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1
Electromagnétisme & Ondes-Interfaces- Licence de Physique
Sommaire
1. Rappel des équations de Maxwell dans les milieux et conditions aux interfaces,
2. Phénomène de propagation et caractéristiques de l’onde électromagnétique dans un milieu diélectrique non chargé.
3. Comportement de l’onde électromagnétique à l’interface de deux diélectriques (l.h.i).
4. Lois de Snell-Descartes, formules de Fresnel et leur interprétation 5. Aspects énergétiques à l’interface : comportement des coefficients de
transmittance et de réflexion. 6. Ondes évanescentes à travers des exemples exploités notamment en
microscopie, effet Tunnel optique et effet Goos-Hanchen. 7. Comportement des ondes dans un conducteur et dans un plasma :
phénomènes d’absorption et de dispersion ainsi que l’effet de peau.
A.Kassiba [email protected],
2
Antenne téléphonie mobile
Guide d’ondes (micro-ondes)
Antenne pour génération d’onde à polarisation circulaire
Antenne pour génération d’ondes polarisées circulaires avec antennes hélicoïdaux
Antenne TV numérique (Walles 2005)
Antenne à cornet pour bande X (10 Ghz)
Ondes Electromagnétiques: Génération, Réception
2
3
Rappels
A. Résultats d’électrostatique
-Une distribution de charges surfaciques sur une surfacefinie crée en tout point de l’espace un potentiel électrosta tique donné par :
∫∫=)(
041)(
S rdSMV σ
πε
-Une distribution de charges volumiques dans un volume fini créeen tout point de l’espace un potentiel électrostatique donn é par :
∫∫∫=)(04
1)(V
rdV
MVρ
πε
-Potentiel électrostatique crée par un dipôle électrique : 304.)(
rrp
MVπε
rr
=
4
B. Caractéristiques d’un diélectrique polarisé
Densités de charges et de courants de polarisation
Un diélectrique polarisé comporte des dipôles électriques induits à l’échelle atomique oumoléculaire. Ces dipôles permettent de définir en tout point du diélectrique, la polarisation )(AP
r
qui est une grandeur macroscopique définie par :
dvpd
APrr
=)(
pdr
représente la somme des dipôles individuels contenus dans le volume dv autour de A.
A
dv
xM
r
Diélectrique Polarisé
3
5
Exemple d’effets liés à la polarisation d’un milieu:
Phénomène Electro-optique
Exemple d’effets liés à la polarisation d’un milieu:
Phénomène Electro-optique
Changement de l’indice de réfraction d’un milieu sous l’action d’un champ électrique=
Applications :
Commutateur optique, multiplexage de signaux,..
Modulation électrooptique
Communications optiques
Faisceau transmisPolarisation verticaleFaisceau transmisPolarisation HORIZONTALE
6
ijε∆Changement de permittivité diélectrique ijn∆≡ Perturbation de l’indice de réfraction
Static electrical field E Optical wave Eω
(pulsation ω)
Origine Physique: Polarisabilité de la matièreOrigine Physique: Polarisabilité de la matière
><= µrr
NP
Pockels Term Kerr term
[χ(3) (-ω;0,0,ω)][χ(2) (-ω;0,ω)] +−+= )];([ )1(0
0 ωωχεPPrr
+Er ωEE
rr...2 +
+−+= )];([00 ωωαεµµ rr [β (-ω;0,ω)] [γ (-ω;0,0,ω)]+E
r ωEErr
...2 +
Pockels = milieu non-centrosymmetrique
4
7
Charges de polarisation
Le potentiel électrique crée par l’ensemble des dip ôles contenus dans le diélectriqueen un point extérieur M, est donné par :
dvr
rAPr
rpdMV
VV∫∫∫∫∫∫ ==
)(3
0)(3
0
).(4
1.4
1)(rrrr
πεπε
En utilisant la relation d’analyse vectorielle :
rgradP
r
Pdiv
r
Pdiv
1.)(r
rr
−=
et le théorème de Green Ostrogradsky, ∫∫∫∫∫ =V
S
dvEdivSdE ..)(
rrr
le potentiel électrique crée par le diélectrique au point M est donné par :
dvr
PdivdS
r
nPMV
VS ∫∫∫∫∫ −=
)()( 4
1.
4
1)(
rrr
πεπε
8
nr
vecteur unitaire normale à la surface du diélectrique
nPrr
.=σPdivr
−=ρ
Tout se passe comme si
le diélectrique polarisé est porteur d’une densité de charg e surfacique
et de charges en volumes distribuées avec la densité volumiq ue
Milieu Polarisé
5
9
Courants de polarisation
Lorsqu’un diélectrique est excité par un champ élec trique variable, la polarisation induite va dépendre du temps et les charges liées p euvent présenter une excursion de part et d’autre de la surface du diélectrique.
Ces mouvements de charges liées peuvent être assimi lés à des courants de polarisations dont l’intensité s’exprime par :
dSntP
dtdQ
IS
liépol
rr
.)(∫∫ ∂∂==
denisté de courant dit de polarisation
tPjlié ∂
∂=r
r
Aire encerclée par le cycle d’hystérésis dans la représentation D-E
10
C. Matériaux aimantés
Origine microscopique de l’aimantation d’un milieu
Courants ampériens équivalents aux trajectoires électroniques au sein du matériau magnétique , l’aimantation étant perpendiculaire au plan de la feuille.
