- 26 2. Elemente de mecanic cuantic 2.1. Ecuaia lui Schrdinger O deducere formal a ecuaiei lui Schrdinger se obine nlocuind viteza de faz (1.96) n ecuaia undelor: 1 2 = 0 (2.1) 2 v f t 2 unde (x, y, z, t ) este funcia de und de Broglie asociat. n cazul nerelativist ( E C = p 2 / 2m ) rezult: = 2mE 2 p2 2 2m(E U ) 2 m2v2 2 v2 2 = 2 2 = 2 2C = = 2 4 = m c t 2 h t 2 h t 2 h 2 2 c 4 t 2 t 2

=

2m(E U ) 2 h 2 2 t 2

=

2m 2 2mU 2 2 2 h t 2 h t 2

(2.2)

Considernd c este de form armonic: r = ( r ) e i t

(2.3)

i impunnd ca aceast soluie s verifice ecuaia (2.2) , prin eliminarea lui se obine:2m 2 ( i) 2mU 2 = i , = 2 = 2 2 2 t t h t h

(

)

=

2im 2mU + 2 h t h

h2 + U = ih 2m t

(2.4)

Relaia (2.4) reprezint ecuaia lui Schrdinger dependent de timp. Dac n (2.4) cu i , prin eliminarea timpului rezult: nlocuim t

h2 + U = ih ( i) = h = E 2m + 2m (E U ) = 0 h2

h2 + E U = 0 2m(2.5)

Relaia (2.5) este ecuaia lui Schrdinger independent de timp (atemporal). Ecuaia lui Schrdinger trebuie privit ca un postulat al mecanicii cuantice, care se justific numai n concordan cu datele experimentale. r 2 n acord cu interpretarea lui Max Born, (r , t ) d 3 r este probabilitatea ca particula

s se gseasc n elementul de volum infinitezimal d 3 r = dx dy dz centrat n jurul punctului 2 de coordonate (x, y, z). Deoarece = reprezint densitatea de probabilitate ca microparticula s se gseasc la momentul t ntr-un punct de coordonate (x, y, z) din spaiu, trebuie ca funcia de und s satisfac anumite condiii. Astfel trebuie s fie univoc, ntruct probabilitatea de a gsi particula, la un moment dat, ntr-o anumit regiune din spaiu are o singur valoare. Funcia de und mai trebuie s fie normabil r 2 (2.6) (r, t ) dV = 1

- 27 ntruct probabilitatea total de a gsi particula undeva (oriunde) n spaiu este egal cu unitatea. Pentru a fi satisfcut condiia de normare (2.6) , funcia de und trebuie s fie finit (mrginit) n tot spaiul. De asemenea, trebuie s fie continu i s aib derivatele de ordinul nti n raport cu variabilele spaiale continue i finite. Ecuaia lui Schrdinger fiind liniar i omogen, dac este o soluie a acestei ecuaii, atunci i C este o soluie, unde C este o constant arbitrar, care se determin din condiia de normare. 2.2. Ecuaia de continuitate a probabilitii Lund complex conjugata ecuaiei lui Schrdinger (2.4) rezult: h2 + U = ih t 2m

(2.7)

Presupunnd c energia potenial U este o mrime real, nmulind din stnga relaia (2.4) cu , iar relaia (2.7) cu i scznd membru cu membru relaiile obinute, rezult:

h2 h2 + + + U U = ih t t 2m 2m

h = i 2m t

(

)

(

)

(2.8)

ih + = 0 t 2m

(

)

(

)

r ih j = 2m este densitatea fluxului de probabilitate. Deoarece r ih j = + 2m relaia (2.8) devine: r + j = 0 t

Mrimea

(

)

(2.9)

(

)(2.10)

(

)

Relaia (2.10) este ecuaia de continuitate a probabilitii n mecanica cuantic. Integrnd (2.10) pe un volum oarecare V , obinem: r V dV = V j dV t Pe baza teoremei lui Gauss-Ostrogradski, termenul din dreapta se poate nlocui prin integrala pe o suprafa S care delimiteaz volumul V . Astfel: r (2.11) V dV = S j dS t Relaia (2.11) arat c scderea nr unitatea de timp a probabilitii ca particula s se afle n volumul V este egal cu fluxul lui j prin suprafaa S care delimiteaz volumul V .

- 28 2.3. Bazele matematice ale mecanicii cuantice. Postulatele i principiile mecanicii cuantice

Un spaiu este liniar dac orice combinaie liniar

= c1 1 + c 2 2 + . . . + c n nde funcii de ptrat integrabil din acest spaiu 1 , 2 , . . . , n este tot o funcie de ptrat integrabil ( 2

dV este convergent).

Un spaiu Hilbert este un spaiu liniar n care se poate defini produsul scalar , = dV (2.12) Funciile i i j sunt ortonormate dac1 , i = j j dV = ij = 0 , i j Un operator A este liniar dac satisface relaia: i , j =

i

(2.13)

A (c1 1 + c 2 2 ) = c1 A 1 + c 2 A 2 unde c1 i c 2 sunt constante. Un operator A este hermitic dac:

(2.14)

, A = A, ( A dV = Ecuaia: A = a

(A) dV )

(2.15)

(2.16) reproduce o funcie pn la un factor constant a se numete ecuaie n care un operator A cu valori proprii. este funcia proprie a lui A , iar a este valoarea proprie a lui A . Valorile proprii ale unui operator hermitic sunt reale. Pentru a deduce aceast proprietate folosim relaiile (2.15) i (2.16) :

, a = a, a , = a ,

, A = A,

a = a

Funciile proprii corespunztoare la dou valori proprii diferite ale unui operator hermitic sunt ortogonale i liniar independente (nu putem gsi o relaie de forma 1 1 + 2 2 = 0 ). ntr-adevr, din (2.15) avem: A = a , A = a 1 1 1 2 2 2

Deoarece A este hermitic:

1 , A 2 = A 1 , 2 1 , a 2 2 = a 1 1 , 2 a 2 1 , 2 = a 1 1 , 2 ==a 1 1 , 2

(a 2

a 1 ) 1 , 2 = 0

ntruct a 1 a 2 rezult proprietatea de ortogonalitate a funciilor 1 i 2 ( 1 , 2 = 0 ) . Pentru a demonstra a doua parte a proprietii vom presupune prin absurd c exist o relaie de forma 1 1 + 2 2 = 0 , pe care o nmulim scalar cu 1 i apoi cu 2 :

- 29 1 1 , 1 + 2 1 , 2 = 0 1 24 4 3 =0 1 2 , 1 + 2 2 , 2 = 0 1 24 4 3 =0 1 = 0 2 = 0

Deci relaia 1 1 + 2 2 = 0 are loc numai dac 1 = 2 = 0 . Primul postulat: Fiecrei mrimi fizice i se asociaz n spaiul Hilbert un operator liniar hermitic. Valorile numerice msurate ale unei mrimi fizice sunt valorile proprii ale operatorului asociat acelei mrimi. Prin definiie, operatorul [A, B] = AB BA se numete comutatorul operatorilor A i B . Dac doi operatori admit funcii proprii comune, atunci cei doi operatori comut ( AB = BA ). Pentru a demonstra acest lucru considerm c este o funcie proprie comun operatorilor A i B , deci: = a , B = b [A, B] = (AB BA) = A [A, B] = 0 . = Ab Ba = ba ab = 0 Mrimile fizice pentru care operatorii asociai comut (au funcii proprii comune) pot fi msurate simultan. Informaia maxim care se poate obine de la un sistem cuantic este dat de totalitatea valorilor msurate simultan ale mrimilor independente. Astfel pentru electronii din atom energia, mrimea momentului cinetic i o proiecie a acestuia pot fi msurate simultan, cu orice precizie (sunt mrimi compatibile). Al doilea postulat: Operatorul cuantic cel mai general fiind o funcie numai de operatorii fundamentali p i q (orice mrime fizic clasic este o funcie numai de perechile de variabile conjugate canonic p i q ), pentru doi operatori oarecare comutatorul este definit prin cunoaterea comutatorilor fundamentali: 1 , i = k h [q i , q k ] = 0 , [p i , p k ] = 0 , [p i , q k ] = ik ; ik = (2.17) i 0 , i k i,k = 1,2,...,f f fiind numrul gradelor de libertate. Relaiile (2.17) constituie regulile de comutare Heisenberg. Din cele 2f variabile canonice care determin starea unui sistem cu f grade de libertate, este posibil s se msoare exact doar f variabile, celelalte rmnnd nedeterminate. Al treilea postulat: Fiecare stare fizic a unui sistem este caracterizat de o funcie de und numit funcie de stare. Operatorii ce acioneaz asupra unei funcii de und corespund operaiei de msurare (observare). Dac fiecrei valori proprii i corespunde o singur funcie proprie, starea cuantic este nedegenerat, iar dac unei valori proprii i corespund r funcii proprii diferite, starea este degenerat, gradul de degenerare fiind r . Principiul suprapunerii strilor: O stare oarecare a unui sistem fizic este o suprapunere a strilor proprii, adic funcia de und ce descrie o stare oarecare este o combinaie liniar a tuturor funciilor proprii 1 , 2 , . . . , n

=

k

c =1

n

k

k

(2.18)

Coeficienii dezvoltrii se calculeaz astfel: n , = n dV = c k n k dV = k

c k n k

k

dV =

ck

k

nk

- 30 n , = c n

(2.19)

Pentru spectrul continuu funciile de und nu mai aparin spaiului Hilbert, iar n locul sumei apare o integral. Principiul cauzalitii arat c funcia de und (t ) determin univoc funcia de und (t + t ) . Principiul de coresponden arat c mecanica clasic este un caz limit al mecanicii cuantice ( h poate fi neglijat fa de alte mrimi care au dimensiunea unei aciuni). Al patrulea postulat: Dac n momentul msurrii funcia de stare este o funcie proprie a operatorului asociat mrimii msurate, atunci rezultatul msurrii va fi cu certitudine valoarea proprie corespunztoare. n cazul cnd sistemul se afl ntr-o stare oarecare, prin msurare se poate obine oricare una din valorile proprii posibile, dar cu probabiliti diferite. n acest caz se definete valoarea medie a rezultatului msurrii prin valoarea medie a operatorului asociat mrimii msurate: , A A = A = (2.20) , Se constat caracterul statistic inerent al teoriei cuantice. Al cincilea postulat: Probabilitatea ca la o msurare a mrimii fizice A s se obin o valoare proprie a n corespunztoare funciei proprii n este: (2.19) 2 w n = n , c2 (2.21) n = unde este funcia de stare naintea msurrii mrimii fizice A :

=

k

c =1

n

k

k

(2.22)

Al aselea postulat: Strile sistemelor de particule identice sunt descrise prin funcii de stare care sunt complet simetrice sau complet antisimetrice n raport cu operaia de permutare a particulelor. Particulele identice se caracterizeaz prin aceleai proprieti intrinseci (mas, sarcin, numr cuantic de spin etc.), astfel c orice permutare a acestor particule este nedetectabil experimental. Dei identice, particulele clasice sunt discernabile dup traiectoriile lor. n mecanica cuantic noiunea de traiectorie este lipsit de semnificaie. O funcie care nu-i schimb semnul la permutarea a dou particule identice este o funcie simetric. O funcie care i schimb semnul la permutarea a dou particule identice este o funcie antisimetric. Particulele caracterizate prin funcii de stare simetrice se numesc bozoni (particule cu spin ntreg), iar cele caracterizate prin funcii de stare antisimetrice se numesc fermioni (particule cu spin semintreg). O consecin a acestui postulat este principiul de excluziune al lui Pauli (de exemplu ntr-un atom doi electroni nu pot avea toate numerele cuantice egale). 2.4. Operatori asociai unor mrimi fizice Operatorul asociat oricrei funcii de coordonatele x, y, z reprezint operaia de nmulire cu funcia respectiv: f (x , y, z ) = f (x , y, z ) Ca exemple considerm operatorul asociat unei coordonate i operatorul energiei poteniale: x = x , y = y , z = z , U(x, y, z ) = U(x, y, z ) Ecuaia lui Schrdinger independent de timp

- 31 h2 + U = E 2m

este analoag ecuaiei cu valori proprii: H = E (2.23)

dac operatorul asociat energiei totale, notat cu H (operatorul hamiltonian) are expresia:h2 H = + U 2m(2.24)

Comparnd operatorul asociat energiei cinetice din (2.24) cu operatorul corespunztor energiei cinetice nerelativiste obinem operatorul asociat impulsului: h2 p2 = 2m 2m p2 = h2 p =

h i

(2.25)

Componentele operatorului impuls sunt: p x =

h h h , py = , pz = . i x i y i z

Operatorul asociat momentului cinetic orbital este:r r r r h h L = rp = r = i i r i x x r j y y r k z z

(2.26)

Componentele operatorului moment cinetic orbital sunt: h Lx = y z z y i

h Ly = z x i x z h Lz = x y y x i

(2.27)

Operatorul asociat ptratului momentului cinetic orbital este: L2 = L2x + L2y + L2z

(2.28)

