Electromagnetisme

[1A2]-L3 phytem

24 janvier 2008

Table des matieres

1 Introduction 4I Rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.1 Equations de maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.2 Theoreme de Helmoltz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.3 Potentiel retades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.4 Rayonnement d’une source oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II Equations de maxwell dans la matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.2 Moyenne spatiale des distributions de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.3 Exemple de distributions liees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III Relations constitutives et propagation du champ electromagnetique dans un milieu dielectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7III.1 Relations Constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7III.2 cadre de la reponse lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.3 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.4 Origine de la dispersion en frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.5 Modele “Mecanique elementaire” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.6 Milieu Non dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9III.7 Milieu dispersifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9III.8 Modele elementaire de εr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9III.9 Propagation du champ ~E a travers un milieu dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10III.10 Comportement de εr a basse frequence : electrons libles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11III.11 Comportement de εr(ω) a ”hautes frequences” ; plasmons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Notions de diffusion de la lumiere : 14I Diffusion par l’electron libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II Amplitude du mouvement de l’electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14III puissance diffuse dans la direction theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14IV section efficace differentielle de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15V Electron elastiquement lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

TABLE DES MATIERES 2

V.1 Equation du mouvement et section efficace de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15V.2 Differents regimes de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15V.3 Diffusion resonante, ω ' ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

VI Diffusion par un ensemble de diffuseurs (elastiquement lie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16VI.1 Polarisabilite et susceptibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Introduction aux milieux birefringents 17I Tenseur de permitivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II Structure d’une onde plane dans un milieu anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17III Propagation d’une onde plane pour une direction de normale fixee (k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

III.1 Equation satisfaite par la vitesse de phase : equation de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17III.2 Vitesse de phase de phase et ligne neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18III.3 Ellipsoıde des indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18III.4 Surfaces des indices. Axe optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18III.5 Surface des indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19III.6 construction de DESCARTES des normales(vecteur d’onde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IV Propagation pour une direction de rayon donnee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV.1 vitesse radiale et equation de FRESNEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV.2 Surfaces d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV.3 Contruction de Huygens des rayons refractes et reflechis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Lames minces birefringentes, Interference en lumiere polarisee. 20I Action d’une lame mince faces paralleles ; incidences normales ; Ei polarisee rectilignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I.1 champ electrique en sortie de la lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.2 cas particuliers de Lames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.3 Analyseur a penombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.4 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.5 Solution de l’equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.6 Comment realiser l’accord de phase ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Lames mices birefringentes, Interference en lumiere polarisee. 23I Action d’une lame mince faces paralleles ; incidences normales ; Ei polarisee rectilignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

I.1 champ electrique en sortie de la lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.2 cas particuliers de Lames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.3 Analyseur a penombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.4 Interferences en lumiere polarisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.5 Teintes de Newton : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II Mesure de birefringence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.1 Description complete : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.2 Configuration de mesure : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

TABLE DES MATIERES 3

6 Introduction a l’optique non-lineaire 25I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

I.1 Polarisation non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.2 Origine «physique» des non-linearites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.3 Proprietes de χ(2) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.5 Solution de l’equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.6 Comment realiser l’accord de phase ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chapitre 1

Introduction

I Rayonnement

bibliographie :Electrodynamique classiqueJD JacksonDUNODprobleme : comment une source s(ρ,~j) cree t’elle les champshttp ://www.ece.rutgers.edu/ orfanidi/ewa/

I.1 Equations de maxwell

div( ~B) = 0div( ~E) = ρ

ε0−→rot(~E)

= −d ~Bdt−→rot(~B)

= µ0~j + ε0µ0

∂ ~E∂t

I.2 Theoreme de Helmoltz

Si ~E(~r) verifie : div( ~E) = s(~r)−→rot( ~E) = ~G(~r)

que ‖ ~E‖ −−→+∞

0 et∫‖ ~E‖2d3r = 0,

Alors ∃(ϕ, ~A)/tq

~E =−−→grad (ϕ) +

−→rot(~A)

Consequences :

div( ~B) = 0⇒ ~B =−→rot(~A)

−→rot(~E)

= −∂−→rot(~A)

∂t⇒ −→rot

(~E +

∂ ~A

∂t

)= 0

donc ∃ϕ tel que : ~E +∂ ~A

∂t=−−→grad (ϕ)

Condition de jauge : des equations de maxwell on peut en deduire une equationde propagation de ~A :

∆ ~A− 1c2d2 ~A

dt2= −µ0

~j +−−→grad

(div ~A+

1c2dϕ

dt

)on y ajoute la condition de jauge de lorenz, on ne garde que les solution ( ~A, ϕ)qui verifient :

div ~A+1c2dϕ

dt= 0

Le meme raisonnement pour ϕ nous donne aussi l’equation suivante :

∆ϕ− 1c2d2ϕ

dt2= − ρ

ε0

I.3 Potentiel retades

1 - Fonction de Green :Soit G(~r, ~r′, t, t′) une fonction tel que :∆G− 1

c2d2Gdt2 = −δ(~r − ~r′)δ(t− t′)

4

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 5

Alors G s’ecrit :G(~r, ~r′, t, t′) = 14π||~r−~r′||δ(t− t

′ − ||~r−~r′||

c ) , soit :

G(R, τ) =1

4πRδ(τ − R

c)

2 - SolutionOn a alors les solution pour ϕ :

ϕ(~r, t) =ρ

ε0⊗G(~r, τ)

soitϕ(~r, t) =

14πε0

∫−ρ(~r′, t′)G(~r − ~r′, t− t′)d3r

et~A =

µ0

4π

∫ ~j(r′, t− ||~r − ~r′||/c)||~r − ~r′||

d3r

I.4 Rayonnement d’une source oscillante

1 - 2 zones par rapport a la distributionOn repere deux zone par rapport a la distribution : la zone de champ proche etcelle de champ lointain.On fait l’hypothese de la dependance temporelle harmonique :ρ = ρ(~r)e−iωt, idem pour ~j. On obtient alors ~A sous la forme :

~A = ~A(r)e−iωt =µ0

4πe−iωt

∫ ~j(r′)eiωt||~r−~r′||/c

||~r − ~r′||d3r

on peut alors chercher la limite de ~A dans la zone de champ lointain, pour r d,ddistance caracteristique de la distribution.on peut ainsi ecrire :||~r − ~r′|| = r − ~er./r′ + 1

2 (~er.~r′

r ) + . . .

les termes d’ordre superieur a deux sont negligeables si kr′2

r tres inferieur a 1 ier d2

λles hypothese pour un champ lointain sont donc :

1. r d

2. r d2/λ

~Aray =µ0

4π

∫~j(r)

eikr

re−ik~er.~rd3r

~Aray =µ0

4πeikr

r

∫~j(r)e−ik~er.~rd3r

avec µ04π

eikr

r l’amplitude d’une onde spherique.2 - champs rayones

on a = ~Bray =−→rot(~Aray

)soit avec les formules d’analyse vectorielles :

~Bray =µ0

4π

−−→grad

(eikr

r

)∧∫~j(r)e−ikrd3r +

eikr

R

∫−→rot(~j(r′)e

ik~r.~r′r d3r

)avec le second terme entre accolade considere nul.or−−→grad

(eikr

r

)= i~k e

ikr

r −1r2~ere

ikr = eikrr (ik − 1

r )~erdonc :

~Bray =µ0

4πeikr

r(ik − 1

r)~er ∧

∫~j(~r)e−i~k.~r

′dr′

soit~Bray = ik − 1

r~er ∧ ~Aray

le terme en 1/r ne contribue pas au rayonnement dans la zone de champ lointain,afin d’avoir conservation de l’energi. c’est pour ce la que l’on a aussi || ~Aray|| ' 1

r .On a ~Bray qui se comporte comme une onde plane, donc :

~Eray = c~er ∧ ~Bray = iω[ ~Aray − (~er. ~Aray)~er]

donc ~Eray est orthogonal a ~Aray. on finalement :– ~Eray = iω ~Aray⊥– ~Bray = ik ~Aray

3 - Puissance rayonnee en champs lointaindP =< ~S > ~ds ou ~S est le vecteur de Pointing.On a donc :