Matériau magnétique
C’est la structure électronique d’un atome qui conditionne ses propriétés magnétiques et cellesdu matériau
6
11
Propriété macroscopique d’un matériau ferromagnétiq ue
Une substance est dite magnétique lorsqu’elle acquiert une aimantation macroscopique sous l’action d’un champ magnétique extérieur. L’intensité de l’aimantation est définie par : dv
mdAJrr
=)(
En présence de cette aimantation, le champ magnétique dans le milieu se compose du champ magnétique appliqué et du champ magnétique résultant de l’aimantation et qui s’exprime par : JBaim
rr
0µ=
On peut montrer que dans un milieu magnétique sollicité par un champ magnétique variable, il existe des courants liés à l’aimantation dont la densité est définie par : Jrotjaim
rr=
12
D. Conducteurs
Milieux à charges libres pouvant se déplacer sur de s distances très grandes par rapport aux dimensions atomiques.
Bien que les charges liées existent les phénomènes de polarisation sont faibles .
Les courants d’aimantation sont aussi faibles à l’e xception de matériaux ferromagnétiques.
La densité de courant est donnée par :
libreaimliélibretotjjjjjrrrrr
≈++=
densité de charges libres : −+ ρ+ρ=ρlibre
7
13
Neutralité électrique d’un conducteur
A la suite d’une excitation électrique, des fluctuations de la densité de charges peuventse produire. L’équation de conservation de la charge électr ique s’exprime par :
0)E(divt
)E(divt
0t
jdiv
librelibre
libre
libre
=σ+∂ρ∂
=σ+∂ρ∂
=∂ρ∂
+
rr
r
Si on tient compte uniquement des charges libres (e n supposant les phénomènes de polarisation faibles) alors :
0
t
0
e)r()t,r(0t
εσ
−
ρ=ρ⇒=εσρ+
∂ρ∂ rr
Si on considère un métal tel que le cuivre 010 018
0
→⇒≈−
εσ
εσ t
e
La neutralité électrique d’un conducteur est toujou rs réalisée aux fréquences basses (Hors UV,X)
14
I.Lois générales de l’électromagnétisme dans les mi lieux
Nécessité d’une théorie du champ moyen
Ecrire les équations de Maxwell qui sont les formul ations du champ électromagnétique dans un espace mésoscopique où le champ est considéré comme uniforme.
A cette échelle, la matière est considérée comme ay ant une répartition continue.
permettent de contourner cette difficulté.
( )H,D rr
Or une description correcte d’un milieu polarisé ou aimanté nécessite detravailler à l’échelle atomique Ou moléculaire .
Problème: la matière est discontinue à ces échelles et le champ électromagnétique le sera aussi.
les champs intermédiaires
8
15
Rappels : Equations de Maxwell
( )B,E rr ( )H,D rr
Expriment des relations entre champs moyens uniform es dans un volume Mésoscopique en fonction des champs vrais et intérm édiaires:
et
.
Formulations locales reliant le champ électromagnét ique à ses sources
a.Equation de Maxwell-Gauss ∫∫ =)(
0
).(int.S
SQ
SdEε
rr
0
tot)M(Edivερ
=r
liélibretotρ+ρ=ρ
Pdivlié
r−=ρ −+ ρ+ρ=ρ
libre libre0)PE(div ρ=+εrr
16
=Dr
PE0
rr+εVecteur déplacement électrique ou induction électri que :
L’équation de Maxwell-Gauss est donc formulée dansle cas général sous la forme : libre
Ddiv ρ=r
Equation de Maxwell-Ampère (M-A)Sa formulation intégrale découle du théorème d’Ampè re
exprimé en fonction du champ magnétique et en régime statique par:
∫ µ=)C(
Id.B lrr
En régime variable, il faut considérer les courants de dépla cements etsi le milieu comporte aussi bien des densités liées au couran t deconduction , de polarisation ou d’aimantation, la formulat ion locale del’équation de M-A s’écrit :
t
EjBrot
00tot0 ∂∂µε+µ=r
rr
9
17
0)t
Ej(div)Brot(div
00tot0=
∂∂µε+µ=r
rr
0t
jdiv tot
tot=
∂ρ∂
+r
Conséquence de l’équation M-A
permet d’établir l’équation de conservation de la charge :
.
.aimliélibretotjjjjrrrr
++=Avec
ConductionPolarisation
Aimantation
L’équation de M-A peut être ré écrite sous la forme : ( )PEt
jJB
rot0libre
0
rrrrr
+ε∂∂+=
−
µ
le vecteur excitation magnétique JB
H0
rr
r−
µ=
t
DjHrotlibre ∂
∂+=r
rr
18
Equation de Maxwell-Flux (M-Flux )
Elle traduit la conservation du flux de Br
0Bdiv =r
Valable quelque soit le milieu
Equation de Maxwell-Faraday (M-F)
Découle de la relation de Faraday à la base de l’in duction électromagnétique
dt
dd.Ee
)C(eurelectromotinduit.m.e.f
Φ−=∫= lrr
L’utilisation du théorème de Stokes et la permutation de ladérivation temporelle et l’intégration spatiale ( valable lorsqueque Surface et Contour sont fixes dans un repère galiléen)permet de déduire l’équation de M-F s’écrit :
t
BErot
∂∂−=r
r
10
19
( )B,E rr
)H,D(rr
0Bdiv =r
libreDdiv ρ=r
t
BErot
∂∂−=r
r
t
DjHrotlibre ∂
∂+=r
rr
Equations intrinsèques
Equations dépendantes du milieu
M-Flux
M-G
M-F
M-A
Récapitulatifs des Equations de Maxwell
20
2- Caractéristiques des milieux - Retour sur les cham ps intermédiaires
=Dr
PE0
rr+ε
JB
H0
rr
r−
µ=
Ejjmobilelibre
rrrσ==
Dans un milieu polarisé, le vecteur induction électrique es t
Dans un milieu aimanté, le vecteur excitation magnétique es t
Dans un milieu possédant des charges libres, la densité de co urantest donnée par la loi d’Ohm locale :
Avec une conductivité réelle dans un domaine de fréquence<1014Hz pour un bon conducteur.
