1

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO v.1.4

Notas de clase del Prof. Dr. R.Tinivella. Se ponen a disposición de los alumnos como una guía de estudio pero no reemplazan el uso de un libro de texto. Se agradecerá al lector que detecte errores o desee hacer sugerencias comunicarlo a rtinivella@frro.utn.edu.ar.

Electrostática

La electrostática estudia las interacciones entre cargas eléctricas en reposo en un sistema inercial, nombre que reciben aquellos sistemas de referencia en que se cumplen las Leyes de Newton, en particular el Principio de Acción y Reacción de la Mecánica, lo que asegura que no es un sistema acelerado. Recuérdese que todo sistema que se mueve con velocidad constante respecto de un sistema inercial, es a su vez inercial.

Ley de Coulomb La Ley de Coulomb establece que dos cargas eléctricas aisladas interactúan a lo largo del segmento de recta que las une con una fuerza proporcional al producto de las cargas, con su signo - de modo que esta fuerza resulta atractiva entre cargas de signo opuesto y repulsiva entre cargas de igual signo - e inversamente proporcional a la distancia que las separa. Esto puede expresarse simbólicamente de la siguiente manera:

1 22,1 2 13

2 1

.. .( )q qF k r rr r

= −−

r r rr r (E.1)

La unidad de carga eléctrica es el Coulombio, C ( o Coulomb) en el Sistema Internacional de Unidades, incorporado al Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA). k es una constante muy aproximadamente igual 9x109 N m2/C2 en este sistema. La ecuación (E.1) merece una lectura cuidadosa: q1 y q2 son las cargas eléctricas ubicadas por sus vectores posición r1 y r2 respectivamente; el vector 1 2( )r r−r r

tiene la dirección desde q2 hacia q1 y su módulo es igual a la distancia entre las mismas. Esta ecuación nos da en forma completa cuál es la fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 ; préstese atención a que el vector diferencia entre

x

z

y

q1

q2

F12 r1

r2

r2-r1

Fig. 1

2

los vectores posición de ambas cargas dividido por su módulo nos da el versor (vector de módulo unidad) en la dirección de la fuerza actuante, cuyo valor resulta entonces inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre cargas. El intercambio en la ecuación (E.1) de los índices 1 y 2 nos dará la fuerza ejercida por la carga q2 sobre la carga q1 . En electrostática se cumple el principio de acción y reacción. El Coulomb o Coulombio resulta ser una unidad de carga muy grande y normalmente deben utilizarse submúltiplos de la misma. Se invita al lector a verificar este punto calculando la fuerza entre dos cargas de un Coulombio a un metro de distancia una de la otra. En electrostática, el capítulo de la Física en que nos estamos introduciendo vale el Principio de Superposición, lo que implica que si existe una configuración integrada por múltiples cargas eléctricas la fuerza electrostática sobre una de ellas será la suma (vectorial !!!!!!!) de las fuerzas ejercidas por cada una de las otras, o sea

3 3

.. .( ) . . .( )j i i

j i j j i j i j j ii ij j

q q qF k r r k q r rr r r r≠ ≠= Σ − = Σ −

− −

r r r r rr r r r (E.2)

Por razones teóricas y de adecuación al sistema de unidades se define una nueva constante a través de la ecuación

0

14

kπε

=

ε0 se llama permitividad eléctrica del vacío y vale 8,85 x 10-12 C2/N.m2. Campo eléctrico De lo visto hasta aquí, surge que para conocer la fuerza electrostática sobre una carga es necesario conocer el valor y posición de todas las demás cargas del universo, del mismo modo que para conocer la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo masivo sería necesario conocer el valor y posición de todas las masas existentes. De la misma manera que en gravitación, se recurre a la descripción de la realidad física a través del concepto de campo. Desde el punto de vista físico reemplazamos todas las cargas, excepto las de nuestro interés directo, por el efecto que ellas causan en el espacio. Como la interacción electrostática es vectorial, esto da lugar a la creación de un espacio o campo vectorial, lo que permite utilizar toda la teoría matemática desarrollada para los campos vectoriales. Dada una carga de prueba, lo que se entiende por una carga lo suficientemente pequeña como para que su efecto en la configuración general en estudio sea pequeña, definimos como campo eléctrico a la fuerza eléctrica que actúa sobre ella dividida por su valor. En otras palabras, el campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga actuante sobre una carga de prueba allí colocada.

o

FEq

=r

r

El campo eléctrico tiene en consecuencia la unidad N/C, Newton sobre Coulombio en el SIMELA sin tener nombre particular. El campo eléctrico creado por una configuración discreta de cargas será

3

3( ) . .( )ii i

i

qE r k r rr r

= Σ −−

r r rr r (E.3)

Asociado al campo eléctrico, resulta muy útil el concepto de línea de campo, que consiste en hacer un mapa en el espacio con líneas que en cada punto tienen la dirección del campo eléctrico. La densidad de líneas dibujadas se corresponde con la intensidad de campo en cada punto. Como la configuración de campo será en general tridimensional se recurre a proyecciones en dos dimensiones como así también a diagramas cualitativos. Dado que el campo eléctrico tiene en cada punto una dirección única, las líneas de campo no pueden cortarse, ni tocarse mutuamente. Es común cometer el error de suponer que una carga de prueba libre seguirá las líneas de campo. Basta para evitar este error tener en cuenta que comúnmente las líneas de campo son curvas y en consecuencia no pueden ser seguidas por una partícula masiva a menos que exista una fuerza normal a la misma que provoque la necesaria aceleración centrípeta. Las líneas de campo coincidirán con la trayectoria de la carga sólo si éstas son rectas y la velocidad inicial de la partícula es nula o colineal con el campo. Si bien es un hecho natural que la carga eléctrica es discreta, es muchas veces ventajoso desde el punto de vista físico considerar distribuciones continuas. De la misma manera que se hizo en mecánica al definir la densidad de masa, puede definirse una densidad lineal, superficial o volumétrica de carga, sólo que el diferencial de longitud, superficie o volumen considerado no puede ser “tan pequeño como se quiera” como en matemáticas, sino que debe ser suficientemente grande como para incluir un número de cargas suficiente para que el efecto de las discontinuidades sea despreciable.

En el caso de existir distribuciones volumétricas de carga la expresión del campo electrostático se transforma en

' '

' '' ' ' '

3 3' '0

1. ( ). . . ( ). .4. .v v

r r r rE k r dv r dvr r r r

ρ ρπ ε

− −= =

− −∫ ∫

r r r rr r rr r r r (E.4)

donde la integral se extiende sobre todo volumen cargado (conexo o no). Teorema de Gauss “El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta dentro

de la misma , dividida por ε0.” Supongamos una carga puntual q encerrada en una superficie S cualquiera

n

dS

q

S

E

Fig. 2

4

El flujo del campo eléctrico generado por q, que fluye a través de S vale

30

( ) .. .4

q

S S q

r rq nE n ds dSr rπε−

=−

∫∫ ∫∫r r rr r

(E.5)

pero es inmediato que

3

( ) .q

q

r r n dS dr r

−= Ω

−

r r r (E.6)

es el elemento de ángulo sólido subtendido desde la carga a cada elemento de superficie integrado, y siendo ésta interior a la superficie, su integral sobre el total de la misma es igual a 4π y

0

. .S

qE n dsε

=∫∫r r

(E.7)

Supongamos ahora la misma u otra superficie y una carga fuera de la misma

Vemos que la superficie cerrada puede dividirse en dos partes, I y II, que subtienden el mismo ángulo sólido a la carga y que en cada una de esas partes el producto escalar del campo eléctrico por la normal exterior a la superficie cambiará de signo por lo que su flujo a través de la superficie cerrada será en este caso nulo. Teniendo en cuenta que la carga eléctrica es discreta y que vale el principio de superposición queda probado que sólo contribuyen al flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada las cargas ubicadas dentro de la misma. Como además el campo generado por las cargas positivas y

negativas tiene distinto sentido el flujo total del campo eléctrico multiplicado por ε0 será igual a la carga neta dentro de la superficie. Este teorema es muy importante pues aunque sólo relaciona las cargas dentro de una superficie cerrada con el flujo del campo eléctrico, puede utilizarse para calcular campos si se conoce la simetría del mismo y para importantes deducciones teóricas y prácticas. Potencial Eléctrico. Energía potencial. Calculemos el trabajo para llevar una carga puntual del punto A al punto B en contra del campo eléctrico

dn

q

E

III

Fig. 3

B

A

E dl Fig. 4

5

.