< ~S >=~E ∧ ~B∗

2µ0=

iω

2µ0

~A⊥ ∧ (−i~k ∧ ~A)

donc :dP = ω2µ0|| ~A⊥||2~k.~ds avec ds = r2sin(θ)dθdϕ soit dP

dΩ = k2c2µ0|| ~A⊥||2r2 =cst

car || ~A⊥|| ' 1r 4 - Developpement multipolaire du potentiel vecteur

~Aray =µ0

4πeikr

r

∫~j(r)e−i~k~r

or ~k~r ' rλ si λ >> d, alors e−i~k~r

′= 1− ikr + k2r2

2 + ... alors

~Aray =µ0

4π

∫~j(r)

∑n

(−i~k~r′)n

n!d3r′

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 6

on a une contribution dipolaire pour n = 0 donc

~Adip =µ0

4πeikr

r

∫~j(r′)d3r′

et∫~j(r′)d3r′ = d~P

dr si~P =

∫~rρ(~r)d3r

or ∫~jxd3r =

∫[div(x~j)− xdiv(~j)]d3r

avec div(~j) = dρdt alors ∫∫∫

div(~jx)d3r =

x~j.~ds

→∫jxd3r =

∫xdPdt d

3r = ddt

∫x : rhod3r = d

dt

∫xPd3r puis

~Adip(r) =µ04π

eikr

r~P0

on peu en deduire la puissance rayonnee dans le cadre de l’approximation dipo-laire :

dP

dΩ

dip

=ω2

c21

2µ0

1r2~P 2

0⊥.r2

or on a P0⊥ = sinθP0 , d’ou dPdΩ

dip= ω4

32π2µ0c~P 2

0 sin2θ

et Ptot = µ012π

ω4p20c

on a donc :~A(~r, t) =

µ0

4π

∫ ~j(, ~r′t− ||~r − ~r′||/c)||~r − ~r′||

d3r

en ne prenant compte que la partie contribuant au champ rayone :

~A(~r, t) =µ0

4πr

∫~j(~r′, t− ~r/c)d3r =

µ0

4πrdP

dt

∣∣∣∣(t−r/c)

Bilan : ~A(~r, t) = µ04π

p”(t−r/c)r

II Equations de maxwell dans la matiere

II.1 Introduction

– calculs des champs microscopiques ( ~E, ~B) “vues” par des charges d’essai al’interieur d’un milieu materiel

– il est impossible de prendre en compte toute les variables de position, vitesse,et de valeur des charges . . . du milieu

– il y a variation spatiale de grandeur des champs microscopiques due auxelectrons et protons sur des distances de l’ordre de l’agstrom

Une moyenne spatiale doit etre realisee pour passer de la reponse microsco-pique a la reponse macroscopique

II.2 Moyenne spatiale des distributions de charges et decourants

ρ =∞∑i=0

δ(r − ri(t))qi

∫δ(r)d3r = 1

dimension de delta inverse d’un volume

< ρ(r) >=∫f(r − r′)ρmicro(r)′d3r

Pour f il faut que soit bornee, L>> a0, L << λ, que∫Rf = 1.Exemple de fonction

f(r) = ce−r2

l2

avec ces conditions, la moyene doit etre independante de la forme exacte de lafonction.

Remarque : ⟨~Emicro

⟩d < E >

dx=⟨dE

dx

⟩1 - sans terme de source⟨

div( ~B)⟩

= 0⇒ div⟨~B⟩

= 0

⟨−→rot(Emicro)

⟩= −

⟨d ~B

dt

⟩⇒ −→rot

⟨~E⟩

= −d < B >

dt

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 7

2 - avec terme de sourcemaxwell gauss donne

div⟨~E⟩

=< ρmicro >

ε0

Calculons ρmicro decomposons en deux parties :-charges qi liees a l’atome N-ajout de toutes les charges

pour un atome :ρmicroN =

∑i

qif(r − ratn − ri)

< ρmicroN >=∑i

qif(r − ratn − ri)

mais f varie lentement a l’echelle d’un atome

< ρmicroN >=∑i

qi.f(r − rN )−∑i

qi.~ri.−−→grad(f(r − ri))

< ρwtN >=∑i

qi.f(r − rN )−∑i

~Pn . . .+multipole

pour les n atomes

< ρ(r)micro >=∑N

qif(r − rN )−∑i

−→Pn−−→grad (f(r − rN ))

< ρ(r)micro >= densite de charge − libre densitee de charge lieeon peut montrer que la densitee de charge liee vaut

div(∑N

−→Pnδ(r − rN ))

< ρ(r)micro >= ρlibre − div(~P )

~P est mal connu (depene de la reponse du materiau), on masque cette ignoranceen introduisant le vecteur deplacement :

~D = ε0 ~E + ~P

Alorsdiv( ~D) = ρlibre

on peut faire le meme raisonnement pour les materiaux magnetique

II.3 Exemple de distributions liees

1 - Polarisation uniformeon peut associe a un cylindre polarise une association de dipole mis bout a boutd’epaisseus d chargee +q,-q

P.(Sd) = d.q

il existe une densite surfacique de charge,σpol = P ou plus generalement σpol =~P .~n2 - Polarisation volumique de charge div(~P ) 6= 0exemple sphere chargee negativement au centre : on obtient une densitee volu-mique de charge3 - Milieux magnetiquesEquation de Maxwell Ampere⟨−→

rot(~Bmicro

)⟩= µ0 〈jmicro〉+

⟨ε0µ0

d ~Emicrodt

⟩on admet que

〈jmicro〉 = ~jlibre +∂ ~P

∂t+−→rot(~M)

ou dp/dt est du aux oscillations du nuage de charge et ~M aimentation volu-mique a pour origine les moments magnetiques de spin

en introduisant~H =

~B

µ0− ~M

l’equation de Maxwell ampere devient

−→rot(~H)

= ~jlibre +∂ ~D

∂t

III Relations constitutives et propagation duchamp electromagnetique dans un milieudielectrique

III.1 Relations Constitutives

reponse du dielectrique a la sollicitation de ~E~j = σ ~E (loi d’ohm)Remarque : loi de London pour les supraconducteurs : ~j = −k ~A

~P = ε0χ~E

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 8

ou χ est la susceptibilite dielectrique

III.2 cadre de la reponse lineaire

Pi = ε0∑j=1

χijEj . . .+ chi(2)ijkEjEk . . .

χ est un tenseur (matrice)1 - milieux isotropes

[χ]→ χ

2 - milieu homogene

~P (~r) = ε0χ(~r) ~E(~r)→ ~Pε0χ~E

3 - localite

~j(~r) =∫γ(~r − ~r′) ~E(~r)d3r

ou γ est la distribution de sigma sur l’espace, gaussienne d’ecart type le libreparcour moyenen passant dans l’espace des k par transformee de fourier

~j(~k) = γ(~k). ~E(~k)

III.3 Dispersion

la reponse du materiau n’st pas instantannee

~j(t) =∫σ(t− t′) ~E(t′)dt′

(sigma par unitee de temps)

~j(ω) = σ(ω) ~E(ω)

III.4 Origine de la dispersion en frequence

Manifestation experimentale dans un verre de type BK7 (borro silicate : SiO2+B +K variation de l’indice en A+ B

λ2 de 1.480 a 400nm → 1.455 pour 700nm

Fig. 1.1 – Potentiel d’interaction noyaux-electron

III.5 Modele “Mecanique elementaire”

equation du mouvement de la charge a une dimension :

mx′′ = −kx−mγx′ + F (t)

ou l’on suppose queF (t) = Re(F0e

−iωt)

on cherche les solutions sous la forme

X(t) = Re(X0e−iωt)

X0etF0 en phase a cause de l’ammortissement

X0 =F0/m

ω20 − ω2 − iγω

eiωtX0 = C(ω)F0e−iωt

X(ω) = C(ω)F (ω)

X(t) =∫C(t− t′)F (t′)dt′

X0 =F0

k −mω − imγω

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 9

si on fait tendre m vers 0 la reponse est instantannee remarque : puissance dissipeepar la charge sous l’effet de ~F

P =⟨~F .~v⟩

= 1/2Re(~F ∗.− iω ~X) = 1/2

cf arnaud

III.6 Milieu Non dispersif

−→rot(~E)