11
21
b- Cas particulier : milieux (conducteurs, polarisé ou aimantés)homogènes, linéaires et isotropes
Linéarité : exprime des relations de causalité linéaires,en d’autres termes que les effets (polarisation, aimantati on,conductivité) sont proportionnels aux excitations (élect rique,magnétique, électrique).
ConductionEj
nAimantatioHJ
onPolarisatiEP
m
e
:
:
:0
rr
rr
rr
σχ
χε
=
=
=
me,χχ σIsotropie : les grandeurs de proportionnalité et
représentant respectivement la susceptibilité électriqu e,magnétique et la conductivité sont des grandeurs nontensorielles. Les propriétés du milieu sont les mêmes danstoutes les directions de l’espace. Il n’y a pas de directionsprivilégiée.
Homogénéité : Les propriétés sont les mêmes en tout point du milieu.Il n’y a pas de régions privilégiées.
22
3. Conditions aux limites – Equations aux interfaces
Milieu 1
Milieu 2
Etablir les relations de passage pour le champ élec tromagnétique (champ vrais et intermédiaires) à la traversée d’un e surface de séparation de deux milieux linéaires homogènes et i sotropes
4 équations de passage déduites à partir de l’intég ration des quatre équations de Maxwell
12
23
A- Intégration des équations (intrinsèques) de Maxwell
Maxwell-Faraday (M-F) : l’opération d’intégration sur la surface délimitéepar le parcours )(Γ
∫ →∫ −=⇒∂∂
∫∫−=∫∫−
→ΓΓΓ
n
n
n
X
X0X
)()S()S(
0dx.Bdt
d.dld.ESd.
t
BSd.Erot l
rrrr
rr
On en déduit la première relation de continuité ind épendammentde la nature des deux milieux :
2T1TEErr
=Conservation de la composante tangentielle des champsélectriques à la traversée de deux milieux.
0Bdiv =r
)(Σ
2N1NBBrr
=
Maxwell-Fluxl’intégration de l’équation intrinsèque
sur le volume délimitée par la surface fermée
donne
Conservation de la composante normale du champ magnétique à latraversée des deux milieux
24
B- Intégration des équations de Maxwell MG et MA
Composante normale de l’induction électriqueIntégration de l’équation M-G sur le volume délimité par la s urface )(Σ
dvdvDdiv libre∫∫∫∫∫∫ = ρr
ΣΣ
−Σ −==∫∫ ∫→SnDDdXSSdD n
X
Xlibre
X
n
nn
rrrrr).(lim. 12
)(
2/
2/0ρ
12libre1N2NnDDrrr
σ=−
12nr
normale locale à l’interface orientée dans le sens milieu (1 ) >>(2).
libre0X
libreXLim ρ=σ
→Densité de charges libres à l’interface entre les d eux milieux
13
25
C. Composante tangentielle de l’excitation magnétique
Intégration de l’équation M-A sur la surface délimitée par l e parcours )(Γ
SdjSdHrotS
libre
S
rrrr.. ∫∫∫∫
ΓΓ
=
qui peut s’écrire aussi sous la forme :
dxjnlldHXn
Xnlibre
Xn∫∫ −→Γ
∧=2/
2/12
0)(
lim..rrrr
12s1T2TnjHHrrrr
∧=−
Xjlimjlibre
0Xs
rr
→=
densité de courants superficielle.
26
Chap. II- Structure de l’onde plane dans le vide et dans les milieux diélectriques non chargés
1.Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique non chargé
0Bdiv =r
0Ediv =r
t
BErot
∂∂−=r
r
t
EBrot
0 ∂∂εµ=r
rM-Flux M-G M-F M-A
2. Equation de propagation⇒=
∂∂−∆ 0t
E
v
1E
2
2
2
rr
r
⇒=∂∂−∆ 0t
B
v
1B
2
2
2
rr
r r
cv
ε=
3- Solution en ondes planesLorsqu’on se place suffisamment loin des sources, on peut chercher comme solutions pour les équations de propagation des solutions sous la forme d’ondes planes définies par :
++
−=v
r.utgE
v
r.utfE)t,r(E
0201
rrr
rrrrr
ur : vecteur unitaire dans la direction de propagation
14
27
−v
r.ut
rr
I0Er
représente le terme de propagation
sont indépendants du temps et des variables d’espace.