.B

AB A

dW E dl

W E dl

= −

= −∫

rr

rr (E.8)

Este trabajo (como cualquier otro) es una “integral de línea”, por lo que sólo la componente del campo eléctrico tangente a la curva en cada punto contribuye a la integral. Es inmediato ver que para el campo electrostático creado por una carga puntual esta integral es independiente del camino de integración, ya que cada elemento puede descomponerse en la dirección radial desde la carga, que contribuye a la integral, y la perpendicular a la misma, que no contribuye. Una configuración cualquiera es siempre la superposición de efectos de cargas puntuales, ya que la carga eléctrica es discreta, por lo que finalmente puede concluirse que la integral de (E.8) es independiente del camino (obviamente si eludimos puntos ocupados por cargas, que harían diverger la integral, u otros puntos singulares). Si esto se cumple dentro de un dominio simplemente conexo, esto asegura que en ese dominio el campo electrostático es conservativo y podrá derivarse de una función potencial. Como se demostrará en el curso correspondiente de Análisis Matemático, un campo conservativo es el gradiente de una función potencial. El gradiente de una función multiplicado escalarmente por el versor de una dirección es la derivada direccional en esa dirección y en ausencia de singularidades eso asegura la independencia de la trayectoria de integración de la integral, que dependerá sólo de los puntos inicial y final. Definimos como potencial electrostático al trabajo por unidad de carga realizado en contra del campo electrostático y que se transformará en una energía potencial por unidad de carga, que podrá ser recuperada nuevamente en forma de trabajo. Este potencial suele indicarse con las letras V o Φ, (nosotros usaremos V), siendo

E

E V

= −∇Φ

= −∇

r r

r r ó (E.9)

La energía potencial electrostática, como cualquier otra, se medirá en joules, en consecuencia

[ ] [ ][ ]W Joule JV voltio Vq Coulomb C

= = = = =

la unidad en el Sistema Internacional y el SIMELA es el Joule/coulombio que recibe el nombre especial de Voltio=V.

Ejemplos de aplicación Campo eléctrico generado por una línea cargada

z

distancia al hilo conductor

P, punto de cálculo ρ

r

θ

λ [C/m]

dz

Fig. 5

6

Se trata de calcular el campo eléctrico generado por una línea recta con una densidad de carga por unidad de longitud λ, a una distancia ρ. Cada elemento de carga, dado por cada elemento de longitud multiplicado por la densidad lineal de carga contribuirá al campo electrostático con:

2

2

. . .cos( )

. . .sen( )

0

z

k dzdEr

k dzdEr

dE

ρ

φ

λ θ

λ θ

=

=

=

(E.10)

quedando las componentes de la contribución al campo eléctrico expresadas en coordenadas cilíndricas (ρ,φ,z), suponiendo que la línea cargada coincide con el eje z.

Obsérvese que lo ya estudiado asegura que no tendremos componente del campo electrostático en la dirección del ángulo azimutal φ (La Ley de Coulomb es “plana”). Dado que

2

22

2

.tg( ).

cos ( )

cos( ) cos ( )

zddz

r r

ρ θρ θ

θρ ρθ θ

=

=

= ⇒ =

Las ecuaciones (E.10) pueden reescribirse e integrarse del siguiente modo

2

1

. .cos( ).E k dθ

ρθ

λ θ θ= ∫

2

1

. .sen( ).zE k dθ

θ

λ θ θ= ∫

Si λ es constante y la línea cargada es de longitud infinita resulta

0

2. .2. . .

00

z

kE

EE

ρ

φ

λ λρ π ε ρ

= =

==

ya que la integral en z se anula por simetría.

7

Obsérvese que en este caso, λ=cte y longitud infinita de la línea se puede, ya que se conoce la simetría del campo por razones físicas, obtenerse el mismo resultado por aplicación del teorema de Gauss de la electrostática. Lo mismo no sería posible si λ no fuera constante o la línea no fuera de longitud infinita (habría efectos de borde). El potencial electrostático quedaría dado entonces por

0

( ) .ln( )2. .

V Cλρ ρπ ε

= − +

De la misma manera que en mecánica el potencial electrostático y por tanto la energía potencial electrostática están definidos a menos de una constante arbitraria. En este caso particular, como el potencial diverge para distancias muy pequeñas o muy grandes de la línea cargada se suele tomar V(ρ)=0 para ρ=1 con lo que C=0 y

0

( ) .ln( )2. .

V λρ ρπ ε

= − (E.11)

Potencial y campo eléctricos generados por una esfera cargada . Supongamos tener una esfera con una densidad de carga por unidad de volumen ρ(r’). Comenzaremos calculando el potencial electrostático generado, ya que siendo éste una función escalar, es mas sencillo que calcular el campo eléctrico que es un vector. Es importante en este tipo de problemas una elección de coordenadas y sistema de referencia que faciliten el cálculo. Como la densidad de carga tiene simetría esférica y la ley de Coulomb y sus derivaciones sugieren esta simetría para campo y potencial, plantearemos el problema en coordenadas esféricas con origen en el centro geométrico de la distribución esférica de cargas.. r θ

' ' ' '2 '

' 2 '2 '

( ). ( ). .sen( ). . .( ) . .2 cos( )

r dv r r dr d ddV r k kr r r r rr

ρ ρ θ θ φθ

= =− + −

r r

'

' '2 '

2 '2 '

( ). .sen( ). . .( ) .2 cos( )v

r r dr d dV r kr r rr

ρ θ θ φθ

=+ −∫∫∫ (E.12)

pero '

2 '2 '

2 '2 '

. sen( ) 2 cos( )2 cos( )

r r d r r rrdr r rr

θ θθθ

= + −+ −

Fig. 6

r’ r-r’ P

z

V’ r

8

que introducido en (E.12), e integrando en θ y en φ nos da

' ' ' 2 '2 ' 2 '2 '

0 0

2.( ) ( ) ( 2 2 )4. .

R

V r r r dr r r rr r r rrr

π ρπ ε

= + + − + −∫r

teniendo en cuenta que 3 '

' ' 2 '2 '. . 23 2r rrr dr r r rr+ ± = ±∫

y si ρ(r’) es constante 3

0 0

4 /3. . .( )4. . . 4. . .

R QV rr r

π ρπ ε π ε

= =r

(E.13)

Préstese atención a que si bien el potencial eléctrico es una función escalar, es función de todas las coordenadas espaciales, lo que se indica a través del vector posición del punto en que se calcula. En este caso particular, habiendo isotropía respecto del origen de coordenadas la diferencia sólo es respeto por la nomenclatura pero en un caso general el potencial electrostático será igualmente escalar pero variará como función del vector posición. Si ρ(r’) no es constante pero tiene simetría esférica, tendremos también un potencial de simetría esférica con el mismo centro. En ambos casos el potencial, fuera de la esfera, es el mismo que si toda la carga estuviera concentrada puntualmente en el centro de simetría. El campo eléctrico queda dado por

30

( ) ( )4. .

Q rE r V rrπ ε

= ∇ =rr rr r

(E.14)

siendo su módulo

20

( ) ( )4. . .

QE r E rrπ ε

= =r r r

(E.15)

nótese nuevamente que el módulo del campo eléctrico es un escalar función del vector posición. Si desde un principio damos por conocida la simetría del problema puede ser resuelto con ayuda del teorema de Gauss, de la siguiente manera: Elegimos una superficie esférica concéntrica con la esfera cargada (a estas superficies auxiliares se las suele llamar superficie de Gauss, o gaussiana, para indicar concisamente su objeto). El teorema de Gauss nos dice que

'

' '

0

1. . ( ).S v

E n dS r dvρε

=∫ ∫∫∫r v

(E.16)

S

r

R

ρ(r’) v’

Fig. 7

9

Si ρ(r)=cte y R≥r Entonces tendremos

2 3

0

0

0 0

2

0

44. . . . . ..3

.3.

. . .3. . 3.

.( )6.

r E r

rE

r r rEr

rV r

π π ρερερ ρε ε

ρε

=

=

= =

=

r rr

v

(E.17)

La dependencia inversa con el cuadrado de la distancia de la fuerza electrostática hace que una distribución isótropa de cargas sobre una cáscara esférica no produzca campo en los puntos interiores. Esto puede verse con el mismo esquema utilizado para demostrar el Teorema de Gauss: desde cada punto interior a una cáscara esférica se subtiende siempre el mismo ángulo sólido a la misma en las direcciones opuestas por lo que los efectos de las cargas allí distribuidas (uniformemente) se cancelan. Cómo se recordará sucede lo mismo con el campo gravitatorio que tiene igual dependencia. Si ρ(r)=cte y R<r

2 3

0

3

20

3

2 3 30 0 0

3

0 0

44. . . . . ..3

.3. .

. . . .3. . 3. 4. .

.( )3. . 4. . .

r E R

REr

R r r Q rEr r r r

R QV rr r

π π ρε

ρε

ρ ρε ε π ε

ρε π ε

=

=

= = =

= =

r r rr

v

(E.18)

siendo Q la carga total de la esfera.

