UNIVERZITET U NIŠU

TEHNOLOŠKI FAKULTET U LESKOVCU

ELEKTROTEHNIKA Predavanja:

Sreten Stojanović

Računske vežbe:

Miloš Stevanović

Laboratorijske vežbe:

Miloš Stevanović

ISPIT AKTIVNOSTI POENI NAPOMENA

Predispitne obaveze

predavanja 5 min

30 praktična nastava 15

kolokvijumi 50

Završni deo ispita test provere znanja 30

Poeni Ocene

51-60 6

61-70 7

71-80 8

81-90 9

91-100 10

LITERATURA Predavanja:

1. S. Stojanović, Elektrotehnika, PDF Prezentacija predavanja, 2013.

2. A. Đorđević, Osnovi elektrotehnike 1-4, Akademska misao,Beograd, 2013.

3. D. Mitić, “Elektrotehnika I, II”, Petrograf, Niš, 2007, 2008. 4. M. Cvetković, Elektrotehnika, Tehnološki fakultet, Leskovac,

1990.

Vežbe (računske):

5. Đ. Vukić, Zbirka ispitnih zadataka iz elektrotehnike, Poljoprivredni fakultet Beograd, 2003.

6. D. Mitić, Elektrotehnika I, II u obliku metodičke zbirke zadataka”, Petrograf, Niš, 2007, 2008.

Vežbe (laborat.):

7. I. Mladenović, S. Stojanović: Elektrotehnika sa elektronikom, praktikum za laboratorijske vežbe, Tehnološki fakultet, Leskovac, 2003.

Sadržaj predmeta:

1. Elektrostatika

2. Elektrokinetika

3. Magnetizam

4. Naizmenične struje

1. ELEKTROSTATIKA

Elektrostatika je nauka o elektricitetu.

Ona proučava:

- elektricitet u stanju mirovanja,

- raspored elektriciteta na telima,

- uzajamno dejstvo naelektrisanih tela, ...

1.1 NAELEKTRISANJE ELEMENTARNIH ČESTICA

Naelektrisanje je svojstvo subatomskih čestica (elektrona, protona)

Elektron je čestica koja nosi elementarno negativno naelektrisanje. 191 1.60 102e C

Proton je čestica koja nosi elementarno pozitivno naelektrisanje.

191 1.602 10e C

Jedinica naelektrisanja je kulon C: 181 6.242 10C e

Napomena: 1C je veoma velika veličina - koriste se manji delovi C:

1mC, 1C, 1nC,...

Koristeći pojam naelektrisanja mogu se objasniti električne i magnetne INTERAKCIJE između naelektrisanih tela (čestica).

1.1.1 NAELEKTRISANJE TELA

Jednako je algebarskom zbiru naelektrisanja svih njegovih čestica.

Oznake za naelektrisanje tela:

Q (Const.), q i q(t) (promenljivo)

Naelektrisanje tela: Q = ±Ne

N – broj elementarnih naelektrisanja

ELEKTROSTATIKA proučava statički elektricitet

Q je nepokretno i nepromenljivo u vremenu

Zakon o održanju elektriciteta:

U zatvorenom sistemu ukupna količina naelektrisanja uvek ostaje ista.

1.2 MEĐUSOBNO DELOVANJE NAELEKTRISANIH TELA

Dejstvo između naelektrisanih čestica (tela) opisuje se pomoću

elektrostatičkih sila.

Ove sile mogu biti privlačne ili odbojne.

(+)(+) ili (-)(-) odbijanje

(+)(-) privlačenje

Definicija. Tačkasto naelektrisanje je naelektrisano

telo čije dimenzije u datim uslovima možemo zanemariti.

A

tačkasto naelektrisano telo

1.2.1 KULONOV ZAKON

Definiše električnu silu između dva tačkasta naelektrisanja u vakumu:

1 212 21 2

Q QF F F k N

r

9 2 2

0

19 10

4k Nm C

12F - sila kojim prvo naelektrisanje deluje na drugo

21F - sila kojim drugo naelektrisanje

deluje na prvo

Dielektrična konstanta vakuma:

12 2 2

0 8.85 10 C Nm Q

1

Q2

r

F12

F21

F21

=F12

=F

+

+

1 2

2

Q QF k

r

1 2 0 0Q Q F - odbojna sila

1 2 0 0Q Q F - privlačna sila

1 2

2

Q QF k

r - algebarska vrednost sile (sa predznakom, 0, 0F F )

1 2

2

Q QF k

r - intenzitet sile (skalarna vrednost) ( 0F )

+ -

+ +

VEKTORSKI OBLIK SILE

1 212 122

Q QF k r

r

1 2

2

Q Qk

r - algebarska vrednost

12r - jedinični vektor usmeren od

prvog ka drugom naelektrisanju.

