Zadanie 6

Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6) w danym obwodzie stosując metodę węzłową.

1

Dane: R1 = 3 Ω, R2 = 3 Ω, R4 = 3 Ω, R5 = 3 Ω, R6 = 3 Ω, E1 = 12V, E8 = 6V

1 etap – zamieniamy rzeczywiste źródła napięciowe na prądowe. Jeden z węzłów „uziemiamy” – przyjmujemy za węzeł odniesienia o potencjale zerowym (V0 = 0). 2 etap – obliczamy potencjały węzłowe oraz prądy gałęziowe.

2

3

111 2 3

1 1 1 31S

3 3 3 3

1 1 1G

R R R

223 5 4

1 1 1 31S

3 3 3 3

1 1 1G

R R R

332 4 6

1 1 1 31S

3 3 3 3

1 1 1G

R R R

4

12 213

1G

1G

3RS

23 325

1G

1G

3RS

13 312

1G

1G

3RS

1 2źw1

1 2

E E 12 64 2 6I A

3R R 3

źw2I 0

2źw3

2 3

EAI

R

62

5

11 12 13 źw11

21 22 23 2 źw2

331 32 33 źw3

G G G IV

G G G V I

VG G G I

2

0

6

V

V

V

131

31

31

131

31

31

1

3

2

1

6

31

31

131

31

131

31

31

31

131

31

11

131

31

31

131

31

31

1

W

931

31

913

31

98

31

91

31

91

31

31

91

11

2716

3916

39824

398

98

94

31

31

94

98

7

31

2

10

31

1231

0

31

131

31

16

131

2

31

10

31

31

6

W1

9

32248

3

2

33

2

9

862

3

1

3

2

3

1

9

116

940

96248

1 40 27 157,5V

9 1W 6

W

2 V1

8

2

31

031

31

131

31

31

61231

01

1231

31

031

31

61

W2

9

16

9

2466

9

2

9

46

3

2

3

2

3

1

9

1

3

16

3

21

2 16 273V

9

W

W 16 V2

9

2

31

131

6

231

031

31

231

011

231

31

0131

631

1

W3

98

924218

931

692

231

91

632

31

21

V1,523

1627

98

WW3 V3

10

1 1

1

0+12 7,5 4,51,5A

3 3

0+E V

R

1 2 3

2

7,5 6 1,5V E V

R

7,5 7,50

3 3

1 2

3

7,5 3 4,51,

V

R5A

3 3

V

2

4

A3

0

R1

V 3

2 3

5

3 1,5 1,50,5A

3

V V

R 3

3

6

1,5 00,

V5A

0

R 3

I2

I3

I4

I5

I6

I1

11

K

źr22źr11Kźr,Kźr,gen W18061,512IUIUIUP

K

kKodb IRP 2222222 5,015,05,105,13

W18630,25212,252,253

Bilans mocy

czy Pgen = Podb ?

Wniosek: Pgen = Podb.

12

Twierdzenie TheveninaKażdy dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych dwóch zacisków a, b zastąpić obwodem równoważnym złożonym z połączonego szeregowo jednego idealnego źródła napięcia Uo i jednej rezystancji zastępczej Rz.

RRU

Iz

o

gdzie: U0 – napięcie w stanie jałowym , Rz – rezystancja zastępcza, R – rezystancja odbiornika.

13

Napięcie idealnego zastępczego źródła napięcia Uo jest równe napięciu, jakie wystąpi na zaciskach a, b po odłączeniu odbiornika o rezystancji R, tzn. jest to napięcie w stanie jałowym.

Rezystancja zastępcza Rz jest równa rezystancji widzianej z zacisków a, b po zwarciu wszystkich źródeł napięcia i rozwarciu wszystkich źródeł prądu.

14

Zadanie 8

Oblicz wartość prądu I6 w danym obwodzie stosując twierdzenie Thevenina i metodę oczkową.

