele 1 şi , unde = pentru d

1(mod 4) şi = pentru d 2,3(mod 4). Discriminantul D1 al ordinului Ď (adică discriminantul corpului Q( ) ) este în primul caz d, iar in cel de-al doilea caz 4d. Un ordin Ď ̸ din corpul Q( ) are forma Df ̸= ̸{1, f }, unde f este indicele (Ď ̸: ̸D). Discriminantul ordinului Df ̸ este D1f 2.

Teoremă (privind ordinul maximal al unui corp):Toate numerele corpului K de numere algebrice, ale căror polinoame minimale

au coeficienţi întregi raţionali formează ordinul maximal al corpului K .

Demonstraţie:Fie D ̸ un ordin oarecare al corpului K , iar şi numere arbitrare din Ď .

( Ne ajutăm în demonstraţie de următoarele rezultate:Lemă: Dacă ̸ D este un ordin arbitrar al corpului K şi Ď, atunci inelul D[ ] compus din toate polinoamele în cu coeficienţi din ̸D este de asemenea ordin al corpului K .

Prin aplicarea repetată a acestei leme obţinem următorul rezultat:Consecinţa 1: Dacă ̸D este un ordin şi sunt numere din ̸Ď ̸, atunci inelul D[ ] al tuturor polinoamelor în cu coeficienţi din ̸ D este de asemenea un ordin. )

Conform consecinţei de mai sus inelul D[ , ] este ordin, prin urmare este inclus în Ď . Rezultă atunci că diferenţa şi produsul sunt de asemenea incluse în Ď ̸. S-a demonstrat astfel că Ď este inel. Deoarece D Ď se deduce că Ď conţine n numere liniar independente. Rămâne sa verificăm doar că Ď este un modul.

Alegem în ordinul D o bază şi construim pentru aceasta în corpul K baza reciprocă . Vom arăta că inelul Ď ̸ este inclus în modulul D*={

}. Fie un element al inelului Ď, pe care îl reprezentăm sub forma

= , fiind raţionali. Înmulţind această egalitate cu şi considerând apoi urma, obţinem

= T ( ) ( )( am utilizat faptul că T ( ) = 1 şi T ( ) = 0 dacă i j ).

Cum toate produsele sunt conţinute în ordinul D[ ], deducem că toate numerele

sunt întregi şi deci ̸D* . În acest mod Ď ̸ ̸D*.

( În continuare folosesc următoarele rezultate:

Teoremă: Orice subgrup N al unui grup abelian M fără elemente de ordin finit şi cu un

număr finit de generatori are, de asemenea ‚ un număr finit de generatori şi astfel are o bază. Mai mult, oricare ar fi baza a grupului M (făcând o numerotare convenabilă a elementelor sale) , există o bază a lui N de forma

fiind întregi,

> 0, .

Consecinţa 2: Orice subgrup N al unui modul M al corpului K de numere algebrice este de

asemenea modul ( submodul al modulului M ). )

Aplicând acum consecinţa 2 deducem că Ď ̸este modul, şi astfel teorema este demonstrată.

Numerele ordinului maximal Ď se vor mai numi şi numere întregi ale corpului K. Ordinului Ď ̸ i se va mai spune, simplu, inelul intregilor lui K .

Unităţile ordinului maximal Ď se mai numesc unităţi ale corpului K de numere algebrice.

3.3. Unităţi:

Deoarece fiecare număr din ordinul Df ̸ se reprezintă sub forma x + y , cu x şi y întregi raţionali, a determina toate unităţile din Df ̸ înseamnă a rezolva ecuaţia nedefinită

N (x + y ) = , (5)

adică ecuaţia

, (6)

pentru (mod 4) şi ecuaţia

(7)

pentru (mod 4).

În cazul unui corp imaginar pătratic s = 0, t = 1, r = s + t – 1 = 0. (ordinul D ̸aparţine spaţiului ̸ ʆ ̸ ( a cărui dimensiune este s + t – 1 ) ), ceea ce înseamnă că grupul unităţilor din orice ordin al acestui grup este finit şi format numai din rădăcinile lui 1. Acest fapt este şi în acord cu aceea că ecuaţiile (6) şi (7) pentru d < 0 au un număr finit de soluţii întregi. Anume, pentru d = – 1 sau d = 1 ecuaţia (7) are patru soluţii: x = 1, y =0; x = 0, y = 1, care corespund rădăcinilor de ordin 4 din 1: 1, i . Pentru d = –3, f = 1, ecuaţia (6) are şase soluţii x = 1, y = 0; x = 0, y = 1; x = 1, y = –1; x = –1, y = 1,

corespunzând tuturor rădăcinilor de ordinul şase din 1: 1, . Pentru toate

celelalte ordine ale corpurilor imaginare pătratice ecuaţiile (6), respectiv, (7) au numai două soluţii: x = 1, y = 0, adică toate unităţile lor sunt numai numerele 1.

Mai complet se prezintă cazul corpului pătratic Q( ), d > 0. Deoarece în acest caz s = 2, t = 0 şi deci r = 1, atunci toate unităţile ordinului Df ̸ al corpului Q( ) au forma , unde este aşa-numita unitate fundamentală a ordinului Df . Problema a fost în acest fel redusă la determinarea unităţii fundamentale . Odată cu sunt unităţi

fundamentale şi numerele De aceea se poate considera că > 1. Prin condiţia

> 1, unitatea fundamentală este unic determinată. Pentru unitatea din Df ̸ scrisă sub forma în baza 1,

coeficienţii x şi y sunt pozitivi (pentru d = 5, f = 1 este posibil x = 0 ). Pentru orice vom nota cu conjugatul său, adică imaginea lui prin automorfismul

al corpului . Deci . Deoarece , rezultă că unitatea

n este sau , sau ; în ambele cazuri , adică şi deci y > 0. Apoi

deoarece şi , cu excepţia cazului d = 5, f = 1, atunci x > 0 (

dacă d = 5, f = 1, atunci şi deci ).

Fie > 1 unitatea fundamentală a ordinului Df . Pentru unităţile , unde n este natural, avem şi . Prin urmare, pentru a determina unitatea fundamentală > 1 trebuie să determinăm soluţiile întregi ale ecuaţiei (5) având pentru x şi y valori pozitive minime. Valorile căutate x şi y pot fi limitate superior printr-o constantă C, după care determinarea acestora se reduce la un număr finit de determinări.