= −∂~B

∂t→ −→rot

(−→rot(~E))

= −µ0

∂−→rot(~H)

∂t

−→rot(~H)

= ~jlibre +∂ ~D

∂t

~D(~r, t) = ε0εr(~r, t) ~E(~r, t)

ou εr est la constante dielectrique

εr = 1 + χ

alors

−−→grad

(div( ~E)

)−∆ ~E = −µ0

∂

∂t

(~jlibre +

∂D

∂t

)or

ε0εrdiv( ~E) = ρlibre

donc−−→grad

(ρlibreε0εr

)−∆ ~E = −µ0

∂

∂tσ ~E − µ0

∂2D

∂t2

n =√εr

est l’indice de refraction

∆ ~E − 1c2εrd2 ~E

dt2= µ0σ

∂ ~E

∂t

vϕ = c/n

III.7 Milieu dispersifs

~D(~r, t) =∫ε0.εr(t− t′) ~E(t′)dt′

~j(~r, t) =∫γ(t− t′) ~E(t′)dt′

la reponse en D et ~j a ~E est non instantannee

~D(= ε0.εr(ω) ~E(ω)

~j = σ(ω) ~E(ω)

Equation de propagation de ~E(~r, ω)

∆ ~E − (−ω2)εrc2~E = µ0σ(−iω) ~E

ou −ω2 viens de ∂2

∂t2 on obtient :

∆ ~E = ω2

c2“εr(ω)+ iσ

ωε0

”~E

= 0

avec l’equivalence : εr ≡ εequivr + i σω ε0Pour ω 6= 0 (non statique) on peut aussi bien atttribuer les proprietes disper-

sives :– a la conductivite ou– a la ‘constante’ dielectrique

III.8 Modele elementaire de εr

electron elastiquement lie– N densite de molecule– ωj pulsation propre des elements pour une molecule– fj “force d’oscillation” de la resonnance j (poids atribue a la resonnance j)– γj taux d’amortissement de la resonance j

Rappel :pour une resonance a ω0

X0 =F0/m

ω20 − ω2 − iγω

→ ~p = −|qe|X0 =(−|qe|)2 ~E/m

ω02 − ω2 − iγω

Dans le milieu il apparaıt une polarisation volumique :

~P = N∑j

|qe|2

m

fj−ω2 + ω2

j − iγjω= ε0χ~E

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 10

avec∑j fj = Z nombre d’electrons

d’ou :

εr = 1 +N |qe|2

mε0

∑j

fjω02 − ω2

j − iγωj

Remarque : en general γj << ωj et εr est donc reelle si ω > ωj εr < 1 si ω < ωjεr > 1

Partie reelle de εr en fonction de ωdispersion normale (εr augmente avec ω puisqu’on n’observe que n2 = εr

lorsque λassocie a l’absorption par resonance

III.9 Propagation du champ ~E a travers un milieu dispersif

~E est porte selon ~y

d2 ~E

dz2+ω2

c2εequivr

~E = 0

ω2

c2εequivr ≡ k2

εequivalentr = n2 ou n = n′ + ik′′

~E = Aeikz +Be−ikz ou k = ωc n = ~k0n

~E = Aeik0(n′+in′′)z +Be−ik0(n+in′′)z

Si n” > 0il faut que θ = 0(sinon Be−ik0(n+in”)z →∞ quand z →∞)

E = Aeikn′z ∗ e−k0n

′′

n′′

est responsable de l’atenuation du champ E attenutation sur la distance ca-racteristique :

δ(ω) ≡ 1kon

′′ =λ02π

n′′(ω)

Remarque : Puissance dissipee lors d la propagation : P = 12Re(~j. ~E∗) ou j =

jlie − iω ~P ,avec ~j = σ ~E et ~P = ε0χ~Ealors ~j = [σ − iωε0(εr − 1)] ~Eavec [σ − iωε0(εr − 1)] conductivite equivalente

P =12.Re[σ − iωε0(εr − 1)]|E|2 = 1/2Im(εequivalentr ωε0)| ~E|2

Fig. 1.2 – pas les bons schemas

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 11

dissipation de type ”effet Joule”

ωε0i

[iσ

ωε0+ εr − 1

]le terme entre crochets est equivalent a εr − 1

III.10 Comportement de εr a basse frequence : electronslibles

modele :

εr = 1 +N |qe|2

mε0

∑j

fjω02 − omega2

j − iγωj

εequivr = εr(ω) +iσ

ωε0

Electrons libre → frequence de resonnance ω0 = 0On isole la contribution de ces electrons libres :

εr = εlier +N0|qe|2f0

mε0

1−ω02 − iγ0ω

interpretation en terme de conductivite de Drude

σ = iN0|qe|2f0m

1ω(−ω0−iγ0)ω

AN Pour le cuivre, N0 = 8 ∗ 1028e−/m3

σ = 5, 9 ∗ 107(Ω.m)−1

alors γf0' 4 ∗ 1013s−1 quand ω → 0

Pour ω ' 1011rad/s << γ0,(λ ' 47µm) alors σ = N0|qe|2f0/mγ0−iω

σ est reellepour ω & γ0, σ est complexe.

Il devient plus naturel d’utiliser εequivr que σ

III.11 Comportement de εr(ω) a ”hautes frequences” ;plasmons

pour ω >> max(ωj) :

εr ' 1 +N |qe|2

mε0

∑j

fj1−ω2

on note alors Z =∑j fj

ω2p =

ZN |q0|2

mε0

εr ' 1−ω2p

ω2−→ n2ω2 = ω2 − ω2

p

on introduit le vecteur d’onde k avec : kcn = ω

k2c2 = ω2 − ω2p

Remaque :– milieu dielectrique (4) ne s’applique que si ω ωp– dans le cas ou il y a des electrons libres (plasma dilue,ionosphere,...) ω a

une plus grande plage de variation possible dont ω < ωp → k peut etreimaginaire pure, d’ou une attenuation sur une profondeur δ'1/k'c

ωp

ANplamsa dilue, δ ' 500a5µm N ' 1O18 − 1022e−/m3 ωp ' 6 ∗ 10106 ∗ 1012

δ ' 500− 5µmω > ωp : alors le champ electrique est reflechie par le plasma :

-reflexion ds ondes radio (courtes) par l’ionosphere -confinement du plsma dansles experiences de fusion thermonucleaire•”Plasmon”? Ondes dans ce milieu (metal/plasma) ? div(ε0εr ~E) = ρllibre = 0

Pour une onde plane : i.~k.ε0εr(ω) ~E = 0⇒ soit ~k ⊥ ~E

soit il existe ω εr(ω) = 0 il devient possible d’avoir un champ ~E longitudinal

( ~E // ~k)• Plasmon de surface : il existe Ex qui oscille a ωps ' ωp√

2

Complement sur les plasmons de surface :il y a deplacement de charge a la surface entre deux milieu.les oscillation de charges preexistent et sont localisees a la surface.on peut alors exprimer le champ sous la forme d’une oscillation selon kx et uneatenuation selon kz.metal :ε1r, air ε2r

Objectif :obtenir l’equation de dispersion du SP (surface plasmon) kx = f(ω)

Champs dans (2) z > 0 :

~E2 = ( ~E(2)x ~ex + ~E(2)

y ~ez)ei(k(2)x x+k(2)

z z)

~H2 = ( ~H(2)y )ei(k

(2)x x+k(2)

z z)

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 12

k(2)z = |k(2)

z |ik

(i)x ∈ R

Champs dans (1) :

~E1 = ( ~E(1)x ~ex + ~E(1)

y ~ez)ei(k(1)x x−k(1)

z z)

~H1 = (~

H(1)y )ei(k

(1)x x−k(1)

z z)

Condition de passage des champs en z=0, on obtient∀x,E(2)

x eik2xx = E

(1)x eik

1xx,

E(1)x = E

(2)x et

k(1)x = k

(2)x et

H(1)y = H

(2)y

Equation de maxwell Ampere

−→rot(~H)

=d ~D

dt

(~jlibre = 0)

(pas de courant volumique)

Dans chaque milieu (i) :

i~k(i) × ~H(i) = −iω ~D(i)︸︷︷︸avec ε(i)r ~E(i)

k(1)z H1

y = ε(1)r E(1)

x

k(2)z H(2)

y = −ωε0ε(2)r E(2)

x

donc

−k(1)z

ε(1)r

+k

(2)z

ε(2)r

= 0

Equation d’onde :∆ ~E + (

ω

c)εr ~E = 0

dans les 2 milieux : −ki2x − ki2

z + (ωc )εir = 0

kx(ω) ?

