8/3/2019 Electro1 (1)

1/75

CAPITOLUL 1 ELECTROSTATICA

Legea conservrii sarcinii electrice

Sarcina electric este o mrime fizic ce caracterizeaz din punct de vedere cantitativ proprietile

corpurilor electrizate i este responsabil de interaciunea electromagnetic a materiei. Termenii deelectrizat, pozitiv i negativ au fost introduse de Benjamin Franklin, n urma experienelor cu mainaelectrostatic a lui von Guerike. Stabilirea experimental a dou tipuri de interaciune ntre particulelencrcate electric una de atracie i una de respingere a dus la concluzia c sarcinile electrice sunt dedou feluri (denumite de Franklin pozitive i negative). Corpurile ncrcate cu sarcini electrice deacelai fel se resping iar cele cu sarcini contrare se resping.

Sarcina electric este o mrime fizic scalar notat cu q sau Q. n SI unitatea de msur a sarciniielectrice este 1 Coulomb (1 C).

Experienele fizice au dovedit natura discontinu a materiei. Cele mai mici entiti din care esteformat materia sunt particulele elementare. n stadiul actual al cunoaterii se consider c electronii,

protonii i neutronii sunt particulele elementare care intr n compoziia atomului i a moleculelor careformeaz materia. S-a descoperit recent c protonii i neutronii au compoziie intern, dar pentruconsiderentele legate de cursul nostru le putem considera practic indivizibile. Fiecare particul elementareste caracterizat de proprieti intrinseci: masa gravitaional, sarcina electric, spinul, paritatea,stranietatea, etc. n fenomenele electromagnetice ce vor fi studiate de noi au importan doar sarcinaelectrici masa. Pentru constituenii stabili ai atomului acestea au valorile indicate n tabelul 1.1.

Particul elementar Masa gravitaional Sarcina electric

Electron kgme30109,0 Ceqe

19106,11

Neutron kgmn2710674,1 0nq

Proton kgmp2710672,1 Ceqp

19106,11

Tabel 1.1: Masa i sarcina electric pentru constituenii stabili ai atomului

Observm c cea mai mic valoare posibil a sarcinii electrice este .Ce 19106,1

Sarcina electric are trei proprieti fundamentale:

- sarcina electric total a unui sistem izolat din punct de vedere electric se conserv ( const);qn

kk

1

- sarcin electric este cuantificat, putnd lua valori numai multiplii ntregi ai cuantei Ce 1910 ;6,1

- sarcina electric este relativist invariant.

Prima proprietate enunat mai sus poart numele de legea conservrii sarcinii electrice. Ea a fost i poate fi verificat n numeroase procese fizice. Legea conservrii sarcinii electrice nu interzice ca sarcinaelectric s fie creat sau distrus (anihilat), dar ea oblig ca n procesul de creare s apar simultan opereche de sarcini elementare de semn contrar.

Tot la acest subiect legat de sarcina electrici de conservarea ei se cuvine s spunem cteva cuvintedespre electrizarea corpurilor. A electriza un corp nseamn a determina n acel corp apariia unei sarcini

1

8/3/2019 Electro1 (1)

2/75

electrice diferite de zero. Electrizarea se poate face fie prin transport direct de sarcini electrice, fie prininfluen.

n primul caz, dac un corp ncrcat electric este pus n contact cu un corp fr sarcin, atunci corpulncrcat va transfera o parte din sarcina lui celuilalt. Contactul poate fi direct sau prin intermediul unuiconductor electric. n cazul n care primul corp este ncrcat negativ, acesta va ceda o parte din electronii luicelui de al doilea, n cazul n care primul corp este ncrcat pozitiv, acesta va accepta o parte din electroniicelui de al doilea, astfel nct s se stabileasc un echilibru al sarcinilor electrice n noul sistem format.

Indiferent de situaie, electrizarea prin contact duce la ncrcarea cu acelai tip de sarcin electric a celordou corpuri, suma sarcinilor electrice repartizate n final fiind egal cu sarcina electric iniial.

n cazul electrizrii prin influen, ncrcarea cu sarcini electrice a unui corp se realizeaz frcontactul direct al celor dou corpuri. Explicaia acestui fenomen const n proprietatea intrinsec asarcinilor electrice de a se respinge dac sunt de acelai semn. Astfel, dac de un corp neutru din punct devedere electric se apropie un alt corp ncrcat, fr s vin n contact direct cu acesta, sarcina electric de pecorpul neutru se va redistribui astfel nct faa apropiat de corpul ncrcat iniial va cpta o sarcinelectric de semn contrar. Dac faa opus este legat la pmnt, acesta fiind un bun conductor electric,excesul de sarcin electric de pe aceast fa va fi preluat. Acest mecanism nu funcioneazi n cazulcorpurilor izolatoare.

Legea lui Coulomb

Fizicianul Charles Coulomb a msurat n 1785, cu ajutorul unei balane de torsiune, forele care seexercit ntre dou corpuri de prob practic punctiforme, ncrcate electric. Corpurile erau izolate i situaten vid. Variind succesiv valorile absolute ale sarcinilor, semnul acestora precum i distanele dintre corpuri,el a stabilit dependena forelor de interaciune electric de aceste mrimi. Fora de interaciune dintre dousarcini punctiforme este proporional cu produsul sarcinilor electrice ale corpurilori invers proporionalcu ptratul distanei dintre ele.

221

rqqkF . (1.1)

In sistemul internaional constanta de proporionalitate are expresiar

k

04

1

4

1, unde

este o constant ce caracterizeaz proprietile electrice ale mediului n care se afl cele dou corpuri i se

numete permitivitate electric, 0 este permitivitatea electric a vidului, iar0

r este permitivitatea

relativ a mediului respectiv. Permitivitatea electric a vidului este:

m

F120 10856,8

. (1.2)

Astfel, pentru vid constanta de proporionalitate devine:2

29109

C

mNk

.

Ca orice mrime vectorial, fora de interaciune electric se caracterizeaz nu numai printr-unmodul dari printr-o direcie i un sens. Direcia forei de interaciune electric este dreapta ce unete celedou sarcini punctiforme. Sensul forelor depinde de semnele sarcinilor cu care sunt ncrcate cele dou

corpuri: sarcinile de acelai semn se resping, cele de semn contrar se atrag. Dac se noteaz cu 12r vectorul

2

8/3/2019 Electro1 (1)

3/75

de poziie al punctului n care se gsete corpul cu sarcina fa de punctul n care se gsete sarcina ,expresia vectorial a forei ce acioneaz asupra corpului al doilea din partea primului este dat de formula:

2q 1q

12312

2112

4

1r

r

qqF

. (1.3)

n cazul unor sarcini nepunctiforme, a unor distribuii de sarcin, se consider n spaiul distribuieiun element de volum infinitezimal, n interiorul cruia sarcina se poate considera punctiform. Vor existapractic o infinitate de fore a cror direcie i sens vor fi date de ecuaia:

12312

2112

4

1r

r

qdqFd

. (1.4)

In acest caz am considerat numai sarcina distribuit volumic, a doua fiind punctiform. Sarcina

infinitezimal d natere la o for1q

1dq 12Fd . Pentru calculul forei totale cu care sarcina distribuit volumic

acioneaz asupra sarcinii punctiforme , se nsumeaz toate forele2q 12Fd pentru totalitatea sarcinilorinfinitezimale din distribuie:

V r

rdqrq

F 312

121122

12 4 . (1.4)

Intensitatea cmpului electric

Cmpul electric este o form de manifestare a materiei din vecintatea unui ansamblu d sarcinielectrice n care i fac simite prezena fore de natur electric bine determinate ca modul, direcie i sens.Cmpul electric se numete electrostatic dac este invariabil n timp.

Din expresia forei de interaciune electric putem observa c n cazul n care considerm una dintre

sarcini ca sarcin de prob, unitar, atunci fora care acioneaz asupra ei din partea celeilalte sarcinidepinde numai de natura, valoarea absolut a sarcinii respective i de distana la care se afl cele dou

sarcini reciproc. Astfel, raportul2

12

q

Fexprim o caracteristic a modului n care sarcina genereaz

interaciune electric cu sarcinile electrice aflate n vecintatea sa, adic a cmpului electric. Se poate definiatunci cmpul electric prin relaia:

1q

2

121

q

FE . (1.5)

In SI, intensitatea cmpului electric se msoar n m

V

. Fiind raportul dintre o mrime vectorialiuna scalar, intensitatea cmpului electric va fi o mrime vectorial ale crei direcie i sens coincid cudirecia i sensul forei n cazul unei sarcini de prob pozitive. Intensitatea cmpului electric generat de un

corp punctiform ncrcat cu sarcina Q , ntr-un punct situat la distana r de acesta are expresia:

rr

QE

34

1

. (1.6)

In cazul unor distribuii (liniare, superficiale sau volumice) de sarcin intensitatea cmpului electricse calculeaz prin integrarea pe respectiva curb, suprafa sau volum:

3

8/3/2019 Electro1 (1)

4/75

C

dyr

ryrE 34

1

pentru distribuia liniar; (1.7)

S

dar

ryrE

34

1

pentru distribuia superficial; (1.8)

V

dvr

ryqrE

34

1

pentru distribuia volumic. (1.9)

Fizicianul englez Michael Faraday a propus un mod intuitiv de a reprezenta grafic un cmp de fore prin intermediul liniilor de cmp. O linie de cmp reprezint o curb tangent n orice punct al su lavectorul intensitate al unui cmp vectorial. n cazul cmpului electric, liniile de cmp sunt linii deschisepornind de pe sarcinile electrice pozitive i oprindu-se pe sarcinile electrice negative. Densitatea liniilor decmp este proporional cu mrimea sarcinilor electrice care genereaz cmpul. n cazul unor sarcinipunctiforme, direcia i sensul intensitii cmpului electric sunt:

- radial dinspre corp spre exterior n cazul unei sarcini punctiforme pozitive;

- radial nspre corp n cazul unei sarcini punctiforme negative.

Legea lui Gauss

Numrul liniilor de cmp electric ce str bat o suprafa oarecare, normal la liniile de cmp senumeteflux al cmpului electrici se noteaz cu E . ntr-un cmp omogen numrul liniilor de cmp cestrbat o suprafa , deci fluxul electric prin suprafaa respectiv este:a

aEE . (1.10)

In cazul mai general cmpul electric nu este omogen, iar suprafa a nu este nici plan, nici normal lacmp. Pentru a exprima fluxul cmpului electric, se mparte suprafaa n elemente de suprafa att de micinct n limitele fiecrui element cmpul electric s fie constant ca valoare i orientare, fiecare astfel deelement cu aria se reprezint printr-un vectorda ad avnd orientarea dat de regula burghiului drept. Sealege pe conturul care mrginete elementul de arie un sens de parcurs. Rotind burghiul drept n sensul

n care se parcurge conturul, acesta nainteaz n direcia vectorului

da

ad . Dac n limitele elementului de

arie jad intensitatea cmpului electric este jE i formeaz unghiul j cu jad , atunci elementul de flux

prin elementul de arie jad este:

jjjjjj daEadEd cos . (1.11)Pentru a obine fluxul cmpului electric prin ntreaga suprafaa de arie , se integreaz expresia

(1.11) asupra ntregii suprafee:S

S

E adE . (1.12)

Legea lui Gauss afirm c fluxul cmpului electric printr-o suprafa nchis este egal cu sarcinadin interiorul ei, mpritla permitivitatea mediului . Dac n interiorul suprafeei nchise nu exist nici osarcin, atunci fluxul prin acea suprafa este nul.