2.5. Derivarea operatorilor n raport cu timpul. Mrimi conservative Pentru o funcie de und normat ( , = 1 ), valoarea medie a unui operator A este: A = , A = A dV (2.29) unde dV este elementul de volum din domeniul de definiie al funciei . Derivm aceast expresie n raport cu timpul: d A & dV A = A dV = A dV + dV + A (2.30) t dt t t

- 32 Din ecuaia lui Schrdinger dependent de timp:

H = ihobinem:

t

(2.31)

i = H , t h

i = H t h

nlocuind aceste derivate n (2.30) obinem: i A & A = H A dV + dV h t Deoarece H este hermitic H A dV =

h

i

AH dV

(2.32)

(

)( )

HA dV )

H , A = , HA rezult:

& A =

A + i HA AH dV = t h

(

)

& A dV

i A & A = HA AH + h t

(

)

i A & + [H, A] A = t h

(2.33)

A Dac operatorul A nu depinde explicit de timp ( = 0 ) i dac n plus [H, A] = 0, t & atunci A = 0 i deci mrimea fizic A este o constant a micrii (se conserv).2.6. Teoremele lui Ehrenfest Teoremele lui Ehrenfest arat c ecuaiile de micare ale mecanicii cuantice scrise pentru valorile medii ale operatorilor asociai mrimilor fizice au expresii analoage ecuaiilor de micare ale mecanicii clasice. Din relaia (2.33) pentru A = x i innd seama c x nu depinde explicit de timp (una din condiiile suficiente ca operatorul Hamiltonian s corespund energiei totale a sistemului studiat), adic: x = 0 t rezult: x i i p2 i i & x (p x [p x , x ] + [p x , x ] p x ) = x = H, x = p2 , x = + U, x = h h 2m 2mh 2mh

[ ]

[

]

=

p i h h px + px = x i i 2mh m

& px = m x

Lund valoarea medie a ultimei relaii i folosind cel de-al patrulea postulat al mecanicii cuantice, obinem: dx dx dx p x = p x = , p x = m , = m px = m (2.34) dt dt dt

- 33 -

Scriind relaia (2.33) pentru A = p x i innd seama c p x nu depinde explicit de timp, adic: p x = 0 t rezult: x i i p2 i i & x px = H, p x = + U, p x = p 2 , p x + [U, p x ] = h h 2m 2mh h

[

]

[

]

= Deoarece:

i (p x [p x , p x ] + [p x , p x ] p x ) + i [U, p x ] 2mh h

[U, p x ]

U h h h h = U, = i U x i x (U ) = i U x U x x i x h U [U, p x ] = i x& px =

rezult:

i [U, p x ] = i h U h h i x

& px =

U x

Efectund media conform celui de-al patrulea postulat al mecanicii cuantice, obinem:

d U px = dt x

d p x = Fx dt

(2.35)

Relaiile (2.34) i (2.35) pot fi generalizate la cazul tridimensional: r r r r d p dr p = m , = F dt dt

(2.36)

Astfel nlocuind n relaiile clasice mrimile prin valorile medii ale operatorilor se obin relaiile cuantice corespunztoare. 2.7. Relaia general de incertitudine a lui Heisenberg Abaterea ptratic medie a unei mrimi A (incertitudinea), definit prin relaia: 2 A = A A =

(

)

A 2 2A A + A 2 = A 2 A 2

(

)

(2.37)

descrie modul n care rezultatul unei msurtori deviaz de la valoarea medie: A = , A = A dV

(2.38)

Principiul general de incertitudine arat c dac doi operatori hermitici A i B satisfac relaia: [ A, B ] = i C (2.39) atunci produsul abaterilor ptratice medii satisface relaia: C A B (2.40) 2

- 34 Din relaia (2.39) rezult c operatorul C este hermitic (mrimea i din aceast relaie are acest rol). Pentru a demonstra relaia (2.40) vom utiliza inegalitatea lui Schwarz: f, f g, g f, g 2

A , A B , B A , B

2

(2.41) (2.42) (2.43)

unde: B = B B Folosind (2.39) rezult c i operatorii A i B satisfac relaia [ A , B ] = i C Punem abaterile ptratice medii sub forma: 2 A = , A A = B = B , B

A = A A ,

(

)

, A 2 = , A A =

A , A

Am folosit faptul c operatorii A i B sunt hermitici. Din (2.41) rezult:

(A )2 (B)2 ==

A , A B , B , A B

2

=

A B + BA A B BA , + 2 2 2

2

=2

=

A B + BA C , +i 2 2 C , 22

A B + BA C = , + i , 2 2 2

C = 2

2

A B

C 2

Am folosit faptul c a + ib

= (a ib )(a + ib ) = a 2 + b 2 > b 2

h h Dac A = p x , B = x , atunci p x x , deoarece [ p x , x ] = = ih C = h 2 i h , deoarece ecuaia lui Schrdinger Dac A = E = i h , B = t , atunci Et 2 t dependent de timp h2 + U = ih t 2m se poate pune sub forma: H = E unde E = ih t iar i h t , t = i h t (t ) i h t t = i h + i h t t i h t t = i h

- 35 -

i h t , t = i h

C = h

Max Born a artat c fizicienii au ajuns la concluzia c exist nite limite privind cunoaterea micrii microparticulelor, limite determinate de relaia general de incertitudine a lui Heisenberg i a sugerat biologilor i psihologilor s caute limitele fireti de cunoatere n domeniile lor. 2.8. Aplicaii ale ecuaiei Schrdinger 2.8.1. Particula n groapa de potenial cu pereii infinii Considerm o particul care se poate deplasa pe o poriune a axei x de lungime a , neputnd prsi acest domeniu. Potenialul acestei gropi se definete astfel:0 , 0 x a V (x ) = , rest

(2.44)

n exteriorul intervalului [0, a] potenialul fiind infinit, funcia de und este nul (probabilitatea de a gsi particula la infinit i n exteriorul acestui interval este nul). n interiorul intervalului [0, a] ecuaia lui Schrdinger atemporal este:

unde:

d 2 2m + 2 E = 0 dx 2 hk2 =

d2 + k 2 = 0 2 dx

(2.45)

2mE h2 Soluia ecuaiei (2.45) este de forma: = A sin kx + B cos kx

(2.46) (2.47)

Din condiiile de continuitate ale funciei de und la capetele intervalului [0, a] obinem: (0 ) = 0 A sin 0 + B cos 0 = 0 B = 0 (a ) = 0 A sin ka = 0 ka = n , n = 1 , 2 , . . . (2.48) Din (2.48) pentru n = 0 rezult k = 0 , iar din (2.46) rezult E = 0. n acest caz soluia ecuaiei (2.45) devine = cx + d , iar din condiiile la limit (0 ) = d = 0 , (a ) = ca = 0 c = 0 , adic obinem soluia banal ( = 0 , ca i cum particula nu ar fi n groap). Deci E = 0 nu aparine spectrului de energii. Nu lum n < 0 pentru c funciile de und nu ar fi liniar independente fa de cele cu n > 0 (funcia de und i schimb semnul la trecerea de la n > 0 la n < 0 ). Nu putem avea valori proprii negative (E < 0), deoarece i n acest caz obinem soluia banal: 2m E d 2 2m E k x kx = 0 (x ) = C e 1 + D e 1 , k 1 = 2 2 dx h h2 ka ka ka ka (0 ) = 0 C + D = 0 , (a ) = 0 C e 1 + D e 1 = 0 D (e 1 e 1 ) = 0

- 36 C = D = 0 = 0

Din (2.46) i (2.48) rezult un spectru discret pentru energie:

E =

k 2h 2 2m

En =

n 22h 2 , n = 1,2,... 2ma 2

(2.49)

Atunci cnd dimensiunile intervalului cresc, sau pentru valori mari ale masei, nivelele de energie se apropie foarte mult, tinznd la cazul unei particule libere (la limit se obine cazul clasic, conform principiului de coresponden). Din (2.47) i (2.48) se obin funciile proprii: n x a Constanta A se determin din condiia de normare: = A sin (2.50)2 n x a dx =

=

dx = 1 2

a0

2

dx = A

2

a

2 n sin a x dx = A 0

2

a 1 cos

0

2

A 2

a

A

A a 2 n a = sin 2 2 n a 2

2

2

a =1

A=

2 a

nlocuind n (2.50) obinem:

n (x ) = Funciile proprii sunt ortogonale:

2 n sin x a a

(2.51)

(x ) (x ) dxn m

= 0

(n m)

(2.52)

Strile descrise de funciile proprii (2.51) sunt stri staionare, deoarece nu depind de timp. n starea fundamental (n = 1) probabilitatea de a gsi particula la mijlocul gropii este maxim, iar la perei este nul. Din punct de vedere clasic probabilitatea de a gsi particula n orice punct din interiorul gropii este aceeai. 2.8.2. Efectul tunel Considerm o barier de potenial dreptunghiular. Dac limea l a barierei este mic, atunci o particul care se ndreapt spre barier are posibilitatea s treac dincolo de aceasta i n cazul n care energia ei E este mai mic dect nlimea V0 a barierei; acest fenomen poart numele de efect tunel. Bariera desparte spaiul n trei regiuni. Ecuaia lui Schrdinger n cele trei regiuni se scrie astfel:d 2 1 2m + 2 E 1 = 0 dx 2 h

(2.53) (2.54)

d 2 2 2m + 2 (E V0 ) 2 = 0 2 h dx

- 37 d 2 3 2m + 2 E 3 = 0 2 dx h

(2.55) ik1x

Soluiile acestor ecuaii sunt:1 = a 1 e ik1x + b1 e

(2.56)

2 = a 2 e3 = a 3 e

ik 2 x

+ b2 e+ b3 e

ik 2 x

(2.57) (2.58) (2.59)

ik1x

ik1x

unde:k1 = a1 e ik1x 2mE , h2 k2 =

ik1x reprezint unda progresiv incident pe barier, b1 e este unda regresiv ik 2 x ik 2 x este este unda progresiv n interiorul barierei, b 2 e reflectat de barier, a 2 e ik x unda regresiv n interiorul barierei, a 3 e 1 este unda progresiv n mediul din dreapta ik1x barierei, iar b 3 e este unda regresiv din mediul 3 , ns b 3 = 0 deoarece n partea dreapt a barierei nu exist un perete care s reflecte unda. n cazul efectului tunel E < V0 , deci putem scrie (2.54) i (2.57) astfel: d 2 2 2m 2 (V0 E ) 2 = 0 2 h dx

2m(E V0 ) h2

2 = a 2 e kx + b 2 e kxunde:k 2 = ik , k =

(2.60)

2m(V0 E ) (2.61) h2 Din condiiile de continuitate ale funciei de und i ale derivatei acestei funcii n punctele de abscis 0 i l obinem:1 (0 ) = 2 (0 ) a 1 + b1 = a 2 + b 2

(2.62) (2.63) (2.64) ik1l (2.65)

d d1 = 2 dx 0 dx 02 (l ) = 3 (l )

ik 1a 1 ik 1 b1 = ka 2 + kb 2ik1l

a 2 e kl + b 2 e kl = a 3 e

d d2 = 3 dx l dx l

k a 2 e kl + kb 2 e kl = i k 1a 3 e

Eliminnd b1 din relaiile (2.62) i (2.63) obinem:b1 = a 2 + b 2 a 1 ik 1a 1 ik 1a 2 ik 1 b 2 + ik 1a 1 = ka 2 + kb 2

2ik 1a 1 = (ik 1 k )a 2 + (ik 1 + k )b 2

a1 =

ik 1 k ik + k a2 + 1 b2 2ik 1 2ik 1

(2.66)

Din relaiile (2.64) i (2.65) exprimm a 2 i b 2 n funcie de a 3 :

- 38 ik1l ik1l ik 1 1 + k ik l ik 2a 2 e kl = a 3 e 1 1 1 k 2b 2 e kl + b 2 e kl = a 3 e (2.67) (2.68)

a 2 e kl + b 2 e kl = a 3 e a 2 e kl + b 2 e kl = b2 =a2 =

ik 1a 3 ik1l e k

k + ik 1 ik1l kl e e a3 2kk ik 1 ik1l kl e e a3 2k

nlocuind a 2 din (2.68) i b 2 din (2.67) n (2.66) obinem:

a1 =

ik + k k + ik 1 ik1l kl ik 1 k k ik 1 ik1l kl e e a3 e e a3 + 1 2ik 1 2k 2ik 1 2k

ik l a 3e 1 (k + ik 1 )2 e kl (k ik 1 )2 e kl a1 = 4ik 1 k a3 4ik 1k = a 1 eik1l (k + ik )2 e kl (k ik )2 e kl 1 1

[

]

[

]

(2.69)

Se definete transparena barierei T ca probabilitatea relativ de trecere a particulei prin barier sau coeficientul de transmisie, prin relaia: a a (2.70) T = 3 3 a1 a1 Din (2.69) i (2.70) rezult:

T =

4ik 1 k 4ik 1 k ik1l (k ik 1 )2 e kl (k + ik 1 )2 e kl eik1l (k + ik 1 )2 e kl (k ik 1 )2 e kl e

[

]

[

]

T =

(k

2

2 + k1

)

