C.S. ƏSGƏROV

ELEKTROMAQNIT SAHƏ NƏZƏRİYYƏSİNİN

XÜSUSİ MƏSƏLƏLƏRİ monoqrafiya

AZƏRNƏŞR BAKI-2017

C.S. ƏSGƏROV

ELEKTROMAQNIT SAHƏ NƏZƏRİYYƏSİNİN

XÜSUSİ MƏSƏLƏLƏRİ monoqrafiya

AZƏRNƏŞR BAKI-2017

BBK 452.2. C-14 Rəyçilər: 1. Azərbaycan Elmi-Tədqiqat və Layihə-Axtarış Energetika

instutunun direktoru akademik Arif Həşimov 2.AMEA-nın müxbir üzvü, əməkdar elm xadimi, Sumqayıt Dəvlət Universitetinin “Elektromexanika” kafedrasının müdiri t.e.d., professor Firudin Məmmədov

Elmi redaktor: ADNSU-nin ”Elektroenergetika ” kafedrasının dosenti t.e.n. Mustafa Həmidov.

Cavid Səlimxan oğlu Əsgərov C-14.ELEKTROMAQNIT SAHƏ NƏZƏRİYYƏSİNİN

XÜSUSİ MƏSƏLƏLƏRİ. Bakı, “Azərnəşr”, 2017. Səh.171. Monoqrafiyada, elektromaqnit sahə nəzəriyyəsi - nəzəri və

praktiki tədbiqi - xüsusi məsələ kimi araşdırıb və yazılıb.Burada toroidal elektromaqnit elementinin optimal elektromaqnit yükünün ifadəsi və praktiki tədbiqi göstərilmişdir.Araşdırılan praktiki-tədbiqi çoxsaylı məsələlərin izahlı həlli, hər bir fəsldə verilmişdir.

Monoqrafiyadan ali məktəb tələbələri, mühəndis-texniki işçilər, eləcə də elektroenergetika və nəzəri fizika ixtisası üzrə çalışan elmi işçilər istifadə edə bilərlər.

@ Cavid Əsgərov,2017

3

Birinci fəsil

SABİT CƏRƏYANIN MAQNİT SAHƏSİ

1.1 Əsas anlayışlar Elektromaqnit sahəsi materiyanın əlahiddə bir növüdür. Elektriki yüklənmiş hər bir hissəcik onunla vəhdət təşkil edən elektromaqnit sahəsi ilə əhatə olunmuşdur. Lakin elektromaqnit sahəsi yüklü hissəciklərdən ayrıca, sərbəst halda, 8103 ⋅ m/san sürətlə hərəkət edən fotonlar şəklində və yaxud bu sürətlə yayılan şüalanmış elektromaqnit dalğaları şəklində də mövcud ola bilər. Elektromaqnit sahəsi fəzada fasiləsiz paylanması ilə xarakterizə olunur, bununla belə o şüalanmış elektromaqnit kvantları şəklində, məsələn, fotonlar şəklində, diskret strukturu ilə də aşkar olunur. Elektromaqnit sahəsi müəyyən miqdar enerji daşıyır və bu enerji başqa növ enerjilərə – kimyəvi, istilik, mexaniki və s. – çevrilə bilir. Enerji daşıyıcısı olmaqla elektromaqnit sahəsi bu enerjiyə müvafiq kütləyə də malikdir, hansı ki, tam enerji və tam kütlə arasında olan düsturla təyin olunur: 2mcW = , burada c işığın boşluqda sürətidir. Lakin istifadə olunan elefktromaqnit sahələrində kütlənin sıxlığı çox azdır. Eutaq ki, maqnit induksiyası

Tl1 və elektrik sahə intensivliyi sm/Vm/V 68 1010 = -ə bərabərdir. Sonuncu qiymət dərin vakuumda alına bilər. Bu şərtlər daxilində elektromaqnit sahəsi enerjisinin həcmi sıxlığı elektrik və maqnit sahələrinin həcmi enerji sıxlıqlarının cəminə bərabərdir:

=⋅⋅

+⋅⋅⋅

==+==′ −79

16

0

220

10421

1094210

22 ππµε BE

VWW

3310424 m/C, ⋅=

4

Uyğun olaraq elektromaqnit sahəsinin həcmi kütlə sıxlığı belə olar:

31228

5

2 10914103

10424 m/kQ,)(

,cW

Vm −⋅=

⋅⋅

=′

= ,

bu isə olduqca kiçik qiymətdir. Praktikada istifadə olunan elektromaqnit sahələrinin kütlə sıxlığı çox kiçik olduğyna görə onun bu xarakteristikasını nəzərdən atmağa və baxılan hadisələrin energetik tərəfinə diqqət yetirməyə əsas verir. Elektromaqnit sahəsi yuxarıda göstərilən xarakteristika-lardan başqa, mexanikada baxılmayan əlahiddə elektromaqnit xassələrinə – elektrik yüklü hissəciklərə qüvvə təsiri göstərmək qabliyyətinə malıkdir. Elektrik yükü maddə və ya cisim hissəciklərinin onların öz elektromaqnit sahəsi ilə qarşılıqlı bağlılığını və xarici elektromaqnit sahəsi ilə qarşılıqlı təsirini xarakterizə edən xassəsidir: proton, pozitron və s. müsbət, elektron isə mənfi yüklü hissəcikdir. Elektrik yükü, miqdarca, yükə malik cisimlərin qarşılıqlı qüvvə təsirinə görə təyin edilir (Kulon qanunu). Elektrik sahəsi – elektromaqnit sahəsinin, elektrik yüklərilə və maqnit sahəsinin dəyişməsilə (zamana görə) bağlı olan, iki tərəfindən biridir. Elektrik sahəsi yüklü hissəciklərə və cisimlərə qüvvə təsiri göstərir; o özünə nisbətən tərpənməz yüklü hissəciklərə və cisimlərə qüvvə təsiri göstərməsilə aşkar olunur. Maqnit sahəsi – elektromaqnit sahəsinin, hərəkət edən hissəciklərin və cisimlərin elektrik yüklərilə və elektrik sahəsinin dəyişməsilə (zamana görə) bağlı olan, iki tərəfindən ikincisdir. Maqnit sahəsi buna nisbətən hərəkət edən yüklü hissəciklərə («cərəyanlara»), hərəkətə normal istiqamətdə, sürətə mütənasib göstərdiyi qüvvə təsirilə aşkar edilir. Elektrik cərəyanı, maqnit sahəsinin yaranması ilə müşayət olunan, yüklü hissəciklərin hərəkəti və elektrik sahəsinin zamana görə dəyişməsi hadisələrinə deyilir.

5

Elektrik və maqnit sahələri müəyyən miqdar enerji ilə bağlıdırlar: sahə zamana görə dəyişdikdə onun enerjisi başqa enerjiyə çevrilir. Elektromaqnit enerji elektromaqnit sahəsilə bütünlüklə bağlı olub elektrik və maqnit sahələrinin enerjilərindən cəmlənir. Yuxarıda deyilənlərdən elektromaqnit sahəsinin vəhdətinin əsas konsepsiyası meydana çıxır. Elektromaqnit sahəsinin bu və ya digər tərəfi onun hansı vasitələrlə və hansı şəraitdə öyrənilməsindən asılı olaraq aşkar edilir; məsələn fəzada yüklü cisimlər sistemilə birlikdə hərəkət edən tədqiqatçı hesab edir ki, sahə elektrostatik sahədir; həmin yüklərə nisbətən hərəkət edən başqa tədqiqatçı elektrik cərəyanı və maqnit sahəsini aşkar edir; belə ki, bunları birbirindən ayırmaq mümkün deyildir, çünki eyni bir hadisənin iki tərəfidir. “Cərəyan maqnit sahəsi yaratdı” ifadəsini “yük potesial yaratdı”, və yaxud “yükü yüksəkliyə qaldırmaq onun çəkisini azaldır” ifadələri kimi şərti qəbul etmək lazımdır. Beləcədə elektrotexnikanı “Dövrələr nəzəriyyəsi” və “Elektro-maqnit sahə nəzəriyyəsinə»” bölmək şərtidir. Bütöv bir elektromaqnit prosesi bir halda (alçaq tezliklərdə) dövrələr nəzəriyyəsinin köməyilə, başqa bir halda (yüksək tezliklərdə) isə elektromaqnit sahə nəzəriyyəsinin xüsusi məsələlərinin köməyilə tədqiq etmək daha məqsədəuyğundır. Hər iki nəzəriyyə eyni bir təbiət hadisəsini müxtəlif baxımdan təsvir etmək üçün insan təfəkkürünün mücərrədləşdirmə işinin məhsuludur. Elektrik enerjisini ötürən xətlər və elektrik rabitə xətləri elektromaqnit sahəsinin və onun enerjisinin yayılmasının tələb olunan sərfəli istiqamətini təmin edən quruluşlardır. Elektromaqnit sahəsinin və onun enerjisinin naqildən xaric əhatə mühitində yayılması kimi əsas prosesi nəzərdən qaçırmaq olmaz.

6

1.2.Maqnit sahəsini xarakterizə edən əsas kəmiyyətlər Sabit cərəyanın maqnit sahəsinin əsas xassəsi, onun hərəkət edən yüklü cisimlərə, həm də elektrik cərəyanlı tərpənməz naqillərə mexaniki təsir göstərməsidir. Təcrübə göstərir ki, maqnit sahəsi vektorial sahədir. Maqnit sahəsini fəzanın istənilən nöqtəsində xarakterizə edən kəmiyyət B , m a q n i t i n d u k s i y a v e k t o r u d u r. B vektorunun qiymət və istiqamətini bilməklə sahənin xassələrini və onun yaratdığı hadisələri müəyyən etmək olar. Maqnit sahəsinin cərəyanlı kontura mexaniki təsir qüvvəsinə görə B vektorunu təyin etmək olar. Tutaq ki, I cərəyanlı naqil B induksiyalı maqnit sahəsində yerləşmişdir. Əgər naqilin en kəsiyinin ölçüləri uzunluğuna görə çox kiçikdirsə, bunu xətti element ld hesab etmək olar. Cərəyanla uzunluq elementinin vurma hasilinə lId cərəyanın xətti elementi deyilir. Cərəyanın xətti elementinə təsir edən qüvvə aşağıdakı düsturla təyin edilir: [ ]lBF dId = . (1.1.) Bu ifadəni inteqrallayıb bütün naqilə təsir edən qüvvəni tapmaq olar. F qüvvəsini və I cərəyanını ölçüb naqilin uzunluğunu və sahədə vəziyyətini bilərək maqnit induksiyasını B tapmaq olar. Beynəlxalq vahidlər sistemində (BS) maqnit induksiyası Tesla (Tl) ilə ölçülür. SQS sistemində maqnit induksiyasının vahidi Qaus-dur (Qs). QsTl 4101 = .

Əgər induksiya B və ld elementi paraleldirsə, onda cərəyan elementinə maqnit sahəsi mexaniki təsir etməyəcəkdir. B və ld qarşılıqlı perpendikulyar olduqda mexaniki təsir maksimal olacaqdır. Hər bir elektrik cərəyanı öz ətrafında maqnit sahəsi yaradır. Cərəyanla onun boşluqda yaratdığı maqnit sahəsi arasında bağlılıq, diferensial formada aşağıdakı şəkildə ifadə olunur (şəkil 1.1):

7

Şəkil 1.1.

[ ]

20

0 41R

dVd R

πµ δ

=B ,

burada δ-naqildə cərəyan sıxlığı; dV -naqilin elementar həcmi; R - dV -dən B təyinolunan nöqt qədər məsafə;

0µ -maqnitsabiti:

m/Hn70 104 −⋅= πµ .

Əgər naqilin ölçüləri müşahidə nöqtəsinə qədər məsafədən kiçikdirsə (naqil xəttidir), yazmaq olar:

[ ] [ ]

[ ] [ ]R

RR

dI

sddV

1

11

⋅=⋅=

=⋅=⋅

l1ls)(

l

Rdδ

δδ

Onda:

[ ]

20

0 41

RdId R

πµ ⋅

=lB . (1.2)

İnteqrallayıb lırıq:

[ ]

∫⋅

=L

R

RdI

20

0 41

πµ lB ,

burada L - sabit I cərəyanının keçdiyi konturdur. Əgər cərəyanlı kontur hər hansısa maddə mühitindədirsə, onda maqnit iduksiyasının B qiyməti 0B -dan µ dəfə fərqlənəcəkdir:

[ ]

∫⋅

==L

R

RdI

20

0 41

πµµµ lBB (1.3)

8

Ölçüsüz µ kəmiyyətinə nisbi maqnit nüfuzluğu deyilir.

0µµµ =m kəmiyyəti mütlq maqnt nüfuzluğu adlanır. Müxtəlif mühitlərdə maqnit induksiyasının, cərəyanın eyni qiymətində, fərqli olması onunla izah olunur ki, maqnit sahəsini təkcə axan cərəyan yox, həm də maddənin daxili molekulyar cərəyanları da yaradır. Maqnit sahəsinin digər əsas vektoru H intensivlik vektorudur:

mµ

BH = . (1.4)

Maqnit sahəsinin intensivliyi mühitin xassəsindən asılı deyil. Cərəyanlı xətti naqil üçün : [ ]

∫⋅

= 2R

RdIπ4lH 1 . (1.5)

(1.5) ifadəsi Bio-Savar-Laplas qanununun inteqral şəklidir. Təcrübə göstərir ki, maqnit sahəsinə daxil olan hər bir maddə maqnitləşir. Daxili molekulyar cərəyanlar xarici maqnit sahəsinin təsirilə müəyyən şəkildə düzülür və bunların maqnit sahəsi xarici sahə ilə toplanaraq onu dəyişir. Maddənin məxsusi mikroskopik maqnit sahəsi maqntləşmə vektoru adlanan J vektoru ilə xarakterizə edilə bilər. Bu vektor maqnit sahəsinin eyni intensivliyi halında belə ifadə olunur: JBB 00 µ=− .

Bircins mühitlərdə zəif maqnit sahələrində intensivlik və maqnitləşmə mütənasibdir: HJ mk= .

Blçüsüz mk əmsalı maqnit həssaslığı adlanır. Maqnit sahəsinin üç vektoru arasında bağlılığı belə yazmaq

olar:

9

HHHHJB 0 mmk µµµµµµ ===+=+= )1(000 . (1.6)

burada mk+=1µ . Maqnit sahəsinin intensivliyi H və maqnitləşmənin J ölçüsü BS sistemində Amper bölünsün metrdir(A/m). SQS sistemində intensivliyin vahidi Ersted (Es) adlanır:

Esm/A 31041 −⋅= π . Təcrübə göstərir ki, bütün maddələr maqnit xassələrinə malikdir. Lakin onların çoxunun maqnit xassəsi çox zəifdir. Fiamaqnit maddələrin maqnit nüfuzluğu vahiddən bir az kiçikdir (məsələn, vismut üçün 999830,=µ ), paramaqnit maddələr üçün - µ vahiddən bir az böyükdür (məsələn, platin üçün

000361,=µ ). Ferromaqnit maddələr (polad, nikel, ferrit və s.) üçün maqnit nüfuzluğu vahiddən çox-çox böyükdür ( 42 1010 − ), həm də H -dan asılı olaraq )H(f=µ dəyişir. Elektrotexnikada qeyri-ferromaqnit maddələr üçün, hesablamalarda 1=µ qəbul edilir. Bu fəsildə qeyri-ferromaqnit mühitlər üçün . constm == 0µµ qəbul ediləcəkdir.

1.3.Maqnit seli və onun kəsilməzliyi.

Maqnit induksiya vektorunun seli

∫=S

dФ sB (1.7)

maqnit seli adlanır.Maqnit selinin vahidi BS sistemində Veber(Vb) –dir. SQS sistemində selin vahidi Maksvell (Mks) –dir.

MksVb 8101 = . Maqnit induksiyasını maqnit selinin sıxlığı kimi təyin etmək olar. Əgər B vektoru s sahəsinə perpendikulyardırsa və sahə bircinsdirsə, onda

10

BsФ = .

Təcrübə ilə müəyyən edilib ki, qapalı səthdən maqnit seli həmişə sıfırdır: 0=∫

SdsB . (1.8)

Qauss-Ostroqradski teoreminə görə yazmaq olar:

0== ∫∫VS

dVdivd BsB .

Bu bərabərlik istənilən həcm üçün doğrudur.

Onda

0BB =∇=div (1.9) (1.8) düsturu maqnit selinin kəsilməzliyi prinsipinin inteqral şəklini, (1.9) düsturu isə – diferesial şəklini ifadə edir. Maqnit sahəsinin başlanğıcı yoxdur. O solenoidal sahədir. Maqnit sahəsinin qrafiki təsviri B vektorunun xətləri (maqnit xətləri) ilə qurulur. Bu xətlər həmişə qapalı olur, ya da sonsuzluğa gedir. Müsbət istiqaməti maqnit əqrəbinin şimal qütbünün göstərdiyi tərəfdir. Sabit maqnit nüfuzluqlu mühitlərdə 0HH =∇=div .

1.4.Maqnit sahəsinin vektor potensialı B vektorunun sahəsi burulğan və ya qarışıq olduğuna görə vektor A potensialına malikdir və aşağıdakı münasibətdən təyin olunur: [ ] BA =∇ (1.10)

Bu münasibəti ödəyən funksiyalar çoxluğundan, stasionar (zamandan asılı olmayan) maqnit sahəsi halı üçün, elə funksiyanı seçirik ki, onun divergensiyası sıfır olsun:

11

0AA ==∇ div . (1.11) Vektor potensialının vahidi A⋅san/m - dir. (1.10) ifadəsini (1.7) tənliyində yerinə yazıb Ostroqradski-Stoks teoremini tətbiq edib alırıq: [ ] ∫∫ =∇=

LddФ lAsA . (1.12)

Bu asılılıq maqnit selinin qiymətini və induktivliyin, qarşılıqlı induktivliyin qiymətlərini vektor potensialının sirkulyasiyasını hesablamaqla təyin etməyə imkan verir. Vektor potensialı üçün ümumi ifadəni çıxaraq.

(1-3) ifadəsinə daxil olan maqnit induksiyası üçün [ ]

2R

rId 1⋅l

vektor hasilini dəyişək. 211rrdr

d−=

olduğuna görə 21 r/R

kəmiyyəti r/1 kəmiyyətinin, əks işarə ilə qradienti kimi götürülə bilər. Hasilin diferensialı düsturuna : )dx(y)xy(dx)dy( −= oxşar olaraq yazmaq olar:

[ ])Id(rr

Idr

)Id(r

Id llll ∇

−

∇=

∇=

∇−

111 .

Cərəyan elementi lId maqnit induksiyası təyin olunacaq nöqtənin koordinatlarından asılı deyil. Buna görə onun koordinatlara görə törəmələri, həm də rotoru sıfırdır: [ ] 0==∇ )Id(rot)Id( ll .

(1.3) ifadəsində qalan həddi də yerinə yazsaq, alarıq:

12

∫

∇=

L

lBr

Idmπµ4

. (1.13)

Qapalı cərəyan konturu üzrə inteqrallama müşahidə nöqtəsinin koordinatları üzrə diferensiallamadan tamamilə asılı deyil, ona görə də inteqrallama və diferensiallama simvollarının yerini dəyişmək olar:

∇= ∫

L

lBr

Idmπµ4

(1.14)

(1.10) və (1.14) ifadələrini müqayisə edib vektor potensialı üçün alırıq:

∫∫ ==l

m

l

mrdV

rdI δ

πµ

πµ

44lA . (1.15)

İnteqralaltı ifadə Laplas (yaxud Puasson) tənliyinin fəzada fundamental həlli ilə eynitiplidir. δmµ−=∇ A2 və ya 0. (1.16) Maqnit sahəsinin vektor potensiaalı Laplas və Puasson tənliklərinə tabedir. Bu hal, elektrostatik sahə üçün alınmış həllərin oxşarlığından istifadə etmək imkanı, maqnit sahəsinin hesabını asanlaşdırır.

1.5.Maksvellin birinci tənliyi.

Tam cərəyan qanunu. Bektor cəbrindən məlumdur ki, ( ) ( ) BACcaBaBC == ; B=∇ və C=∇ qəbul edək, onda:

( ) ]][[ AAA ∇∇−∇=∇ 2 (1.16a)

13

(1.16a) çevirməsini (1.16) ifadəsinə tətbiq edək. (1.10) və (1.11) ifadələrindən istifadə edib alınan asılılığı mµ -ə bölürük və Maksvellin birinci tənliyini alırıq:

[ ] [ ] δ=∇=∇ HBmµ

1. (1.17)

Tam cərəyanın ifadəsini yazaq:

[ ]tm ∂

∂+=∇

EEH εγ . (1.17a)

Aəzanın keçiricilik və ya yerdəyişmə cərəyanı (yaxud hər ikisi) mövcud olan istənilən yerində burulğan maqnit sahəsi movcud olur. Bu tənliyin hər iki tərəfini hər hansı s səthi üzrə inteqrallayaq: [ ] ∫∫ =∇ sH d

S

δ . (1.18)

Bu ifadənin sağ tərəfi I cərəyanının qiymətini verir; ifadənin sol tərəfinə Ostroqradski-Stoks teoreminə tətbiq edək: Id

L=∫ lH . (1.19)

Maqnit sahəsi intensivliyinin qapalı xətt üzrə inteqralı (yəni H vektorunun sirkulyasiyası) sirkulyasiya konturunun əhatə etdiyi səthdən keçən tam cərəyana bərabərdir. Bu bərabərlik tam cərəyan qanunu adlanır. (1.19) ifadəsi istənilən ölçülü, o cümlədən çox kiçik, kontur üçün də yarayır. Əgər konturun əhatə etdiyi sahəcik çox kiçikdirsə, bu sahəciyin hədlərində cərəyan sıxlığı δ eynidir və onda səhəcikdən keçən cərəyan belə ifadə olunar: sI n∆δ∆∆ == sδ .

14

Burada nδ - δcərəyan sıxlığı vektorunun s∆ vektoru istiqamətində proyeksiyasıdır: sd n

L∆δ=∫ lH .

Bu tənliyin hər iki tərəfini s∆ -ə bölüb 0→s∆ şərtilə limitə keçsək, alarıq:

nnl

srot

s

dlim δ

∆∆==

∫→

HlH

0.

Deməli:

δ=Hrot .

Bu ifadə tam cərəyan qanununun diferensial ifadəsidir.

1.6.Maqnit seli ilə vektor potensialı arasında asılılıq

Maqnit seli

∫=S

dФ sB .

[ ] BHAA ===∇ mrot µ ifadəsindən istifadə edib alırıq:

∫=S

drotФ sA .

Bu inteqralı Ostroqradski-Stoks teoreminə görə çevirib

alırıq:

∫=L

dФ lA . (1.20)

Yəni s səthindən keçən maqnit seli bu səthi əhatə edən L əyrisi boyunca vektor potensialının sirkulyasiyasına bərabərdir.

15

1.7.Maqnit sahəsinin skalyar potensialı

Maksvellin birinci tənliyindən görünür ki, fəzanın cərəyan olmayan oblastlarında [ ] 0=∇H , yəni maqnit sahəsi qarışıq xarakterlidir və vektor potensialından başqa skalyar mϕ potensialına da malikdir və belə münasibətdən təyin edilir: mH ϕ−∇= . (1.21)

Buna cərəyanlı naqillə əhatə edilmlş dielektrik nümunədir. Skalyar maqnit potensialı bircins və izotrop mühitdə ( const=µ ) Laplas tənliyinə tabedir:

02 =∇ mϕ . (1.22)

Bu tənlik (1.9) və (1.21) ifadələrindən çıxır.

1.8.Maqnit sahəsində sərhəd şərtləri İki mühitin sərhəddində maqnit sahəsinin B və H vektorları müəyyən şərtləri ödəməlidir ki, buna sərhəd şərtləri deyilir. Şəkil 1.2-də göstərildiyi kimi keçirilmiş qapalı silindrik S səthinə baxaq. s∆ sahəcikləri kiçik olduqlarına görə B vektoru verilmiş sahəciyin bütün nöqtələrində eyni qiymətə malikdir. Səth qapalı olduğuna görə B vektoru-nun bütün səthdən seli sıfıra bərabərdir. Digər tərəfdən sel üç hissəyə bölünə bilər:

1Ф -yuxarı sahəcikdən keçən sel;

2Ф - aşağı sahəcikdən keçən sel və

yФ -silindrik yan səthdən keçən sel. Belə ki, bu üç selin cəmi sıfıra

Şəkil 1. 2

16

bərabərdir: 021 =++ yФФФ .

SB),cos(SBФ n∆∆ 11111 =≈ nB ;

SB),cos(SBФ n∆∆ 22222 −=≈ nB ,

olduğuna görə

021 =+− ynn ФSBSB ∆∆ .

Əgər silindrin hündürlüyü sıfıra qədər azaldılsa ki, yan səthdən sel sıfır olsun, onda nn BB 21 = . (1.23)

Yəni maqnit induksiya vektorunun normal mürəkkəbəsi iki mühitin sərhəddində kəsilməzdir. Bu birinci sərhədd şərtidir. nn HB 1011 µµ= , nn HB 2022 µµ= ,

buna görə nn HH 21

21 µ

µ= , yəni maqnit sahəsinin intensivliyi

vektorunun normal mürəkkəbəsi iki mühitin sərhəddində bu mühit- lərin maqnit nüfuzluqları ilə tərs mütənasibdir. İkinci sərhədd şərtini almaq üçün H vektorunun l əyrisi üzrə (şəkil 1.3) sirkul-yasiyasını tərtib edək. Tam cərəyan qanununa görə tam

lId =∫ lH .

Konturun saat əqrəbinin istiqamətində dolanaraq yazmaq olar:

Şəkil 1.3

17

taml

Id)d,cos(lH)d,cos(lHyan

=++ ∫ lHlHlH 2211 ∆∆ .

Konturun yan tərəflərinin uzunluğunu elə azaldırıq ki, hissələr sərhədd səthinin üstünə düşsün, onda alarıq: tamIlHlH =− ∆∆ ττ 21 .

Əgər sərhədd səthindən səthi sıxlığı η olan sonlu qiymətli cərəyan axırsa, onda lI ptam ∆η= ,

burada pη - η vektorunun l∆ -ə normal istiqamətdə proyeksiyasıdır. Bu normal sərhəd səthinə toxunan müstəvinin üstünə düşməlidir. İkinci sərhəd şərti pHH ηττ =− 21 . (1.24) İki mühit sərhəddində maqnit sahəsinin intensivliyi vektorunun toxunan mürəkkəbəsi, sərhəddən axan cərəyanın xətti sıxlığına bərabər, sıçrayışla dəyişir. Əgər 0=η olarsa, yəni sərhəd səthindən cərəyan axmarsa, onda ττ 21 HH = , yəni H vektorunun toxunan mürəkkəbəsi iki mühit sərhəddində kəsilməzdir.

01

11 µµ

ττ

BH = ; 02

22 µµ

ττ

BH =

olduğuna görə

ττ µµ

22

11 BB = .

Şəkil 1.4

18

Şəkil 1.4-də B vektorunun bir xətti, nüfuzluqları 1µ və

2µ olan iki mühitin sərhəddində, təsvir edilmişdir. Buradan

22

1

2

2

12

1

11 α

µµµ

µ

ατ

τ tgB

B

BBtg

nn=== ,

yaxud

2

1

2

1µµ

αα

=tgtg

Bu nisbət B vektoru xəttinin iki mühit sərhəddində sınma qanununu ifadə edir.

1.9.İkiölçülü maqnit sahəsinin vektor və skalyar potensialları

İkiölçülü elə sahəyə deyilir ki, onun kəmiyyətləri iki ölçüdə dəyişir. Belə maqnit sahəsi cərəyanlı paralel düz naqillərin ətrafında yaranır. Tutaq ki, δ cərəyan sıxlığı vektoru və A vektor potensialı z oxu istiqamətində yönəliblər. Düz cərəyan üçün onların istiqamətlərinin eyni olması (1.15) tənliyindən çıxır. (1.10) tənliyində A vektoru rotorunun determinantını açıb,

0=xA 0=yA şərtilə yaza bilərik:

y

AB zx ∂

∂= ;

xAB z

y ∂∂

−= . (1.25)

B vektoru xy müstəvisində yerləşir.

19

Bu müstəvidə constAz = tənliyi ilə təyin olunan xəttə baxaq. Bu xətt boyunca zdA tam diferensialı sıfıra bərabər olmalıdır:

0=∂∂

+∂∂

= dyy

Adxx

AdA zzz .

Buradan alırıq:

x

yzzBB

yA:

xA

dxdy

=∂∂

∂∂

−= .

constAz = xəttinin x oxuna mailliyi B vektorunun həmin oxa mailliyi ilə eynidir. Veməli, eyni vektor potensiallı xətt ikiölçülü maqnit sahəsinin induksiya xəttidir. B vektoru bu xəttə istənilən nöqtədə toxunandır.

mµ

BH = əvəzləməsini edib (1.21) –də qradientin ifadəsini

açırıq:

jiBy

)(x

)( mmmm∂

∂−

∂∂

−=ϕµϕµ

. (1.26)

Bu ifadəni (1.25) ilə müqayisə edib vektor və skalyar potensial funksiyalar arasında bağlılığı ikiölçülü maqnit sahəsi üçün alırıq:

y

)(x

mmz∂

∂=

∂∂ ϕµA

; x

)(y

mmz∂

∂−=

∂∂ ϕµA

. (1.27)

constAz = və 1const)( mm =ϕµ əyriləri ortoqonal sistem təşkil edir, yəni düz bucaq altında kəsişirlər. Maqnit induksiya xətləri həmişə bu şərtlərə tabe olmalıdır.