4

8/3/2019 Electro1 (1)

5/75

Pentru a demonstra aceast lege, vom calcula fluxul cmpului electric datorat unei distribuiivolumice de sarcini, printr-o suprafa nchis ce nchide o parte sau toate sarcinile sistemului.

V SS S V

E dvadr

ryqaddv

r

ryqadE 33 4

1

4

1

(1.13)

Pentru acele sarcini infinitezimale din distribuia volumic ce se afl n interiorul suprafeei ,S

dr

dar

adr23

cos , (1.14)

unde este elementul de unghi solid sub care se vede elementul de aried ad din locul sarcinii yq . Seobserv c elementul de arie ad acoper acelai unghi solid ca i un element de arie 0ad situat pe o sfer draz :0r

44

0

20

20

20

0

SS r

r

r

dad . (1.15)

In cazul n care sarcina infinitezimal se afl n exteriorul suprafeei , liniile de cmp ce pornesc

de pe sarcina

S

yq strbat de dou ori suprafaa nchis odat la intrarea n volumul mrginit de suprafai odat la ieire. Pentru fiecare element de arie de intrare va exista corespunztori unul de ieire, unghiulsolid pentru aceste perechi de elemente de arie de intrare / ieire fiind identic n modul i de semn schimbat.Din acest motiv la integrare, fluxul total cauzat de sarcinile din exteriorul suprafeei este nul. nseamn c:

int

1QadE

S

. (1.16)

Legea lui Gauss este foarte des utilizat pentru a calcula intensitatea cmpului electric generat deanumite distribuii de sarcin.

Potenialul electric

Cmpul electric este descris nu numai de mrimea vectorial intensitate dari de o mrime scalarnumit potenial. Sensul fizic al potenialului electric ntr-un punct este acela de a caracteriza nivelul electricn acel punct, sau capabilitatea punctului de a participa cu o cantitate mai mic sau mai mare de sarcin laun regim dirijat de electroni. De fapt, definiia potenialului electric este cea de energie potenial electric aunei sarcini de prob egale cu unitatea situat n acel punct.

Pentru a deduce expresia potenialului electric, s considerm mai nti o sarcin punctiform in cmpul generat de aceasta o sarcin care este deplasat uniform cu ajutorul unei fore exterioare egali de sens contrar cu fora electric, ntre dou puncte notate cu

Qqi . Pentru a calcula lucrul mecanic

necesar acestei deplasri, vom alege dou drumuri de parcurs ntre cele dou puncte extreme: MAN i, conform figurii 1.1.

N

MBN

Pe acele de cerc A i lucrul mecanic este nul deoarece fora este perpendicular pedeplasare, produsul lor scalar fiind nul n acest caz. Pe segmentele i

BNAN B lucrul mecanic este acelai,

fora avnd o simetrie radial i segmentele fiind egale ntre ele. Rezult c lucrul mecanic total pe

5

8/3/2019 Electro1 (1)

6/75

drumurile i este acelai, deci lucrul mecanic necesar deplasrii corpurilor electrizate n cmpelectric nu depind de drum (cmpul electric este conservativ).

MAN MBN

6

E

M

B

F Fext+Q

+q

N

A

Figura 1.1: Deplasarea unei sarcini ntr-un cmp electric

Lucrul mecanic necesar deplasrii sarcinii pe drumul va fi deci egal cu lucrul mecanicnecesar deplasrii sale pe segmentul

q MBNB . Fora electric nefiind constant pe acest segment, vom calcula

media ei care va fi egal cu media geometric a forelor din capetele segmentului (aceasta datoritdependenei forei electrice de ptratul distanei).

BMBM

BF 4Mmed rr

qQ

rr

qQFF

4

122 . (1.17)

Lucrul mecanic efectuat este:

qQ

4

BMBM

MBmed rr

qQ

rr

rrdFL

11

4 . (1.18)

Bineneles, la aceeai expresie a lucrului mecanic pe drumul B se poate ajunge i calculnd-o cao integral pe acest drum a lucrului mecanic elementar efectuat pe o deplasare elementar, pentru care forase poate considera constant:

r

rrF

B

M

BM

r

r

r

r

B

M

rr

qQ

r

qQdr

r

qQdrdLL B

M

B

M

11

4

1

4

1

42

(1.19)

Observm c raportulq

Lnu depinde de valoarea i natura corpului de prob, deci este o mrime

potrivit caracterizrii cmpului electric n ceea ce privete deplasarea unui corp ntre dou puncte n care semanifest. Prin analogie cu teorema de variaie a energiei poteniale, care ne spune c ntr-un cmp de foreconservativ aa cum am artat c este i cmpul electrostatic variaia energiei poteniale este egal culucrul mecanic efectuat, se poate da urmtoarea definiie: potenialul cmpului electric generat de o sarcinpunctiform la distana r de aceasta este:

8/3/2019 Electro1 (1)

7/75

r

QV

1

4

. (1.20)

Generaliznd noiunea de potenial la cazul cmpului creat de o distribuie discret oarecare de nsarcini punctiforme, obinem:

n

i i

i

r

qV

14

1

. (1.21)

Unitatea de msur a potenialului electric n SI este voltul ( 1 V). Definiia potenialului electric:Potenialul electric este o mrime fizicscalaregalcu raportul dintre lucrul mecanic efectuat de cmpulelectric la deplasarea unui corp de probncrcat din acel punct la infiniti sarcina acelui corp.

Potenialul electric nu este o mrime univoc determinat, ea se exprim mereu n funcie de ovaloare de referin a potenialului unui punct particular ales, valoare care poate fi zero.

Diferena de potenial dintre dou puncte, egal cu lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa uncorp de probncrcat ntre cele doupuncte i sarcina corpului de probse numete tensiune electric.

q

LVVU ABBAAB . (1.22)

Tensiunea electric se msoar tot n V i este o mrime univoc determinat pentru dou puncte clardefinite ale unui cmp electric.

n cazul unui cmp electric uniform ( tconsE tan ) i fora electric ce acioneaz asupra corpuluipe distana d va fi constant, iar tensiunea electric va avea expresia:

dEq

dEq

q

dFU

. (1.23)

Generalizarea relaiei dintre intensitatea cmpului electric i potenialul su ne conduce laurmtoarea relaie:

PP

PsdEPVsdEPV

o0 , (1.24)

unde s-a notat cu sd vectorul deplasare infinitezimal, iar potenialul punctului de la infinit s-a consideratnul. Relaia de mai sus se poate exprima n felul urmtor:

Potenialul unui punct din cmpul electrostatic este egal cu integrala de linie a intensitii cmpuluielectric pe orice drum ntre un punct la infiniti punctul dat, luatcu semnul minus.

Capacitatea electrostatic

Fiind dat un conductor izolat i deprtat de alte corpuri, numim capacitate electric a conductoruluimrimea fizic egal cu raportul dintre sarcina a conductorului i potenialul su:Q

V

QC . (1.25)

Unitatea de msur n SI a capacitii electrice este faradul (1 F).

7

Un condensator electric este un ansamblu format din dou conductoare numite armturi, separatentre ele printr-un dielectric. Armturile sunt ncrcate cu sarcini electrice egale i de semn contrar

8/3/2019 Electro1 (1)

8/75

( ). Se numete capacitate electric a unui condensator mrimea fizic egal cu raportul dintresarcina a uneia dintre armturi i tensiunea electric dintre bornele acestuia.

21 qq q

U

q

VV

q

VV

qC

12

2

21

1 . (1.26)

Valoarea capacitii unui condensator cu dielectric liniar (permitivitatea independent de cmp)este pozitiv i independent de sarcin i de diferena de potenial, fiind o caracteristic a respectivuluicondensator.

Condensatoarele pot avea diferite forme, capacitile lor variind n funcie de dimensiuni i de naturadielectricului. Aceste capaciti se calculeaz cu ajutorul legii lui Gauss i a relaiei (1.24). In prezentul cursvom indica doar capacitile unor condensatoare mai des ntlnite:

- condensatorul plan paralel:

d

SC (1.27)

S - suprafata unei armaturi

e

q

- condensatorul cilindric:

ab

l

C ln

2

(1.28)

l

a

- condensatorul sferic:

8

a

ab

baC

4 (1.29)

8/3/2019 Electro1 (1)

9/75

Capacitatea echivalent a unei reele de condensatoare este capacitatea unui condensator care fiindsupus la aceeai tensiune ca i reeaua dat se ncarc cu aceeai sarcin electric. Cu alte cuvinte, nexteriorul sistemului nu se constat nici o schimbare la nlocuirea reelei cu condensatorul echivalent.

La legarea n serie a condensatoarelor capacitatea echivalent va fi:

n

i i

serie

CC

1

1

1

. (1.30)

La legarea n paralel capacitatea echivalent este:

n

iiparalel CC

1

. (1.31)

Demonstraia acestor formule ine cont de definiia capacitii i ea a fost fcut n liceu.

Energia electrostatic

La ncrcarea unui condensator, pentru aducerea sarcinilor electrice pe fiecare armtur estenecesar efectuarea unui lucru mecanic de ctre o surs de energie exterioar. Condensatorul ncrcatreprezint un sistem caracterizat printr-o energie W, egal cu lucrul mecanic necesar ncrcrii sale. Pentrudeterminarea energiei trebuie calculat lucrul mecanic necesar pentru deplasarea sarcinii Q de pe oarmtur pe alta, astfel nct diferena de potenial dintre armturi s creasc de la la U.

L0

Deoarece n timpul ncrcrii condensatorului, tensiunea dintre armturi nu este constant ci cretede la 0 la U, n expresia lucrului mecanic se introduce media aritmetic a tensiunii:

2

UUmediu . (1.32)

Atunci:

2

UQL . (1.33)

Aadar, energia electrostatic a unui condensator ncrcat este:

C

QUCUQW

22

21

21

21

. (1.34)

9

8/3/2019 Electro1 (1)

10/75

CAPITOLUL 2 ELECTROCINETICA

Conducia electric. Intensitatea curentului electric

Electrocinetica este acea ramur a electromagnetismului care se ocup cu studiul strilor electrice

ale conductoarelor parcurse de cureni electrici.Toate corpurile din natur permit acumularea de sarcini electrice, dar unele permit i deplasarea

acestora. n funcie de modul n care corpurile permit deplasarea sarcinilor electrice, acestea se mpart ndou mari categorii: conductoare i izolatoare.

Corpurile conductoare permit deplasarea n interiorul lor a electronilor, pe cnd corpurile izolatoarenu. Diferena dintre corpurile conductoare i izolatoare const n structura lor la nivel atomic, n modul ncare atomii care le compun se leag ntre ei. Dac electronii de valen (electronii de pe pturile exterioareale atomilor) pot fi uor disociai din structurile pe care le creeaz, deplasndu-se liber n interiorul corpului,acel corp devine un conductor. O consecin important a faptului c sarcinile electrice se pot deplasa princonductoare este acumularea lor numai la suprafaa acestora. Exemple de conductoare sunt: metalele,

soluiile electrolitice, gazele ionizate, etc.n cazul corpurilor izolatoare, numrul electronilor liberi capabili de deplasare este foarte mic,

practic zero. Exemple de corpuri izolatoare sunt: hrtia, sticla, ceramica, materialele plastice, gazele uscate,vidul.