2

2 16k 1 k 2 4 4 2 2 e 2kl + k 2 + k 1 e 2kl (k + ik 1 ) (k ik 1 )

(

)

T =

(k

2

2 + k1

)

2

(

2 16k 1 k 2 4 2 e 2kl + e 2kl 2k 4 + 2k 1 12k 2 k 1

)

(

)

Deoarece: ch (2kl) = rezult: T =2 2 k 2 + k1

e 2kl + e 2kl 2

(

)

2

4 2 ch (2kl ) 2 k 4 + k 1 6k 2 k 1

2 16k 1 k 2

(

)

=

=

(k

2

2 + k1

)

2

4 2 ch (2kl ) k 4 + k 1 6k 2 k 1

2 8k 1 k 2

(

)

=

- 39 2 8k 1 k 2 = 4 2 4 2 k 4 + k 1 + 2k 1 k 2 ch (2kl ) k 4 + k 1 + 6k 2 k 1

==

(

)

(

)

(

2 2 8k 1 k 2 8k 1 k 2 = 4 4 2 4 2 k 4 + k 1 [ch (2kl ) 1] + 2k 1 k 2 [ch (2kl ) + 3] k + k 1 [ch (2kl ) 1] + 2k 1 k 2 [ch (2kl ) 1 + 4]

)

(

)

2 8k 1 k 2 1 = 4 4 2 2 2 2 2 2 2 [ch (2kl) 1] k + k 1 + 2k 1 k + 8k 1 k k 1 + k [ch (2kl) 1] + 1 2 8k 1 k 2 Deoarece: ch (2kl ) 1 = sh 2 kl 2 rezult: 1 T = 2 2 2 k1 + k sh 2 kl + 1 2 2 4k 1 k

T =

[

]

(

)

(

)

(2.71)

nlocuind k 1 din (2.59) i k din (2.61) obinem:T = 1 2mE 2m (V0 E ) 2 + h2 h sh 2 2m (V0 E ) l + 1 2mE 2m (V0 E ) h2 4 2 h h22

T =

1

(E + V0 E ) 4E (V0 E )T =

2

2m (V0 E ) sh 2 l + 1 h2 1

Astfel transparena barierei devine:V sh 2 1+ 4E (V0 E )2 0

2m (V0 E ) l h2

(2.72)

Se constat c transparena barierei depinde att de caracteristicile particulei (masa m i energia E ), ct i de caracteristicile barierei (limea l i nlimea V0 ). Bariera de potenial nu influeneaz energia particulei, ntruct n mediul 3 particula are tot energia E , de aceea se spune c particula trece prin barier ca printr-un tunel. La fel se calculeaz coeficientul de reflexie pe barier:bb b R = 1 1 = 1 a a1 a1 12

=

1 4E (V0 E ) 1+ 2m (V0 E ) 2 2 V0 sh l h2

(2.73)

- 40 Se poate verifica relaia R + T = 1, care exprim conservarea densitii de probabilitate. n cazul n care kl >> 1 , atunci:

sh 2 kl =

1 kl e e kl 4

(

) = 1 (e 2kl + e 2kl 2) 1 e 2kl 4 42

unde am neglijat e 2kl i 2 fa de e 2kl . n acest caz:2 2m(V0 E ) l 16E (V0 E ) h T = e V02 V02 1 1+ e 2kl 4E (V0 E ) 4 1

(2.74)

Deci n acest caz transparena barierei scade exponenial. Rezultatele (2.72) i (2.74) care indic o probabilitate diferit de zero ca particula s treac prin bariera de potenial sunt n total contradicie cu mecanica clasic, conform creia T = 0 dac E < V0 . Formulele obinute n cadrul mecanicii cuantice sunt n concordan cu datele experimentale, reflectnd caracterul specific al comportrii microparticulelor. Efectul tunel explic: emisia particulelor de ctre anumite nuclee atomice, cum ar fi cele ale uraniului; emisia autoelectronic (sub aciunea unui cmp electric puternic un metal rece emite electroni); realizarea unor reacii chimice; microscopul cu efect tunel; efectul Josephson (un curent continuu trece printr-o jonciune format din doi supraconductori separai de un strat subire de oxid, n absena oricrui cmp electric sau magnetic); dioda tunel; inversia la molecula de amoniac etc. 2.8.3. Bariera de potenial. (Cazul E > V0 ) n acest caz vom nlocui n formulele din paragraful precedent: 1 k = k2 = i k2 i conform relaiei (2.61) . Din (2.71) rezult: 1 T = 2 (k 12 k 22 ) sh 2 ( ik l) + 1 2 2 4k 1 k 2 2 Deoarece sh ( x) = sh x , sh (ix) = i sin x , rezult:sh 2 ( ik 2 l ) = sh 2 (ik 2 l ) = sin 2 (k 2 l )T =

(2.75)

(k

k 2 4k 1 k2 1

2 2 2 2 2

)

1 sin 2 (k 2 l ) + 1

(2.76)

Transparena barierei T oscileaz periodic ntre valoarea minim corespunztoare lui sin 2 (k 2 l ) = 1 : 1 1 (2.77) Tmin = = 2 2 V0 (k 12 k 22 ) + 1 +1 2 4E (E V0 ) 4k 1 k 2 2

- 41 i valoarea maxim Tmax = 1 corespunztoare lui sin 2 (k 2 l ) = 0 k 2 l = n , n = 1, 2, . . . Astfel pentru l = n / k 2 se obin rezonane ale lui T . Transparena T este analoag funciei care descrie transmisia unui interferometru = Fabry-Prot. Deoarece maximele corespund cazului cnd l = n rezult . Pentru 2 2 k2 E foarte mare, T 1 . n cazul unui potenial atractiv vom nlocui V0 cu V0 n k 2 din relaia (2.76).

2.8.4. Oscilatorul armonic liniar A. Metoda polinomial Ecuaia lui Schrdinger pentru un oscilator armonic liniar este: 2m m 2 2 d2 x = 0 + 2 E 2 dx 2 h unde energia potenial este U =

(2.78)

m = h obinem:

m 2 x 2 kx 2 = . Introducnd variabila adimensional 2 2 m x (2.79) = h kg m = J m s2 N = Jm 1 Nm = 2 m Jm

kg s 1 = J s

d d d m d d 2 d d d d m d m m d 2 = = = = = ; dx d dx h d h d2 dx 2 d dx dx d h d h x2 = h 2 2m m 2 h 2 m d 2 + 2 E = 0 h d 2 2 m m h

d2 2E + 2 = 0 2 d h Introducnd o nou variabil adimensional: 2E = h

(2.80)

(2.81)

- 42 ecuaia (2.80) devine:d2 + 2 = 0 2 d

(

)

(2.82)

Pentru foarte mare ( 2 > > ) putem neglija fa de 2 i obinem o ecuaie pentru funcia asimptotic a :

d 2 a 2 a = 0 d 2Funcia:

(2.83)

2 a = e 2 verific ecuaia:

(2.84)

d 2 a + 1 2 a = 0 d 2

(

)

din care neglijnd 1 fa de 2 obinem (2.83) . Astfel, pentru , funcia (2.84) este 2 / 2 , nu este acceptabil, deoarece funcia , o soluie a ecuaiei (2.83) . Cealalt soluie, e deci i funcia asimptotic a trebuie s fie mrginite (finite) inclusiv pentru . Soluia general a ecuaiei (2.82) este de forma: 2 ( ) = e 2 f ( ) (2.85) Impunnd soluiei (2.85) s verifice ecuaia (2.82) obinem: 2 2 2 d 2f df d df df d = e 2 f + ; = e 2 f + 2 f + 2 d d d d d d 2 2 d 2f df + 2 f f + f 2 f = 0 e 2 2 2 d d df d 2f 2 + ( 1) f = 0 2 d d

(2.86)

Ecuaia (2.86) rmne nemodificat dac schimbm n . Rezult c dac f ( ) este o soluie, atunci i f ( ) este o soluie. Ecuaia fiind liniar i omogen, rezult c i f1 ( ) = f ( ) + f ( ) , f 2 ( ) = f ( ) f ( ) sunt soluii. Prima din aceste soluii nu se modific la schimbarea lui n , iar a doua soluie i schimb semnul. Astfel f 1 este o soluie par, iar f 2 este o soluie impar. Cele dou soluii sunt liniar independente. De aceea soluiile se scriu sub forma unor serii de puteri, una numai cu puteri pare ale variabilei , cealalt numai cu puteri impare. Astfel scriind funcia f ( ) sub forma unei serii de puteri:

f ( ) =obinem:

n

a =0

n

n

(2.87)

- 43 d 2f df df = na n n 1 , = na n n , = n (n 1)a n n 2 = (n + 2 )(n + 1)a n + 2 n d n = 0 d n = 0 d 2 n = 0 n= 0

n

[(n + 2)(n + 1) a =0

n+2

2n a n + ( 1) a n ] n = 0

Pentru ca ultima relaie s fie adevrat oricare ar fi este necesar ca toi coeficienii lui s fie nuli, deci: (n + 2)(n + 1) a n + 2 = 2n a n a n + a n a n + 2 = 2n + 1 a n (2.88) (n + 2)(n + 1) Astfel am obinut o relaie de recuren ntre coeficienii seriei de puteri. Deoarece primii doi coeficieni a 0 i a 1 sunt arbitrari, putem alege fie a 0 = 0, fie a 1 = 0. Pentru a 0 0,

a 1 = 0 rezult o serie par, iar pentru a 0 = 0, a 1 0 seria va fi impar. Din condiia de mrginire a funciei de und vom obine faptul c energia oscilatorului este cuantificat. Din relaia (2.88) pentru n rezult: an+2 2 2 2n (2.89) an+2 = 2 an = an n a n n n nPentru n , att n cazul seriei pare (n = 2p), ct i n cazul seriei impare (n = 2p + 1 2p) , raportul a doi termeni succesivi din seria (2.87) este:a n + 2 n + 2 1 = 2 n p an

(2.90)

La acelai rezultat se ajunge n cazul raportului a doi termeni consecutivi din dezvoltarea exponenialei 2n 4 2p 2 e = = 1 + 2 + + ... + + ... 2 p! n = 0 n! pentru 2 1 2 ( p + 1) p ! 2 2p = (p + 1)! p p +1

Astfel seria (2.87) se comport n cazul la fel ca i e (2.85) 2 rezult ( ) e 2 e = e2 2 2

2

. Deci f ( ) e

2

, iar din

, adic n acest caz funcia nu este mrginit. Condiia de mrginire se realizeaz numai n cazul n care seria (2.87) se ntrerupe la un anumit termen, devenind astfel un polinom. Acestea sunt polinoamele Hermite: 2 n n 2 d e f ( ) H( ) = ( 1) e (2.91) d n

H 0 ( ) = 1 , H 1 ( ) = 2 , H 2 ( ) = 4 2 2 , H 3 ( ) = 8 3 12 , . . . Pentru ca f ( ) s devin un polinom trebuie ca numrtorul fraciei (2.88) s se anuleze (coeficientul a n + 2 al seriei (2.87) se anuleaz): 2n + 1 = 0 = 2n + 1 , n = 0 , 1 , 2 , . . . (2.92)

- 44 Dac satisface relaia (2.92) , ( ) = 0 , adic probabilitatea de a gsi particula la este zero. Din (2.81) i (2.92) rezult: 2E 1 = 2n + 1 E = h n + , n = 0 , 1 , 2 , . . . (2.93) h 2 Relaia (2.93) arat c energia oscilatorului armonic liniar este cuantificat de h numrul cuantic n . Se constat c exist o energie de zero E 0 = pentru n = 0 (vaabil i 2 la 0 K). Energia de zero a fost pus n eviden experimental la mprtierea radiaiilor X pe cristale, la temperaturi foarte sczute. Dac n-ar exista vibraii ale reelei cristaline la temperaturi foarte mici, radiaia X nu ar interaciona cu reeaua cristalin i astfel nu ar fi mprtiat. n realitate se constat c seciunea transversal de mprtiere efectiv tinde la o valoare limit finit la temperaturi sczute. Din (2.85) i (2.91) rezult: 2 / 2 n = C n e H n ( ) (2.94) unde C n se determin din condiia de normare:1 m 4 (2.95) Cn = n h 2 n! Valorile proprii, funciile proprii i densitile de probabilitate ale unui oscilator armonic liniar pentru n = 0, 1, 2 sunt reprezentate n graficul de mai jos.1

Nivelele de energie ale oscilatorului armonic sunt echidistante, separate printr-un interval energetic h . B. Oscilatorul armonic liniar n potenialul Dirac Metoda lui Dirac const n a construi vectorii proprii ai operatorului hamiltonian H prin aplicarea unor operatori potrivii asupra unuia din acetia. Ajungem astfel la rezolvarea problemei valorilor proprii fr referire la o anumit reprezentare, bazndu-ne numai pe axiomele fundamentale ale spaiului Hilbert i pe relaia de comutare [p, q ] = h [p, x ] = h (2.96) i i Dirac a folosit un vector de stare aparinnd spaiului Hilbert notat cu n > (vectorul ket). Acestui vector i corespunde vectorul conjugat < n (vectorul bra). Produsul scalar a doi vectori n > i

m > este notat cu < n m > .