Numărul de verificări necesare pentru calculul unităţii fundamentale poate fi substanţial micşorat dacă utilizăm un rezultat din teoria fracţiilor continue. Este vorba despre o teoremă care afirmă că dacă numărul real > 0 şi numerele naturale relativ prime x şi y satisfac relaţia

,

atunci este neapărat una din fracţiile (adică una din “redusele” asociate cu ( V.

Sudan , G., Geometrizarea fracţiilor continue, Ed Tehnică, Bucureşti, 1959)) care intră în dezvoltarea în fracţie continuă a numărului .

Din relaţia (5) se deduce

Dacă d 1 (mod 4), atunci lăsând la o parte cazul d = 5, f = 1 găsim

( deoarece > 0 şi > 2 ). Dacă însă d 2,3 (mod 4), atunci cum

şi , avem

.

Conform teoremei amintite fracţia ireductibilă este una dintre fracţiile care intră în

dezvoltarea numărului iraţional în fracţie continuă. Pentru a afla cea mai mică soluţie pozitivă a ecuaţiei (5) trebuie deci să verificăm numai numărătorii şi numitorii

care corespund acestora în fracţiile care intră în (care nu sunt mai mari decât constanta C anterior calculată ).

Calculul se poare desfăşura practic în modul următor: Găsim pentru numărul în mod succesiv câturile parţiale qk , k 0 (qk se mai numesc şi “numitori

incompleţi” ( V. Sudan, G.)) şi imediat numărătorii Pk şi numitorii Qk ai fracţiilor corespunzătoare. Calculul se continuă până când, după un număr de paşi, expresia N (Pk+ Qk) devine +1 sau . Aceasta va avea loc neapărat pentru Pk < C, şi astfel va fi determinată unitatea fundamentală . ( Cu excepţia cazului d = 5, f = 1, caz

în care unitatea fundamentală este ) Să ilustrăm cele afirmate prin două

exemple :

EXEMPLUL 1 : Pentru a găsi unitatea fundamentală a ordinului {1,3 } din corpul Q(), descompunem numărul în fracţie continuă :

= 7+( );

Putem deci completa următorul tabel :

k 0 1 2 3 4 5

qk 7 2 1 6 1 2Pk 7 15 22 147 169 485Qk 1 2 3 20 23 66

9 9 1

Unitatea fundamentală a ordinului {1,3 } este deci 485 + 66 = 485 + 198.

EXEMPLUL 2 : Să calculăm unitatea fundamentală a corpului Q( ).Avem :

Putem completa deci tabelul :

k 0 1 2 3 4

qk 2 1 2 2 1Pk 2 3 8 19 27Qk 1 1 3 7 10

2 4

Unitatea fundamentală din ordinul maximal al corpului Q( ) este deci

.

3.4. Forme pătratice binare – definiţii :

O formă pătratică peste corpul K (corp arbitrar de caracteristică diferită de 2) este un polinom omogen de gradul al doilea cu coeficienţi din K . Orice formă pătratică f poate fi scrisă sub forma

,

unde aij = aji . Matricea simetrică se numeşte matricea formei pătratice f . O formă pătratică este complet determinată, până la notarea nedeterminatelor, de către matricea sa. Determinantul d = det A se numeşte determinantul formei pătratice f . Dacă d = 0 forma f se numeşte singulară, în caz contrar se numeşte nesingulară.

Teoremă:

Dacă forma pătratică f în n nedeterminate reprezintă elementul , atunci este echivalentă cu o formă de tipul

,unde g este o formă pătratică în n – 1 nedeterminate.

Dacă matricea formei pătratice este diagonală (adică toţi coeficienţii produselor nedeterminantelor distincte sunt nuli), atunci o astfel de formă o vom numi diagonală.

Teoremă: Orice formă pătratică peste corpul K poate fi adusă la forma diagonală printr-o

transformare liniară nesingulară a nedeterminatelor. Altfel spus, orice formă pătratică este echivalentă cu o anumită formă diagonală.

3.4.1. Reprezentarea numerelor întregi prin forme pătratice binare:

Studiul sistematic al formelor pătratice binare cu coeficienţi întregi, f (X,Y) = aX2 + bXY + cY2 , iniţiat de Lagrange în lucrarea Recherches d’Arithmetique din 1793 a fost continuat de Gauss în Disquisitionae Arithmeticae (1801).

Definiţie: Forma f (X,Y) = aX2 + bXY + cY2 se numeşte primitivă dacă a, b, c sunt relativ prime. Spunem că numărul întreg m este reprezentat de forma f (X,Y) dacă există x, y astfel încât m = f (x, y). Reprezentarea se numeşte proprie dacă x, y sunt relativ prime.

Definiţie: Formele f (X,Y) şi g(X,Y) se numesc echivalente şi notăm f ~ g dacă există p, q, r, s astfel încât f (X,Y) = g (pX + qY, rX + sY ), iar

.

(Cu alte cuvinte, două forme pătratice f şi g se numesc echivalente dacă există o transformare liniară nesingulară a nedeterminatelor cu ajutorul căreia una din aceste forme să se transforme în cealaltă (până la notarea nedeterminatelor). )

Teoremă: Dacă două forme pătratice sunt echivalente, determinanţii acestora diferă printr-un factor nenul care este pătrat în K (corp arbitrar de caracteristică diferită de 2) ).

Prin urmare , grupul matricelor inversabile din 2(Z). Se

constată uşor că relaţia definită mai sus este o relaţie de echivalenţă ( reflexivă, simetrică şi tranzitivă), formele echivalente reprezintă aceleaşi numere întregi ( aceasta rezultă din

faptul că pentru orice u, v , sistemul are, în condiţiile date, soluţii

întregi ), iar o formă echivalentă cu o altă primitivă este de asemenea primitivă.

Definiţie: Spunem că f este propriu echivalentă cu g dacă ps – qr = 1, adică

, această condiţie producând de asemenea o relaţie de echivalenţă pe

mulţimea formelor cu coeficienţi întregi. Dacă ps – qr = – 1 , formele f şi g se numesc impropriu echivalente .

Lemă: Numărul întreg m este propriu reprezentat de forma f, dacă şi numai dacă există b, c , astfel încât f (X,Y) este echivalentă cu mX 2 + bXY + cY 2 .

Demonstraţie: Dacă m = f (p, q), cu (p, q) = 1, fie r şi s astfel încât ps – qr = . Avem

cu a, b, c . Reciproc, observând că forma mX 2 + bXY + cY 2 reprezintă propriu pe m, luând (x, y) = (0, 1), rezultă că şi forma echivalentă f (X,Y) îl reprezintă propriu pe m.

