Elektronik Översikt Kapacitanser, induktanser, transienter · fältet, vilket skapar en spänning över ledaren (Faraday’s lag) Ledaren beter sig således som en idealinduktor

Elektronik

Kapacitanser, induktanser, transienter

Pietro AndreaniInstitutionen för elektro- och informationsteknik

Lunds universitet

Översikt

• Kapacitanser (C) och induktanser (L)

• Strömmar och spänningar i kapacitanser och induktanser• Ömsesidiga induktanser (transformator)• Energi i kapacitanser och induktanser• RC och RL kretsar• Transientsvar och steady-state svar• Andraordningens RLC kretsar

Elektronik Kapacitanser, induktanser, transientsvar 2

Kapacitanser och induktanser

Kapacitanser lagrar energin i elektriska fält

Induktanser lagrar energin i magnetiska fält


Plattekondensator

Den enklaste kondensatorn, plattkondensatorn, utgörs av två parallellaledande plattor separerade av ett tunt skikt isolerande material

Om en ström elektroner flödar uppåt in i den nedersta plattan, skapas detett elektriskt fält som tvingar elektroner att lämna den översta plattan.På så sätt flödar en positiv ström neråt igenom kondensatorn, samtidigtsom en spänning skapas över kondensatorn.


Plattekondensatorns fysiska egenskaper


ACd

e=

0re e e=

120 8.85 10 F/me -= ×

dielektricitetskonstanten

vakuum

= ×A W L

Kondensator

q C v= ×

( )d Cvdq dvi Cdt dt dt

= = =

I en kondensator är den lagrade laddningen q proportionerlig motspänningen v mellan plattorna:

C är kapacitansen och mäts i farads (F, lika medcoulombs per volt)En kapacitans på 1F är enorm; en kapacitans istorleksordning 10-15F återfinns ofta som parasit iinterna noder på integrerare kretsarVi minns nu att strömmen är tidsderivatan påladdningen:

(om C inte ändras med tiden)


Exempel


( ) 66

1010 52 10

dv ti C A

dt-

-= = × =×

Spänning och energi

( ) ( ) ( )0

01 t

tv t i t dt v t

C= +ò

( ) ( ) ( ) dvp t i t v t Cvdt

= =

( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 0

12

t t v tdvw t p t dt Cv dt C vdv Cv tdt

= = = =ò ò ò

Den lagrade energin w återförs till kretsen (och används i den)

Den energi som lagras i kapacitansen blir


=dvi Cdt

Kapacitanser i parallell- och seriekoppling

( )1 2 3 1 2 3dv dv dv dvi C C C C C Cdt dt dt dt

= + + = + + 1 2 3eqC C C C= + +

Parallell

1 2 3

1 1 1 1= + +

eqC C C C

Serie


1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1æ ö= × + × + × = + + ×ç ÷

è øò ò ò òv i dt i dt i dt i dt

C C C C C C

1 2 3

11 1 1eqC

C C C

=+ +

Vad händer här med energin?

1

2 6 21 1 1

2

1 2

1001 1 10 1002 20

5-

=

= = × × =

== +tot

m

v V

w C v

ww w w

J

1 2 100totq q q Cm= + =

1 2 2

100 502

eq

tottot

eq

C C C F

q Cv VC F

m

mm

= + =

= = =

2 6 21 1

2 6 22 1

1 2

1 1 10 50 1.252 21 1 10 50 1.252 2

2.5

tot

tot

tot

w C v mJ

w C v mJ

w w mJw

-

-

= = × × =

= = × × =

= + =

0 :t <

0 :t >

Vad har hänt till de försvunna 5 2.5 2.5 ?- =mJ mJ mJ


Plattekondensatorns fysiska egenskaper


= ×A W L

ACd

e=

Kapacitanser i CMOS-processer


Kapacitans mellan olikametalledningar, mellanmetalledning och substrat, o s v

Kapacitans mellan G ochsubstrat, G och S, G och D,S och substrat, D och substrat,o s v

Induktorer

En ström som flyter genom en ledare skapar ett magnetfält somkopplar tillbaka till ledaren

Om strömmen i ledaren förändras, förändras också det magnetiskafältet, vilket skapar en spänning över ledaren (Faraday’s lag)

Ledaren beter sig således som en ideal induktor


För en ideal induktor är spänningen över induktorn proportionell tilltidsderivatan av strömmen genom induktorn.Vidare, är polariteten hos spänningen sådan att den motsätter sigändringen i strömmen.Proportionalitetskonstanten kallas induktans, betecknas medbokstaven L, och räknas i Henry (H). Induktansvärden varierar frånnH (i integrerade kretsar) till tiotals H.