−=v
r.utfE)t,r(E
01
rrrrr
Onde plane progressive OPP:
Plans d’onde
Vecteur d’onde
28
4. Onde plane progressive monochromatique OPPM
( )φ+−ω= r.ktcosE)t,r(E0
rrrrr
φω ,k,r
représentent respectivement la pulsation,le vecteur d’onde et la phase à l’origine.
Λπ=λπ=
π=π=ω
2u2
k
N2T
2
rr
N,T,ω caractérisent la source du rayonnement uniquement(pulsation, période temporelle, fréquence temporelle).
Λ=λ ,vT,kr caractérisent la source et le milieu
( vecteur d’onde (pulsation spatiale), période spatiale,fréquence spatiale) .
15
29
5. Structure de l’onde OPPM a- Transversalité de l’OPPM dans un milieu l.h.i
)r.kt(j
0eE)t,r(E
rrrrr−ω= )E(
rℜ est le véritable champ.
)r.kt(j
0eB)t,r(B
rrrrr−ω=
opérateurs ωjt
=∂∂
kjrr
−=∇et
Equations de Maxwell dans le vide ou dans un diélectrique non chargé :
EBkBEk
0B.k0E.k
0
rrrvrr
rrrr
ωεµ−=∧ω=∧
==
C’est donc une onde transversale électromagnétiqueTEM valable dans un milieu h.l.i
30
b- Polarisation de l’OPPM
Considérons le cas d’une onde qui se propage dans la direction de l’axe Oz :
)kztcos(E)t,r(E
)kztcos(E)t,r(E
y0y0y
x0x0x
φ+−ω=φ+−ω=
r
r
x0y0φ−φ=φ y0x0
E,ESelon le déphasage et les valeurs de
on peut avoir différents polarisations :
x0y0φ−φ=φ π,0
x0y0φ−φ=φ
2
π±y0x0
EE =
Rectiligne si =
Circulaire si =
On parlera de polarisation circulaire droite (+) si en regar dant la lumière venantvers nous, l’extrémité de son champ électrique tourne dans l e sens desaiguilles d’une montre. Et inversement pour la polarisatio n circulaire gauche (-).
16
31
y0x0E,E
x0y0φ−φ=φElliptique (cas général) quelconques et aussi.
C’est une situation courante et analogue aux courbes de lissajous obtenus en électronique.Les composantes du champ électrique sont liées par une équation de type équation d’une ellipse :
c-Impédance d’onde pour un diélectrique l.h.i non c hargé
εµ
=εµ
µ=µ== 0
0
00
1
B
E
H
EZ
Ω==−
−
A
V
m.A
m.V1
1
L’impédance du vide est Z0= 377Ω et varie comme n
ZZ 0= pour un diélectrique d’indice de réfraction n.
32
Télédétection par hyperfréquencesPolarimétrie
Exemple: Emission Radar en polarisations horizontale s (noir) et verticales (rouge) d'une onde électroma gnétique.
L’onde rétrodiffusée peut avoir différentes polaris ations. Polarimétrie radar: technique d'analyse de la comb inaison des polarisations de l’onde rétrodiffusée
HH - transmission et réception horizontales VV - transmission et réception verticales HV - transmission horizontale et réception verticale, et VH - transmission verticale et réception horizontale.
Différents modes d’émission réception radar
http://ccrs.nrcan.gc.ca/resource/tutor/fundam/chapter3/08_f.php
Polarisation parallèle
Polarisation croisée
17
33
Exemple d'accentuation de différents éléments d'une zone agricole à l'aide de diverses polarisations (HH, VV, HV et composé couleur).
34
Energie électromagnétiquea- Densité d’énergie électromagnétique
L’onde électromagnétique transporte de l’énergie qu i se manifeste par son action sur des chargesIl ya propagation de l’Onde et de l’énergie associé e
En présence de charges, le champ électromagnétique cède de l’énergie auxcharges, quantité qui s’exprime par la relation de Joule locale : Ej
libre
rr.
.
L’équation de Maxwell-Ampère
t
EEEjEBrot
t
EjBrot
libre
ibre
∂∂+=
∂∂+=
rrrrrr
rrr
..).(00
00
εµµ
εµµ
D’après la relation de l’analyse vectorielle : BrotAArotBBAdivrrrrrr
..)( −=∧
)(.)(.. BEdivt
BBBEdivErotBBrotE
rrr
rrrrrrr∧−
∂∂−=∧−=
0.22
)(
...)(
2
0
2
0
00
=+
+
∂∂+∧⇒
∂∂+=
∂∂−∧−
EjEB
t
BEdiv
t
EEEj
t
BBBEdiv
libre
rrr
r
rrrr
rrrr
εµµ
εµµOu encore
18
35
HErrr
∧=Π
+=
2
.
2
. DEHBu
rrrr
Ejrr
.
Le vecteur de Poynting
La densité d’énergie électromagnétique :
La puissance volumique communiquée aux charges libres :
Signification de l’équation locale pour l’énergie
On considère un volume (V) où règne un champ électromagnétique, (V) est entouré par une surface fermée (S) .
(V)
(S)
L’intégration de l’équation locale sur ce volume :
dt
ddvEjSd
VS
ξ−=∫∫∫+∫∫ Πrrrr
..)()(
La diminution de l’énergie électromagnétique dans (V) résu lte du flux du vecteur de Poynting àtravers (S) et de l’énergie communiquée aux charges libres d ans (V).