Definiţie: Dacă f(X,Y) = aX2 + bXY + cY2 , numim discriminantul formei.Fie f(X,Y), g(X,Y) având discriminant , respectiv , iar f (X, Y) = g (pX +qY , rX

+ sY ), cu p, q, r, s . Prin calcul direct se constată că . Prin urmare, două forme echivalente au acelaşi discriminant.

Avem, de asemenea,

.

Dacă numim forma f nedefinită ( în acest caz ea poate reprezenta atât numere pozitive cât şi numere negative). Dacă < 0 şi a > 0 forma f se numeşte pozitiv definită ( aceasta poate reprezenta doar numere pozitive). Dacă < 0 şi a < 0 forma f se numeşte negativ definită .

Observaţie: Deoarece (mod 4) rezultă că b este par ( respectiv impar) după cum 0 (respectiv 1) modulo 4.

Propoziţia 1: Fie , 0 sau 1 modulo 4, şi m un întreg impar relativ prim cu . Atunci există o formă f(X,Y), primitivă având discriminantul şi care îl reprezintă

propriu pe m dacă şi numai dacă este rest pătratic modulo m. (dacă m este par, condiţia este: este rest pătratic modulo 4m .)

Demonstraţie: Dacă f(X,Y) îl reprezintă propriu pe m , conform lemei anterioare putem

presupune f(X,Y) = mX 2 + bXY + cY 2. Rezultă şi (mod m). Reciproc, fie b astfel încât (mod m). Înlocuind eventual m cu b + m , putem presupune că

şi b au aceeaşi paritate. Deoarece 0,1(mod 4), obţinem (mod 4m), adică pentru un anumit c . Atunci forma mX 2 + bXY + cY 2 îl

reprezintă propriu pe m (luând x = 1, y = 0 ) are discriminantul egal cu şi are coeficienţi relativ primi, deoarece (m, ) = 1.

Corolar: Fie n şi p > 2 un prim cu ( n, p) = 1. Atunci dacă şi numai dacă

există o formă primitivă de discriminant – 4n ce reprezintă numărul p .

Demonstraţie: Consecinţă imediată a propoziţiei anterioare, deoarece

.

Observaţie: În cazul formelor f (X, Y) = X 2 + nY 2, n {1, 2, 3} având ,

condiţia este şi suficientă pentru ca numărul prim p > 2 sa fie reprezentat de f .

Se pune problema dacă există ( şi cât de multe ) forme neechivalente având acelaşi discriminant .

Abordăm această problemă mai întâi în cazul formelor pozitiv definite (ce include şi formele X 2 + nY 2, ).

Fie f (X, Y) = aX 2 + bXY + cY 2 o formă pătratică pozitiv definită, adică a > 0 şi ( rezultând că şi c > 0 ).

Definiţie: Spunem că forma primitivă şi pozitiv definită aX 2 + bXY + cY 2 este redusă dacă şi afară de cazul sau a = c .

Teorema 4: Orice formă primitivă pozitiv definită este propriu echivalentă cu o unică formă

redusă . Corolar: Mulţimea formelor reduse de discriminant < 0 este finită. Prin urmare, numărul notat h ( ), al claselor de echivalenţă proprie pe mulţimea formelor pozitiv definite de discriminant este finit .

Demonstraţie:

Dacă aX 2 + bXY + cY 2 este o formă redusă de discriminant < 0, avem şi

, de unde . Obţinem şi deci pentru fixat

există un număr finit de posibilităţi pentru a şi b . Din se obţine acelaşi lucru şi pentru c.

Să considerăm formele binare fn (X, Y) = X 2 + nY 2, n > 0, de discriminant n

= – 4n . Conform propoziţiei 1, în cazul când h (– 4n) = 1, numărul prim impar p prim cu

n , poate fi reprezentat sub forma x2 + ny2 = p , cu x, y , dacă şi numai dacă .

Acesta este şi cazul formelor X 2 + Y 2 , X 2 + 2Y 2 , X 2 + 3Y 2 de discriminanţi respectiv – 4, – 8, – 12. Pentru n = 5, h (– 20) = 2, cele două forme reduse fiind X 2 + 5Y 2 şi 2X 2 + 2XY + 3Y 2 ; pentru n = 7, h (– 56) = 4, h (– 108) = 3, h (– 256) = 4.

Dacă este pătrat perfect (incluzând şi cazul ac = 0), forma f (X, Y) se factorizează într-un produs de forme liniare, iar problema reprezentării numerelor întregi de către f se rezolvă într-un mod specific, mai simplu. În continuare presupunem că este pătrat perfect. În cazul formelor indefinite, rezultatele sunt analoage, dar problema unicităţii este mult mai complexă.

Propoziţia 2: În orice clasă de echivalenţă proprie există o formă aX 2 + bXY + cY 2

astfel ca .

Demonstraţie : Fie a0X 2 + b0 XY + c0Y 2 = f (X, Y) un reprezentant dintr-o clasă dată C şi a cu

|a| minim între întregii nenuli reprezentaţi de formele din C ̸. Atunci există r şi t astfel

încât , iar d = (r, t) = 1, deoarece în caz contrar este de

asemenea reprezentat de f , contrazicând astfel alegerea lui a. Putem alege r şi u astfel ca

ru – st = 1. Atunci matricea transformă într-o formă aX 2

+ b XY + c Y 2 . Fie b = 2ah + b cu h ales astfel ca . Matricea

transformă aX 2 + b XY + c Y 2 în formă aX 2 + bXY + cY 2 = g (X, Y). Dar forma g reprezintă pe c şi prin urmare . Observăm că , întrucât

nu este pătrat perfect.

Corolar: Numărul h( ) al claselor de echivalenţă proprie de forme având discriminantul dat este finit.

Demonstraţie: Este suficient să considerăm cazul >0 al formelor indefinite. Conform

propoziţiei 2 avem , de unde ac < 0 . De asemenea,

. Obţinem şi conform propoziţiei .

Acestea împreună cu relaţia arată că avem un număr finit de posibilităţi de

alegere pentru aX 2 + bXY + cY 2 , reprezentanţi ai claselor ca satisfac .

Observaţie: Conform corolarului anterior şi având în vedere că formele echivalente reprezintă aceleaşi numere, rezultă că se poate decide printr-un număr finit de paşi dacă un număr întreg dat se poate reprezenta printr-o formă f , dată.