1 221 212

Q QF k r

r

21r - jedinični vektor usmeren od

drugog ka prvom naelektrisanju

21 12 12 21r r F F

+ +

+ +

+ -

+ -

-Q2

r13

r23

F13

F23

F

+Q1

+Q3

TEOREMA SUPERPOZICIJE

Rezultujuća sila kojom n tačkastih naelektrisanja deluju na dato

naelektrisanje jednaka je vektorskom zbiru svih električnih sila kojima

pojedinačna naelektrisanja deluju na dato naelektrisanje:

1

n

i

i

F F

Primer.

1 3

13 2

13

Q QF k

r ,

2 3

23 2

23

Q QF k

r

Kosinusna teorema:

2 2 2

13 23 13 232 cosF F F F F

1.3 ELEKTROSTATIČKO POLJE

To je posebno fizičko stanje u okolini nepokretnog naelektrisanog tela.

Opisuje se vektorom jačine elektrostatičkog polja E .

E se definiše se preko Kulonove sile i probnog naelektrisanja pq .

Probno naelektrisanje je tačkasto naelektrisanje naelektrisano malom količinom

pozitivnog naelektrisanja ( 0)pq tako da ono svojim električnim poljem ne utiče

na spoljašnje električno polje.

Vektor jačine elektrostatičkog polja

p

FE

q ,

N

C

E brojno je jednaka količniku Kulonove sile koja deluje na probno nalektrisanje i kol. probnog

naelektrisanja. E ima pravac i smer sile F koja deluje na pq .

0r - jedinični vektor

usmeren od izvora

polja ka spolja

1.3.1 ELEKTROSTATIČKO POLJE USAMLJENOG TAČKASTOG

NAELEKTRISANJA

Vektor jačine elektrostatičkog polja

02

02

p

p p

Qqk r

F QrE k rq q r

N

C

02

QE k r

r

0Q E je istog smera kao 0r

E je usmereno od Q

0Q E je supr. smera od 0r

E je usmereno ka Q

+

-

+ +

2

QE k

r - algebarska vrednost

2

QE k

r - skalarna vrednost

1.3.2 ELEKTRIČNO POLJE SKUPA TAČKASTIH NAELEKTRISANJA

2n tačkasta naelektrisanja

1 21 2 01 022 2

0 1 2

2

0210

1

4

1

4

ii

i i

Q QE E E r r

r r

Qr

r

n n tačkastih naelektrisanja

021 10

1

4

n ni

i i

i i i

QE E r

r

2E

E 1E

+

-

1.3.3 RASPODELA NAELEKTRISANJA NA TELIMA

LINIJSKA RASPODELA NAELEKTRISANJA

Naelektrisanje je raspodeljeno duž tanke niti (linijsko naelektrisanje)

Podužna gustina naelektrisanja:

Konstantna podužna gustina naelektrisanja ( ) .Q l Q Const

( )C m na l

QQ Q Q l

l

Promenljiva podužna gustina naelektrisanja ( )Q l :

( )

( )na dldQ

Q ldl

( ) ( )na dldQ Q l dl

POVRŠINSKA RASPODELA NAELEKTRISANJA

Naelektrisanje je raspodeljeno po površini (površinsko naelektrisanje) Površinska gustina naelektrisanja ( )S :

Konstantno površinska gustina naelek. ( ) .S Const

2

(n S)C m a

QQ S

S

Promenljiva površinska gustina naelek.

(n dS)( )

adQS

dS (n dS) ( )adQ S dS

dS

ZAPREMINSKI RASPODELA NAELEKTRISANJA

Naelektrisanje je raspodeljeno po zapremini V

Zapreminska gustina naelektrisanja ( )V :

Konstantna zapreminska gustina naelek. ( ) .V Const

3

(n V)C m a

QQ V

V

Promenljiva zapreminska gustina naelek.