∫∫ Π)(
.S
Sdrr
puissance électromagnétique qui émane du volume (V).
36
∫ ∧=Π Trép
repTrep
dtHET 0
.1 rrr
∫+∫= Trép
rep
Trép
rep
Trepdt
BH
Tdt
DE
Tu
00.
2
.1.
2
.1rrrr
( )*2
1HErrr
∧ℜ=Π
( )*..4
1 * HBDEurrrr
+ℜ=
Vecteur de Poynting moyenTout détecteur utilisé pour quantifier la puissance électromagnétique possède un temps de réponse Trep . Le résultat est donc une moyenne sur Trep :
densité d’énergie moyenne
en utilisant la notation complexe (* représente le complexe conjugué) .
qui représente l’intensité de l’onde ou la puissanc e par unité de surface
uvdtSd.vudtSd.d
Π=⇒=Π=ξr
rrrrr
Vitesse de propagation de l’énergieDans un volume de base dS et sans dissipation , la variation de l’énergie pendant dt est:
Vitesse de propagation de l’énergie
19
37
Cas particuliers: 1. Vitesse de propagation de l’énergie pour une OPPM
phasekk
k
vuuZ
v
EHEu
uEZ
HE
rrrr
rrrr
===
=+=
=∧=Π
0
2202
2
1122
1
εµε
εµε
2. Cas de superposition d’ondesExemple : onde stationnaire = résultats de la superp osition de deux ondes de mêmes caractéristiques à l’exception des vecteurs de propagation de sens con traire.La valeur moyenne du vecteur de Poynting doit être calculée à partir des champs résultants et non à
partir des vecteurs de Poynting associés à chaque o nde.
38
ChapIII- Réflexion et Réfraction des ondes électromagnétiques OPPM sur la surface de
séparation entre deux diélectriques l.h.i non char gés
On part d’un acquis (1) et on montrera les points ( 2) et (3)
0j;0;0s
rr==σ=ρ
Er H
r
Br
Dr
1. Conditions à l’interface entre deux milieux diéle ctriquesl.h.i et non chargés
Continuité des composantes tangentielles de et
Continuité des composantes normales de et
2. Lois de Snell-Descartes Déjà utilisées en optique géométrique, elles se déduisent naturellement des équations de Maxwell.
3. Formules de Fresnel et leur discussion ainsi que les aspects énergétiques
20
39
A)Lois de Descartes
Référentiel Oxyz + une onde incidente qui tombe sur la surfacede séparation entre deux milieux (1) et (2).
ziyiiiiuuu,k,rrrr
γ+β=ω
zryrxrrrruuuu,k,rrrrr
γ+β+α=ω
ztytxttttuuuu,k,rrrrr
γ+β+α=ω( )r.ktj
t0,r0,i0t,r,i
t,r,it,r,ieEErrrr
−ω=
( ) ( ) ( )r.ktj
t0
r.ktj
r0
r.ktj
i0tt
)T(
rr
)T(
ii
)T(eEeEeE
rrrrrr rrr−ω−ω−ω =+
( ) ( ) ( )ykxktj
t0
yBkxktj
r0
yktj
i0ttttt
)T(
rrrrr
)T(
iii
)T(eEeEeE β−α−ω−α−ωβ−ω =+
rrr
xkyktxkyktykttttttrrrrriii
α−β−ω=α−β−ω=β−ω
Grandeurs caractéristiques de l’OPPM incidente :
Grandeurs équivalentes pour l’onde réfléchie et tra nsmise :
Les champs correspondants :Condition de continuité de la composante tangentiel le du champ électrique en z=0 s’écrit :
Cette égalité est possible si les trois arguments s ont égaux :
Relation valable à tout instant et en tout point du plan Oxy.
k
E
B1
2
40
triω=ω=ω
0tr
=α=α
ttrriikkk β=β=β
riβ=β
ttiisinksink θ=θ
t2i1sinnsinn θ=θ
Conclusion 1 :
conservation de la pulsation de l’onde incidente
Le plan d’incidence (défini par le vecteur d’onde incident et la normale locale à la surface), de réflexion et de transmission sont confondus en un plan unique. Ceci constitue la première loi de Descartes : Le rayon incident (ki) et la normale locale à l’interface (Oz) définissent le plan d’incidence qui contient aussi le rayon réfléchi (kr) et transmis (kt).
Equivalent à la loi de Descartes (loi des sinus pour la réfraction) :
Conclusion 3 :
Conclusion 2 :
k
E
B1
2
21
41
iEr
⊥⊥ t,r
y
z
kiEi
iθ
rθ kr
kt
tθ
B) Formules de Fresnel pour une onde OPPMR
•Coefficients de Fresnel pour la réflexion et la transmission en fonction de la polarisation de l’onde.•Aspects énergétiques accompagnant le phénomène de réflexion et de transmission.