E

r R Fig. 8

10

El módulo, o intensidad, del campo eléctrico crece linealmente con r dentro de la esfera cargada, y decrece parabólicamente fuera de ella. Nótese que el gráfico está hecho considerando ρ>0.

El potencial crece parabólicamente dentro de la esfera cargada y decrece hiperbólicamente fuera de ella. En este caso está implícitamente fijado V=0 para r→∞. Si ρ(r) no es constante pero sí ISOTROPA. En el caso de que ρ no sea constante pero tenga simetría esférica la configuración de campo y potencial será distinta funcionalmente a la más arriba calculada para puntos interiores a la esfera. Estas dependencias funcionales dependerán de la dependencia funcional de ρ con r y deberán calcularse según el segundo miembro de (E.16). Las dependencias fuera de la esfera serán iguales pues sólo dependen de la carga total dentro de la misma. Si ρ(r) no es ISOTROPA. En este caso NO PUEDE UTILIZARSE EL TEOREMA DE GAUSS !!!!!!…… para calcular el campo eléctrico y debe recurrirse al cálculo por integración directa según (E.4), calculando el potencial y luego su gradiente, o recurriendo a técnicas mas elaboradas que exceden el alcance de este curso. Potencial y campo eléctricos generados por un dipolo eléctrico. El dipolo eléctrico consiste en un sistema de cargas opuestas (igual módulo y distinto signo), separadas una distancia d. Se define para este sistema el momento dipolar como

( ). . .( )r rp q d q r rr r+ −

+ −+ −

−= = −

−

r rr r r

r r (E.19)

Fig. 9

V

r R

Fig. 10

-q r+ - r- +q

r+

r-

11

Convencionalmente se define el momento dipolar como dirigido de la carga negativa hacia la positiva.

El potencial generado por este sistema en el punto O será:

0

0

14. .

4. . .

q qVr r

q r rr r

π ε

π ε

+ −

− +

+ −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠−

=

(E.20)

Nótese que estamos suponiendo que el dipolo está centrado en el orígen de coordenadas y que V(∞)=0. Si la distancia del punto O al dipolo es muy grande podemos hacer las aproximaciones siguientes:

2

.cos( )

.

r r d

r r r

θ− +

− +

− =

=

con lo que queda

20

20

2 30 0

. .cos( )4. . ..cos( )

4. . .1 1 ..

4. . . 4. .

q dVr

pVr

r p rV pr r r

θπ ε

θπ ε

π ε π ε

=

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r rr

(E.21)

El campo eléctrico será en consecuencia

-q d +q

r- r r+

θ

O

Fig. 11

12

3 30 0

20

1 . 1 .4. . 4. .

. .cos( )4. . .

p r rE V pr r

q dr

π ε π ε

θπ ε

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −∇ = ∇ = ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ∇⎜ ⎟

⎝ ⎠

r r rr r rv r

r (E.22)

que puede calcularse con los elementos dados en Análisis Matemático II. Ahora vamos a calcular las componentes del campo, en coordenadas esféricas que son las más apropiadas para visualizar esta configuración. Tenemos

. odV V dsds

=∇r r

pero en la dirección radial es ds=dr y en la dirección de θ es ds=r.dθ, de modo que

20

20

.cos( )4. .

1 .cos( )4. .

rV pEr r r

V pEr rθ

θπ ε

θθ θ π ε

⎛ ⎞∂ ∂= = ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= = ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

(E.23)

resultando

30

30

2. .cos( )4. ..sen( )

4. .0

rpE

rpE

rE

θ

φ

θπ ε

θπ ε

−=

−=

=

(E.24)

la simetría de este problema asegura que no hay componente en la dirección de φ y que hay simetría azimutal (alrededor de la dirección del momento dipolar, supuesta en este caso coincidente con el eje cartesiano z). IMPORTANCIA: el conocimiento del campo y potencial producidos por una configuración dipolar es de trascendental importancia. La materia es neutra y en consecuencia una gran cantidad de sus propiedades están relacionadas con las propiedades dipolares (o multipolares de orden superior que no se discutirán aquí) de sus componentes íntimos. El vapor de agua, por ejemplo de altísima importancia en la técnica está compuesto por moléculas de agua, de gran momento dipolar debido a que los enlaces H-O forman un ángulo de unos 109°; en consecuencia, las moléculas minimizan su energía agrupándose de a tres, lo que resulta en propiedades muy especiales. Además, como veremos en breve las propiedades de los dieléctricos dependen del comportamiento dipolar de sus átomos y moléculas. Fuerza y momento sobre un dipolo. . Como el dipolo está formado por dos cargas de igual módulo, es inmediato que:

13

* no habrá fuerza neta sobre un dipolo en un campo uniforme. * sí habrá un momento o torque resultante sobre un dipolo en un campo uniforme. El momento resultante sobre un dipolo en un campo eléctrico constante está dado por

( ). . . p Ep E q d senp E

τ θ ∧= ∧ =

∧

rrrr rrr (E.25)

Energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico. Cuando el dipolo está alineado con el campo el torque o momento sobre el mismo es nulo. Si definimos la energía potencial como nula en esa situación, la energía potencial cuando forma un ángulo cualquiera será

( ) ( ) ( ) ( )0 0

. . . . . . cos cos 0 . .cos .W d p E sen d p E p E p Eθ θ

τ θ θ θ θ θ= − = − = − = =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫rr

(E.26)

donde, como siempre hemos calculado el trabajo realizado contra el campo eléctrico. NOTA: fuera de todo rigor matemático, un momento es siempre perpendicular al las fuerzas que lo producen por lo que en general resultan bien descriptos por un producto vectorial como en (E.25), mientras que una energía, un trabajo y eventualmente una potencia pueden ser bien descriptos a partir de un producto escalar como en (E.26). Esto ayuda, como regla mnemotécnica, a encontrar relaciones y unidades “perdidas”. Conductores y aisladores . Hay materiales que son conductores de la electricidad. Estos materiales, en general sólidos a temperaturas ambientes (típica excepción es el mercurio), tienen una estructura formada por iones positivos, cediendo cada átomo algunos electrones (en promedio 2,3 para el caso del cobre) que son compartidos por todo el volumen de material. Esto da como resultado una gran movilidad de los mismos. Por razones históricas no muy lejanas, ya que hace menos de un siglo que se conoce la estructura del átomo, se dice que las cargas se mueven libremente en los conductores, aunque comúnmente sólo se mueven las cargas negativas (electrones). Obviamente si tenemos un conductor en forma de barra y los electrones se mueven hacia un extremo (no importa aquí la razón) habrá un déficit de electrones en el otro extremo con lo que nuestra barra tendría un extremo positivo y uno negativo. Como veremos experiencias de este tipo son posibles. Hay otros materiales que son aisladores o dieléctricos, en los que las cargas están ligadas por lo cuál no pueden desplazarse. No existen conductores perfectos ya que la disponibilidad de cargas no es infinita, pero existen materiales que se aproximan mucho a ello. Tampoco existen aisladores perfectos por más de una razón. Siempre existen lo que se llama en química constantes de equilibrio, que nunca valen 0 ni ∞ y en consecuencia siempre quedan cargas, aún cuando puedan ser pocas, que podrán desplazarse. Además vivimos en un universo lleno de radiaciones y partículas (como ser la radiación cósmica) capaces de ionizar la materia

14

produciendo cargas móviles. En los puntos dedicados a dieléctricos en particular abundaremos en el tema. Potencial y campo eléctricos en presencia de conductores Supongamos tener un conductor perfecto (ya dijimos que algunos materiales se aproximan mucho a esto). Si un conductor perfecto se coloca en una zona del espacio en la que hay un campo eléctrico sucederá lo siguiente: 1. Las cargas libres se moverán en la dirección y sentido del campo eléctrico, si son positivas, o en

el opuesto si son negativas hasta que, como no pueden abandonar el conductor, generarán un campo eléctrico opuesto al exterior; el reacomodamiento de cargas perdurará cuanto perdure el campo exterior. El campo eléctrico, en consecuencia, será nulo dentro de un conductor.

2. Como las cargas no pueden abandonar el conductor no podrán compensar , en la superficie del

mismo, la componente de campo exterior perpendicular a la misma. En la superficie de un conductor el campo eléctrico (exterior) es perpendicular a la misma.

3. Los dos puntos anteriores, al asegurar que no hay campo interior a un conductor ni componente

paralela a la superficie del mismo asegura que un conductor es siempre equipotencial (V=cte), incluyendo su superficie.