20

1.10.Cərəyanın kənar bircins maqnit sahəsi ilə qarşılıqlı təsiri

Tutaq ki, I cərəyanlı qapalı yastı kontur bircins B induksiyalı kənar maqnit sahəsindədir (şəkil 1.5). Fərz edək ki, konturun müstəvisi başlanğıcda B -yə paralel qoyulmuşdur. Amper qanununa görə cərəyanın

2lId və 3lId elementlərinə təsir edən 2Fd , 3Fd qüv-vələri qiymətcə bərabər olacaq, istiqamətcə əks yönələcəklər. Bu qüvvələr elementar cüt yaradacaq. Cərəyanın bütün konturunu belə oxşar cütlərdən ibarət göstərmək olar. Elementar qüvvə cütləri konturu elə vəziyyətə gətirməyə çalışacaq ki, konturun öz maqnit sahəsi konturun daxilində xarici maqnit sahəsi ilə eyni istiqamətdə olsun. Belə dönmədən sonra 2lId və 3lId cərəyan elementlərinə təsir edən elementar qüvvələr qiymətcə eyni olub əks tərəfə yönələcəklər, amma onlar konturun müstəvisində yərləşdiklərinə görə konturu elə genəltməyə çalışacaqlar ki, sahəsi mümkün qədər böyük olsun. Əgər indi konturda cərəyanın istiqaməti dəyişilsə, cərəyan elementlərininə təsir edən qüvvələr konturu daraltmağa, konturun daxilində xarici maqnit selinin əksinə olan kontur cərəyanının maqnit selini azaltmağa çalışacaq. Belə bir nəticəyə gəlmək olar: «maqnit selinin cərəyanla, yaxud başqa maqnit sahəsilə qarşılıqlı təsir qüvvələri sistemin ümumi ilişmə selini həmişə artırmağa çalışır.»

Şəkil 1.5

21

1.11.Cərəyanın və kənar maqnit sahəsinin

qarşılıqlı enerjisi

Tutaq ki, I cərəyanlı kontur kənar B maqnit sahəsindədir (şəkil 1.5). Konturun 1I şəklini almaq üçün onun deformasiyasına nə qədər enerji sərf olunacağını aydınlaşdıraq. Deformasiyanı dövrəni qırmadan və yavaş-yavaş edirik ki, naqilin hərəkəti nəticəsində induksiyalanan e.h.q. nəzərə alınmasın. Tutaq ki, konturun deformasiya prosesində 1lId cərəyan elementi kiçik m məsafəsi qədər yerini dəyişir; bu zaman görülən iş

FmddW = olar,burada Fd - cərəyanın 1lId elementi ilə maqnit sahəsinin qarşılıqlı təsir qüvvəsidir. Bu qüvvə (1) düsturu ilə təyin edilir: [ ]BlF 1dId = ; [ ] [ ]BlmBlm 11 dIdIdW == . [ ]1lmd vektor hasili naqil elmentinin yərdəyişməsində keçdiyi elementar Nd sahəciyini ifadə edir; sahəciyin vektoru ona normaldır (şəkil 1.5). NBd skalyar hasili 1lId cərəyan elementinin yərdəyişməsi nəticəsində konturdan keçən dФ maqnit selinin dəyişməsini ifadə edər. Deməli, IdФdW = .

İnteqrallayıb alırıq:

ФI)ФФ(IIdFW ak

Ф

Ф

k

a

′=−== ∫ ,

burada Ф′ konturla ilişən maqnit selinin qiymətinin tam dəyişməsini ifadə edir.

22

Tutaq ki, deformasiyaya qədər kontur kənar maqnit sahəsilə ilişmirdi ( 00 =Ф ); bu o halda ola bilər ki, məsələn, kontur maqnit induksiya xətlərinə paralel olaydı. Deformasiyadan sonra kontur Ф seli ilə ilişəcək; deformasiya, sadəcə, konturun dönməsindən ibarət ola bilərdi. Beləliklə, cərəyanlı konturla kənar maqnit sahəsinin qarşılıqlı enerjisi belə ifadə olunar: IФW = . (1.28) (1.12) tənliyinə uyğun çevirmə aparırıq; bu zaman cərəyanın xətti elementini həcmi elementi ilə əvəz edirik: dVδ=lId : ∫∫ ==

VldVdIW δAlA (1.29)

Qarşılıqlı enerjinin sıxlığı, yənı vahid həcmə düşən enerji, cərəyan sıxlığı vektoru və kənar maqnit sahəsinin vektor potensialının skalyar hasilinə bərabərdir:

δA=dVdW

.

1.12.Qarşılıqlı induktivlik Tutaq ki, kənar maqnit sahəsi konturdakı I ′ cərəyanı ilə təyin edilir, konturun uzunluq elementi 2dl - dir. Bu sahənin verilmiş nöqtədə vektor potensialı (1.15) tənliyi ilə tapılır:

∫′

=l

mr

dI 24

lAπ

µ.

Cərəyanın I ′ kəmiyyətinin naqilin 2dl elementinin vəziyyətindən asılı olmadığına görə onu inteqral işarəsi xaricinə

23

çıxarmaq olar. Bu mülahizə ilə I cərəyanlı sonlu ölçülü başqa konturun da cərəyanını (1.29) tənliyində inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar. Onda cərəyanlı iki konturun qarşılıqlı maqnit enerjisinin qiymətini aşağıdakı tənliklə ifadə etmək olar:

∫ ′=′

′=l

IMIdI

IIW 1lA

∫ ′=

′=

l IФd

IM 12

1lA

(1.31)

M kəmiyyəti konturların həndəsi ölçülərindən və qarşılıqlı vəziyyətlərindən və eləcə də mühitin maqnit nüfuzluğundan asılı olan qarşılıqlı induktivlik adlanır. ∫=

ldФ lA12 cərəyanlı

konturlar arasında qarşılıqlı ilişmə selidir, yəni I ′ cərəyanının maqnit selinin I cərəyanlı konturdan keçən hissəsidir. Beləliklə, qarşılıqlı induktivlik vahid cərəyana düşən qarşılıqlı induksiyanın ilişmə selini ifadə edir. Digər tərəfdən, qarşılıqlı induktivlik ədədi qiymətcə, bir konturun cərəyanı zamana görə san/A1 sürətlə dəyişdikdə digər konturda induksiyalanan e.h.q.-yə bərabərdir. Qarşılıqlı induktivliyin ölçü vahidi :

)Hn(HenrisanOmsan/A

V=⋅= .

1.13.Cərəyanın məxsusi maqnit enerjisi

const=µ olduqda cərəyan sıxlığının və maqnit sahəsinin vektor potensialının qiymətlərı qarşılıqlı mütənasibdır. Bu (1.15) tənliyindən çıxır: δk=A , (1.32)

24

burada k - mütənasiblik əmsalıdır. Cərəyan sıxlığının kiçik artımı δd məxsusi maqnit enerjisinin həcmi sıxlığının kiçik δdA artımına səbəb olur. Cərəyan sıxlığının 0 -dan δ-ya qədər artması zamanı qərarlaşan məxsusi maqnit enerjisi sıxlığının tam qiyməti:

δδδδδδ

AδA21

22

00==== ∫∫

kdkddV

dWмцч . (1.33)

Maksvellin birinci (1.17) tənliyinə əsasən [ ]H∇=δ əvəzləməsini edib üç vektorun hasilini çevirək: [ ] [ ] -BHHAHA =∇−=∇ .

Mənfi işarəsi ona dəlalət edir ki, ölçüləri məhdud cərəyanlı konturun məxsusi maqnit enerjisi, bu cərəyanın maqnit sahəsinin tutduğu həcm genişləndikdə, azalacaqdır. Cərəyanın məxsusi maqnit enerjisinin həcmi sıxlığının mütləq qiyməti belədir:

2

BH=

dVdWмцч . (1-34)

1.14.İnduktivlik

Cərəyanın tam maqnit enerjisinin (1-33) ifadəsində cərəyanın həcmi elementini xətti elementi ilə əvəz edib alırıq:

∫∫ ==lV

IddVW lAA21

21 δ (1-35)

Bu inteqralda I cərəyanı sabit olduğu üçün intəqral işarəsinin qarşısına çıxarır və (1-12) asılılığından istifadə edirik. Onda

25

LIФIdIWl

м 222

2=== ∫ lAцч , (1-36)

burada L -verilmiş cərəyanlı konturun induktivliyidir:

lAdII

ФLl∫== . (1-37)

İnduktivlik – cərəyanlı konturla ilişən və vahid cərəyana düşən maqnit selini ifadə edir. İnduktivlik, ədədi qiymətcə - cərəyanı san/A1 sürətlə dəyişən konturda induksiyalanan e.h.q.-nə bərabərdir. İnduktivlik – Henri(Hn) ilə ölçülür. Sarğılar sayı w olan cərəyanlı konturun bütün sarğıları Ф maqnit selı ilə kəsilirsə, onda

II

ФwL Ψ== . (1-38)

olur.

1.15.Maqnit sahəsinin polad qırıntılarının köməyilə tədqiqi

Bu metodula, şəkil 1-6 və 1-7-də göstərildiyi kimi, sahənin keyfiyyətcə təsvirini almaq üçün polad qırıntıların köməyilə tədqiqat aparılır. Lakin qırıntıların vəziyyətinə görə müxtəlif nöqtələrdə induksiyanın qiymətini bilmək olmur. Ballistik qalvanometrə birləşdirilmiş kiçik sınaq sarğacılə əlavə ölçmələr lazımdır. Şəkil 6-da göstərilən ikiqütblü elektromaqnitin maqnit induksiya xətləri və eyni skalyar maqnit potensiallı xətləri belə alınmışdır: qütblər arasından, düz ortadan, CC xətti keçirilmişdir. Çox kiçik sınaq sarğacı bu xətt boyunca hərəkət etdirilib nəticədə CC xətti üzrə CC−B maqnit induksiya əyrisi alınmışdır. Kiçik xəta ilə təyin oluna bilən ilkin sahə xəttini seçirlər. Bu düz xətt qütb uclarının ortasını birləşdirən 0 xəttidir. Sahənin

26

istə-nilən cüt xətləri ara-sında CC ekvipotensial xətti boyunca götürülmüş ∫ lBd inteqralı eyni qiymətə malik olmalıdır. Qrafiki

Şəkil1-6 Şəkil 1-7 üsulla CC−B əyrisini, CC və 0 xətlərinin kəsişdiyi nöqtədən başlayaraq, inteqrallayırlar; inteqralın qiyməti, əvvəldən, ixtiyari seçilmiş qiymətə çatdıqda CC xəttinin üzərində sahə xəttinin keçəcəyi 1 nöqtəsini qeyd edirlər; inteqrallamanı CC və 1 xətlərinin kəsişdiyi nöqtədən başlayaraq həmin qiyməti alana qədər davam etdirilir və sahə xətti keçərək 2 nöqtəsini qeyd edirlər və i.a. Sahənin CC xəttinin solunda və sağındakı 1, 2, ... xətlərinin istiqamətləri qırıntılarıın vəziyyətini göstərəcəkdir. Digər ekvipotensial xətlərin qurulması (şəkil1-6-da ikisi, A və B göstərilib) aşağıdakı şərtlərə riayət etməklə icra edilir: a) sahə xətləri və ekvipotensial xətlər kəsişmə nöqtələrində qarşılıqlı perpendikul-yardır; b) iki qonşu sahə xətləri arasında istənilən ekvipoten-sial xətt boyunca ∫ lBd inteqralı həmişə eyni qiymətə malikdir.

27

Bəzi hallarda sahənin kəmiyyətcə təsvirini almaq mümkün olmur. Buna misal həmin elektromaqnitin qütblərinin səthinə paralel müstəvidəki sahəsinin şəkil 1-7- də verilmiş təsvirini göstərmək olar. Burada maqnit induksiyasının yalnız çertyoj müstəvisindəki mürəkkəbəsini ölçmək olar. B,A və C ekvipotensial xətlər qırıntıların vəziyyətinə görə müəyyən olunan sahə xətlərinə perpendikulyar olması şərtinə görə qurulmuşdur. Ekvipotensial xətlərin üzərində qeydlər verilmiş xətt boyunca ∫ lBd inteqralının bərabər qiymətlərinə uyğundur, lakin bu qiymətlər A və B xətlərində eyni deyil, çünki baxılan oblastda sahə ikiölçülü deyil; buna görə də sahə xətlərini qurmaq üçün bu qaydalardan istifadə etmək olmaz.

1.16.Yüklü hissəciyin maqnit sahəsində hərəkəti

Maqnit sahəsinə müəyyən sürətlə daxil olan yüklü hissəciyin trayektoriyası sahə qüvvəsinin təsirilə dəyişir. Öz növbəsində yüklü hissəcik hərəkətilə sahəyə təsir edir və onun intensivliyini dəyişir. Lakin, əgər hissəciyin yükü böyük deyilsə, onun sahəyə təsirini nəzərdən atmaq olar və hesab etmək olar ki, maqnit induksiyası yükün 0q qiymətindən asılı deyil. Təcrübə göstərir ki, hərəkət edən yüklü hissəciyə təsir edən qüvvə hərəkətin v sürətinə və maqnit induksiya B vektoruna perpendikulyar istiqamətdə yönəlir: [ ]vBF 0qm = . mF qüvvəsi iki halda sıfır ola bilər. Birinci, hissəcik sükunətdə olanda 0=v , maqnit sahəsi tərpənməz yükə təsir etmir. İkinci, hissəcik induksiya xətlərinə paralel hərəkət etdiklə, yəni B və v vektorları arasında bucaq 0 , yaxud 180 olanda. Belə halda hərəkət ətalət nəticəsində davam edir və hissəcik sahəyə daxil olduğu başlanğıc sabit sürətlə sahədən çıxır. Əgər hissəcik B vektor xətlərinə perpendikulyar istiqamətdə daxil olarsa, hissəciyə təsir qüvvəsi maksimal olar.

28

Bu halda vBqF max.m 0= .

mF qüvvəsi həmişə v vektoruna perpendikulyar olduğuna görə, o iş görmür, sürətin mütləq qiyməti dəyişmir, deməli, hərəkət edən hissəciyin kinetik enerjisi dəyişmir. Hərəkətin tənliyi Nyuton qanunu ilə müəyyən olunur:

[ ]vBvF 00 qdtdmm == ,

burada 0m -hissəciyin kütləsidir.

vF ⊥m olduğuna görə təcil də vv⊥

dtd

olur. Deməli,

hərəkət dəyişməz sürətlə v baş verir, yalnız sürətin istiqaməti dəyişir. Normal təcil trayektoriyanın əyrilik radiusu və hərəkətin sürəti arasında belə bağlılıq olacaq:

0R

vdtdv

= .

Bir neçə xüsusi hala baxaq. Maqnit sahəsi bircinsdir, zamana görə dəyiş-məzdir,

const=B . Başlanğıc sürət Bv ⊥ . Qüvvənin qiyməti BvqFm 00= , çünki bu halda 0vv = . Başqa qüvvələr olmadıqda

hissəcik B vektoruna perpendikulyar olan müstəvidə çevrə üzrə hərəkət edəcəkdir. Çevrənin radiusu:

Bqvm

Fvm

dtdvvR

m 0

00200

0

20

0 === .

Başqa bərabər şərtlərdə 0m kütləsi böyük olduqda trayek-toriyanın əyriliyi kiçik olar. Fırlanma periodu:

29

Bq

mvRT

0

0

0

00

22 ππ== .

Bucaq tezliyi:

0

0

00

2m

BqT

==πω .

Trayektoriyanın əyrilik radiusunu belə yazmaq olar:

0

00 ω

vR = .

Əgər başlanğıc 0v sürəti B vektoru ilə α bucağı təşkil edirsə, sürət vektorunu iki mürəkkəbəyə ayırmaq olar: B vektoru və ona perpendikulyar istiqamətlərdə: ατ cosvv = ; αsinvvn = .

Nəticədə təsir edən qüvvə:

BvqF nm 0= .

Şəki l -8 Sürətin τv mürəkkəbəsi qiymətcə və istiqamətcə sabitdir.

nv mürəkkəbəsi qiymətcə sabit qalaraq mF qüvvəsinin təsirilə

30

Şəkil 1-9

istiqamətini dəyişir. Yəni hissəciyin hərəkəti iki hərəkətdən toplanır: B vektoru xətlərinin istiqamətində τv sürətilə düzxətli və bu xətlərin ətrafında çevrə üzrə bərabər sürətlə hərəkəti, belə ki, α bucağı sabit qalır:

constvvarctg n ==τ

α

Nəticəvi hərəkətin trayektoriyası vint xətti olacaqdır (şəkil 1-8). Vint xəttinin 0R radiusu və addımı h aşağıdakı düsturlarla təyin edilir:

Bq

sinvmBqvmR n

0

0

0

00

α== ;

BqcosvmTvh0

00 2 απτ == .

Əgər 0q yüklü hissəcik eyni zamanda B induksiyalı maqnit sahəsində və E intensivlikli elektrik sahəsində hərəkət edirsə, onda hissəciyə mF qüvvəsindən başqa daha bir qüvvə təsir edir: EF 0qe = .

Nəticəvi qüvvə

[ ])qem vB(EFFF +=+= 0

L o r e n s q ü v v ə s i adlanır. Əgər 0q yüklü hissəcik yalnız bircins elektrik sahəsində hərəkət edirsə, belə ki, sürətin istiqaməti E vektoru ilə eyni olarsa, hissəciyin hərəkəti bərabər artan düzxətli olacaqdır. Bu halda hərəkətin sürəti bu düsturla təyin edilir:

31

wtvv += 0 .

Təcil 0m

Fw e= və EqFe 0= olduğuna görə :

0

00 m

Etqvv += .

Tutaq ki, 0q yüklü və 0m kütləli hissəcik 0=t anında elektrik sahəsinə daxil olur (şəkil 1-9). Sahə bircinsdir. Sahənin intensivliyi const=E . O nöqtəsində hərəkət sürəti

ov -a bərabərdir, belə ki, Ev ⊥ . İlk trayektoriyadan h meyletmənin təyin olunması tələb olunur. Elektrik sahəsində hissəciyin hərəkəti EF 0qe = qüvvəsinin təsirilə wtv =τ bərabərartan hərəkət və sabit constvvn == 0 sürətlə bərabər sürətli düzxətli hərəkətin cəmindən ibarətdir. O nöqtəsində sürət nvvv == 0 olduğuna görə bu nöqtədə

0=τv . 0=t anında hissəcik sahəyə daxil olubsa, istənilən sonrakı t anında bu sürət belə olar:

wtv =τ .

eF qüvvəsinin yaratdığı təcil:

0

0

0 mEq

mFw m == .

Onda

0

0m

tEqv =τ

a nöqtəsində 1t anında sürət:

32

0

10m

tEqv a =τ .

Hissəciyin sahədə hərəkət müddəti (şəkil 1-9): 01 v/lt = . İlkin trayektoriyadan meyli:

200

201

21

22 vmlEqtwh == .

1.17.Ferromaqnit materiallar

Ferromaqnit materiallar maqnit xassəsinə görə iki qrupa bölünür: maqnit-yumşaq və maqnit-bərk. Onları dövri-maqnitləşmə ilgəyinə görə fərqləndirirlər (şəkil 1-10). Maqnit-yumşaq materialın histerezis ilgəyi ( a ilgəyi) ensiz, maqnit-bərk materialın histerezis ilgəyi isə (b ilgəyi) enli olur. Maqnit-yumşaq materiallar elektrik maşınlarında və nisbətən kiçik sahə intensivliyi şəraitində böyük maqnit induksiyası almaq lazım olan quruluşlarda istifadə olunur. Onların nisbi maqnit nüfuzluğu çox böyükdür. Maqnityumşaq materiallar dövri maqnitləşmədə işlədiyinə görə yaranacaq histerezis itgilərinin az olması üçün onların histerezis ilgəyi mümkün qədər ensiz olmalıdır. Maqnit–bərk materiallar sabit maqnit hazırlamaq üçün istifadə olunur. (6) ifadəsi çox uzun çubuq, ya da qapalı toroid şəkilli ferromaqnit cisim üçün yazılmışdır. Əgər ferromaqnit cisim elə şəkildə olsa ki, maqnit induksiya xətlərinin bir hissəsi havadan keçsin (qısa çubuq, hava aralığı olan toroid və s.), onda maqnitləşmə J -dən kiçik olacaq. Ona görə də hesablamaya JN kəmiyyəti əlavə edilir, burada N - vahiddən kiçik əmsaldır, ferromaqnit cismin maqnitlənməsi zamanı maqnit xətlərinin yolunun bir hissəsinin havadan keçdiyini nəzərə alır. (1-6) tənliyi daha ümum şəkildə belə yazılır:

33

)N( polm JHB += µ . (1-39)

Şəkil 1-10 Şəkil 1-11 Burada polH -ferromaqnit cisimdə maqnit sahəsinin həqiqi intensivliyidir:

mqsHHJBH −=−= Nm

pol µ. (1-40)

burada mqsH -maqnitsizləşdirici sahə adlanır.

polmqs )(NN HJH 1−== µ . (1-41)

N - maqnitsizləşdirici faktor adlanır. Misal kimi kiçik hava aralıqlı toroidin maqnitsizləşdirici faktorunu təyin edək (şəkil 1-11). Hava aralığının uzunluğu hl , maqnit induksiya xəttinin tam uzunluğu l -dir. Onda hpol lll −= maqnit induksiya xəttinin poladdakı uzunluğu olar. Sarğılar sayı w olan I cərəyanlı təsirləndirici dolaq bircins xarici maqnit sahəsi yaradır ki, onun intensivliyi:

l

IwH = . (1-42)

34

Toroidin en kəsiyi oxu üzrə dolanaraq tam cərəyan qanununu yazaq: hhpolpol lHlHHlIw +== , (1-43)

burada polH - sahənin poladda intensivliyi; hH - sahənin hava aralığında intensivliyidir. (1-43) ifadəsinin sağ tərəfinə hpollH həddi əlavə edib

çıxırıq, sonra isə hər tərəfi hpol lll += ifadəsinə bölüb nəticəni aşağıdakı şəkildə yazırıq:

ll)HH(HH h

polhpol −−= . (1-44)

Əgər hava aralığı çox kiçikdirsə ( polh ll << ), onda

hpol BB ≈ :

hpolm HH 0µµ ≈ ;

polpolm

h HHH µµµ

==0

, (1-45)

burada µ - poladın nisbi maqnit nüfuzluğudur. (1-45) ifadəsini (1-44)-də yerinə yazıb nəticəni (1-41) və (1-42) tənlikləri ilə müqayisə edərək maqnitsizləşdirici faktoru təyin edirik:

llN h= . (1-46)

1.18.Maqnit ekranlaşdırması Tutaq ki, fəzanın 1r radiuslu silindrik şəkilli bir oblastını xarici bircins sabit 0H maqnit sahəsindən mühafizə etmək lazımdır. Bu məqsədlə mütləq maqnit nüfuzluğu 1mµ olan ferromaqnit materialdan düzəldilmiş boruşəkilli ekrandan istifadə

35

olunur. Borunun daxili və xarici silindrik səthlərinin radiusları 1r və 2r -dir. Ekranlaşdırılan oblast və xarici oblast hava ilə doldurulub ( 0µµ =m ). Silindrik koordinatların oxunu ekranın oxu üzərində götürürük. Hər üç oblastda skalyar maqnit potensialı üçün Laplas tənliyi belə şəkildə olacaq:

0112

2

22 =

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇θϕϕϕ mm

m rrr

rr. (1-47)

Bu tənliyin həllini iki funksiyanın hasili şəklində axtarırıq: )()r( mmm θϕϕϕ 21 ⋅= . (1-48) Bu funksiyaların hər biri bir dəyişəndən: m1ϕ təkcə r -dən,

m2ϕ təkcə θ -dan asılıdır. (1-48) tənliyini diferensiallayıb (1-47) tənliyində yerinə yazırıq və dəyişənlərə ayrılan tənlik alırıq:

22

2

2

1

1

11θϕ

ϕϕ

ϕ dd

drdr

drd m

m

m

m−=

. (1-49)

Bu bərabərlik r və θ -nın istənilən sonlu qiymətləri üçün doğru olmalıdır. Bu o halda mümkün olar ki, onun hər iki hissəsi eyni bir sabitə bərabər olsun. Bu sabiti 2p ilə işarə edirik:

222

2

2

1 pd

d m

m−=

θϕ

ϕ, (1-50)

21

1

1 pdr

drdrd m

m=

ϕ

ϕ. (1-51)

(1-50) tənliyinin inteqralı:

θθϕ sinApcosAm 212 += (1-52)

36

Simmetrikliyə görə 02 =A olmalıdır. Qoyulmuş şərt tələb edir ki, 1=p olsun. Onda

θϕ cosAm 12 = (1-53)

(1-51) tənliyini həll etmək üçün yeni dəyişən daxil edirik:

rln=η . (1-54) onda

ηϕη

ηϕϕη

dd

rdrd

dd

drd;

rdrd mmm 111 11

⋅=⋅== və s.

(1-51) tənliyi belə şəkil alır:

mm

dd

121

2ϕ

ηϕ

= . (1-55)

Bu tənliyin inteqralı məlumdur:

r

CrCeCeCm2

1211 +=+= −ηηϕ . (1-56)

(1-53) və (1-56) ifadələrini (1-48)-də yerinə yazıb Laplas tənliyinin həllini alırıq

θϕ cosr

KrKm

+= 2

1 , (1-57)

burada 111 KCA = və 221 KCA = işarə edilmişdir. a) Bu ifadə ekranlaşdırılan oblast üçündür. b) Ekranın cismi üçün:

θϕ cosr

KrK eee.m

+= 2

1 . (1-58)

c) xarici fəza üçün

θϕ cosr

KrK xxx.m

+= 2

1 . (1-59)

37

Maqnit sahəsinin hər bir oblastda intensivliyi skalyar maqnit potensialının mənfi işarə ilə qradienti kimi tapılır: a) ekranlaşdırılan oblastda

θθθ 11 22

122

1 ⋅

++⋅

−−= sin

rKKcos

rKK rH ; (1-60)

b) ekranın cismində

θθθ 11 22

122

1 ⋅

++⋅

−−= sin

rKKcos

rKK e

ere

eeH ; (1-61)

c) xarici fəzada

θθθ 1sin1cos 22

122

1 ⋅

++⋅

−−=

rKK

rKK x

xrx

xxH ; (1-62)

İnteqral sabitlərinin təyin edilməsi. Çox böyük məsafələrdə ekranın xarici sahəyə təsiri nəzərə çarpmayacaq. Buna görə ∞=r olduqda və məsələn, 0=θ halında: rx H 10 ⋅−=∞H .

(1-62) tənliyinə görə isə bu kəmiyyət rxK 11 ⋅− -ə bərabərdir. Beləliklə 01 HK x = . (1-63)

Ekranlaşdırılan oblastda maqnit intensivliyi hər yerdə, o cümlədən oxun yanında ( 0=r ), sonlu qiymətə malikdir, buna görə də 2K sabiti sıfır olmalıdır: 02 =K . (1-64) Maqnit sahəsinin sərhəd şərtlərinə əsasən ekranın daxili ( 1rr = ) və xarici ( 2rr = ) səthlərində sahənin intensivliyinin

38

toxunan və maqnit induksiyasının normal, bu halda radial, mürəkkəbələri kəsilməzdır. (1-60), (1-61), (1-62) tənliklərinin sağ tərəflərinin uyğun hədlərini cüt-cüt götürüb, (1-63) və (1-64) ifadələrini,

,, em HBHB e 10 µµ == xx HB 0µ= olduğunu nəzərə alaraq, tənliklər tərtib edirik. Bu cəbri tənliklər sisteminin ekranlaşdırılan oblast üçün həlli belə olar:

22201 114

)(s)(HK

ννν

−++= , (1-65)

burada

11

0 1µµ

µν ≈=m

, (1-66)

2

1rrs = (1-67)

Şəkil 1-12

39

Ekranlaşdırılan oblastda maqnit sahəsinin intensivliyi:

)sincos(K r θθθ 111 ⋅+⋅−=H . (1-68)

H vektorunun ədədi qiyməti bütün ekran-laşdırılan oblastda sabitdir və 1K -ə bərabərdir. H vektoru xarici fəzanın hər yerində

xH sahəsi ilə eyni istiqamətdə yönəlir. Bu, şəkil 1-12-də görünür. Başqa sözlə bircins xarici sahə (ekrandan uzaqda) halında ekranlaşdırılan oblastda da bircins sahə alınır, hansı ki, 10 K/H dəfə xarici sahədən zəif olur. 10 K/H kəmiyyəti ekranlaşdırma (χ ) əmsalı adlanır. Silindrik ekran üçün:

ν

ννχ4

11 222 )(s)( −−+= . (1-69)

Bu düsturla hesablanmış əyrilər şəkil 12,b-də göstərilib.

1.19.Sabit maqniti hesablama prinsipi

Dövri maqnitləşmənin geri qayıdan hissəsi

132 BBBB m (şəkil 1-13) işçi hissədir. Sabit maqnitin maqnit dövrəsinə hava aralığının daxil edilməsi maqnit induksiyasını 2B qiymətindən kiçik 3B qiymətinə qədər azaldır. Bu qiymət poladda maqnitsizləşdirici sahənin intensivliyinə uyğundur:

NJHmqs −=− . (1-39) tənliyini bu halda belə yazmaq olar:

JJHB )N()( mqsm −=+−= 10µµ . (1-70)

Şəkil 1-13-dən yaza bilərik:

40

−

=

=

B

H

mB

Hmqs

mm

NN

mm

HH

tg1

1

3 µψ ,

burada Hm və Bm - geri qayıdan əyrinin absis və ordinatının miqyasıdır.

3

01 BH

NN mqsµ=−

. (1-71)

Kiçik hava aralığında enerji belə təyin edilə bilər:

slHBW hhh ⋅⋅=

2, (1-72)

burada hB və hH - hava aralığında sahənin induksiyası və intensivliyi; hl və s - hava aralığının uzunluğu və en kəsiyi sahəsi (təxminən ilk yaxinlaşmada poladın en kəsiyinə bərabər götürülür). hapolh BBB =≠ əvəzləməsini edirik və hH -ın qiymətini maqnit dövrəsi üçün Kirxhofun ikinci qanunundan yerinə yazırıq: 0++− hhpolmqs lHlH .