Transportul continuu de sarcini electrice n lungul unui fir conductor constituie un curent electric.Cauza care provoac o asemenea deplasare de sarcini electrice este diferena de potenial dintre corpurile pecare le punem n contact prin intermediul conductorului. Ca urmare, sarcinile pozitive aflate n exces pecorpul cu potenial mai ridicat, se deplaseaz prin conductor spre corpul cu potenial sczut. Este importants observm c pentru a explica curgerea curentului electric dinspre corpul cu potenial mai ridicat ctre celcu potenial sczut se poate admite la fel de bine c sarcinile negative aflate n exces pe corpul cu potenialmai sczut se deplaseaz prin conductor spre corpul cu potenial ridicat. Sensul deplasrii sarcinilornegative este invers celui urmat de micarea sarcinilor pozitive. Mai mult, pentru a explica existena unuicurent electric este posibil s imaginm un proces combinat n care o parte din curent se datoreaz unuitransport de sarcini pozitive, iar cealalt parte rezult din deplasarea sarcinilor negative, deplasrile avndloc simultan.

Pentru a sublinia faptul c oricum ne-am reprezenta suportul fizic al curentului electric consecinelefenomenologice sunt aceleai, se admite prin convenie c: Orice curent electric este rezultatul deplasriiunei sarcini pozitive dinspre un corp aflat la un potenial ridicat spre altul aflat la un potenial mai sczut.

Din punct de vedere cantitativ, caracterizarea transportului n interiorul conductoarelor electrice seface cu ajutorul unei mrimi fizice numit intensitate a curentului electric. Pentru conductoare liniare,intensitatea curentului se definete ca fiind sarcina electric ce traverseaz o seciune normal aconductorului n unitatea de timp:

dt

dqI . (2.1)

Unitatea de msur n SI a curentului electric este Amperul (s

CA

11

1 ).

Printr-un conductor se menine un curent electric att timp ct la capetele conductorului existpoteniale diferite. Acest lucru se realizeaz de obicei prin legarea conductorului la o surs de tensiune.

10

8/3/2019 Electro1 (1)

11/75

Curentul electric se numete curent continuu dac el este constant n timp ( consttI ), condiie ce esterealizat atunci cnd tensiunea la capetele conductorului este constant.

Legea lui Ohm

Este cunoscut faptul c ntr-o gam foarte larg de conductori i n limite largi de temperatur,intensitatea curentului satisface legea experimental a lui Ohm:

UR

UGI 1

, (2.2)

unde constanta de proporionalitate este conductana electric a segmentului de conductor considerat, iarG

GR

1 este rezistena electric a sa. U este diferena de potenial de la capetele respectivului capt de

conductor. Aceast lege a fost dedus experimental de Georg Simon Ohm.

Pe baza legii lui Ohm se deduce c unitatea de msur n SI a rezistenei electrice este o mrime

derivat:

A

VR SI 11 . (2.3)

Aceasta nseamn c un ohm este rezistena electric a unui conductor liniar care este strbtut de uncurent de un amper atunci cnd la capetele sale se afl o diferen de potenial de un volt.

Rezistena i conductana conductorilor sunt mrimi fizice care depind att de natura conductoruluict i de caracteristicile geometrice ale acestuia. Mai exact, rezistena electric a unui segment de conductorcu lungimea li seciunea este direct proporional cu lungimea i invers proporional cu seciunea:s

s

l

s

lR

1

. (2.4)

Constanta de proporionalitate este numitrezistivitate electricsau rezisten specifici este omrime fizic ce depinde numai de natura conductorului i de starea fizic a acestuia (temperatur, puritate,etc.). Unitatea de msur n SI pentru rezistivitatea electric este mSI 1 , unitate ce se deduce cuuurin din relaia (2.4). Mrimea reciproc, este conductivitatea electric i se msoar n SI n

. Siemensm 11

Scris sub forma ecuaiei (2.3), legea lui Ohm descrie comportarea global sau integral a curentuluielectric n conductorii liniari. Forma local sau diferenial a legii lui Ohm exprim relaia ce exist ntredensitatea de curent j n fiecare punct din conductori intensitatea cmpului electric n punctul respectiv.

Densitatea de curent se poate exprima n modul ca fiind:

s

Ij . (2.5)

Conform relaiei (1.22) legtura dintre tensiune i cmpul electric pentru cazul unui cmp uniformparalel cu axul conductorului de lungime l este:

lEU . (2.6)

Combinnd ecuaiile de mai sus se obine:

11

8/3/2019 Electro1 (1)

12/75

EEl

lE

sR

U

s

Ij

1. (2.7)

Aceasta este legea lui Ohm n form local sau diferenial i ea leag densitatea de curent iintensitatea cmpului electric definite n acelai punct al conductorului. Pentru a da o exprimare mai,general, vectorial, se poate scrie:

Ej . (2.8)

Pn n acest punct al expunerii legii lui Ohm, s-a prezentat legea lui Ohm pentru un circuit omogen,adic pentru un circuit n care, n afara tensiunii de la bornele circuitului, conductorului, nu exist alte sursede energie electric. Exist ns i circuite neomogene, n componena crora intr i asemenea surse deenergie, aa cum este prezentat n exemplul din figura 2.1.

Figura 2.1.: Exemplu de circuit electric neomogen

Legea lui Ohm n form integral pentru circuitul dat ca exemplu n figura 2.1 se scrie n felulurmtor:

321321

321

rrrRRR

EEEVVI BA

, (2.9)

unde s-au notat cu i potenialele de la extremitile circuitului liniar, cu tensiunea

electromotoare debitat de sursa k, cu rezistena segmentului pasiv de circuit k, iar cu rezistenaintern sursei de tensiune k.

AV BV kE

krkR

Legea lui Ohm este o lege de baz a electromagnetismului, a crei cunoatere este absolut necesarpentru rezolvarea majoritii problemelor teoretice sau practice.

Rezistene echivalente serie, paralel, transformri triunghi stea

Un rezistor echivalent al unei grupri de rezistoare este acel rezistor care supus aceleiai tensiuni la

borne ca gruparea considerat las s treac acelai curent, nlocuirea gruprii cu rezistorul echivalent ne-influennd cu nimic comportarea restului circuitului.

n cazul grupriiserie vom dovedi c rezistena echivalent este egal cu suma rezistenelor legate nserie. Pentru aceasta considerm un circuit format din 3 rezistoare legate n serie, ilustrat n figura 2.2. Vomaplica legea lui Ohm pentru a exprima tensiunea de la borne n funcie de curentul din circuit, identic printoate rezistoarele:

321321 RRRIRIRIRIVVVVVVVVU BDDCCABAAB . (2.10)

12

8/3/2019 Electro1 (1)

13/75

Figura 2.2.: Grupare serie de rezistoare

Pentru cazul general a rezistoare legate n paralel rezistena echivalent se poate exprima prin:n

n

kkserie RR

1

. (2.11)

In cazul gruprii paralel de rezistene, tensiunea de la bornele fiecrei rezistene este aceeai,capetele fiecrui rezistor fiind legate n acelai punct, aa cum indic figura 2.3. In acest caz calcululrezistenei echivalente se realizeaz prin urmtoarele ecuaii.

R2

A

R1

R3

B

I3

I2

I1

I

Figura 2.3.: Grupare paralel de rezistoare

n conformitate cu legea conservrii sarcinii, sarcinile care circul n unitatea de timp prin curentulIse vor mpri prin ramurile paralele ale circuitului, astfel nct:

321

321321 IIIdt

dq

dt

dq

dt

dq

dt

qqqd

dt

dqI

. (2.12)

321 R

U

R

U

R

U

R

U ABABAB

e

AB . (2.13)

321

1111RRRRe

. (2.14)

Astfel am obinut relaia care exprim rezistena echivalent a unei grupri paralel de rezistoare. ncazul general a rezistoare conectate n paralel, relaia este:n

n

k k

PARALEL

R

R

1

11

. (2.15)

O reea oarecare pasiv de rezistoare se poate echivala cu un rezistor echivalent prin echivalrisuccesive ale gruprilor paralel i seriem pornind de la celule mai mici ctre echivalarea n final a ntreguluicircuit. Exist, ns, reele care nu permit un calcul al rezistenei echivalente doar prin aceste celule paralel

13

8/3/2019 Electro1 (1)

14/75

i serie. n asemenea cazuri este recomandabil utilizarea unei echivalri triunghi stea, adic a doucircuite, una sub form de stea, alta sub form de triunghi care sunt echivalente (adic pot fi nlocuite una cualta ntr-un circuit mai mare, fr s influeneze cu ceva funcionarea respectivului circuit) atunci cnd ntrelaturile stelei i a triunghiului exist anumite relaii bine definite.

Figura 2.4 prezint cele dou circuite stea i triunghi, iar ecuaiile 2.16 i 2.17 exprim relaiile ceexist ntre laturile acestora.

R2

R1

R3

A

O

CB B

A

C

R12R31

R23

Figura 2.4.: Circuite stea i triunghi echivalente

312312

31233

312312

23122

312312

31121

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

(2.16)

2

131331

1

322223

3

212112

R

RRRRR

R

RRRRR

R

RRRRR

. (2.17)

Surse de tensiune ideale i reale. Gruparea surselor de tensiune.

O surs de tensiune este un dispozitiv capabil s menin la borne o diferen de potenial constantn timp. Sursa se consider ideal atunci cnd tensiunea de la bornele sursei este independent de rezistenade sarcin ce se conecteaz la bornele sale. Caracteristica extern a unei surse de alimentare n curentcontinuu reprezint dependena tensiunii de la bornele sursei de intensitatea curentului electric absorbit deun consumator extern conectat la surs. Aceast caracteristic pentru o surs ideal de tensiune ar fi odreapt paralel cu axa tensiunilor, tensiunea la bornele sursei rmnnd constant.

14

8/3/2019 Electro1 (1)

15/75

8/3/2019 Electro1 (1)

16/75

n

kkI

1

0 . (2.20)

Aceast teorem este o consecina direct a conservrii sarcinii electrice totale ntr-un sistem izolatdin punct de vedere electric. Pentru un circuit cu noduri numrul ecuaiilor independente ce se pot scriecu prima teorem a lui Kirchhoff este .

n1n

A doua teorem a lui Kirchhoff

Pe orice bucl (ochi) al unui circuit electric, suma algebric a tensiunilor electromotoare este egalcu suma algebric a cderilor de tensiune pe elementele pasive (rezistive). Suma algebricine cont de unsens de parcurgere ales pentru respectiva bucl i atribuie semnul + oricrei tensiuni electromotoare saucderi de tensiune ce are acelai sens cu sensul de parcurgere ales i semnultensiunilor electromotoare icderilor de tensiune ce au sens contrar.

s

j

n

kkkj IRE

1 1

. (2.21)

Intr-un circuit cu noduri i laturi, teorema a doua a lui Kirchhoff permite scrierea an l 1 nl ecuaii independente.