Introducnd mrimile adimensionale H, X i P prin relaiile:

- 45 -

H=X= P= HamiltonianulH =

H hm x h 1 mh p

(2.97) (2.98) (2.99)

m 2 x 2 p2 + 2m 2

(2.100) 1 2 P + X2 2

devine:

H h =

m 2 h mh 2 P + X2 2m 2 m

H =

(

)

(2.101)

Operatorul asociat hamiltonianului (2.101) se scrie sub forma: 1 2 H = P + X2 2 Relaia de comutare (2.96) devine:

(

)

(2.102)

h h X = P,X = i (2.103) mh P , m i Introducnd operatorii 1 a = X + iP (2.104) 2 1 a+ = X iP (2.105) 2 obinem: [a , a + ] = 1 (2.106) 1 H = a +a + (2.107) 2 ntr-adevr: 1 1 1 [a , a + ] = X + iP,X iP = i X , P + i P , X = ( i i + i i ) = 1 2 2 2 1 2 1 X i XP + i PX + P 2 X + iP X iP = aa + = 2 2 1 1 2 a +a = X iP X + iP = X + i XP i PX + P 2 2 2 1 2 2X + 2P 2 i XP + i PX + i XP i PX = X 2 + P 2 aa + + a + a = 2 1 + 1 1 2 (a a + 1 + a + a ) = a + a + 1 H = P + X 2 = (aa + + a + a ) = 2 2 2 2 din (2.107) operatorului a + obinem: Aplicnd H 1 + 1 + 1 H a + = a + a + a = a + aa + + a = a + a + a + 1 + = a + ( H + 1) 2 2 2

[ ])

(

(

)

[

]

( [

( (

)( )(

) )

( (

(

] [ ]) ) ) )

(

)

- 46 -

3 1 2 H (a + ) = a + ( H + 1) a + = a + a + a + 1 + a + = a + a + aa + + a + = 2 2 2 2 2 3 1 = (a + ) a + a + 1 + = (a + ) a + a + + 2 = (a + ) ( H + 2) 2 2 ...................................................................................................................................................... n n H (a + ) = (a + ) ( H + n)Folosind (2.97) , ultimele relaii se scriu sub forma: H H + + 1 Ha + = a + H + h a = a+ (2.108) h h + 2 2 H H + 2 = a + 2 H + 2h = a+ a (2.109) h + 2 H a h ...................................................................................................................................................... n H n H + n n a (2.110) = a+ + n H a + = a + H + n h h h

(

)

( )

( )

( )

( )(

)

( )

( )

( )

( )(

)

Din (2.97) i (2.107) obinem: H 1 1 = a +a + H = h a + a + h 2 2 Ecuaia cu valori proprii pentru operatorul hamiltonian (2.111) este: H n > = En n >

(2.111) (2.112)

Aplicnd operatorii din relaiile (2.108) (2.110) la un vector n > , obinem: H a + n > = a + H + h n > H a + n > = (E + h) a + n > (2.113) H a

( )

+ 2

n>= a

( ) (H + 2h) n >+ 2

(

)

n

Ha

( )

+ 2

n > = (E n + 2h) a +

( )

2

n > (2.114)

...................................................................................................................................................... n n n n H (a + ) n > = (a + ) H + nh n > H (a + ) n > = (E n + nh)(a + ) n > (2.115)

(

)

Relaia (2.113) arat c a + n > este un vector propriu al operatorului H cu valoarea proprie E n + h . Operatorul a + este numit operator de creare, pentru c valoarea proprie a crete cu h fa de cea din (2.112) . n mod asemntor se arat c are loc relaia: lui H H a n > = (E n h) a n >

(2.116)

Aceast relaie arat c a n > este un vector propriu al operatorului H corespunztor valorii proprii E n h . Operatorul a este numit operator de anihilare, ntruct la aplicarea sa valoarea proprie a operatorului hamiltonian scade cu h fa de cea din (2.112) . Presupunem c exist o stare 0 > pentru care

a 0> = 0Din (2.111) i (2.117) rezult: h H 0> = 0> 2

(2.117) (2.118)

- 47 Din relaiile (2.117) i (2.118) rezult c strii fundamentale descrise de vectorul de h stare 0 > i corespunde energia . 2 n Aplicnd operatorul H a + din relaia (2.110) vectorului propriu 0 > obinem:

( )

n 1 n H (a + ) 0 > = h n + (a + ) 0 > 2 Din aceast relaie rezult c vectorul de stare (a + )n 0 > ; n = 0 , 1 , 2 , . . .

H a+

( )

n

0 > = a+

( ) (H + nh) 0 > = (a ) h2 + nh n

+ n

0> (2.119)

(2.120)

1 este un vector propriu al lui H corespunztor valorii proprii h n + . Notm cu n > 2 , normai la unitate ( < n n > = 1 ) , care corespund (n = 0, 1, 2, ...) vectorii proprii ai lui H

1 valorilor proprii h n + . Aceti vectori difer de cei din (2.120) printr-o constant C n 2 care se determin din condiia de normare: n n > = Cn a + 0> (2.121)

( )

Cu aceast notaie, relaia (2.119) devine (2.112). 1 H n > = E n n > E n = h n + ; n = 0 , 1 , 2 , . . . 2 1 1 h a + a + n > = h n + n > a + a n > = n n > 2 2 sau:

(2.122) (2.123) (2.124) (2.125)

N n> = n n>unde: N = a +a

[N , a ]= [a a , a ]= a aa+ + + +

Aplicnd comutatorul:+

a +a +a = a + a +a + 1 a +a +a = a +a +a + a + a +a +a

[N , a ] = a+

(

)

+

(2.126)

la vectorul de stare n > obinem: [N , a ] n > = a+ +

n > Na + n > a + N n > = a + n > , ( N n > = n n > ) N a + n > = (n + 1) a + n >

(2.127)

Astfel a + n > este un vector propriu al operatorului N corespunztor valorii proprii(n + 1) . Deoarece nivelele de energie ale oscilatorului sunt echidistante, din relaia (2.124) putem interpreta n ca numrul de particule identice aflate n starea n . Comparnd (2.124) cu (2.127) rezult c prin aplicarea operatorului de creare la un vector propriu al lui H se obine o cretere a numrului de particule n cu o unitate fa de cazul cnd nu se aplic acest operator. De aceea N este numit operatorul numrului de particule. Rezult c prin aplicarea

- 48 -

operatorului de creare a + la un vector de staremultiplicativ, un vector de stare n + 1 > :

n > se obine, pn la o constant

a + n > = Dn n +1>

(2.128) (2.129) (2.130) (2.131) (2.132)

La fel se demonstreaz relaiile:

[N , a ] = a

N a n > = (n 1) a n >

a n > = Fn n 1 >

Din (2.123) , (2.128) i (2.131) rezult: a + a n > = n n > = a + Fn n 1 > = Fn D n 1 n > Fn D n 1 = n

Operatorul a + este adjunctul operatorului a deoarece satisface relaia de definiie a operatorului adjunct: < n a + n 1 > = (< n 1 a n > ) (2.133) < n a+ n 1> = < n 1 a n >

(

)

Din (2.128) i (2.131) rezult:

a + n 1 > = D n 1 n > ; < n 1 a n > = Fn = < n a + n 1 > = (< n D n 1 n > ) = D 1 Fn = D 1 n n

(

)

=(2.134)

Fr a restrnge generalitatea soluiei, putem alege Fn i D n s fie reale. Din (2.134) i (2.132) rezult: Fn = D n 1 , Fn2 = n Fn = n , D n 1 = n D n = n + 1 nlocuind n (2.128) i n (2.131) obinem: a+ n > = n +1 n +1> a n> = n n 1>

(2.135) (2.136)

Din (2.121) i (2.135) obinem: 0 > = C0 0 > 1 > = C1 a+

C0 = 1C1 = 1

0 > = C1 1 >

2 ...................................................................................................................................................... n n 1 n2 n 3 n > = C n (a + ) 0 > = C n (a + ) 1 > = C n (a + ) 2 2 > = C n (a + ) 2 3 3>=

2 > = C2 a +

( )

2

0 > = C2 2 2 >

C2 =

1

= . . . = Cn 1 2 3 ... n n > nlocuind n (2.121) obinem: n> = (a )+ n

Cn =

1 n!

(2.137)

0> (2.138) n! Se poate arta c relaia (2.138) este echivalent cu relaia (2.94) . nlocuind: h d P = i dX

- 49 n (2.104) obinem:

h d X + i i dX d a 0 > = 0 a 0 = 0 X + 0 dX 2 Soluia acestei ecuaii este: a = 1 2 12 0 = C 0 e X / 2 ,

1 d = X + dX 2 d0 =0 + X 0 = 0 dXX =

(2.139)

m x (2.140) h 0 din (2.140) este identica funciei de und pentru starea fundamental din (2.94) .

Constanta C 0 se determin din condiia de normare. 2.8.5. Teoria cuantic a momentului cinetic Din expresia operatorului moment cinetic orbital: r r r r r i j k i j r r r r h h L = rp = x y z = r = x y i i P P Px y z x y se obin operatorii componentelor momentului cinetic orbital: h L x = yPz zPy = y z z y i r k z z

(2.141)

h (2.142) L y = zPx xPz = z x i x z h L z = xPy yPx = x y y x i Calculm comutatorul (innd seama de situaiile n care variabilele x, y, z sunt constante n raport cu operatorul comutator, precum i de faptul c pentru dou componente ale lui P comutatorul este nul): , L = yP zP , zP xP = yP zP , zP yP zP , xP = Lx y z y x z z y x z y z

[

] [ ] [ ] [ ] = [yP , zP ] [zP , zP ] [yP , xP ] + [zP , xP ] = = y [P , zP ] z [P , P ] yx [P , P ] + x [zP , P ] = = yz [P , P ] + y [P , z ] P + xz [P , P ] + x [z , P ] P = h h h h = y P + x P = (yP xP ) = L = i h L i i i i Analog se calculeaz [L , L ] i [L , L ] , care pot fi scrise prin permutri circulare: [L , L ] = i h L [L , L ] = i h L (2.143) [L , L ] = i h Lz x y x z z y z 2 z x y x z z y z z x z x y z z y x y x y z z y z z x x y

z

y

z

x

z

x

y

- 50 Deoarece operatorii componentelor momentului cinetic orbital nu comut ntre ei, rezult c L x , L y , L z nu admit funcii proprii comune i deci componentele momentului cinetic L x , L y , L z nu pot avea simultan valori bine determinate, n conformitate cu relaiile de nedeterminare ale lui Heisenberg. Operatorul ptratului momentului cinetic: L2 = L2x + L2y + L2z

(2.144)

comut cu oricare dintre operatorii componentelor momentului cinetic orbital, adic: L2 , L x = 0 ; L2 , L y = 0 ; L2 , L z = 0 (2.145)

[

]

[

]

[

]

[

Astfel: 2 , L = L2 , L + L2 , L + L2 , L = L L , L + L , L L + L L , L + L , L L = L x x x y x z x y y x y x y z z x z x z

] [

] [

] [

]

[

] [

]

[

] [

]

= L y i h Lz i h Lz L y + Lzi h L y + i h L y Lz = 0Din relaiile (2.143) i (2.145) rezult c informaia maxim care se poate obine asupra unei stri de moment cinetic orbital dat const n cunoaterea mrimii momentului r cinetic orbital (determinat de L2 ) i a uneia dintre proiecii (se alege proiecia L z pentru c operatorul corespunztor are expresia cea mai simpl n coordonate sferice), celelalte dou proiecii rmnnd nedeterminate. Aceast concluzie este o consecin a absenei noiunii de traiectorie a unei particule cuantice, aa cum rezult din relaiile de incertitudine ale lui Heisenberg. r n cazul general al unui moment cinetic oarecare J putem scrie relaii asemntoare celor din (2.143) i (2.145) .