Nəticədə alırıq:

polmqahapolmqahah V)HB()sl)(HB(W21

21

== , (1-73)

burada polV - maqnitin həcmidir. Daha yaxşı istifadə olunması üçün materialı elə şəraitə qoymaq lazımdır ki, ( BH ) hasili maksimal olsun. Şəkil 1-13,b-də

41

)B(f)BH( = əyrisi verilib; ondan görünür ki, enerjinin maksimumu maqnit induksiyasının ψtg -nin və maqnitsizləşdirici

mN faktorunun ən sərfəli müəyyən qiymətlərinə uyğun mB qiymətində alınır.

Şəkil 1-13 maksmaks W)BH( = və mB qiymətləri maqnitbərk materiallar üçün sorğu cədvəllərində verilmişdir.

Ikinci fəsil

ELEKTROMAQNİT SAHƏSİ

2.1.Elektromaqnit sahəsinin əsas tənlikləri Elektromaqnit sahəsinin komponentrləri olan, elektrik və maqnit sahələri arasında rabitə Maksvell tənlikləri şəklində ifadə olunur. Maksvellin tənliklər sistemini dörd tənlik təşkil edir: 1. Maqnit sahəsi intensivliyininin rotoru ilə sahənin həmin nöqtəsində cərəyan sıxlığı arasında bağlılığı ifadə edən tənlik. Bu tənliyə Maksvellin birinci tənliyi deyilir.

42

2. Elektrik sahəsi intensivliyininin rotoru ilə maqnit sahəsinin həmin nöqtədə dəyişmə sürəti arasında bağlılığı ifadə edən tənlik. Bu tənliyə Maksvellin ikinci tənliyi deyilir. 3. Maqnit sahə kəsilməzliyini ifadə edən 0=Bdiv tənliyi. . 4. Elektrik sahəsinin intensivliyininin mənbəsi ilə həmin nöqtədə sərbəst yüklərin sıxlığı arasında bağlılığı ifadə edən

ь

ыцки

ερ

=Ediv tənliyi.

Elektromaqnit sahəsində enerji münasibətlərini tədqiq etdikdə Umov-Poytinq teoremindən də istifadə olunur. Maksvellin birinci tənliyi tam cərəyan qanununun diferensial şəklidir: ∫∫ ==

Stam

Ldid SlH tamδ .

Stoks teoreminə görə H vektorunun sirkulyasiyasını

çeviririk:

∫∫ ==S

tamL

drotid SHlH .

İndi aşağıdakı bərabərliyi yazmaq olar:

∫∫ =SS

ddrot SSH tamδ .

Bərabərlik inteqrallamanın istənilən S hədləri üçün doğru olduğuna görə inteqralaltı funksiyalar da bərabərdir: tamrot δ=H . (2-1)

Bu tənlik Maksvellin birinci tənliyi adlanır. Tam cərəyan sıxlığı keçiricilik cərəyanı Eγ=δ ilə yerdəyişmə t∂∂= D/ydδ cərəyanının cəminə bərabər olduğu üçün Maksvellin birinci tənliyi belə şəkil alar:

43

t

rot∂∂

+=DEH γ .

Sabit dielektrik nüfuzluqlu mühitlər üçün

t

rot m ∂∂

+=EEH εγ .

Bu tənliyin fiziki mənası onu təsdiq edir ki, burulğan maqnit sahəsi, zamana görə dəyişən keçiricilik cərəyanları, həm də elektrik sahəsi ilə yaranır. İdeal dielektriklər üçün, 0=γ alırıq:

t

rot m ∂∂

=EH ε .

Maksvellin birinci tənliyi zamana görə dəyişən elektrik sahə intensivliyi ilə fəzada dəyişən elektrik maqnit sahə intensivliyi arasında asılılığı müəyyən edir və göstərir ki, elektromaqnit sahəsi daim hərəkət edir. Maksvellin ikinci tənliyi elektromaqnit induksiya qanununun diferensial şəklidir. Bu qanuna görə sarğı ilə ilişən Ф maqnit seli dəyişdikdə sarğıda e.h.q. yaranır:

dtdФe −= .

Maksvell bu qanunu universallaşdırıb göstərdi ki, sarğı olmadıqda da maqnit sahəsinin dəyişməsi elektrik sahəsi yaradır. B induksiyalı maqnit sahəsində L konturu ilə əhatə olunmuş ixtiyari S səthindən keçən maqnit seli belə ifadə olunur: ∫=

SdФ SB .

Əgər induksiyalanmış elektrik sahəsinin intensivliyi E ilə işarə edilərsə, konturda induksiyalanan e.h.q. ∫=

Lde lE .

44

Hesab edirik ki, S səthi və L konturu tərpənməzdir və deformasiya etmir, onda:

∫∫ ∂∂

−=∂∂

−=SL

dtt

Фd SBlE . (2-2)

L konturunu müsbət dolanma istiqaməti və S səthinə normalın müsbət istiqaməti elə seçilir ki, onlar sağgedişli vint sistemini təsvir etsin. Xüsusi törəmə ona görə daxil edilib ki, e.h.q. təkcə maqnit selinin zamana görə dəyişməsi hesabına deyil, həm də konturun hərəkəti, yaxud deformasiyası hesabına yarana bilər. Stoks teoreminə görə sirkulyasiyanı dəyişmək olar: ∫∫ =

SLdrotd SElE .

Deməli,

∫∫ ∂∂

−=SS

dt

drot SBSE .

İnteqralların bərabərliyi istənilən S üçün doğrudur, buna görə inteqralaltı funksiyalar da bərabərdir:

t

rot∂∂

−=BE . (2-3)

Bu ifadə Maksvellin ikinci tənliyi adlanır. Onun fiziki mənası ondan ibarətdir ki, zamana görə dəyişən maqnit sahəsi burul- ğan elektrik sahəsi yaradır. 0≠Erot oldu- ğuna görə E vektorunun xətləri qapalı ola bilər, belə ki, onlar B ektorunun xətlərini

əhatə edir. B vəE vektorlarının xətləri şəkil 2-1-də 0<∂

∂

tB

üçün

göstərilib.

Şəkil 2-1

45

Qeyd edək ki, elektrostatik sahə burulğansızdır ( 0=Erot ), E vektornun xətləri açıqdır, müsbət yükdan başlayıb mənfi yükdə qurtarır. Sabit maqnit nüfuzluqlu mühitlər üçün Maksvellin ikinci tənliyi belə şəkil alır:

t

rot m ∂∂

−=HE µ . (2-4)

2.2.Elektromaqnit sahəsinin tam tənliklər sistemi

Elektromaqnit sahəsi dörd vektorla ( HB,D,E, ) xarakterizə edilir. Sabit nüfuzluqlu mühitlər üçün bu vektorlar arasında belə münasibət vardır: ED mε= ; HB mµ= .

Buna görə də hesablama zamanı yalnız iki vektoru təyin etmək kifayətdir. Adətən, Maksvell tənliklərindən E və H vektorlarını təyin edirlər.

t

rot m ∂∂

+=EEH εγ ;

trot m ∂

∂−=

HE µ .

Lakin E və H - ı birqiymətli təyin etmək üçün bu tənliklər kifayət deyil. Məlum rotoruna görə vektoru birqiymətli təyin etmək olmur. Ona görə də E və H vektorlarının divergensiyalarını da vermək lazımdır. Qauss teoreminin diferensial şəklinə görə sabit ε halında:

m

divερ

=E .

Maqnit sahəsinin əsas xassəsi onun solenoidal ( 0=Bdiv ) olmasıdır. Bu, H vektorunun divergensiyasını təyin etməyə imkan verir. Maqnit nüfuzluğu sabit olduqda 0=Hdiv . Deməli, elektromaqnit sahəsinin sabit parametrli mühiti üçün( const,const,const === γµε ) tam tənliklər sistemi belədir:

46

t

rot m ∂∂

+=EEH εγ ; 0=Hdiv ;

t

rot m ∂∂

−=HE µ .;

mdiv

ερ

=E .

2.3.Umov-Poytinq teoremi ani qiymətlər üçün

Elektromaqnit sahəsi vasitəsilə enerjini məsafəyə ötürmək olur. Buna misal, işığın və radiodalğaların yayılmasını göstərmək olar. Enerjinin ötürülməsinin bu proseslərinin tədqiqi, 1874-cü ildə N.A.Umov tərəfindən işlənmiş olan, enerjinin hərəkəti haqqında elm əsasında aparılır. Elektromaqnit sahəsinin oxşar tədqiqini XIX əsrin 80 – ci illərində Poytinq aparmışdır. Umov-Poytinq teoremini iki yazılış şəkli vardır: ani qiymətlər üçün və sinusoidal dəyişən kəmiyyətlər üçün kompleks şəkli. Məlumdur ki, elektrik sahəsinin vahid həcmə düşən enerjisi

2

2Emε , maqnit sahəsinin vahid həcmə düşən enerjisi 2

2Hmµ -ə

bərabərdir. dV həcmində tam enerji belə ifadə olunar:

dVHE mm

+

22

22 µε.

Bu enerjinin daxil olduğu ifadəni almaq üçün (2-1) ifadəsini dVE -yə, (2-2) ifadəsini isə dVH -yə vururuq:

dV

Et

E

dVt

dVrot

m

m

∂∂

+=

=

∂∂

+=

2

22 ε

γ

εγEEEEHE

, (2-5)

47

dVHt

dVt

dVrot mm

∂∂

−=

∂∂

−=2

2µµ HHEH . (2-6)

(2-5)-dən (2-6)-ı çıxırıq:

dV

HEt

E

dVrotrot

mm

+

∂∂

+=

=

22

222 µε

γ

E)H-H(E

. (2-7)

[ ] HE- EHEH rotrotdiv = olduğuna görə (2-7) ifadəsinin sol tərəfi [ ]dVdiv EH− -yə bərabərdir. Veməli:

dVHEt

EdVdiv- mm

+

∂∂

+=22

222 µε

γ(EH) .

[ ]EHS = işarə edirik. S vektoru Poytinq vektoru adlanır, onun ölçüsü:

2m

VAmA

mV

=⋅== HES .

yəni Poytinq vektorunun ölçüsü vahid səthə düşən gücün (vahid zamanda enerjinin) ölçüsü ilə eynidir, onun istiqaməti sağ gedişli burğu qaydası ilə tapılır: dəstəyi E -dən H -a doğru qısa istiqamətdə döndərdikdə burğu- nun irəli hərəkəti S vektorunun istiqamətini göstərir (şəkil 2-2). Beləliklə

dVHEt

EdVdiv- mm

+

∂∂

+=22

222 µεγS . (2-8)

Şəkil 2-2

48

(2-8) ifadəsini sonlu ölçülü bir həcmə tətbiq edək. Bu məqsədlə (2-8) ifadəsini V həcminə inteqrallayaq:

dVHEt

dVEdVdivV

mm

V∫∫∫

+

∂∂

+=−22

222 µεγ

VS . (2-8a)

Ostroqradski-Qauss teoreminə görə yazmaq olar:

∫∫ = sSS ddVdiv .

Beləliklə, ani qiymətlər üçün Umov-Poyting teoremi aşağıdakı şəkildə yazılır:

dVHEt

dVEdV

mm

V∫∫∫

+

∂∂

+=−22

222 µεγ

ssS . (2-9)

(2-9) ifadəsinin sol tərəfi Poytinq vektorunun bir V həcmini əhatə edən ixtiyari səthdən həcmin daxilinə doğru selidir. Coul-Dens qanununun diferensial şəklinə uyğun olaraq 2Eγ həddi vahid zamanda vahid həcmdə istiliyə ayrılan enerjidir. Deməli, ∫

VdVE 2γ - vahid zamanda V həcmində istiliyə

ayrılan enerjidir;

+

∂∂

22

22 HEt

mm µε vahid həcmdə

elektromaqnit enerji ehtiyatının dəyişmə sürətidir. Elektromaqnit enerjinin dəyişmə sürəti gücdür. Deməli, V həcmini əhatə edən səthdən Poytinq vektorunun seli V həcmində istilik şəklində ayrılan güc ilə elektromaqnit sahəsinin enerjisinin artmasına gedən gücün cəminə bərabərdir. Umov-Poyting teoreminə enerji balansı tənliyi kimi baxmaq olar; (2-9) ifadəsinin sol tərəfi Poytinq vektorunun seli şəklində V həcmini əhatə edən səthdən həcmə daxil olan güc, yaxud vahid zamandakı enerjidir; (2-9)-un sağ tərəfi isə həcmin daxilində vahid zamanda sərf olan enerjidir.

49

Şəkil 2-3

(2-9) ifadəsi V həcminin daxilində mühitin bircins və izotrop olduğu, əks olunan dalğaların olmadığı, e.h.q. mənbələrinin olmadığı şərait üçün alınmışdır. Əgər sahə zamana görə dəyişmirsə, onda:

022

22=

+

∂∂ HEt

mm µε və ∫∫ =−

VdVEd 2γ

ssS .

Elektromaqnit enerji onun generasiya olunduğu yerdən tələb olunan yerə dielektriklə ötürülür (naqillər isə iki rol yerinə yetirir: cərəyan axan kanal rolunu və dielektrikdə sahənin strukturunun təşkil edici rolunu). Bu iddianın doğruluğunu ən sadə misalla göstərək. Tutaq ki, sabit cərəyan enerjisi koaksial kabellə ötürülür (şəkil 2-3). Damarın radiusu 1r ,borunun daxili radiusu 2r -dir. Damarın və borunun keçiriciliklərini o qədər böyük qəbul edirik ki (nəzəri olaraq, sonsuz), damarda və boruda sahə intensivliyi

γδ

=E sıfıra yaxınlaşsın.

Damarla boru arasında fəza dielektriklə doldurulmuşdur. Qəbulediciyə vahid zamanda enerjinin ötürülmsinin, həqiqətən, dielektriklə yerinə yetirildiyinə əmin olaq. Bu məqsədlə baxılan misaldakı halqavarı dielektrikin en kəsiyindən Poytinq vektorunun selini hesablayaq. Dielektrikdə maqnit sahəsinin intensivliyi tam cərəyan qanununa görə:

r

IHπ2

=

Sabit cərəyanda dielektrikdə elektrik sahəsinin intensivliyi elektrostatik sahə şəraitində olduğu kimi təyin edilir:

50

1

22rrlnr

Url

QEm

==πε

.

Burada Q - l uzunluqlu damarın tam yükü, U -damarla boru arasında gərginlikdir. Vielektrikin oxdan r məsafədə olan bir nöqtəsində ( 21 rrr ≤≤ ):

1

222rrlnr

UIEHSπ

== .

E və H vektorları qarşılıqlı perpendikulyardır (şəkil 2-3). Poyting vektorunun radiusları 1r və 2r olan halqadan seli:

∫∫∫ ===2

1

2

1

1

2222

r

r

r

rUI

rdr

rrln

UIrdrSdπ

ππs

sS .

yəni, qəbulediciyə daxil olan enerji doğrudan da dielektriklə ötürülür. Kabelin damarı və boru naqillərilə enerji ötürülmür. Həm də nəzərə alınsa ki, γ sonludur və kabelin damar və borusunda elektrik sahəsinin intensivliyi cərəyan istiqamətində yönəlib və sıfır deyil, onda Poyting vektorunun naqilin yan səthindən daxilinə selinin movcudluğuna, yəni naqillərin özlərinin istilik itgilərini ödəmək üçün dielektrikdən enerji aldığına əmin olmaq çətin deyil.

• Məsələ. Elektrik sahəsinin intensivliyi ilə koaksial kabelin damarının səthindəki nöqtədə bu səthə normal arasındakı bucağın tangensini (şək. 2-3) təyin etməli və 1 m uzunluğunda damarın yan səthindən Poyting vektorunun selini hesablayıb onu damarın 1 m –indəki enerji itgisi ilə müqayisə etməli.

51

Mis damarın radiusu sm,r 301 = . Borunun daxili radiusu smr 12 = . Kabeldən axan sabit cərəyan AI 50= . Kabelin damar

və borusu arasında gərginlik kVU 10= . Həlli. Elektrik sahəsinin damarın səthində intensivliyinin normal mürəkkəbəsi:

m/V,

,ln,

rrlnr

UEn5

4

1

21

10772

3010030

10⋅=

⋅== .

Elektrik sahəsinin damarın səthində intensivliyinin tangensial mürəkkəbəsi Om qanununa görə:

m/V,,,r

IEt2

7221

1005310850030

50 −⋅=⋅⋅⋅

===πγπγ

δ.

Elektrik sahəsinin intensivlik vektoru E damarın səthinin normalı ilə α bucağı yaradır (şəkil 2-3). Bu bucağın tangensi:

71011 −⋅== ,EEtg

n

tα .

Damarın səthində maqnit sahəsinin intensivliyi tam cərəyan qanununa görə:

m/A,r

IH 265000302

502 1

=⋅

==ππ

Poyting vektorunun damarın səthindən daxil olan selini təyin etmək üçün vektorun HEt mürəkkəbəsini damarın m1 uzunluğundakı səthinin sahəsinə vurmaq lazımdır:

Vt,,,rHEt 523110030226501005312 21 =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ − ππ .

Bu qiymət, dəqiqliklə, m1 uzunluğundakı kabelin damarında itən gücə bərabərdir:

52

Vt,,,s

lIRI 523100301085

150 27222 =

⋅⋅⋅==

πγ

• Məsələ. Şəkil 2-5-də transformatorun nüvəsinin en kəsiyi

təsvir edilmişdir. Nüvə bir sarğı ilə əhatə olunub. Sarğının açıq a və b uclarına eyni elektrodinamik sistemli

1V və 2V voltmetrlərı qoşulub. Voltmetrlərdən a və b nöqtələrinə gedən məftillərin vəziyyəti şəkildə göstərilib. Sarğının və məftillərin ayrı-ayrı nöqtələri hərflərlə işarə edilib.

Ф maqnit seli transformatorun nüvəsi boyunca yönəlib (şəkilə perpendikulyar) və zamana görə belə dəyişir: Vbtcos,Ф 5000010=

Nüvədən kənarda maqnit selinin olmadığını və voltmetrlərin eyni müqavimətlərinin ( VR ) sarğının müqavimətindən

Şəkil 2-4 Şəkil 2-5 ( sR ) çox-çox böyük olduğunu ( sV RR >> ) qəbul edib voltmetrlərin göstərişlərini təyin etməli.

53

Həlli. 1V voltmetrindən keçən cərəyanı 1i , 2V -dən keçən cərəyanı 2i , sarğacdan axan cərəyanı isə i ilə işarə edirik. Cərəyanların müsbət istiqamətləri şəkildə göstərilib. Kirxhofun birinci qanununa görə

iii =+ 21 . (a)

Kirxhofun ikinci qanununa əsasən iki tənlik tərtib edək. Bunlardan biri 1V voltmetri və sarğının yaratdığı, yəni

aacdebV1 konturu üçün. Eənliyi yazdıqda nəzərə alırıq ki, kontur nüvəni əhatə edir və buna görə kontur Ф seli ilə kəsilir: 01 =++

dtdФiRRi sV . (b)

İkinci tənliyi 2V voltmetri və sarğının yaratdığı, yəni fbedcaagV2 kontur üçün yazırıq. Bu kontur nüvəni əhatə etmir

və buna görə də maqnit seli onu kəsmir: 02 =+ sV iRRi . (c)

(c) tənliyindən s

VRRii 2−= tapıb (a)-da yerinə yazırıq və

alırıq:

+−= 121

s

VRRii . sV RR >> olduğuna görə

s

VRRii 21 −= . 21 iii += və

V

sRRii 12 −= ifadələrin (b)

tənliyində yerinə yazıb alırıq:

st

dФRiRR

RRRi V

V

s

V

sV −=≈

−+ 1

2

1 1 .

tsin,st

dФ 50050=− .

54

1V voltmetrinin göstərişi VRi1 kəmiyyətinin

təsiriedici qiymətinə, yəni V,, 3550250= -a bərabərdir.

2V voltmetrinin göstərişi 02 ≈VRi kəmiyyətinin təsiriedici qiymətinə, bərabərdir. Baxılan misal əyani surətdə göstərir ki, dəyişən elektromaqnit sahədə ölçü apardıqda voltmetrin göstərişi məftillərin necə yerləşməsindən asılıdır.

2.4.Umov-Poytinq teoremi kompleks qiymətlər üçün

Əvvəlcə dəyişən cərəyan dövrəsində tam güc məsələsinə baxaq. Tam gücün ifadəsi belədir:

.

Tutaq ki, dəyişən cərəyan dövrəsi ardıcıl birləşmiş aktiv müqavimət R , induktivlik L və tutumdan C ibarətdir. Onda reaktiv gücün ifadəsi belə olar:

)( em ww

CC

ILIC

LIxIQ

−=

=

−=

−==

ω

ωω

ωω

2

11 22222

Burada

2

2LIwm = və 2

2C

eCUw = ,

CU - kondensatorun gərgiliyidir.

Dəyişən cərəyan dövrəsində S~ tam gücü hesablamaq üçün U gərginlik kompleksini cərəyanın qoşma kompleksinə vurmaq lazım olduğu kimi Poyting vektorunun kompleksi üçün də bu əməldən istifadə edilir:

55

∫− sSd əvəzinə alırıq:

(2.3) və (2.4) –ə uyğun olaraq:

EEH mjrot ωεγ += ,

HE mjrot ωµ−= .

Deməli, EEH mjrot ωεγ −= və

=+=− HHEE-EEEHHE mm jjrotrot ωµωεγ

−+=

222

222 EHjE mm εµωγ .

Buna görə də

∫ ∫∫

−+=−

V V

mm dVEHjdVEd~22

222

2 εµωγsS .

Sağ tərəfin birinci toplananı aktiv gücü, ikinci isə reaktiv gücü verir. Belaliklə, Umov-Poytinq teoremi aşağıdakı kimi də yazıla bilər: jQPd~ +=− ∫ sS .

2.5.Naqil mühit üçün Maksvellin tənlikləri Tutaq ki, keçiriciliyi γ , maqnit nüfuzluğu µ olan naqil mühitdə elektromaqnit dalğa yayılır. E və H -ın sinusoidal dəyişməsi halı üçün Maksvellin birinci və ikinci tənliklərinin kompleks şəklini yazırıq: EEH

mjrot ωεγ += ,

HE mjrot ωµ−= .

56

Şəkil 2-6

Naqil mühitdə , hətta ən böyük tezliklərdə belə, γωε <<m olur. Buna görə də Maksvellin birinci tənliyində

Emjωε həddini atmaq olar. Beləliklə naqil mühit üçün Maksvell tənlikləri belə şəkil alar: EH γ=rot , (2-10)

HE mjrot ωµ−= . (2-11)

Bu tənliklər iki E və H məchullu tənlik sistemidir. Onları birlikdə həll edək. Bundan ötrü (2-10) tənliyinin rotorunu alaq: EHHgradH rotdivrotrot γ=∇−= 2 .

0=Hdiv olduğuna görə 0=Hgrad div . (2-11)-ə uyğun olaraq

Erot əvəzinə Hmjωµ− -i yazırıq. Alırıq:

HH mjωγµ=∇2 . (2-12)

(2-12) tənliyi H -a görə diferensial tənlikdir. H -ın hər üç, hətta iki koordinatdan asılı olduğu ən ümumi halda bu tənliyin həlli çətindir. Ona görə bu tənliyin həllini xüsusi hal üçün-yastı elektro-maqnit dalğası üçün tapaq (bax. 2.4-ə). Şəkil 2-6-da yastı elektromaqnit dalğanın qrafiki təsvir edilmişdir. Bu şəkildə eyni bir zaman anı üçün E və H vektorları dekart koordinat sisteminin z oxuna perpendikulyar olan iki paralel müstəvidə təsvir edilib. Birinci müstəvinin bütün nöqtələrində elektrik (maqnit) sahəsinin inten-sivliyi qiymət və istiqamətcə eynidir.

İkinci müstəvinin də bütün nöqtələrində elektrik (maqnit) sahəsinin intensivliyi qiymət və istiqamətcə eynidir, amma birinci müstəvidəki kimi deyil.

57

Yastı dalğanın tərifinə görə yaza bilərik:

0=∂∂

xH

, 0=∂∂

yH

, 0=∂∂

xE

, 0=∂∂

yE

.

Yastı dalğada E və H yalnız bir koordinatın, bu halda yalnız z -in funksiyasıdır. Koordinat oxlarını elə çəkirik ki, y oxu maqnit sahəsinin

H intensivliyi ilə üst-üstə düşsün. Bu halda: H jH = .

Bu ifadəni (2-12) –də yerinə yazıb 2∇ -nı açaq:

HjHzyx m

jj ωγµ=

∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2. (2-13)

Nəzərə alırıq ki:

02

2=

∂∂

xH

və 02

2=

∂∂

yH

.

Onda:

Hjdz

Hdm

ωγµ=2

2. (2-14)

Sonuncu tənlikdə xüsusi törəmə əvəzinə sadə törəmə yazılıb. Çünki H yalnız bir, z koordinatının funksiyasıdır. (2-14) tənliyi ikinci tərtib xətti diferensial tənlikdir. Onun həlli belə yazılır: pzpz eCeCH −+= 21

, (2-15)

Burada 1C və 2C - inteqrallama sabitləridir; bu kompleks sabitlər hər bir konkret məsələ üçün sərhəd şərtlərindən təyin edilir. p əmsalının ifadəsi:

mjp ωγµ= (2-16)

58

Əgər γ - 11 −− ⋅mOm , mµ - m/Hn vahidlərlə götürülsə, p -nin ölçüsü m/1 olar.

2

14590 jeej jj +===

olduğuna görə p -ni belə

ifadə etmək olar: )j(kp += 1 , (2-17) burada

2

mk ωγµ= . (2-18)

Elektrik sahəsinin intensivliyi (2-10) və (2-15) tənliklərinin köməyilə tapılır. (2-10)-dən:

H1E rotγ

= .

Hrot -ı tapaq. Hrot -ın dekart koordinat sistemində açılışını yazırıq:

zyx HHHzyx

rot

∂∂

∂∂

∂∂

=

kjl

H .

Baxılan məsələdə

0=∂∂

xH

və 0=∂∂

yH ,

Ona görə də Hrot -ın ifadəsi sadələşir:

∂∂

−=∂∂

=zH

Hz

rot

i

kjl

H

00

00 . (2-19)

Deməli,

59

=

dzHd-

γ1iE . (2-20)

Törəmə:

( )pzpz eCeCpdzHd −−= 21

(2-21)

(2-20) ifadəsi göstərir ki, yastı dalğada elektrik sahəsinin intensivliyi koordinat oxlarının seçilmiş istiqamətində, x oxu boyunca yönəlib; bunu x oxunun ortunun ( i ortu) varlığı göstərir. Beləliklə, yastı elektromaqnit dalğada E və H arasında

90 fəza sürüşməsi vardır. ( E x oxu istiqamətində, H y oxu istiqamətində yönəlib). p -nin γ -ya olan nisbətinə dalğa müqaviməti deyilir və

CZ kimi işarə olunur:

45jm

C epZγ

ωµγ== . (2-21I)

Dalğa müqaviməti Om ilə ölçülür. O, mühitin xassələrindən (γ və

mµ ) və ω bucaq tezliyindən asılıdır. (2-20) və (2-21) – ə uyğun

olaraq E -nin x oxuna proyeksiyası: цлывъж EEE += , burada pz

C eCZE −= 2

въж və pzC eCZE 1 −=цлы .

60

Şəkil 2-7 H -ın y oxuna proyeksiyası (2-15)-ə uyğun olaraq

цлывъж HHH += , burada pzeCH −= 2

въж və pzeCH 1

=цлы .

Düşən dalğanın въжE və въжH mürəkkəbələri Poytinq vektorunu въжS verir (şəkil 2-7,a). O z oxunun müsbət istiqaməti boyunca yönəlib. Deməli, enerjinin hərəkəti düşən dalğa ilə z oxunun müsbət istiqamətində baş verir. Əks olunan dalğanın цлыE və цлыH mürəkkəbə-ləri Poytinq

vektorunu цлыS verir (şəkil 2-7,b). O z oxunun mənfi istiqaməti boyunca yönəlib. Bu o deməkdir ki, əks olunan dalğa özü ilə enerji daşıyır və enerjinin hərəkəti z oxunun mənfi istiqamətində baş verir.

Dalğa müqaviməti CZ -ni цлы

цлы

въж

въж

HE

HE

= nisbəti kimi

qəbul etmək olar. Dalğa müqaviməti kompleks ədəd olduğuna görə (bax. 2-211) въжE və въжH arasında zamana görə sürüşmə,

sahənin eyni bir nöqtəsində, 45 -yə bərabərdir.

61

2.6.Toroidal maqnitkeçiricilərin elektromaqnit yükü.