Observm c cele dou teoreme a lui Kirchhoff permit scrierea a unui numr total deecuaii pentru un circuit cu l laturi, adic exact attea ecuaii cte intensiti ale

curenilor exist n circuit. Astfel un circuit electric se poate rezolva (se pot determina curenii din laturidac se cunosc tensiunile electromotoare i rezistenele din circuit) prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff.Alte metode de rezolvare a circuitelor electrice sunt metoda curenilor ciclici, metoda potenialelor lanoduri, metoda generatorului echivalent, etc.

lnnl 11

Energia i puterea electric

Experimental s-a constatat c la trecerea curentului electric printr-un rezistor, se dezvolt o cantitatede cldur egal cu:

tIRQ 2 . (2.22)

Acest fenomen numit efect termic al curentului electric, are urmtoarea explicaie fenomenologic:electronii n micarea lor dirijat realizeaz ciocniri succesive cu suportul masic al conductorului, ciocniri ncursul crora ei cedeaz din energia cinetic acumulat n timpul cursei libere o cantitate care va contribui laamplificarea micrii termice moleculare, deci la creterea temperaturii conductorului.

Aceast cldur degajat este, de fapt, energia consumat de respectivul rezistorR i transformatn energie termic, cci n virtutea conservrii energiei ceea ce se degaj, este consumat de undeva, adic, n

acest caz de la sursele de energie electric din sistem, din circuit.Desigur, n funcie de natura unui receptor electric, energia electric poate fi transformati n alte

forme de energie (mecanic, luminoas, etc.).

Puterea este o mrime fizic scalar ce exprim viteza de variaie a energiei n timp:

dt

dWP . (2.23)

16

8/3/2019 Electro1 (1)

17/75

In cazul n care un sistem dezvolt energie continuu i uniform ceea ce nseamn c energiarespectiv va fi direct proporional cu timpul, puterea se va putea exprima ca raportul dintre energia

dezvoltati timp,t

WP .

Puterea dezvoltat de un sistem oarecare reprezint capacitatea sistemului de a produce o anumitenergie n unitatea de timp. Dou sisteme productoare de energie electric se deosebesc prin puterea pecare o au, adic prin capacitatea lor de a produce energie n unitatea de timp (sau ntr-un interval de timpanume).

Fenomenele energetice ce au loc n circuitele electrice se produc respectndu-se principiul general alconservrii energiei. Astfel, particulariznd teorema general a conservrii energiei la cazul unui circuitelectric izolat, putem afirma:

ntr-un circuit electric izolat din punct de vedere electric energia produsde totalitatea suselor detensiune este egalcu energia consumatde elementele pasive ale circuitului.

OUTIN WW . (2.24)

Energiile produse de surse sunt pozitive n cazul n care sensul curentului prin latura ce conine sursaeste acelai cu sensul n care sursa debiteazi ele sunt negative n caz contrar (cnd sursa funcioneaz, defapt, n regim de consumator). Energiile consumate sunt ntotdeauna pozitive.

Scriind acest bilan energetic pentru unitatea de timp, adic mprind ecuaia 2.24 la intervalul detimp, obinem bilanul puterilorntr-un circuit electric:

2IRIE . (2.25)

Acest bilan energetic constituie o puternic modalitate de verificare a rezultatelor unei probleme derezolvare a circuitelor.

Transportul energiei electrice n curent continuu

Se consider o linie de transport a energiei electrice n curent continuu de la o surs ctre unconsumator caracterizat de rezistena R . Linia este alctuit din dou conductoare confecionate dintr-unmaterial avnd rezistivitatea i seciunea transversal . Distana de la surs la consumator este l. Fie

i tensiunile la bornele de intrare i de ieire ale liniei (figura 2.5).

S

1U 2U

Rezistena total a liniei este:

S

lRl 2 . (2.26)

Cderea de tensiune pe linia de transport:

21 UUU . (2.27)

17

8/3/2019 Electro1 (1)

18/75

R

l

U2

U/2

I

U/2

U1

Figura 2.5.: Transportul energiei electrice n curent continuu

Intensitatea curentului prin circuit este:

R

U

RR

UI

l

21

, (2.28)

de unde obinem pentru cderea de tensiune pe linie:

IRU l . (2.29)

Pierderea de putere din linie se calculeaz n mod similar:2

2121 IRIUIUIUPPP l . (2.30)

Randamentul liniei de transport este:

111

1

22

2

1

2 1U

U

U

UU

U

U

RR

R

IRR

IR

P

P

ll

. (2.31)

Observm din ecuaia (2.31) c pentru un randament ct mai bun al transportului energiei electrice,tensiunea trebuie s aib o valoare ct mai mare.1U

18

8/3/2019 Electro1 (1)

19/75

Transferul maxim de putere

Se consider un circuit simplu de curent continuu alctuit dintr-o surs de tensiune electromotoareEi rezisten intern ri un consumator de rezistenR (figura 2.6) i se pune problema determinriivalorii rezistenei R pentru care puterea primit de aceasta este maxim.

19

RE, r

Figura 2.6.: Circuit electric simplu format dintr-o surs de tensiune i un rezistor

Puterea consumat n acest consumator este:

2

22 E

rR

RIRPR

. (2.32)

O funcie are un maxim local acolo unde derivata funciei se anuleaz:

3

24

22 2

rR

RrE

rR

rRRrRE

dR

dPR

. (2.33)

0dR

dPR . (2.34)rR

Aadar, puterea consumat de rezistor este maxim atunci cnd valoarea ei este egal cu rezistenaintern a sursei. n acest caz, puterea consumat n rezistor:

r

EPR 4

2

, (2.35)

iar randamentul cu care funcioneaz n acest caz circuitul este:

5,0

rR

R

P

P

sursa

R . (2.36)

8/3/2019 Electro1 (1)

20/75

CAPITOLUL 3 ELECTROMAGNETISMUL

Fora electromagnetici momentul electromagnetic

Se numete fora electromagnetic fora la care este supus un conductor parcurs de curent electric n

prezena unui cmp magnetic exterior. Aceast for este perpendicular pe cele dou direcii aleconductorului i ale cmpului magnetic, iar sensul su este dat de regula burghiului drept.

n cazul n care conductorul este rectiliniu de lungime l iar cmpul magnetic este omogen, foraelectromagnetic are expresia:

sin lIBF . (3.1)

Mrimea B care intervine n expresia forei electromagnetice caracterizeaz cmpul magnetic ncare se gsete conductorul i se numete inducie magnetic. Unitatea ei de msur n SI este 1 Tesla (1 T).Inducia magnetic este o mrime vectorial a crei direcie este tangent n orice punct la sensul liniilor decmp magnetic. ntr-un cmp magnetic omogen, inducia magnetic are acelai modul, direcie i sens norice punct al cmpului. Inducia magnetic ntr-un punct oarecare din spaiul de influen al unui cmp

magnetic produs de un curent electric depinde de:- intensitatea curentului care produce cmpul;

- natura mediului n care este situat circuitul (prin permeabilitatea sa magnetic);

- forma circuitului;

- poziia punctului respectiv.

Dac se noteaz cu lI vectorul al crui modul este egal cu produsul dintre lungimea conductoruluii intensitatea curentului, are direcia conductorului i sensul curentului, fora electromagnetic se poateexprima ca fiind un produs vectorial:

BlIF . (3.2)

Fora Lorentz este fora electromagnetic ce se exercit asupra unui electron (de sarcin ) ce sedeplaseaz cu viteza medie prin seciunea transversal a conductorului de lungime l. Dac nlocuim

n expresia forei electromagnetice (3.2) curentul electric cu expresia fluxului a electroni ce se deplaseazprin seciunea transversal ,

e

mv

S I

S

n

mvSen , obinem expresia forei Lorentz:

Bve

n

BvlSen

n

Ff m

m

. (3.3)

innd cont c asupra unui purttor de sarcin electric aflat ntr-o zon n care exist i cmp

electric, acioneaz i o for electric, fora Lorentz ce exprim aciunea cmpurilor electric i magneticasupra unei sarcini electrice este:

BvEqF . (3.4)

Aciunea cmpului electromagnetic asupra unei bucle prin care trece un curent electric are ca efectapariia unui moment de rotaie. Momentul depinde de forma buclei i de orientarea acesteia fa de cmpulmagnetic. Din nsi definiia forei electromagnetice (3.2) se observ c acele laturi ale buclei a crordirecie este paralel cu cea a cmpului magnetic, nu dau nici o for electromagnetic, iar n cazul unei bucle dreptunghiulare, forele electromagnetice ce acioneaz asupra laturilor neparalele cu cmpul

20

8/3/2019 Electro1 (1)

21/75

magnetic sunt egale n modul i opuse ca i sens. Avem atunci de a face cu un cuplu de fore care va tinde srsuceasc bucla parcurs de curent n jurul axei sale perpendiculare pe cmpul magnetic.

Momentul cuplului electromagnetic ce acioneaz din partea unui cmp magnetic asupra unei bucledreptunghiulare de dimensiunile este:lL

sinsinsin2

2 BmBlLIl

FM em (3.5)

In ecuaia (3.5), este unghiul dintre B i normala la planul buclei parcurse de curent, iar cus-a notat momentul dipolar al circuitului. Pentru bucle de circuit de alt form dect

dreptunghiular, acest moment dipolar are alt expresie, dar legtura dintre inducia cmpului magnetic imomentul electromagnetic rmne valabil. Momentul dipolar al unui circuit se poate defini i vectorial cafiind un vector perpendicular pe planul circuitului, cu sensul dat de regula burghiului sensul de avans alunui burghiu drept care se rotete n sensul curentului din circuit. n acest caz, putem scrie pentru momentulcuplului electromagnetic:

lLIm

BmM . (3.6)

Legea Biot-Savart i formula lui Laplace

Se consider un conductor rectiliniu, infinit de lung, prin care i manifest prezena un curentconstant de intensitate Ii un punct Moarecare, situat la distana r de conductor.Bioti Savartau stabilitpe cale experimental c inducia magnetic produs de curentul din conductor n punctul considerat este:

r

IB

2

, (3.7)

unde permeabilitatea magnetic caracterizeaz proprietile magnetice ale mediului i are n SI unitatea

de msur

m

H. Permeabilitatea magnetic a vidului este o constant universali are valoarea:

mH7

0 104 . (3.8)

Raportul dintre permeabilitatea magnetic a unui mediu oarecare i permeabilitatea magnetic avidului este o mrime adimensional numit permeabilitate magnetic relativ:

0

r . (3.9)

Inducia magnetic este tangent la linia de cmp ce trece prin punctul M i are sensul acesteia.

Liniile de cmp magnetic produse de curentul printr-un conductor infinit de lung sunt cercuri concentrice,cu centrele pe axa conductorului i situate n plane perpendiculare pe conductor. Sensul liniilor de cmp estedat de regula burghiului drept. Observm aici c : spre deosebire de liniile de cmp electric ce pleacde pesarcinile pozitive electricei se terminpe sarcinile negative, liniile de cmp magnetic sunt curbe nchise,ce nu au nceputi sfrit. Acest lucru a condus pe muli fizicieni s considere c nu exist o particulelementarresponsabilde interaciunea magnetic.