4. Como consecuencia, si un conductor posee carga neta, las cargas se repelerán entre sí y como

pueden moverse libremente se distribuirán sobre la superficie del conductor. En este último caso se dice que las cargas agregadas al conductor para que tenga una carga neta son cargas libres; si se agregaran cargas de ambos signos sólo se detectaría el efecto de la diferencia entre ambas. En el caso de un conductor descargado, el movimiento de cargas para neutralizar el campo interior, produce cargas negativas en una zona del mismo y positivas en otras; en este caso, ambas se llaman cargas inducidas. Esto es de una gran importancia tecnológica pues permite diseñar y/o modificar configuraciones de campo y potencial eléctricos manejando distribuciones de conductores descargados. ¿ Qué sucederá entonces si la normal exterior a una superficie conductora no es continua como el caso de la existencia de puntas o aristas?. En esa situación habrá una variación finita (en dirección) del campo eléctrico, o sea del gradiente de potencial, en una distancia, en el extremo, nula. Estas situaciones se conocen con el nombre genérico de efectos de punta y producen una zona reducida y de poco volumen, muy próxima al punto de discontinuidad, de alta inestabilidad eléctrica donde lo que se llama a veces esfuerzo eléctrico se magnifica. Aplicaciones prácticas comunes y conocidas son:

* las puntas en los extremos de los pararrayos * los electrodos de las bujías de motores Otto o de dos tiempos, encendedores automáticos de

cocinas y estufas a gas, llaves de descarga (spark gap) por el contrario, cuando se busca evitar chispas y descargas en un punto se utilizan extremos y bordes en los conductores donde la normal (y en consecuencia la curvatura) varíe en forma suave.

15

Potencial y campo eléctricos generados por una esfera conductora cargada y aislada. En base a lo ya visto, resulta ahora claro que el problema ya estudiado de una esfera con una distribución volumétrica de carga, no puede referirse a una esfera conductora. En el caso de una esfera conductora cargada tendremos: - la carga distribuida en la superficie, en forma uniforme si está aislada y no hay campo exterior. - campo eléctrico nulo en su interior. - el campo y potencial electrostáticos exteriores serán iguales a los creados por la misma carga

ubicada en el centro de la esfera. Es decir, si el centro de la esfera está en el origen de coordenadas y la carga total es Q.

0

30

( )4. . .

( ; ) 0; ( ; ) .4. .

QV rr

Q rE r r R E r r Rr

π ε

π ε

=

≤ = > =

r

rr rr r (E.27)

Obsérvese que no importa si la esfera es o no hueca Capacidad. Como vimos, el potencial en la superficie de una esfera conductora cargada es

04. . .QV

Rπ ε=

Definimos CAPACIDAD C al cociente entre la carga acumulada y el potencial generado

QCV

= (E.28)

04. . .C Rπ ε=

E 1/r2 R r V 1/r r Fig. 12 R

16

La definición dada por (E.28) la extendemos a todo conductor cargado y a todo par de conductores con cargas opuesta, en cuyo caso se considera la carga de cada uno en módulo y la diferencia de potencial entre ambos. La capacidad de mide en

2[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

coulombio C C C Faradio FJoule Jvoltio V Jcoulombio C

= = =

El faradio, como el coulombio, resulta ser una unidad muy grande y normalmente se utilizan submúltiplos como :

Microfaradio =μF=10-6 F Nanofaradio =nF=10-9 F Picofaradio =pF=10-12 F

Capacitor (condensador) plano.

Un capacitor o condensador plano consiste, como su nombre indica, en dos conductores planos (se suelen llamar placas o armaduras), ubicados en forma paralela entre sí, con cargas opuestas. Esta configuración, de altísima importancia tecnológica, produce un campo muy uniforme, tanto mas uniforme cuanto menor sea la distancia entre las placas y mayor sea el área de éstas. El campo resultante es uniforme, o sea de módulo constante y de líneas muy paralelas excepto en las proximidades de los bordes. Como las placas son conductoras, las cargas estarán distribuidas en su superficie. Si llamamos σ a la carga por unidad de superficie y consideramos una superficie cerrada tipo caja de píldoras colocada paralelamente a las placas, de pequeño espesor, y con una tapa dentro del conductor y la otra fuera del mismo, teniendo en cuenta la definición de potencial y el teorema de Gauss tenemos.

x x

E Superficie gaussiana

+++++++

- - - - - - - Fig. 13

17

0

0

0

0

..

.

.

.

VEd

AE A

E

Q A

V d

Q ACV d

σε

σεσσε

ε

=

=

=

=

=

= =

(E.29)

o sea que la capacidad puede calcularse, como en el caso de una esfera aislada, sólo a partir de la configuración geométrica. Combinaciones de capacitores (condensadores). Los capacitores suelen indicarse con el símbolo Capacitores en paralelo. Los condensadores están sometidos a la misma diferencia de potencial y la carga total será la suma de la carga en cada uno de ellos, de modo que:

1 1

n ni

ii i

Q QC CV V= =

= = =∑ ∑ (E.30)

En el caso de capacitores en paralelo las capacidades individuales se suman.

Fig. 14

C1 Ci Cn

Fig. 15 V

18

Capacitores en serie.

Las placas p2 y p3 y el conductor que las une, forman en realidad un solo conductor, de modo que si se mantiene una diferencia de potencial entre los extremos de la serie (suponemos que todos los conductores estaban inicialmente descargados), la carga adquirida por la placa p2 será opuesta a la adquirida por la placa p3. La carga neta del sistema está entonces dada por las cargas de la primera y última placas, en tanto que la diferencia de potencial entre los extremos del conjunto será la suma de las diferencias de potencial sobre cada condensador.

1 1

1 1n ni

i

V VC Q Q C= = =∑ ∑ (E.31)

La inversa de la capacidad serie es la suma de las inversas de las capacidades integrantes de la misma. Capacitor cilíndrico. Dos superficies cilíndricas conductoras concéntricas con cargas opuestas forman un condensador o capacitor cuya capacidad puede calcularse utilizando el teorema de Gauss como indicamos podía hacerse al calcular el campo y potencial de un hilo cargado

C1 C2 Ci Cn

p p2 p3 p4 V Fig. 16

Fig 19

19

Aceptada la simetría cilíndrica y que la longitud de los cilindros es mucho mayor que sus radios de modo de despreciar los efectos de borde, la aplicación del teorema de Gauss nos dice que el flujo de campo eléctrico será nulo para una superficie cilíndrica concéntrica con el condensador, que sea interior al cilindro interno o exterior al cilindro externo. Entre ambos cilindros tenemos

0

0

2. . . .

2. . . .

rQr d E

Q rEd r r

πε

π ε

=

=rr

(E.32)

La diferencia de potencial entre las armaduras (los cilindros) será:

0 0

. ln2. . . . 2. . .

b

a

Q Q bV drd r d aπ ε π ε

⎛ ⎞Δ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (E.33)

Fig. 18

con lo que la capacidad resulta

0

0

ln2. . .2. . .

ln

Q QCQ bV

d adC

ba

π επ ε

= =Δ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(E.34)

Capacitor esférico. Similarmente podemos calcular la capacidad de dos superficies esféricas conductoras concéntricas con cargas opuestas. En este caso también el campo eléctrico será nulo dentro de la superficie interior y fuera de la superficie exterior. El campo eléctrico es ya conocido; si la superficie interior tiene radio a y la exterior radio b, es

20

2

0

30

3 20 0

0

4. . .

4. .

.4. . 4. .

1 14. .

b b

b aa a

Qa r b r E

Q rEr

Q r Q drV V V drr r

QVa b

πε

π ε

π ε π ε

π ε

< < ⇒ =

=

Δ = − = =

⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

rr

rv

(E.35)

La capacidad entonces, es

0

0

4. .1 1 1 1

4. .

Q QCQV

a b a b

π ε

π ε

= = =Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(E.36)

Los capacitores esféricos y cilíndricos son ampliamente utilizados porque es muy simple eliminar en ellos los efectos de borde, y sobre todo los cilíndricos por la facilidad constructiva. Una gran cantidad de condensadores de alto valor son en realidad un condensador plano arrollado en forma de cilindro, con lo que se unen las características de un capacitor cilíndrico con una gran área ; recuérdese que la capacidad de un condensador plano es

0.ACd

ε= (E.37)

siendo A el área de las placas y d la distancia entre ellas. Energía de un conductor cargado. Dado un conductor cargado, aislado, tenemos

QVC

= (E.38)

Si se quiere agregar al conductor una diferencia de carga dq, trayéndola desde el infinito, donde V=0, tendremos que realizar un trabajo contra el campo eléctrico generado por las cargas que ya están en el conductor. Si integramos ese trabajo entre q=0 y q=Q, tendremos la energía electrostática almacenada en el conductor.

2

0

.

.2.

Q

qdW dqCq dq QWC C

=

= =∫

y en base a (E.38) 2

21 1 . .2 2

QW C VC

= = (E.39)

21

Energía del campo eléctrico. Para una esfera conductora cargada, aislada, de radio R, será

0

0

22

00 0

4. . .4. . .

1 1 1. .4. . . . .2 2 4. . . 2 4. . .