Toroidal maqnitkeçiricilər, toroidal elektromaqnit elementləeinin (toroidal transformator və ya drossel) hazırlanmasında tədbiq olunur.Totoidal elektromaqnit elemetlərini hesabladıqda əsas həlledici parametrlərdən biri olan, maqnitkeçiricinin elektromaqnit yükü, yəni maqnit induksiyasının ədədi qiyməti hesabatın başlanğıcında dəqiq təyin olunmalıdır. Toroidal maqnitkeçiricilərin çəkisini, həcmini və temperatur rejimini müəyyənləşdirən əsas parametirlərdən biri maqnit-keçiricilərin elektromaqnit yüküdir. Maqnitkeçiricilərin elektromaqnit yükünün ədədi qiymətləri əsasinda azgüclü toridal elektrik elementləri üçün normal maqnitkeçi sıra hazırlanır. Toroidal normal maqnitkeçi sıranın optimal olması üçün maqnitkeçiricilərin elektromaqnit yükünün analitik ifadəsindən {Ə. 5, 6, 7} istifadə olunur:

B= (2.22)

Burada: f-tezlik α-istlikvermə əmsalı θ=T-To - səthinin temperatur artımı P- toroidal elektromaqnit elementin gücü Pkx- toroidal elektromaqnit elementin mis-dolaqın

xüsusi itgisi Pmx- toroidal elektromaqnit elementin maqnit-

keciricidəki xüsusi itgisi γm-maqnitkeciricinin xüsusi çəkisi Ψ=Pm/Pk-maqnitkeciridəki itginin dolağdakı itgiyə nisbəti

Kok-dolağın orta boşluğunun dolma əmsalı Km-maqnitkeciricinin dolma əmsalı Ki-(i=3,4,5,7), maqnitkeçiricinin nisbi həndəsi ölçülərini

göstərən funksional əmsallardır

62

Göründüyü kimi, toroidal eiektromaqnit elementinin eyni gücündə eiektromaqnit yükünün qiyməti şəbəkənin tezliyindən, temperatur arımından, maqnitkeçiricinin maqnit xarakteristikasından, həmçinin onun əsas həndəsi ölçüləri arasında optimal nisbətdən asılıdır.Odur ki, hər birm maqnitkeçirici sıra üçün şəbəkənin tezliyinin müxtəlif qiymətlərində toroidal eiektromaqnit elementinin elektromaqnit yükü hesabatin əvvəlində hesablanmalıdır.

2.7.Toroidal maqnitkeçiricilərin elektromaqnit yükü ifadəsinin

tədbiqi. Toroidal maqnitkeçiricilərin elektromaqnit yükünün ifadəsinin (2.22) tədbiqi məqsədilə maqnitkegirici kimi, XBП-0,08; tezliyi 400 hs. və ətraf mühitin temperaturunu Tə.m=3230K qəbul edib , nisbi həndəsi ölçülərin {Ə. 7} optimal qiymətləri əsasında alınır:

( 2.2) Burada: - T0 =3230 K temperaturda istlikvermə əmsalı; C= əmsalı toroidal elektrjmaqnit elementinin gücünə uyğun seçilir.

63

Üçüncü fəsil Sabit cərəyanın maqnit sahəsinə və elektromaqnit sahəsinnə

aid xüsusi məsələlərin həlli medodları

3.1.Sabit cərəyanın maqnit sahəsinə aid xüsusi məsələlərin həlli medodları

Məsələ 3.1. Düz silindrik naqildən I cərəyanı axır. Məftilin radiusu a - dır. Naqilin daxilində və xaricində maqnit sahəsinin intensivliyini tapmalı. Məftili tənha və sonsuz qəbul etməli. Həlli. Simmetrikliyə görə H vektorunun xətləri naqilin oxuna normal olan müstəvidə yerləşən çevrələr olacaqdır. Bu çevrələrin mərkəzləri silindrin oxundadır. Silindrin oxundan eyni məsafədə H vektorunun qiyməti eynidir: )r(fH = .

Naqilin daxilində H vektorunun xəttinə baxaq. Bu xətdə daxH vektorunun sirkulyasiyası əhatə olunmuş cərəyana

bərabərdir:

2

2

arId

ldax ⋅=∫ lH .

daxH vektoru inteqrallama konturuna toxunan olduğuna görə:

2

22

arIrHd dax

ldax ⋅=⋅=∫ πlH ,

buradan

22 aIrHdax π

= .

Naqilin səthində intensivlik ən böyük qiymətə malikdir. Naqildən xaricdəki kontur üzrə H vektorunun sirkulyasiyası üçün yaza bilərik:

64

Şəkil 3.1.

IrH xar =⋅ π2 .

Buradan

r

IH xar π2= .

Sərhəddə

a

IHH daxxar π2==

Şəkil 3.1.-də )r(fH = əyrisi göstərilib. Vektor potensialı A -nı təyin edək. Vektor potensialının istiqaməti həmişə cərəyan sıxlığı vektorunun istiqamətində olur, yəni düz cərəyanlı naqil üçün A vektoru naqilin oxuna paralel yönələcəkdir. Əgər silindrik koordinatlar sistemində z oxunu naqilin oxu üzərində götürsək, onda A və H vektorlarının bir proyeksiyaları olacaqdır: zAA = , ψHH = və bunlar r koordinatından asılı olacaqlar. Vektor potensialının tərifinə görə: HA mrot µ= ,

odur ki, bu halda

ψµ Hdr

dAm

z =− .

Naqilin daxilində

∫ +−=+−= constaIrconstdrHA m

daxmdax 2

2

4πµµ .

Əgər ar = olduqda 0=daxA olarsa, inteqral sabiti:

π

µ4

Iconst m= .

Ona görə də

65

Şəkil 3.2

−= 2

21

4 arIA m

dax πµ

.

Naqilin xaricində

constrlnIAxar +−=π

µ2

0 .

Vektor potensialı kəsilməz olduğuna görə ar = olduqda xardax AA =

xarA -in ifadəsindəki inteqral sabiti belə olar:

alnIconst mπ

µ2

= .

Demaəli:

ralnIA m

xar πµ2

= .

H vektorunun xətləri constr = bərabərliyi ilə təyin edilir. Bu xətlərin boyunca vektor potensialı sabitdir. Bu müddəa istənilən yastıparalel maqnit sahəsi üçün doğrudur. Naqilin daxilində l uzunluqlu hissədə maqnit seli: ∫=

sdaxmdax dФ sHµ .

Şəkil 3.2-də cərəyanın və konturu dolanma istiqamətlərinin qəbul edilmiş halında skalyar hasil belə olar:

ldra

IrdsHd daxdax 22π==sH .

Odur ki:

π

µπµ

42 02

lIrdra

lIФ ma

r

mdax == ∫

=

.

66

daxΨ maqnit ilişmə selini hesablamaq üçün ldrds = səthindən keçən daxdФ selinin ilişdiyi I cərəyanının

hissəsini tapaq. Cərəyanın bu hissəsinin cərəyanın özünə nisbəti 2rπ -nın 2aπ -na olan nısbəti kimidir. Axtarılan ilişmə seli

aşağıdakı ifadədən təyin olunur:

daxss

daxdax dФard ∫∫ == 2

2ΨΨ .

ldraIrdsHdФ m

daxmdax 22πµµ == olduğuna görə

πµΨ8

lImdax = . Yəni, baxılan halda ilişmə seli əsas seldən 2 dəfə

kiçikdir. İlişmə selini bilib əlahiddə naqilin daxili induktivliyini tapmaq olar:

π

µΨ8

lI

L mdaxdax == .

Düsturdan göründüyü kimi daxL naqilin radiusundan asılı deyil. Xarici sel və ilişmə seli bərabər-dirlər. Əlahiddə naqilinin xarici induktivliyi sonsuzluğa bərabərdir, çünki əks naqil baxılan naqildən sonsuz uzaqlıqdadır. laV 2π= həcmində maqnit sahəsinin enerjisini iki düsturla hesablamaq olar:

2

IW daxmdax

Ψ= ,

yaxud

∫=daxV

daxmmdax dVHW

2

2µ.

Hər iki halda enerji

67

Şəkil 3.3

π

µ16

2 lIW mmdax = .

Məsələ 3.2. İkiməftilli elektrik enerjisini ötürən xəttin induktivliyini təyin etməli. Məftillər paraleldir, oxları arasında məsafə d -dir. Məftillərin radiusları eynidir və a -ya bərabərdir (şəkil 3.3). Həlli. l uzunluqlu hissədə xətlə ilişən maqnit selini üç selin cəmi kimi yazmaq olar: 634761258156785 ФФФФ ++= . Birinci toplanan xarici maqnit selidir. ∫∫ ==

sxar

sxarxar ddФ sHsB 0µ .

Qondarma metodundan istifadə edib xarB maqnit induksiyasını, hər biri əlahiddə məftilin maqnit induksiya vektorlarının cəmi kimi tapmaq olar. Bu zaman müəyyən qeyri dəqiqliyə yol vermək olar, çünki bu halda yaxinlıq effektinə görə məftillərin kəsiyində cərəyanın paylanması əlahiddə məftilə nisbətən müntəzəm olmur. Əgər konturu dolanma istiqaməti 56785 xətti üzrə seçilsə və məftillərdə cərəyanlar şəkil 3.3-də göstərildiyi kimi yönəliblsə, xarB və sd vektorları istiqa-mətcə üst-üstə düşər və xarici maqnit seli belə ifadə olunar:

aadlnlIldx

xIФ

ad

axxar

−== ∫

−

= πµ

πµ 002

2 .

68

İkinci məftil nəzərə alınmadıqda daxili maqnit seli və ilişmə seli aşağıdakı ifadələrdən təyin oluna bilər:

π

µ4

lIФ mdax =′ ,

πµΨ8

lImdax =′ .

Xətt ikiməftilli olduğuna görə

π

µ2

26347625812lIФФФФ m

daxdax =′=+= .

Uyğun olaraq

π

µΨ4

lImdax = .

İlişmə selini bilərək ikiməftilli xəttin induktivliyini tapmaq

olar:

+

−=

+= µ

πµΨΨ

aadlnI

IL daxxar 4

40 .

Qeyri-ferromaqnit materiallar üçün 1=µ qəbul etmək olar.

Adətən ad >> olur. Buna görə də 14 >>−a

adln .

dad ≈− qəbul edib ikinci toplanan atılsa, induktivlik ifadəsi belə alınar:

adlnlL

πµ0≈ .

Natural loqarifmi onluq loqarifmlə əvəz etdikdə və m/Hn, 67

0 102561104 −− ⋅=⋅= πµ olduğu nəzərə alınsa, xəttin vahid uzunluğuna düşən induktivlik üçün alarıq:

m/Hn,adln,

lLL 6

0 109210 −⋅== .

69

Məsələ 3.3. Sabit I cərəyanlı boruşəkilli naqilin maqnit sahəsini tədqiq etməli. Borunun ölçüləri şəkil 3.4-də göstərilib. Həlli.Maksvell tənliyindən şəkil 3.4 istifadə edirik. Sahə tutduğu oblastı üç hissəyə bölmək və hər biri üçün Maksvellin birinci tənliyini yazmaq olar: br ≤≤0 üçün 0=1Hrot ; crb ≤≤ üçün δ=2Hrot ; ∞≤≤ rc üçün 0=3Hrot . Silindrik koordinatlar sisteminin z oxunu borunun oxu üstünə salırıq və hesab edirik ki, I cərəyanı z oxuna (şəkil 3.4) paralel yönəlib. Simmetriya olduğuna görə H vektorunun təkcə bir ψH proyeksiyası var və o da r koordi-natından asılıdır. Cərəyan sıxlığı vektoru z oxuna paralel yönələcəkdir:

)bc(

Iz 22 −==

πδ kkδ .

Əgər Hrot ifadəsini silindrik koordinatlar sistemində açsaq (bax.cədvəl 4.1) və ψHH = və zδδ = olduğunu nəzərə alsaq, yaza bilərik:

01 1 =dr

)rH(dr

;

)bc(

Idr

)rH(dr 22

21−

=π

;

01 3 =dr

)rH(dr

.

İnteqrallamadan sonra hər üç oblastda maqnit sahə intensivliyini təyin edirik:

r

KH 11 = ;

Şəkil 3.4

70

Şəkil 3.5

r

K)bc(

IrH 2222 2

+−

=π

;

r

KH 33 = .

321 K,K,K inteqral sabitlərini təyin etmək üçün, nəzərə almaq lazımdır ki, H sonlu kəmiyyətdir. Bundan başqa, sərhəddə səthi cərəyanlar olmadığına, τH kəmiyyəti kəsilməzdir. 01 =K , çünki, əks halda, 0=r olduqda 1H sonsuz qiymət alar. Veməli, br ≤≤0 oblastında sahə yoxdur, intensivlik hər yerdə sıfırdır, 01 =H . br = olduqda 21 HH = şərti ödənməlidir:

b

K)bc(

Ib 2222

0 +−

=π

,

buradan )bc(

IbK 22

2

2 2 −−=

π.

Maqnit sahəsinin crb ≤≤ oblastında intensivliyi:

r)bc(

)br(IH 22

22

2 2 −−

=π

.

cr = olduqda sərhəd şərtlərinə görə 32 HH = :

c

Kc

I 32

=π

,

buradan π23IK = .

∞≤≤ rc oblastında r

IHπ23 = .

71

Şəkil 3.5-də )r(fH = əyrisi göstərilib. Əgər bütöv c radiuslu naqildən elə I qiymətli cərəyan axsaydı,onda cr > oblastında sahə boruşəkilli naqildəki kimi olardı. Məsələ 3.4. Koaksial kabeldə maqnit sahəsinin intensivliyi və vektor poten-sialı üçün ifadələri çıxarmalı. Bundan ötrü maqnit sahəsinin vektor potensialı üçün Puasson-Laplas tən-liyini inteqrallamalı. Kabelin ölçüləri Şəkil 3.6 şəkil 3.6-da göstərilib. Həlli. Silindrik koordinatlar sistemini seçirik. Cərəyan sıxlığı vektorunun bir proyeksiyası olduğuna görə vektor potensialınin da bir proyeksiyası olacaqdır, z oxu üzərində, çertyoj müstəvisinə perpendikulyar istiqamətdə olar. Mərkəzi naqilin daxilində ( 10 ar ≤≤ ) Puasson tənliyinə görə alırıq:

∂∂

∂∂

=−=∇r

Arrra

IA zmz

121

12

πµ

,

burada m1µ - naqil materialının maqnit nüfuzluğudur. İnteqrallayıb alırıq:

2121

21

1 4KrlnK

aIrA m ++−=

πµ

.

Maqnit sahəsinin intensivliyi aşağıdakı düsturla təyin edilir:

11

11 AH rot

mµ= .

Rotorun ifadəsini silindrik koordinatlar sistemində açaraq və

72

zA11 kA = ; θθ Hk1H =

olduğundan istifadə edıb alırıq:

111 H

drdA

mµ=− ,

buradan

r

Ka

IrHm1

121

1 2 µπ−= .

Sahənin 1H intensivliyi sonlu kəmiyyət olduğuna görə 01 =K olmalıdır.

0=r olduqda 01 =A qəbul edirik, onda 02 =K olar və

1ar ≤ olduqda:

21

1 21

aIrπθ=H ; 2

1

21

4 aIrm

πµkA −= .

Naqillər arasında ( ara ≤≤1 ) cərəyan sıxlığı sıfıra bərabərdir, buna görə Laplas tənliyi belə yazılar:

012 =∂

∂∂

∂=∇

rr

Ar

rA

z

z .

İnteqrallayıb alırıq:

43 KrlnKAA z +== ; r

KH0

3µ

−= .

İnteqrallama sabitlərini tapmaq üçün sərhəd şərtlərindən istifadə edirik. 1ar = olduqda

110

32 a

Ia

Kπµ

=− ,

buradan

73

πµ2

03

IK −= .

Vektor potensialı kəsilməzdir, odur ki, 1ar = olduqda

41

211

413 4 aIaKalnK m

πµ

−=+ ,

buradan

101

4 24alnIIK m

πµ

πµ

+−= .

Kabelin naqilləri arasında maqnit sahəsinin intensivliyi və vektor potensialı belə təyin olunar:

r

Iπθ 2

1=H ;

+−=

11

0 24 a

rlnI µπ

µkA .

Borunun cismində ( 2ara ≤≤ ) cərəyan sıxlığı sabitdir və bərabərdir:

)aa(

I22

2 −−=π

δ .

Tutaq ki, boru materialının maqnit nüfuzluğu m1µ -dir. Puasson tənliyi bu halda belə olacaq:

)aa(

Ir

rAr

rm

z

222

11−

=∂

∂∂

∂

πµ

İnteqrallayıb alırıq:

65222

21

2 4KrlnK

)aa(IrA m ++−

=πµ ;

a

K)aa(

IrHm1

522

22 2 µπ

−−

−= .

74

Şəkil 3.7

İnteqrallama sabitlərini tapmaq üçün sərhəd şərtlərindən istifadə edirik. ar = olduqda HH =2 və AA =2 , buradan

)aa(

IaK m22

2

221

5 2 −−=

πµ ;

1

022

2

221

222

221

6 224 aalnIaln

)aa(Ia

)aa(IaK mm

πµ

πµ

πµ

−−

+−

−= .

Buna görə də borunun cismində ( 2ara ≤≤ )

)aa(r

)ra(I22

2

222

2 2 −

−=

πθ1H ;

+

−+

−

−−=

11

022

2

22

222

2221

222

4 aalnI

arln

aaa

aaraIA

m

m

µµ

πµk .

Kabeldən kənarda vektor potensialı sabitdir:

constaaln

aaln

aaaI

m

mxar =

+

−−=

11

0222

2

221

2 µµ

πµkA ;

0=xarH . Əgər kabelin naqillərinin materialı ferromaqnit deyilsə,

01 µµ =m . Məsələ 3.5. Koaksial kabelin induktivliyini təyin etməli. Kabelin uzunluğu l , mərkəzi naqilin radiusu 1a , borunun daxili və xarici radius-ları a və 2a -dir (şəkil 3.7). Həlli. Statik induktivlik belə düsturla təyin edilir:

I

L Ψ= .

75

Koaksial kabelin Ψ maqnit ilişmə selinə üç ilişmə selinin cəmi kimi baxmaq olar: 201 ΨΨΨΨ ++= , Burada:

∫=1

011

adΨΨ - mərkəzi naqilin ilişmə selidir,

∫=a

ad

1

00 ΨΨ - naqillər arasında ilişmə seli,

∫=2

22

a

adΨΨ - borunun daxilində ilişmə selidir.

1ar ≤ oblastında eni dr və uzunluğu l olan sahəciyindən elementar 1dФ maqnit seli (şəkil 3.7): ldrHdsBdФ m 1111 µ== .

21

1 2 aIrHπ

= (bax. məsələ 3.4) qiymətini yerinə yazıb

alırıq:

dra

lrIdФ m21

11 2π

µ= .

Daxili naqildə maqnit seli I cərəyanının, 21

2

ar

nisbətinə

mütənasib olan, bir hissəsilə ilişdiyinə görə maqnit ilişmə seli:

∫∫ ===11

0

112

1

2

011 8

am

a lIdФard

πµΨΨ .

ara ≤≤1 oblastında, yəni kabelin naqillər arası fəzada

76

drrlIldrHdSBdФ

πµµ2

00000 ===

0dФ seli I cərəyanını bütünlüklə əhatə etdiyinə görə

00 dФd =Ψ , buradan

1

000 22

1aalnlIdr

rlIa

a πµ

πµΨ == ∫ .

Borunun elementar maqnit seli

ldrHdФ m 222 µ= .

Adətən mm 12 µµ = . 2H -nin qiymətini yerinə yazıb

alırıq:

dr)aa(r)aa(lIdФ m

222

2221

2 2 −−

=π

µ .

Bu sel I cərəyanı ilə əks cərəyanın 222

22

aaarI

−−

− - ya

bərabər hissəsi ilə ilişir. Ona görə elementar ilişmə seli

2222

222

222

22

22 1 dФaara

aaardФd

−−

=

−−

−=Ψ

ilişmə seli isə

−−

−−

== ∫ 222

2222

2222

421

223

41

2

2

aaaa

aaln

)aa(alId m

a

a πµΨΨ

Koaksial kabelin induktivliyi:

=++

=I

2012

ΨΨΨΨ

77

−−

−+=

)aa(a

aaln

)aa(a

aalnl

222

2212

2222

421

1

0

22µµ

πµ .

Məsələ 3.6. Naqilləri xətti hesab edib ikiməftilli xəttin maqnit sahəsini tədqiq etməli. Məftillərdən axan cərəyan I - dir. Məftillər arasında məsafə d -dir .. Həlli. Xətti naqilin vektor potensialının ifadəsi (bax.1.15 düsturu):

∫=l

mRdI lA

πµ4

.

Dekart koordinatlar sisteminin başlanğıcını şəkil 3.8-də gösərildiyi kimi yerləşdiririk. Naqillər x oxuna paraleldir və oxdan 2/d məsafədədir. Vektor potensialının təkcə bir proyeksiyası olacaqdır xA . Qondarma metodundan istifadə edirik və 0µµ =m qəbul edib tapırıq:

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

=+

−+

==22

2

022

1

044 xb

dxl

xb

dxlAA x πµ

πµ

∞∞

++

++=

+−

+= ∫

022

2

2210

022

222

1

02

112 xbx

xbxlnldx

xbxb

lπµ

πµ .

x sonsuzluğa yaxınlaşdıqda 22

2

221

xbx

xbx

++

++ nisbəti vahidə

yaxınlaşır. Deməli, bu nisbətin loqarifmi sıfır olmalıdır. Onda

78

2

2

22

0

1

20

2

222

zdy

zdylnI

bblnlAA x

+

−

+

+

===π

µπµ

.

Şəkil 3.8 Vektor potensialını bilib maqnit sahəsinin intensivliyini təyin etmək olar:

AH rot0

1µ

= .

Dekart koordinatlar sistemində 0== zy AA olduğuna görə:

0=xH ; z

AH xy ∂

∂=

0

1µ

; y

AH xz ∂

∂=

0

1µ

.

xA -in qiymətlərini yerinə yazıb alırıq:

0=xH ;

−= 2

122

112 bbIzH y π

;

79

−−

+−= 2

122

222 b

dy

b

dyIH z π.

Məsələ 3.7. Halqavari sabit maqnit hava aralığında ( sm,l 200 = ) VbФ 410−= maqnit selini təmin edir. Materialı kobalt poladıdır, bunun üçün vahid həcmə düşən maqnit enerjisi

33700mCWmaks = , maqnit induksiyasının optimal qiyməti

Tl,Bm 620= . Maqnitsizləşdirici sahənin intensivliyini, maqnitsiz-ləşdirici faktoru, maqnitin en kəsiyini, hava aralığının maqnit enerjisini təyin etməli. Həlli. Maqnitə optimal, yəni Tl,Bm 620= şəraitdə baxaq. Maqnitin materialında maqnitsizləşdirici inten-sivlik:

mA

,BWH

m

maksmqs 5960

6203700

=== .

Maqnitsizləşdirici faktor:

01210620

5960104 70 ,

,BH

Nm

mqs =⋅⋅== −πµ .

Maqnitin tələb olunan ölçüləri:

• uzunliği sm,,

,Nll 5516

01210200 === ;

80

• en kəsiy sahəsi

2244

61110611620

10 sm,m,,B

Фsm

=⋅=== −−

• həcmi 37266115516 sm,,,lsV =⋅== .

Hava aralığında maqnit enerjisi:

C,,VWW maksh 493010726370021

21 6 =⋅⋅⋅== − .

Məsələ 3.8. Məsələ 3.7-ni maqnit materialının «maqniko»

ərintisi üçün həll etməli. Bu material üçün 319000

mCWmaks = ;

Tl,Bm 810= . Həlli. Maqnitsizləşdirici sahənin intensivliyi:

mA

,BWH

m

maksmqs 23460

81019000

=== .

Maqnitsizləşdirici faktor:

03640810

23460104 70 ,

,BH

Nm

mqs =⋅⋅== −πµ .

Maqnitin tələb olunan ölçüləri:

81

• uzunluğu sm,,

,Nll 55

03640200 === ;

• en kəsiy sahəsi

2244

23110231810

10 sm,m,,B

Фsm

=⋅=== −−

• həcmi 377623155 sm,,,lsV =⋅== . Hava aralığında maqnit enerjisi:

C,,VWW maksh 0640107761900021

21 6 =⋅⋅⋅== − .

Məsələ 3.9. İkiməftilli xətt radiusu mmr 20 = olan silindrik naqillərdən ibarətdir. Məftillər arasında məsafə

smh 402 = . Xəttin məftillərindən axan cərəyan AI 25= . Əhatə mühiti – havadır. Məftillərin oxlarından sma 181 = və sm,a 5332 = məsafədə olan m nöqtəsi üçün (şəkil 3.9) aşağıdakı kəmiyyətləri təyin etməli: a) skalyar mϕ maqnit potensialını; b) B maqnit induksiya vektorunu; c) maqnit sahəsinin H intensivlik vektorunu və A vektor potensialını. Yerin və başqa cərəyanlı naqillərin təsirini nəzərdən atmalı. Həlli. rh >>2 olduqda, maqnit sahəsinin naqil xaricində hesabını apardıqda, qəbul edilir ki, cərəyan axan naqillər sonsuz nazikdir və naqillərin oxlarında yerləşmişdir. Koordinat başlanğıcını naqilləri birləşdirən xəttin ortasında götürürük. m nöqtəsində sol naqilin cərəyanı ilə yaranan

82

skalyar maqnit potensialı x oxu istiqamətindən saat əqrəbinin əksinə

Şəkil 3.9 hesablanan 1β bucağı ilə təyin edilir; sağ naqilin cərəyanı ilə yaranan potensial isə x oxundan saat əqrəbi istiqamətində hesablanan 2β bucağı ilə təyin olunur. Hesablama istiqamətləri arasındakı fərq naqillərində cərəyanların bir-birinə əks olması ilə izah olunur. m nöqtəsində skalyar maqnit potensialının tam qiyməti:

83

constIIm ++= 21 22

βπ

βπ

ϕ .

γπββ −=+ 21 , burada γ - naqillərin oxları izlərinin m nöqtəsindən göründüyü bucaqdır. Veməli:

constIm +

−=

πγϕ 1

2.

x oxunun bütün, xətdən xaricdə yərləşən, yəni absisləri )rh(x +> və )rh(x +−< olan, nöqtələrində 0=mϕ

götürək. Bu nöqtələr üçün 0=γ , buna görə də

2Iconst = və γ

πϕ

2I

m −= .

Baxılan halda ( m nöqtəsində) rad,710297 =′= γ və

A,,m 77671225

−=⋅−=π

ϕ .

m nöqtəsində maqnit induksiya vektorunun mürəkkəbələri (şəkil M3.9, a): a) sol naqilin cərəyanı ilə yaranan

)cossin(aIm

111

1 2ββ

πµ jiB +−= ;

b) sağ naqilin cərəyanı ilə yaranan

)cossin(aIm

222

2 2ββ

πµ jiB += ;

B -nin hesabını, mnB və mxx 21 üçbucaqlarının oxşarlığına əsasən aparmaq rahatdır. Üçbucaqların oxşarlığından yazmaq olar:

84

21

2ah

BB= ,

buradan:

212

2aahIB m

πµ

= .

B vektorunun x oxuna meyl bucağı )( 2190 ββζ −+= .

01561 ′= β və 03262 ′= β olduğuna görə:

Tl,B 510323 −⋅= ; mA,H 426= .

B və H vektorlarınin x oxuna meyl bucağı:

041190326015690 ′=′−′+ .

A vektor potensialı m nöqtəsində qondarma metodu ilə təyin edilir. A vektoru z oxu istiqamətində naqillərə paralel yönəlib (şəkil 3.9,b):

1

22 a

alnIA m ⋅=π

µ.

(koordinat başlanğıcında 0=A olduğu nəzərdə tutulur). Məsələnin şərtinə görə

mVbA 71031 −⋅= .

Məsələ 3.10. Nazik naqillərdən ibarət ikiməftilli xəttin maqnit sahəsinin təsvirini qurmalı. Həlli . Eyni skalyar potensiallı (ekvipotensial) xətlər aşağıdakı tənliyə görə təyin edilir: constm =ϕ .

85

γπ

ϕ ⋅−=2I

m olduğuna görə (bax. məsələ 3.9-a):

const=γ . Bu – naqillərin oxlarından keçən çevrənin tənliyidir. Çevrənin mərkəzi y oxunun uzərindədir (şəkil 3.10). Belə çevrələr elektrostatik sahədə qüvvə xətlərini təsvir edirdi. Sahənin təsvirini düzgün qurduqda skalyar potensialın dəyişməsi bərabər intervallarla götürülməlidir. Naqillərin oxlarının izlərini birləşdirən düz xətt ekvipotensial xətdir və πγ ±= -yə uyğundur. Bu xəttin skalyar

maqnit potensialı 2I

-yə bərabərdir.

Şəkil 3.10 Tutaq ki, istənilən iki qonşu ekvipotensial xətlər arasında

skalyar potensialın intervalı 12I

-dir, buna uyğun bucaq

6122 ππγ == olar.

86

Çevrələrin oxcuqlarının qiymətləri məlum məsələ kimi təyin edilir. Şəkil 3.10-da bir neçə çevrə göstərilib. Eyni vektor potensiallı xətlər iki ölçülü maqnit sahəsində

qüvvə xətləridir. Qüvvə xətlərinin tənliyi

=

1

22 a

alnIA mπ

µ

düsturundan constA = şərtilə alınır: constaa

=1

2 . Bu – mərkəzi x

oxu üzərində olan çevrələrin tənliyidir, onlar elektrostatik sahənin ekvipotensial xətlərilə üst-üstə düşür. Hər bir cüt qonşu qüvvə xətləri arasından ikiməftilli xəttin xarici maqnit selinin bərabər hissəsi keçməlidir. Tutaq ki, xəttin ölçüləri məsələ 3.9-dakı kimidir

mmr( 20 = , )smh 402 = . Xəttin m1 uzunluğuna düşən tam maqnit seli:

0

01

2r

rhlnIdФ m

l

−== ∫ πµlA .

Qüvvə xətlərinin biri y oxudur, bu xətt boyunca vektor potensialının qiyməti sıfırdır, çünki burada 21 aa = . Tutaq ki, N çevrəsi selin α1Ф intervalına uyğun qüvvə xəttidir, burada 1<α . Bu xəttin bütün nöqtələrində vektor potensialı eynidir və

)rH(h)rH(hlnIA m

n −−−+

=π

µ2

.