(n dV)( )

adQV

dV (n dV) ( )adQ V dV

dV

V

1.3.4 PREDSTAVLJANJE ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Linije elektrostatičkog polja su zamišljene linije u elektrostatičkom polju u

čijim tačkama se vektor E ponaša kao tangenta.

Smer linija polja je određen smerom

vektoraE .

Q1<0 Q2>0

A tangenta E

linija polja

Linije polja u okolini „+“ usamljenog tačkastog naelektrisanja

Linije polja u okolini

dva tačkasta „+“ i „-„

naelektrisanja

EKVIPOTENCIJALNE POVRŠI U ELEKTROSTATIČKOM POLJU

Ekvipotencijalne površi u elektrostatičkom polju su zamišljene površine u elektrostatičkom polju kroz koje linije polja prolaze pod pravim uglom.

1.4 FLUKS ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Fluks elektrostatičkog polja E kroz površinu S predstavlja gustinu linija elektrostatičkog polja kroz tu površinu.

To je skalarna veličina.

Fluks ( ) homogenog elektrostatiškog polja E

S S n - vektor površine

n - vektor jedinične normale na površ S

cos nE S n E S E S

S

Specijalni slučajevi:

0 , onda maxES

090 , onda 0

Fluks ( ) nehomogenog elektrostatičkog polja E

Elementarni fluks vektora jačine električnog polja E kroz površ dS:

nE - komponenta električnog polja duž normale na površ.

Ukupni fluks E kroz površinu S:

1.4.1 GAUSOVA TEOREMA

Fluks vektora jačine električnog polja E kroz zatvorenu površinu S jednak je količniku algebarskog zbira svih količina naelektrisanja koja su obuhvaćena tom površinom i dielektrične konstante vakuma 0 :

Namena. Gausova teorema služi za određivanje elektrostatičkog polja naelektrisanih tela koja imaju neku simetriju.

+ - + +

+

- +

+

PRIMENA GAUSOVE TEOREME

Usamljeno tačkasto naelektrisanje u vakumu

Za zatvorenu površ S usvajamo loptu sa centom u tačkastom naelektrisanju.

2

0

4S S

QEdS EdS r E

2 2

04

Q QE k

r r

Q

S

+

Površinski naelektrisana metalna sfera

Za zatvorenu površ S usvajamo loptu čiji se centar poklapa sa centom sfere.

r R

2

0

4S S

QEdS EdS r E

,

Q Q 2 2

04

Q QE k

r r

24Q S R 2 2

2 2

0 0

4

4

R RE

r r

2

2

0

RE

r

r R 0E , jer u unutrašnjosti sfere nema naelektrisanja

Površinski naelektrisana beskonačna ravan

Za zatvorenu površ S usvajamo valjak simetrično postavljen u odnosu na naelektrisanu ravan.

Q S , 1 2S S S

simetrija 1 2E E E

0 1 2

1 2

0 1 2

0

1 2

1 2

0 0

0 2

2

S S S S

S S

EdS EdS EdS EdS

EdS EdS

ES ES ES

Q SES

02E

, Polje je homogeno (ne zavisi od rastojanja od ravni)

Dve površinski naelektrisane beskonačne ravani sa suprotnim

naelektrisanjima

1 2

02E E

Polje van ploča ne postoji:

1 2 0E E E

Polje između ploča je homogeno a njegov intenzitet iznosi:

1 2 1

0 0

2 22

E E E E

0

E

1.4.2 POTENCIJAL ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Definicija. Potencijal proizvoljne tačke A elektrostatičkog polja E u odnosu na referentnu tačku R definiše se kao:

R

A

A

V Edl V

Zakon cirkulacije u elektrostatičkom polju:

0C

Edl , C – zatvorena kontura

Potencijal taške A ne zavisi od oblika putanje već samo od početne i referentne tačke.