15

16

Zamiana połączenia rezystorów z gwiazdy w trójkąt (λ → Δ)

17

Ω93

3333

R

RRRRR

3

212112

Ω9333

33R

RRRRR

1

323223

Ω93

3333

R

RRRRR

2

311331

18

94

913

91

31

R1

R1

R1

311131

4/9R131

94

931

31

91

R1

R1

R1

212122

4/9R122

19

Z 131 122 23

1 1 1 1 1 2 1 2 1 39R R R R 9 9 9 9 924

Z

9R Ω 3Ω

3

20

Metoda oczkowa obliczania napięcia w stanie jałowym (Uo)

21

R11 = R1 + R3 + R5 = 3 + 3 + 3 = 9R22 = R2 + R4 + R3 = 3 + 3 + 3 = 9R12 = R21 = – R3 = – 3E11 = E1 = 12, E22 = – E2 = – 6

0111 12 11

21 22 o2 22

IR E

R I E

R

R

6

12

I

I

93

39

o2

01

22

7298193

39W

1

12 3W 12 9 3 6 108 18 90

6 9

1W 901,25A

W 72 I01

1836543126963

129W2

A0,257218

WW2 I02

I5

I4

= I01 = 1,25 A

= I0 = – 0,25 A

23

o

Z 6

U 3 30,5A

R R 3 3 6

I6

Uo = I5 • R5 + I4 • R4 = 1,25 • 3 – 0,25 • 3 = 3 (1,25 – 0,25) = 3 V

24

Metoda potencjałów węzłowych obliczania napięcia w stanie jałowym (Uo)

25

źw3

źw2

źw1

3

2

1

333231

232221

131211

I

I

I

V

V

V

GGG

GGG

GGG

26

133

31

31

31

R1

R1

R1

G321

11

32

31

31

R1

R1

G51

22

334 2

1 1 1 1 2G [ ] [ ]

R R 3 3 3

31

R1

G1

12

31

R1

G2

13

0G23

27

1 2źw1 1 2

1 2

E E 12 6I 4 2 6

R R 3 3ŹR ŹRI I

4RE

I1

1źw2

326

RE

I2

2źw3

3

4

6

V

V

V

32

031

032

31

31

31

1

3

2

1

28

0

31

32

31

31

32

31

031

31

32

0

032

1

32

031

032

31

31

31

1

W

94

92

31

92

31

94

2

11 6

1 134 0 0 4

1 13 3W 4 0 1 621 2 13 32

231 2 3 3 323 3

9

2

9

12

3

8

3

2

3

1

9

12

3

8

3

4

3

2

3

1

9

26

3

8

914

91024

910

38

29

V3,527

49

914

WW2

0

31

32

31

6

231

431

31

20

432

1

2031

432

31

631

1

W3

92

91012

910

34

912

92

34

92

634

32

31

34

1

V0,521

49

92

WW3

V2

V3

30

31

U30 = V3 – 0 =

0,5 V

U20 = V2 –0 =

- 3,5 V

U23 = U30 +

U20

U23 = – 3,5 +

0,5 = – 3,0 V

Uo ≡ V3 – V2

= (– U23) = 3,0 Vo

6Z

U 3,0I 0,5A

R R 3,0 3,0

32

Zadanie 9

Oblicz wartość prądu I2 w danym obwodzie stosując twierdzenie Thevenina

i metodę węzłową.Dane: R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 2 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 1,0 Ω,

E1 = 12 V, E2 = 24 V, E3 = 36 V, E4 = 48 V, E6 = 30 V

33

o

z

UI

R R

Uo – napięcie w stanie jałowym, Rz – rezystancja

zastępcza, R – rezystancja odbiornika

34

122

21

21

R1

R1

R1

3443

z 1 543

z

1 1 1 1 1 21

R R R 2 2 2

R 1

R43 = 1 Ω

R543 = R5 + R43 = 1 + 1 = 2 Ω

35

G • V = Iźw

G11 • V1 = Iźw1

34

68

6332

21

21

31

R1

R1

RR1

G4315

11

Prąd źródła wypadkowego w węźle 1

Iźw1 = Iźr + Iźr3 – Iźr4 = – 6 + 18 – 24 = – 12 A

Iźr = Iźr1 - Iźr6

gdzie:61

źr1 5 1 5

EE 12 30 18I 6A

R R R R 3 3

36

Prąd źródła 3

A182

36RE

I3

3źr3

4źr4

4

-E -48I 24A

R 2

12V3

41 V9

4

312V1

Prąd źródła 4

,

37

Suma spadków napięć

w oczku dużym

Ix (R1 + R5) + (0 – V1)

– E6 + E1 = 0

Ix (1 + 2) + 9 – 30 +

12 = 0A3

3

9

3

30129Ix

Suma spadków napięć w oczku małym

E1 + Ix • R1` – Uo = 0

Uo = E1 + Ix • R1 = 12 + 3 • 2 = 12 +6 = 18 V

o 2

2 z

U E 18 24 4214A

R R 2 1 3

I6

stąd:

38

Twierdzenie Nortona

Dowolny aktywny obwód liniowy prądu stałego można od strony wybranych dwóch zacisków a, b zastąpić obwodem równoważnym złożonym z połączonego równolegle jednego idealnego źródła prądu Iźr oraz jednej konduktancji zastępczej Gz.