(

)

[J

2

, Jx

] = i h J ,J ] = ihJ ,J ] = ihJ ] = 0 ; [J , J ] = 0 ; [Jx

[J [J [J

, Jyz

z

(2.146) (2.147) (2.148)2

y

x

z

x

y

2

y

, Jz = 0

]

(2.149)

Ca i n cazul oscilatorului armonic liniar, introducem operatorii de creare i anihilare: J+ = Jx + i Jy J = Jx i Jy

(2.150) (2.151) (2.152) (2.153) (2.154) (2.155) + h Jz

Din relaiile (2.146) (2.151) rezult: Jz , J+ = Jz , Jx + i Jz , Jy = i h Jy + i i h Jx = h J+ Jz , J = Jz , Jx i Jz , Jy = i h Jy i i h Jx = h J J + , J = i J y , J x i J x , J y = i i h J z i i h J z = 2h J z J2 , J = 0 ; J2 , J = 0 ; J2 , J = 0

[ [ [

J+J x y x y x y 2 2 2 2 2 2 J+J = Jx + Jy + Jz Jz + h Jz = J Jz + h Jz2 x 2 y

] [ ] [ ] [ [ = (J + i J(

] [ ] ( ) ] [ ] ( ) ] [ ] ( ) ( ) ] [ ] [ ] )(J i J ) = J + J i [J , J ] = J+ z x

2 x

+ J

2 y

JJ+ = Jx i J y JJ+ = J2 + J2 + x y

)(J

+ i Jy = J2 + J2 + i Jx , Jy = J2 + J2 h Jz x y x y J2 J2 h Jz = J2 J2 h Jz z z z

)

[

]

(2.156)

(2.157)

- 51 -

Din (2.156) i (2.157) obinem:

1 (2.158) J2 = J+J + JJ+ + J2 z 2 Deoarece J 2 , J z = 0 rezult c J 2 i J z admit acelai set de vectori proprii j , m > . Scriem ecuaiile cu valori proprii ale operatorilor J 2 i J sub forma: J+J + JJ+ = 2 J2 2 J2 z

[

]

(

)

J 2 j, m > = j ( j + 1) h 2 j, m > (2.159) J z j, m > = m h j, m > (2.160) 2 unde valorile proprii ale lui J trebuie s fie pozitive sau nule, deoarece corespund ptratului momentului cinetic, care este pozitiv sau nul. Deci n general j este ntreg sau semintreg: j 0 (2.161) j, m > i J j, m > sunt pozitive sau ntruct ptratul normelor vectorilor proprii J +

z

nule: < j, m J J + j, m > = J + j, m >2

0

(2.162) (2.163)

< j, m J + J j, m > = J j, m >din (2.156) i (2.157) rezult: < j, m J J + j, m > = < j, m J 2 J 2 h J z z < j, m J + J j, m > = < j, m J 2 J 2 + h J z z

2

0

( (

) )

j, m > = j ( j + 1) h 2 m 2 h 2 m h 2 0 (2.164)

j, m > = j ( j + 1) h 2 m 2 h 2 + m h 2 0 (2.165)(2.166) (2.167) (2.168)

sau: j (j + 1) m (m + 1) = (j m) (j + m + 1) 0 j (j + 1) m (m 1) = (j m + 1) (j + m) 0 sau: ( j + 1) m j j m j +1

j m j

Din (2.162) i (2.168) rezult c pentru m = j J + j, j > = 0 iar din relaiile (2.163) i (2.167) rezult c pentru m = j J j, j > = 0

(2.169) (2.170)

[J

2

, J + = 0 J 2 J + = J + J 2 J 2 J + j, m > = J + J 2 j, m > = J + j ( j + 1) h 2 j, m > J 2 J + j, m > = j ( j + 1) h 2 J + j, m >

]

Din (2.155) i (2.159) rezult:

(2.171)

proprii j ( j + 1) h 2 . Din (2.152) i (2.160) rezult:

Rezult c J + j, m > este un vector propriu al operatorului J 2 , corespunztor valorii

[J

z

, J + = h J + J z J + J + J z = h J + J z J + j, m > = J + J z + h j, m > = J + (mh + h ) j, m > J z J + j, m > = (m + 1) h J + j, m >

]

(

)

(2.172)

- 52 Rezult c J j, m >

corespunztor valorii proprii (m + 1) h . Analog se obin relaiile: J 2 J j, m > = j ( j + 1 ) h 2 J J z J j, m > = (m 1) hJ j, m >

+

este de asemenea un vector propriu al lui J z ,

j, m >

(2.173) (2.174) prin relaia m + 1: (2.175) (2.176) (2.177) (2.178) (2.179)

Din (2.171) i (2.172) rezult c putem defini un vector propriu urmtoare (sau din (2.172) i (2.160) scris pentru j, m + 1 > = (m + 1) h j, m + 1 > ): Jz J + j, m > = C m j, m + 1 > < j, m J = < j, m + 1 C m

< j, m J J + j, m > = C m C < j, m + 1 j, m + 1 > = C m m

2

Pe de alt parte, din (2.164) i (2.165) rezult: < j, m J J + j, m > = [ j ( j + 1) m (m + 1)] h 2 < j, m J J j, m > = [ j ( j + 1) m (m 1)] h 2+

Comparnd (2.177) cu (2.178) obinem: Cm = j ( j + 1 ) m (m + 1 ) h (2.180) nlocuind C m n (2.175) obinem: J j, m > = h j ( j + 1) m (m + 1) j, m + 1 >+

(2.181) (2.182)

(2.183) Revenind la cazul particular al momentului cinetic orbital, vom exprima L2 i L z n coordonate sferice.

Analog se arat c: J j, m > = D m j, m 1 > J j, m > = h j ( j + 1) m (m 1)

j, m 1 >

x = r sin cos y = r sin sin z = r cos

r 0 0 0 2

1 2 1 2 L2 = h 2 sin + 2 sin sin Lz = i h Expresia laplacianului n coordonate sferice este: 2 2 1 1 1 2 2 2 sin + = 2 + 2 + 2 = 2 r + r sin sin 2 2 r r z y x Din (2.184) i (2.186) rezult: 1 L2 = 2 r2 2 r h r r

(2.184) (2.185)

(2.186)

(2.187)

- 53 Ecuaia cu valori proprii pentru L2 se scrie astfel: 2 2 L S (, ) = L S (, ) sau: 1 1 2 L2 2 S (, ) = 2 S (, ) sin + (2.189) sin 2 h sin Soluia ecuaiei (2.189) se obine folosind metoda separrii variabilelor: S (, ) = F ( ) () (2.190) Introducnd (2.190) n (2.189) obinem: F F 2 L2 sin + + 2 F = 0 (2.191) sin h sin 2 2 sin 2 rezult: nmulind aceast relaie cu F sin d dF L2 1 d 2 sin + 2 sin 2 = 2 = m 2 (2.192) l F d d h S-a nlocuit derivata parial cu derivata total pentru c F depinde numai de , iar depinde numai de . 2 m l este o constant, ntruct cei doi membri ai relaiei (2.192) , care depind fiecare

(2.188)

de cte o singur variabil, trebuie s fie egali pentru orice valori ale lui i . Din ultima egalitate din (2.192) rezult: d 2 2 + ml = 0 (2.193) d 2 Soluia acestei ecuaii este: im = Ce l (2.194) ntruct este o variabil unghiular, () trebuie s satisfac condiia de univocitate (funcia de und trebuie s fie continu n toate punctele spaiului, pentru c altfel nu ar fi difereniabil i deci n-ar putea fi o soluie a ecuaiei). im i m ( + 2 ) 2i m l =1 () = ( + 2 ) C e l = C e l e cos 2m l + i sin 2m l = 1 m l = 0 , 1 , 2 , . . . (2.195)

(

)

(

)

deosebire de cazul general, cnd j putea lua i valori semintregi. Conform relaiei (2.168) rezult: l m l l m l = l , l + 1 , . . . . , l 1 , l m l = 0 , 1 , 2 , . . . , l (2.196) Este evident c i l trebuie s ia numai valori ntregi. Constanta C din (2.194) se determin din condiia de normare: 2 2 i ml i m l 1 Ce d = 1 C 2 2 = 1 C = d = 1 C e 2 0 0 Deci: im 1 = e l (2.197) 2

m l se numete numr cuantic magnetic orbital. Valorile acestui numr sunt ntregi, spre

- 54 -

(2.198) unde L z sunt valorile proprii, iar sunt funciile proprii i aplicnd nc o dat operatorul L obinem:z zz

Scriind ecuaia cu valori proprii pentru operatorul L z sub forma: L = L

L z L z = L z L z L2z = L z L z ih ih = L2z 2 2 2 Lz h2 = L2z + 2 = 0 (2.199) 2 2 h Comparnd (2.199) cu (2.193) rezult: L2z 2 ml = 0 , 1, 2 , . . . , l = m l L z = mlh ; (2.200) 2 h Relaia (2.200) este de aceeai form cu relaia general (2.160) . Rezult c din (2.197) sunt funciile proprii ale lui L z , iar valorile proprii ale operatorului L z sunt date de relaia (2.200) . Astfel proiecia momentului cinetic pe axa z este cuantificat. Ecuaia n din (2.192) este: sin d dF L2 sin + 2 sin 2 m 2 = 0 : sin 2 l F d d h2 ml 1 d dF L2 F = 0 sin + (2.201) sin d d h 2 sin 2 Pentru rezolvarea acestei ecuaii se face substituia x = cos , cutndu-se soluii de

forma: ml F (x ) = 1 x 2 f (x ) (2.202) unde f (x) se dezvolt n serie de puteri: f (x ) = a n x n (2.203) n=0 Impunnd soluiei (2.202) s verifice ecuaia (2.201) se obine o relaie de recuren ntre coeficienii seriei (2.203) , care se analizeaz n acelai mod ca la oscilatorul armonic liniar. Pentru ca funcia F s fie mrginit trebuie ca seria s se ntrerup de la un anumit termen, devenind un polinom. Deci i F (cos ) devine un polinom. Astfel se obin ca soluii m ale ecuaiei (2.201) aa-numitele polinoame Legendre asociate Pl l (cos ) . Deci soluia ecuaiei (2.189) este funcia sferic:

(

2

)

S (, ) = N unde N

m im Pl l (cos ) e l l ml

(2.204)

mrginite rezult:

l ml

este un factor de normare. Din condiia ca soluiile ecuaiei (2.201) s fieL2 = l (l + 1) h 2 ml l

,

l = 0 , 1, 2 , . . .

(2.205) (2.206)

- 55 Aceste relaii sunt n acord cu formulele (2.159) i (2.168) , care sunt valabile n cazul general. Deoarece m l este un numr ntreg, rezult c i l trebuie s fie tot un numr 2.8.6. Teoria cuantic a atomului de hidrogen Energia potenial a electronului n cmpul nucleului de sarcin + e are expresia: 2 e0 e2 V (r ) = = (2.207) 4 0 r r Deoarece V(r) depinde numai de valoarea absolut a distanei dintre nucleu i electron, adic este caracterizat de simetrie sferic ( V este invariant la o rotaie n jurul originii), este convenabil s folosim coordonatele sferice pentru a trata micarea electronului n cmpul central al nucleului de hidrogen. Ecuaia lui Schrdinger este: e2 1 2 1 1 2 2m 2 + 2 E + 0 = 0 (2.208) sin + + r r r sin r 2 r sin 2 h nlocuind laplacianul din (2.187) n expresia operatorului hamiltonian h2 + V (r ) (2.209) H = 2m obinem: e2 h2 1 2 L2 H = 2 r 2 0 (2.210) 2m r r r r h

ntreg. l este numit numr cuantic orbital.

Deoarece L2 din (2.184) depinde numai de i , iar H din (2.210) depinde de r i de L2 , rezult c H i L2 comut: H, L2 = 0 (2.211) Deoarece H , L2 i L comut, rezult c aceti operatori vor avea un sistem comun

[

]

z

de funcii proprii. Astfel informaia maxim care se poate obine asupra strii electronului n atom const din valorile energiei, ale mrimii momentului cinetic i a unei proiecii (proiecia z) a momentului cinetic orbital. Soluia ecuaiei (2.208) se pune sub forma: (r, , ) = R (r ) S (, ) (2.212) unde S (, ) este funcia sferic. nlocuind (2.212) n (2.208) obinem: 2 R e2 2S R R 2m S 2 + 2 E + 0 R S = 0 (2.213) S r sin + + r r sin sin 2 h r 2 r i innd seama de relaiile (2.189) i (2.205) obinem: nmulind relaia cu RS e2 2 S L2 1 d 2 dR 2mr 2 1 1 S = = l (l + 1) (2.214) sin + 2 E + 0 = r r S sin R dr dr S sin 2 2 h 2 h Ecuaia n r este: e2 d 2 dR 2mr 2 (2.215) r + 2 E + 0 l (l + 1) R = 0 dr dr h r Dar: 1 r2

- 56 -

d 2 dR d2 r = r 2 (r R ) dr dr drdeoarece:d 2 dR dR d2R + r2 r = 2r dr dr dr dr 2

(2.216)

2 dR d d2 dR d 2 R dR dR 2 d R +r 2 + r 2 (r R ) = r R + r +r 2 =r = 2r dr dr dr dr dr dr dr dr nlocuind (2.216) n (2.215) obinem: 2m e2 d2 l (l + 1) r 2 (r R ) + r 2 2 E + 0 R = 0 r dr r2 h

sau:

2m e2 d2u l (l + 1) E + 0 + 2 u = 0 r dr 2 r2 h u = rR

(2.217) (2.218)

unde: Relaia (2.217) se poate pune sub forma ecuaiei lui Schrdinger unidimensionale: 2 e0 d2u l (l + 1) h 2 2m (2.219) + 2 E + u = 0 dr 2 h 2mr 2 4r4424443 1 V ef unde:V = V (r ) + ef l (l + 1) h 2 2mr 2 3 14 4 2 VC

(2.220)

este numit potenial efectiv. Deoarece r 0 , termenul al doilea din (2.220) este pozitiv i este numit potenial centrifugal, ntruct i corespunde o for de respingere a particulei fa de centru ( F = dVC / dr 0 ). Ecuaia (2.217) poate fi scris n funcie de mrimile adimensionale: r h2 = , r1 = (2.221) 2 r1 me 0 =4 me 0 e2 E , E1 = 2 = 0 , = 1 E1 2r1 2h