(Hesablama n nöqtəsi üçün aparılıb). Çevrənin mərkəzinin absisi N , radiusu r və naqillərin oxları arasında məsafənin yarısı h aşağıdakı düsturla bağlıdır: 222 hHr −= . Buna görə də

hHhHlnI

)]rH(h[)]rH(h[lnIA mm

n −+

=−−−+

=π

µπ

µ44 2

2.

87

Eni On və uzunluğu 1=l olan sahəcikdən keçən maqnit seli (naqilin oxu istiqamətində):

2

44klnI

hHhHlnIФ mm

On πµ

πµ

=−+

= .

Bu kəmiyyət selin seçilmiş α1Ф intərvalına bərabər olmalıdır. Veməli,

2

0

04

2 klnIr

rhlnI mmπ

µπµα =

−= .,

buradan

α4

0

02 2

−=

rrhk

Digər tədəfdən ( OnФ seli üçün olan tənlikdən))

hHhHk

−+

=2 .

Beləliklə, qüvvə xətti olan çevrə mərkəzinin absisi:

11

2

2

−+

=kkhH ,

onun radiusu:

1

22

22

−=−=

kkhhHr .

Baxılan xətt üçün

1992

0

0 =−r

rh.

Tutaq ki, selin intervalı 12

1Ф-yə bərabərdir, yəni

08330,=α . Parametr 8385199 0833042 ,k , == ⋅ . Qüvvə xətti çevrənin mərkəzinin absisi və radiusu:

88

h,,,hH 4141

1838518385=

−+

= ; hh)h,(r =−= 224141 .

αα 21 = , αα 32 = və s. qiymətlər verib analoji yolla sonrakı qüvvə xətti çevrələrinin mərkəzlərinin absisləri və radiusları tapılır (qüvvə xətləri – maqnit induksiya xətləridir). Məsələ 3.11. Bir-birinə paralel iki nazik naqilin maqnit sahəsinin təsvirini qondarma metodu ilə qrafiki qurmalı. Naqillərdən bir-birinin əksinə bərabər cərəyanlər axır . Həlli. I. B ə r a b ə r s k a l y a r p o t e n s i a l l ı x ə t l ə r i n q u r u l m a s ı . Hər naqilin en kəsiyinin mərkəzindən eyni bucaq altında şüalar keçiririk. Şəkil 3.11-də sağdakı naqilə aid şüalar 1, 2, 3, …, 20 ədədlərilə, soldakı naqilə aid şüalar isə 1’, 2’, 3’, …, 20’ ədədlərilə işarə edilmişdir. Şüalardan hər biri müvafiq cərəyanlı naqilin maqnit sahəsinin ekvipotensial xətti ola bilərdi, əgər o biri cərəyanlı naqil çox böyük məsafəyə köçürülsəydi. Şüanın nömrəsi müvafiq skalyar potensialın qiymətini şərti vahidlərlə ifadə edir. Şəkil 3.11-

də şüalar bir-birinə nəzərən 20π

bucaq altında çəkilmişdir.

Skalyar maqnit potensialının şərti vahidi AI40

-ə bərabərdir.

Şəkil 3.11

89

Hər hansı nöqtədə potensialın tam qiyməti potensialların mürəkkəbələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Məsələn, K nöqtəsində 6 və 2 şüaları kəsişir. Bu nöqtədə potensialın qiyməti 8 vahidə bərabərdir. Nömrələri cəmi 8 olan başqa şüaların kəsişmə nöqtələri tapılır. Belə nöqtələri birləşdirib 8=mϕ üçün ekvipotensial xətti qururuq. Şəkil 3.11-də 4036322824201612840 ;;;;;;;;;;m =ϕ üçün ekvipotensial xətlər göstərilmişdir. Sahənin təsvirini qurduqda aşağıdakı əlavə qaydalara riayət edilməlidir 1) sağdakı naqilin çox yaxınlığında soldakı naqilin cərəyanı ilə bağlı potensial sıfırdır. Buna görə də 20<mϕ - ə uyğun hər bir xətt sağdakı naqildən çıxmalı və mϕ -in nömrəsinə bərabər nömrəli şuaya toxunan olmalıdır. Məsələn, 16=mϕ üçün xətt sağdakı naqildən 16 nömrəli şüaya toxunan olaraq çıxır və s.; 2) soldakı naqilin çox yaxınlığında sağdakı naqilin cərəyanı ilə bağlı potensial 20-yə bərabərdir. Buna görə də soldakı naqilin 20>mϕ üçün ekvipotensial xətlər çıxır, bunlardan hər biri ştrixli nömrəsi mϕ -in qiymətindən 20 vahid kiçik nömrəli şüaya toxunandır, məsələn, 20=mϕ xətti 8′nömrəli şüaya toxunandır və s.; 3) naqillərdən çox böyük məsafələrdə maqnit sahəsi formaca, cərəyanı I2 olan və O nöqtəsində yerləşən tənha naqilin sahəsinə yaxınlaşacaqdır. Buna görə, məsələn, 16=mϕ ekvipotensial xəttinin asimptotu, O nöqtəsindən 20=mϕ xəttinə

72404016

== ππ , bucaq altında çıxan On xətti olacaqdır.

4) 20=mϕ ekvipotensial xətti sahənin simmetriya xəttinə uyğun olan çevrilmiş hərfi şəklində yerləşmiş iki düz xətdən ibarətdir.

90

II.Q ü v v ə (maqnit induksiya) x ə t l ə r i n i n q u r u l m a s ı. Əvvəlcə naqillərin birinin sonsuz uzaqlıqda olan halda o birinin cərəyanının qüvvə xəttinə (yəni, bərabər vektor potensiallı) uyğün çevrələr qurulur (şəkil 3.12). Hər bir çevrənin mərkəzi müvafiq naqilin oxu üzərində olacaqdır. Çevrələr, selin istənilən iki qonşu çevrələr arasındakı bərabər intervalları üçün çəkilir. Buna aşağıdakı şərt uyğun gəlir:

const...rr

rr

rr;const

rr

n

n =====+

3

4

2

3

1

21 .

Çəkilən çevrələrin radiusları həndəsi silsilə kimi artmalıdır, silsilənin vuruğu ixtiyari seçilə bilər. Şəkil 3.12-də bu vuruq 21, -yə bərabərdir. İndi iki cüt çevrənin yaratdığı əyrixətli paraleloqrama baxaq. Silsilənin çox da böyük olmayan vuruğu halında bu paraleloqramı düzxətli hesab etmək olar, yəni dcab = və bcad = .

Şəkil 3.12 Yuxarıda göstərilən qurma şərtlərinə uyğun olaraq ab -dən cd -yə keçən maqnit seli ad -dən bc -yə keçən maqnit selinə bərabərdir. Veməli, )ad(B)ab(B sasol х= , burada solB və

хsaB ayrılıqda sol və sağ naqillərin cərəyanları ilə bağlı maqnit induksiyasının qiymətləridir.

91

Tənasüb qururuq:

abad

BB

sa

sol =х

.

Bu ifadədən görünür ki, ad parçası solB -un ölçüsü, ab isə

хsaB -ın ölçüsüdür. ac diaqonalı nəticəvi maqnit induksiyasının ölçüsü olacaq, Veməli, qüvvə ac diaqonalı boyunca keçəcəkdir. Beləliklə, maqnit qüvvə xətləri əyrixətli paraleloqramların diaqonalları kimi çəkilə bilər. Qeyd edək ki, verilmiş eyni istiqamətdə bərabər cərəyanlı halda, bilavasitə naqillərin səthində maqnit qüvvə xətləri, mərkəzləri naqillərin oxları yaxinlığında olan, çevrələrə yaxın şəkildədir (şəkil 3.12). Naqillərdən uzaqlaşdıqca ...,R,Q qüvvə xətləri deformasiya edir, onlardan biri M lemniskatası olacaq, hansı ki, O nöqtəsindən keçir və bu xətdə maqnit induksiyası sıfırdır. Sonrakı xətlər hər iki naqili əhatə edir və tədricən, budaqlanma nöqtələrinin ( ...,S,P xətləri) qarşısında, çökəkləri hamarlayır. Kifayət qədər uzaqlıqda, yəni bütün I2 cərəyanının O nöqtəsində olduğu qəbul edildikdə, maqnit qüvvə xətləri yenidən, mərkəzi O nöqtəsində olan, çevrə şəklinə yaxınlaşır. Məsələ 3.12. Vüz girdə silindrik a radiuslu naqildən sabit sıxliqlı cərəyan axır. Naqildə dairəvi ab < radiuslu boşluq vardır (şəkil 3.13). Silindrlərin O və 1O oxları paraleldir və bir-birindən c məsafədədir. Naqil materialının və boşluğu dolduran mühitin maqnit nüfuzluğu 0µ olarsa, boşluqda maqnit sahəsinin intensivliyini tapmalı

92

Şəkil 3.13

. Həlli. Cərəyanın istiqamətini z oxu istiqamətində götürü-rük. x oxunu O və 1O nöqtələrindən keçiririk. Əgər boşluq olmasaydı cərəyan naqilin bütün kəsiyindən axardı və p nöqtəsində inten-sivlik belə ifadə olunardı (şəkil 3.13):

[ ]2

12

12

11

rH

δ

=⋅′

= θπarI

,

burada I ′ -boşluq olmadığı halda naqildə axan cərəyanın, verilmiş

cərəyan sıxlığında δk=δ qiymətidir.

Əslində boşluqda cərəyan yoxdur. Dakin, hesab etmək olar ki, guya orada əks istiqamətdə iki bərabər cərəyan axır. Naqilin cərəyanının əksinə boşluqda axan xəyali cərəyanın p nöqtəsində yaratdığı sahənin intensivliyi:

[ ]

221δrH −= .

p nöqtəsində maqnit sahəsinin axtarılan intensivliyi:

[ ])( 2121 2rrkHHH −=+=

δ.

Lakin constc ==− irr 21 olduğuna görə

[ ] constcc=== jkiH

22δδ

.

93

Boşluqda maqnit sahəsi bircins olacaqdır. Maqnit sahəsinin intensivlik vektoru 1OO düz xəttinə perpendikulyardır, qiymətcə sabitdir və bərabərdir:

)ba(

cIcH 2222 −==

πδ

.

Məsələ 3.13. İki paralel yastı lentşəkilli naqillərdən əks istiqamətlərdə bərabər cərəyanlar axır. Naqillərin eni və uzunu məhdud deyil, qalınlığı isə kiçikdir. Naqnillərdən biri xOz müstəvisinin üzərindədir (şəkil 3.14), digəri isə ondan c2 məsafədədir. Cərəyanların istiqaməti x oxuna paraleldir. Səthi cərəyan sıxlığı const=η olarsa, cy 20 ≤≤ nöqtələrində maqnit sahəsinin vektor potensialını və intensivliyini təyin etməli.

Şəkil 3.14 Həlli. Sol naqildə x oxundan z məsafədə, x oxuna paralel olan çox kiçik dz enində cərəyanlı zolaq ayırırıq. Bu cərəyanın qiyməti dzη -ə bərabərdir. Bu cərəyanın ondan r məsafədə y oxu üzərindəki m nöqtəsində yaratdığı maqnit sahəsinin intensivliyini koordinat oxları istiqamətlərində ydH və zdH mürəkkəbələrə ayırırıq.

94

ydH mürəkkəbəsi digər simmetrik zolaq cərəyanın maqnit sahəsinin kompensasiya etdiyi mürəkkəbədir. z oxuna paralel mürəkkəbə:

απ

ηα cosr

dzcosdHdH z 2== .

Əvəzləmə edirik:

αcos

yr = ; αytgz = ; αα2cos

yddz = .

Bu halda:

απη ddH z 2

= .

Bu ifadəni soldakı lentşəkilli sonsuz endə naqilin bütün eni

üzrə inteqrallasaq, bu isə inteqrallama bucaq dəyişəninin 2π

− və

2π

+ hədlərinə uyğundur.:

22

2

2

ηαπη π

π== ∫

−

/

/z dH .

Bu kəmiyyət y məsafəsindən asılı deyil. Simmetriyaya görə m nöqtəsində sağdakı naqilin yaratdığı maqnit sahəsinin

intensivliyi də 2η

-yə berabərdir. m nöqtəsində və naqillər arası

fəzanın istənilən nöqtəsində maqnit sahəsinin tam intensivliyi belə olar: kkH η=⋅= zH2 .

Belə sahə bircins sahə adlanır. Düz zolaq cərəyanın maqnit sahəsinin vektor potensialı cərəyana paraleldir. Baxılan lentşəkilli naqillərin hər birinə eyni istiqamətli ( x oxu istiqamətində) zolaq cərəyanlar çoxluğunun

95

məcmusu kimi ifadə etməyin mümkünlüyündən belə nəticəyə gəlirik ki, naqillər arasındakı fəzada maqnit sahəsinin vektor potensialının yalnız bir mürəkkəbəsi vardır: iA zA= .

A vektoru rotorunun ifadəsini dekart koordinat sistemində açıb və bu rotoru kkH ηµµµ mzmm H == kəmiyyətinə bərabər edib alırıq:

ηµmx

yA

=∂∂

− ,

buradan

constyA mx +−= ηµ .

cy = üçün 0=xA qəbul edib inteqral sabitini tapırıq:

cconst mηµ= . Beləliklə:

iA )yc(m −−= ηµ

3.2.Elektromaqnit sahəsinnə aid xüsusi məsələlərin həlli medodlar.

Məsələ 3.14. Maksvellin tənliklərindən bircins naqil mühit üçün dalğa tənliyini çıxarmalı. Həcmi yuk sıxlığını 0=ρ qəbul etməli. Mühitin paramerləri belədir: εεε 0=m ; 0µµ =m ;

0=γ . Həlli. Baxılan hal üçün Maksvellin tənliklərini belə şəkildə yazmaq olar:

96

t

rot m ∂∂

=EH ε ; 0=Hdiv ;

t

rot∂∂

−=HE 0µ ; 0=Ediv .

Elektrik sahə intensivliyinin rotorunun rotorunu alırıq:

t

rot(rotrot∂

∂−=

H)E 0µ .

Erotrot -un açılışindan istifadə edirik. Onda

2

2

0 tdiv m

∂∂

−=∇EE-Egrad 2 µε .

0=Ediv olduğuna görə

02

2

0 =∂∂

−∇tmEE2 µε .

Bu, dalğa tənliyidir. Analoji olaraq alırıq:

02

2

0 =∂∂

−∇tmHH2 µε .

2

0

1 vm

=µε

işarə olunduğunu bilirik.

san/mvm εµεεµε

8

000

10311 ⋅=== .

Bu kəmiyyət elektromaqnit dalğanın verilmiş qeyri-məhdud mühitdə yayılma sürətini ifadə edir. Məsələ 3.15. Məsələ 3.14-də alınan dalğa tənliklərini kompleks şəklində yazmalı. Bundan ötrü )eIm( tj

mωEE = ,

)eIm( tjm

ωHH =

97

olduğunu qəbul etməli.

Həlli. 2

0

1 vm

=µε

işarə olunduğunu bilirik. Onda

( ) 012

2

22 =

∂∂

−∇ tjmm e

tIm

vωEE ,

02

22 =+∇ mm v

EE ω.

Analoji olaraq

02

22 =+∇ mm v

HH ω.

Məsələ 3.16. Yastı harmonik polyarlaşmış elektromaqnit dalğa sonsuz fəzada yayılır. Mühitin dielektrik nüfuzluğu

0εε =m , maqnit nüfuzluğu 0µµ =m , xüsusi keçiriciliyi 0=γ . Elektrik sahəsi intensivliyinin amplitudu m/mVEm 50= .

Bucaq tezliyi san/rad810=ω . Dalğanın tənliklərini tərtib etməli və onun parametrlərini tapmalı. Həlli. Koordinat oxlarını şəkil 3.15-dəki kimi qururuq. z oxunu E vektoruna paralel yönəldirik. Hesab edirik ki, dalğa y oxu istiqamətində yayılır. Şərtə görə dalğa xətti polyarlaşmışdır,

buna görə də fəzada E vektoru öz istiqamətini dəyişməz saxla-yacaqdır. E vektorunun proyeksiyaları: 00 == yx E;E ;

)eEIm()tsin(EE )t(jmmz

ψωψω +=+= .

98

Yayılma istiqamətinə perpendikulyar müstəvidə yastı dalğa üçün E vektoru eyni qiymətdə olmalıdır. Veməli, mE və ψ yalnız tək y -dən asılı olacaqdır.

Şəkil 3.15 Maksvellin ikinci tənliyinin kompleks şəklinə baxaq:

xmmzm Hjy

E

ωµ−=∂

∂,

ymmHj ωµ−=0 ,

zmmHj ωµ−=0 . Deməli, zmym HH == 0 .

dyEd

jH zm

mxm

ωµ1

−= .

Maqnit sahəsi intensivliyi H vektorunun təkcə bir xH proyeksiyası var və o, elektrik sahəsi intensivliyi E vektoruna və dalğanın yayılma y istiqamətinə normaldır.

99

Maksvellin birinci tənliyinə baxaq. Rotorun ifadəsini açırıq və sahə vektorlarının bir proyeksiyalarının olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

zmxm Ejy

H

0ωε=∂

∂− .

Maqnit sahəsi intensivliyinin ifadəsini yerinə yazırıq və xüsusi törəmələri adi törəmələrlə əvəz edib dalğa tənliyini alırıq:

mm E

dyEd

002

2

2εµω−= .

200

2 αεµω = işarə edirik, onda

022

2=+ m

m Edy

Ed

α .

Bu tənliyin həlli belədir: yjyj

m eCeCE αα −+= 21 ,

burada 1C və 2C - inteqral sabitləridir. Dalğa sonsuz fəzada y istiqamətində yayıldığına görə

əksetmə olmaz və 01 =C . Onda

yjm eCE α−= 2

.

Şərtə görə elektrik sahə intensivliyinin amplitudu

m/VEm2105 −⋅= .

Deməli: m/VC 22 105 −⋅= . 2C sabitinin arqumentini

ixtiyari vermək olar. Onu sıfır qəbul edirik. Onda yj

m eE α−−⋅= 2105 . Faz əmsalı

100

100 3

1 −== mµεωα .

Deməli

m/VeEyj

m32105

−−⋅= . Elektrik sahəsi intensivliyinin ani qiyməti

{ } m/VytsineEImE tjmz

−⋅⋅=== −

310105 82kkE ω .

Yerdəyişmə cərəyan sıxlığı vektorunun ani qiyməti 286

23101044 m/Aytsin

tE

mz

+−⋅⋅=

∂∂

== − πεδ kkkydδ

Maqnit sahə intensivliyi vektorunun qiymətini xHH = tapaq. Kompleks amplitud:

yj

C

mzm

mxm e

ZE

yE

jH α

ωµ−=

∂∂

−=

1.

Baxılan məsələdə dalğa müqaviməti

OmRZ CC 3771200

0 ≈=== πεµ

həqiqi ədəddir. Ədədi qiymətləri yerinə yazıb maqnit sahə intensivliyinin kompleks amplitudunun qiymətini alırıq:

m/Ae,HHyj

xmm3410331

−−•== .

Maqnit sahə intensivliyi vektorunun ani qiyməti

m/Aytsin,H x

−⋅⋅== −

31010331 84iiH .

Faz sürəti

101

san/mv f8

001031⋅===

µεαω

.

Dalğanın uzunluğu

m,f

v f 84182===

απλ .

Poyting vektorunun ani qiyməti

[ ] =

−⋅== −

31010656 826 ytsin,jEHS

2866

31021033310333 m/Vtytcos,,

−⋅−⋅= −−j .

Poyting vektorunun orta qiyməti

26

0103331 m/Vt,Sdt

TS

T

or−⋅== ∫ .

Bu, dalğanın yayılma istiqamətinə perpendikulyar yerləşmiş 21m səthdən bir saniyədə keçən enerjinin miqdarını təyin edir.

Məsələ 3.17. Məsələ 3.15-də baxılan E , H və S vektorlarının : a) 0=t və b) sant 810−= anlarında ani qiymətlərini tapmalı. my 1= qəbul etməli. Həlli. E vektoru üçün :

m/Vytsin

−⋅⋅= −

310105 82kE .

a) 0=t anında m/V, kE 210631 −⋅=

b) sant 810−= anında

m/V, kE 210093 −⋅= .

102

H vektoru üçün :

m/Aytsin,

−⋅⋅= −

31010331 84iH .

a) 0=t anında m/A, iH 510354 −⋅−=

b) sant 810−= anında

m/A, iH 510228 −⋅= Poyting vektoru S üçün :

2866

31021033310333 m/Vtytcos,,

−⋅−⋅= −−jS .

a) 0=t anında 2610710 m/Vt, jS −⋅=

b) sant 810−= anında

2610552 m/Vt, jS −⋅= Məsələ 3.18. Yastı harmonik elektromaqnit dalğa sonsuz fəzada dielektrik mühitdə y oxu boyunca yayılır. Mühitin dielektrik nüfuzluğu 04εε =m , maqnit nüfuzluğu 0µµ =m , xüsusi keçiriciliyi 0=γ . z oxu E vektoru istiqamətində yönəlib. 0=t anında 0=y nöqtəsində elektrik sahəsi intensivliyi m/mVEE m 2== . m300=γ nöqtəsində mksant 1= anında elektrik və maqnit sahələri intensivlikləri H və E vektorlarının və Poytinq vektorunun ədədi qiymətlərini tapmalı. Hsf 710= verilib. Həlli. Məsələ 3.16.-də olduğu kimi bu məsələdə də eyni tip dalğa sonsuz fəzada yayılır. Buna görə də məsələ 3.16-də alınan

103

nəticələrindən istifadə etmək olar. Elektrik sahə intensivliyinin kompleks ifadəsi: yj

m eCE α−= 2 .

Şərtə görə m/VEm3102 −⋅= , onda

yjm eE α−−⋅= 3102 .

Faz əmsalı 1

00 42042 −=== m,fmm µεπµεωα . 0=t anında elektrik sahə intensivliyi amplitud qiymətini

m/mVEm 2= alır, yəni onun başlanğıc fazı 2/π -yə bərabərdir. Ona görə elektrik sahə intensivliyinin ani qiymətini belə yazmaq olar:

m/Vy.tsin

−+⋅⋅⋅= − 420

2102102 72 ππkE .

m300=γ nöqtəsində mksant 1= anında

m/V,),( kkE 300y32 106518250102 −−

= ⋅−=−⋅⋅⋅= . Dalğa müqaviməti

OmRZm

mCC 188

4 0

0 ====εµ

εµ .

Maqnit sahə intensivliyinin ani qiymətini

m/Ay.tsin,

−+⋅⋅⋅= − 420

210210061 75 ππiH

m300=γ nöqtəsində mksant 1= anında

m/A,),(, iiH 300y55 108750825010061 −−

= ⋅−=−⋅⋅⋅= . Poytinq vektoru

[ ] =

−+⋅⋅⋅⋅== − y,tsin, 420

210210061102 7253- ππjEHS

104

2Vt/m,),( jj 82-8 104418250102,12 −⋅=−⋅⋅= . Məsələ 3.19. Yastı harmonik dalğanın α faz əmsalını,

fv faz sürətini, CZ dalğa müqavimətini və f tezliyini dalğanın

sm3=λ , m003=λ və km3=λ uzunluqları üçün təyin etməli. Məsələni iki mühit üçün həll etməli: a) dalğa havada yayılır: 1=havaε , 1=havaµ ; b) dalğa suda yayılır: 81=suε ,

1=suµ . Həlli. Dalğa müqavimətini tapırıq:

OmRZmhava

mhavaChavaChava 377

0

0 ====εµ

εµ

,

OmRZmsu

msuCsuCsu 42

81 0

0 ≈===εµ

εµ

.

Faz əmsalı:

sm3=λ ; m300 ; km3 .

12092 −=== msuhava λπαα ; 1310092 −−⋅ m, ; 1210092 −−⋅ m, .

Faz sürəti:

san/mv.mm

fhava8

0010311⋅===

µεµε;

san/mv.mm

fsu8

0010

31

8111

⋅===µεµε

.

Dalğanın tezliyi

sm3=λ ; m300 ; km3 .

105

Hsv

f fhavahava

102

810

103103

=⋅⋅

== −λ; Hs610 ; Hs510 .

Hsv

f fsuhava

102

8

1091

103

1031

⋅=⋅

⋅== −λ

; Hs61091⋅

; Hs51091⋅

.

Məsələ 3.20. Yastı harmonik elektromaqnit dalğa y oxu istiqamətində yayılır və 0=y nöqtəsində bir dielektrikdən o birinə keçir. z oxu E vektoruna paraleldir (şəkil 1.15). Mühitlərin parametrləri belədir: 0≤≤∞− y : 11 =ε ; 11 =µ ; 11 =γ ; ∞≤≤ y0 : 42 =ε ; 12 =µ ; 12 =γ . Bucaq tezliyi san/rad8103 ⋅=ω . Elektrik sahəsi intensivliyinin amplitudu 0=y olduqda m/mVEm 1= . Elektrik və maqnit sahə intensivlikləri vektorlarının qiymənlərini təyin etməli. Həlli. ∞≤≤ y0 oblastında əksedən dalğalar olmayacaq, çünki o, paylanma istiqamətində sonsuzdur. Bu oblastda elektrik sahə intensivliyinin kompleks amplitudu:

yjmm eEE 2

22α−= .

Faz əmsalı 1

0202 2 −== mµεεωα . Şərtə görə m/Vm/mVE m

32 101 −== ,

buna görə

106

m/VeE yjm

232 10 −−= .

Elektrik sahə intensivliyi vektorunun ani qiyməti

m/V)ytsin( 210310 832 −⋅⋅= −kE .

Şəkil 3.16 2ε , 2µ mühitinin dalğa müqaviməti

OmRZ CC 188377

222 ≈==

ε.

Maqnit sahə intensivliyi vektoru

m/A)ytsin(,HH x 210310325 862 −⋅⋅⋅== −ii .

0≤≤∞− y oblastında düşən və iki mühitin sərhəd müstəvisindən əksedən dalğalar mövcuddur. Buna görə də elektrik və maqnit sahələrinin intensivlik vektorlarının kompleks amplitudları belə olacaqdır:

107

yjyjm eCeCE 11

211αα += − ,

yj

C

yj

Cm e

ZCe

ZCH 11

1

2

1

11

αα −= − .

1C və 2C inteqral sabitlərini təyin etmək üçün sərhəd şərtlərindən istifadə edirik: 0=y olanda mm EE 21

= ; mm HH 21 = ,

yaxud

mECC =+ 21 ,

mC

C EZZCC

2

121 =− .

Buradan

2

121 2 C

CCm Z

ZZEC += ,

1

122 2 C

CCm Z

ZZEC −= .

1ε , 1µ mühitinin dalğa müqaviməti

OmRZ CC 3770

011 ≈==

εµ

.

Deməli,

75043

2 2

12 ,Z

ZZ

C

CC ==+

,

108

25041

2 1

12 ,Z

ZZ

C

CC ==−

.

Faz əmsalı 1

001 1 −== mµεωα . Elektrik və maqnit sahələrinin intensivliklərinin kompleks amplitudları: m/Ve,e,E jyjy

m33

1 1025010750 −−− ⋅+⋅= ,

m/Ae,e,H jyjym

661 1066010991 −−− ⋅−⋅= .

Uyğun vektorların ifadələri: { +−⋅⋅= − )ytsin(, 83

1 10310750kE

} m/V)ytsin(, +⋅⋅+ − 83 10310250

{ −−⋅⋅= − )ytsin(, 861 10310991iH

} m/A)ytsin(, +⋅⋅− − 86 10310660

DÖRDÜNCÜ FƏSIL

VEKTOR ANALİZİNİN ELEMENTLƏRİ ÜMUMİ MƏLUMAT

4.1Əsas nəzəri məlumat. Cədvəl 4.1-də əsas elektrotexniki kəmiyyətlərin siyahisi və onların qəbul olunmuş hərfi işarələri və beynəlxalq vahidlər sitemində ölçü vəhidləri göstərilmişdir.

109

Cədvəl 4.1 Kəmiyyətin adı Hərfi

işarəsi Ölçü vahidi

Vektorial kəmiyyətlər : Elektrik sahəsinmin intensivliyi

E

)m/V(metrVolt

Elektriki yerdəyişmə (elektrik induksiyası)

D

)m/K(metrKulon 2

2 Polyarlaşma vektoru

p

)m/K(metrKulon 2

2 Cərəyan sıxlığı

δ

)/( 22

mAmetrAmper

Maqnit sahəsinmin intensivliyi

H

)/( mAmetr

Amper

Maqnit induksiyası

B

2/)( msanVTlTesla ⋅=

Maqnitləşmə intensivliyi

J

)(TlTesla

Maqnit sahəsinmin vektor potensialı

A

V·san /m

Skalyar kəmiyyətlər: Elektrik yükü

Q , q

Kulon (Kl)

Mütləq dielektrik nüfuzluğu mε )/( mF

metrFarad

Elektrik sabiti π

ε3610 9

0

−=

)/( mF

metrFarad

Elektrik potensialı, potensiallar fərqi, gərginlik

ϕ , V Volt (V)

Elektrik müqaviməti r,R,x,X,z,Z Om (Om) Elektrik keçiriciliyi g,G,b,B,y,Y Simens (Sim)

110

Cədvəl 4.1 (davamı) Elektrik induksiya seli Ψ Kulon (Kl) Elektrik tutumu C Farad

Elektrik cərəyanı i , I Amper (A) Mütləq maqnit nüfuzluğu

mµ )/( mHnmetrHenri

Maqnit sabiti

71040

−⋅= πµ Hn / m

Skalyar maqnit potensialı, maqnitləşdirici qüvvə

FVmm ,,ϕ Amper·sarğı(Acs)

Maqnit müqaviməti

MR )/1(1 HnHenri

Maqnit keçiriciliyi MG Henri (1Hn=1Om·san)

Maqnit seli Ф Volt·san,Veber (Vb)

İnduktivlik, qarşılıqlı induktivlik

L , M Henri (Hn)

Enerji W Coul (C) Güc P Vatt (Vt=1V·1A)

Fiziki sahələri təsvir etmək üçün riyazi modellərdən – skalyar və vektoial sahələrdən istifadə edirlər. İxtiyari ( 321 ,, xxx ) koordinat sistemində ϕ skalyar sahəsi ),,( 321 xxxϕ funksiyası şəklini alır ki, onun qiyməti həqiqi və ya komleks ədəd ola bilər. A vektor sahəsi seçilmiş koordinat sistemində vahid vektorlar (ortlar) üzərində proyeksiyaları ilə verilir:

33

2211

1

11

321

321321

xx

xxxx

)x,x,x(A

)x,x,x(A)x,x,x(A

+

++=A

. Dekart koordinat sisteminlə

111

kjiA zyx AAA ++= ;

222zyx AAAA ++== A ;

AAx=)cos( iA, ;

AAy=)cos( jA, ;

AAz=k)A,cos( .