Uz – napięcie zwarcia

Gz – konduktancja zastępcza

Rz – rezystancja zastępcza

39

Prąd źródłowy Iźr zastępczego źródła prądu jest równy (Iźr ≡ IZ)

prądowi zwarcia zacisków a, b, do których dołączony jest odbiornik o rezystancji R.

Konduktancja zastępcza Gz jest równa konduktancji widzianej z

zacisków a, b po zwarciu wszystkich źródeł napięcia i rozwarciu wszystkich źródeł prądu.

zZ

GI I

G G

0z z

z

1 1G ,...G ,...I

R R Z

U

R

gdzie: I – prąd płynący przez odbiornik, Iz – prąd zwarcia,

Gz – konduktancja zastępcza

obwodu, G – konduktancja odbiornika. Uo – napięcie w stanie jałowym.

40

Wyprowadzenie wzoru na prąd płynący przez odbiornik z twierdzenia Thevenina

zz

z

z

z

z

o

z

o I

G

G1

1

R

R1

I

R

R1

R

U

RRU

I

zz

0z

GI I

G G

:

IZ

gdzie

U

R

stąd:

G – konduktancja odbiornikaGz – konduktancja zastępcza obwodu

Iz – prąd zwarcia

Uo – napięcie w stanie jałowym

41

Zadanie 10

Oblicz wartość prądu I6 w danym obwodzie stosując twierdzenie

Nortona i metodę oczkową.

Dane: R1 = 3 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 3 Ω, R5 = 3 Ω, R6 = 3 Ω,

E1 = 12 V, E2 = 6 V

oz z

z z

G UI I ..... : I

G G R

1 1,... z

z

gdzie

G GR R

42

43

Zamiana połączenia rezystorów z gwiazdy w trójkąt (λ → Δ)

3

212112 R

RRRRR

3

121221 R

RRRRR

2

131331 R

RRRRR

44

131 1 31

1 31131

1 31

1 1 1

R R R

R RR

R R

45

46

Metoda oczkowa obliczania napięcia w stanie jałowym (Uo)

47

R11 = R1 + R3 + R5 = 3 + 3 + 3 = 9

R22 = R2 + R4 + R3 = 3 + 3 + 3 = 9

R12 = R21 = – R3 = – 3

E11 = E1 = 12,

E22 = – E2 = – 6

48

0111 12 11

21 22 o2 22

IR E

R I E

R

R

6

12

I

I

93

39

o2

01

7298193

39W

1

12 3W 12 9 3 6 108 18 90

6 9

1W 901,25A

W 72

1836543126963

129W2

I01

49

A0,257218

WW2 I02

I5 = I01 = 1,25 A

I4=

I02 = – 0,25 A

Uo = I5 • R5 + I4 • R4 = 1,25 • 3 – 0,25 • 3 = 3 (1,25 – 0,25) = 3 V

06

Z 6 Z 6

G G

G Gzz

UI I

G G R

A5,02

11

3

23

1

3

3

3

1

3

13

1

I6

50

Zadanie 11Oblicz wartość prądu I2 w danym obwodzie stosując a) twierdzenie

Thevenina b) twierdzenie Nortona oraz metodę węzłową.Dane: R1 = Ω, R2 = Ω, R3 = Ω, R4 = Ω, R5 = Ω,

E1 = V, E2 = V, E3 = V, E4 = V, E6 = V

o

z

UI

R R

Uo – napięcie w stanie jałowym, Rz – rezystancja zastępcza,

R – rezystancja odbiornika

51

52

Zadanie 12

Oblicz wartość prądu I3 w danym obwodzie stosując a) twierdzenie

Thevenina b) twierdzenie Nortona oraz metodę węzłową.

Dane: R1 = 3 Ω, R2 = 3 Ω, R4 = 3 Ω, R5 = 3 Ω, R6 = 3 Ω,

E1 = 12V, E8 = 6V