QVR

C R

Q QW C V RR R

π επ ε

π επ ε π ε

=

=

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

(E.40)

Calculemos ahora cuánto vale la integral del cuadrado del campo eléctrico en todo el volumen del espacio exterior a la esfera

30

22 2

2 20 0

4. .

. .4. . .4. . . 4. . .r R R

Q rEr

Q QE dv r drr R

π ε

ππ ε π ε

∞

>

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

rr

r (E.41)

De la comparación de (E.40) con (E.41) surge que

22 2

01 1 1. . . .2 2 2 r R

QW C V E dvC

ε>

= = = ∫ (E.42)

o sea, resulta haber en todo el espacio exterior a la esfera una densidad de energía por unidad de volumen dada por

20

1 . .2

dWw Edv

ε= = (E.43)

Como se ve, este resultado es independiente del tamaño de la esfera. Si hacemos tender a cero el radio de la misma (R→0), nos iremos aproximando a la densidad de energía provocada por una carga puntual y como hemos hecho anteriormente, aplicando el principio de superposición llegamos a concluir que (E.43) tiene validez general. Este resultado, de gran importancia teórica y práctica, ha sido recientemente probado experimentalmente en forma espectacular con la evidencia del decaimiento del vacío: cuando la concentración de energía en un volumen suficientemente pequeño del espacio alcanza un valor crítico, éste puede relajar con la creación de un par partícula - antipartícula. Materiales dieléctricos. Entre las muchas clasificaciones que pueden hacerse de los materiales, una es separarlos en dos grupos :

conductores y dieléctricos.

22

Los conductores, como ya hemos visto permiten el libre desplazamiento en su interior de cargas eléctricas. Los dieléctricos en cambio no permiten que las cargas se desplacen ( en absoluto, desde el punto de vista teórico, aunque como ya se dijo y veremos en su momento no hay conductores ni dieléctricos perfectos). Sin embargo la estructura microscópica de los dieléctricos no es rígida y permite algunos desplazamientos de las cargas que la constituyen. Las cargas con capacidad de desplazarse, como en los conductores se llaman cargas libres y las cargas que solo pueden desplazarse alrededor de puntos de equilibrio se llaman cargas ligadas. Los dieléctricos pueden ser :

no polares o polares

En los dieléctricos no polares, la aplicación de un campo eléctrico exterior produce un desplazamiento relativo de los centros de carga de distinto signo en los átomos y/o moléculas que dan lugar a una polarización inducida de los mismos. En los dieléctricos polares los centros de carga positivos y negativos están desplazados en las moléculas sin necesidad de un campo exterior. En estos materiales se produce una alineación de dipolos con el campo exterior y por este mecanismo la polarización resulta ser mas intensa que en los dieléctricos no polares y enmascara la polarización atómico-molecular inducida que también suele estar presente. En muchos dieléctricos, la agitación térmica hace que sus dipolos internos estén orientados al azar de modo que el material como un todo no tiene un momento dipolar permanente. Como por la presencia de un campo eléctrico exterior aparece una polarización que desaparece con la desaparición del mismo se habla de polarización inducida del material. En otros dieléctricos las cosas funcionan de modos diferentes como ser: a) los procesos son similares a los descriptos pero la polarización al aplicar un campo eléctrico

toma un tiempo detectable y similarmente demora en desaparecer al retirarse el campo. Se dice entonces que hay un tiempo de relajación, que depende normalmente de la temperatura y de la intensidad de campo aplicada.

b) El material suele tener una polarización permanente, que desaparece por encima de una temperatura crítica llamada temperatura de Curie.

c) La polarización del material depende de otras interacciones ajenas al campo eléctrico (como ser la tensión mecánica).

En estos casos se dice que el material es eléctricamente activo, recibiendo nombres especiales según sus características: ferroeléctricos en el caso b) anterior, piroeléctricos si la polarización depende fuertemente de la temperatura, piezoeléctricos si depende del esfuerzo mecánico (como algunos encendedores de cocinas y estufas),etc. Dieléctricos lineales. Supongamos tener un medio material que tiene n dipolos de valor p por unidad de volumen. La polarización total (el momento dipolar total) de una lámina de área a y espesor l será

l p p A

Fig. 19

23

. . . . .lP n p Al P A L= =r rr

En una cara de la lámina, en este caso la derecha tendremos una distribución superficial de cargas netas positivas y en la cara izquierda una distribución de cargas negativas. En el interior del material las cargas se neutralizan al estar el material descargado.

- + - + - + - + dS - + - +

Llamamos σi , densidad superficial de carga inducida o de polarización a esta distribución. El momento dipolar de la lámina también puede escribirse como:

. .l iP A lσ=r

o sea que σi es igual al módulo de P. Podemos escribir esto como

.i P nσ =r r

que nos da la carga inducida con su signo, y para cualquier ángulo. Si tenemos un condensador plano, con una lámina de dieléctrico entre las placas l E A S P Fig. 20 Tomando una vez más una superficie gaussiana de espesor despreciable, con una cara apenas dentro del dieléctrico y la otra fuera del conductor tendremos, aplicando el teorema de Gauss, tal como hicimos para un condensador sin dieléctrico

0 0 0

. . .t l i l PE A A Aσ σ σ σε ε ε

− −= = =

donde σt es la densidad de carga total, σl la densidad de carga libre y σi la densidad de carga inducida o de polarización. La densidad de carga libre puede calcularse entonces como:

0

0

.

.l E P D

D E P

σ ε

ε

= + =

= +r r r (E.44)

que resulta en la definición de un nuevo vector, el vector desplazamiento D. En consecuencia, definimos en forma general

0. .

.

.

t

i

l

E n

P n

D n

σ ε

σ

σ

=

=

=

r r

r r

r r (E.45)

las densidades de carga total, de polarización inducida y libre.

24

E + - + - + - nd nd cond P cond dielectr. Fig. 21 Obsérvese que la normal exterior al dieléctrico es opuesta a la normal exterior al conductor dentro del condensador, que es coincidente con la normal a la superficie gasussiana elegida, por lo cual las densidades de carga libre e inducida tienen signos opuestos. En muchos medios, se cumple que

0

0 0

. .

. .(1 ). .e

e

P E

D E P E E

ε χ

ε ε χ ε

=

= + = + =

r r

r r r r r (E.46)

En este caso se dice que el dieléctrico es lineal. De no ser así, la permitividad eléctrica será un tensor en vez de un escalar, el campo eléctrico y el desplazamiento pueden no ser colineales y se dice que el medio es eléctricamente activo. Cargas de polarización. En los párrafos anteriores se trabajó con el vector polarización P constante en una zona del espacio (E constante y dieléctrico lineal). En este caso las cargas opuestas de los dipolos microscópicos se cancelan mutuamente excepto en la frontera del dieléctrico. En un caso general la polarización no será constante y las cargas opuestas de los dipolos microscópicos no se cancelarán exactamente y en el ejemplo mostrado de una lámina de caras planas perpendiculares al campo eléctrico las densidades de carga inducida por polarización no serán iguales. Si tomamos un elemento diferencial (en sentido físico) de volumen, tendremos una carga inducida neta por efecto de esta falta de compensación. Definimos densidad volumétrica de carga de polarización a la divergencia del vector polarización. .i div Pρ =

r (E.47)

Densidad de energía. Un condensador plano con el espacio entre las placas o armaduras lleno con un dieléctrico lineal, puede cargarse pasando cargas de una placa a la otra. El trabajo para agregar una carga dq será

22

0 0

. . . . . . . . .

. . . . . .2

D E

dW V dq E d A d d A E dD v E dD

EW v E dD v E v

σ

ε ε

= = = =

= = =∫ ∫ (E.48)

21 1. .2 2

Ww E E Dv

ε= = = (E.49)

25

Es decir que la densidad volumétrica de energía es un medio del producto del campo eléctrico por el desplazamiento para este caso. En forma general, podemos escribir que

1 .2

w E D=r r

(E.50)

Teorema de Gauss otra vez. “El flujo del vector desplazamiento a través de una superficie cerrada es igual a la cantidad de carga NETA LIBRE encerrada dentro de la misma”. . . l

S

D n dS q=∫∫r r

(E.51)

Esta expresión reemplaza con ventaja práctica, en presencia de dieléctricos, a la ya vista para el campo eléctrico. Volveremos sobre este punto al final del curso en relación con las ecuaciones de Maxwell (esta es una de ellas) donde utilizaremos algunos recursos más de cálculo, como los teoremas de Stokes y de la divergencia. Condiciones en el límite entre dos dieléctricos. b A l n I II Fig. 22 Supongamos dos dieléctricos diferentes separados por un plano (o tomamos el plano tangente en un punto si la frontera no es plana). Tomemos una vez más una superficie gaussiana tipo “caja de píldoras”, con una cara en cada dieléctrico. Aplicando el teorema de Gauss , haciendo b→0, y suponiendo que no hay cargas libres tendremos que

. . 0I I II II In IInD n D n D D+ = ⇒ =r rr r

(E.52)

ya que las normales exteriores en ambas caras son opuestas. Como consecuencia en el límite entre dos dieléctricos diferentes, la componente normal del vector desplazamiento se conserva. Si ahora elegimos un circuito de integración de longitud l y ancho b y calculamos la circulación del campo eléctrico haciendo también b→0, tendremos que

. . 0I I II II It IItE dl E dl E E+ = ⇒ =r rr r

(E.53) ya que en cada medio la dirección de integración es opuesta y en el límite entre dos dieléctricos diferentes la componente tangencial del campo eléctrico se conserva. Veremos a continuación un par de ejemplos. Consideremos en primer lugar el siguiente sistema

26

I II III IV Fig. 23 Las zonas marcadas I y IV son las armaduras conductoras de un condensador plano, con igual densidad de cargas libres opuestas y entre las que hay una diferencia de potencial V, y las zonas II, de espesor dII, y III, de espesor dIII, son dieléctricos lineales de permitividades εI y εII respectivamente. La capacidad del sistema puede calcularse así

. .