İki vektorun cəmi: kjiSBA zyx SSS ++==+ ; zxx BAS += ; yyy BAS += ; zzz BAS += . İki vektorun fərqi: kjiRB-A zyx RRR ++== ; zxx BAR −= ; yyy BAR −= ; zzz BAR −= . İki vektorun skalyar hasili: zzyyxx BABABAAB ++==⋅ B)A,BA cos( . İki vektorun vektorial hasili: [ ] +−=⋅= iB)A,AB )(sin(1 yzzyn BABAAB kj )()( xyyxzxxz BABABABA −+−+ , burada n1 - A və B vektorlarının yerləşdiyi müstəviyə perpendikulyar vahid vektordur. Skalyar sahənin fəzada qiymətini və dəyişmə sürətinin istiqamətini xarakterizə etmək üçün bu sahənin qradienti kəmiyyətindən istifadə edilir:

321

111111

332211xxx xhxhxh ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=ϕϕϕϕgrad ,

busada 321 ,, hhh - 321 ,, xxx koordinatları üzrə fəzanın baxılan nöqtəsində ümumiləşdirilmiş koordinatların diferensialları ilə elementar paralelopipedin sonsuz kiçik tilləri arasında mütənasiblik əmsalları - Lyame əmsallarıdır. Şəkil 4.1-də ən çox istifadə olunan üç koordinat sisteminin təsviri göstərilmişdir. Bunlar üçün Lyame əmsallarının qiymətləri belədir: ( zyx ,, ) dekart koordinat sistemində

112

1321 === hhh ; ( zr ,,θ ) silindrik koordinat sistemində 1,,1 === zr hrhh θ ; ( ψθ ,,r ) sferik koordinat sistemində

θψθ sinrh,rh,hr ===1

. Konkret olaraq qradient aşağıdakı kimi hesablanır: dekart koordinat sistemində

kjigradzyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=ϕϕϕϕ ;

silindrik koordinat sistemində

zr 111gradzrr ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=ϕ

θϕϕϕ θ

1 ;

sferik koordinat sistemində

ψθ ψϕ

θθϕϕϕ 111grad r ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=sin11

rrr,

burada: kj,i, - düzbucaqlı dekart koordinat sisteminin vahid vektorları; zr 111 ,, θ - silindrik koordinat sisteminin vahid vektorları; ψθ 111 ,,r - sferik koordinat sisteminin vahid vektorları. Vektor sahəsinin diferensial xassələrinin izahı xeyli mürəkkəbdir. A vektor sahəsini skalyar sahə – divergensiya

Adiv ilə və vektor sahə – rotor rotA ilə xarakterizə edirlər. Divergensiyanın qiyməti fəzanın verlmiş nöqtəsində baxılan sahənin mənbələrinin sıxlığına bərabərdir:

dVdФ

ddiv V

V=

∆=

∫∆

→∆ V

SAA

0lim , (4.1)

burada ∫∫ ==S

nS

dSAdФ SA - vektorun S səthindən selidir;

nA - vektorun S səthinə perpendikulyar mürəkkəbəsidir. Qauss – Ostroqradski teoreminə görə:

113

∫∫ =VS

dVdivd ASA . (4.2)

Vektor sahəsi rotorunun tərifi çətindir; müəyyən mənada, hesab etmək olar ki, rotor tədqiq olunan sahənin bircins sahədən fərqlənmə dərəcəsini xarakterizə elir. A vektor sahəsi divergensiyasını vektorun proyeksiyalarını müəyyən qaydada diferensiallamaqla hesablayırlar:

• dekart koordinat sistemində

z

Ay

AxAdiv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=A ;

• silindrik koordinat sistemində

z

AArr

rAr

div zr

∂∂

+∂∂

+∂

∂=

θθ1)(1A ;

• sferik koordinat sistemində

ψθθθ

θψθ

∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

Ar

Arr

Arr

div r

sin1)(sin

sin1)(1 2

2A .

İxtiyarı ortoqonal əyrixətli koordinat sistemində :

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

3

21

2

31

1

32

321

)()()(1 321

xAhh

xAhh

xAhh

hhhdiv xxxA .

Vektor sahəsi rotorunun proyeksiyalarının ifadələri belədir: • dekart koordinat sistemində

z

AyA yz

∂

∂−

∂∂

=Arotx ; x

Az

A zx

∂∂

−∂∂

=Aroty ;

yA

xA xy

∂∂

−∂

∂=Arotz ;.

• silindrik koordinat sistemində

z

AAr

z

∂∂

−∂∂

= θ

θ1Arotr ;

rA

zA zr

∂∂

−∂∂

=Arotθ ;

θ

θ

∂∂

−∂

∂= zA

rrrA

r1)(1Arotz ,

• sferik koordinat sistemində

114

∂∂

−∂

∂=

ψθθ

θθψ AA

r)(sin

sin1Arotr ;

r

rAr

Ar

r

∂∂

−∂∂

=)(1

sin1 ψ

θ ψθArot ;

∂∂

−∂

∂=

θθ

ψrA

rrA

r)(1Arot

A vektorunun rotoru ixtiyarı koordinat sistemində ilkin sahənin proyeksiyaları və Lyame əmsalları ilə ifadə olunur:

+

∂

∂−

∂

∂=

3

2

2

3

32

2311

x)Ah(

x)Ah(

hhxxxrotA

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

2

1

1

2

211

3

3

1

31

12331211

x)Ah(

x)Ah(

hhx)Ah(

x)Ah(

hhxxxxxx

Skalyar və vektorial sahələrdə diferensial əməlləri Hamilton operatoru ∇ -nın (nabla) köməyi ilə aparmaq daha səmərəlidir: UU ∇=grad ; AA ∇=div ; [ ]ArotA ∇= . Dekart koordinat sistemində Hamilton operatoru simvolik vektordur:

kjizyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ .

Rotorun n istiqamətinə proyeksiyası:

dSdЦ

S

dL

Snn=

∆==

∫∆

→∆

lAArotrotA

0lim , (4.3)

burada S∆ - n istiqamətinə perpendikuyar səthdir; dЦ - vektorun sirkulyasıyasının diferensialıdır. Vektorun sirkulyasıyası:

115

∫∫ ==LL

dldЦ LAlA . (4.4)

Ostroqradski - Stoks teoreminə görə: ∫∫ =

SL

dd SrotAlA , (4.5)

burada L - S səthinin perimetridir. İkinci tərtib diferensial vektor əməllərindən elektrodinamikada ən çox istifadə olunanı 2∇ - dır. Onun vektor sahəsinə təsir qanunu belə yazılır: rotrotA-AgradA div=∇2 . Skalyar sahəyə təsir edən ikinci tərtib diferensial əməl Laplas operatoru – laplasian adlanır. ϕ skalyarının laplasianı: ϕϕϕ gradΔ2 div==∇ . Laplas operatoru müxtəlif koordinat sistemində belə yazılır:

• dekart koordinat sistemində

2222

zyx

222

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ϕϕϕϕ ; (4.6a)

• silindrik koordinat sistemində

2222 11

zrrr

rr

22

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇ϕ

θϕϕϕ ; (4.6b)

Şəkil 4.1

116

sferik koordinat sistemində

+∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇ 222

22 sin

sin11

zrrr

rr

2ϕθϕθ

θθϕϕ

2

2

22 sin1

ψϕ

θ ∂∂

+r

. (4.6c)

Vektorun laplasianı: )k()j()i(A2

zyx AAA 222 ∇+∇+∇=∇ . Qradientin rotoru: ( )[ ] 0=∇∇ ϕ . Rotorun divergensiyası: [ ] 0=∇⋅∇ A . Skalyar və vektorun hasilinin divergensiyası: ϕϕϕ DgadDD −= divdiv )( . Vektorial hasilin divergensiyası: [ ] RrotHHrotEEH −=div . Rotorun rotoru: AAgradrotrotA 2∇−= div . Dekart koordinat sistemində vahid vektorlarının skalyar və vektorial hasilləri: Eyniadlı iki vahid vektorun skalyar hasili birə bərabərdir: 1=⋅ ii ; 1=⋅ jj ; 1=⋅kk Müxtəlifadlı iki vahid vektorun skalyar hasili sıfıra bərabərdir: 0=⋅ ji ; 0=⋅kj ; 0=⋅ ik . Eyniadlı iki vahid vektorun vektorial hasili sıfıra bərabərdir: 0=⋅ ii ; 0=⋅ jj ; 0=⋅kk . Müxtəlifadlı iki vahid vektorun vektorial hasilinin modulu bırə bərabərdir; hasil vektorun istiqaməti burğu qaydası ilə tapılır: kj][i =⋅ ; ik][j =⋅ ; ji][k =⋅ ; ki][j −=⋅ ; ij][k −=⋅ ; jk][i −=⋅ .

117

4.2. Potensial. Potensialın qradienti. Ekvipotensial səthlər və xətlər. Sahə xətləri

Əgər müəyyən fəzada hər bir nöqtənin fiziki halı bu nöqtəyə məxsus olan bu və ya başqa vektorial (yaxud skalyar) kəmiyyətin qiymətilə xarakterizə edilirsə, onda bu fəzada riyazi vektorial (yaxud skalyar) sahə mövcuddur deyirlər. Vektor sahələrinin müəyyən növləri (hamısı yox) skalyar potensialın movcudluğu ilə xarakterizə edilir (skalyar sözünü atmaq olar). Yerdən nöqtənin hündürlüyü yerin cazibə sahəsində (qravitasion sahədə) onun skalyar potensialıdır. Elektrostatik sahə fəzanın hər bir nöqtəsində skalyar elektrik potensialın movcudluğu ilə xarakterizə olunur. Bunun qiyməti müsbət vahid elektrik yükünün potensialı sıfır qəbul edilmiş nöqtədən baxılan nöqtəyə gətirmək üçün görülən işə bərabərdir. Belə növ sahəyə b u r u l ğ a n s ı z, yaxud p o t e n s i a l sahə deyilir. Burulğansız sahədə eyni potensiallı nöqtələrin həndəsi yeri əyrixətli səthdir ki, bu səthə e k v i p o t e n s i a l s ə t h deyilir. Ekvipotensial səthdə götütülmüş hər bir xətt e k v i p o t e n s i a l x ə t t adlanır. Verilmiş nöqtədə ϕ potensialının ən böyük dəyişmə sürətinə potensialın qradienti deyilir, ϕgrad və ya ϕ∇ kimi işarə olunur. Potensialın qradienti vektorial kəmiyyətdir. Onu koordinat istiqamətlərində mürəkkəbələrə ayırmaq olar və bunlardan hər biri öz istiqamətində potensialın qiymətinin dəyişmə sürətinə bərabərdir. Düzbucaqlı dekart koordinat sistemində (şəkil 4.1,a)

ϕgrad vektorunu belə yazmaq olar:

kjigradzyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇=ϕϕϕϕϕ (4.7)

Silindrik koordinat sistemində (şəkil 2.1,b)

zr 111gradzrr ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇=ϕ

θϕϕϕϕ θ . (4.8)

118

Sferik koordinat sistemində (şəkil 2.1,c)

ψθ ψϕ

θθϕϕϕϕ 111grad r ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇=sin1

rrr (4.9)

Müvafiq qiymətləri eyni qədər fərqlənən ekvipotensial xətlər bir-birinə nə qədər yaxın olarsa, potensialın qradienti bir o qədər böyük olar. Potensialın qradienti verilmiş nöqtədə ekvipotensial səthə həmişə perpendikulyardır. Elektrostatik sahənin potensial- ının qradienti mənfi sınaq yükünə təsir edən qüvvənin bu yükün qiymətinə olan nisbətinin, yükün qiymətinin sıfıra yaxınlaşma halında- kı limitinə bərabərdir (sınaq yükünün təsiri nəzərdən atılır). Əgər sınaq yükünün ətaləti olmasaydı, onda onun sahə qüvvə lərinin təsirilə hərəkəti sahə xətti və yaxud qüvvə xətti adlanan xətt üzrə baş verərdi. Qradient bütün nöqtələrdə sahə (qüvvə) xəttinə toxunan istiqamatdə yönəlir. Elektrostatik sahə potensialı qradientinin əks işarə ilə götürülmüş qiyməti elektrostatik sahəni intensivliyi E adlanır. Bu, sahənin müsbət sınaq yükünə etdiyi təsir qüvvəsinin bu yükün qiymətinə olan nisbətinin, yükün sıfıra yaxınlaşması zamanı, limitinə bərabərdir. Tərifə əsasən yazmaq olar: ϕϕ −∇=−= gradE (4.10) Qüvvə xətti anlayışının tərifindən düzbucaqlı dekart koordinat sistemində onların tənliyi alınır: [ ] 0=lEd ;

zyx E

dzEdy

Edx

== , (4.11)

Şəkil 4.2

119

burada xE , yE , zE - E vektorunun x, y, z koordinat oxları üzrə mürəkkəbələridir. Vektor istiqamətcə hər bir nöqtədə qüvvə xəttinə toxunan, modulca qüvvə xəttinə normal vahid səthdən keçən xətlərin sayına mütənasibdir. Skalyar potensial funksiyasının vacib xüsusiyyəti onun kəsilməz olmasıdır. Doğrudan da, elektrostatik sahənin intensivliyinin E təbiətdə və praktikada müşahidə olunan qiymətləri həmişə sonludur; əks halda dielektriklərin mövcudluğu mümkün olmazdı. Deməli, skalyar ϕ potensial funksiyasının istənilən istiqamətdə məsafəyə görə törəməsi sonlu qiymətə malikdir, yəni fəzanın bir nöqtəsindən digərinə keçdikdə kəsilməz olub sıçrayışsız, səlis dəyişir. Elektrik sahəsinin E intensivliyi, potensialın qiymətinə istənilən sabit qiymət əlavə etdikdə, dəyişmir )( const+−∇= ϕE . Sabitin qiyməti sərhəd şərtlərinə görə təyin edilir, bu isə ekvipotensial səthlərin hansına sıfır potensial verildiyinə görə müəyyən olunur.

• Məsələ. Potensial verilmişdir 222 zyx ++=ϕ . Onun qradientini tapmalı. Ekvipotensial səthlərin forması necədir?

Həlli. Qradientin düzbucaqlı dekart koordinat sistemində (4.7) düsturunu yazırıq:

kjigradzyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇=ϕϕϕϕϕ .

Potensialın oxlar üzrə törəmələrini təyin edirik:

222 zyxx

x ++=

∂∂ϕ ;

222 zyxy

y ++=

∂∂ϕ ;

120

222 zyx

zz ++=

∂∂ϕ ;

222 zyxzyx++

++=

kjiϕgrad .

Ekvipotensial səthlərin tənliyi 222 zyx ++=ϕ = const. Əgər Rconst = yazsaq, tənlik belə yazıla bilər:

2222 Rzyx =++ bütün const=ϕ üçün. Deməli, ekvipotensial səthlər sferalar ailəsi olacaqdır.

• Məsələ. jiA xy +−= vektoru xəttinin tənliyini tapmalı. Həlli. Sahə müstəvi sahədır, odur ki, z = const olan bütün müstəvilərdə A vektorunun xətləri eyni olacaqdır. Onlar aşağıdakı nisbətdən təyin edilir:

.

Ady

Adx

yx=

;yAx −= xAy = olduğuna görə ydyxdx −= . İnteqrallayıb alırıq:

.constyx

+−=22

22

2

2aconst =

yazırıq. Onda tənlik belə şəkil alır:

222 ayx =+

bütün z = const üçün. Bu isə radiusu 0 < a< ∞ olan çevrələr ailəsidir.

• Məsələ. 5k4j3iA ++= və kjiR zyx ++= vektorları verilib. Onların skalyar hasilinin qradientini tapmalı. Ekvipotensial səthlərin forması necədir?

Həlli. Vektorların skalyar hasilini tapırıq: zyxRARARA zzyyxx 543 ++=++== ARϕ .

121

Ekvipotensial səthlər 3x +4y +5z = const paralel müstəvilərdir. Qradient

Akjikjigrad(AR) =++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 543zyxϕϕϕ

4.3. Differensial operatop Qradient, skalyar potensial kəmiyyətinin koordinatlara görə differensiallanması ilə hesablanır. Bu əməli işarə etmək üçün qradienti axtarılan kəmiyyətin simvolunun qarşısında ∇ simvolunu yazmaq olar. ∇ (“nabla”) simvolu differensial operator adlanır. Formal olaraq ona düzbucaqlı koordinat sistemində vektor kimi baxmaq olar:

kjizyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ . (4.12)

Qradientin düzbucaqlı koordinat sistemindəki (4.7) ifadəsinə formal ∇ “vektorunun” ϕ skalyar kəmiyyətinə vurma hasili kimi baxmaq olar. Skalyar kəmiyyətin simvolunun qarşısında ∇ simvolunu yazmaq onun qradientini almaq deməkdir.

4.4. Vektorun seli və divergensiyası Vektorun seli. Fəzada qapalı səthlə əhatə olunmuş müəyyən həcm təsəvvür edək: bu səthin çox kiçik elementini yastı hesab etmək və ona normal yönəlmiş ds vektoru şəklində təsvir etmək olar. Bu vektorun müsbət istiqamətini elementi əhatə edən konturu dolanma istiqamətinə görə burğu qaydası ilə bağlayırlar: səth elementinə xaricdən baxdıqda konturu saat əqrəbinin əksinə dolanma istiqaməti müsbət qəbul edilir (şəkil 4.3). Tutaq ki,

122

baxılan həcm E vektorunun sahəsindədir. Səthin çox kiçik elementi həddində E vektorunu sabit hesab etmək olar.

)cos( SE,SE dEdSd = skalyar hasili E vektorunun dS səthindən keçən e l e m e n t a r s e l i adlanır. Bu kəmiyyətin, baxılan həcmi əhatə edən butun səth üzrə inteqralı ∫ SdE vektorun həcmdən çıxan tam selini ifadə edir. Sel skalyar kəmiyyətdir. Vektorun ixtiyari açıq səthində də selini hesablamaq olar. Vektor sahəsini,hər bir nöqtəsində vektorun toxunan olduğu, xətlər sistemilə də xarakterizə etmək olar. Bu xətlərin sıxlığını elə seçmək olar ki, məlum miqyasda vektorun qiymətinə üyğun olsun. Bu halda vektorun selinə sahə xətlərinin baxılan səthdən kəçən sayı kimi baxmaq olar.

• Məsələ. R vektorunun (nöqtənin radius-vektorunun) mərkəzi koordinat başlanğıcında olan sferik səthdən keçən selini hesablamalı.

Həlli. R vektorunun qapalı səthdən seli skalyar kəmiyyətdir:

Шякшд 4.3

Шякil 4.4

123

,dSRФ

Sn

S

d ∫∫ == SR

burada nR - dS sahəciyinə müsbət normal istiqamətdə vektorun proyeksiyasıdır. M-də S səthi sferikdir və R vektorunun istiqaməti radius-vektorla eynidir, ona görə də RRR rn == . Vektorun seli

.RRRRdS

S

32 44 ππ =⋅=∫

• Məsələ. R radius-vektorunun düz dairəvi silindrin tam

səthindən Φ selini tapmalı. Silindrin ölçüləri şəkil 4.4-də verilmişdir.

Həlli. Radius vektorun oturacağa normal proyeksiyası oturacaqdan keçəcək. Bu proyeksiya hRz = . Yalnız yuxarı oturacaqdan sel keçəcək. Vektorun yan səthə normal proyeksiyası aRr = . Silindrin tam səthindən sel

.haahahaФ 22 32 πππ =+= Vektorun divergensiyası. Vektorun kiçik həcmi əhatə edən qapalı səthdən tam seli sıfır və ya sıfırdan fərqli ola bilər. Birinci halda həcmdə nə mənbə, nə də axar var (xəttin başladığı və ya qurtardığı fiziki agent). Lakin, həcmi əhatə edən qapalı səthdən, həcmdən xaricdə olan mənbədən gəlib həcmdən xaricdə yerləşən axara qayıdan, qüvvə xətti iki dəfə keçə bilər. İkinci halda həcmin daxilində ya mənbə, ya da axar olmalıdır. Vektorun qapalı səthdən tam selinin səthin əhatə etdiyi həcmə olan nisbətinin, həcm sonsuz kiçilən olduğu halda, limiti vektorun d i v e r g e n s i y a s ı və ya d a ğ ı l m a s ı adlanır:

124

V

ddiv

V ∆=

∫∆

→∆

s

SEE

0lim . (4.13)

Divergensiya skalyar kəmiyyətdir, əgər sahə xətləri həcmdən çıxırsa o, müsbət, həcmə daxil olursa, mənfi işarəlidir. Tilləri dx , dy , dz olan paralelopiped şəklində elementar həcmə baxaq (şək. 4.5). E vektorunu koordinat oxları üzrə mürəkkəbələrə ayıraq: xE i , yE j , zE k . Kiçik həcm hədlərində E vektorunun məsafəyə görə kəsilməz dəyişdiyini hesab etmək olar; onun mürəkkəbələri də məsafəyə görə kəsilməz dəyişir.

Şəkil 4.5 Məsələn, əgər vektorun paralelopipedin sol divarındakı x mürəkkəbəsi xE -a bərabərdirsə, dx tili boyunca hərəkət

etdikdə o dxx

Ex

∂∂ qədər dəyişər, burada xE ∂∂ / xE -in x oxu

istiqamətində dəyişmə sürətidir.

125

Vektorun, sahəsi dy·dz olan sol divardan seli

dzdyEdФ xx ⋅=1 olar. Vektorun baxılan paralelopipedin sağ divarından çıxan seli belə olar:

dzdydxx

EEdФ xxx ⋅

∂∂

+=2 ;

paralelopipeddən x oxu istiqmətində keçən selin artımı belə olar:

dVx

Edxdydzx

EdФdФ xxxx ∂

∂=

∂∂

=− 12 , (4.14)

burada dV – kiçik paralelopipedin həcmidir. Yuxarı və aşağı, qabaq və dal divarlar cütlüyünə uyğun surətdə baxıldıqda selin artımının y və z oxları istiqamətində oxşar ifadələrini alarıq:

dVy

EdФdФ y

yy ∂

∂=− 12 ; (4.15)

dVz

EdФdФ zzz ∂

∂=− 12 . (4.16)

(4.14), (4.15) və (4.16) ifadələrini toplayıb paralelopipedin dV həcminə bölsək, düzbucaqlı dekart koordinat sistemində vektorun divergensiyasının ifadəsini alarıq:

.z

Ey

Ex

Ediv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=E (4.17)

(4.17) ifadəsinin sağ tərəfinə, formal olaraq,∇ “vektorunun” E vektoru ilə skalyar hasili kimi baxmaq olar: EE ∇=div (4.18) Divergensiyanın silindrik koordinatlarda ifadəsi belədir:

z

EErExr

zr ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇θθ)(1E . (4.19)

Divergensiyanın sferik koordinatlarda ifadəsi belədir:

126

∂

+∂∂

+∂∂

=∇αψ

θθθ

ψθ

EE

rEr

rr r )sin(sin1)(1 2

2E (4.20)

Şəkil 4.6 Divergensiya anlayışının fiziki mahiyyəti belə izah olunur. Şəkil 4.6,a-da içərisindən su axan borunun bir hissəsi göstərilib. Suyun v axma sürətinin vektor sahəsinə baxaq. Sürət vektorunun hər hansı səthdən seli bu səthdən vahid zamanda keçən suyun həcminə bərabərdir. Qapalı s səthindən keçən sel sıfırdır, çünki bu sahə ilə əhatə olunmuş həcmdə mayenin miqdarı dəyişməzdir. Bu ondan irəli gəlir ki, su praktik olaraq sıxılmazdır və həcmdə vakuumun yaranması mümkün deyildir. Deməli, suyun boruda axma sürətinin divergensiyası sıfırdır. Şəkil 4.6,b –də borunun sol ucundan bağlı bir hissəsi göstərilib. Əvvəlcə boru soldan qapaqla bağlanır və sağ tərəfdən atmosfer təzyiqindən artıq təzyiqdə qazla doldurulub buradan da qapaqla bağlanır. Sonra borunun sağ tərəfindən qapaq çıxarılır və sıxılmış qaz atmosferə çıxmağa və qaz borunun içərisində genişlənməyə başlayır. Əgər qazin boruda hərəkətini sürətlərin v vektor sahəsi ilə təsvir etsək, onda sürətin divergensiyası (yəni dağılması)

Шякil 4.7

127

sıfır olmayacaqdır, çünki borunun içində götürülmüş qırıq xətlə əhatə olunan hər hansı V həcmdə qazın miqdarı zaman keçdikcə sabit qalmayacaqdır, qaz genişləndikcə azalacaqdır. Vektorun divergensiyasının movcud olması, həmişə, verilmiş nöqtədə sahə xətlərinin mənbəsinin, yaxud axarının olması ilə bağlıdır. Elektrostatik sahədə müsbət yüklər mənbə, mənfi yüklər isə axardır. Deməli, elektrostatik sahənin intensivliyi vektorunun E∇ divergensiyası yüklərin olduğu yerlərdə sıfırdan fərqlənir. Elektrik yükləri olmayan yerlərdə divergensiya yoxdur. Maqnit sahəsində maqnit induksiyası vektorunun divergensiyası həmişə sıfırdır, çünki təbiətdə maqnit yükləri ayrıca şəkildə yoxdur.

• Məsələ. A vektorunun silindrik koordinat sistemində divergensiyasının ifadəsini tərtib etməli.

Həlli. A vektorunun divergensiyası skalyar kəmiyyətdir:

.0 dV

dФV

dSdiv V

V=

∆=∇=

∫=∆

→∆

AlimAA

Şəkil 4.7-də həcmin elementi silindrik koordinat sistemində təsvir edilib. Bu elementin həcmi dzrdrddV θ= . Bu həcmi əhatə edən səthdən sel:

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

= dzzФdФdr

rФdФ θ

θ

=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= dzz

)drrdA(d)drdzA(drr

)dzrdA( zr θθθ

θ θ

.

zAA

rr)rA(

rdzrdrd zr

∂∂

+∂∂⋅+

∂∂⋅⋅=

θθ θ11

buradan

128

.

zAA

rr)rA(

rdVdФdiv zr

∂∂

+∂∂⋅+

∂∂⋅==

θθ11A

Şəkil 4.8

Məsələ. A vektorunun sferik koordinat sistemində divergensiyasının ifadəsini tərtib etməli.

Həlli. Sferik koordinat sistemində elementar həcm (şəkil 4.8): θψθθψθ ddrdrrddrdrdV sinsin 2=⋅⋅= . Koordinat oxları üzrə selin keçdiyi elementar səthlərin sahələri: ψθθθψθ ddrrddr sinsin 2=⋅ ; drdr ψθsin ; drrdθ . A vektorunun selinin diferensialı:

+∂

∂+

∂∂

= θθ

ψθψθθ θ ddrdrAdrr

ddrAdФ r )sin()sin( 2

ψψθψ d

drrdA∂

∂+

)(.

Divergensiyanın ifadəsi:

129

ψθθ

θθ

ψθ

∂

∂+

∂∂

+∂

∂==

Ar

Arr

rArdV

dФdiv r

sin1)sin(

sin1)(1 2

2A .

4.5. Burulğan sahə. Vektorun rotoru

Şəkil 4.9, a – da suyun kanalda kanalın dibinə və sahillərinə sürtünmədən axmasının sürətlər sahəsi təsvir edilmişdir. Hər bir yerdə axının sürəti eyni qiymətlidir və sağ tərəfə yönəlmişdir. Suyun axınında heç bir burulğanlıq müşahidə edilmir. Hər hansı bir əşyanın qapalı mnpq yolu boyunca hərəkətinə baxaq; np və qm hissələrdə əşya suyun axınına normal istiqamətdə, yəni iş sərf etmədən (fərz edilir ki, sürtünmə yoxdur) hərəkət edir. Lakin pq hissədə, axının əksinə, hərəkət etdikdə müəyyən iş görəcəkdir; özlülüyü olmayan ideal halda bu iş əşyanın axın iftiqamətində, yəni mn hissədə, hərəkəti zamanı tamamilə qaytarılacaqdır. Deməli, burulğansız sahədə qapalı yol boyunca hərəkət etdikdə görülən iş sıfıra bərəbərdir. Başqa sözlə, qüvvə vektorunun bürülğansız sahədə qapalı yol üzrə sirkulyasiyası (xətti inteqralı)

sıfıra bərəbərdir: 0=∫

l

dlF

Şəkil 4.9,b –də dibi və sahilləri adi formalı çayda axının sürətlər sahəsi göstərilmişdir. Ayrı-ayrı yerlərində, məsələn, A və B oblastlarında suyun axını burulğan xarakterlidir. Qüvvə vektorunun 1111 qpnm qapalı yol üzrə sirkulayasiyası burada sıfır olmayacaqdır.