(2.222)

Rezult:

du du d 1 du = = dr d dr r1 d 1 d2u d2u d du d = = 2 d dr dr dr 2 r1 d 2

- 57 2 2 2m e 0 e0 1 d 2u l (l + 1) (2.223) + 2 + u = 0 r1 2r1 r12 2 r12 d 2 h d2u 2 l (l + 1) (2.224) + + u = 0 2 d 2 Pentru a obine soluia general, se determin soluii particulare mrginite pentru r 0 i pentru r , adic pentru 0 i .

a) Pentru 0 cei mai importani termeni din (2.224) devin cei cu puterea mai mare a lui la numitor. n acest caz, pentru l 0 , ecuaia (2.224) devine:d2u l (l + 1) u = 0 2 2 d Cutm o soluie de forma: u = Impunnd ca aceast soluie s verifice ecuaia (2.225) obinem: l (l + 1) ( 1) 2 = 0 2 l (l + 1) = 0 2 1, 2 =

(2.225) (2.226)

1 + 4l (l + 1) 1 = l + 1 1 (1 + 2l ) = (2.227) 2 2 2 = l Din relaia (2.218) scris sub forma u (r ) = r R (r ) u ( ) = R ( ) i din (2.226) , (2.227) rezult: u = R= = 1 R 1 = l , R 2 = l 1 R 0 = C1 R 1 + C 2 R 2 1 Deoarece R 2 = , aceast soluie nefiind mrginit este eliminat, lund l + 1 0 1 C 2 = 0 . Alegnd C1 = 1 rezult c pentru valori mici ale lui soluia ecuaiei (2.224) este: u 0 = R 0 = l + 1 (2.228) Pentru l = 0 termenul dominant n (2.224) este 2 / n cazul 0 . n acest caz ecuaia (2.224) devine: d2u 2 + u = 0 (2.229) 2 d Alegnd ca soluie o serie de forma: u = a 1 + a 2 2 + . . . (2.230) rezult: u (0 ) = 0 u = a 1 + a 2 + . . . a (valoare finit n vecintatea originii). R = 1 0

La acelai rezultat se ajunge dac se impune unei soluii de forma (2.226) s verifice ecuaia (2.224) i se egaleaz cu zero coeficientul termenului dominant.

- 58 b) Deoarece potenialul nu este simetric, vom analiza i cazul . Pentru ecuaia (2.224) se reduce la: d 2u (2.231) + u = 0 d 2 Soluia acestei ecuaii este: 1/ 2 1/ 2 i ( ) i ( ) (2.232) + C e u ( ) = C e Pentru E > 0 , = + 1 soluia este mrginit pentru orice valoare a lui E [0, ) ntruct ( ) este un numr real. n acest caz electronul este liber (lipsete bariera din dreapta potenialului), avnd un spectru de valori proprii continuu. Orbita clasic este o hiperbol. 1/ 2 Pentru E < 0, = 1 , deoarece ( ) = i 1/2 rezult c numai primul termen din (2.232) este mrginit i deci trebuie s lum C = 0 . n aces caz (E < 0) electronul este legat ntr-un atom (orbita clasic este o elips), micarea electronului este limitat de bariera de potenial, iar pentru eliberarea lui (E = 0) este necesar un lucru de ionizare pozitiv. Astfel: 1/2 (2.233) u ( ) = C e Alegnd C = 1 i innd seama de (2.228) rezult c n cazul electronului legat n atom soluia ecuaiei (2.224) pe ntregul domeniu [0, ) este: 1 / 2 u ( ) = l + 1 e f ( ) (2.234) unde f ( ) se dezvolt ntr-o serie de puteri: f ( ) = a k k (2.235) k =0 Impunnd soluiei (2.234) s verifice ecuaia (2.224) se obine o relaie care este identic satisfcut numai dac egalm coeficienii aceleiai puteri a lui . Astfel se obine o relaie de recuren ntre coeficienii seriei (2.235) : 2 1/2 (k + l + 1) 1 a k +1 = a (2.236) (k + l + 2)(k + l + 1) l (l + 1) k Pentru termenii cei mai semnificativi ai seriei (2.235) sunt cei pentru care k >> 1.1/ 2

[

]

Pentru acetia raportul ntre doi termeni consecutivi este

2 1 / 2 . La acelai rezultat se ajunge k dac se face raportul ntre doi termeni consecutivi din dezvoltarea n serie a exponenialei 21 / 2 care tinde la pentru . Astfel seria (2.235) tinde la pentru . n e acest caz u ( ) nu este mrginit. Dac ns ntrerupem seria la un termen de rang k = n r , se 1/ 2 din (2.234) asigur obine un polinom, astfel c i pentru factorul e mrginirea funciei u ( ) . Dac polinomul este de ordinul n r , atunci a n = 0 i a n + 1 = 0 .r r

n acest caz din (2.236) rezult:

2 1/2 (n r + l + 1) 1 = 0 =

[

]

Din (2.222) i (2.237) pentru = 1 rezult:

(n r + l + 1)2

1

(2.237)

- 59 4 4 me 4 me 0 me 0 = 2 E = 2 02 n = 1, 2, . . . , (2.238) 2 2h n 2h 2 2h (n r + l + 1) unde n = n r + l + 1 este numit numr cuantic principal, iar n r este numit numr cuantic radial. Deoarece numrul cuantic orbital este este un numr ntreg rezult: l = 0 , 1, 2 , . . . , n 1 (2.239) unde valoarea maxim l = n 1 corespunde lui n r = 0, iar valoarea minim l = 0 corespunde lui n = n r + 1. Din cele trei numere cuantice (n, n r , l ) numai dou sunt distincte (n i l ), datorit relaiei n = n r + l + 1 . Prin ntreruperea seriei (2.235) la un anumit termen se obine un polinom numit polinomul +1 2 Laguerre generalizat L2l+ l . Din relaiile (2.218) , (2.221) , (2.222) i (2.234) n n rezult funcia radial: r nr1 2l + 1 2r R nl (r ) = N nl r l e (2.240) Ln + l nr 1 Din relaiile (2.204) , (2.212) i (2.240) rezult funciile proprii r im nr1 2l + 1 2r m l (cos ) e l (2.241) nlm (r, , ) = N nlm r l e Ln + l nr Pl l l 1 unde N nlm este un factor de normare. l Concluzii 1) Din relaia (2.238) rezult c energia electronului n atomul de hidrogen este cuantificat de numrul cuantic principal n . 2) Pentru un numr cuantic principal dat, numrul cuantic orbital l poate lua valorile l = 0 , 1 , 2 , . . . , n 1. 3) Pentru fiecare numr cuantic orbital l , numrul cuantic magnetic orbital m l poate

E = E 1 =

lua 2l + 1 valori: m l = l , l + 1 , . . . , 1 , 0 , 1 , . . . , l 1 , l . 4) Deoarece energia depinde numai de n, iar funcia de und din (2.241) este dependent de trei numere cuantice n , l i m l rezult c strile electronului din atomul de hidrogen sunt degenerate (unei valori proprii i corespund mai multe funcii de und). n teoria lui Bohr o stare cuantic era determinat numai de n . Pentru un n dat l poate lua n valori, iar m l poate lua 2l + 1 valori, pentru un total de n 1

nu considerm spinul electronului). 5) Deoarece fiecare din aceste stri este caracterizat de un numr cuantic magnetic de 1 1 spin m S care poate lua valorile + sau , exist 2n2 stri asociate fiecrui numr 2 2 cuantic principal n (exist 2n2 stri degenerate).

1 + 2n 1 n = n 2 stri 2 l=0 (progresie aritmetic cu raia 2). Astfel pentru un n dat exist n2 funcii proprii diferite, adic pentru o energie dat avem o degenerare de gradul n2. Numai starea fundamental caracterizat de n = 1, l = 0, m l = 0 este nedegenerat (n cazul cnd

(2l

+ 1) = 1 + 3 + 5 + . . . + [2 (n 1) + 1] =

- 60 6) n spectroscopie, nivelele de energie cu n = 1, 2, 3, . . . se noteaz cu K, L, M, . . . (pturi electronice), iar cele pentru l = 0, 1, 2, . . . se noteaz cu s, p, d, . . . Electronii cu acelai n ocup o ptur, iar cei cu acelai l ocup o subptur. Principiul de excluziune al lui Pauli interzice ca aceeai stare cuantic s fie ocupat de doi electroni (ntr-un atom nu pot exista 2 electroni avnd aceleai numere cuantice). Fiecare stare cuantic permis este caracterizat de patru numere cuantice (n, l , m l , m S ). 2.8.7. Probabilitatea de localizare a electronului n atomul de hidrogen Probabilitatea de a gsi electronul ntr-un element de volum dV = r 2 sin dr d d este:dV l Integrnd aceast probabilitate dup toate valorile posibile ale lui i vom obine probabilitatea de localizare a electronuluila o distan de nucleu cuprins ntre r i r + dr , indiferent de direcie. Particulariznd pentru starea fundamental 1s a atomului de hidrogen, pentru care n = 1 , l = 0, m l = 0 , obinem: R 1,0 = 2 r13 e r/r1

(2.242)

dP = dV dP = n,l,m

2

, S 0,0 =

1

4

(2.243)

1,0, 0 = R 1,0 S 0,0 = 1,0,02

1 r13

e

r/r1 (2.244)

1 2r/r1 e r13 1 2r/r1 2 dP = e r sin dr d d r13 2 1 2r/r1 2 dPr = e r dr sin d d r13 0 44 44 1 2 03 4 Densitatea de probabilitate corespunztoare dPr 4 2r/r1 2 = r = 3 e r dr r1 =

dPr =

4 2r/r1 2 e r dr r13

(2.245)

se anuleaz n origine (r = 0) din cauza factorului r 2 i la din cauza exponenialei (probabilitatea ca electronul s se afle pe nucleu sau la infinit este nul). Densitatea de probabilitate r prezint un maxim pentru o anumit distan rmax dintre electron i nucleu. Din condiia de maxim d r = 0 dr rezult: d 2r/r1 2 2r/r1 2 2 r + 2r = 0 r = 0 e e r dr 1

- 61 h2 = 0,529 (raza primei orbite Bohr). 2 me 0 n cazul particular analizat numrul cuantic radial n r este nul. Se poate arta c n cazul n care numrul cuantic radial n r = 0 , din relaia n = n r + l + 1 rezult l = n 1 , iar valoarea maxim a densitii de probabilitate corespunde la valori ale lui r care sunt multipli ntregi ai razei primei orbite Bohr: (2.246) rn max = n 2 r1

rmax = r1 =

Dac n teoria lui Bohr electronul aflat n starea fundamental a atomului de hidrogen se deplaseaz pe un cerc de raz r1 , n mecanica cuantic riguroas densitatea de probabilitate pentru acest electron este diferit de zero att pentru r r1 , ct i pentru r r1 . Astfel n mecanica cuantic nu putem considera c electronul se poate deplasa pe orbite precise, ca n teoria lui Bohr. Pentru n r = 1 exist o suprafa pentru care r = 0 , numit suprafa nodal. n general numrul suprafeelor nodale se identific cu numrul cuantic radial n r . n cazul n care l = 0, odat cu creterea numrului cuantic principal n densitatea de probabilitate radial r oscileaz mai rapid, apropiindu-se de forma densitii de probabilitate corespunztoare micrii clasice n conformitate cu principiul de coresponden. La fel se poate calcula probabilitatea de localizare a electronului n zonele pentru care este cuprins ntre i + d , iar este cuprins ntre i + d , indiferent de distana r fa de nucleu, integrnd probabilitatea dP dup toate valorile lui r . ntruct n (2.241) im variabila apare numai n factorul e l , ptratul modulului funciei de und nu va depinde de , astfel c distribuia particulei n planul perpendicular pe axa Oz este complet simetric. Densitatea de probabilitate unghiular se determin cu relaia: dP, , = , d = sin d d (2.247) d unde d este elementul de unghi solid.