(2)⇒ (k(1)z − k(2)

z )(k(1)z + k(2)

z ) = (ε(1)r − ε(2)

r )(ω

c)2

⇒ k(1)2z = +(

ω

c)2 ε

(1)2r

ε(1)r + ε

(2)r

d’ou k2x = (ω

c)

2 ε(2)r ε(1)rε(2)r +ε

(1)r

Discussion :ε(2)r = 1 et ε(1)

r = ε(′)r + ε

(”)r i pourλ optique on n’a pas : |ε′′r | |ε

′ |pour l’or (AU) λ = 546nm(2eV ) n’=0,13, n”=3,16et n2 = εR ' −n”2 < −1

Cas limite : ε(1)r (ω)→ ε

(1)r = −1(quand kx →∞

Modele de l’electron elastiquement lie (relation constitutive) :

ε1ωr = 1−ω2p

ω2

−→kx → +∞ −1

etω → ωp√

2

la petite equation qui ne sert a rien et qui est oubliee dans le coin d’un tableau :comp

1 + εr”jεr”j

' −1εr”j + 1

La relation de dispersion des SP ne coupe pas celle de la lumiere :⇒ pas d’excitation direct des SP avec de la lumierePrediction de l’existence des SP (1956) par RITCHIE (et SCRATCHIE)Observation des 1960 par diffuion d’electron, par Perte d’energie electro-nique(Electron Energy Loss Spectroscopie) et Microscopie a transmission (TEM)

diffusion electronique :→ perte d’energie ∆E = ~ω (la frequence/pulsation peut etre en resonance avec

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 13

les SP)

Limitation”Grandes” valeurs de kx : kx ' 0.3~rA−1

On decrit la courbe de dispersion en deplacant le detecteur selon θ.• Excitation optique :dans le verre : kincidentx = kosinθa

√εr

ω = kincidentx c√εrsinθ

Chapitre 2

Notions de diffusion de la lumiere :

Observation courante :– ”rayons de soleil” a travers un feuillage– laser qui traverse une salle enfumee

Explication de base, des sources secondaire (atomes, molecules, poussieres, gout-teletes...) polarisees par un faisceau incident reemettent comme un dipole oscillant

I Diffusion par l’electron libre

II Amplitude du mouvement de l’electron

m~a = ~Frad − |qe| ~E (confere TD n˚1)

~Frad = 2/over3e2

c3~a′

oue2 = |qe|24πε0

Excitation harmonique → solution sous la forme : ~r = ~roe−iωt

−mω2~ro = iω3 2e2

3c3~ro − |qe| ~Eo

~r01ω2

|qe|m

~E0

1+2/3ωτ ou τ = ree

ou

re =|qe|2

mc24πε0

TD n˚1 τ ' 10−23soptique : ω ' 1016rad.s−1

ωτ ' 10−7 1→ ~ro ' |qe|ω2m

~Eo → je peux associer a ce mouvement le dipoleoscillant :

p0 = −|qe|

P0 =−|qe|2

mω2

III puissance diffuse dans la direction theta

cf chapitre 1

dP ~Dω =µ0ω

4p

32π2csin2(θ) = 11/2ε0cE0r

2esin

2θ

avec

~po = −|qe|~ro

~po = −|qe|~romω2

14

CHAPITRE 2. NOTIONS DE DIFFUSION DE LA LUMIERE : 15

||qe|4

m2= r2

ec416π2ε2o

⇒ dP

dΩ=

µoω4

32π2cp2osin

2θ =12εocE

2or

2esin

2θ = φir2esin

2θ

avec φi flux incident

IV section efficace differentielle de diffusion

dσ

dΩ=dP/ϕidω

= r2esin

2θ

attention, dσdΩ n’est pas une derivee ! donc le long de l’axz Oz pas de diffusion,

diffusion maximale selon Oy. la lumiere diffusee est polarisee lineairement , celareste valable pour une onde incidente non polarisee (luiere naturelle)

V Electron elastiquement lie

V.1 Equation du mouvement et section efficace de diffusion

Mouvement d’electrons des couches internes d’un atome ou d’une molecule

m~a = −|qe| ~E + ~Frad −mω20~r

~r = ~r0exp−iωt

~E = ~Eoexp−iωt

avec r0 = −|qe|m

1ω2−ω2

0+iγωou γ = 2

3ω2τ et τ = re/c avec re le rayon elastique dee−

On a deja montre que σ ' r2o

σlieσtheorique

= | rl0ie

rl0ibre|2 = | ω2 + iγω

(ω2 − ω20)2 + iγω

|2 =ω4 + γ2ω2

(ω2 − ω20) + γ2ω2

Rappel (cf TD1) ωτ(10−7) 1et

γ2ω2 ' ω4τ4ω2 ω4

donc σlie

σTh(libre) ' ω4

(ω2−ω2o)2+γ2ω2 (1)

V.2 Differents regimes de diffusion

1 - diffusion rayleigh

ω ωoσσTh' ω4

ω4o+γ2ω2 ' ( ωω0

)4 →on retrouve que l’infrarouge est moins diffuse que l’ultraviolet (diffusion de lalumiere solaire par les molecules de l’athmosphere2 - Diffusion Thomsonω ωo σ

lie −→ σTh

ex diffusion des rayons X pour les couches externes des atomes

V.3 Diffusion resonante, ω ' ω0

absorption puis reemission du rayonnement incident(1) (ω2 − ω2

o)2 = (ω − ωo)2(ω + ωo)2 ' 4ω4o(ω − ωo)2

σlie(ω ' ω0)σTh(libre)

' ω20

4(omega− ω0)2 + γ2=

ω2o

4(ω − ωo)2 + γ2

Lorentzienne caracteristique de l’absorption

AN ωo ' 1015rad/s γ ' 23ωτ × ω ' 1018 avec ωτ = 10−7 et ω = 1015

σlie(ω'ω0)σTh(libre) = 1014

Remarque Saturation de l’absorption

σ(ω0) ' (ω20γ )2 8

3πr2e = (ω

20γ )2σTh

γ = 2/3ω0τ et τ ' re/cσ(ω0) ' ( no ω0

23ω

no 2 no rec

)2 ' 3.2.π( cω0

)2 = 32πλ

20

pour avoir une saturation de la transition , il faut un photon absorbe par dureede vie radiative τ , soit un flux incident φsati

~ω0× σ(ω0) × τ = 1 ou φsati

~ω0est le

nombre de photon incident par unitee de temps et de surface.

CHAPITRE 2. NOTIONS DE DIFFUSION DE LA LUMIERE : 16

on peut se ramener au TD-1 on a τ = 1/γ ' 16ns et λ0 = 600nm

φsati ' ~ω0τ

2π3

1λ2

0−→ φSati ' 90W/m2

pas realiste en fait dans le cas de molecules unique par exemple pour lesquelles

φSati ' 1W/m2

VI Diffusion par un ensemble de diffuseurs(elastiquement lie)

Systeme : L’ensemble des electrons d’un atome ou d’une molecule dans unevapeur peu denseExcitation exterieure ~E produit une polarisation volumique somme de polari-sation individuelle ~P ( ce qui n’est pas vrai dans la matiere condensee) (cf TDn˚5)

VI.1 Polarisabilite et susceptibilite

α(ω)~E produit un dipole elementaire ~p = ε0α(ω) ~E[α] = [p]

[E]1

[ε0] = L3,[p] = [q]L,[E] = 1[ε0]

[q]L2

On note χ ≡ nα(ω) ~E = ε0χ~E (vrai uniquement pour des vapeurs peu denses,sinon loi de Clausius Mossoti cf TD n˚5)On peut aussi ecrire ~p = −|qe|