Den magnetiska energi som lagras i spolen är

Induktorer

( ) ( )di tv t L

dt= ( ) ( ) ( )

00

1 t

ti t v t dt i t

L= +ò

( ) ( )212

w t Li t=


Exempel

( ) ( )di tv t L

dt=

5L H=


Exempel

( ) ( ) ( )0

01 t

ti t v t dt i t

L= +ò


Serie- och parallellkopplingar

1 2 3

11 1 1eqL

L L L

=+ +

1 2 3eqL L L L= + +

Formellt, samma ekvationer som för motstånd


seriekoppling

parallellkoppling

Induktorer / spolar

En (icke integrerad) induktor är vanligtvis konstruerad genom att lindaen ledare runt någon typ av stöd i en specifik skepnad (”spole”)Stödet är ofta gjort med ett magnetiskt material såsom järn ellerjärnoxider, vilket ökar det magnetiska fältet för en given ström


Verkliga spolar

Rs, Rp och Cp är mer eller mindre oundvikligaparasiter som följer med den ideala induktansen


Integrerad induktor (90nm CMOS-process)


Hur stor är L?

Ömsesidig induktans (transformator)

Ibland är flera spolar lindade på samma kärna, så att detmagnetiska flöde som produceras av en spole kopplar till de andraspolarna.Detta innebär att en tidsvarierande ström som flyter genom enspole kommer att inducera spänningar i de andra spolarna.Självinduktanserna betecknas som L1 och L2, medan denömsesidiga induktansen betecknas som M.


Ömsesidig induktans (transformator)

1 21 1

1 21 2

di div L Mdt dtdi div M Ldt dt

= +

= +

1 21 1

1 21 2

di div L Mdt dt

di div M Ldt dt

= -

= - +

Det magnetiska fält som produceras av en spole kan antingenförstärka eller motsätta sig till det fält som produceras av denandra spolen.Prickarna på spoländarna indikerar huruvida fälten hjälper ellermotsätter sig till varandra.Om båda strömmarna går in i sin egen prick, eller båda lämnarden, förstärker fälten varandra, annars motsätter de sig tillvarandra.


Metalledningar på IC


Långa metalledningar uppvisar R, C (till substratet och möjligtvis till andraledningar), L, och möjligtvis M (p g a andra långa parallella ledningar)

In- och utgångar


Bondtrådar: L och M (och i viss mån R)

Transientsvar

En kapacitans urladdning genom ett motstånd (brytaren kopplaspå när t=0)

0 0 0C C CC R C

dv v dvi i C RC vdt R dt

+ = ® + = ® + =KCL:

vc måste ha samma form som sin tidsderivata: vi provar medmed okända K och s

stCv Ke=


En kapacitans urladdning

1 0t

st st st RCC Cv Ke RCKse Ke s v Ke

RC-

= ® + = ® = - ® =

0CC

dvRC vdt

+ =

( ) ( )0 0C C iv v V- += =

Vidare, kan spänningen över kapacitansen inte ändrasögonblickligen när brytaren kopplas på – annars skulleekvationen kräva att blir oändligt stor.Vi kan alltså skriva:

C Ci C dv dt= Ci


En kapacitans urladdning

Vi kan nu hitta K:

RCt =Tidskonstanten:

1 t tC iRC

C idv Vi C C V e edt RC R

t- -æ ö= = × - = -ç ÷

è ø


-=

tRC

Cv Ke

( )( )

0

00 t

-- -+

-

ì =ï= ® = =íï =î

t tC iRC

C C i iRC

v Vv v V e V e

Ke K

Om tidskonstanten

Det är lätt att inse att värdet på tidskonstanten helt bestämmerhur snabbt en kapacitans (ur)laddasOm vi önskar ultrasnabba kretsar måste vi se till atttidskonstanterna är ultralåga

RCt =


Kommer ni ihåg?