Şəkil 4.9

130

. Saat əqrəbi istiqamətdə hərəkət bütün yol boyunca sahə qüvvələrinin əksinə baş verir. Sirkulyasiyanın qiyməti kontur boyunca hərəkətdə görülən işə bərabərdir. Belə sahəyə s o l e n o i d a l və yaxud b u r u l ğ a n l ı s a h ə deyilir. İxtiyari formada çox kiçik l∆ konturu götürək və onu elə yerləşdirək ki, baxılan nöqtə onun mərkəzində olsun (şəkil 4.10).

Şəkil 4.10 l∆ konturunun düzbucaqlı dekart koordinat sistemində yz müstəvisinə proyeksiyası olan köməkçi yzl∆ konturu üzrə B vektorunun sirkulyasiyasının qiymətinə baxaq. Sirkulyasiyanın alınan qiymətinin köməkçi konturla əhatə olunmuş yzs∆ sahəsinin qiymətinə olan nisbətinin, bu sahə sıfıra yaxınlaşdıqda, limitinə vektorun m nöqtyəsində rotorunun x koordinat oxu üzrə mürəkkəbəsi deyilir və x)Brot( kimi işarə edilir:

131

.B(0

yzS s

d

rotyz ∆

=∫∆

→∆

yzlx lim

lB

) (4.21)

l∆ konturunun zx və xy müstəvilərində proyeksiyaları olan köməkçi zxl∆ və xyl∆ konturları üzrə vektorun sirkulyasiyasını oxşar surətdə götürərək rotorun y və z oxları üzrə mürəkkəbələrini təyin edirik. Rotorun mürəkkəbələrinin işarələri burğu qaydası ilə təyin edilir. Əgər köməkçi konturun müstəvisində burğunu konturu dolanma istiqamətində fırlatsaq, burğunun irəliləmə hərəkəti rotorun mürəkkəbəsinin müsbət istiqamətini göstərəcək. Məsələn, şəkil 4.9,b –də suyun axma sürətinin rotorunun çertyoja perpendikulyar bir mürəkkəbəsi vardır. A oblastında o səhifədən oxucuya doğru, B oblastında isə oxucudan səhifəyə doğru yönəlib. Tapılan mürəkkəbələri müvafiq vahiq vektorlara vurub nəticləri həndəsi toplayaraq, B vektorunun baxılan m nöqtəsində vektorial kəmiyyət olan rotorunu alırlar:

kjixyzxyz s

d

s

d

s

d

rot∆

+∆

+∆

=∫∫∫∆∆∆ xyzxyz lll limlimlim

lBlBlB

Bxyzxyz ΔSΔSΔS

Rotorun düzbucaqlı dekart koordinat sistemində ifadəsini çıxarmaq üçün B vektorunun sirkulyasiya konturu xy müstəvisində tərəfləri dx, dy olan kiçik düzbucaqlı şəklində götürülmüş şəkil 4.11 - ə müraciət edək. Fərz edək ki, B vektoru xy müstəvisində yerləşir.

B vektorunu koordinat oxları üzrə xB , yB mürəkkəbələrinə ayıraq. Bu qiymətlər konturun koordinatları x, y olan a nöqtəsinə aiddir. Koordinatları x+dx, y olan b nöqtəsində vektorun mürəkkəbələrinin qiymətləri belə olacaq:

dxx

BB xx ∂

∂+ və dx

xB

B yy ∂

∂+ .

132

xBx ∂∂ / və xBy ∂∂ / xüsusi törəmələri xB və yB mürəkkəbələrinin koordinat oxları üzrə dəyişmə sürətlərini ifadə edir.Vektorun c və d nöqtələrində mürəkkəbələrinin qiymətləri analoji yolla tapılır: c nöqtəsində

dyy

Bdxx

BB xxx ∂

∂+

∂∂

+ və

,dy

yB

dxx

BB yy

y ∂

∂+

∂

∂+

d nöqtəsində isə

dyy

BB xx ∂

∂+ və

dyy

BB y

y ∂

∂+ .

B vektorunun abcda konturu üzrə sirkulyasiyasını hesablayaq; konturu dolanma istiqamətini saat əqrəbinin əksinə götürürük. ∫ ldB inteqralını ab

və cd hissələrdə hesabladıqda vektorun təkcə xB mürəkkəbəsini nəzərə alırıq, çünki yB mürəkkəbəsinin istiqavəti ona perpendikulyar olan dx elementi ilə skalyar hasili sıfırdır. İnteqralı bc və da hissələrədə hesabladıqda analoji mühakimə ilə vektorun təkcə yB mürəkkəbəsi nəzərə alınmalıdır. Vektorun x mürəkkəbəsi xB -in orta qiyməti: ab hissədə :

dxx

BB xx ∂

∂+

21 ,

cd hissədə isə dyy

Bdxx

BB xxx ∂

∂+

∂∂

+21 olar.

Vektorun y mürəkkəbəsi yB -in orta qiyməti: bc hissədə

Şəkil 4.11

133

dyy

Bdx

xB

B yyy ∂

∂+

∂

∂+

21 ,

da hissədə isə dyy

BB y

y ∂

∂+

21 olar.

Bu qiymətləri inteqrallama yolunun müvafiq parçasına- ab hissədə dx –a, bc hissədə dy –a, cd hissədə –dx –a, da hissədə –dy –a vurub topladıqda B vektorunun abcda konturu üzrə sirkulyasiyasının qiyməti alınar:

dxdyx

Bdxdy

yBd yx

abcda ∂

∂+

∂∂

−=∫ lB (4.22)

dsdxdy = sirkulyasiya konturunun əhatə etdiyi sahənin qiymətini ifadə edir. (4.22) ifadəsini ds – ə bölüb k -ya vursaq, B vektorunun rotorunu alarıq:

k⋅

∂∂

−∂

∂=

yB

xB

rot xyB (4.23)

Ümumi halda mötərizədəki ifadə rotorun, B vektorunun xy müstəvisndə proyeksiyası xyB -ə aid olan, z oxu üzrə mürəkkəbəsidir. Analoji mühakiməni B vektorunun yz və zx müstəvilərindəki proyeksiyaları olan yzB və zxB vektorlarına şamil edib rotorun x və y oxları üzrə mürəkkəbələrini tapırıq. Rotorun ifadəsini alırıq:

kB ⋅

∂

∂−

∂∂

+⋅

∂∂

−∂∂

+⋅

∂

∂−

∂∂

=x

ByB

xB

zB

zB

yBrot yxzxyz ji . (4.24)

Bu ifadə differensial operator ∇ -nın B vektoru ilə vektorial hasilindən ibarətdir: B][B ∇=rot (4.25)

134

(4.24) və (4.25) ifadələrini determinant şəklində göstərmək daha məqsədə uyğundur:

zyx BBBzyx ∂∂

∂∂

∂∂

=∇

kji][ B . (4.26)

Məsələ 4.2. jiAax

ay

+−= vektoru-

nun 222 ayx =+ çevrəsi üzrə sirkulyasiyasını hesablamalı. Həlli. Vektorun sirkulyasiyası skalyar kəmiyyətdir və belə ifadə olunur: .)cos(∫∫ =

LL

dAdld lA,lA

222 ayx =+ çevrəsində (şəkil 4.12) vektorun qiyməti:

.αα cossin ⋅+⋅−= jiA İnteqrallama konturun fırlanma istiqamətini saat əqrəbinin əksinə götürürük. Qövs elementinin qiyməti: .cosadsinaddydxd αααα jiji +−=+= l Beləliklə, A vektorunun sirkulyasiyası

∫∫ =⋅+−⋅+−=LL

adcossincossin(d ααααα )()l jijiA

.ad)cos(sina πααα

π

22

0

22 =+= ∫

Məsələ başqa üsulla da həll edilə bilər. A vektorunun qiyməti inteqrallama konturunun bütün nöqtələrində eynidir:

Şəkil 4.12

135

.

ax

ayAAA yx 1

2222 =

+

−=+== A

A vektorunun istiqaməti kontura toxunanla eynidir. Ona görə

.adl)dcos(Adl

LL

π2== ∫∫ l,A

• Məsələ kjiA yzxzxy +−= vektorunun rotorunu tapmalı.

Həlli. Rotorun düzbucaqlı koordinat sistemindəki ifadəsindən istifadə edib onun oxlar üzərində proyeksiyalarını təyin edirik:

;xzz

AyArot yz

x +=∂

∂−

∂∂

=A ;0=∂∂

−∂∂

=xA

zArot zx

y A

.xzy

Ax

Arot xy

z −−=∂∂

−∂

∂=A .- kiA )()( zxzxrot ++=

• Məsələ İfadəsi düzbucaqlı koordinat sistemində verilmiş N

vektorunun sahəsini tədqiq etməli

πxsin2iN = .

Həlli. Sahənin xarakterini müəyyən etmək üçün N vektorunun divergensiya və rotorunu hesablamaq lazımdır. Məsələnin şərtinə görə vektorun yalnız bir proyeksiyası xN var, o da təkcə x koordinatından asılıdır. Onda:

136

;0=Nrot .cos2ππx

xNdiv x =∂∂

=N

N vektorunun divergensiyası sıfırdan fərqli olduğuna görə sahənin vektorial potensialı yoxdur, lakin skalyar potensialı vardır, bu aşağıdakı ifadədən tapılır: ϕgradN ±= .

;sin2π

ϕ xx

N x ±=∂∂

±= ;0=∂∂

=y

N yϕ 0=

∂∂

=z

N zϕ

olduğuna görə skalyar potensial təkcə x koordinatından asılıdır:

.constxcosconstdxN x +=+±= ∫ π

πϕ 2

İnteqral sabitini tapmaq üçün sıfır potensiallı nöqtəni vermək lazımdır. Tutaq ki, x = 0 olanda ϕ = 0 və π2=const olar, onda

).xcos(

ππϕ 12=

4.6. Skalyar və vektorial laplasian Skalyar laplasian. Elektromaqnit sahə nəzəriyyəsində ikiqat differensiallama əməllərindən ən çox istifadə olunan, skalyar laplasian adlanan, qradiyentin divergensiyasıdır: )( ϕ∇∇ və yaxud ϕ2∇ . (4.29) Bəzən skalyar laplasianı ∆ simvolu ilə işarə edirlər. (4.12) düsturundan istifadə edərək düzbucaqlı dekart koordinat sistemində laplasianın açıq ifadəsini asanlıqla almaq olar:

.2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ϕϕϕϕ (4.30)

137

• Məsələ 222 zyx ++=ϕ potensialı verilmişdir. Onun skalyar laplasianını tapmalı.

Həlli. Skalyar laplasianın (4.30) ifadəsinə görə:

222 zyx

xx ++=

∂∂ϕ ;

222 zyxy

y ++=

∂∂ϕ ;

222 zyx

zz ++=

∂∂ϕ ; 2/3222

22

2

2

)( zyxzy

x +++

=∂∂ ϕ ;

2/3222

22

2

2

)( zyxzx

y +++

=∂∂ ϕ ; 2/3222

22

2

2

)( zyxyx

z +++

=∂∂ ϕ ;

2222/3222

2222 2

)()(2

zyxzyxzyx

++=

++++

=∇=∆ ϕϕ .

Vektorial laplasian. Vektorial A kəmiyyətinin vektorial laplasianı aşağıdakı ifadəyə deyilir: kjiA zyx AAA 2222 ∇+∇+∇=∇ . (4.33) Vektorial laplasian vektorun üç skalyar mürəkkəbəsinin laplasianlarının həndəsi cəmidir. Vektorial laplasianı başqa cür də izah etmək olar. Vektor cəbrindən məlumdur ki: ||BA|C|B(CA)(BC)A == ; ∇=B və ∇=C qəbul edək, onda

138

]][[ AAA ∇∇∇∇=∇ -)(2 . (4.34) A-nın vektorial laplasianı A-nın qradiyentinin divergensiyası ilə A-nın rotorundan alınan rotorun fərqinə bərabərdir.

• Məsələ kjiR 22 yzxzyx - += vektorunun vektorial laplasia-nını tapmalı.

Həlli. Vektorun vektorial laplasianın (4.33) ifadəsinə görə: yxRx

2= ; xzRy = ; 2yzRz −= .

yzR

yR

xRR xxx

x 22

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ;

02

2

2

2

2

22 =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

zR

yR

xR

R yyyy ;

yzR

yR

xRR zzz

z 22

2

2

2

2

22 −=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ;

kiR yy 222 -=∇ .

4.7. Potensial sahənin mövcudluq şərtləri Vektorun özü-özü ilə vektorial hasili sıfıra bərabərdir: 0][ =∇∇ . (4.35) Ona görə də skalyar kəmiyyətin qradiyentinin rotoru sıfırdır: 0)()()( ≡∇∇=∇∇= ][][ ϕϕϕgradrot (4.36) Rotoru olmayan M vektorial kəmiyyəti müəyyən skalyarın qradiyentidir, bu skalyar M vektoru sahəsinin skalyar potensialı adlanır. Rotorun olmaması sahə xətlərinin qapalı əyrilər (burulmalar) yaratmadığını göstərir. Hər bir xətt müəyyən “mənbədə” başlayır, müəyyən “axarda” qurtarır. Elektrostatik sahə belə sahədir. Burada mənbə və axar müsbət və mənfi elektrik yükləridir. Mənbə və axar olan nöqtələrdə vektorun divergensiyası sıfır olmur. Bu potensial sahənin mövcudluğunun ikinci şərtidir.

139

Beləliklə, potensial sahə xarakterizə edilir: 1) rotorun yoxluğu; 2) heç olmasa bəzi nöqtələrdə divergensiyanın mövcudluğu; 3) skalyar potensialın mövcudluğu ilə: 0][ ≡∇M ; 0≠∇M ; ϕ∇=M . (4.37) 4.8. Burulğan sahənin mövcudluq şərtləri İstənilən vektorun rotorunun divergensiyası həmişə sıfırdır. Bu (4.35) tənliyindən də görünür 0]AAA ≡∇∇=∇∇= [][)(rotdiv . (4.38) Divergensiyanın olmaması burulğan sahənin mövcudluğunun birinci zəruri şərtidir. Çünki belə sahədə mənbə və axar olmur, sahə xətləri qapalı (burulan) əyrilərdir. Vektorun rotoru heç olmasa bir neçə nöqtədə sıfırdan fərqli olur. Bu burulğan sahənin mövcudlüğünün ikinci şərtidir. Burada vektor skalyarın qradiyenti ola bilməz. Başqa sözlə, burulğan vektor sahəsinin skalyar potensialı yoxdur. Deməli, solenoidal burulğan sahənin mövcud olması üçün: 1) divergensiya sıfır olmalı; 2) heç olmasa bir neçə nöqtədə rotorun varlığı; 3) skalyar potensialın yoxluğu: 0≡∇B ; 0][ ≠∇B . (4.39) Burulğan sahə vekorial potensial adlanan funksiya ilə xarakterizə edilə bilər (potensial sahədə olmayan). Burulğan sahəyə misal cərəyanlı naqilin cismindəki maqnit sahəsini göstərmək olar. Cədvəl 4.2-də vektor analizinin əsas kəmiyyətlərinin hər üç koorlinat sistemində ifadələri verilmişdir.

140

Cədvəl 4.2

141

4.9. Vektorial potensial (4.38) tənliyindən görünür ki, divergensiyası olmayan vektorial B kəmiyyətinə başqa A vektorunun rotoru kimi baxıla bilər. Əgər 0≡∇B olarsa, onda: ][ AB ∇= . (4.40) A vektoruna B vektor sahəsinin v e k t o r i a l p o t e n s i alı deyilir. Vektorial potensialın kəmiyyəti çoxqiymətlidir. Onun üçün ][ constAB +∇+∇= Ψ( . (4.41) Ψ∇+A funksiyasını (buna kvazivektorial potensial deyilir) münasib seçdikdə, sərhəd şərtlərini sadələşdirməyin mümkünlüyünə görə, sahələrin hesabı xeyli asanlaşır. Fizika məsələlərində heç yerdə sonsuzluğa dönməyən vektorial kəmiyyətlərə baxılır. Məsələn, maqnit induksiası vektoru B buna misaldır, onun qiyməti hər yerdə sonludur. Ona görə də maqnit sahəsinin vekeorial potensialı A bir nöqtədən başqa, qonşu, nöqtəyə keçdikdə səlis dəyişən kəsilməz funfsiyadır.

• Məsələ Silindrik koordinat sistemində verilmiş θ1⋅= 2

10r

P

vektorun sahəsini tədqiq etməli. Bu zaman A – nın vektorial potensialının bir proyeksiyasının zA olduğunu fərz etməli: divA=0; ∞=r olduqda A = 0.

Həlli. P vektorunun rotorunun yalnız bir proyeksiyası olacaq:

3

10)(1rr

rPr

rotz −=∂

∂⋅= θP .

P vektorunun rotoru sıfırdan fərqli olduğuna görə sahənin skalyar potensialı yoxdur.

142

P vektorunun divergensiyası sıfırdır. Deməlı, onun vektorial potensialı vardır. Bunu aşağıdakı ifadələrdən tapırıq: PA =rot ; .0=Adiv Silindrik koordinat sistemində rotorun və vektor potensialının divergensiyasının ifadələrini açıb alırıq: ;01

=∂∂θ

zAr

;102rr

Az =∂∂

− 0=∂∂

zAz ,

buradan

.1010r

constr

AA z −=+−==

(Sabit sıfıra bərabərdir, çünki şərtə görə ∞=r olduqda A = 0).

4.10. Ostroqradski – Qauss və Stoks teoremləri Ostroqradski – Qauss teoremində (divergensiya teoremində) deyilir: Vektorun divergensiyasının həcm üzrə inteqralinı vektorun özünün bu həcmi əhatə edən səth üzrə götürülmüş inteqralı ilə əvəz etmək olar. Şekil 4.13-də V həcmindən sonsuz kiçik dV1 və dV2 ümumi divarı olan iki həcm ayırırıq. Divergensiyanın tərifinə görə [ (4.13) düsturu)] : ∫=∇

1

1dS

ddV SDD

ifadəsi vektorun dV1 həcmini əhatə edən qapalı 1ds səthindən elementar selini göstərir. Qapalı 2ds səthindən elementar sel belə tapılar:

Şəkil 4.13

143

∫=∇2

2dS

ddV SDD

Analoji ifadələri kiçik həcmlərdən hər biri üçün yazmaq olar. Bu elementar selləri toplayaraq vektorun bütün həcmdən ümumi selini alarıq: ∑ ∫∑ =∇

ndSn ddV SDD . (4.42)

1dV həcminin sərhəd divarından keçən sel 2dV həcminin həmin divardan keçan seli ilə kompensasiya olunacaq. Bu başqa sərhəd divarlarına da aiddir. Nəticədə (4.42) tənliyinin sağ tərəfi limitə keçdikdə kiçik həcmlərin yalnız S xarici səthində yerləşən divarlarından çıxan selləri əhatə edəcəkdir və bu

∫S

dsD inteqralı ilə ifadə olunur.(4.42) tənliyinin sol tərəfindəki

cəm limitə keçdikdə sahənin bütün həcmi üzrə götürülmüş divergensiya inteqralına çevriləcəkdir: ∫∇

V

dVD ,

beləliklə Ostroqradski – Qauss teoremini alırıq: ∫∫ =∇

SV

ddV SDD . (4.43)

Stoks (rotor teoremi) teoremini çıxarmaq üçün şəkil 4.14-ə baxaq. Burada B vektor kəmiyyətinin sahəsində yerləşən bir S səthinin hissəsi göstərilmişdir. Səth xırda 1ds , 2ds . . . kimi hissələrə bölünmüşdür. Rotorun tərifinə görə [ ] ∫=∇

1

1dl

dds lBB

ifadəsi B vektorunun 1ds səthini əhatə edən 1dl konturu üzrə sirkulyasiyasını verir. Analoji olaraq B vektorunun 2ds səthini əhatə edən 2dl konturu üzrə sirkulyasiyası

Şəkil 4.14

144

[ ] ∫=∇2

2dl

dds lBB ilə ifadə olunar və s.

Bu kiçik sirkulyasiyaları toplayaraq alarıq: [ ] ∑ ∫∑ =∇

ndln dds lBB . (4.44)

Hər bir sirkulyasiya eyni istiqamətdə, məsələn saat əqrəbinin əksi istiqamətdə, götürülür. Bu halda 1ds səthinin ətrafında sirkulyasiya inteqralının 1ds və 2ds -ni ayıran ab hissədə 2ds ətrafında sirkulyasiya inteqralının uyğun hissəsilə kompensasiya olunur. (4.44) tənliyinin sağ tərəfində yalnız baxılan bütün S səthini əhatə edən l üzrə kompensasiya olunmayan inteqralların cəmi qalar; bu cəm limitdə qapalı l yolu üzrə B vektorunun inteqralını verər: ∫

l

dlB

(4.44) tənliyinin sol tərəfi limitə keçdikdə B vektoru rotorunun bütün S səthi üzrə inteqralına çevrilər.Deməli, səth üzrə vektor rotorunun inteqralı vektorun səthi əhatə edən kontur üzrə sirkulyasiyasına bərabərdir : [ ] ∫∫ =∇

lS

dds lB B . (4.45)

Stoks teoremi bundan ibarətdir. İnteqrallama səthi ixtiyari formada ola bilər. Əgər səth qapalı olarsa, [ ] 0≡∇∫ dsB (4.46) olar, yəni rotorun qapalı səth üzrə inteqralı sıfırdır

145

Beşinci fəsil

5.1. Vektor analizinin elementlərinə aid xüsusi məsələlərin həlli medodları.

Məsələ 5.1. Sahənin potensialının ifadəsi verilmişdir: zx y 2−=ϕ . x= 2,7; y = 2; z = 2 nöqtəsində potensialın

qradientini tapmalı. Həlli. Qradientin proyeksiyalarını tapırıq:

1−=∂∂

= yyxxϕϕxgrad ; xx

yy lny =

∂∂

=ϕϕgrad ;

2y −=∂∂

=zϕϕgrad .

Verilmiş nöqtədə qradient: +⋅=−⋅+= − 2,7i2kjigrad 2ln1 xx y yxϕ kjik2j2,72 23,54,57,2ln −+=−⋅+ .

Məsələ 5.2 .Sahənin potensialı verilmişdir:

222

1zyx ++

=ϕ .

Onun qradientini tapmalı. Ekvipotensial səthlərin tənliyi necədir? Həlli. Qradientin düzbucaqlı dekart koordinat sistemində ifadəsini yazırıq:

kjigradzyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇=ϕϕϕϕϕ .

Koordinat oxlar üzrə potensialın törəmələrini tapırıq:

( )2

3222 zyx

xx ++

−=∂∂ϕ ;

( )23

222 zyx

yy ++

−=∂∂ϕ ;

146

( )2

3222 zyx

zz ++

−=∂∂ϕ .

Qradient: ( )2

3222 zyx

zyx

++

++−=

kjigradϕ .

Ekvipotensial səthlərin tənliyi: constzyx

=++

=222

1ϕ .

Məsələ 5.3. jiAyx11

+= vektorunun xəttini tapmalı.

Həlli. Vektor yastı səthdədir, deməli constz = olan bütün

səthlərdə A vektorunun xətləri eyni olacaqdır. Onları aşağıdakı kimi təyin edirik:

yx Ady

Adx

= .y

Ax

A yx1,1

== olduğuna görə ydyxdx = . Bu

ifadədən inteqral alıb tapırıq: constyx+=

22

22

. 2

2aconst =

qəbul edirik. 222 ayx =− bütün z = const. Məsələ 5.4. Silindrik koordinat sistemində potensialın qradientinin ifadəsini tapmalı. Həlli. Potensialın qradientinin ümumi ifadəsi:

321

111111

332211xxx xhxhxh ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=ϕϕϕϕgrad .

Silindrik koordinat sistemində Lyame əmsalları beladir:

147

1,,1 === zr hrhh θ ; Onda:

zr zrr111grad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=ϕ

θϕϕϕ θ

1 .

Məsələ 5.5. Sferik koordinat sistemində potensialın qradientinin ifadəsini tapmalı. Həlli. Sferik koordinat sistemində Lyame əmsalları belədir: θψθ sin,,1 rhrhhr === . Onda:

ψθ ψϕ

θθϕϕϕ 111grad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=sin11

rrr r .

Məsələ 5.6. r1A 2

5r

= vektorunun ar = radiuslu sferik

səthdən selini hesablamalı. Sferanın mərkəzi 0=r nöqtəsindədir. Həlli. A qapalı səthdən seli skalyar kəmiyyətdir: dSAdФ n

S∫∫ == SA ,

burada nA - vektorun səthə normal istiqamətdə proyeksiyasıdır. Səth sferik və A vektorunun istiqaməti radius-vektorla eyni olduğuna görə inteqrallama səthinin bütün nöqtələrində

2

5a

AA rn == olacaq. Axtarılan sel:

ππ 20455 222 =⋅== ∫ a

adS

aФ

S

.

148

Məsələ 5.7. kjiA zyxy −++= 2 vektorunun 4222 =++ zyx sferik səthdən selini hesablamalı.

Həlli. Qauss-Ostroqradski teoremnə görə VddivdФ

VS∫∫ == ASA .

Verilmiş vektorun divergensiyası

112 +=−+=∂∂

+∂

∂+

∂∂

= yyz

Ay

Ax

Adiv zyxA .

Sferik koordinat sistemində (şəkil 4.8): ψθ sinsinry = ; ψθθ ddrdrdV sin2= . ∫∫ =+==

VV

ddrdrrVddivФ ψθθψθ sin)1sinsin( 2A

=+= ∫∫ ψθθψθψθ ddrdrddrdrVV

sinsinsin 223

Odddrrdddrr =+= ∫∫∫∫∫∫−−

2/

2/

2

0

2

0

22/

2/

2

0

22

0

3 sinsinsinπ

π

ππ

π

π

ψθθψψθθ ,

çünki 0sin;0sin2

0

2/

2/

== ∫∫−

ππ

π

θθψψ dd .

Məsələ 5.8. kjiA 222 2 zyyxxz ++= vektorunun 2222 azyx =++ sferik səthindən selini hesablamalı. Həlli. Qauss-Ostroqradski teoremnə görə VddivdФ

VS∫∫ == ASA .

Verilmiş vektorun divergensiyası

2222 ayxzz

Ay

Ax

Adiv zyx =++=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=A .

Sferik koordinat sistemində (şəkil 4.8):

149

ψθθ ddrdrdV sin2= .

522

34 adVadVaVddivФ

VVV

π==== ∫∫∫ A .

Məsələ 5.9. A vektoru divergensiyasının ifadəsini düzbucaqlı dekart koordinat sistemində tərtib etməli. Həlli. Divergensiyanın ümumi ifadəsi:

dVdФ

V

dSdiv V

V=

∆=∇=

∫=∆

→∆

AAA

0lim .

Dekart koordinat sistemində həcm elementi belə ifadə edilir: dxdydzdV = . Bu həcmi əhatə edən səthdən keçən selin diferensialı:

=∂∂

+∂∂

+∂∂

= dzzФdy

yФdx

xФdФ

dzzdxdyAdy

ydxdzA

dxxdydzA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=)()()( .

Beləliklə alırıq:

z

Ay

Ax

AdVdФ zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

==Adiv .

Məsələ 5..10. A vektoru divergensiyasının ifadəsini sferık koordinat sistemində tərtib etməli. Həlli. Sferik koordinat sistemində elementar həcm (şəkil4.8): ψθθθψθ ddrdrrddrdV sinsin 2== . Koordinatlar üzrə selin keçdiyi elementar səthlərin sahələri:

150

ψθθ ddrdSr sin2= ; drdrdS ψθθ sin= ; drrddS θψ = . Beləliklə, alırıq:

ψψθ

θθ

ψθθψθ ψθ d)drrdA(

d)drdsinrA(

drr

)dsinrA(dФ r

∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

2

.

ψθθ

θθ

ψθ

∂∂

+∂

∂+

∂∂

==A

rA

rrrrA

dVdФdiv r

sin1)sin(

sin1)(

2

2

A .

Məsələ 5.11. kjiA 33 R

zRy

Rx

3 ++= vektorunun

divergensiyasını tapmalı. Burada 222 zyxR ++= . Həlli. Divergensiyanın

zA

yA

xAdiv zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=A ifadəsindəki

xüsusi törəmələri tapırıq:

2/5222

222

2/32223 )(2

)( zyxzyx

zyxx

xRx

xxAx

++++−

=

++∂

∂=

∂∂

=∂∂ ,

2/5222

222

3 )(2

zyxzyx

Ry

yyAy

+++−

=

∂∂

=∂

∂ ,

2/5222

222

3 )(2zyx

zyxRz

zzAz

++−+

=

∂∂

=∂∂ .

Buradan:

=++

−+++−+++−= 2/5222

222222222

)(222

zyxzyxzyxzyxdivA

0)(

02/5222 =

++=

zyx.

0=== zyx olanda ∞=Adiv , başqa halda 0=Adiv .

151

Məsələ 5.12. D vektorunun ϕ skalyarına hasilinin divergensiyasını tapmalı. Həlli. Yaza bilərik:

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=∇=z

Dy

Dx

Ddiv zyx )()()()(( ϕϕϕϕϕ D)D

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

=z

Dz

Dy

Dy

Dx

Dx

Dz

zy

yx

x ϕϕϕϕϕϕ

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=z

Dy

Dx

Dz

Dy

Dx

Dzyx

zyx ϕϕϕϕ

DD ∇+∇= ϕϕ . Məsələ 5.13. kjiA zyx ++= vektorunun divergensiyasını tapmalı.

Həlli. 3111 =++=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=z

Ay

Ax

Adiv zyxA .

Məsələ 5.14. B vektorunun divergensiyası fəzanın bütün nöqtələrndə sıfırdır. B vektorunun istənilən qapalı səthdən selinin sıfır olduğunu isbat etməli. Həlli. Qauss-Ostroqradski teoreminə görə: ∫∫ ==

V

dVdivФ BBdSS

.

0=Bdiv olduğuna görə 0=Ф . İsbat olundu.