În concluzie, pentru formele de discriminant <0, numărul claselor de echivalenţă proprie este dat de numărul de reprezentări ale lui sub forma cu şi (în cazul a = |b| sau a = c ) .

În anul 1903 Landau a demonstrat următoarea conjectură a lui Gauss privitoare la formele de discriminant .

Teoremă: Fie . Atunci h ( ) = 1 dacă şi numai dacă n {1, 2, 3, 4, 7}.

Pentru a rezolva problema clasificării, Gauss a definit pe mulţimea formelor pătratice binare de discriminant dat o operaţie de compunere compatibilă cu echivalenţa (proprie) a formelor . În raport cu operaţia indusă, mulţimea claselor de echivalenţă devine grup abelian. De asemenea, a definit şi alţi invarianţi ai claselor de echivalenţă.

3.4.2. Forme pătratice modulo număr prim:

Teorema 5 (teorema lui Chevalley):Dacă F( ) este o formă de grad r < n , atunci congruenţa

F (mod p),admite şi soluţii nebanale .

Următorul rezultat se deduce direct din teorema lui Chevalley.

Teorema 6: Fie f( ) o formă pătratică cu coeficienţi întregi . Dacă , atunci congruenţa

f( ) 0 (mod p )

admite şi o soluţie nenulă .

Cazul formelor pătratice binare de o nedeterminată nu prezintă interes ( dacă (mod p) atunci congruenţa (mod p) are numai soluţia nulă).

Examinăm cazul formelor pătratice binare.

Vom considera că (pentru n = 2, p = 2 se pot trece în revistă uşor toate formele pătratice respective). În acest caz forma poate fi scrisă astfel

f (x, y) = .

Determinantul (discriminantul) acesteia îl vom nota cu d .

Teorema 7: Congruenţa(mod p) ( ) (8)

are o soluţie nebanală, dacă şi numai dacă determinantul său d este divizibil cu p sau este rest pătratic modulo p .

Demonstraţie:Este evident că pentru două forme f şi f1, echivalente peste corpul Zp congruenţele

(8) admit sau nu, simultan o soluţie nenulă. Mai mult, fiindcă prin trecerea la o formă echivalentă determinantul se înmulţeşte cu pătratul unui element nenul al corpului Zp, în demonstraţia teoremei se poate înlocui forma f cu orice formă echivalentă. Orice formă este echivalentă cu o formă diagonală; se poate astfel considera că

f = ax2 + cy2, d = ac.

Dacă sau (mod p), teorema este evidentă. Dacă însă (mod p) şi congruenţa (8) admite soluţia nenulă ( ), atunci din congruenţa

(mod p)

se obţine

(mod p).

(fracţia (mod p) reprezintă rezultatul împărţirii în corpul Zp, adică soluţia

congruenţei (mod p) )Astfel, Reciproc, dacă şi

(mod p), se poate lua .

3.5. Corespondenţa dintre module şi forme:

Fiecărei baze a modulului complet îi corespunde în mod unic o formă pătratică binară cu coeficienţi raţionali. Deoarece pentru baze diferinte în M formele care le corespund acestora sunt echivalente, reiese că modulului M îi corespunde o clasă de forme echivalente. Dacă în locul lui M se ia modulul asemenea cu el, atunci toate formele noastre se înmulţesc cu termenul constant . În consecinţă, considerând formele şi făcând abstracţie de un factor constant, se poate afirma că fiecărei clase de module asemenea îi corespunde o clasă de forme echivalente. Această corespondenţă nu este totuşi o bijecţie. Într-adevăr, modulele conjugate

şi nu sunt în general asemenea însă formele care le corespund acestora coincid. O situaţie asemănătoare se întâlneşte, desigur, şi pentru formele decompozabile de orice grad. În general, pe cât se pare, nu există un mod general de a elimina această neconcordanţă între clasele de forme şi clasele de module. Pentru corpurile pătratice însă, după cum vom vedea imediat, se poate stabili o bijecţie, modificând uşor definiţiile echivalenţei formelor şi asemănării modulelor.

Definiţie: Forma pătratică binară f (x,y) = Ax2 + Bxy + Cy2 cu coeficienţi întregi raţionali se

numeşte primitivă dacă cel mai mare divizor comun al coeficienţilor săi este 1. Numărul întreg B2 – 4AC se numeşte discriminantul formei primitive f .

În consecinţă, discriminantul unei forme primitive se deosebeşte de determinantul

său AC – prin factorul constant – 4.

Se constată imediat că pentru o formă primitivă orice formă echivalentă cu ea va fi de asemenea primitivă. Printr-o transformare liniară de matrice C a nedeterminatelor, determinantul formei pătratice se înmulţeşte cu factorul (det C )2, ceea ce arată că acesta rămâne neschimbat numai în cazul cand det C = . Se deduce astfel că formele primitive echivalente au acelaşi determinant.

Definiţie: Două forme primitive se numesc propriu echivalente dacă una dintre ele se

transformă în cealaltă printr-o transformare liniară cu coeficienţi întregi a nedeterminatelor şi având determinantul +1 .

Formele pătratice binare primitive se descompun în clase de forme propriu echivalente. Pe tot parcursul acestui punct, când se va vorbi de clase de forme, vom subînţelege că este avută în vedere echivalenţa proprie. Se întâlneşte însă adesea cazul când două forme echivalente impropriu (adică transformându-se una în alta printr-o transformare liniară de determinant egal cu – 1) vor fi şi propriu echivalente.

Dăm acum o nouă definiţie asemănării modulelor.

Definiţie: Două module complete M şi M1 dintr-un corp pătratic se spune că sunt asemenea

în sens restrâns, dacă , unde este un element cu normă pozitivă .

Deoarece în cazul corpurilor pătratice imaginare norma oricărui element nenul este pozitivă, înseamnă că în aceste corpuri noţiunea de asemănare în sens restrâns nu se deosebeşte cu nimic de noţiunea obişnuită de asemănare. Aceeaşi situaţie se întâlneşte şi în cazul corpurilor pătratice reale cu condiţia ca în inelul de stabilizatori D al modulelor considerate să existe o unitate pentru care N ( ) = – 1. Într-adevăr, dacă şi

, atunci deoarece M = M , rezultă M1 = (a )M, unde N(a ) > 0. Reciproc, presupunând că asemănarea în sens restrâns coincide cu cea obişnuită, adică din , M ( ) < 0, rezultă existenţa unui anumit pentru care N ( ) > 0 şi . Luând

, avem , ceea ce înseamnă că este unitate în inelul de stabilizatori D , iar .