Champ électrique perpendiculaire au plan d’in cidence
Composantes des vecteurs d’ondes
)cos,sin,0();cos,sin,0();cos,sin,0( ttttiiiriiii kkkkkk θθθθθθ −==−=rrr
La continuité des composantes tangentielles (à l’interface) du champ E
r
otoroiEEE =+
La continuité des composantes tangentielles de B:
0ztri BBB ==+rrr
Les champs magnétiques s’expriment sous la forme :
ω∧
= t,r,it,r,i
t,r,i
EkB
rrr
42
Les champs électriques sont orientés dans la direct ion Ox :
)usinu(cosek
EueE)ucosu(sink
Bziyi
)r.kt(ji
i0x
)r.kt(j
i0ziyi
i
iii
rrrrrr rrrr
θ+θω
−=∧θ−θω
= −ω−ω
)usinu(cosek
EueE)ucosu(sink
Bziyi
)r.kt(ji
r0x
)r.kt(j
r0ziyi
i
rrr
rrrrrr rrrr
θ−θω
=∧θ+θω
= −ω−ω
)usinu(cosek
EueE)ucosu(sink
Bztyt
)r.kt(jt
t0x
)r.kt(j
t0ztyt
t
ttt
rrrrrr rrrr
θ+θω
−=∧θ−θω
= −ω−ω
En projetant selon Oy (direction tangentielle) :
tt0tir0iii0icosEkcosEkcosEk θ=θ−θ
otoroiEEE =+Avec
les coefficient de réflexion et de transmission :
t
1
2
i
i
oi
ot
cosk
kcos
cos2
E
Et
θ+θ
θ==⊥
Avec la relation du sinus ttiisinksink θ=θ
)sin(
sincos2t
ti
ti
θ+θθθ
=⊥
)sin(
)sin(
0
0
ti
ti
i
r
E
Er
θθθθ
+−−==⊥
22
43
2 . Discussion des formules de Fresnel
Les coefficients de réflexion et de transmission s’ expriment uniquement en fonction de
iθ et des indices n1 et n2.
Comportement de pour une incidence proche de la normale
Cas : n1<n2
21
1
21
21 2
nn
ntet
nn
nnr
+=
+−= ⊥⊥
⊥r
⊥t
Problème de déphasage
est négatif pour tout angle d’incidence. Ceci entraîne un déphasage du champ réfléchi par rapport au champ incident (retournement du champ à l’interface).
étant positif , il n’y a pas de déphasage entre le champ incident et le champ transmis.
⊥⊥ t,r
⊥⊥ t,r
44
1
2
ccn
nsin/ =θθ
Cas : n1 > n2 : La relation de sinus indique l’existence d’un angle limite d’incidence
Au delà de l’angle limite il y a réflexion totale.
La transition entre réflexion+transmission à réflexion pure s’effectue sansdiscontinuité (voir une expérience avec réflexion interne par un prisme). Orl’absence de transmission remet en cause les relations de pa ssages auxinterfaces.
On re-formule le coefficient de réflexion :
2
1
i
2
2
i
2
t
i
2
1
i
2
2
i
2
t
i
i0
r0
sinn
ncos
sinn
ncos
E
Er
θ−+θ
θ−−θ
==⊥
avec
i
t
ici
i
t
cn
nsin
2;
n
nsin >θ⇒θ>θ>π=θ
.Le champ électrique de l’onde transmise :
)r.kt(j
ottteEErrrr
−ω=)cos,sin,0(kktttt
θ−θ=r
i
t
i
tttsin
n
nksink θ
=θet
1sinn
njksin
n
n1ksin1kcosk
i
2
2
t
i
ti
2
2
t
i
tt
2
ttt−θ
±=θ
−=θ−=θ
Le coefficient de réflexion devient dans ce cas com plexe
23
45
Le champ électrique transmis est de la forme :
)ysinn
nkt(j
z
ott
it
it
eeEEθ−ω
δ−=rr
Ainsi, l’amplitude de l’onde décroît de façon expon entielle selon la direction Oz (profondeur dans le second milieu). L’onde ainsi crée « ONDE EVA NESCENTE » avance dans la direction de l’axe Oy et s’atténue dans la direction Oz. C’est une onde de surface dont l’amplitude décroît très rapidement sur une longueur de l’ordre de la longueur d’onde du rayonnement.
46
iEr
////t,r
3. Champ électrique contenu dans le plan d’incidence
Coefficients de Fresnel
Composantes des vecteurs d’ondes
)cos,sin,0(kk);cos,sin,0(kk);cos,sin,0(kkttttiiiriiii
θ−θ=θθ=θ−θ=rrr
Composantes du champ électrique
i
i
)r.kt(j
i0i
sin
cos
0
eEE i
θθ−= −ω
rrr
i
i
)r.kt(j
r0r
sin
cos
0
eEE r
θ−θ= −ω
rrr
t
t
)r.kt(j
t0t
sin
cos
0
eEE t
θθ−= −ω
rrr
Composantes du champ électrique
;
;
La continuité des composantes tangentielles (à l’in terface) du champ Er
s’écrit pour t=0 et z=0 ainsi que y :
( ) t0tr0i0iEcosEEcos θ=−θ
La continuité de la composante normale de l’induct ion électrique :
tt0tir0ii0isinE)sinEsinE( θε=θ+θε
ot
1
2
oroiE
n
nEE =+loi des sinus
24
47
coefficients de réflexion et transmission
=+
θθ
=−
//
1
2
//
//
i
t
//
tn
nr1
tcos
cosr1
)(tg
)(tgr
ti
ti
// θ+θθ−θ
=)cos()sin(
cossin2t
titi
it
// θ−θθ+θθθ
=
Discussion des coefficients de Fresnel
Angle de Brewster
Lorsque n 2>n1, tiθ>θ , le coefficient de réflexion est positif jusqu’à c e que
2ti
π=θ+θDans ce cas r//=0 pour l’angle d’incidence égal à l’angle de Brewster :
1
2
iBn
ntg =θ
48
Représentation des coefficients de Fresnel
Cas de la réflexion interne n1>n2 ti θθ <
1
2
icn
nsin =θ
1
2
iBn
ntg =θ
, Il existe un angle d’incidence critique au delà d uquel, il ya réflexion totale :
par contre l’angle de Brewster est toujours défini par
.