. . . .

. .1 1. . . . . .

1 1 1. . .

IIn IIIn

II IIn III IIIn

IIn II IIIn III II IIIII III

II III II III II IIIII III II III II III

II III II III

II III II III II III

D D DE E

D DV E d E d d d

Q A D A AC D D D DV d d d d d d

d d C CC A A C C C C

CC

σε ε σ

ε εσ

ε ε ε ε ε ε

ε ε

= = =

= =

= + = +

= = = =+ + +

+= + = + =

=.II III

II III

CC C+

(E.54)

O sea que este sistema se comporta como si fueran dos condensadores planos en serie, con la misma carga y área y con su espesor correspondiente. Veamos en cambio que sucede en un sistema como el siguiente II I IV III Fig. 24 Las zonas I y IV son otra vez las placas cargadas de un condensador plano entre las que hay una diferencia de potencial V y las zonas II y III corresponden a dieléctricos lineales distintos. La capacidad del sistema está en este caso dada por

. . . . . . . .. .

II II III III II II III III II II III III

II III

Q A A E A E A A ACV E d E d d

C C C

σ σ ε ε ε ε+ + += = = =

= + (E.55)

El sistema se comporta como dos condensadores en paralelo. Observar que:

27

1. En ambos casos las placas del condensador son equipotenciales. 2. En el primer caso (serie) la densidad de carga es constante sobre la superficie de las placas

internas al capacitor y el vector desplazamiento (por simetría hemos trabajado con el módulo) es uniforme dentro del mismo, NO SIENDOLO EN CONSECUENCIA EL CAMPO ELECTRICO.

3. En el segundo caso (paralelo) el campo eléctrico es uniforme dentro del condensador (también hemos trabajado con el módulo por la misma simetría), VARIANDO EN CONSECUENCIA EL DESPLAZAMIENTO Y LA DENSIDAD DE CARGA SOBRE LAS PLACAS.

Consideremos el caso siguiente donde tres dieléctricos diferentes tienen una unión común en el segmento de recta pasante por el punto X perpendicularmente al plano del dibujo

II I V IV III X Fig. 25 En este caso debieran cumplirse simultáneamente la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico y la continuidad de la componente normal del desplazamiento, lo que es imposible. Las condiciones de borde son aquí contradictorias y no podemos utilizarlas. Lo que sí podemos decir es que las condiciones se cumplirán en el límite entre cada par de dieléctricos a medida que nos alejemos de la unión triple. Se requiere un análisis matemáticamente mucho más sofisticado para la resolución de este problema, en el caso de que exista una solución exacta. Dieléctrico parcialmente introducido en un condensador.

1-x x Fig. 26

Supongamos tener un condensador plano, de armaduras rectangulares de área A, con vacío o aire entre ella y que introducimos una lámina de dieléctrico lineal, de la misma forma y en forma centrada una fracción de área x (0<x<1). Como ya sabemos, el sistema se comportará como dos condensadores en paralelo, de capacidades

28

01

2

. .

. .(1 )

A xCdA xC

d

ε

ε

=

−=

(E.56)

respectivamente. La capacidad equivalente será la suma de ambas 0 0

1 2. .[(1 ) . ] [1 ( 1) ]e eA AC C C x k x k x

d dε ε

= + = − + = + − (E.57)

siendo ke la constante dieléctrica del dieléctrico utilizado, Como para todos los dieléctricos se cumple que ke ≥1, la capacidad crece a medida que se introduce el dieléctrico entre las placas. La energía almacenada en el condensador vale

221 1.

2 2QW C VC

= = (E.58)

como consecuencia: 1. Si se mantiene constante la tensión entre las armaduras, con la introducción del dieléctrico,

al aumentar la capacidad aumenta la energía almacenada y se deberá hacer trabajo para introducirlo en el capacitor, que tratará de expulsarlo.

2. Si en cambio, se mantiene constante la carga de las armaduras, la energía almacenada disminuirá con la introducción del dieléctrico en el condensador que lo absorberá. Como la energía será mínima con el dieléctrico totalmente introducido en el condensador, esta será una configuración de equilibrio estable y ante una perturbación oscilará alrededor de la condición de dieléctrico centrado con las placas.

Se deja como ejercicio al lector determinar si esta oscilación será armónica y cuál será su frecuencia.

Corriente eléctrica. Hemos visto que si se introduce un conductor en un campo eléctrico las cargas libres dentro de éste se reacomodan de modo de eliminarlo en su interior (transformando su volumen y superficie en equipotencial). Existen sin embargo medios para mantener en un material una diferencia de potencial en forma permanente y por lo tanto un campo eléctrico. Si se mantiene una diferencia de potencial entre dos puntos de un conductor las cargas migrarán (supuestas positivas) desde el mayor potencial al menor con una pérdida de energía, de modo que para mantener este estado en forma permanente el elemento que mantiene la diferencia de potencial debe aportar un trabajo. Llamaremos fuerza electromotriz (fem) al trabajo por unidad de carga entregado y fuente de fuerza electromotriz al elemento que la entrega. Como el trabajo y la energía tienen las mismas unidades, la fuerza electromotriz se mide en J/C, o sea en voltios como el potencial o su diferencia. Una batería como las utilizadas en los automotores o una pila seca son ejemplos comunes de fuentes de fuerza electromotriz.

29

Supongamos que se mantiene un campo eléctrico dentro de un material que posee n cargas libres de valor q por unidad de volumen. Tomemos un elemento cilíndrico de ese material cuyo eje de simetría sea paralelo al campo eléctrico E A vd Fig. 27 Las cargas libres estarán sometidas a una fuerza, y en consecuencias serán aceleradas. Si el campo es permanente y las cargas absolutamente libres las cargas llegarían a alcanzar velocidad infinita. Esto no sucede pues el recorrido dentro del material no es totalmente libre y las cargas sufren choques con imperfecciones de la red en el caso de materiales cristalinos, impurezas y otros defectos y con obstáculos equivalentes en materiales no cristalinos; puede en consecuencia definirse un tiempo de relajación τ como el tiempo promedio entre choques, o un camino libre medio λ, como el recorrido promedio entre choques tal como se hizo en teoría cinética de los gases.

.

. . .d

F q E

F qa Em m

qv a Em

τ τ

=

= =

= =

r r

rr

rr

(E.59)

donde m es la masa de cada carga, y vd la velocidad de arrastre promedio de las cargas. La cantidad de carga que por unidad de tiempo atraviesa una sección cualquiera del material se llama intensidad de corriente y valdrá

2

2

. . . .. . . . . . . .

. .. . .

. .

d

d

dq q E n qI n q v A n q A A Edt m m

n qJ n q v Em

I J n A

τ τ

τ

= = = =

= =

=

r rr

r r

(E.60)

J es la densidad de corriente, definida como la cantidad de corriente por unidad de área transversal a su recorrido. Definimos la intensidad de corriente escalarmente pues la interacción de las cargas con la microestructura hace que pueda recorrer el material en forma muy tortuosa como es el caso de los circuitos comunes de corriente eléctrica. En cambio la densidad de corriente J se define como una función vectorial de punto y dada una superficie de cualquier posición y forma se integrará sobre la misma para obtener la corriente. En algunas aplicaciones como en las resistencias derivadotas (shunts) donde las intensidades de corriente suelen ser muy grandes (cientos o miles de Amperios) y las formas complicadas se debe trabajar vectorialmente la intensidad de corriente. Observaciones importantes: n.q es la densidad volumétrica de carga libre ρl.