În acest mod, noţiunea de asemănare în sens restrâns se deosebeşte de noţiunea obişnuită de asemănare numai pentru acele module ale unui corp pătratic real, în inelul de stabilizatori ale carui unităţi au toate norma +1. Este clar că în acest caz fiecare clasă de module asemenea în sens larg se descompune exact în două clase de module asemenea în sens restrâns.

Descriem acum corespondenţa între clasele de module şi clasele de forme. În fiecare modul M din corpul Q( ) vom considera numai astfel de baze ,

pentru care determinantul

(9)satisface condiţia

când d > 0, (10)

când d < 0.

(Ca şi mai sus , şi sunt numere din Q( ) conjugate cu şi . Există întotdeauna baze în M care au proprietatea (10): dacă o primă bază nu are aceastăproprietate, este suficient să se schimbe ordinea lui cu .)

Fiecărei baze a modulului M , care satisfac condiţia (10), îi punem în corespondenţă forma

(11)

(N(M) este norma modulului M). Dacă pentru numărul vom considera polinomul

, atunci vom avea

.

Pe de altă parte, conform consecinţei lemei 1 şi a teoremei:

Teoremă: Normele a două module complete asemenea M şi satisfac relaţia

În particular, pentru module asemenea cu ordinul D, se verifică egalitatea

N( D) = .

norma modulului M = este . Se deduce astfel că A, B, C se deosebesc de

coeficienţii a, b, c , eventual, prin semn. S-a demonstrat prin aceasta că forma (11) este primitivă şi discriminantul său B2 – 4AC coincide cu discriminantul b2 – 4ac al inelului de stabilizatori ai modulului M. În acest mod, se găseşte aplicaţia:

(12)

care pune în corespondenţă fiecărei baze a corpului Q( ), care satisface (10), forma primitivă f (x,y). (În cazul corpurilor reale, coeficientul A poate fi negativ.) Bineînţeles că în cazul corpurilor imaginare pătratice forma (11) este întotdeauna pozitiv definită, astfel că formele negativ definite rămân în afara corespondenţei (12).

Teorema 8: Fie M mulţimea claselor de module asemenea în sens restrâns din corpul pătratic

Q( ) şi F ̸mulţimea tuturor claselor de forme pătratice binare primitive propriu echivalente pentru d > 0 şi pozitiv definite prentu d < 0, decompozabile în Q( ) în factori liniari . Aplicaţia (12) stabileşte o corespondenţă bijectivă între M şi F ; dacă ordinul de stabilizatori al unei clase de module are discriminantul D, atunci formele care îi corespund au de asemenea discriminantul D .

Fie şi două baze ale corpului Q( ) pentru care determinanţii de forma (9) satisfac condiţia (10) şi fie f şi f 1 formele care corespund acestor baze. Pentru a demonstra teorema trebuie să arătăm că formele f şi f 1 sunt propriu echivalente, dacă şi numai dacă modulele { } şi { } sunt asemenea în sens restrâns. Trebuie să ne convingem apoi că pentru orice formă ireductibilă primitivă f(x,y) (decompozabilă în factori liniari în Q( ) şi pozitiv definită dacă d < 0) există o bază satisfăcând condiţiile (10), astfel ca forma (11) să coincidă cu g(x,y).

La punctul 3.3 a fost definit produsul claselor de module asemenea. Putem defini produsul claselor de module asemenea în sens restrâns, exact în acelaşi mod. În virtutea corespondenţei bijective M F ̸, înmulţirea claselor de module poate fi transpusă asupra claselor de forme. Operaţia de înmulţire astfel definită pe F se numeşte compunere a claselor de forme (termenul îi aparţine lui Gauss, care a considerat pentru prima dată această operaţie). Deoarece toate clasele de module asemenea în sens restrâns, care aparţin unui inel fixat de stabilizatori, formează un grup, se deduce că toate clasele de forme primitive având discriminantul D dat (pozitiv definite pentru D < 0) formează de asemenea un grup.

3.6. Corespondenţa forme pătratice binare - modulele asemenea:

În cuprinsul acestui punct vom arăta că problema determinării reprezentării numerelor întregi prin forme pătratice binare poate fi redusă la problema asemănării modulelor într-un corp pătratic.

Fie f (x,y) o formă pătratică binară având discriminantul D nenul şi decompozabilă în factori liniari în corpul Q( ), iar m un număr natural. În cazul D < 0 presupunem că forma f este pozitiv definită. Problema constă în a determina toate soluţiile întregi ale ecuaţiei nedefinite

f (x,y) = m (13)

(ne mărginim la valorile pozitive ale lui m, deoarece în cazul m < 0, D > 0 în locul lui f

poate fi considerată forma – f ). Conform teoremei 8 vom avea

, (14)

unde baza a modulului M satisface condiţia (10). Aplicaţia stabileşte o bijecţie între mulţimea soluţiilor ecuaţiei (13) şi mulţimea numerelor de

normă . Două soluţii ale ecuaţiei (13) se vor numi asociate, dacă numerele care le corespund în M sunt asociate. Se verifică imediat că noţiunea de asociere a soluţiilor nu depinde de reprezentarea (14). Să notăm cu D inelul de stabilizatori al modulului M şi prin C clasa de module în sens restrâns care are ca reprezentant pe M . Conform teoremei 8 clasa este unic determinată de forma f .

Fie numărul având norma . Considerăm modulul . Deoarece AM = M = D , rezultă că modulul A este conţinut în D. Norma sa este . Rezultă imediat că şi A este conţinut în clasa de module C-

1 ,inversa clasei C . Reciproc, presupunem că în clasa C-1 se găseşte un modul A, inclus în ordinul D şi

având norma m . Atunci, pentru un anumit având norma pozitivă este satisfăcută egalitatea , iar şi . Dacă A1 este un alt modul din clasa C-1 inclus în D şi având norma m şi dacă , atunci

şi deci A1 coincide cu A, dacă şi numai dacă este asociat cu .Am demonstrat astfel următoarea teoremă:

Teorema 9:Considerăm forma f (x,y) care corespunde clasei de module C ̸(în sens restrâns)

având inelul de stabilizatori D. Toate clasele de soluţii asociate ale ecuaţiei (13) se găsesc în corespondenţă bijectivă cu modulele A care aparţin clasei inverse ̸ C-1 , conţinute în inelul de stabilizatori D şi având norma m. Soluţiile (x, y) care corespund modulului A sunt definite de numerele pentru care , unde M este un modul din clasa C ̸.