Plecnd de la relaia experimental stabilit de Biot i Savart, Laplace a obinut pe cale analiticexpresia induciei magnetice produse de un element al unui circuit conductor de form oarecaredl C , n

21

8/3/2019 Electro1 (1)

22/75

care i manifest prezena un curent electric de intensitate I, ntr-un punct M situat la distana r deelementul de circuit considerat, ntr-o direcie ce face cu elementul de circuit un unghidl :

22

(C)

dB

Figura 3.1.

sin2 4

r

dlIdB . (3.10)M

rdl

I

Direcia vectorului Bd este tangent la linia de cmp ce trece prin punctul Mi are sensul acesteia.Vectorial se poate scrie pentru inducia magnetic elementar:

34 rrdlIdB

. (3.11)

Inducia total n punctul considerat se obine nsumnd induciile elementare produse de fiecareelement de curb a circuitului:

C

dBB . (3.12)

Aceast formul a lui Laplace permite calculul induciei magnetice produse de un circuit de formoarecare n orice punct al spaiului.

Intensitatea cmpului magnetic

Din expresia (3.7) a legii Biot Savart se observ c acelai curent electric ce parcurge un acelaiconductor infinit de lung produce cmpuri magnetice diferite n funcie de mediul n care se aflconductorul. Termenul comun al acestor inducii magnetice se numete intensitate a cmpului magnetic,este o mrime vectorial independent de mediu, dependent numai de intensitatea curentului electric cegenereaz cmpul magnetic, de forma i dimensiunile circuitului i de poziia circuitului considerat. Pentrucmpul magnetic produs de un conductor infinit de lung prin care i manifest prezena un curent constantde intensitate Ii un punct Moarecare, situat la distana r de conductor, intensitatea cmpului magnetic

are valoarea: mAr

IH

2. (3.13)

Direcia i sensul intensitii cmpului magnetic sunt aceleai ca cele ale induciei magnetice. Relaiadintre aceste dou mrimi este ntotdeauna:

HB . (3.14)

8/3/2019 Electro1 (1)

23/75

In mediile neferomagnetice dependena dintre B i H este liniar iar permeabilitatea magneticconstant. n mediile feromagnetice dependena dintre B i H este neliniar i este dat de curba dehysterezis a materialului respectiv. Pe aceast curb de hysterezis (fig. 3.2.) se disting urmtoarele poriuni:

- poriunea OM, practic liniar, n care permeabilitatea magnetic este aproximativ constant;

- poriunea MN, numiti cotul curbei, n care apare o dependen neliniar ntre B i H;

-

poriunea NP sau zona de saturaie, n care unor creteri mari ale intensitii cmpului magneticcorespund variaii mici ale induciei magnetice, n aceast zon scznd cu creterea lui H.

23

Figura 3.2.: Curba de hysterezis pentru materiale feromagnetice

Legea circuitului magnetic (teorema lui Ampre)

Fie conductoare oarecare n care i manifest prezena cureni de intensitile i o

curb nchis care nconjoar aceste conductoare. Se numete curent total sau solenaie suma algebrica intensitilor tuturor curenilor care strbat suprafaa delimitat de curba

n NIII ,,, 21

C C .

n

kkt II

1

. (3.15)

Semnul cu care intervin curenii n sum depinde de sensul de parcurgere a conturului, n funcie decare se determin cu regula burghiului drept sensul pozitiv al normalei la suprafaa delimitat de C .Curenii sunt pozitivi n sum dac au acelai sens cu normala i negativi n caz contrar. De exemplu, pentrufigura 3.3 solenaia este:

I1

(C)

n I2

I3I4 I5

Htdl

H

54321 IIIIIIt (3.16)

Figura 3.3.

N

M

O H

8/3/2019 Electro1 (1)

24/75

Fiecare din cei n cureni produce un cmp magnetic. Aceste cmpuri se compun n fiecare punct dinspaiul lor de influen, dnd natere unui cmp magnetic rezultant. Se considerMun punct oarecare de pecurba i un element de lungime de pe curb n jurul acestui punct. Intensitatea cmpului magnetic C dl

H formeaz cu direcia elementului de curb un unghi notat cu , iar componenta pe direcia elementuluide curb a acestei intensiti are valoarea:

cosHHt . (3.17)

Conform legii circuitului magnetic, suma algebric a produselor dintre componentele

tangeniale ale intensitii cmpului magnetic i elementele de lungime corespunztoare din componenaunui contur nchis este egalcu solenaia sau curentul total ce strbate suprafaa delimitatde respectivul

contur. Produsele sunt pozitive dac vectorii

dlHt

dlHt tH i dl au acelai sens i sunt negative n caz

contrar.

tt IdlH sau tC

IdlH)(

. (3.18)

Legea circuitului magnetic permite calculul intensitii cmpului magnetic i a induciei magneticen orice punct din spaiul de influen al unui cmp magnetic, att n interiorul ct i n exteriorul

conductoarelor.

Produsele dlH se numesc cderi de tensiune magnetic pe poriunile respective ale circuitului.Solenaia mai poate i numele de tensiune magnetomotoare.

O aplicaie foarte simpl a legii circuitului magnetic: calculul intensitii cmpului magnetic prininteriorul unui miez toroidal pe care este bobinat un conductor parcurs de un curent electric I, bobinajulavnd spire, iar miezul toroidal avnd razaN R .

R

N

I

Figura 3.4.

R

INHINRH

22 .

Inductana proprie a unui circuit

Fie un circuit oarecare n care i manifest prezena un curent electric de intensitate I. Curentulproduce un cmp magnetic ale crui linii de cmp sunt cercuri concentrice cu centrul pe axul conductorului,perpendiculare n orice punct al conductorului pe axul su. Sensul liniilor de cmp se determin cu regulaburghiului drept.

Fluxul magnetic printr-o suprafa oarecare reprezint numrul liniilor de cmp care strbatperpendicular suprafaa respectivi el este o mrime fizic scalar definit prin relaia:

24

8/3/2019 Electro1 (1)

25/75

SBm . (3.19)

Unitatea sa de msur n SI este un Weber (1 Wb).

Fluxul magnetic propriu al circuitului C reprezint totalitatea liniilor de cmp magnetic produse decurentul din acel circuit, care strbat suprafaa delimitat de C . Acest flux magnetic se poate exprima isub forma:

ILm , (3.20)

unde se numete inductivitate sau inductan proprie a circuituluiL C i depinde de forma idimensiunile circuitului i de natura mediului n care se gsete circuitul.

Inductana proprie a unui circuit este o constant a circuitului atunci cnd acesta este nedeformabil ise gsete ntr-un mediu neferomagnetic sau ntr-un mediu feromagnetic dar departe de zona de saturaie adependenei . n SI inductana se msoar nHenri (1 H). HBB

n cazul n care circuitul este alctuit din mai multe spire nseriate, se definete fluxul total ca sumafluxurilor care strbat toate spirele circuitului:

km. (3.21)

Dac spirele sunt identice, jkjk ,, i fluxul total va fi:

Nm , (3.22)

iar inductana proprie a circuitului capt expresia:

I

NL

. (3.23)

Inductana mutual dintre dou circuite

Fie dou circuite oarecare n care i manifest prezena cureni de intensitate i, respectiv, .

Curentul produce un cmp magnetic i o parte din liniile de cmp ale acestuia strbat suprafaa mrginitde circuitul al doilea. Totalitatea liniilor de cmp produse de circuitul 1i care strbat mrginit de circuitul2 dau un flux magnetic (primul indice corespunde circuitului surs, iar al doilea suprafeei traversate).Este evident c acest flux va fi proporional cu intensitatea curentului electric ce l genereaz:

1I 2I

1I

12

11212 IM , (3.24)

unde factorul de proporionalitate se numete inductana mutual a circuitului 1 fa de circuitul 2 i se

definete prin relaia:

1

1212 I

M

. (3.25)

Dac cele dou circuite sunt nedeformabile, i pstreaz poziia relativ una fa de cealalti segsesc ntr-un mediu neferomagnetic sau ntr-un mediu feromagnetic dar departe de zona de saturaie adependenei , este o constant. n caz contrar depinde de . HBB 12M 12M 1I

n SI inductana mutual se msoar nHenri (1 H).

30

8/3/2019 Electro1 (1)

26/75

n mod analog, inductana mutual a circuitului 2 fa de circuitul 1i se definete prin relaia:

2

2121 I

M

. (3.26)

Se poate demonstra c cele dou inductane mutuale sunt egale ntre ele.

Legea induciei electromagnetice

Fenomenul induciei electromagnetice a fost descoperit de Faraday n 1831 pe cale experimental: ela deplasat un circuit conductor nchis fa de un magnet permanent i a constatat apariia unui curent electricn respectivul circuit atta timp ct avea loc micarea relativ a circuitului fa de cmpul magnetic.Schimbnd sensul de deplasare, se schimba i sensul curentului. Aceleai fenomene au aprut i n cazuldeplasrii magnetului fa de circuitul meninut fix.

Cauza apariiei tensiunii electromotoare (t.e.m.) n circuit i deci a curentului electric o constituievariaia n timp a fluxului magnetic care traverseaz suprafaa delimitat de circuit. Aceast t.e.m. a fostdenumit t.e.m. indus, iar fenomenul inducie electromagnetic. Concluzia experimental a fost c t.e.m.indus este proporional cu viteza de variaie n timp a fluxului magnetic prin suprafaa delimitat decircuit:

dt

dke m

. (3.27)

Factorul de proporionalitate are valoarea -1i se determin conformprincipiului lui Lentz, ce derivdin principiul general al aciunii i reaciunii: orice efect al unui fenomen se opune cauzei care l-a produs,pnla stabilirea unui echilibru.

Aplicat circuitelor electrice, principiul lui Lentz se enun astfel: Sensul t.e.m. ntr-un circuit esteastfel nct curentul pe care l genereaz n cazul n care circuitul este nchis se opune (prin cmpul

magnetic generat de acest curent) modului de variaie al fluxului magnetic inductor. Dac fluxul inductorcrete, sensul liniilor cmpului indus va fi opus sensului liniilor de cmp inductor. Dac fluxul inductordescrete, cmpul indus va avea acelai sens cu acesta.

innd seama i de principiul lui Lentz, se poate scrie forma final a legii inducieielectromagnetice:

dt

de m

. (3.28)

Se definete i tensiunea electromotoare autoindus ca fiind acea tensiune electromotoare de induciece apare ca urmare a variaiei fluxului magnetic propriu al circuitului (adic al intensitii curentului chiarprin acel circuit).

dt

dIL

dt

de mL

. (3.29)

31

8/3/2019 Electro1 (1)

27/75

Justificarea energetic a legii induciei electromagnetice

Se consider dou bare metalice paralele, bine lefuite, pe care poate aluneca fr frecare unconductor rectiliniu, perpendicular pe cele dou bare (fig. 3.5.). Conductorul este conectat la o surs deenergie electric avnd tensiunea electromotoare E, iar rezistena total a circuitului R . Atunci, conformlegii lui Ohm, intensitatea curentului prin circuit are valoarea:

REI 0 . (3.30)

32

Figura 3.5.: Conductor deplasat n cmp magnetic

Se introduce sistemul ntr-un cmp magnetic omogen de inducie B perpendicular pe planul celordou bare. Asupra conductorului se va exercita atunci o for electromagnetic ce are modulul:

lIBF . (3.31)

Fora este perpendicular pe liniile de cmp i pe conductor, iar sensul ei este dat de regula miniistngi (fiind cel indicat n figura 3.5.). Sub aciunea acestei fore conductorul se va deplasa. Fiedeplasarea conductorului n timpul . Energia debitat de sursa de tensiune va trebui s acopere energiaconsumat prin efect Joule i energia mecanic necesar deplasrii conductorului. Ecuaia de bilanenergetic, scris n energii i apoi n puteri este:

dxdt

mJs dWdWdW mJs PPP . (3.32)

Cele trei puteri, puterea debitat de surs, puterea consumat prin efect Joule i puterea mecanicnecesar deplasrii conductorului au expresiile:

dt

dxlIBvFP

IRPIEP

mm

J

s2 . (3.33)

nlocuind n (3.31) i simplificnd cu I, obinem:

dt

dIR

dt

dsBIR

dtdx

lBIRE m

, (3.34)

BE

R

F

dx

l

8/3/2019 Electro1 (1)

28/75

unde este suprafaa descris de conductor n micarea sa iarldxds dsBd m este fluxul magnetic

prin suprafaa descris de conductor.