25
49
°==θ°==θ 6.33)5.1/1arctan(;8.41)5.1/1arcsin(iBic
Exemple : interface verre (1.5) –air (1) ,
représentation du coefficient de réflexion
1
(n2-n1)/(n2+n1)
r//
ΘΘι
50
[ ]iBi
,0 θ∈θ
[ ]2/,iBi
πθ∈θ
[ ]iBi
,0 θ∈θ
[ ]iCiBi
,θθ∈θ
Récapitulatif: Cas du champ incident dans le plan d’incidence
r//<0 pour
Indice n1>n2 : r //<0 pour
r //>0 pour
Indice n1<n2 : r//>0 pour
Angle de Brewster : 1
2)tan(n
nib
=θ
Si n1>n2 et que l’angle d’incidence est supérieur à l’angle critique
1
2sinn
nc
i=θ
1sincos
1sincos
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
//
−−
−+=
ii
ii
n
ni
n
n
n
ni
n
n
r
θθ
θθ
−
=∆Φ
i
i n
n
n
n
θ
θ
cos
sin
arctan2
2
1
22
2
2
1
//
26
51
θi
r//
(n2-n1)/(n2+n1) θiB
-1
θic
1
ΘΘιΒ π/2
∆Φn1<n2
π
ΘΘιΒ
π/2
∆Φ
ΘιC
N1>n2
Champ électrique incident dans le plan d’incidence
Récapitulatif
52
Θπ/2
∆Φn1<n2
π
Θπ/2
∆Φ
ΘιC
N1>n2
Champ électrique incident perpendiculaire au plan d’incidence
27
53
1
2sinn
nc =θ
cθ
Ondes évanescentes (cas de n 2<n1)
Au delà de
La transition entre réflexion+transmission à réflexion pu re s’effectue sansdiscontinuité (voir une expérience avec réflexion interne par un prisme).
la relation de sinus indique l’existence d’un angle limite d’incidence :
, il y a réflexion totale
Or l’absence de transmission remet en cause les rel ations de passages aux interfaces.le coefficient de réflexion s’:
2
1
i
2
2
i
2
t
i
2
1
i
2
2
i
2
t
i
i0
r0
sinn
ncos
sinn
ncos
E
Er
θ−+θ
θ−−θ
==⊥
i
t
ici
i
t
cn
nsin
2;
n
nsin >θ⇒θ>θ>π=θ
Le coefficient de réflexionest complexe
54
)r.kt(j
ottteEErrrr
−ω=
)cos,sin,0(kktttt
θ−θ=r
i
t
i
tttsin
n
nksink θ
=θ
1sinn
njksin
n
n1ksin1kcosk
i
2
2
t
i
ti
2
2
t
i
tt
2
ttt−θ
±=θ
−=θ−=θ
)ysinn
nkt(jz
ott
it
it
eeEEθ−ω
δ−
=rr
Champ électrique de l’onde transmise:
Structure de l’onde évanescente
z
y
Le lieu des points équi-phases correspond à la surface y=cste (plans // xOz) par contre le lieux des points où l’amplitude est constante correspond aux plans z=Cste. Cette différence traduit le fait que l’onde évanescente est une onde INHOMOGENE .
28
55
Phase liquide
Film
Phase liquide
Imagerie par Microscopie à l’Angle de Brewster
L’imagerie de films minces à l’interface gaz/liquide peut être effectuée grâce à la microscopie avec incidence sous l’angle de Brewste. Cette technique permet l’étude in situ de la croissance du film et son homogénéité.
Un faisceau de lumière polarisé // au plan d’incide nce arrive sur la phase liquide avec l’incidence de Brewster. Sans le film, le faisceau est entièrement transmis. En présence du film, une partie du faisceau est réfléchie et servi ra à « scanner » la surface du film.
56
Intérêt de l’incidence sous l’angle de Brewster : Polarisation d’une onde électromagnétique par réfle xion
Un rayonnement non polarisé tombe sur un dioptre so us l’incidence de Brewster. Seule la composante du champ perpendiculaire au plan d’incid ence est réfléchi (le coefficient de réflexion parallèle est égale à zéro).Or pour un dio ptre air-verre, la réflexion est faible en intensité et c’est pour cette raison que le procédé qui consiste en une pile de lames a été utilisé (Arago.1812)
Les lamelles sont en : En verre pour le visible , en Chlorure d’argent pour l’IR ou
En Quartz ou Vycor pour l’UV
29
57
Polarisation d’un faisceau laser He-NeLe milieu actif est constitué d’un mélange gazeux d’Hélium (85%) et Néon (15%) dans un tube placé entre deux miroirs sphériques dont l’un est partiellement réfléchissant. La décharge électrique provoquée dans le tube conduit à l’excitation de l’Helium (transition dans un état métastable) qui communique (par collision) l’excès d’énergie au Néon. Le rayonnement laser provient de la transition entre deux niveaux du Ne.