∑jelecton−molecules ~rj(ω) ou ~rj = −|qe|/m

ω2−ω2j+iγω

(cf §2 )

donc α(ω) = |qe|2nε0

∑j

1ω2−ω2

j+iγω−→ χ(ω) = |qe|2

mε0n∑zj=1

1ω2−ω2

j+iγω

1 + χ = εr ( cf chapitre 3), n =√εr = 1 + χ′/2 + iχ”/2 = n′ + in”

pour simplifier ωj = ω0 et nombre d’electrons = Zχ′ = n|qe|2

nε01

2ω0

Z(ω−ωo)(ω−ωo)2 + γ2

4

χ′′ = n|qe|2nε0

Z2omega0

Zγ2(ω−ω0)2 + γ2

4

n =√εr = (1 + χ)1/2 ' 1 + χ′

2 + iχ”2 = n′ + in””

Section efficace d’absorption est proportionnelle a χ” E(z) =Eoexp

−~zexpi(n′koz−ωt) ou κ = n”ωc

Chapitre 3

Introduction aux milieux birefringents

•calcite, Spath :CaCO3

•Quartz (SiO2)dans ce chapitre , bien faire la difference entre le vecteur d’onde (normal) et lerayon lumineux (vecteur pi) premieres experiences de birefringence, observationd’une double image d’un objet par BARTOLINUS en 1650

I Tenseur de permitivite

[εr]~D = ε0[εr] ~E (relation lineaire)

La conservation de l’energie montre que [εr] est decrit par une matrice symetriquea coefficient reel,et est donc diagonalisables dans une base orthornormale ou sescoeff diagonaux valent (n12, n22, n32)

~Di = εon2iEi, avec i= 1,2,3

3 cas de figure– n1 6= n2 6= n3 milieu biaxe– n2 = n3 6= n1 milieu uniaxe considere par la suite– n1 = n2 = n3 milieu isotrope

II Structure d’une onde plane dans un milieuanisotrope

~E = ~E0ei(ωt−kr),; (equations de Maxwell)i~k∧ ~E = iω ~B, i~k∧ ~B = −iµ0ω ~D et

i~k. ~D = i~k. ~B = 0

III Propagation d’une onde plane pour une di-rection de normale fixee (k)

Quelles sont les vitesse de phase V/varphi(~k) autorisees ?

III.1 Equation satisfaite par la vitesse de phase : equationde Fresnel

Equation de Maxwell −→ ~D = −1µ0

1ω2~k∧ (~k× ~E) avec ~k× (~k× ~E) = (~. ~E)~k|~k|2 ~E

avec Di = ε0n2i~Ei ; on considere aussi ~u = ~k/||~k|| et vϕ = ω/||k||et vϕ(~k) ≡ ω

‖~k|

~D =1

µ0Vphi2[ ~E − (~u. ~E)~u

que l’on ecrit pour les 3 composanteson sais que Di = n2

iEi, Di = 1

µ0Vphi2[Ei−(~u. ~E)ui

d’ou : ε0n2iEi = 1

µ0V 2ϕ

[Ei − (~u. ~E)ui]on note vi ≡ c/ni (vitesse de phase propre associees aux ni)1v2iEi = 1

V 2ϕ

[Ei − (~u. ~E)ui]

Ei =1/vϕ2

1/vϕ2−1/vi(~u. ~E)ui

E1u1 + E2u2 + E3u3 = (~u. ~E)(1/vϕ2U

21

1/vϕ2−1/v1+

1/vϕ2U22

1/vϕ2−1/v2+

1/vϕ2U23

1/vϕ2−1/v3)

je soustrais 1 = (u21 + u2

2 + u23) a l’equation precedente

17

CHAPITRE 3. INTRODUCTION AUX MILIEUX BIREFRINGENTS 18

1/V 21

1/V 2ϕ − 1/V 2

1

u1 +1/V 2

2

1/V 2ϕ − 1/V 2

2

u2 +1/V 2

3

1/V 2ϕ − 1/V 2

3

u3 = 0

III.2 Vitesse de phase de phase et ligne neutre

On reecrit l’equation de fresner, f(vϕ)

f(v2ϕ) = (v2

ϕ − v22)(v2

ϕ − v23)u2

1 + (v2ϕ − v2

1)(v2ϕ − v2

3)u22 + (v2

ϕ − v21)(v2

ϕ − v22)u2

3

Hypothese v3 6 v2 6 v1

f(v21) = (v2

1 − v22)(v2

1 − v23)u2

1 > 0f(v2

2) < 0f(v2

3) > 0il existe deux solution a f(v2

ϕ) = 0 : v”2 et v′2 → Conclusion :POur une direction~kdonees ilexiste deux vibration pouvant se propager dans le milieu (polarisationlineaire,( ~E′, ~E”) avec une vitesse de phase v’ et v” respectivement.

Ei = 1/v2ϕ1/v2ϕ−1/v2i

(~u. ~E)ui avec vϕ = v′ ou v”

III.3 Ellipsoıde des indices

On introduit n(~k) indice de refraction pour la direction normale ~k(ξ =M, ~OM = n~d ou ~d ≡ ~D

|~D|)

OM= pour que M ∈ E il faut que ~d or ~D = 1µ0Vϕ

(E − (u.E))u, d’ou D2 =n2

c2µ0~D ~E et Ei = Di

εon2i

donc

D2

n2=D2

n2(x2

1

n21

+x2

2

n22

+x2

3

n23

)

M ∈ (ξ)⇒ , x21n2

1+ x2

2n2

2+ x2

3n2

3= 1

ellipsoide de demi axe n1, n2 et n3 milieu uniaxe, n1=n2 on a un ellipsoide derevolution•Orientation de la normale N en M g(~x) = 0

~N =

∂gx1

= x1n2

1∂gx2

= x1n2

2∂gx3

= x1n2

3

Ei = µov2iDi = 1/overn2

i1ε‖~D‖n xi

~N ' ~E

• on considere la tangeante ~E a l’ellipse en M~E aussi est tangente a l’ellipsoıde et par definition elle appartient aussi au pland’onde.~E est donc aligne avec le champ magnetique ~B mais B orthogaonal a D donc Edois etre orthogonal A OM et les seuls points possibles de sigma pour lesquelsOM orthogonal a t sont les points M1 et M2 correspondant aux demi axes

conclusion on confirme que pour ~k fixe il n’existe que deux directions devecteur ~D possible et on obtient en plus que ces deux vibrations sont orthogonale.Lignes neutres ~d1(~d′) et ~d2(~d”) : propagation de telles ondes sans deformationdans le milieu anisotrope

M1 ∈ equateur ⇒ ~d1 ⊥ axe optique avec ‖ ~OM1‖ = n1 = n2 quel que soit ~u,vibration ordinaireM2 → ~d2 : vibration extraordinaire : n1 < OM2 < n3

III.4 Surfaces des indices. Axe optique

(S) = lieu des points N, ~ON = n~u

N∈(S) xy → x2 + y2 + z2 = n2

z

Equation de Fresnel, en utilisant vϕ = c/n

x2/n2

(c/n)2 − (c/n1)2+

y2/n2

(c/n)2 − (c/n2)2+

z2/n2

(c/n)2 − (c/n3)2= 0

→ surface du 4ieme degre, a 2 nappesramene au meme denominateurn2

1x2(x2 + y2 + z2 − n2

2)(x2 + y2 + z2 − n23)

+n21y

2(x2 + y2 + z2 − n23)(x2 + y2 + z2 − n2

1)

CHAPITRE 3. INTRODUCTION AUX MILIEUX BIREFRINGENTS 19

+n21z

2(x2 + y2 + z2 − n23)(x2 + y2 + z2 − n2

3) = 0

Coupe z= 0 : (x2 + y2 − n23)[n2

1x2(x2 + y2 − n2

2) + n22y

2(x2 + y2 − n21)] = 0

soit x2 + y2 = n23 (cercle de rayon n3 et/ou n2

1n22(x2 + y2)( x

2

n21

+ y2

n22− 1) = 0

(ellipse de demi-axe n1, n2

soit n12n22

III.5 Surface des indices

Remarquemilieu uniaxen1 = n2 = n0 → 1 seul axe optique, qui est l’axe z (Oz) par constructionEt on appelle n3 = ne l’indice extraordinaire

Exemples de valeurs numeriques (λ = 589nm doublet jaune Na)calciteno = 1, 658ne = 1, 486birefringence, ∆n = ne − n0 = −0, 2 < 0, milieu negatif

quartzno = 1, 5442ne = 1, 5533birefringence, ∆n = ne − n0 = 9, 1.10−3 > 0, faible birefringence