Curentul prin circuit are expresia:

Rdt

dE

I

m , (3.35)

unde termenuldt

de m

are dimensiunile unei tensiuni i se numete tensiune electromotoare de inducie.

Observm c t.e.m. de inducie are sens contrar tensiunii electromotoare E cnd fluxul magnetic inductorcrete i are acelai sens cu E cnd fluxul magnetic scade.

Se poate considera problema i invers: acelai sistem ca cel figurat n figura 3.5. doar c n acest cazconductorul este deplasat cu ajutorul unei fore exterioare, iar sursa E este pasivizat, rmnnd n locul eidoar un circuit electric nchis cu rezistena totalR . n virtutea faptului c lucrul mecanic executat de fora

exterioar pentru deplasarea cu vitez constantdt

dxv a conductorului trebuie s se regseasc n energia

electric consumat prin efect Joule n circuit, obinem:

JmJm PPWW 2IR

dt

dxF . (3.36)

Pentru ca viteza de deplasare s fie constant, va trebui ca fora exterioar s fie egal cu foreelectromagnetici putem scrie:

dt

deIR

dt

dsBIR

dt

dxlIB m

2 . (3.37)

33

8/3/2019 Electro1 (1)

29/75

CAPITOLUL 4 CURENTUL ALTERNATIV MONOFAZAT

Funcii periodice, alternative i sinusoidale

Semnalele electrice la modul cel mai general sunt variabile n timp dup o funcie oarecare tf . n

cazul n care valorile funciei se repet dup un interval de timp T, numit perioad, acea funcie se numeteperiodic:

nTntfTtftf ,... . (4.1)

Numrul de perioade din unitatea de timp se numete frecveni se msoar n SI nHertz (Hz).

Tf

1 . (4.2)

O funcie periodic este alternativ dac valorile ei se repet cu semn schimbat dup fiecaresemiperioad:

2Ttftf . (4.3)

Un caz i mai particular de funcie periodic, alternativ este funcia sinusoidal, care estentotdeauna de forma:

0max sin tYy , (4.4)

unde s-a notat cu:

- y valoarea variabil n timp a mrimii alternative sinusoidale, valoare ce se numete valoareinstantanee i indic la fiecare moment de timp ce valoare are semnalul respectiv;

-

maxY amplitudinea semnalului sinusoidal;

-T

f

2

2 pulsaia funciei sinusoidale;

- 0 faza iniial a funciei.

O mrime sinusoidal se poate reprezenta fie n funcie de timp fie n funcie de produsul dintrepulsaie i timp. Dou mrimi sinusoidale sunt n faz dac trec simultan prin 0 i prin valorile maxime,respectiv minime. O funcie sinusoidal este defazat naintea alteia dac trece prin 0 i prin valorilemaxime, respectiv minime naintea ei i este defazat n urm n caz contrar.

Diferena dintre fazele a dou mrimi sinusoidale se numete defazaj:

02010201 tt . (4.5)

Dac defazajul este nul se spune c mrimile sunt n faz, dac este egal cu se spune c sunt nopoziie de faz.

O funcie sinusoidal de timp, de frecvena dat, este complet caracterizat de dou valori scalare:amplitudinea sau valoarea efectivi faza iniial. Prin definiie valoarea efectiva unei mrimi sinusoidalede curent alternativ este valoarea echivalent e unei mrimi de curent continuu care manifestndu-iprezena prin acelai rezistor ca i curentul alternativ dat produce aceeai cantitate de cldur n unitateade timp. Valoarea efectiv se noteaz prin litera mare corespondent simbolului mrimii sinusoidale

34

8/3/2019 Electro1 (1)

30/75

respective.Este de subliniati de reinut c valoarea efectiv este cea indicat de aparatele de msur ncurent alternativ, c legile electrotehnicii se verific doar n valori instantanee, nu i n valori efective.

Conform definiiei de mai sus putem scrie ecuaiile pentru intervalul de timp de o perioad a semnalului decurent alternativ:

TIRt

tIR

dttIRtIRdttiRQ

TIRQ

QQ

T

TTTca

cc

ccca

2max

0

2max

0

2max0

22max0

2

2

2

1

2

2sin

2

1

22cos1sin

. (4.6)

Din ecuaiile (4.6) se deduce valoarea efectiv a unei mrimi alternative sinusoidale (fie c estevorba de un curent sau de o tensiune):

2maxYY . (4.7)

Avnd n vedere faptul c mrimea sinusoidal de curent alternativ tYty sin2 esteunivoc determinat, la o frecvena dat de valoarea efectivi de faza iniial, acesteia i se poate asocia unvector liber caracterizat de un modul egal cu valoarea efectivi de un unghi n sens trigonometric fa de odirecie aleas de referin egal cu faza iniial. Drept exemplu, n figura 4.1 sunt reprezentate fazorial doumrimi sinusoidale:

3100sin210

6100sin25

2

1

tty

tty

. (4.8)

35

Y2

60Y1

3O

O x

Figura 4.1.: Reprezentarea fazorial a mrimilor sinusoidale

Cu ajutorul acestei reprezentri fazoriale se poate uura efectuarea multor operaii de adunare,scdere a mrimilor sinusoidale, ea fcndu-se dup regulile de adunare, scdere a vectorilor.

Construciile grafice realizate cu ajutorul fazorilor se numesc diagrame fazoriale.

Producerea tensiunii electromotoare alternative sinusoidale

8/3/2019 Electro1 (1)

31/75

Se consider o spir plan, de suprafa , care se rotete ntr-un cmp magnetic omogen de

inducie

S

B , n jurul unui ax perpendicular pe direcia laturilor de cmp, cu vitez unghiular constant(figura 4.2). La momentul iniial se consider c suprafaa spirei este perpendicular pe direcia liniilor decmp magnetic, iar dup un interval de timp oarecare t normala la suprafaa spirei va face cu liniile decmp magnetic un unghi de t (acest lucru se deduce direct din ecuaia micrii de rotaie cu vitezunghiular constant t 0 ). Fluxul magnetic care traverseaz suprafaa spirei la un moment dat

este:

ttSBSBt coscos , (4.9)

unde s-a notat cu liter mic valoarea instantanee i cu liter mare valoarea maxim a fluxului.

36

N

Figura 4.2.: Producerea tensiunii electromotoare sinusoidale

Fluxul magnetic este variabil n timp i, conform legii induciei electromagnetice a lui Faraday, nspir se induce o tensiune electromotoare indus:

tdt

de

sin . (4.10)

Observm c prin aceast modalitate n spira rotit cu vitez unghiular constant ntr-un cmpmagnetic constant se induce o tensiune electromotoare sinusoidal alternativ. Valoarea maxim a tensiuniielectromotoare induse este:

SBEmax . (4.11)

Observm, de asemenea, c tensiunea electromotoare este defazat fa de fluxul magnetic n urm

cu2

.

Circuite simple n regim de curent alternativ

In cadrul acestui subiect se trateaz comportamentul unor elemente de circuit pasive atunci cndacestea sunt supuse unei tensiuni sinusoidale de forma:

tUtu sin2 . (4.12)

S

Bnn

8/3/2019 Electro1 (1)

32/75

Pentru un element de circuit oarecare supus unui regim de lucru alternativ sinusoidal se define teimpedana ca fiind raportul dintre valoarea efectiv a tensiunii de la bornele sale i valoarea efectiv acurentului ce l parcurge:

I

UZ . (4.13)

Unitatea de msur n SI pentru impedan este Ohmul ().

Circuit de curent alternativ format dintr-un rezistor i o sursSe consider circuitul simplu din figura 4.3.

Acestui circuit se aplic legea lui Ohm pentru circuite omogene i se obine pentruexpresia curentului alternativ ce parcurgerezistorul:

u(t) R

tR

U

R

tuti sin2 (4.14)

Figura 4.3.: Circuit cu rezistor

Se deduse imediat faptul c:Impedana unui rezistor este egalcu rezistena sa ohmici faptul cun rezistor nu defazeazcurentul fade tensiune.

Puterea instantanee absorbit de rezistor este:

tIUtitutp 2sin2 . (4.15)

Reprezentarea fazorial a tensiunii i a curentului pentru acest circuit este redat n figura 4.4.

Figura 4.4.: Diagrama fazorial pentru circuitul simplu de curent alternativ cu rezistor

Circuit de curent alternativ format dintr-o bobin ideali o surs

Se consider circuitul simplu din figura 4.5 n care o bobin ideal fr rezisten proprie i deinductivitate L este alimentat de la o surs de tensiune electric alternativ. Dac sursa ar fi de tensiunecontinu, bobina s-ar comporta ca un conductor ce ar scurtcircuita bornele sursei. n cazul sursei de tensiunealternativ, n circuit i va manifesta prezena un curent tot alternativ tIti sin2 . Acest

curent va produce un cmp magnetic variabil i el, iar conform legii induciei electromagnetice, n circuit vaapare i o tensiune electromotoare indus:

dt

diL

dt

tdei

. (4.16)

37

8/3/2019 Electro1 (1)

33/75

u(t) L

Figura 4.5.: Circuit cu bobin ideal

Aplicnd cea de a doua teorem a lui Kirchhoffpentru acest circuit se obine:

dt

diLueu i 0 . (4.17)

Din aceast ecuaie se obine pentru curent:

2

sin21

cos21

sin21

tUL

tUL

dttL

Udtu

Li . (4.18)

Putem deci afirma c: Impedana unei bobine ideale este egal cu reactana sa inductiv

LXZ LL i o bobinidealdefazeazcurentul cu 2

n urma tensiunii.

Puterea instantanee din acest circuit este:

tUIttIUttIUtitutp

2sincossin22

sinsin2

. (4.19)

Observm c puterea instantanee este o mrime alternativ sinusoidal cu frecvena dubl fa de ceaa tensiunii i a curentului.

Reprezentarea fazorial a tensiunii i a curentului pentru acest circuit este redat n figura 4.6.

24

UOx

I

Figura 4.6.: Diagrama fazorial pentru circuitul simplu de curent alternativ cu o bobin ideal

Circuit de curent alternativ format dintr-un condensator i o surs

Se consider un circuit alctuit dintr-un condensator de capacitate C alimentat de la o surs detensiune sinusoidal (4.12). Rezistena dielectricului dintre armturile condensatorului se consider a fiinfinit, astfel c nu exist fenomen de conducie ntre armturi. Din acest motiv, dac se aplic o tensiuneconstant la bornele unui condensator, acesta se va ncrca ntr-un interval de timp foarte scurt, numit regimtranzitoriu, dup care n respectivul circuit nu va exista un regim dirijat de purttori de sarcin ( 0I ).