1 2

A

L L

V Edl Edl , - dve proizvoljne putanje L1 i L2 od A do R

Za potencijal referentne tačke usvaja se vrednost 0: 0

R

R

R

V Edl

ODREĐIVANJE POTENCIJALA NEKIH NAELEKTRISANIH TELA

Potencijal usamljenog tačkastog naelektrisanja ( Rr )

Jačina polja: 2

QE k

r

Potencijal: putanje A-R i A-B-R

0

2 2

1 1R R

B A A

E dlE dlR B R R

EdlA A B B

r r

r r r A R

Edl Edl Edl Edl

Q drk dr

r rk Q

rk

rQ

Za ,R Ar r r ,

0

( )4

Q QV r k

r r

Q

R

A

rR rA

+ +

B

Potencijal površinski naelektrisane metalne sfere ( Rr )

r R , 2

QE k

r

2 2

2

0 0 0 0 0

1 4

4 4 4 4

RR

A A

rrR

A

A A AA r r

Q dr Q Q R RV Edr

r r r r r

,

2

0

( )R

V rr

r R , 2

QE k

r

2

0 0

( )R R

V RR

,

0

( )R

V R

r R , 0E

2

0 0

( ) 0 ( )4

A

R

r R R

Q drV r E dr Edr V R

r

0

( )R

V r

,

Potencijal unutar metalne sfere je 0 iako je jačina

električnog 0E .

Potencijal u polju dve naelektrisane ravani ( Rr d )

0

E

,

0

?

0 0

R R

A A

r rR R

RA A

A A r r

rV Edr Edr dr dr r

Referentna tačka se usvaja na negativnoj ploči ( Rr d ):

0

( )V r d r

r

V

d

?

1.4.3 NAPON ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Napon elektrostatičkog polja između dve tačke jednak je razlici potencijala

tih tačaka. R R B R R B

AB A B

A B A B B A

A R

U V V Edl Edl Edl Edl Edl Edl

B

AB A B

A

U V V Edl V

- Napon ne zavisi od oblika putanje između tačaka A i B , već od položaja ovih tačaka.

- Napon između bilo koje dve tačke jedne ekvipotencijalne površine je 0.

0

B

A B

E dlA

U V V Edl

(na ekvipotencijalnoj površi važi E dl )

+

E

R

A

+

B

1.4.4 ELEKTROSTATIČKI DIPOL

Elektrostatički dipol čine dva tačkasta naelektrisanja, Q i

Q , postavljena na malom međusobnom rastojanju.

Električni moment dipola: p Qd

Vektorski oblik: p Qd

Posmatramo N dipola proizvoljno orjentisanih u određenoj zapremini V.

Vektor polarizacije predstavlja zapreminsku gustinu električnih mometa

posmatranih dipola

ipP

V

1.5 RAD U ELEKTROSTATIČKOM POLJU I POTENCIJALNA ENERGIJA

NAELEKTRISANJA

RAD U ELEKTROSTATIČKOM POLJU

Rad elektrostatičkih sila pri pomeranju naelektrisanja q iznosi

0eFA - rad vrši električna sila

0eFA - rad je izvršen protiv električne sile (rad vrši spoljna sila)

B

A

+

B

e

A

B

A

A

A

B

B

F dl

q E dl

qU

A

q V V

POTENCIJALNA ENERGIJA NAELEKTRISANJA

Neka je B referentna tačka sa nultim potencijalom: 0BV

Odredimo rad koji vrši spoljna sila iF protiv sile električnog polja

pri premeštanju naelektrisanja q iz R u datu tačku A

elektrostatičkog polja:

0A

A

A

A q V

qV

W

Potencijalna energija naelektrisanja u datoj tački elektrostatičkog polja ( )AW brojno je jednaka radu koji izvrši spoljna sila pri premeštanju ovog

naelektrisanja iz referentne tačke u datu tačku polja.

A

+

1.6 ELEKTRIČNO POLJE U SUPSTANCAMA

Podela supstanci u odnosu na sadržaj slobodnih elementarnih nosioca

naelektrisanja:

Provodnici – sadrže veliki broj slobodnih elementarnih naelektrisanja

srebro, zlato, platina, bakar, aluminijum, gvožđe,…

Dielektrici – skoro da ne sadrže slobodna elementarna naelektrisanja

staklo, porcelan, PVC, kvarc

Poluprovodnici – sadrže manji broj slobodnih nosioca naelektrisanja

silicijum, germanijum

1.6.1 PROVODNICI U ELEKTRIČNOM POLJU

USAMLJEN PROVODNIK U ELEKTROSTATIČKOM POLJU U VAKUMU

Pod dejstvom polja E , dolazi do kretanja slobodnih elektrona u provodniku u suprotnom smeru od linija polja.