Oricare ar fi numărul natural m, putem descrie toate modulele A care au inelul de stabilizatori D, incluse în D şi având norma m. Fie A un astfel de modul. Să notăm prin k cel mai mic număr natural conţinut în A. În acest caz putem scrie modulul A sub forma

Generatorul este definit aici până la semn şi la o constantă întreagă aditivă. De aceea putem alege ca, mai întâi,

când d < 0 (15)

Irr , când d > 0.

(Irr este partea iraţională a numărului ), şi, apoi, astfel ca partea iraţională a lui să

aparţină intervalului . Dacă plicăm notaţia din lema 1 numărului şi îl scriem

sub forma

(16)

a doua condiţie devine

. (17)

Pe baza egalităţii D = şi a condiţiei D , obţinem imediat că a divide k, adică

k = as, s fiind întreg. Deoarece m = N(A) = (consecinţă a lemei 1), atunci

m = as2. (18)

Vom arăta că reprezentarea modulului A sub forma

A = as{1, }, (19)

cu a, s şi satisfăcând condiţiile (18), (15) şi (17) este unică. Într-adevăr, dacă as{1, }= {1, }, şi îndeplinesc aceleaşi condiţii, atunci as = şi deci {1, }={1,

}. Pe baza consecinţei lemei 1 se deduce astfel egalitatea a = şi, în consecinţă, s = . Mai mult, deoarece generatorul din modulul {1, }, satisfăcând condiţiile (15) şi (17), este unic definit, rezultă că = .

Să presupunem acum că, reciproc, fiind dat numărul natural m vom alege numerele naturale a şi s astfel încât să fie verificată egalitatea (18). Dacă b şi c verifică condiţiile:

) , (20)

atunci pentru un număr de forma (16) modulul A = as{1, } va fi conţinut în inelul său

de stabilizatori D ={1,a } şi norma sa va fi .

În acest mod vom determina toate modulele A care ne sunt necesare dacă se găsesc toate cvadruplele de numere întregi s > 0, a > 0, b, c, satisfăcând condiţiile (18) şi (20).

Dacă dispunem de un algoritm cu ajutorul căruia se poate decide asupra asemănării în sens restrâns a două module complete din corpul Q( ), atunci, scriind toate modulele D de normă m, putem separa dintre acestea pe cele asemenea cu modulul M. Pe baza teoremei 9 vom determina astfel toate soluţiile ecuaţiei (13).

Din teorema 9 rezultă imediat următoarea afirmaţie.

Teorema 10:Pentru ca numărul natural m să fie reprezentat printr-o formă pătratică binară

primitivă având discriminantul D, este necesar şi suficient ca în ordinul D ̸de discrimi- nant D să existe un modul A având norma m. Faptul că modulul A are norma m

echivalează cu existenţa întregilor a > 0, s >0 , b, c, satisfăcând condiţiile m =as2, b2

– 4ac = D, (a, b, c) = 1, .

În cazul în care D este discriminantul ordinului maximal D, a doua afirmaţie a teoremei 10 admite o simplificare. Anume:

Teorema 11:Fie D discriminantul unui corp pătratic (adică discriminantul ordinului maximal).

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca numărul natural m =as2, a fiind liber de pătrate, să fie reprezentabil printr-o formă binară primitivă de discriminant D este ca congruenţa

(mod 4a) (21)

să fie rezolubilă.

3.7. Asemănarea modulelor într-un corp pătratic imaginar:

În cazul corpului pătratic imaginar Q( ), d < 0, exisă un procedeu extrem de simplu de rezolvare a problemei asemănării modulelor.

Reprezentarea geometrică a numerelor Q( ) prin punctele spaţiul R2

coincide cu reprezentarea uzuală a numerelor complexe în plan. Numerele dintr-un modul complet Q( ) se reprezintă în acest fel prin puncte (sau vectori) ai unei reţele complete din R2. În cadrul acestui punct vom identifica adesea numerele complexe cu imaginile lor din planul R2, astfel că reţeaua din R2 care corespunde modulului M o vom nota tot cu M. Deoarece înmulţirea punctelor reţelei M cu numărul complex nenul se reduce la o rotaţie a reţelei M (în jurul originii) cu unghiul arg şi o dilatare de | | ori, atunci pentru modulele asemenea M şi M, reţelele care le corespund vor fi asemenea în sens geometric elementar. Tocmai pe această proprietate ne vom baza în cele ce urmează.

Problema asemănării a două reţele din plan se rezolvă construind pentru fiecare dintre ele o anumită bază specială, numită redusă. Baza redusă este formată din cel mai scurt vector nenul şi cel mai scurt vector necoliniar cu acesta, (îndeplinind, în plus, alte câteva condiţii). Să arătăm că pentru orice reţea M o astfel de pereche de vectori

formează întotdeauna o bază. Într-adevăr, presupunând contrariul, în M ar exista vectorul pentru care numerele reale u şi v nu ar fi simultan întregi. Adăugând acestui vector în mod convenabil o combinaţie liniară cu coeficienţi întregi a lui şi ,

putem obţine , desigur, ca şi . Dacă v , atunci conform alegerii lui , ar

trebui ca , ceea ce contrazice inegalitatea

.

Dacă însă v = 0, atunci ceea ce contrazice alegerea lui .

În acest mod afirmaţia noastră este demonstrată. Dacă este unul dintre cei mai scurţi vectori, iar este cel mai scurt dintre

vectorii necoliniari cu acesta, lungimea proiecţiei vectorului pe vectorul nu

depăşeşte . Într-adevăr, printre vectorii (n întreg) există, evident, un vector a

cărui lungime a proiecţiei sale este . Pe de altă parte, dintre vectorii cea mai

mică lungime o are vectorul cu cea mai mică proiecţie.Să considerăm acum pentru o reţea M dată toţi vectorii nenuli de lungime minimă

şi să notăm cu w numărul acestora. Deoarece împreună cu a şi vectorul – a va avea lungimea minimă, rezultă că w este un număr par. Se observă apoi că măsura unghiului a

doi astfel de vectori distincţi şi nu poate fi mai mică decât , deoarece, în caz

contrar, vectorul , care aparţine reţelei, ar avea lungimea mai mică. În consecinţă, 6 şi deci numărul vectorilor cei mai scurţi poate fi w = 2, w = 4 sau w = 6.