La aplicarea unei tensiuni sinusoidale la bornele condensatorului, armturile acesteia se vor ncrca

i se vor descrca cu frecvena tensiunii aplicate, n circuit stabilindu-se un curent sinusoidal ntre bornelesursei i armturile condensatorului:

tIti sin2 . (4.20)

Figura 4.7 ilustreaz acest circuit simplu format dintr-un condensator i o surs de tensiunealternativ sinusoidal.

8/3/2019 Electro1 (1)

34/75

u(t) C

25

Figura 4.7.: Circuit simplu cu un condensator

Cantitatea de electricitate cu care se ncarcarmturile condensatorului este:

UCq . (4.21)

Intensitatea curentului prin circuit este prindefiniie :

tUCdt

duC

dt

dqi cos2 . (4.22)

Apelnd la relaiile de baz ale trigonometriei, obinem:

.2

sin2

tUCti (4.23)

Putem deci afirma c: Impedana unui condensator este egal cu reactana sa capacitiv

CXZ CC

1

i o bobinidealdefazeazcurentul cu 2

naintea tensiunii.

Puterea instantanee din acest circuit este:

tUIttIUttIUtitutp

2sincossin22

sinsin2

. (4.24)

Observm c puterea instantanee este o mrime alternativ sinusoidal cu frecvena dubl fa de ceaa tensiunii i a curentului.

Reprezentarea fazorial a tensiunii i a curentului pentru acest circuit este redat n figura 4.8.

I

UOx

Figura 4.8.: Diagrama fazorial pentru circuitul simplu cu un condensator

Circuit de curent alternativ cu rezistor, bobin ideali condensatorconectate n serie

Se consider un circuit format dintr-un rezistor, o bobin ideali un condensator conectate n seriei alimentate de la o surs de tensiune (4.12). n circuit i va manifesta prezena un curent tot alternativ tIti sin2 .

8/3/2019 Electro1 (1)

35/75

u(t)

C

L

R

Figura 4.9.:Circuit RLC serie

Aplicnd cea de a doua teorem a lui Kirchoff pentru acest circuit i innd cont de ecuaiile(4.14), (4.17) i (4.22), obinem:

idtCdtdi

LiRu1

. (4.25)

nlocuind expresiile sinusoidale ale tensiunii i alecurentului se obine:

tC

ItILtIRtU coscossinsin . (4.26)

Avnd n vedere c raportul dintre valoarea efectiv a tensiunii i cea a curentului este prin definiieimpedana, obinem:

tXXtRt

Z CL cossinsin

1. (4.27)

Ecuaia (4.27) este satisfcut pentru orice moment de timp, deci n particular i pentru 0t ,

respectiv pentru

2t . Pentru primul moment de timp ecuaia devine:

R

XXtgXXR CLCL

0cossin . (4.28)

Dac acest prim moment de timp a permis determinarea defazajului curentului fa de tensiune, celde al doilea conduce la calculul impedanei (deci a valorii efective a curentului):

sincos

2cos

2sin

CLCLXXRXXRZ . (4.29)

Se nlocuiesc expresiile cosinusului i ale sinusului n funcie de tangenta deja cunoscut:

22

22

22

222

222

1sin

;1

1cos

CL

CL

CL

CL

CL

CLXXR

XXR

XXRZ

XXR

XX

tg

tg

XXR

R

tg

.(4.30)

In acest mod s-au determinat impedana unui circuit RLC serie i defazajul pe care un asemeneacircuit l introduce ntre tensiune i curent. Se observ c n funcie de valoarea defazajului exist treiregimuri de funcionare ale acestui circuit (regimuri a cror definiie este valabil i pentru un circuitelectric de curent alternativ oarecare):

- regimul de rezonan sau rezistiv n care defazajul dintre tensiune i curent este nul 0 , regimcare pentru circuitul RLC serie presupune egalitatea dintre reactana bobinei i a condensatorului( CL X );X

- regimul inductiv n care defazajul ia valori negative, curentul fiind defazat n urma tensiunii 0 ,

regim care pentru circuitulRLC serie presupune ( CL X );X

25

8/3/2019 Electro1 (1)

36/75

- regimul capacitiv n care defazajul ia valori pozitive, curentul fiind defazat naintea tensiunii 0 ,

regim care pentru circuitulRLC serie presupune ( CL XX ).

Se observ de asemenea faptul c defazajul dintre tensiune i curent este pentru un circuit pasiv

cuprins n intervalul

2,

2

, un defazaj mai mare n modul dect

2

nsemnnd un curent o putere

activ negativ, deci faptul c respectivul circuit produce energie activ n loc s consume.

Puterea instantanee din acest circuit este:

tIUttIUtitutp 2coscossinsin2 . (4.31)

Aceast putere instantanee este o mrime periodic compus din doi termeni un termen constant iunul de frecvena dubl, ce oscileaz n jurul unei valori medii cosIU . Chiar dac receptorul este unulpasiv dac el nu este unul pur rezistiv, exist momente cnd puterea instantanee este negativ, adic eaeste n acele momente cedat dinspre receptorul pasiv spre surs. n acele momente energia acumulat ncmpul magnetic al bobinelor sau n cmpul electrostatic al condensatoarelor este parial restituit sursei dealimentare.

Reprezentarea fazorial a tensiunii i a curentului pentru acest circuit pentru cele trei regimuri

definite mai sus este redat n figura 4.10. In aceste diagrame se alege intensitatea curentului ca ax originede faz, deoarece n cazul circuitului considerat, curentul este elementul comun pentru toate componentelecircuitului.

U UC

I

Regim derezonanta

Regim

inductiv

Regimcapacitiv

OIUR=U

UB

UC

O UR

UCUB

I

U

URO

UB

Figura 4.10.: Diagramele fazoriale pentru cele trei regimuri ale unui circuitRLCserie

26

8/3/2019 Electro1 (1)

37/75

Puteri n regimul de curent alternativ sinusoidal

Se consider un circuit de curent alternativ la bornele creia se aplic o tensiune sinusoidali princare se manifest un curent de intensitatea:

tIti

tUtu

sin2

sin2. (4.32)

Puterea instantanee la bornele acestui circuit de curent alternativ are expresia:

tIUttIUtitutp 2coscossinsin2 . (4.33)

Observm c aceast putere instantanee este o mrime periodic compus din doi termeni untermen constant i unul de frecvena dubl.

Din expresia puterii instantanee se mai observ c aceasta oscileaz cu frecvena dubl n jurul uneivalori medii cosIU . Chiar dac receptorul este unul pasiv dac el nu este unul pur rezistiv, existmomente cnd puterea instantanee este negativ, adic ea este n acele momente cedat dinspre receptorul pasiv spre surs. n acele momente energia acumulat n cmpul magnetic al bobinelor sau n cmpulelectrostatic al condensatoarelor este parial restituit sursei de alimentare.

Prin definiie se numete putere activ notat cu P, valoarea medie a puterii instantanee pe unnumr ntreg de perioade.

cos2sin2

cos1

2coscos11

00

000

IUtIU

tIUTn

P

dttIUdtIUTn

dttpTn

P

nTnT

nTnTnT

. (4.34)

Puterea activ se msoar n SI n wai (W). n orice circuit electric de curent alternativ elementele

care consum puterea activ sunt rezistoarele. Puterea activ exprim capabilitatea unui sistem de aproduce lucru mecanic.

Puterea reactiv se definete ca produsul dintre valorile efective ale tensiunii i ale curentului isinusul unghiului de defazaj dintre ele:

sin IUQ . (4.35)

Puterea reactiv se msoar n SI n Volt Amperi Reactivi (VAR). Ea poate fi reactiv inductiv atuncicnd corespunde energiei magnetice nmagazinate n bobine sau reactiv capacitiv atunci cnd corespundeenergiei condensatoarelor. Rezistoarele nu consum i nu produc putere reactiv. Energia reactivconsumat de bobine este pozitiv iar cea consumat de condensatoare este negativ, deci condensatoarelegenereaz energie reactiv.

n zilele de azi, termenul de putere reactiv este utilizat de forte muli specialiti, de la fizician pnla inginerul electrician. Suntem att de obinuii i familiarizai cu acest termen nct nici nu mai realizmcontradiciile care-i sunt asociate. Conceptele de putere activ i reactiv sunt prezentate n crile despecialitate sau n manuale ca fiind produsul dintre tensiunea i curentul din acelai punct al unui circuit. Semai spune c puterea activ depinde de cosinusul unghiului dintre faza valorii instantaneea tensiunii i fazavalorii instantanee a curentului, iar puterea reactiv depinde de sinusul aceluiai unghi. Dar, n realitate,cnd se calculeaz mediile n timp a acestor puteri, se observ un comportament net diferit: media n timp aputerii active este bine definit n timp ce media n timp a puterii reactive este nul, i asta indiferent departicularitile circuitului analizat. Dac pentru puterea (energia) activ exist o circulaie de la un punct al

27

8/3/2019 Electro1 (1)

38/75

28

circuitului la altul, n cazul puterii reactive putem vorbi despre un continuu dute-vino, circulaia total pentru o perioad a semnalului electric fiind nul, ntruct energia care circul ntr-un sens ntr-osemiperioad va circula n sens contrar n semiperioada urmtoare. Puterea reactiv este permanentinterschimbat ntre diferitele elemente ale circuitului (bobine, condensatoare) dar niciodat nu esteconsumat sau produs. n realitate am putea spune c aceast putere reactiv este produs la momentuliniial al punerii sub tensiune a circuitului i ea este consumat doar la deconectarea sistemului de la sursade energie.

Surpriza cea mare apare cnd se analizeaz ecuaiile circulaiei energiei n circuit. Se analizeaz oporiune a circuitului (de obicei a liniei de transmisie a energiei electrice) i se calculeaz puterile activireactiv la cele dou capete ale poriunii respective. Contradicia apare cnd se deduce c puterea reactivde la un capt nu este egal cu puterea reactiv de la cellalt capt, c de fapt exist pierderi de puterereactiv. Singura explicaie n lumina teoremei conservrii energiei este faptul c linia n sine produce sauconsum putere reactivi de aici provine respectiva diferen. Aceast afirmaie vine, ns, n contradiciecu afirmaia anterioar c puterea reactiv nu se produce i nu se consum.

Analiznd ecuaia prin care am determinat puterea instantanee i modul n care au fost definiteputerea activi cea reactiv, observm c simetria dintre puterea activi puterea reactiv este rupt, lucru

nespecificat de majoritatea crilor de specialitate. Aceasta este i sursa interpretrilor greite cu privire la puterea reactiv. Se poate observa imediat c puterea activ descrie o putere medie n timp ce putereareactiv descrie valoarea maxim a mrimii instantanee asociate. Aceasta nseamn c cele dou mrimi nu

pot fi tratate identic, ele nefiind similare. Media egal cu zero nu indic lipsa oricrei circulaii de puterereactiv n circuit, ci faptul c cea ce ntr-o semiperioad circul ntr-un sens va circula n sens contrar nurmtoarea semiperioad.