Elektroni dolaze do ivice provodnika i prestaju sa daljim kretanjem (stacionarno stanje).

Posledica: u prisustvu spoljašnjeg polja dolazi do vrlo brze preraspodele slobodnih elektrona unutar provodnika.

Zaključak. Pošto nema usmerenog kretanja elektrona unutar provodnika, elektrostatičko polje unutar

provodnika ne postoji, tj. 0uE .

+ + +

- - -

GRANIČNI USLOVI

Posmatrajmo provodnik u vakumu koji se nalazi u spoljašnjem elektrostatičkom

polju E .

I granični uslov Tangencijalna komponenta elektrostatičkog polja uz površinu provodnika jednaka je nuli.

0tE

Linije električnog polja su normalne na površinu provodnika!

II granični uslov Normalna komponenta elektrostatičkog polja koja dodiruje površinu provodnika proporcionalna je površinskoj gustini slobodnih nosilaca naelektrisanja.

UTICAJ OBLIKA TELA NA RASPODELU SLOBODNIH NOSIOCA

provodnik

vakum

+ + + +

+ +

+

+

0

nE

NAELEKTRISANJA

Posmatramo dva provodna sferna tela (a b) povezana provodnikom

( )a bV V . Uporedimo Q, i E na njihovim površinama.

0 0

0 0

1.4 4

4 4

a ba

a b b

b aa bb

Q QaV

Q Q Qa db

Q QQ QV

b d

2. 24

aa

Q

a

,

24

bb

Q

b

2 2

2 2

/ ( / ) /1

/ /

a a b

b b b

Q a a b Q a b

Q b Q b a

a b

3. 0

0

/1

/

a a a

b b b

E

E

a bE E

Površinska gustina naelektrisanja veća je na manjim telima (oštre ivice)

Količina naelektrisanja veća je na većem predmetu

Polje je jače na oštrijim ivicama predmeta (princip rada gromobrana)

Primeri raspodela naelektrisanja na provodnim telima

Na graničnoj površini provodnik-vakum važi:

0tE 0/nE

Površinska gustina slobodnih naelektrisanja je veća na oštrijim površinama.

Ječina eleltrostatičkog polja unutar provodnika jednaka je nuli.

ELEKTRIČNI KAPACITET (KAPACITIVNOST)

Kapacitivnost usamljenog provodnog tela

Posmatramo usamljeno provodno naelektrisano telo sa kol. nael. Q i

potencijalom R

M

V Edl na površini.

Kapacitivnost usamljenog provodnog tela se definiše kao količnik njegove

količine naelektrisanja Q i potencijala V :

R

M

Q QC

VEdl

Primer. Kapacitivnost sferičnog naelektrisanja poluprečnika r a

04

QV

a

0

0

4/ 4

QC a

Q a

, 04C a

Kondenzator i njegova kapacitivnost

Kondenzator je sistem od dva blisko postavljena provodna tela (elektrode) naelektrisana istom količinom naelektrisanja ali suprotnih znakova.

Kapacitivnost kondenzatora se definiše kao količnik količine naelektrisanja Q i napona

između elektroda kondenzatora: Q

CU

Primer. Pločasti kondenzator

0 0 0

B B B

A A A

QU Edl Edl dl d d

S

0SQC

U d

1.6.2 DIELEKTRICI U ELEKTROSTATIČKOM POLJU

Dielektrik je materijal koji, idealizovano posmatrano, nema slobodnih

naelektrisanja.

Dielektrični materijali:

- čvrsti - papir, staklo, guma, PVC, ….

- tečni – čista voda, transformatorsko ulje, …

- gasoviti – vazduh, vodonik, …

Atom dielektrika je električno neutralan.

Molekuli dielektrika mogu biti polarni i nepolarni.

Kod nepolarnih dielektrika, centri pozitivnog i negativnog naelektrisanja poklapaju se.

Kod polarnih, centri pozitivnog i negativnog naelektrisanja ne poklapaju se.