Rappel : n0 < n(k) < ne vibration extraordinaire

III.6 construction de DESCARTES des normales(vecteurd’onde)

la surfaces des indices est definie comme :(S) = N, ~ON = n~y ou ~y = ~k

||~k||dans un cristal anisotrope E// est conserve, on obtient kr = kt : en effetei~kr.~r = ei

~ki.~r pour tout ~r, donc ~ki.~r = kt cqfd. pour un cristal negatif comme lespath ∆ = ne − no < 0

~k1 → ~kordinaire~k2 → ~kextraordinaire

IV Propagation pour une direction de rayondonnee

IV.1 vitesse radiale et equation de FRESNEL

surface d’onde Σ(t) et surface d’onde Σ(t+ dt) on a −→r = ~S

||~S||radiale unitaire

vr =Vϕ

cos(α)on a

~D =1

µV 2ϕ

[ ~E − (~u. ~E)~u]

on montre cf poly que ~E = µ0V2r [ ~D− (~r. ~D)~r] fomule (1.9) d poly pour passer de

(1.5) a (1.9) :E/mu0− > mu0D

vacudonne~r vphi− > 1/vrVi = c/ni [epsilonr] = diag(n12, n22, n32)

equation de Fresnel sur vl :

v21

v2r − v2

1

r21 +

v22

v2r − v2

2

r22 +

v23

v2r − v2

3

r23 = 1

→ 2 solutions v′r et vr”

IV.2 Surfaces d’ondes

(Σ) = M, ~OM = Vrc ~r M ∈ Σ Milieu uniaxe : v1 = ve

v2 = v3 = vθx2 + y2 + z2 = ( vrc ) = R2 on reporte r1 = x/R, x2 = .... dans l’equation deFRESNEL → (Σ) surface a deux nappes

Milieu uniaxe :sphere : x2 + y2 + z2 = Vo

c

2= 1

n2o

ellipsoıde de revolution :y2+z2

(ve/c)2 + x2/over(vo/c2) = 1

IV.3 Contruction de Huygens des rayons refractes etreflechis

Chapitre 4

Lames minces birefringentes, Interference en lumierepolarisee.

I Action d’une lame mince faces paralleles ; inci-dences normales ; Ei polarisee rectilignement

Lignes neutres : ce sont les deux direction selon lesquelles la vibration incidenten’est pas deformee, ici (Ox)et(Oy).

I.1 champ electrique en sortie de la lame

la traversee de la lame induit une difference de marche entre les deux rayonsqui vaut :

Difference de marche entre Dx et Dy en sortie de lame vaut :

ϕ =2πλ

(ny − nx)e

(on considere l’epaisseur traversee identique).

t→ τ = t− 2πλnxe

1ω

Einx = E0cos(α)e−iωtdevient Eoutx = E0cos(α)e−iωtei2πλ nxe

Einy = E0sin(α)e−iωtdevient Eouty = E0sin(α)e−iωtei2πλ nxe

et tout ceci devient : Eoxut = cosαe−iωτ

Eoyut = sinαe−iωτeiϕ

ou encore : Re(Eoutx) = EocosαcosωτRe(Eouty) = Eosinαcos(ωτ − ϕ)

on peut reporter la difference de phase sur une seule composante

I.2 cas particuliers de Lames

– Lame onde :ϕ = 2kπ– Lame 1/2 d’onde (2k + 1)π → polarisation symetrique par rapport aux

lignes neutres c’est-a-dire : Re(Eoutx) = E0cosαcosωτRe(Eouty) = −E0sinα(−cosωτ)

– Lame 1/4 d’onde pi2 + 2kπ, donne generalement une polarisation elliptique,

sauf si en entree on a une polarisatin rectiligne a 45deg des ligne neutres, ouon obtient un cercle. Re(Eoutx) = E0cosαe

−iωτ

Re(Eouty) = −E0sinαe−iωτei(+/−

Pi2 +2kπ)

en sachant que :ei(+/−Pi2 +2kπ) = +/− i

I.3 Analyseur a penombre

NOTHING TO SAY

20

CHAPITRE 4. LAMES MINCES BIREFRINGENTES, INTERFERENCE EN LUMIERE POLARISEE. 21

I.4 Equation de propagation

on devrais etre au II 2, II : propagation non lineaire N dipoles emettant enphase a ω3 → intensite emise a ω3 nN2

PNLz = ξ(2)E1E2

equation de propagation de ~E3 = ~A3ei(kzz−ωt ? ou k3 = n3ω3

c et n3 =√εr(ω3)

equation de Maxwell :

−→rot(~E)

= −∂ ~B∂t + relation constitutives : ~D = εo[εr] ~E−→rot(~B)

= µ0∂ ~D∂t +~P avec ~D = ε0 ~E + ~P

et les relations constitutives :

~jlibre = 0

~D = ε0 ~E + ~P

alors−→rot(−→rot(~E))

= − ∂

∂t(µ0

d ~D

dt) = −µ0

∂ε0 ~E + ~P

∂t2

~grad(~div( ~E))− ~∆ ~E +1c2∂2 ~E

∂t2= −µo

∂2 ~P

∂t2

or div( ~E) = 0 et div( ~D) = ρlibre = 0(dielectrique)

~D = ε0[εr] ~E +milieuhomogeneetlineaire

on a aussi~PNL = χ(2)E1.E2(milieu non lineaire)

~∆ ~E − 1c2∂2 ~E∂t2 = µo

∂2 ~P∂t2 (1)

• cependant pour une onde plane ~k ⊥ ~E, div ~E = i~k. ~E = 0

• On peut donc appliquer (1) a la propagation de E.

~P = ~P1 + ~PNL

on peut aussi ecrire :

~D = ~D(1) + ~PNL = εo ~E + ~PNL

avec ~P (1) la polarisation lineaire (dependance lineaire avec ~E) et ~PNL la polari-sation non lineaire.On a bien la relation constitutive lineaire : ~D(1) = ε0[ε(1)

r ] ~E

(1)⇒ ~∆ ~E − µo∂2 ~D(1)

∂t2= µo

∂2 ~PNL

∂t2(2)

• Milieu non dispersif, et isotrope :

~D(1)ε0ε(1)r~E pour toutω

(2)⇒ ~∆ ~E − 1c2 ε

(1)r

∂2 ~E∂t2 = µo

∂2 ~PNL

∂t2 solution au terme de potentiel retarde

• dans un milieu dispersif :

~E =∑n

~En(/r, t)

avec ~En == En(r)e−i(ωnt) avec ici n allant de 1 a 3et ~D1

n(ωn) = ε0ε(1)r~En

I.5 Solution de l’equation de propagation

1. mileu sous perte2. faisceau parallele sous incidence normale

Polarisation volumique non lineaire :

[Pz]i(z, t) = [Pz]i(z)e−iωzt

[Pz]i(z, t) = χ(2)ijk(ω3, ω1, ω2)Ej(ω1)Ek(ω2) + χ

(2)ijk(ω3, ω2, ω1)Ej(ω2)Ek(ω1)

avec χ(2)ijk(ω3, ω1, ω2)Ej(ω1)Ek(ω2) =

∑j,k ξijkEjEk (convention d’Einstein)

χikj(ω1 + ω2, ω1, ω2)Ek(ω1)Ej(ω2) et k,i et j indice muets donc vaut aussi :χikj(ω1 + ω2, ω1, ω2)Ej(ω2)Ek(ω1)pour tout Ej

doncχijk(ω1 + ω2, ω2 + ω1) = χijk(ω1 + ω2, ω2, ω1)

et

[Pz]i = χijk(ω3, ω1, ω2)Ej(ω1)Ek(ω2)+χijk(ω3, ω1, ω2)Ek(ω2)Ej(ω1) = 2χijk(ω3, ω1, ω2)Ej(ω1)Ek(ω2)