Pierderile de putere reactiv se explic prin puterea reactiv consumat sau produs de linie. Astfel,pentru o poriune a unui circuit electric, puterea reactiv ce intr n circuit pe la un capt va fi egal cu sumadintre puterea reactiv regsit la cellalt capt i puterea reactiv produs sau absorbit de respectivaporiune de circuit. Aceast interpretare unanim acceptat vine n contradicie cu afirmaia unanim acceptati ea c puterea reactiv nu este produs sau consumat, ea puri simplu existi oscileaz ntre diferitele

pri ale circuitului. Merit poate reamintit c nu puterea se pierde, c nu puterea circul ci energia.Contradicia const n faptul c termenul de energie reactiv se refer att la amplitudinea puterii reactiveinstantanee, ct i la media sa, dou concepte total diferite. Contradicia dispare imediat prin urmtoareainterpretare corect:

media puterii reactive este nul, ceea ce nseamn c puterea reactiv ce circul ntr-un sens ojumtate de perioad va circula n sens opus urmtoarea semiperioad. Aa c este imposibil s avempierderi sau amplificri ale puterii reactive medii;

pierderea de putere reactiv trebuie interpretat ca o pierdere n amplitudine (aceasta i este!), eanefiind n realitate o pierdere real de putere. Aa c aa-numita pierdere de putere reactiv este de fapt odiminuare a amplitudinii puterii reactive instantanee fr ca prin aceasta s fie o real pierdere.

Este necesar definirea acestei pierderi n amplitudine cci, puterea reactiv medie fiind mereuaceeai (zero), e nevoie de mrime care s descrie efortul depus de circuit. Aceast mrime este chiaramplitudinea puterii reactive, Q.

n timp ce P corespunde unui transport de energie (de sarcin electric) ntre sursi receptor, Qdefinete intensitatea variaiei energiei nmagazinate n cmpurile magnetice i electrice care i manifestprezena ntr-un circuit.

Puterea aparent se definete ca fiind egal cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii i alecurentului ce i manifest prezena ntr-un circuit. Unitatea sa de msur n SI este Volt-amperul (VA).

8/3/2019 Electro1 (1)

39/75

IUS . (4.36)

innd seama de definiiile puterilor activ, reactivi aparent se poate deduce relaia dintre ele cafiind:

222 SQP . (4.37)

Se observ c aceast relaia seamn foarte mult cu teorema lui Pitagora care exprim relaia dintrecatetele i ipotenuza unui triunghi dreptunghic, de unde i provine analogia i construcia triunghiuluiputerilor un triunghi dreptunghic ce are puterea aparent ca ipotenuz, puterea activ drept catetorizontal i puterea reactiv drept catet vertical. Figura 4.11 ilustreaz triunghiurile puterilor pentrucircuite rezistive (rezonante), inductive i capacitive. (Un circuit se numete capacitiv dac defazajulcurentului fa de tensiunea de la bornele circuitului este capacitiv, adic pozitiv, inductiv dac acest defazajeste negativ i rezistiv sau rezonant dac defazajul este nul).

Q

Circuitinductiv

Circuitcapacitiv

Circuitrezistiv

P=S

P

QS

P

S

Figura 4.11.: Triunghiurile puterilor pentru circuite de curent alternativ

Factorul de putere al unui circuit se definete prin raportul dintre puterea activ i cea aparentpentru acel circuit:

S

Pk cos . (4.38)

Factorul de putere este adimensional i ia valori subunitare pozitive. Pentru ca un circuit s

funcioneze cu maximum de efeicien, de putere activ cedat el trebuie s aib un factor de putere ct maiapropiat de unitatea.

mbuntirea factorului de putere

Consumarea energiei electrice transportate la un factor de putere ct mai bun este una dintre problemele cele mai importante ale distribuiei energiei electrice. Avnd n vedere definiia factorului de

putere (S

Pk cos ), mbuntirea factorului de putere nseamn reducerea puterii reactive din circuit.

Cea mai utilizat metod n acest sens este conectarea n paralel cu consumatorul a unorcondensatoare asta avnd n vedere faptul c majoritatea consumatoarelor au o natur rezistiv inductiv.

Conectnd un condensator sau mai multe n paralel cu un consumator de impedanZ se observ cnu este influenat cu nimic funcionarea acestuia, ntruct la bornele sale rmne aceeai tensiune U. Maimult, puterea activ total consumat de respectivul circuit va rmne i ea identic, ntruct condensatorulnu consum putere activ, ea doargenereazputere reactiv.

29

8/3/2019 Electro1 (1)

40/75

Dac iniial, fr condensatoare de mbuntire a factorului de putere, factorul de putere al

circuitului de impedanZ esteS

Pk cos , compensare total a acestui factor de putere, adic legarea

n paralel a unui condensator astfel nct noul circuit s aib un factor de putere unitar se realizeaz alegndcondensatorul n felul urmtor: puterea reactiv generat de condensator va trebui s fie egal n modul cuputerea activ consumat de receptor, adic:

2

2

UtgPCtgPUXtgPQQ CZc

. (4.39)

Pentru a realiza o compensare parial, pn la un factor de putere 'cos' k , valoarea capacitiicondensatorului necesar se calculeaz similar, urmrind i ilustrarea triunghiului puterilor din figura 4.12.

Circuitulinitialinductiv

Circuitul

imbunatatit

SQ

QC

P

QS

2

'

U

tgtgPC

(4.40)

Dac valoarea condensatorului depetevaloarea necesar compensrii totale, circuituldevine capacitiv.

Figura 4.12.: mbuntirea factorului de putere

Reprezentarea n complex a mrimilor sinusoidale

Rezolvarea circuitelor de curent alternativ mai complexe dect cele cteva circuite simple prezentatemai sus necesit aplicarea unor teoreme i/sau metode de lucru, cum ar fi teoremele lui Kirchhoff, metoda

curenilor ciclici, metoda potenialelor la noduri, metoda generatorului echivalent, etc. Toate aceste teoreme,ecuaii, metode se pot aplica numai mrimilor instantanee, de cele mai multe ori obinndu-se sisteme deecuaii difereniale cu attea necunoscute cte laturi are respectivul circuit. Este evident c este necesar ometod ce uureaz considerabil rezolvarea circuitelor de curent alternativ, i aceast metod este tocmaireprezentarea mrimilor sinusoidale prin nite numere complexe imagini ale acestora n planul complex.Aceast metod asociaz printr-o funcie bijectiv fiecrei mrimi sinusoidale un numr complex i numaiunul conform urmtoarei reguli:

jeYjYYtYty sincossin2 . (4.41)

Imaginea n complex a mrimii sinusoidale de curent alternativ este un numr complex, se noteazcu liter mare subliniati nu se msoar n unitatea de msur a mrimii fizice asociate (este un numr

complex!!!). Transformarea invers, adic obinerea mrimii fizice sinusoidale asociate unui numrcomplex oarecare jbaY se face cu ajutorul relaiilor:

a

barctg

baY

22

. (4.42)

Dac la bornele unui circuit de curent alternativ se aplic o tensiune sinusoidal de forma tUtu sin2 , intensitatea curentului se va putea exprima prin tIti sin2 ,

30

8/3/2019 Electro1 (1)

41/75

presupunnd c avem un curent defazat n urma tensiunii cu unghiul .Imaginile n complex ale acestor

dou mrimi sunt jeIIUU , .

Se definete, de asemenea impedana complex a unui element oarecare de circuit prin relaia:

sincossincos

ZjZjI

U

eI

U

I

UZ

j. (4.43)

Rezult:

CLjRXXjRZ CL

1. (4.44)

Se definete admitana complex prin:

sincossincos

YjYjU

I

U

eI

U

IY

j

. (4.45)

Puterea aparent are i ea o imagine n complex de forma:

QjPjSeIUIUS j sincos* . (4.46)

Pentru rezolvarea unui circuit de curent alternativ se urmeaz un algoritm de lucru de felul urmtor:

- Se calculeaz imaginile n complex pentru tensiunile electromotoare (date de obicei n valoriinstantanee) i pentru elementele pasive din circuit.

- Se aplic teoremele electrotehnicii numerelor complexe (lucru posibil n virtutea bijectivitiifunciei care asociaz mrimilor sinusoidale numere complexe). Printre teoremele electrotehnicii cemerit reamintite aici sunt cele dou teoreme a lui Kirchhoff:

Prima teorem: nod

kI 0 ; (4.47)

Cea de a doua teorem:

bucla nnbucla k IZE ; (4.48)

- Odat determinate imaginile complexe ale curenilor din circuit se realizeaz trecerea invers lamrimile instantanee (fizice) cu ajutorul relaiilor (4.42).

- Se verific rezultatele obinute prin bilanul puterilor n curent alternativ:

circuit

kkcircuit

kkcircuit

kkconsumatprimit IXjIRIESS22* . (4.49)

26

8/3/2019 Electro1 (1)

42/75

CAPITOLUL 5 CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE

Sisteme trifazate simetrice de mrimi sinusoidale

Mrimile de curent alternativ sinusoidal se pot utiliza ntr-un sistem trifazat. Un asemenea sistem se

numete simetric n cazul n care el satisface urmtoarele condiii:- valorile efective ale celor trei mrimi sinusoidale din sistem sunt egale;

- pulsaiile celor trei mrimi sinusoidale din sistem sunt egale;

- defazajul dintre oricare dou dintre cele trei mrimi sinusoidale din sistem este3

2.

Dac mrimea cu indicele 2 este n urma primei mrimi, iar mrimea cu indicele 3 este n urma celeicu indicele 2, se spune c respectivul sistem este de succesiune direct. n caz contrar sistemul este desuccesiune invers. Conform celor afirmate mai sus, cele trei mrimi ale unui sistem trifazat simetric desuccesiune direct se pot exprim n felul urmtor:

3

2sin2

3

2sin2

sin2

1

2

1

tYty

tYty

tYty

. (5.1)

Numerele complexe asociate acestora vor fi:

2

3

2

1

3

2sin

3

2cos

2

3

2

1

3

2sin

3

2cos

3

2

1

jYjYY

jYjYY

YY

. (5.2)

Pentru a uura foarte mult lucrul cu asemenea sisteme trifazate, se utilizeaz foarte des lucrul ncomplex simplificat i notaia:

23

21

32sin

32cos jja . (5.3)

Acest numr complex este un operator complex avnd modulul egal cu unitatea i are o serie deproprieti:

a

27

8/3/2019 Electro1 (1)

43/75

- nmulind un numr complex cu acest operator complex a , modulul su nu se modific, iar

argumentul su se mrete cu3

2, aceast operaie de nmulire avnd, deci, efectul rotirii fazorului

asociat cu3

2n sens trigonometric direct;

- *2

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1ajjjaaa

; (5.4)

- 1* ; (5.5)23 aaaaa

- 02

3

2

1

2

3

2

111 2

jjaa . (5.6)

Cu ajutorul operatorul complex , numerele complexe asociate celor trei mrimi ale unui sistemtrifazat simetric de succesiune direct se scriu:

a

13

1

22

2

1

YaaYYYaaYY

YY

. (5.7)

Diagrama fazorial pentru acest sistem trifazat este ilustrat n figura 5.1.

28

Y3

Y1

Y2

Figura 5.1.: Diagrama fazorial pentru un sistem trifazat simetric de succesiune direct