POLARIZACIJA ATOMA DIELEKTRIKA

Dielektrik u stranom elektrostatičkom polju E :

Dolazi do pomeranja centara pozitivnog i negativnog naelektrisanja atoma dielektrika.

Nastaje diplol, čiji je električni moment:

p Qd

Električni moment dipola srazmeran je jačini

elekrostatičkog polja:

p E E

- koeficijent polarizacije atoma

isti je za sve atome jednog dielektrika

POLARIZACIJA DIELEKTRIKA KAO CELINE

pre polarizacije nakon polarizacije

- E - strano polje, pE - polje usled polarizacije,

rE - rezultujuće polje u dielektriku

- Nakon polarizacije, na površini dielektrika javlja se tzv. vezano naelektrisanje površinska gustine v .

- Unutrašnjosti dielektrika je električno neutralna.

- Polarizacuju dielektrika opisujemo vektorom

polarizacije /iP p dV .

- Za linearan dielektrik važi: P E

E

Negativno vezano naelektrisanje

Pozitivno vezano naelektrisanje

Polarizovani molekuli

0E

0E

strano polje

POVRŠINSKA GUSTINA VEZANIH NAELEKTRISANJA U DIELEKTRIKU

Površinska gustina vezanog naelektrisanja po brojnoj vrednosti jednaka je normalnoj komponenti vektora polarizacije

v nP

Za linearan dielektrik (P E ):

v nE

+ + + +

+ +

+

+

dielektrik

vakum

UTICAJ DIELEKTRIKA NA JAČINU ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Posmatramo provodnik i linearni dielektrik u

spoljašnjem električnom polji E .

Veza između v i na graničnoj površi između

provodnika i linearnog dielektrika iznosi:

1 rv

r

Zaključak: Sa pozicije elektrostatike,

dielektrik možemo zameniti sistemom

naelektrisanja površinske gustine jednaka v

koja se nalaze u vakumu uz površinu provodnika.

provodnik

linearni

dielektrik

+ + + +

+ +

+

+

+ +

+

- - - -

- -

-

-

- -

provodnik

dielektrik zamenjen

vakumom

+ + + +

+ +

+

+

+ +

+

- - - -

- -

-

-

- -

Superpozicija:

u v

r

u

r

u

r

E

0 0

, E

,

r

EE

0

Zaključak:

1. Prisustvo dielektrika smanjuje površinsku gustinu slobodnih nosioca naelektrisanja u provodniku r puta.

2. Prisustvo dielektrika smanjuje elektrostatičko polje r puta.

provodnik

dielektrik zamenjen

vakumom

+ + + +

+ +

+

+

+ +

+

provodnik

vakum

+ + + +

+ +

+

+

+ +

+

Primer. Pločasti kondenzator

- sa vakumom između elektroda

0

0

E

,

0 0

SC

d

- sa dielektrikom izmeću elektroda

u v

r

,

u

r

, 0

r

EE

0

0

r

r

Q Q S SC

U Ed dd

0 0r r

SC C

d

ZAPREMINSKA GUSTINA ENERGIJE ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Posmatramo pločasti kondenzator sa linearnim dielektrikom

E

Zapreminska gustina energije elektrostatičkog polja iznosi:

2

1 1 1

2 2 2

1

2

e

V

e

W QU SEd EE Sd

E V w V

2

3

1

2e

Jw E

m

eW je lokalizovana u prostoru gde postoji elektrostatičko polje, bez obzira

da li je taj prostor ispunjen vakumom ili nekim dielektrikom.

1.6.3 MEĐUSOBNO VEZIVANJE VIŠE KONDENZATORA

REDNA VEZA KONDENZATORA

1 2 1 1 2 2

1 2

1 21

1 1

,

1 1 1

n n ne

ni

nn

e i

qUq q q C U C U C U

C

U U U U qC

C CC C

2 kondenzatora: 1 2

1 2

e

C CC

C C

PARALELNA VEZA KONDENZATORA

Uslovi:

1 1 2 2

1 2 1 2

1

,, , en n

nn

e i

i

n

qU

Cq C U q C U q C U

q q q q C CC

CC

U

MEŠOVITA VEZA KONDENZATORA

23 2 3C C C

1 2 31 2313

1 23 1 2 3

C C CC CC C

C C C C C