Elektr onov y transport v silne neusporiadan ych syst emochdavinci.fmph.uniba.sk/~markos3/SEMINARE/sfs-2009.pdf · 2014. 9. 5. · Difuzia elektronu vo vzorke Z aver { Typeset by

Elektronovy transportv silne neusporiadanych systemoch

Peter MarkosKatedra fyziky FEI STU, Bratislava

17. september 2009

– Typeset by FoilTEX –

Peter Markos: Elektronovy transport Konferencia SFS, Bratislava, 2009

Motivacia:

• Ukazat’ kvantovy (vlnovy) charakter pohybu elektronu v neusporiadanych strukturach

• 50 rokov Andersonovej lokalizacie

Obsah:

• Andersonov model - najjednoduchsı model pre studium kvantoveho transportu

• Propagacia elektronu napriec neusporiadanou vzorkou

• Difuzia elektronu vo vzorke

• Zaver

– Typeset by FoilTEX – 1


Andersonov model

Hamiltonian

H = WXn

εnc†ncn + V

X[nn′]

c†ncn′.

Realny kov je modelovany pravidelnou

mriezkou.

V uzloch mriezky su umiestnene

“atomy”

Elektron moze preskakovat’ z daneho

uzla do niektoreho z najblizsıch uzlov.

Atomy su nahodne - zakladny stav

elektronu na danpom atome n ma

nahodnu energiu εn taku, ze

|εnx,ny| ≤ W/2.W - parameter modelu - meria

nahodnost’.

W = 0 . . . idealna mriezka.



Kov versus izolant

V kovovom rezime sa elektron sıri celou

mriezkou. V lokalizovanom rezime

si horko-t’azko najde jednu priechodnu

drahu.

Vlnova funkcia lokalizovaneho elektronu exponencialne klesa.

Ψ(~r) ∼ e−|~r−~r0|/ξ, |~r − ~r0| � ξ

Polomer lokalizacie: ξ = ξ(EF ,W )

Silne lokalizovany rezim: L� ξ.



Rozptylovy experiment a transfer matica

„C

B

«= S

„A

D

«S =

„t′

r

r′

t

«(1)

„C

D

«= T

„A

B

«T =

„t−1 −r′t−1

rt−1

t′ − r′t−1

r

«(2)

Transmisia napriec vzorkou: T = Tr t†t



Jednorozmerny neusporiadany drot

Tri typicke neusporiadane vzorky Transmisia ako funkcia dlzky vzorky

Prechod elektronu cez nahodny drot. Zavislost’ transmisie od dlzky drotu je nemonotonna,

“nahodna”, zavisla od konkretnej realizacie potencialu.



2D system: prechod elektronu napriec vzorkou

Vzorka je dana nahodnymi energiami: H = WP

n εnc†ncn + V

P[nn′] c

†ncn′.

Pre dnanu vzorku:

• najdeme transmisiu T0

• zmenıme nahodnu energiu na uzle ~r:

ε~r → − ε~r

a opat’ vypocıtame transmisiu T

• vypocıtame velicinu η(~r) =|T − T0|T0

.

Ak je η(~r)� 1 mala, potom elektron cez uzol ~r neprechadza. Naopak,

Vel’ka hodnota η(~r) indikuje, ze uzol ~r je pre transport dolezity.



Slaba neusporiadanost’

W = 2

Transmisia T0 ≈ 5

Data ukazuju, ze vsetky body mriezky

su viac-menej ekvivalentne. Transmisia

elektronu je rovnako citliva na

akukol’vek poruchu potencialu,

Zmena transmisie je ale vel’mi mala.

η ≈ 0.01.



Slaba, ale trosku silnejsia neusporiadanost’

W = 4

Transmisia: T0 ≈ 0.5

η > 0.1 η > 1.0.

Straca sa homogenita rozdelenia

elektronu - su oblasti, kadial’ sa elektron

pohybuje l’ahsie.

Zmena lokalneho potencialu v

niektorych bodoch menı transmisiu o

viac ako 100 % !



Silna neusporiadanost’ - rezim lokalizacie

W = 6

Transmisia: T0 ≈ 0.0008.

η > 0.1 η > 1.0.



Vel’mi silna neusporiadanost’

W = 10

Transmisia: T0 ≈ 10−14.

η > 0.1 η > 1.0.

Rozoznavame nieco ako “trajektoriu”

elektronu napriec vzorkou. Existuju

rozsiahle oblasti, do ktorych sa elektron

nedostane.



Este silnejsia neusporiadanost’

Inset: uzly mriezke, kde |εn| < 1.

W = 20

Transmisia: T0 ≈ 10−96 〈lnT 〉 =

−133

η′(~r) =

| lnT − lnT0|lnT0

Zda sa, ze sme identifikovali drahy

elektronu napriec vzorkou. Ale . . .



Vlnova podstata kvantoveho transportu

Pocıtame transmisiu cez dve vzorky, ε~r → 2 ε~r pre vsetky uzly ~r.

Vzorky maju tu istu “topologiu” (polohu maxım a minım potencialu), lısia sa len vyskou

barier a jam.

Elektron si napriek tomu najde uplne inu drahu, po ktorej sa pohybuje.



2. Lokalizcia: absencia difuzia (P W Anderson, 1958)Budeme nuemricky riesit’ Schrodingerovu rovnice

i~V

∂Ψx,y(t)

∂t=W

Vεx,yΨx,y(t) + Ψx+a,y(t) + Ψx−a,y(t) + Ψx,y+a(t) + Ψx,y−a(t).

Pociatocna podmienka: elektron je lokalizovany v

prostriedku vzorky.

Pocıtame 〈r2(t)〉 =Rd2~rr2|Ψ(~r)|2.

Casovy krok numerickej integracie:

t0 = 1000 ~/Vsivy: |Ψ| > 10−4

modry: |Ψ| > 5× 10−3

cerveny: |Ψ| > 10−3

cierny: |Ψ| > 5× 10−3

W = 6 L = 1024



Kratke casy; t0 = 100~/V





















Difuzia

slaba neusporiadanost’ SILNA

Slaba neusporiadanost’ (kov): 〈r2(t)〉 = 2Dt. Silna neusporiadanost’ brani elektronu

sirit’ sa vo vzorke.

t0 = 1000 ~/V



Elektron nie je uvazneny v potencialovej jame

Kazdy bod vzorky moze byt’ centrom lokalizovaneho stavu.



Zaver

• Numericke simulacie potvrdili vlnovy (kvantovy) charakter elektronu

– v kovovom rezime

– v lokalizovanom rezime

Tento jav bol teoreticky predpovedany r. 1958 (P. W. Anderson)

• Lokalizacia je zodpovedna za siroku paletu fyzikalnych javov v mezoskopickej fyzike

• Rovnaky scenar najdeme aj pri analyze sırenia elektromagnetickych vln v nahodnych

prostrediach.

Physics Today, August 2009


Documents

Elektr onov y transport v silne neusporiadan ych syst emochdavinci.fmph.uniba.sk/~markos3/SEMINARE/sfs-2009.pdf · 2014. 9. 5. · Difuzia elektronu vo vzorke Z aver { Typeset by