30

J=n.q.vd=ρl.vd es la cantidad de carga que por unidad de tiempo atraviesa la unidad de área perpendicular a un elemento diferencial de corriente, o sea es un flujo de carga (los flujos son siempre el producto de una densidad por su velocidad) Conductividad y resistividad. La relación entre la densidad de corriente y el campo eléctrico que la produce se llama conductividad del material

2. .J n qmEτσ = =

r

r (E.61)

La inversa de la conductividad es la resistividad del material ρ

2. .m

n qρ

τ= (E.62)

En las ecuaciones (E.59) a (E.62) se asume que hay un único tipo de carga presente. De no ser así se suma la contribución a la densidad de corriente de cada tipo presente. En particular es el caso de los electrolitos y semiconductores, ya que los portadores de carga positivos y negativos tienen en general distinta movilidad.

Resistencia. Ley de Ohm. Si tomamos una sección de nuestro cilindro de área A y longitud l la diferencia de potencial entre sus extremos será

.. . . . ..

.

J I lV E l l l I I RA A

lRA

ρσ σ

ρ

= = = = =

= (E.63)

R recibe el nombre de resistencia del elemento de conducción. La inversa de la resistencia suele llamarse conductancia. Esta es la llamada ley de Ohm que dice que la diferencia de tensión o de potencial entre los extremos de un conductor es igual al producto de su resistencia por la intensidad de corriente que circula. Unidades.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2 2 2.

. . .

1.

dq CI Amperio Adt sI C Amperio AJA s m m m

VR OhmAR A Ohm m ml

m

ρ

σ

⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦

= = = Ω

⎡ ⎤= = = Ω⎢ ⎥⎣ ⎦

=Ω

31

Potencia generada y disipada. Para mantener un estado estacionario de circulación de corriente dado que las cargas no se acumulan (la propia repulsión entre ellas lo asegura), la fuente de fuerza electromotriz debe entregar una potencia igual al producto de la diferencia de potencial entre los extremos del conductor (también llamada tensión o voltaje) por la intensidad de corriente (la carga por unidad de tiempo) que circula

22. . . . VP V I I R I I R

R= = = = (E.64)

Esta potencia se disipa en el conductor en forma de calor, lo que suele llamarse efecto Joule, ya que Joule fue quién determino la equivalencia entre calor y otras formas de energía. Los generadores de fuerza electromotriz tienen limitaciones en la potencia que son capaces de entregar, lo que hace que la diferencia de potencial entre sus bornes dependa de la corriente que circula. Esto puede describirse en forma conveniente asignando a las fuentes de fuerza electromotriz una resistencia interna. Esto hace que parte de la fuerza electromotriz generada se disipe como calor en el seno de la misma. Las resistencias, comercialmente se indican a través de: su valor nominal su tolerancia la potencia máxima que puede disipar es decir que el valor de la resistencia, disipando la potencia máxima de diseño, debe estar dentro de la tolerancia especificada. En algunas aplicaciones, se requieren diseños especiales que aseguren que una resistencia tenga baja inductancia y baja capacidad residuales (estos conceptos se explicitarán en el capítulo de corrientes alternas). Combinaciónes de fuentes de fuerza electromotríz. a. Serie: Las fuerzas electromotrices de fuentes conectadas en serie se suman algebraicamente. El signo del resultado de esta suma definirá el sentido de la corriente circulante. El sentido de una fuerza electromotríz se fija convencionalmente como el sentido en que tiende a forzar la circulación de corriente (de cargas positivas). Cuando estos sentidos coinciden la fuente está funcionando como tal; de lo contrario está funcionando como motor, como es el caso de una batería “en carga”. b. Paralelo: En este caso, si las fuentes tienen la misma fuerza electromotríz y resistencia interna, y están conectadas en el mismo sentido, tendrán la misma fuerza electromotríz que una sola de ellas y la misma diferencia de potencial entre bornes. En cambio tendrán mas capacidad para entregar corriente. De ser distintas, la de mayor valor trabajará como fuente y las de valor más pequeño como motor, o en carga. La tensión entre bornes del conjunto será la fem de la mayor menos su resistencia interna por la corriente circulante (la entregada a las otras fuentes en paralelo más la entregada al circuito exterior, si lo hay)

32

Combinaciónes de resistencias. Consideremos que más de una resistencia son conectadas una a continuación de otra, en serie, de modo que serán recorridas por la misma intensidad de corriente.. La diferencia de voltaje entre los extremos del conjunto será la suma de las diferencias de voltaje en cada una (se suele decir también la caída de voltaje o tensión sobre cada una). Entonces

1 1 1. . .

n n n

i i i eqi i i

V V I R I R I R= = =

= = = =∑ ∑ ∑ (E.65)

y la resistencia equivalente de una combinación en serie es la suma de las resistencias individuales. En cambio si más de una resistencia son conectadas en paralelo, con lo que caerá la misma diferencia de potencial sobre todas ellas, lo que se sumará serán las intensidades de corriente por cada una de ellas

1

1

1.

1 1

n

ieq i

n

ieq i

VI VR R

R R

=

=

= =

=

∑

∑ (E.66)

Circuitos de corriente continua. Leyes de Kirchoff. Los circuitos de corriente continua, formados en general por fuentes de fuerza electromotriz y resistencias (conductores con disipación interna de energía) interconectados por “conductores perfectos”, se estudian mediante dos leyes asignadas a Kirchoff: Ley de las mallas: en cualquier circuito cerrado la suma algebraica de las diferencias de potencial es cero. Ley de los nudos: la suma algebraica de las intensidades de corriente que llegan a un nudo es cero. O sea que la suma de las corrientes que llegan a un nudo es igual ala suma de las corrientes que salen del mismo (las cargas no se acumulan). En un circuito cerrado donde se interconectan fuentes de fuerza electromotriz y resistencias, se cumple en virtud de la ley de las mallas que:

1 1 1

. . 0n n k

i i ji r i Rε − − =∑ ∑ ∑

donde se expresa que la suma algebraica de las fuerzas electromotrices menos la caída de potencial debida a las resistencias internas de las fuentes menos la caída de potencial en las resistencias es cero. Si tenemos mas de un conductor concurriendo a un nudo común tendremos que:

33

1

0n

ji =∑

donde se elige, por convención, tomar como positivas las corrientes que entran al nudo y negativas a las que salen de él, o viceversa. Diferencia de voltaje en bornes de un generador de fem. Si una fuente de fuerza electromotriz entrega corriente a un circuito exterior tendremos

.abV i rε= − la tensión en sus bornes será la fem que genera menos el producto de la corriente circulante por su resistencia interna. Nótese en este caso que si el circuito se cerrara sobre sí mismo la caída sobre la resistencia interna, supuesta en serie es opuesta a la fem generada. La corriente que circulará en este caso se llama corriente de corto circuito de la fuente de fem siendo una de sus especificaciones más importantes. Si en cambio la misma fuente toma corriente, como una batería que se está cargando (suele decirse que está trabajando como motor) será:

.abV i rε= + O sea si una batería funciona como fuente la diferencia de potencial entre sus bornes es menor que la fem y, en cambio si funciona como motor, es mayor. Carga de un condensador, circuito RC. La figura muestra el esquema de un circuito de una sola malla integrado por la fuente de fuerza electromotríz Vε , el condensador C , la resistencia R, que incluye la resistencia interna de la fuente de fuerza electromotríz y el interruptor I. Supongamos que inicialmente el condensador está descargado y el interruptor I abierto. La placa del condensador conectada al borne de la fuente dibujado mas largo (convencionalmente el borne positivo) estará a su mismo potencial, mientras que el otro borne y placa del condensador están flotantes. Si se cierra el interruptor este borne pasa a estar al potencial del borne negativo de la

34

Fig. 28

fuente; aparece en consecuencia una diferencia de potencial entre las placas del condensador que se corresponderá con la aparición de cargas sobre las mismas. Como el interior del condensador es dieléctrico, no podrán pasar cargas por allí sino que habrá un movimiento de cargas, convencionalmente positivas, desde la placa negativa hacia la positiva a través de la fuente que aportará la correspondiente diferencia de energía. Cuando la tensión (la diferencia de potencial o voltaje) entre los bornes del condensador sea opuesta a la existente entre los bornes de la fuente la migración de cargas cesará (y al ser nula la corriente la tensión entre los bornes de la fuente y entre los bornes del condensador serán iguales a la fem). Obsérvese que así se cumple la ley de las mallas de Kirchoff. Recordemos que si el circuito es metálico lo que se moverá en realidad serán electrones. Apliquemos la ley de las mallas a este circuito durante el régimen transitorio que hemos descripto

0 0

.

( )( ) ( ) ( ). .

..

.

. .

.ln. .