CHAPITRE 4. LAMES MINCES BIREFRINGENTES, INTERFERENCE EN LUMIERE POLARISEE. 22

Dans le cas de la geometrie particuliere ~E(ω1) et ~E(ω2) paralleles a (Ox)alors (Pz)x = 4deffEω1Eω2 ou deff est le coefficiet non lineaire efficace.tous les champs sont portes (supposes etre portes par) ~ex

ou E(ω1) = A1eik1ze−iω1t

E(ω2) = A2eik2ze−iω2t

P(z)z = 4defficaceA1A2e

i(k1+k2)z

or on a :

~∆ ~E − µ0

c2∂2 ~D(1)

∂t2= µo

∂2 ~P

∂t2

avec E3 = A(z)3 e−i(k3z−ω3t).

on obtient :

d2A3

dz2− k2

3 + 2ik3dA3

dz− ε0εr(ω3)µ0.(−ω2

3)Az = µ0(−ω23).4deffA1A2

d2A3

dz2+ 2ik3

dA3

dz− k2

zAz +ω2z

c2n2zAz = −µo4deffA1A2

or k3|dA3dz | |

d2A3dz2 |,A3(z) a une enveloppe lentement variable

dA3dz = 2ideff ω3

n3cA1A2e

i∆kz

ou ∆k ≡ k1 + k2 − k3

Condition d’accord de phase : Lorsque ∆k = 0 alors A3 coıt lineairement avecz et on a un optimum de conversion d’energie : ω1 + ω2 → ω3

Hors conditions d’accords de phase δK 6= 0 En Sortie du cristal :

A3(L) =2ideffk3c2

ω23A1A2

∫ L

0

ei∆kzdz

ou l’integrale vaut Lsinc(δkL/2)eiδkL/2 alors I3 est proportionne a A23 =

8πdeff/cI1I2/λ2L2sinc2(deltakL/2)

I.6 Comment realiser l’accord de phase ?

ω3 = ω1 + ω2

et∆k = 0/ : n3ω3 = n1ω1 + n2ω2

n(ω) croıt lorsque ω croıtcas de la generation de seconde harmonique :

ω = ω1 = ω2 → 2ω

pour realiser la condition d’accord de phase il faudrait : n(2ω)2ω = 2n(ω)w,impossible pour un milieu isotrope avec dispersion normale,

Mais pour un cristal non lineaire birefringent on prend l’ellipsoide des indices

X2 + Y 2

n20

+Z2

n2e

= 1

Y/rightarrowy X/rightarrowcosθx − sinθz Z/rightarrowsinθx + caosθz a lasortie du cristal ~de(2w) = (x/ne; 0; 0) la premiere composante doit etre normeedonc x=ne (on a de= (X ;Y ;Z)

ellipsoıde des indices →

cos2θx2

n2o

+sin2θ

n2e

x2 = 1

comme ‖~de‖ = 1 x = ne(θ)reecrit a la frequence

sin2(θ) =1

n2o(ω) −

1n2o(2ω)

1n2e(2ω) −

1n2o(2ω)

Chapitre 5

Lames mices birefringentes, Interference en lumierepolarisee.

I Action d’une lame mince faces paralleles ; inci-dences normales ; Ei polarisee rectilignement

Lignes neutres : ce sont les deux dirrection selon lesquelles la vibration inci-dente n’est pas deformee, ici (Ox)et(Oy).

I.1 champ electrique en sortie de la lame

la traversee de la lame induit une difference de marche entre les deux rayonsqui vaut :

Difference de marche entre Dx et Dy en sortie de lame vaut :

ϕ =2πλ

(ny − nx)e

(on considere l’epaisseur traversee identique).

t→ τ = t− 2πλnxe

1ω

Einx = E0cos(α)e−iωtdevient Eoutx = E0cos(α)e−iωtei2πλ nxe

Einy = E0sin(α)e−iωtdevient Eouty = E0sin(α)e−iωtei2πλ nxe

et tout ceci devient : Eoxut = cosαe−iωτ

Eoyut = sinαe−iωτeiϕ

ou encore : Re(Eoutx) = EocosαcosωτRe(Eouty) = Eosinαcos(ωτ − ϕ)

on peut reporter la diference de phase sur une seule composante

I.2 cas particuliers de Lames

– Lame onde :ϕ = 2kπ– Lame 1/2 d’onde (2k + 1)π → polarisation symetrique par rapport aux

lignes neutres c’est-a-dire : Re(Eoutx) = E0cosαcosωτRe(Eouty) = −E0sinα(−cosωτ)

– Lame 1/4 d’onde pi2 + 2kπ, donne generalement une polarisation elliptique,

sauf si en entree on a une polarisatin rectiligne a 45deg des ligne neutres, ouon obtient un cercle. Re(Eoutx) = E0cosαe

−iωτ

Re(Eouty) = −E0sinαe−iωτei(+/−

Pi2 +2kπ)

en sachant que :ei(+/−Pi2 +2kπ) = +/− i

I.3 Analyseur a penombre

NOTHING TO SAY

23

CHAPITRE 5. LAMES MICES BIREFRINGENTES, INTERFERENCE EN LUMIERE POLARISEE. 24

I.4 Interferences en lumiere polarisee

forme analytique habituelle pour l’intensite dans le cas d’interferences a deuxondes (fentes d’Young)

Iecran = I1(α, β)[A+ C(α, β)cosϕ]

ou ϕ = 2πλ (ny − nx)e

I1(α, β) = Io ≡(Eionc)

2

2︸ ︷︷ ︸ Io(cos2αcos2β + sin2αsin2β)

C1(α, β) =2cosαcosβsinαsinβ

cos2αcos2β + sin2αsin2βContraste

Cas particuliers :|C(α, β)| = 1

1. |C(α, β)| = 1

cos2(α+ β) = 0

α+ β = π/2[2π]

P parallele a A P n’est pas parallele

I1(α, β) = Iosin2(2α)

2 (1 + cosϕ) avec (1 + cosϕ) = cos2(ϕ/2)

I1 est maximale si sin2(2α) = 1 soit α = π/4

2. |C(α, β)| = −1

cos(α− β) = 0

α = β + π/2[π]

schema (Matthias)I1 max si α = π/42 cas de contraste maximal :P//A Iecran = Iocos

2 ϕ2

P⊥A Iecran = Iosin2 ϕ

2

I.5 Teintes de Newton :

P⊥A⇒ extinction des longueurs d’onde λ telles que ϕ2 = 0[π] et ϕk

2 = kπ

π

λk∆ne= kπ avec k ∈ Z

ne − nϕ = ny − nxλk = ∆ne

k AN : quartz ∆n ' 10−2 pour e = 60µm et on obtient λk ' 6.10−7

k =600nmkPour une lame de Quartz 6O µm= e, on a une seule longueur d’onde eteinte

autour de 600 nm (teinte «lie de vin»)Intensite en sortie du monochromanteur en fonction de λ : (schema Matthias)

pour le domaine du visible (entre 400 et 700 nm), il y a extinction a 300 et 600nm

Meme schema avec une lame d’epaisseur de quelques millimetres d’epaisseur,il y a plus d’extinction, donc plus de franges.

II Mesure de birefringence :

«A l’œil» avec les teintes de Newton :

Compensateur de Babinet

(methode de la lame quart d’onde)

II.1 Description complete :

schema Matthiasdifference de marche nulle entre les vibrations selon (Ox) et selon (Oy)

II.2 Configuration de mesure :

schema Matthias frange noire au centre, frange deplacee,

Chapitre 6

Introduction a l’optique non-lineaire

I Introduction

I.1 Polarisation non-lineaire

→ 1960 (avant les lasers), pas d’effet non lineaire observes en optique→ a partir de l’invention du laser : ‖ ~E‖ de l’ordre des champs de cohesione−/noyaux

Dielectriques :

~P = ~Pstatique(0) + ~P (Lineaire) + ~P (NonLineaire)

P (NL) = ~P (2) + ~P (3) + ...

avec P (n), n nombre de fois que E intervient dans le lien entre ~P et ~E :

P(2)i = χ

(2)ijkEjEk

(χ(2)ijk est un tenseur d’ordre 3)

I.2 Origine «physique» des non-linearites :

modele de l’electron elastiquement lie + forces anharmoniquesequation du mouvement (direction x) d’un electron lie au noyau dans un champ