Să trecem la constriuirea unei baze reduse pentru reţeaua M. Dacă w = 2 vom alege drept pe oricare dintre cei doi vectori cei mai scurţi. Dintre vectorii necoliniari cu

, cea mai mică lungime o pot avea doi sau patru vectori. Drept alegem dintre aceştia pe cel al carui unghi , măsurat de la la în sens direct, are măsura mai mică. Dacă w = 4 sau w = 6, atunci se alege ca bază redusă perechea de vectori minimi distincţi şi , astfel încât unghiul , măsurat de la la în sens direct, să fie de măsură minimă.

Se constată că baza redusă este unic definită de reţea, până la o rotaţie care

transformă reţeaua în ea însăşi. Anume, în cazurile când w = 2 sau w = 4 ( avem

) există două baze reduse care se transformă una în alta printr-o rotaţie de unghi, multiplu

de . Pentru w = 4, avem de-a face cu o reţea pătratică, având baze reduse, care se

transformă una în alta prin rotaţii cu unghiuri care au ca măsuri multipli de . În fine,

pentru w = 6, există şase baze reduse, care trec una în alta prin rotaţii de unghiuri,

multipli de ( cercul se împarte în şase părţi egale, deci unghiurile dintre vectorii

minimi nu pot avea decât ).

Folosind noţiunea de bază redusă problema asemănării reţelelor din plan este uşor de rezolvat.

Teorema 12:

Reţelele M şi M1 din R2 sunt asemenea, dacă şi numai dacă bazele lor reduse sunt asemenea (adică acestea se transformă una în alta printr-o rotaţie şi o dilatare uniformă).

Demonstraţie: Fie şi bazele reduse ale reţelelor M şi M1. Dacă , atunci vor forma o bază redusă a lui M1. Această bază trebuie ca printr-o rotaţie cu un anumit unghi să se transforme în baza , de aceea există un număr (care este rădăcină de ordin 1, 2, 4 sau 6 din unitate) astfel încât . Astfel, baza

se obţine din baza printr-o rotaţie de unghi arg ( ) şi o dilatare de | | ori, ceea ce înseamnă, de fapt, asemănarea acestor baze. Reciproca teoremei este imediată.

Trecem la descrierea claselor de module asemenea ale unui corp pătratic imaginar. Fie M un modul din Q( ), d < 0 şi o bază redusă din M . Trecem la

modulul asemenea , unde . Baza este de asemenea redusă. Din

definiţia bazei reduse se deduce imediat că numărul satisface condiţiile:

Im > 0 ; (22)

; (23)

dacă ;

dacă . (24)

Definiţie: Numărul dintr-un corp pătratic imaginar se numeşte redus, dacă satisface

condiţiile (22), (23) şi (24); împreună cu se va numi redus şi .

Faptul că numărul este redus înseamnă din punct de vedere geometric că imaginea sa în planul complex aparţine domeniului indicat în Figura 1 (incluzând numai acea parte a frontierei care conţine puncrul i ).

-1 x0

2

1 1

i

y

2

1

Figura 1

Teorema 13: În fiecare clasă de module asemenea a corpului pătratic Q( ), d < 0, se găseşte

un modul redus şi numai unul.

Demonstraţie:S-a demonstrat că fiecare clasă conţine un modul redus. Mai rămâne să verificăm

că două module reduse distincte nu pot fi asemenea. Pentru aceasta, demonstrăm mai întâi că pentru orice număr redus , numerele 1, formează o bază redusă a reţelei {1, }. Este necesar să arătăm că este cel mai scurt dintre vectorii reţelei {1, }, nesituaţi

pe axa reală, adică avem , oricare ar fi întregii k, l 0. Deoarece , atunci

.

Dacă însă , atunci

,

ceea ce demonstrează afirmaţia noastră.

-1 x0

2

1 1

i

y

2

1

Fie acum două numere reduse şi . Dacă modulele {1, } şi {1, } sunt asemenea, atunci conform teoremei 12 bazele 1, şi 1, sunt asemenea. Aceasta însă este posibil doar pentru = 1. Teorema 13 este astfel complet demonstrată.

Pentru a rezolva complet problema asemănării modulelor dintr-un corp pătratic imaginar ne mai este necesar un algoritm pentru determinarea modulului redus care este asemenea cu un modul dat. Într-un astfel de algoritm se consideră numărul dintr-un corp pătratic imaginar satisfăcând condiţiile (22) şi (23), dar fiind redus. Se notează 1=

, unde întregul raţional n este astfel ales încât . Dacă 1 nu este

redus, atunci se notează analog 2 = , ş.a.m.d, algoritmul continuând până la

găsirea unui modul redus {1, } asemenea cu modulul {1, } în care modulul {1, } să se transforme.

Pentru a stabili dacă modulele M şi M1 sunt sau nu asemenea vom determina deci modulele reduse asemenea cu acestea; modulele iniţiale M şi M1 sunt asemenea dacă şi numai dacă modulele reduse care le corespund coincid.

Observaţie: În demonstraţia teoremei 13 nu am folosit efectiv nicăieri faptul că modulele considerate sunt conţinute într-un corp pătratic imaginar. În consecinţă afirmaţia acestei teoreme este valabilă pentru orice reţele plane: orice reţea din planul complex este asemenea cu o reţea şi numai cu una singură de forma {1, }, fiind un număr din domeniul indicat în Figura 1. Conform lemei 2 (care este aplicabilă fără nici un fel de modificări oricăror reţele plane), două reţele de forma {1, } şi {1, } sunt asemenea, dacă şi numai dacă numerele şi satisfac relaţia

, ,

k, l, m, şi n fiind întregi raţionali. O astfel de pereche de numere complexe nereale se numesc modular echivalente. Rezultatul pe care l-am obţinut arată astfel că fiecare număr complex nereal este modular echivalent cu un număr şi numai unul singur din domeniul

. Domeniul însuşi se numeşte adesea figură modulară. Ţinând seama de cele de mai sus, punctele sale se află în corespondenţă bijectivă cu clasele de reţele asemenea din plan.