Məsələ 5.15. )0(11222

≠=++

= RRzyx

ϕ skalyarının

laplasianının ifadəsini tapmalı. Həlli. ϕ skalyarının qradientini tapırıq:

152

kjigradzyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇=ϕϕϕϕϕ .

Bu vektorun selinin diferensialı:

dzz

dxdyzdy

y

dxdzydx

x

dydzxdФ

∂

∂∂

∂+

∂

∂∂

∂+

∂

∂∂

∂=

ϕϕϕ

.

dxdydzdV = nəzərə alaraq laplasian üçün yazırıq:

2

2

2

2

2

2

zyxdVdФdiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

==ϕϕϕϕgrad .

Törəmələri tapırıq:

( ) ( ) 23

22221

222 −−++−=

++

∂∂

=∂∂ zyxxzyx

xxϕ ,

( ) ( ) =++⋅⋅+++−=∂

∂ −−25

22223

2222

22

232 zyxxzyxx

xϕ

523 3 −− +−= RxR ;

5232

3 −− +−=∂∂ RyR

yϕ ;

5232

3 −− +−=∂∂ RzR

zϕ .

Beləliklə: −+−+−==∇ −−−− 5235232 33 RyRRxRdiv ϕϕ grad 0333 33523 =+−=+− −−−− RRRzR . Məsələ 5.16. A vektorunun verilmiş həcmi əhatə edən qapalı S səthindən selini tapmalı. Sahənin bütün nöqtələrində A vektorunun divergensiyası const=δ sabitdir. Həlli. Qauss-Ostroqradski teoreminə görə:

153

∫∫ ==VS

dVdivdSФ AA .

constdiv == δA olduğuna görə: ∫∫∫ ====

VVV

VdVdVdVdivФ δδδA .

Məsələ 5.17. kjiA 22 zyyxxz2 ++= vektorunun ++ 2yx2

22 az =+ sferik səthdən keçən selini tapmalı. Həlli. Qauss-Ostroqradski teoreminə görə:

∫∫ ==VS

dVdivdSФ AA ; dVdФdiv =A ; dxdydzdV = .

dzzdxdyAdy

ydxdzA

dxxdydzAdФ zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=)()()( .

2222222 )()()( azyx

zzy

yyx

xxzdiv =++=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=A .

5222

34

34 aaadVadVdivФ

VV

ππ ==== ∫∫ A .

Məsələ 5.18. ϕ skalyarının laplasianının ifadəsinidüzbucaqlı dekart koordinat sistemində tərtib etməli. Həlli. Dekart koordinat sistemində ϕ skalyarının laplasianının ifadəsi belədir: ϕϕ 2div ∇=grad .

2

2

2

2

2

222

zyxzyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ϕϕϕϕϕ kji .

154

Məsələ 5.19. ϕ skalyarının laplasianının ifadəsini silindrik koordinat sistemində tərtib etməli. Həlli. ϕ skalyarının laplasianının ümumi ifadəsi belədir: ϕϕ 2div ∇=grad . ϕ skalyarının qradientinin silindrik koordinat sistemində ifadəsini yazırıq: zr zrr

111grad∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=ϕ

θϕϕϕϕ θ

1 .

Agrad =ϕ işarə edirik. Onda: z

Ar

Ar

A zr ∂∂

=∂∂

=∂∂

=ϕ

θϕϕ

θ ;1; .

dVdФ

=∇= AAdiv . Şəkil 4.7-dən elementar dV həcmini və selin

koordinatlar üzrə keçdiyi elementar səthlərin sahələrini təyin edirik: həcm elementi: dzrdrddrdzrddV θθ == ; r koordinftı üzrə: dzrdθ ; θ koordinftı üzrə: drdz ; z koordinftı üzrə: θrdrd . A vektorunun selinin tam diferensialı:

dzr

rdrdAddrdzAdrr

dzrdAdФ zr

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=)()()( θθ

θθ θ .

z

AArr

AdVdФdiv zr

∂∂

+∂∂

+∂∂

==∇=θθ1AA .

2

2

2

2

22 11

ϕϕ

θϕ

ϕ

ϕϕ∂∂

+∂∂

+∂

∂∂

∂=∇=

rrr

r

rdivgrad .

Məsələ 5.20. ϕ skalyarının laplasianının ifadəsini sferik koordinat sistemində tərtib etməli.

155

Həlli. Agrad =ϕ qəbul edirik. Onda:

ψθ ψϕ

θθϕϕϕ 111Agrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

==sin11

rrr r.

dVdФ

=∇= AAdiv .

Şəkil 4.8-dən həcm elementinin və vektor selinin keçdiyi elementar səthlərin sahələrini təyin elirik: ψθθ ddrdrdV sin2= ; ψθθ ddrdSr sin2= ; ψθθ drdrdS sin= ; θψ rdrddS = . Vektorun selinin tam diferensialı:

+

∂∂

= drr

)ddsinrA(dФ r ψθθ2

ψ

ψθ

θθ

ψθ ψθ d)rdrdA(

d)drdsinrA(∂

∂+

∂∂

+

2

2

222

2

2 sin1

sin

sin11

ψϕ

θθ

θθϕ

θ

ϕ

ϕ∂∂

+∂

∂∂

∂+

∂

∂∂

∂=

rrrr

r

rdivgrad .

Məsələ 5.21. kjiA )5()3()2( yxzyxzx +++++−= vekto-runun sirkulyasıyasını abc üçbucağının perimetri üzrə tapmalı. Üçbucağın təpə nöqtələrinin koordinatları belədir: )0;0;1(a ,

)0;1;0(b , )1;0;0(a . Həlli. Vektorun sirkulyasiyasının ifadəsini yazırıq: ∫∫ ==

LL

L

dlAЦ Adl .

156

Ostroqradski-Stoks teoreminə görə: ∫∫ ==

SL

dЦ SrotAAdl .

Vektorun rotorunun oxlara proyeksiyalarını tapırıq:

0=∂∂

yAx ; 2−=

∂∂

zAx ; 1=

∂

∂

xAy ;

1=∂

∂

zAy ; 5=

∂∂

xAz ; 1=

∂∂

yAz .

011 =−=∂

∂−

∂∂

=z

AyAA yz

xrot ;

752 −=−−=∂∂

−∂∂

=xA

zAA zx

yrot ;

101 =−=∂∂

−∂∂

=yA

xA

A xyzrot .

Vektorun rotoru: kjrotA +−= 7 . Şəkil 5.1-dən abc üçbucaq səthinin proyeksiyaları: 5,0=== zyx SSS . Bu səthin vektoru : )(5,0 kjiS ++−= . Axtarılan sirkulyasiya: 3))(5,0)(7( =++−+−== ∫ kjikjSrotA

S

dЦ .

Məsələ 5.22. A vektoru rotorunun ifadəsini silindrik koordinat sistemində tərtib etməli. Həlli. A vektorunun rotorunun proyeksiyası belə ifadədən tapılır:

Şəkil 5.1

157

burada n - dS səthinə müsbət normaldır. A vektorunun silindrik koordinat sistemində üç proyeksiyasını tapmaq üçün dS sahəciklərini şəkil 5.2 - dəki kimi seçirik. Rotorun r istiqamətdə proyeksiyası

dzrd

dЦr θ

=Arot .

1-2-3-4-1 konturlarını hissələrə bölürük. 1-2 hissədə A

vektorunun proyeksiyası θA -ya bərabərdir, yolun uzunluğu θrd -dır. Deməli, bu hissədə sirkulyasiya hissəsinin qiyməti θθ rdA .

2-3 hissədə sirkulyasiya: drdAA zz

∂∂

+ θθ

olacaq.

3-4 hissədə sirkulyasiya: ϑθθ rddz

zAA

∂∂

+− .

4-1 hissədə sirkulyasiya: dzAz− . Vektorun 12341 konturu üzrə sirkulyasiya:

=−

∂∂

+−

∂∂

++= dzArddzz

AAdrdAArdAdЦ zz

z θθθ

θ θθθ

dzrdz

AdzdAz θθθ

θ

∂∂

−∂∂

= ; dzrddS θ= .

Şəkil 5.2

,dSdЦ

S

dl

lim LSnn ===∫

→ ∆∆

A

ArotrotA0

158

A vektoru rotorunun r istiqamətində proyeksiyası:

z

AAr1 z

r ∂∂

−∂∂⋅= θ

θArot .

A vektorunun 14561 konturu üzrə sirkulyasiyası:

=−

∂∂

+−

∂∂

++= drAdzdrr

AAdrdzz

AAdzAdЦ rz

zr

rz

drdzrAdrdz

zA zr

∂∂

−∂∂

=)( ; drdzdS =

Vektor rotorunun θ istiqamətində proyeksiyası:

rA

zA zr

∂∂

−∂∂⋅=Arotθ .

A vektorunun 1-6-7-2-1 konturu üzrə sirkulyasiyası:

=−

∂∂

+−

∂∂

++= θθθ

θ θθ

θ rdAdrdAArddrr

AAdrAdЦ rrr

θθ

θθ drdAdrdr

rA r

∂∂

−∂

∂=

)( ; drdzdS =

Vektor rotorunun z istiqamətində proyeksiyası:

θ

θ

∂∂

−∂

∂⋅= r

zA

rrrA

r1)(1Arot .

Məsələ 5.23. A vektoru rotorunun rotorunu tapmalı. Həlli. Yaza bilərik

kjiBrotA

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+

∂

∂−

∂∂

==y

Ax

Ax

Az

Az

AyA xyzxyz .

+

∂∂

−∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂== i-rotBrotrotA 2

2

2

222

zA

yA

zxA

yxA xxzy

159

+

∂

∂+

∂

∂

∂∂

∂+

∂∂∂

+ j- 2

2

2

222

xA

zA

yxA

zyA yyxz

=

∂∂

+∂∂

∂∂

∂+

∂∂∂

+ k- 2

2

2

222

yA

xA

zyA

zxA zzyx

+

∂∂∂

+∂

∂+

∂∂∂

+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= jizy

AyA

yxA

zxA

yxA

xA zyxzyx

2

2

2222

2

2

−

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+ i-k 2

2

2

2

2

2

2

222

zA

yA

xA

zA

zyA

zxA zxxzyx

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂k-j- 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zA

yA

xA

zA

yA

xA zzzyyy

A-Agrad 2∇= div . Məsələ 5.24. Dekart koordinat sistemində A vektor sahəsinin proyeksiyaları fəzanın hər bir nöqtəsində sabitdir:

0AAx = , 0BAy = , 0=zA . Vektor sahəsinin qüvvə xətlərinin təsvirini qurmalı. Həlli. Vektor sahəsinin dekart koordinat sistemində mürəkkəbələrindən birinin olmadığına görə qüvvə xətləri xy müstəvisinə paralel müstəvilərdə Səkil. 5.3. yastı əyrilər ailəsindən ibarətdir.Vektor sahəsi hər bir nöqtədə qüvvə xəttinə toxunandır, buradan qüvvə xətlərinin diferensial tənliyi alınır:

00 B

dyAdx

= ,

160

bu ifadə katetləri dydx, və yx AA , olan iki düzbucaqlı üçbucağın oxşarlığından alınır. Tənliyin ümumi inteqralı: CxABy += )/( 00 , burada C - ixtiyari sabitdir. Deməli, sahənin qüvvə xətləri, bucaq əmsalı 00 / AB olan, bir parametrli düz xətlər ailəsindən ibarətdir (şəkil 5.3). Məsələ 5.25. Baxılan oblastın istənilən nöqtəsində 0=Adiv şərtini ödəyən A vektor sahəsi s o l e n o i d a l (mənbəsiz sahə) adlanır. 0=rotA şərti ödənilən sahəyə p o t e n s i a l vektor sahəsi deyilir. Əgər belə sahə material nöqtəyə təsir qüvvəsilə xarakterizə olunursa, onda kənar qüvvələrin qapalı konturu hərləndikdə gördüyü iş sıfır olar. Dekart koordinat sistemində A vektor sahəsinin yalnız bir mürəkkəbəsi vardır: 215xAy = . Şək. 4.18 Sahənin: a) solenoidal, yaxud Şəkil 5.4. b)potensial olduğunu yoxlamalı. Həlli. Vektor sahəsinin bir mürəkkəbəsi olduğuna görə qüvvə xətləri xy müstəvisində y oxuna paralel, sıxlığı 2x -na mütənasibdir. Qüvvə xətlərinin təsviri şəkil 5.4-də göstərilmişdir. Sahənin

divergensiyasını hesablayırıq: 0)15( 2 =∂∂

=∂∂

= xyy

Adiv y . Deməli,

sahə solenoidaldır. Məsələ 5.26. A və B sahələrinin vektorial hasilinin divergensiyasını hesablamalı.

161

Həlli. Burada Hamilton operatorundan istifadə etmək daha rahatdır: ][][ ABAB ∇=div . Hamilton operatoru diferensial operatorudur, buna görə də verilmiş vektor hasilinə hasilin adi diferensiallama qaydasını tətbiq etmək olar: ][][][ BA ABABAB ∇+∇=∇ . Operatorun aşağı indeksi onun hansı sahəyə təsir etdiyini göstərir. Operatorun təsir etmədiyi sahə operatorun qarşısına bir sabit kimi çıxarılmalıdır: ArotB.-BrotABAABAB =∇∇= ][-][][ BAdiv Məsələ 5.27. Skalyar sahə ϕ dekart koordinat sistemində verilmişdir: 22 2cos3 zzyx +=ϕ .

ϕgrad vektor sahəsini hesablamalı. Həlli.

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇= ϕϕϕ kjigradzyx

)sin34(cos3cos6 22 zyxzzxzxy −++= kji . Məsələ 5.28. Dekart koordinat sistemində A vektor sahəsinin yalnız bir mürəkkəbəsi vardır: 23yAz = . Sahənin qüvvə xətlərinin paylanmasının fəza təsvirini keyfiyyətcə qurmalı. rotA vektor sahəsini hesablamalı.

162

Həlli. Vektor sahəsinin bir mürəkkəbəsi olduğuna görə qüvvə xətləri yz müstəvisində z oxuna paralel, sıxlığı 2y -na mütənasibdir. Qüvvə xətlərinin təsviri şəkil 5.5-də göstərimişdir. Sahənin rotA vektor sahəsini hesablayırıq:

[ ] jjjArotA 6yyA

zA

yA zyz =

∂∂

=

∂

∂−

∂∂

=∇= .

Şəkil 5.5 Şəkil 5.6 Məsələ 5.29. 4.28 məsələsindəki A sahəsi maye selinin sürət vektorlarını xarakterizə etdiyini qəbul etməli. Fəzanın istənilən nöqtəsində düz kürəkli miniatür «turbin» yerləşdirmək olar (Şəkil 5.6). Onun oxunun vəziyyəti ixtiyaridir. Nə üçün 0=y halında fırlanma bucaq sürəti sıfır olur və 0<y oblastından

0>y oblastına keçdikdə fırlanma istiqaməti dəyişir? Bu nəticələrlə vektor sahəsi rotorunun sonsuz kiçik kontur üzrə sirkulyasiyası kimi riyazi anlayış arasında əlaqəni müəyyən edin. Həlli. Bütün nöqtələrdə sürətlər eyni olsaydı, «turbinin» sol və sağ tərəflərində olan kürəklərinə eyni qüvvələr təsir edərdi və «turbin» fırlanmazdı. 0=y halında, yəni «turbinin» oxu z oxunun üstündə olanda, baxmayaraq ki sel qeyrimüntəzəmdir, «turbinin» hər iki tərəfində kürəklərə təsir edən qüvvələr eynidir

163

və fırlandırıcı moment yaranmır və «turbin» fırlanmır, bucaq sürəti sıfırdır. A vektor sahəsi qeyri-müntəzəmdir. z oxundan həm sola, həm sağa getdikcə qüvvə xətlərinin sıxlığı artır. Hər hansı qapalı kontur üzrə vektorun sirkulyasıyasını hesablayaq (şəklə bax ). Üfüqi istiqamətlərdə vektorun sirkulyasıyası sıfır olacaqdır, çünki

dlA ⊥ , 0Adl = . Konturun eyni uzunluqlu şaquli hissələrində sirkulyasıyalar işarəcə əksdir və modulca eyni deyil, çünki qüvvə xətlərinin sıxlığı müxtəlifdir. Ona görə də 0>y oblastında «turbin» saat əqrəbi istiqamətində, 0<y oblastında isə əksinə fırlanacaq. Məsələ 5.30. Sferik koordinat sistemində rr1=A vektor sahəsi verilmişdir. Adiv skalyar sahəsini hesablamalı. Vektor sahəsinin qüvvə xətlərinin təsvirini keyfiyyətcə qurmalı. Həlli. Sferik koordinat sistemində vektor sahəsinin divergensiyasının ümumi ifadəsini yazırıq:

ψθθ

θθ

ψθ

∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

Ar

Arr

Arr

div r

sin1)(sin

sin1)(1 2

2A .

rr1=A vektorunun divergensiyası:

3)(1 2

2 =∂⋅∂

=r

rrr

divA .

Vektor sahəsinin bir mürəkkəbəsi var. Onun qüvvə xətləri z oxunun üzərində olacaqdır. Məsələ 5.31. Sferik koordinat sistemində A vektor sahəsinin bir mürəkkəbəsi vardır )(rfAr = . )(rf necə olmalıdır ki, A sahəsinin divergensiyası eyniliklə sıfır olsun? Sahənin qüvvə xətlərinin təsvirini qurmalı.

164

Həlli. Sferik koordinat sistemində vektor sahəsinin divergensiyasının ümumi ifadəsini yazırıq:

0sin1)(sin

sin1)(1 2

2 =∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

ψθθθ

θψθ A

rA

rrAr

rdiv rA .

)(rfAr = qiymətini yerinə yazıb alırıq:

[ ] 0)()(21))((1 22

2

2 =′+=∂

∂= rfrrrf

rrrfr

rdivA ;

0)(2)( =+′ rfr

rf ; rdr

rfrdf

⋅−= 2)()( .

Sonuncu ifadəni inteqrallayıb alırıq: 2)(rarfAr == .

rra 12=A Vektor sahəsinin bir mürəkkəbəsi var. Onun qüvvə

xətləri z oxunun üzərində olacaqdır. Məsələ 5.32. Dekart koordinat sistemində ϕ skalyar sahəsi verilmişdir: )exp( arj−=ϕ , burada: 1−=j - xəyali vahiddir; kji zyx aaa ++=a - sabit vektor; kji zyx ++=r - radius vektor. ϕgrad və ϕ∆ üçün ifadələri tapmalı. Həlli. zayaxa zyx ++=ar .

ar)jzyx

−

∂∂

+∂∂

+∂∂

= exp(kjigradϕ ;

[ ]k)ji zayaxajjgrad zyxx ++−∂∂

⋅−= (exp(x

ar)ϕ ;

ar)jjagrad xx −−= exp(ϕ ; ar)jjagrad yy −−= exp(ϕ ; ar)jjagrad zz −−= exp(ϕ ; +−−+−−= )exp(()exp(( jigrad ar)ar) jjajja yxϕ

165

ar)aar) jjjjaz −−=−−+ exp()exp(( k . ar)a jj −−= exp(ϕgrad .

−−−=

=−

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=∆

)exp(

)exp(

2

2

2

2

2

2

22

ar

ar

ja

jzyx

x

ϕϕ

)exp()exp()exp( 222 ararar jajaja zy −−=−−−− ;

)exp(2 arja −−=∆ϕ . Məsələ 5.33. Dekart koordinat sistemində yeganə

)/sin(20 πxAx = mürəkkəbəsi olan vektor sahəsinin divergensiya və rotorunu təyin etməli. Həlli. .

0=∂

∂−

∂∂

=z

AyArot yz

xA ; 0=∂∂

−∂∂

=xA

zArot zx

yA ;

0=∂∂

−∂

∂=

yA

xA

rot xyzA ; 0=rotA .

Məsələ 5.34. Silindrik koordinat sistemində mürəkkəbələri

2/10 rAr = , 0=θA və 0=zA olan vektor sahəsinin divergensiya və rotorunu təyin etməli. Həlli. Yaza bilərik

32

10)10(11)(1rr

rrrz

AArr

Arr

div zr −=⋅∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂

∂=

θθA .

01=

∂∂

−∂∂

=z

AAr

rot zr

θ

θA ;

166

01=

∂∂

−∂∂

=rA

zA

rrot zr

r Aθ ;

01)(1=

∂∂

−∂

∂=

θθ r

zA

rrAr

rrot A ; 0=rotA .

Məsələ 5.35. Sferik koordinat sistemində yeganə

)10exp(8 rrA −=θ mürəkkəbəsi olan vektor sahəsinin divergensiya və rotorunu təyin etməli. Həlli.

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

ψθθθ

θψθ A

rA

rrAr

rdiv r

sin1)(sin

sin1)(1 2

2A

θθ

θθ

ctgrrrr

)10exp(8))10exp(8(sinsin1

−−=∂

−⋅∂= .

0)sin(1

=

∂∂

−∂

∂=

ψθθ

θθψ AA

rsinrotr A ;

0)(11=

∂∂

−∂∂

=r

rAr

Arsin

rot r ψθ ψθA ;

=∂

−∂=

∂∂

−∂

∂=

rrr

rA

rrA

rrot r ))10exp(8(1)(1 2

θθ

ψ A

[ ] )10exp()51(16)10exp(80)10exp(161 2 rrrrrrr

−−=−−−= ;

ψ1)10exp()51(16 rr −−=rotA . Məsələ 5.36. Derart koordinat sistemində bir skalyar sahə üçölçülü Furye inteqralı şəklində verilmişdir:

∫ ∫ ∫∞

∞−

++= 321)(

3213321),,(

)2(1 ddkdkekkkФ zkykxkj

πϕ .

ϕ∆ -ni tapmalı.

167

Həlli. İnteqralaltı ifadəni diferensiallamaqla alırıq:

( ) FФkkkjФzyx

=++−=

∂∂

+∂∂

+∂∂ 2

322

212

2

2

2

2

2

.

∫ ∫ ∫∞

∞−

++=∆ 321)(

3213321),,(

)2(1 ddkdkekkkF zkykxkj

πϕ .

Məsələ 5.37. Dekart koordinat sistemində verilmiş vektor sahələrinin qüvvə xətlərinin qrafiki təsvirini qurmalı: 1) 10+= yAx , 0=yA , 0=zA ;

2) 22 yx

xBx+

= , 22 yx

yBy+

= , 0=zB .

Həlli. 1) A vektor sahəsinin divergensiyası sıfırdır:

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=z

Ay

Ax

Adiv zyxA ,

yəni sahə burulğan sahədir. A vektor sahəsinin rotoru:

kArotA 1−=∂∂

−==yArot x

z .

Vektor sahəsinin bir mürəkkəbəsi olduğuna görə qüvvə xətləri xy müstəvisində x oxuna paralel, sıxlığı )10( +y -na mütənasibdir. Qüvvə xətlərinin təsviri şəkil 5.7-də göstərimişdir. 2) Qüvvə xəttinin tənliyi:

yx Bdy

Bdx

= ; y

dyx

dx= .

İnteqrallayıb alırıq: Cxy lnlnln += , Cxy = .

168

Bu xətlər koordinat başlanğıcından düz xətlər ailəsidir (şəkil 5.8). Şəkil. 5.7 Şəkil. 5.8 Məsələ 5.38. Dekart koordinat sistemində verilmiş vektor sahələrinin divergensiyasını və rotorunu tapmalı: 1) kjiA )()sin()cos( aztgaxay ++= ; 2) kjiB yzx 1056 ++= . Həlli. 1) A vektor sahəsinin divergensiyası:

)(cos

00 2 aza

zA

yA

xAdiv zyx ++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=A .

A vektor sahəsinin rotoru:

0=∂

∂−

∂∂

=z

AyArot yz

xA ; 0=∂∂

−∂∂

=xA

zArot zx

yA ;

))sin()(cos( ayaxayA

xA

rot xyz −=

∂∂

−∂

∂=A ;

krotA ))sin()(cos( ayaxa −= . 2) B vektor sahəsinin divergensiyası:

6006 =++=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=z

Ay

Ax

Adiv zyxB .

5)510( =−=Bxrot 0=Byrot ; 0=Bzrot ; irotB 5= .

169

Ə D Ə B İ Y Y A T 1. R.Z.Kazımzalə, C.S.Əsgərov, M.Ş.Ağammədov. Elekeromaqnit sahə nəzəriyyəsi, Bakı 2012. 2. Z.İ.Kazımzadə. Elektrotexnikanın nəzəri əsasları. Uni Print, Bakı, 2010 3. Z.İ.Kazımzadə. Elektromaqnit sahəsi. Azərnəşr, Bakı, 1965 4. R.Z.Kazımzadə. Nəzəri elektrotexnika. ADNA-nın nəşri, Bakı, 2011 5. C.S.Əsgərov. Elektromaqnit avtomatika elementlərinin istilik rejimləri.Azərbaycan dövlət nəşriyyatı, Bakı-1973. 6. Д.С.Аскеров “К вопросу об оптмальных электрических и электромагнитных нагрузках тороидалных электромагнитных элементов. “ Ж. За технический прогресс. №10, Bаку-1968. 7. З.И.Кязим-заде,И.И.Белопольский,Д.С.Аскеров ”Исследованиe оптимальных соотношении тороидальных электромагнитных элементов с применением ЭВМ “ Ж.Электротехника.Москва изд.”Энергия” №9 8. П.И.Атабеков.Теоретические основы электротехника, Ж.”Энергоиздат,Москва, 1964. ч. 2-3 9. Л.А.Бессонов. Теоретические основы электротехника. Энергия, Москва, 1964. 10.К.А.Поливанов. Теоретические основы электротехника.ч.3. Энергия, Москва, 1969. 11. Л.Шимони. Теоретические основы электротехника.Пер. с немецкого, под. Ред. К.А.Поливанов. Мир. Москва,1964. 12. В.А.Говорков.Электрические и магнитные поля. Энергия, Москва, 1968. 13. И.Иродов.Основные законы электромагнетизима.Высшая школа, Мсква,1983.

170

M Ü N D Ə R İ C A T

Birinci fəsil SABİT CƏRƏYANIN MAQNİT SAHƏSİ

1.1. Əsas anlayışlar 3 1.2. Maqnit sahəsini xarakterizə edən əsas kəmiyyətlər 6 1.3. Maqnit seli və onun kəsilməzliyi 9 1.4. Maqnit sahəsinin vektor potensialı 10 1.5 Maksvellin birinci tənliyi.Tam cərəyan qanunu 12 1.6. Maqnit seli ilə vektor potensialı arasında asılılıq 14 1.7. Maqnit sahəsinin skalyar potensialı 15 1.8. Maqnit sahəsinin sərhəd şətləri 15 1.9. İkiölçülü maqnit sahəsinin vektor və skalyar potensialları 18 1.10. Cərəyanın kənar bincins maqnit sahəsi ilə qarşılıqlı təiri 20 1.11. Cərəyanın və kənar maqnit sahəsinin qarşılıqlı enerjisi 21 1.12. Qarışıq induktivlik 22 1.13. Cərəyanın məxsusi maqnit enerjisi 23 1.14. İnduktivlik 24 1.15. Maqnit sahəsinin polaq qırıntılarının köməyilə tədbiqi 25 1.16. Yüklü hissəciyin maqnit sahəsində hərəkəti 27 1.17. Ferromaqnit materiallar 32 1.18. Maqnit ekranlaşdırması 34 1.19. Sabit maqniti hesablama prinsipi 39

İkinci fəsil ELELKTROMAQNİT SAHƏSİ

2.1. Elektromaqnit sahəsinin əsas tənlikləri 41 2.2. Elektromaqnit sahəsinin tam tənliklər sistemi 45 2.3. Umov-Poytinq teoremi ani qiymətlər üçün 46 2.4. Umov-Poytinq teoremi kompleks qiymətlər üçün 54 2.5. Naqil mühit üçün Maksvellin tənlikləri 55 2.6.Toroidal maqnitkeçiricilərin elektromaqnit yükü 61 2.7.Toroidal maqnitkeçiricilərin elektromaqnit yükü ifadəsinin tədbiqi 62

171

Üçüncü Fəsil SABİT CƏRƏYANIN MAQNİT SAHƏSİNƏ VƏ

ELEKTROMAQNİT SAHƏSİNƏ AİD XÜSUSİ MƏSƏLƏLƏRİN HƏLLİ METODİKASI

3.1. Sabit cərəyanın maqnit sahəsinə aid xüsusi məsələlərin həlli metodaları 63 3.2. Elektromaqnit sahəsinə aid xsusi məsələlərin həlli metodları 95

Dördüncü fəsil

VEKTOR ANALİZİNİN ELEMENTLƏRİ ÜMUMİ MƏLUMAT

4.1 . Əsas nəzəri məlumat 108 4.2. Potensial. Potensialın qradienti.Ekvipotensial səthlər və xətlər. Sahə xətləri 117 4.3 . Differensial operator 121 4.4 . Vektorun seli və divergensiyası 121 4.5. Burulğan sahə. Vektorun rotoru 129 4.6. Skalyar və vektorial laplasian 136 4.7. Potensial sahəsnin mövcudluğu şərtləri 138 4.8. Burulğan sahənin mövcudluq şərtləri 139 4.9 . Vektorial potensial 141 4.10. Ostroqradski-Qauss və Stoks teoremləri 142

Beşinci fəsil

5.1. Vektor analizinin elementlərinə aid xüsusi məslələrin həlli metodları 145 Ədəbiyyat 169

ƏSGƏROV CAVİD SƏLİMXAN OĞLU

ELEKTROMAQNIT SAHƏ NƏZƏRİYYƏSİNİN

XÜSUSİ MƏSƏLƏLƏRİ monoqrafiya

Yığılmağa verilib: 01.07.2017, Çapa hazırlanıb: 11.07.2017 Format: 60x84 1/16.Cap vərəqi:10,5.Çap ofset üsulu ilə.Kağaz əla növ Sifariş Say 100.Qiymət müqavilə ilə.

Azərnəşr-2017