Deoarece funciile proprii radiale sunt normate: 2 R n, l r 2 dr = 1 0 obinem:

- 62 2

dP = R n, l Sl, m2

ld

r 2 dr d 02

dP, = Sl, m l2

R n, l

r 2 dr

, = S l, mntructS 0, 0 = 1 4 , S1, 1 = m

l3 cos , S 2,0 = 4 5 3 cos 2 1 16

3 i sin e , S1,0 = 8

(

)

rezult:

, =0, 0

1 3 3 , , = sin 2 , , = cos 2 , 4 8 4 1, 1 1, 0

, =2, 0

2 5 3cos 2 1 16

(

)

Pentru a obine o imagine complet trebuie s rotim diagramele din figurile de pe pagina 1 precedent n jurul axei Oz . Astfel rotind cercul de raz n jurul axei Oz se obine o 4 sfer. 2.8.8. Cuantificarea momentului magnetic orbital Micarea electronului n atom n jurul nucleului, numit micare orbital, genereaz un moment magnetic. r Se definete densitatea cuantic de curent J ca produsul dintre sarcina electronului r ( e) i densitatea fluxului de probabilitate j [relaia (2.9)]: r r i eh J = ej = (2.249) 2m Presupunem c electronul se afl ntr-o stare staionar cu o valoare bine determinat a proieciei momentului cinetic orbital, dat de relaia (2.200): L z = mlh (2.250)

(

)

Pentru a determina densitatea cuantic de curent, datorat micrii orbitale a electronului n atom, este comod s lucrm n coordonate sferice (datorit simetriei sferice a cmpului central). Fie O originea unui sistem de coordonate sferice r, , , situat n centrul de fore al cmpului central, iar z o ax de direcie arbitrar care trece prin punctul O. ntr-un plan care cuprinde axa z considerm un element de arie r dA = u dA ale crui coordonate n acest plan sunt raza r i unghiul . Rotind elementul de arie n jurul axei z , aceasta va gennera un tor de volum:dV = 2r sin dA

iar funcia de und corespunztoare acestei stri este: m im nlm (r, , ) = R nl (r ) N lm Pl l (cos ) e l l l

(2.251)

(2.252)

- 63 Electronul studiat se va gsi cu o anumit probabilitate ntr-un punct din interiorul acestui tub de curent elementar. Intensitatea curentului care strbate torul este: r rr (2.253) dI = J dA = Ju dA Tubul elementar de curent mbrieaz o suprafa de arie S = (r sin ) 2 = r sin 2 . Momentul magnetic elementar generat de curentul de intensitate dI este: rr 2 dM z = dI S = Ju dA (r sin) (2.254)2

=

Din relaiile (2.252) i (2.254) rezult: rr 1 dM z = Ju 24243 r sin sin dA 1r4 4 2 dV r r 1 dM z = r sin J u dV (2.255) 2 Componenta dup axa z a momentului magnetic generat de mulimea tuturor torurilor elementare parcurse de cureni cuantici de intensitate dI , n care putem mpri spaiul fizic, se obine integrnd relaia (2.255): r r 1 Mz = r sin J u dV (2.256) 2 r Exprimnd pe J n coordonate sferice i innd seama de faptul c: r r 1 r 1 + u + u = ur (2.257) r r sin r obinem: i eh Jr = r r 2m i eh J = 2mr i eh J = 2mr sin Deoarece funcia de und (2.251) este real n raport cu variabilele r i , rezult J r = 0 , J = 0 . Derivnd nlm n raport cu obinem: l nlm nlm l = im l = i m l nlml , l nlml ehm l r r r r i eh 2 J u = Ju u = J = i m l i m l = mr sin 2mr sin

(

)

nlocuind n (2.256) obinem: ehm l ehm l 2 2 dV = dV mr sin 2m Conform condiiei de normare, integrala extins pe ntreg spaiul fizic este egal cu unitatea i deci: ehm l M z = m l B P Mz = (2.258) 2m unde: Mz = 1 2 r sin

- 64 -

orbital. Astfel se justific denumirea dat lui m l . Momentul magnetic se determin experimental msurnd energia acestui moment ntrr un cmp de inducie magnetic B orientat dup axa Oz. n cazul micrii orbitale a unui electron se definete raportul magneto-mecanic orbital prin relaia: m B P Mz e l = = l = (2.260) Lz mlh 2m

eh (2.259) 2m este magnetonul Bohr-Procopiu, care a fost pus n eviden pentru prima dat de fizicianul romn t. Procopiu (1911). B P = 9,27 10 24 A m 2 (J/T ) Semnul minus este determinat de sarcina negativ a electronului. Din relaia (2.258) rezult c momentul magnetic orbital al electronului n atom este cuantificat de numrul cuantic m l = 0 , 1 , 2 , . . . , l , numit numr cuantic magnetic

B P =

Din (2.250) i din (2.258) rezult: e Lz Mz = (2.261) 2m Conform principiului de coresponden, o relaie identic trebuie s existe ntre operatorii asociai: e (2.262) Lz Mz = 2m Suma tuturor momentelor magnetice orbitale ale electronilor din atom determin momentul magnetic orbital al atomului. 2.8.9. Experiena lui Stern i Gerlach. Spinul electronului n anul 1921 Stern i Gerlach au ncercat s msoare momentul magnetic orbital eh m (2.263) Mz = 2m l dar rezultatele experimentale nu au putut fi explicate dect mai trziu (n 1925) de ctre Goudsmit i Uhlenbeck cu ajutorul ipotezei c electronul are un moment cinetic propriu (spinul electronului) i corespunztor un moment magnetic propriu (moment magnetic de spin). Spinul este o caracteristic cuantic a particulelor i nu are analog clasic. n englez cuvntul spin nseamn o rotire n jurul axei proprii.

- 65 ntr-un vas vidat (presiunea rezidual mai mic de 10 5 torr) se afl un cuptora electric n care are loc evaporarea unei cantiti de argint. Atomii de argint au un singur electron de valen (electron optic). Cu ajutorul a dou fante F1 i F2 este selectat un fascicul ngust de atomi de argint, emii termic, care traverseaz un cmp magnetic puternic neomogen (neomogenitatea este sensibil pe o distan de ordinul diametrului atomic (1 )) produs de piesele polare P1 i P2 ale unui electromagnet. r Energia potenial de interaciune ntre un moment magnetic M i un cmp magnetic r de inducie B este: r r r r U = M B = M B cos M, B (2.264) Fora care acioneaz asupra atomilor din fascicul este: r r U B F = = M cos M, B (2.265) z z Sub aciunea acestei fore, atomul sufer o deviaie de-a lungul axei z : r r r r at 2 1 F t2 B cos M, B = C cos M, B (2.266) z = = t2 = M 2m 2 2 m z unde C este o constant dependent de construcia aparatului. Aceast deviaie poate fi msurat pe placa P . Din punct de vedere clasic, ntruct r r r r unghiul dintre M i B poate lua valori n intervalul [0, ] , cos M, B va lua toate valorile cuprinse ntre + 1 i 1 , adic fasciculul de atomi de argint va fi deviat continuu ntre M 1 i M 2 pe placa rcit P , depunndu-se sub forma unei pete continue (curba punctat). Experimental se constat pe plac numai dou urme simetrice n raport cu axa Oy . n absena cmpului magnetic se obine o pat central n jurul punctului M (curba ntrerupt). ntruct ionii de argint (crora le lipsete electronul optic) trec nedeviai prin cmpul magnetic neomogen, rezult c aceti ioni nu au un moment magnetic, astfel c despicarea fasciculului de atomi neutri de argint se datoreaz exclusiv momentului magnetic al electronului optic. Dac am presupune c deviaia atomilor neutri de argint s-ar datora momentului magnetic orbital al electronului optic, ar trebui ca pe placa P s avem un numr impar de urme, n timp ce experiena arat c avem dou urme. Astfel pentru electronul optic aflat n starea fundamental (starea cea mai probabil n cazul cnd experiena are loc la temperaturi mici), n = 1 , l = 0 , m l = 0 , din relaia (2.263) rezult c momentul magnetic orbital este

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

nul i deci ar trebui s se obin o urm nedeviat (z = 0), iar dac l = 1 , m l = 0 , 1 ar trebui s apar o urm nedeviat i dou urme deviate simetric. Rezultatele experimentale obinute de Stern i Gerlach au putut fi explicate numai cu ajutorul ipotezei spinului electronic. ntruct fora magnetic orienteaz momentele magnetice de spin paralel sau antiparalel cu cmpul magnetic, rezult c ntr-un cmp magnetic momentul cinetic de spin (spinul electronului) poate avea numai dou orientri posibile. Astfel numrul cuantic de spin s se obine din relaia: 1 (2.267) 2s + 1 = 2 s = 2 r r Momentului cinetic de spin s i corespunde operatorul s de componente s x , s y i s z care satisfac relaiile de comutare specifice oricrui moment cinetic: s x , s y = i h a z ; s y , s z = i h a x ; [s z , s x ] = i h a y

[ [s

2

, sx

] ]= 0

;

[ [s

2

] ,s ] = 0y

;

[s

2

, sz = 0

]

(2.268) (2.269)

- 66 -

n cazul micrii nerelativiste, operatorii H , L2 , L z , s 2 , s z formeaz un sistem complet, deoarece comut ntre ei. n mecanica cuantic relativist spinul electronului rezult ca o consecin a ecuaiei lui Dirac. Ecuaiile cu valori proprii generale (2.159) i (2.160) pot fi particularizate pentru operatorii s 2 i s z : (2.270) s 2 s, m S > = s (s + 1) h 2 s, m S > s z s, m S > = m S h s, m S >

(2.271)

unde numrul cuantic magnetic de spin m S poate lua numai dou valori: 1 1 1 m S [ s, s ] m S [ , ] m S = 2 2 2 Astfel mrimea momentului cinetic de spin i mrimea proieciei pe axa moment cinetic propriu sunt date de relaiile: r r r 1 1 3 h s 2 = s (s + 1) h 2 s = s (s + 1) h = + 1 h s = 22 2 1 s z = mS h s z = h 2 Spre deosebire de numrul cuantic orbital l i numrul cuantic magnetic

(2.272) z a acestui (2.273) (2.274)

Deoarece S l , se spune c exist o anomalie magnetic a spinului. Legtura dintre momentul cinetic de spin i momentul magnetic de spin a fost stabilit pe baza experienelor lui Einstein i de Haas. n experiena imaginat de Einstein i realizat de ctre de Haas se consider o bar feromagnetic nconjurat de o bobin parcurs de curent electric. Bara este suspendat de un fir de cuar pe care este fixat o oglind plan O . Pe aceast oglind cade un spot luminos cu ajutorul cruia se poate msura unghiul de torsiune a firului de cuar. La trecerea unui curent suficient de intens prin bobina B , bara F se magnetizeaz la saturaie. Inversnd sensul curentului prin bobin se constat o rotire a barei, ce se datoreaz variaiei momentului magnetic de spin al electronilor, care conduce i la o variaie a & momentului cinetic al electronilor din bar. Momentul cinetic I al barei se determin pe & baza momentului de inerie I al barei i pe baza vitezei sale unghiulare . Egalnd

orbital m l , care pot lua numai valori ntregi, numrul cuantic de spin s i numrul cuantic magnetic de spin m S pot lua numai valori semintregi. Momentului cinetic de spin i corespunde un moment magnetic de spin: eh m S = m B P (2.275) MS = m Se definete raportul magneto-mecanic de spin prin relaia: MSz e e (2.276) S = = = gS , gS = 2 m 2m sz Rezult c: S = 2 l

- 67 momentul cinetic al barei cu variaia momentului cinetic total de spin al electronilor, se poate determina raportul magneto-mecanic de spin i deci se poate stabili legtura dintre momentul cinetic de spin i momentul magnetic de spin. 1 2 & I = S z = s z = (2.277) M Sz = BP S S n relaia de mai sus am folosit faptul c variaia momentului magnetic de spin al unui singur electron de-a lungul axei verticale este: M Sz = B P ( B P ) = 2 B P Datele experimentale care au impus ipoteza spinului sunt: comportarea atomilor n cmpuri magnetice neomogene; structura fin a liniilor spectrale; efectul Zeeman; etc.

2.8.10. Modelul vectorial al atomului. Compunerea momentelor cinetice r n modelul vectorial, momentul cinetic l este reprezentat printr-un vector de lungime l (l + 1 ) h care efectueaz o micare de precesie n jurul axei Oz , descriind un r con a crui nlime este egal cu m l h , unde m l l . n acest fel am asigurat ca l 2 i l z s aib valori bine determinate, n timp ce l x i l y nu au valori determinate, datorit precesiei (valorile medii l x = 0 , l y = 0 ). Acest model semiclasic, n care valorile medii temporale peste una sau mai multe ture ale momentului cinetic se nlocuiesc cu valorile medii cuantice, permite obinerea de informaii corecte asupra valorilor proprii, dar nu i pentru r funciile de und. Pentru momentul cinetic orbital l exist 2l + 1 valori posibile ale lui l z , r iar pentru momentul cinetic de spin s exist 2s + 1 = 2 valori posibile ale lui s z .

r l1

r r Prin compunerea a dou momente cinetice orbitale l1 i l 2 avnd mrimile r = l 1 (l 1 + 1) h , l 2 = l 2 (l 2 + 1) h i respectiv proieciile pe axa Oz

l 1z = m l h , m l [ l 1 , l 1 ] ; l 2 z = m l h , m l [ l 2 , l 2 ] se obine un moment 1 2 2 r1 cinetic rezultant L de mrime: r r 2 r 2 r r r r L = l1 + l 2 + 2 l1 l 2 cos l1 , l 2 (2.278)

(

)

ale crui valori sunt cuantificate: r L = L (L + 1) h unde:L = l1 + l 2 , l1 + l 2 1, . . . , l1 l 2 L = l1 + l 2 , l1 + l 2 1, . . . , l 2 l1

dac l 1 > l 2 ( 2l 1 + 1 valori ale lui L) dac l 2 > l 1 ( 2l 2 + 1 valori ale lui L)

- 68 ( L = l1 + l 2 , l1 + l 2 1, . . . , l1 l 2 ) Proiecia momentului cinetic rezultant pe axa Oz este cuantificat: L z = m L h , m L [ L, L ] , m L = m l + m l ( L z = l 1z + l 2 z )1 2