2 6 21 1 1

2

1 2

1 1 10 1002 20

5

tot

w C v

ww w w

mJ-= = × × =

== + 1 2 100totq q q Cm= + =

1 2 2

100 502

eq

tottot

eq

C C C F

q Cv VC F

m

mm

= + =

= = =

2 6 21 1

2 6 22 1

1 2

1 1 10 50 1.252 21 1 10 50 1.252 2

2.5

tot

tot

tot

w C v mJ

w C v mJ

w w mJw

-

-

= = × × =

= = × × =

= + =

0 :t <

0 :t >

Vad har hänt till de försvunna 5 2.5 2.5 ?mJ mJ mJ- =


0 :t >

Nu kan vi svara!

1,0 2,0 1 21,0 2,0

1 2

, med 100 , 0 och- -

- -

--= = = =

+s

tRC

R s

V V C Ci e V V V V CR C C

Vi antar att strömbrytarenmotsvarar ett (litet) motstånd Rnär den är påslagen

( )222

1,0 2,0 1,02 21,00 0

6 2

12 2

1 1 10 100 2.52 2

- - -

-

-¥ ¥

-

-= × = = × =

= × × =

ò ò s

tRC s

R R s

V V V RCw R i dt e dt C VR R

mJ

Här är den saknade energin: den förbrukas i motståndet!Förresten, ser ni nåt anmärkningsvärt i denna energiekvation?


Eftersom diffekvationen innehåller en konstant term, provar vimed

vilket ger

Återigen,

och

Uppladdning

0C C s CC s

dv v V dvC RC v Vdt R dt

-+ = ® + =

( )2 1 2 2 1 1+ + = ® + + =st st sts sRCsK e K K e V RCs K e K V

1sRC

= -

( )0 0Cv - =

1 2st

Cv K K e= +

1 sK V=


Uppladdning

( ) 1 t-æ ö

= -ç ÷è ø

t

C sv t V e

Vi använder återigen värdet på vid t=0:Cv

( ) ( )0 0 0C Cv v- += =

2

t

C sv V K e t-

= +

( ) 02 2 20 0C s s sv V K e V K K V+ = = + = + ® = -

( ) t-

=t

sC

Vi t eR


Transientsvar och steady-state

( ) t-

= -t

C s sv t V V e

Steady-state, svartill en DC-källa Transient, försumbart efter

ett antal tidskonstanterExponentfunktionen äroberoende av den särskilda(DC) källan vid ingången


Steady-state = när alla transienter har klingat ut

Tvåminutersuppgift


Problem 4.4


Problem 4.16


DC steady-state

CC

dvi Cdt

= LL

div Ldt

=

Om alla källor är DC-källor, blir vC och iL så småningomkonstantaDetta innebär att iC = 0 och vL = 0, vilket betyder attkapacitansen är ett DC-avbrott och induktansen en DC-kortslutning vid DC steady-state

Exempel


RL kretsar

sdiRi L Vdt

+ =

( )1 2 2 1st st

si K K e R sL K e RK V= + ® + + =

1, sVRs KL R

= - =

( ) 1 2 20 0 sVi K K KR

+ = = + ® = -

Samma tillvägagångssätt som med RC kretsar!

Eftersom , vet vi att iL inte kan ändrasögonblickligen när brytaren kopplas på, och vi kan skriva

L Lv L di dt=

( )0 0i - =


RL kretsar

1 1t t

L Rs sV Vi e eR R

t- -æ ö æ ö

= - = -ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø

LR

t =Tidskonstanten:t t

ss

Vdi Rv L L e V edt R L

t t- -æ ö

= = - - =ç ÷è ø


Exempel – urladdning

1

tsVi e

Rt

-=

1 1 2

1 t ts sV Vdiv L L e e

dt R R Rt t

t- -

= = - = -

2

LR

t =

( )1

0 sViR

- =


Tvåminutersuppgift


RC och RL kretsar med allmänna källor

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1t t

di t di tLL Ri t v t i t v tdt R dt R

+ = ® + =

Thevenin igen (med L, men det kunde vara C):

( ) ( ) ( )1t

di ti t v t

dt Rt + =

( ) ( ) ( )dx tx t f t

dtt + =

Allmänt, kan vi skriva:

där x(t) kan vara en spänning eller en ström

drivfunktion


Lösning

( ) ( ) ( )pp

dx tx t f t

dtt + =

( ) ( ) 0cc

dx tx t

dtt + =

( ) ( ) ( )p cx t x t x t= +Man kan visa att lösningen har två delar:

är en lösning (vilken som helst) till ekvationen( )px t

medan uppfyller ekvationen (homogena ekvationen)( )cx t

särskild lösning

komplementärlösning


Komplementär lösning

( ) ( )lnt t

cc c

tx t c x t e e Ket t

t- -

é ù = - + ® = =ë û

( ) ( ) ( )( )

( )ln1 10 cc cc

c

d x tdx t dx t dtx t

dt x t dtt

t t

é ùë û+ = ® = - ® = -

från begynnelsevillkoren


Exempel – I

( ) ( ) ( )0

1 0 2 sin 200 400 cos 200t

Cdi iRi idt v t R t

C dt C+ + = ® + =ò

( ) ( )3 6400 cos 200 5 10 400 10 cos 200di diRC i C t i tdt dt

- -+ = ® × + = ×

( ) ( )cos 200 sin 200pi A t B t= +

xp(t) liknar ofta f(t); vi gissar därför att ip(t) är


Exempel – II

( ) ( ) ( ) ( )( )

3

6

5 10 200 sin 200 cos 200 cos 200 sin 200

400 10 cos 200

-

-

é ù é ù× × - + + +ë û ë û= ×

A t B t A t B t

t

60, 400 10-- + = + = ×A B B A

200 , 200A A B Am m= =

( ) ( )200 cos 200 200 sin 200pi t t Am= +

( )200 2 cos 200 45pi t Am= - o

( )3 65 10 400 10 cos 200di i tdt

- -× + = ×


( ) ( )cos 200 sin 200pi A t B t= +och

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

a b a b a b

a b a b a b

- = +

- = -

eller

eftersom

Exempel – III

( ) ( )00 200Cv

i AR

m-

+ = - = -

( )0 200 200 400m m m+ = - = + ® = -i K K A

( )200 2 cos 200 45 400t

i t e At m-

= - -o

t

ci Ke t-

=

( ) ( )200 2 cos 200 45 +t

i t t Ke At m-

= - o

Vi vet sedan tidigare att , och därför


Strömplottar


( )200 2 cos 200 45 400t

i t e At m-

= - -o

Andraordningens kretsar

( ) ( )0

1 0t

C sdiL Ri idt v v tdt C

+ + + =ò

( )2

2sdv td i di iL R

dt dt C dt+ + =

( )2

2

1 sdv td i R di idt L dt LC L dt

+ + =

En kapacitans och en induktans i samma krets


Andraordningens kretsar

( )1 sdv tf

L dt=0

1LC

w =

2202 2d i di i f

dt dta w+ + =

2202 2d x dx x f

dt dta w+ + =

2RL

a =

dämpningskoefficient odämpadresonansfrekvens

drivfunktionen

p cx x x= +Återigen, , med

2202 2p p

p

d x dxx f

dt dta w+ + =

2202 2 0c c

cd x dx xdt dt

a w+ + =och


( )2

2

1 sdv td i R di idt L dt LC L dt

+ + =

Den komplementära lösningen

2 202 0st st sts Ke sKe Kea w+ + =

0

azw

=

2202 2 0c c

cd x dx xdt dt

a w+ + =stcx Ke=Vi sätter i

2 202 0s sa w+ + = ®

2 21 0

2 22 0

s

s

a a w

a a w

= - + -

= - - -

Vi definierar nu dämpningsförhållandet somBeroende på har vi tre olika fall:z

1 21 2 1 21 , reella talz > ® ® = +s t s t

cs s x K e K e2 20nw w a= -

egenfrekvens


1 11 2 1 21 =z a= ® = ® = +s t s t

c ts s x K e K e

( ) ( )1 2 1 21 , komplexa tal cos sina az w w- -< ® ® = +t tc n ns s x K e t K e t

se nästa sida

Om s1 och s2 är komplexa tal

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 21 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

2 cos 2 sin

cos sin

a w a w

w w w wa

a

a

w w

w w

- + - -

- --

-

-

= + + -

= + + -

é ù= + + -ë ûé ù= +ë ûé ù= +ë û

n n

n n n n

s t s tc

j t j t

j t j t j t j tt

tn n

tn n

x t k k e k k e

k k e k k e

e k e e k e e

e k t jk t

e K t K t

Om s1 och s2 är komplexa tal använder vi oss av Eulers formler –(k1+k2) och (k1-k2) fungerar här nere som två oberoendekomplexa konstanter:


Stegsvar

( )2

202 2d x dx x Au t

dt dta w+ + =

1 överdämpat1 kritiskt dämpat1 underdämpat

zzz

< ®= ®> ®


2

1

0.5

Utförligt exempel – I

2

2 och C C CC s C s

dv d v dvdiL Ri v V i C LC RC v Vdt dt dt dt

+ + = = ® + + =

2

2C C

C sd v dvLC RC v Vdt dt

+ + =

Den särskilda lösningen är väldigt enkelt hittad, eftersomdrivspänningen är DC: man ser direkt att ( ),C p sv t V=

Alternativt kan man betrakta att under steady state(när alla transienterna klingat ut) måste varalika med

Cv

sV


Utförligt exempel – II

Låt oss hitta den homogena lösningen för tre olika värden på RVi börjar med R = 300 W; då blir det

42

300 1.5 102 2 10

a -= = = ××

RL

Med erhåller vi

Kretsen är alltså överdämpad:

40

1 10w = =LC 0

1.5 1azw

= = >

2 2 41 0

2 2 42 0

0.382 10

2.618 10

s

s

a a w

a a w

= - + - = - ×

= - - - = - ×

( ) 1 21 2

s t s tC sv t V K e K e= + +


Utförligt exempel – III

Vi vet att , och således

( ) 1 21 2


( )0 0Cv = 1 2 0sV K K+ + =

Vidare, , vilket innebär , och( )0 0Li = ( )00Cdv

Cdt

=

( )1 2

1 1 2 2 1 1 2 200

0 C s t s t

tt

dv ts K e s K e s K s K

dt ==

= = + = +

1 211.708 och 1.708K K= - =

Nu hittar vi enkelt

och slutligen ( ) 1 21 2



Utförligt exempel – IV

Det andra fallet är för R = 200 W

4102

a = =RL

Kretsen är kritiskt dämpad, med

och

0

1az

w= =

42 1 10s s a= = - = - ( ) 1 1

1 2s t s t

C sv t V K e K te= + +

( )( )

1 1 1

1

1 1 1 2 2 00

1 1 2

0 0

0

C s

C s t s t s t

tt

v V K

dv ts K e s K te K e

dt

s K K

==

= + =

= + +

= + =

15

2

1010

KK

= -

= -


Utförligt exempel – V

Det tredje fallet är för R = 100 W.

40.5 102RL

a -= = ×

Kretsen är underdämpad, med

och

0

0.5azw

= =

2 20 8660nw w a= - =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1 2 00

1 2

0 0

cos sin sin cos

0

C s

C t tn n n n n n t

t

n

v V K

dv te K t K t e K t K t

dt

K K

a aa w w w w w w

a w

- -

==

= + =

é ù é ù= - + + - +ë û ë û

= - + =

1

2

105.774

KK

= -= -

( ) ( ) ( )1 2cos sint tC s n nv t V K e t K e ta aw w- -= + +


Utförligt exempel – VI

( ) ( ) ( )10 10 cos 5.774 sint tC n nv t e t e ta aw w- -= - -

Jämförelse mellande tre fallen


Parallell RLC krets

( ) ( )0

1 1 0t

l ndvC v vdt i i tdt R L

+ + + =ò

( )2

21 ndi td v dv vC

dt R dt L dt+ + =

( )2

21 1 ndi td v dv v

dt RC dt LC C dt+ + =

Med Norton:


Om vi nu definierar

och återigen ,

kan vi skriva

vilken har exakt samma form som ekvationen för seriekretsen!Det finns dock en viktig skillnad: dämpningskoefficienten är

i parallellkretsen, och

i seriekretsen

Parallell RLC krets

( )2202

12 ndi td v dv v fdt dt C dt

a w+ + = =

12RC

a =

01LC

w =0

az

w=

12RC

a =

2RL

a =


Documents

Elektronik Översikt Kapacitanser, induktanser, transienter · fältet, vilket skapar en spänning över ledaren (Faraday’s lag) Ledaren beter sig således som en idealinduktor