Eext :d2x

dt2+ α

dx

dt+ ωox

2 + βx2 + γx3 + ... = −|qe|mEexxt

avec ωox2 βx2 γx3

Resolution iterative :

pour 1 electron :

p(1)x = −|qe|‘x(1) → P (1) = Np(1) → E(1)dans ke deuxieme membre de l’equation du mouvement→ x(2) → p(2)

x → P (2)ne2

P (1) = χ(1)Eext

χ(1) =N |qe|2/m

ω2o − ω2 − iαω

=N |qe|2/mD(ω)

3D → χijkEjEk

P (2) = χ(2)(ω, ω)E2(ω) + χ(2)(−ω, ω)|E()ω)|2

χ(2)(ω, ω) susceptibilite non lineaire du second ordre∑j,k

χijk|E|2ejek

χ(2)(ω, ω) = N |qe|3βm2 D(2ω)2

I.3 Proprietes de χ(2) :

Soit une transformation geometriqueT = Tij

χ(2)IJK =

∑i

∑j

∑k

TIiTJjTKk.χ(2)ijk

25

CHAPITRE 6. INTRODUCTION A L’OPTIQUE NON-LINEAIRE 26

X i(2)ijk → χ

(2)ijk inversion

X i(2)IJK = −Xi(2)

ijk

cas particulier d’une inversion (Tij = −δij) → si le materiau a pour centre desymetrie l’origine du repere, alors ses proprietes physiquesvne changent pas pourcette transformation

χ(2)IJK = −χ(2)

IJK

χ(2)IJK → Milieu centrosymetrique = pas d’effet non lineaire du second ordre

et en generalisant, de tout ordre pair

TijXj = −δijXj = −Xi

CHAPITRE 6. INTRODUCTION A L’OPTIQUE NON-LINEAIRE 27

I.4 Equation de propagation

on devrais etre au II 2, II : propagation non lineaire N dipoles emettant enphase a ω3 → intensite emise a ω3 nN2

PNLz = ξ(2)E1E2

equation de propagation de ~E3 = ~A3ei(kzz−ωt ? ou k3 = n3ω3

c et n3 =√εr(ω3)

equation de Maxwell :

−→rot(~E)

= −∂ ~B∂t + relation constitutives : ~D = εo[εr] ~E−→rot(~B)

= µ0∂ ~D∂t +~P avec ~D = ε0 ~E + ~P

et les relations constitutives :

~jlibre = 0

~D = ε0 ~E + ~P

alors−→rot(−→rot(~E))

= − ∂

∂t(µ0

d ~D

dt) = −µ0

∂ε0 ~E + ~P

∂t2

~grad(~div( ~E))− ~∆ ~E +1c2∂2 ~E

∂t2= −µo

∂2 ~P

∂t2

or div( ~E) = 0 et div( ~D) = ρlibre = 0(dielectrique)

~D = ε0[εr] ~E +milieuhomogeneetlineaire

on a aussi~PNL = χ(2)E1.E2(milieu non lineaire)

~∆ ~E − 1c2∂2 ~E∂t2 = µo

∂2 ~P∂t2 (1)

• cependant pour une onde plane ~k ⊥ ~E, div ~E = i~k. ~E = 0

• On peut donc appliquer (1) a la propagation de E.

~P = ~P1 + ~PNL

on peut aussi ecrire :

~D = ~D(1) + ~PNL = εo ~E + ~PNL

avec ~P (1) la polarisation lineaire (dependance lineaire avec ~E) et ~PNL la polari-sation non lineaire.On a bien la relation constitutive lineaire : ~D(1) = ε0[ε(1)

r ] ~E

(1)⇒ ~∆ ~E − µo∂2 ~D(1)

∂t2= µo

∂2 ~PNL

∂t2(2)

• Milieu non dispersif, et isotrope :

~D(1)ε0ε(1)r~E pour toutω

(2)⇒ ~∆ ~E − 1c2 ε

(1)r

∂2 ~E∂t2 = µo

∂2 ~PNL

∂t2 solution au terme de potentiel retarde

• dans un milieu dispersif :

~E =∑n

~En(/r, t)

avec ~En == En(r)e−i(ωnt) avec ici n allant de 1 a 3et ~D1

n(ωn) = ε0ε(1)r~En

I.5 Solution de l’equation de propagation

1. mileu sous perte2. faisceau parallele sous incidence normale

Polarisation volumique non lineaire :

[Pz]i(z, t) = [Pz]i(z)e−iωzt

[Pz]i(z, t) = χ(2)ijk(ω3, ω1, ω2)Ej(ω1)Ek(ω2) + χ

(2)ijk(ω3, ω2, ω1)Ej(ω2)Ek(ω1)

avec χ(2)ijk(ω3, ω1, ω2)Ej(ω1)Ek(ω2) =

∑j,k ξijkEjEk (convention d’Einstein)

χikj(ω1 + ω2, ω1, ω2)Ek(ω1)Ej(ω2) et k,i et j indice muets donc vaut aussi :χikj(ω1 + ω2, ω1, ω2)Ej(ω2)Ek(ω1)pour tout Ej

doncχijk(ω1 + ω2, ω2 + ω1) = χijk(ω1 + ω2, ω2, ω1)

et

[Pz]i = χijk(ω3, ω1, ω2)Ej(ω1)Ek(ω2)+χijk(ω3, ω1, ω2)Ek(ω2)Ej(ω1) = 2χijk(ω3, ω1, ω2)Ej(ω1)Ek(ω2)

CHAPITRE 6. INTRODUCTION A L’OPTIQUE NON-LINEAIRE 28

Dans le cas de la geometrie particuliere ~E(ω1) et ~E(ω2) paralleles a (Ox)alors (Pz)x = 4deffEω1Eω2 ou deff est le coefficiet non lineaire efficace.tous les champs sont portes (supposes etre portes par) ~ex

ou E(ω1) = A1eik1ze−iω1t

E(ω2) = A2eik2ze−iω2t

P(z)z = 4defficaceA1A2e

i(k1+k2)z

or on a :

~∆ ~E − µ0

c2∂2 ~D(1)

∂t2= µo

∂2 ~P

∂t2

avec E3 = A(z)3 e−i(k3z−ω3t).

on obtient :

d2A3

dz2− k2

3 + 2ik3dA3

dz− ε0εr(ω3)µ0.(−ω2

3)Az = µ0(−ω23).4deffA1A2

d2A3

dz2+ 2ik3

dA3

dz− k2

zAz +ω2z

c2n2zAz = −µo4deffA1A2

or k3|dA3dz | |

d2A3dz2 |,A3(z) a une enveloppe lentement variable

dA3dz = 2ideff ω3

n3cA1A2e

i∆kz

ou ∆k ≡ k1 + k2 − k3

Condition d’accord de phase : Lorsque ∆k = 0 alors A3 coıt lineairement avecz et on a un optimum de conversion d’energie : ω1 + ω2 → ω3

Hors conditions d’accords de phase δK 6= 0 En Sortie du cristal :

A3(L) =2ideffk3c2

ω23A1A2

∫ L

0

ei∆kzdz

ou l’integrale vaut Lsinc(δkL/2)eiδkL/2 alors I3 est proportionne a A23 =

8πdeff/cI1I2/λ2L2sinc2(deltakL/2)

I.6 Comment realiser l’accord de phase ?

ω3 = ω1 + ω2

et∆k = 0/ : n3ω3 = n1ω1 + n2ω2

n(ω) croıt lorsque ω croıtcas de la generation de seconde harmonique :

ω = ω1 = ω2 → 2ω

pour realiser la condition d’accord de phase il faudrait : n(2ω)2ω = 2n(ω)w,impossible pour un milieu isotrope avec dispersion normale,

Mais pour un cristal non lineaire birefringent on prend l’ellipsoide des indices

X2 + Y 2

n20

+Z2

n2e

= 1

Y/rightarrowy X/rightarrowcosθx − sinθz Z/rightarrowsinθx + caosθz a lasortie du cristal ~de(2w) = (x/ne; 0; 0) la premiere composante doit etre normeedonc x=ne (on a de= (X ;Y ;Z)

ellipsoıde des indices →

cos2θx2

n2o

+sin2θ

n2e

x2 = 1

comme ‖~de‖ = 1 x = ne(θ)reecrit a la frequence

sin2(θ) =1

n2o(ω) −

1n2o(2ω)

1n2e(2ω) −

1n2o(2ω)