La fel se compun i momentele cinetice de spin. Momentele magnetice orbitale i de spin, fiind proporionale cu momentele cinetice corespunztoare, se compun n mod analog. Cuplarea momentelor cinetice orbitale cu momentele cinetice de spin se poate face n dou moduri. La atomii uori exist o legtur strns ntre spinii electronilor (n aproximaia nerelativist) i are loc un cuplaj normal, numit i cuplaj (L, S) ori Saunden-Russel, n care se compun separat att momentele cinetice de spin ntr-un vector rezultant r r S = sii

ct i cele orbitale, care dau rezultanta r r L = lii

i apoi acestea se compun pentru a da momentul cinetic total r r r J = L + S La atomii grei, legtura dintre momentul cinetic de spin i cel orbital este puternic la acelai electron (cazul energiilor relativiste) i are loc un cuplaj (j, j), cnd se compun succesiv momentul cinetic de spin cu cel orbital pentru fiecare electron r r r ji = l i + si dup care rezultantele se compun, formnd momentul cinetic total al sistemului r r J = jii

cuplaj (L, S)

cuplaj (j, j)

Generaliznd relaiile (2.261) i (2.276) pentru atomii cu mai muli electroni obinem momentul magnetic orbital: r e r L (2.279) ML = 2m i momentul magnetic de spin: r e r S (2.280) MS = 2 2m unde: r r L = L (L + 1) h , S = S (S + 1) h (2.281) Din relaiile (2.279) , (2.280) , (2.281) , (2.259) obinem: r M L = B P L (L + 1) (2.282)

- 69 r M S = 2 B P S (S + 1)

(2.283)

Momentul magnetic total este suma momentelor magnetice orbital i de spin. Din r cauza anomaliei de spin, momentul magnetic rezultant M nu are aceeai direcie cu r r r momentul cinetic rezultant J = L + S (am considerat cazul cuplajului normal). r Se definete momentul magnetic efectiv M J r r al atomului ca proiecia lui M pe direcia lui J . r r r r r r r M J = M L cos L, J + M S cos S, J r r r r r L2 + J 2 S 2 cos L, J = r r 2 L J r r r r r S 2 + J 2 L2 cos S, J = r r 2 S J

( )

( )

( )

( )

r Deoarece J = J (J + 1) h rezult: r L (L + 1) + J (J + 1) S (S + 1) M J = B P L (L + 1) + 2 L (L + 1) J (J + 1)+ 2 B P S (S + 1)r M J = B P

S (S + 1) + J (J + 1) L (L + 1) 2 S (S + 1) J (J + 1)

= B P

3 J (J + 1) + S (S + 1) L (L + 1) 2 J (J + 1)

J (J + 1) + S (S + 1) L (L + 1) J (J + 1) 1 + 2 J (J + 1)

r M J = g B P

J (J + 1)

(2.284)

J (J + 1) + S (S + 1) L (L + 1) (2.285) 2 J (J + 1) este factorul lui Land. Pentru micarea orbital a unui singur electron g = 1, iar pentru micarea de spin a unui singur electron g = 2 (n realitate experiene ngrijite au condus la g = 2,0023192). g =1+2.8.11. Efectul Zeeman Efectul Zeeman const n despicarea liniilor spectrale emise de substane aflate n cmp magnetic. Efectul Zeeman normal apare la atomii cu un numr par de electroni, ai cror spini sunt opui doi cte doi, astfel c spinul total este nul, iar momentul magnetic total coincide cu momentul magnetic orbital. r Dac observarea se face dup o direcie paralel cu inducia magnetic B , se constat dou linii spectrale deplasate simetric fa de poziia pe care o avea linia spectral n absena cmpului magnetic. Aceste dou componente sunt polarizate circular n sensuri contrare. r Dac observarea se face dup o direcie perpendicular pe B , linia spectral iniial este despicat n trei componente, ntre care cea de la mijloc, componenta , ocup poziia r liniei spectrale corespunztoare lui B = 0 , fiind polarizat liniar (vibraiile vectorului

unde:

- 70 intensitate de cmp electric find paralele cu direcia cmpului magnetic) i alte dou linii r simetrice fa de , polarizate liniar ntr-un plan perpendicular pe B . Dac observarea se face dup o direcie care face un unghi oarecare cu direcia r induciei B , atunci componentele deplasate sunt polarizate eliptic. n cmpuri magnetice intense apar mai multe componente , iar efectul se numete anomal. Atomii cu un numr impar de electroni au spinul total nenul i de aceea prezint un efect Zeeman anomal.

Explicaia efectului se bazeaz peinteraciunea dintre cmpul magnetic de inducie r r B i momentul magnetic total M J al atomilor. Dac energia total a atomilor n absena cmpului magnetic exterior este E 0 , atunci energia atomilor n cmpul magnetic de inducie r B este: r r r r E = E 0 + E = E 0 M J B = E 0 M J B cos M J B Din relaia (2.284) rezult: eh MJ = g J (J + 1) 2m r r r r J J e eh = g J MJ = MJ r = g J (J + 1) 2m J (J + 1) h 2m J

(

)

(

)

r r r r e e E = M J B = gJ B = g B mJh (2.286) 2m 2m Pentru c m J = J , J + 1 , . . . , J 1 , J , ntr-un cmp magnetic dat, fiecare nivel energetic va fi descompus n 2J + 1 subnivele. n absena unui cmp magnetic exterior, tranziia de pe nivelul cu energia E 1 pe nivelul cu energia E 2 este urmat de emisia unei cuante de frecven: 0 = (E 1 E 2 ) / h n prezena cmpului magnetic, frecvena radiaiei emise va fi:E 1 + E 1 (E 2 + E 2 ) eh = 0 + (E 1 E 2 ) / h = 0 + B g 1 m J1 g 2 m J 2 / h 2m h eB = g 1 m J1 g 2 m J 2 (2.287) 4 m Aceast relaie arat valoarea despicrii liniilor spectrale n cazul efectului Zeeman anomal. n cazul particular S = 0 , cnd J = L i g 1 = g 2 = 1 , relaia (2.287) se transform n formula corespunztoare efectului Zeeman normal: eB = m L (2.288) 4 m =

(

)

(

)

- 71 Conform regulilor de selecie, sunt posibile numai acele tranziii pentru care:

L = 0 , 1 ; J = 0 , 1 ; m J = 0 , 1 ; S = 0

(2.289)

Hamiltonianul unui atom de hidrogen aflat n cmp magnetic (dac ignorm spinul electronului, lucru evident ireal) este: r r e H = H 0 M B = H 0 M B cos = H 0 M z B = H 0 Lz B 2m ntruct n cazul atomului de hidrogen operatorii H, H 0 i L z comut, rezult c aceti operatori admit un sistem comun de funcii proprii. Astfel ecuaiile cu valori proprii pentru aceti operatori sunt: eB = E n m l n l m H = E H 0 + Lz 2m n l ml l H 0 n l m = E 0 n l m n l l L z n l m = m l h n l m l l Din aceste trei relaii rezult: eB (2.290) m h E n ml = E 0 + n 2m l Dac nu inem seama de spinul electronului, nivelele de energie E 0 au o degenerare n de gradul n 2 (dup m l = 0 , 1 , . . . , l i l = 0 , 1 , . . . , n 1 ). Deoarece E n m l

depinde de n i m l , rezult c un cmp magnetic slab ridic degenerarea dup m l , rmnnd degenerarea dup l (degenerare de gradul n ). ntruct E = h , din (2.290) rezult relaia (2.288). r r n cmpuri magnetice foarte intense, ntre vectorii L i S nu se mai menine un cuplaj r normal i aceti vectori efectueaz precesii independente n jurul vectorului B . n acest caz are loc o despicare a liniilor spectrale analoag celei de la efectul Zeeman normal. r r n cazul n care la atomul de hidrogen interaciunea dintre vectorii L i S este mai r mare dect interaciunea dintre cmpul magnetic exterior de inducie B i momentul r magnetic total al atomului M J , se obine un efect Zeeman anomal. Folosind relaia (2.285) obinem factorul lui Land pentru strile reprezentate n figura care urmeaz.

m j = + 1 + m j = 1 m j = 0

- 72 -

Dou exemple de efect Zeeman normal sunt date mai jos.

2.9. Ecuaia lui Dirac. Momentul cinetic total al electronului relativist Ecuaia lui Schrdinger descrie micarea unor particule nerelativiste. Pentru a obine o ecuaie cuantic relativist, care s descrie micarea unui electron, se ncearc o liniarizare a expresiei: r E 2 = p2 + m0c2 (2.291) c obinut din relaia (1.60) , de forma: 3 E = i pi (2.292) c i= 0 unde: p 0 = m 0 c , p1 = p x , p 2 = p y , p 3 = p z (2.293) Din (2.291) i (2.293) obinem: 3 r E2 2 2 = p2 + m0c2 = p2 + p2 + p 2 + p0 = pi pi (2.294) x y z c2 i= 0 Ridicnd la ptrat relaia (2.292) i egalnd rezultatul cu membrul drept al relaiei (2.294) obinem:i

p = =i i 0 k 0

3

3

k pk =

i

p p =i 0

3

i

(2.295)

sau: 2 2 ( 0 p 0 + 1 p 1 + 2 p 2 + 3 p 3 )( 0 p 0 + 1 p 1 + 2 p 2 + 3 p 3 ) = p 12 + p 2 + p 3 + p 0 22 2 2 + ( 1 2 + 2 1 )p1 p 2 + ( 1 3 + 3 1 )p1 p 3 + ( 2 3 + 3 2 )p 2 p 3 = p1 + p 2 + p 3 + p 0 2

2 2 2 2 2 2 0 p 0 + 1 p1 + 2 p 2 + 3 p 3 + ( 0 1 + 1 0 )p 0 p1 + ( 0 2 + 2 0 )p 0 p 2 + ( 0 3 + 3 0 )p 0 p 3 + 2 2

1 p i p k i k = 2 p i p k ( i k + k i ) = p i p i i k i i k Identificnd coeficienii din cei doi membri rezult: i k + k i = 2 i k sau:i k + k i = 0 ,

(2.296) (2.296)

ik

- 73 i2 = 1 , i = 0 , 1 , 2 , 3

Operatorul hamiltonian asociat energiei relativiste din (2.292) se scrie sub forma: H = c ( 1 p1 + 2 p 2 + 3 p 3 + 0 m 0 c ) (2.297) unde i sunt operatori hermitici (pentru a asigura hermiticitatea lui H ) care comut cu operatorii impulsurilor i cei ai poziiilor, iar conform relaiilor (2.296) aceti operatori sunt anticomutativi. h n (2.297) obinem: nlocuind operatorii p k = i x kch 3 H = 1 k x + 0 m 0 c 2 i k= k Deoarece operatorul E este dat de relaia: E = ih t ecuaia de micare a electronului relativist (ecuaia lui Dirac) are forma: ch 3 2 i k x + 0 m 0 c = i h t k k=1

(2.298)

(2.299)

sau:

(2.300) H = i h t Ecuaia lui Dirac este invariant fa de transformrile Lorentz (fiind simetric n x, y, z i ict ), este liniar (respect principiul suprapunerii strilor) i este de ordinul nti n raport cu timpul (respect principiul cauzalitii). Calculm comutatorul: H, L z = c ( 1 p x + 2 p y + 3 p z + 0 m 0 c ) , xp y yp x =

[

] [

= c 1 [p x , x ] p y c 2 p y , y p x 1 3 2 h i ch (1p y 2 p x ) H, L z = i La fel se arat c H, L x 0 , H, L y 0 .

+ c 3 { p z , xp y [p z , yp x ] } + c 0 { m 0 c, xp y

= c 1 { p x , xp y [p x , yp x ] } + c 2 { p y , xp y p y , yp x

[

[

]

]

[

]

[

[

] [ ]} + ] [m c, yp ] } =0 x

]

[

[

]

(2.301)

]

[

]

Deoarece hamiltonianul relativist nu comut cu momentul cinetic orbital, rezult c momentul cinetic orbital al electronului nu este o constant a micrii. Introducem operatorul: (2.302) z = i 1 2 i calculm comutatorul (innd seama de (2.296): ih h H, 2 z = 2 c (1 p x + 2 p y + 3 p z + 0 m 0 c ) , 1 2 =

[

]

- 74 i hc = [1 , 1 2 ] p x + [ 2 , 1 2 ] p y + z , x y p z = 14 244 4 3 2 =0 i hc = (11 2 11 2 ) p x + ( 2 1 2 1 2 2 ) p y = 2 i hc (2 1 1 2 p x + 2 2 1 2 p y ) = i h c ( 2 p x 1 p y ) = 2 ch h (2.303) H, 2 z = i ( 2 p x 1 p y ) Adunnd (2.301) cu (2.303) obinem: h (2.304) H, L z + 2 z = 0 Rezult c mrimea reprezentat prin operatorul h J z = Lz + z (2.305) 2 este o constant a micrii relativiste a electronului liber. Mrimea J z este proiecia pe axa r h Oz a momentului cinetic total J . Astfel termenul z trebuie s