Să considerăm acum clasele de module asemenea care aparţin unui anumit ordin fixat D de discriminant D < 0. Fie modulul {1, }, , aparţinând ordinului D. Dacă aplicăm numărului notaţia din lema 1 şi îl scriem sub forma

,

atunci condiţiile (23) şi (24) ne dau

(25)

În acest mod, pentru a obţine un sistem complet de module reduse ale corpului pătratic imaginar, aparţinând ordinului de discriminant D, trebuie determinate toate tripletele de numere întregi a > 0, b, c care satisfac inegalităţile (25) şi, în plus, condiţia

(26)

Conform teoremei 1 numărul acestor triplete este finit, ceea ce, de altfel, se deduce ţi direct pe baza inegalităţilor

când D este dat putem avea pentru a şi b, deci şi pentru c, numai un număr finit de posibilităţi.

EXEMPLUL 1:Să determinăm numărul claselor de module aparţinând ordinului maximal al

corpului Q( ).

Deoarece în acest caz D = – 47 , rezultă că . Având în vedere că

pentru D impar numărul b este de asemenea impar, există următoarele posibilităţi : b2 – D = 56 = 4ac, ac =14, , ceea ce nu este posibil. Dacă însă , atunci b2 – D = 48 = 4ac , de unde

a = 1, c = 12; a = 2, c = 6; a = 3, c = 4.

Deoarece cazul b = 1 = a trebuie exclus, deducem că pentru ordinul maxim al corpului Q() există cinci clase de module asemenea {1, }, unde este unul dintre numerele

, .

EXEMPLUL 2: Să determinăm în modulul M = {13, 1 + 5i} toate numerele de normă 650. În acest caz inelul de stabilizatori este ordinul D = {1, 5i} având discriminanul D = – 100. Deoarece N(M) = 13 trebuie să enumerăm mai întâi modulele A D care aparţin

ordinului D şi au norma m = . Condiţiile (18) şi (20) conduc la următoarele

posibilităţi:

1) s = 5, a = 2, b = – 2, c = 13;

2) s = 1, a = 50, b = 10, c = 1;

3) s = 1, a = 50, b = – 10, c = 1;

4) s = 1, a = 50, b = – 50, c = 13.

Construim pentru fiecare din aceste cazuri un modul A de forma (19) şi determinăm modulul redus asemenea cu acesta:

Determinăm de asemenea şi modulul redus prentu M -1 :

.

În cazurile 2) şi 3) modulele A se omit, deoarece nu sunt asemenea cu M -1 . În cazurile 1) şi 4) care rămân, egalitatea se îndeplineşte pentru = 5 + 25i şi = – 25 + 5i. Deoarece în D se găsesc numai două unităţi , obţinem în cele din urmă că în modulul M se găsesc patru numere: (5 + 25i) şi (– 25 + 5i) cu norma 650.

În exemplul pe care l-am considerat s-a stabilit şi că ecuaţia 13x2 + 2xy + 2y2 = 50 are patru soluţii întregi:

x = 0, y = 5; x = 0, y = – 5;

x = 2, y = – 1; x = – 2, y = 1.

EXEMPLUL 3:Care sunt numerele naturale reprezentabile de către forma x2 + y2 ? Discriminantul formei este D = – 4. Pentru ordinul D = {1, i} din corpul Q( )

( discriminantul fiind – 4 ) se găseşte numai un modul redus, deoarece condiţiile (25) şi (26) sunt satisfăcute numai când a = c = 1, b = 0. Aceasta înseamnă că toate modulele care aparţin ordinului D sunt asemenea şi, deci, toate forme binare cu discriminantul – 4 sunt echivalente cu forma x2 + y2. Formele echivalente reprezintă însă aceleaşi numere, de aceea în virtutea teoremei 10 forma x2 + y2 reprezintă numărul m, dacă şi numai dacă

există un modul A D aparţinând ordinului D şi având norma m. Dacă există un astfel de modul atunci pentru anumiţi s, a, b, c, există egalităţile:

m = as2, D = – 4 = b2 – 4ac, (a, b, c) = 1.

Numărul b trebuie să fie par, b = 2z, z satisfăcând congruenţa

(mod a). (27)

Reciproc, dacă congruenţa de mai sus este rezolubilă pentru un număr a de forma ,

deci z2 = – 1 + ac, atunci , după cum se deduce imediat, (a, 2z, c) = 1 şi deci există modulul A D ̸aparţinând ordinului D de normă m, prin urmare m este reprezentat de forma x2 + y2.

Congruenţa (27) este rezolubilă dacă şi numai dacă a nu se divide prin 4 şi nici printr-un număr prim de forma 4k + 3. Deoarece a conţine toţi factorii primi care intervin în a cu puteri impare, obţinem în final că m este reprezentat de forma x2 + y2, dacă şi numai dacă numerele prime de forma 4k + 3 intră în exprimarea lui ca factor numai la puteri pare.

Cuprins:

Capitolul 1:1.1. Introducere .......................................................................................... 11.2. Definiţie şi exemple remarcabile ............................................ 1

Capitolul 2:2.1. Determinarea unei baze de întregi în AK ............................... 62.2. Structura grupului unităţilor inelului Ad ................................ 72.3. Numere prime în inele de întregi pătratici ............................ 9

Capitolul 3:3.1. Studiul modulelor complete dintr-un corp pătratic......... 113.2. Ordinele dintr-un corp pătratic ................................................. 143.3. Unităţi ................................................................................................... 193.4. Forme pătratice binare – definiţii ........................................... 23

3.4.1. Reprezentarea numerelor prin forme pătratice binare.................................................................................................... 233.4.2. Forme pătratice modulo număr prim ..................... 28

3.5. Corespondenţa dintre module şi forme ................................. 293.6. Corespondenţa forme pătratice binare – module

asemenea ........................................................................................... 333.7. Asemănarea modulelor într-un corp pătratic imaginar .... ..............................................................................................................................36

Capitolul 4:4.1. Corpuri pătratice imaginare cu inelul de întregi Euclidian........................................................................................................ 444.2. Corpuri pătratice şi forme pătratice binare ......................... 474.3. Marea Teoremă a lui Fermat pentru exponentul n=3..... 51 4.4. Ecuaţia Y2 = X3 + k, k Z .......................................................... 55

Bibliografie ............................................................................................................. 57

Bibliografie:

1. Victor Alexandru, N. M. Goşoniu Elemente de Teoria Numerelor, Editura Universităţii din

Bucureşti, Bucureşti, 1999

2. Z. I. Borevici, I. R. Şafarevici Teoria Numerelor,

Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti,

1985

3. Constantin Udrişte, Ghe. Miculescu, Matematică, manual pentru Dumitru Mihalache, Ion Necşuleu, clasa a XII-a, Editura Fair Ghe. Necşuleu, Ionel Ţevy Partners, Bucureşti, 2003