tube est fermé à ses deux extrémités par des fenêtres en verre inclinées d’un angle égale à l’angle de Brewster
lumière (632 nm) polarisée rectiligne
58
//2
////////
2//
////i
iri
irii
ii
rii
riii
EeEEeEphaseenEetE
EeEEeEEEE∆Φ∆Φ
⊥
⊥∆Φ
⊥⊥∆Φ
⊥⊥
==
==+= ⊥⊥
rr
rrr
La construction du rhomboèdre est tel que l’inciden ce sur la deuxième face (dioptre verre-air) se fait avec un angle
°==θ>°==θ>°=θ 5.335.1
1arctan7.41
5.1
1arcsin54
iBici
on réalise une réflexion totale interne et les déphasages introduits sur les champs réfléchis // et perpendiculaire par rapport au champ de l’onde incidente sont :
°=
−
=∆Φ
°=
−
=∆Φ ⊥
123cos
sin
arctan2
78cos
sin
arctan2
2
1
22
2
2
1
//
2
1
22
i
i
i
i
n
n
n
n
n
n
θ
θ
θ
θ
Le déphasage entre ces deux composantes est égal à 45°
30
59
• Dans ce cas, la polarisation est elliptique :
∆Φ+ϕ−ω=∆Φ+ϕ−ω==
⊥ )tcos(EY
)tcos(EEX
/0
//0//
La deuxième réflexion interne se fait avec le même angle d’incidence et donc le déphasage relatif entre les composantes est similaire à celui introduit à la première réflexion.
A la sortie du rhomboèdre, le déphasage entre les d eux composante est de
2
π
.
∆Φ+ϕ−ω=
∆Φ+ϕ−ω−=π+∆Φ+ϕ−ω==
⊥
⊥⊥
)tcos(EY
)tsin(E)2
tcos(EEX
0
00//
La polarisation est dans ce cas circulaire
60
Microscopie Tunnel Optique
*Incidence / reflexion totale*Onde Evanescente*Lignes iso-intensités
Fibre optique pour prévelverL’intensité à hauteur constanteOu à intensité constante
Procédé expérimental
Déviation d’un faisceau atomique par l’onde évanesc ente
31
61
Effet Goos-Hanchen
Déplacement du faisceau en réflexion totale (de typ e vitreuse)Mais pas celle de type métallique
Deux couches en verre séparées par une lame d’airReflexion totale et existence d’une onde évanescent e Effet tunnel optique: Si l’épaisseur d’air est infé rieur à la longeur d’onde: Transmission de l’énergie E.M dans la zone supérieure
Guide d’onde optique excité par à travers une lame d’air
62
Problème de la répartition de l’énergie incidente à l’interface entre deux milieux
vecteur de Poynting de l’onde incidente : ( )i
i
i
2
0
2
i0i
0
ii
ik
kr.ktcos
c
EnBEr
rrrr
r−ω
µ=
µ∧
=Π
vecteurs de Poynting associés à l’onde réfléchie et celle transmise :
( )i
r
r
2
0
2
i0
2
i
0
rr
rk
kr.ktcos
c
ErnBEr
rrrr
r−ω
µ=
µ∧=Π ( )
t
t
t
2
0
2
i0
2
t
0
tt
tk
kr.ktcos
c
EtnBEr
rrrr
r−ω
µ=
µ∧=Π
Les moyennes temporelles de cos2 sont ½ , donc :
i
i
0
2
i01
ik
k
c2
Enr
r
µ=Π
i
r
0
2
i0
2
1
rk
k
c2
Ernr
r
µ=Π
t
t
0
2
i0
2
t
tk
k
c2
Etnr
r
µ=Π
;
32
63
Puissances Electromagnétiques
i
0
2
I0i
z)S(
iicosS
c2
En)udS.( θ
µ=−∫∫ Π=℘
rr
i
0
2
I0
2
i
z)S(
rrcosS
c2
Ern)udS.( θ
µ−=−∫∫ Π=℘
rr
t
0
2
I0
2
t
z)S(
ttcosS
c2
Etn)udS.( θ
µ=−∫∫ Π=℘
rr
64
2
i
rr=
℘℘
=ℜ
2
t
i
i
tt
tg
tgT
θθ
=℘℘
=
coefficient de réflexion en énergie (pouvoir réflec teur) :
Le coefficient de transmission en énergie (transmit tance) :
conservation de l’énergie 1T =+ℜTraduisant que l’énergie incidente se répartit entre l’ond e réfléchie et l’onde transmise:
θi
1
π/2
0
R
T
Représentation de ces deux grandeurs est de la forme :
33
65
Cas de l’incidence proche de la normaleLe pouvoir réflecteur et la transmittance sont égales à :
( )2it
it
2
it
it
nn
nn4T
nn
nn
+=
+−
=ℜ
Cas ou ni>nt et pour une incidence supérieure à l’a ngle critique
le pouvoir réflecteur est égal à 1 et donc il n’y a pas d’énergie transmise bien qu’une onde transmise existe. Cette dernière en moyenne ne tran sporte pas d’énergie. Il faut noter aussi que l’approximation des ondes planes et donc des ph énomènes de diffraction peuvent conduire à une énergie transmise et qui se manifest e dans l’onde évanescente.