. 1 . 1

R C

t t

t tR C

q t dq qV V t V t i t R RC dt C

dq q q C VR Vdt C C

dq dtq C V RC

dq dtq C V R C

q C V t tC V R C

q C V e C V e

ε

εε

ε

ε

ε

ε

τε ε

τ

− −

= + = + = +

−⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

= −−

⎛ ⎞−= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ (E.67)

RCτ = se llama constante de tiempo del circuito RC, y tendremos para la intensidad de corriente

. ..( ) . ..

t tR C R Cdq C V Vi t e e

dt R C R− −

= = − = − (E.68)

35

En el instante inicial el condensador descargado se comporta como un corto circuito, toda la tensión de la fuente cae sobre la resistencia que es la única limitación para la misma. A medida que se acumula carga en el condensador y la tensión entre sus bornes aumenta, la corriente disminuye hasta cero cuando el condensador está totalmente cargado para esa tensión que cae toda sobre él siendo nula la tensión en bornes de la resistencia. Al producto τ=RC se le llama constante de tiempo del circuito RC y es el tiempo que tarda el condensador, inicialmente descargado en llegar a 1-1/e=0,63 del valor final y la corriente en decaer del valor inicial Vε/R a 1/e=0,37 del mismo valor.

Descarga de un condensador, circuito RC. Supongamos ahora que el condensador está totalmente cargado y se ha eliminado la fuente de fuerza electromotríz. Al cerrarse el interruptor, las cargas se redistribuirán en el conductor que conecta las placas del condensador volviéndolo a la situación equipotencial. Igualmente a durante la carga, la resistencia dificultará el paso de corriente limitándola. Ahora tendremos

0 0

0( ). ( ). 0

( ) . ( ). 0

( )( ) .

( ) . . .

ab ba

t tRC RC

V Vi t R q t Cdq t R q t C

dtdq t dtq t R C

q t q e C V e− −

+ =

+ =

+ =

= −

= =

(E.69)

y la corriente, en consecuencia valdrá

0 0( ) . ..

t tRC RCq Vi t e e

R C R− −

= = (E.70)

El condensador se descarga con una intensidad de corriente que decae exponencialmente desde el valor inicial V0/R y la constante de tiempo es siempre la misma: τ=RC.

Circuitos de medición Medición de resistencias. Conexiones “larga” y “corta”.

V

36

Típicamente, una resistencia se mide en base a la Ley de Ohm, o sea, midiendo la diferencia de potencial entre sus extremos cuando circula por ella una intensidad de corriente conocida. Para medir así una resistencia se requieren una fuente de fuerza electromotríz, un amperímetro y un voltímetro. El dibujo muestra el esquema de medición de una resistencia con amperímetro y voltímetro en la llamada conexión corta. En este modo, como se ve, el voltímetro mide la tensión sobre la resistencia y el amperímetro mide la suma de las corrientes que pasan por la resistencia y por el voltímetro. Tendremos entonces

.m VR R R

R RR m V V m

m V

R RV V VR V VI I I R RR R

= = = =− −−

(E.71)

Si la llave S cambia de posición, tendremos la llamada conexión larga; el amperímetro pasará a medir la corriente que pasa por la resistencia y el voltímetro medirá la tensión sobre la resistencia en serie con el amperímetro. En consecuencia

( )m A m m ARm A

R m m

V V I R RVR R RI I I

− −= = = = − (E.72)

Podemos aprovechar estos cálculos para repasar varios conceptos: 1. Si tenemos resistencias en paralelo, la resistencia equivalente es menor que la menor de todas

ellas. 2. Si tenemos resistencias en serie, la resistencia equivalente es mayor que la mayor de todas ellas. 3. Un voltímetro ideal, como las diferencias de voltaje se miden paralelo debe tener resistencia

infinita (para que no tome corriente). 4. Un amperímetro ideal, como las corrientes se miden en serie, debe tener resistencia cero (para

que no haya caída de tensión sobre él). 5. Entonces, para medir resistencias de bajo valor se debe utilizar la conexión corta, ya que casi

toda la corriente pasará por la resistencia y, 6. Para medir resistencias de alto valor se debe utilizar la conexión larga ya que casi toda la

tensión caerá sobre la resistencia. Puente de Wheatstone.

A

Fig. 29

37

Consideremos que en el siguiente circuito

es VAB≠0 y VCD=0. Ello implica que el producto de la resistencia R1 por la intensidad de corriente en la rama ACB es igual al producto de R2 por la intensidad de corriente en el trayecto ADB

1. 2.1 3 2 4

1 21 3 2 4

3 41 11 2

2. 3 1. 4

AB ABV VR RR R R R

R RR R R R

R RR R

R R R R

=+ +

=+ +

+ = +

=

(E.73)

O sea que si, por ejemplo R2,R3 y R4 son conocidas, R1 queda unívocamente determinada en estas condiciones, independientemente de la tensión (diferencia de potencial) entre A y B.

2. 314

R RRR

= (E.74)

Esta configuración es utilizada colocando una fuente de fuerza electromotríz entre los puntos A y B, y un galvanómetro en serie con un pulsador entre C y DNOTA: un galvanómetro es un detector de corriente muy sensible, formado por una bobina soportada delicadamente, normalmente por finos hilos de cuarzo en el campo de un imán permanente. Esta bobina, ante el paso de corriente gira en uno u otro sentido variando la posición de una aguja; normalmente no está calibrado para medir, aunque tenga escala y se lo utiliza como detector de cero. Actualmente el galvanómetro puede ser reemplazado por dispositivos electrónicos de variados tipos de altísima sensibilidad. Si R1 es una resistencia cuyo valor se desea medir dos de las otras dos, por ejemplo R2 y R4 se reemplazan por resistencias patrones y R3 por una resistencia variable de buena calidad y bien calibrada, que se va variando a medida que se va controlando con el galvanómetro (accionando el pulsador), que no circule corriente entre C y D. Aplicaciones: Además de utilizarse el puente de Wheatstone para medir resistencias de la manera descripta se lo suele usar también fuera del equilibrio para medir pequeñas variaciones de resistencias relativamente grandes. Se lo utiliza por ejemplo en las celdas de carga para medir tensiones y deformaciones mecánicas utilizando resistencias construidas de modo que su valor varía cuando son estiradas mecánicamente. Se monta un puente de Wheatstone, incluyendo una de estas resistencias (comúnmente conocidas como “strain gage”) que en la situación de referencia esté en equilibrio y se mide la intensidad de corriente cuando el sistema se deforma (geométricamente). Configuraciones mas complicadas, con

G

Fig. 30

38

cuatro “strain gages” (conectadas a su vez en esta configuración Wheatstone), permiten anular las variaciones con la temperatura y la deformación transversal a la tensión mecánica aplicada. Si estos sensores tienen resistencias de unos miles de ohmios que varían en sólo algunos porcientos, la respuesta será, con mucha aproximación, lineal. Potenciómetro. El potenciómetro es un sistema diseñado para medir fuerzas electromotrices y diferencias de potencial sin tomar corriente por lo que no perturba los valores de estas magnitudes. El nombre de este instrumento lleva a confusión, ya que en electrónica se llama potenciómetro a un reóstato (resistencia variable), que se utiliza para variar la potencia de salida de algún equipo; el lector debe distinguir una cosa de otra. Una configuración potenciométrica básica es la siguiente

Fig. 31 Hemos tomado como es común una referencia de V=0 coincidente con los bornes negativos de las fuentes de fuerza 38lectromotriz. El potencial del punto N será en consecuencia

2.1 2N ERV V

R R=

+ (E.75)

donde VE es la diferencia de potencial o voltaje entre bornes de la fuente E (recordar que esto es igual a su fuerza 38lectromotriz menos la corriente que entrega por su resistencia interna). Ep y E x son respectivamente las fuerzas electromotrices de las otras dos fuentes. Cuando VN=Ep, estando la llave S en la posición del dibujo, no pasará corriente por el galvanómetro G y lo mismo ocurrirá cuando la llave S desconecte la fuente p , conecte la fuente x, y se cumpla que VN=Ex. Las resistencias R1 y R2, en un potenciómetro real están construidas de modo que la tensión del nudo N pueda variarse en forma continua.

G

39

Uso del potenciómetro: generalmente el potenciómetro se alimenta con una fuente de fuerza 39lectromotriz como una batería o pila seca común. Ep es la fuerza 39lectromotriz de una pila patrón, como ser una pila electroquímica tipo Weston. La pila patrón permite calibrar el potenciómetro para luego reemplazar la pila patrón por la fuente incógnita y medir su fuerza 39lectromotriz ya que no se le extraerá corriente. El potenciómetro se utiliza por ejemplo cuando se desea medir precisamente una temperatura utilizando sensores como una termocupla (que desarrolla una fem proporcional a una diferencia de temperatura) u otros dispositivos termoeléctricos, magnetoeléctricos, optoelectrónicos, etc. Divisor de tensión: la ecuación (E.75) describe la operación de la configuración llamada comúnmente divisor de tensión, que permite a partir de una fem o tensión dada obtener otra menor. En una aplicación práctica debe prestarse atención a las corrientes que circularán por cada resistencia del divisor y por el circuito exterior, ya que ésta definirá en definitiva la estabilidad térmica del conjunto.. La carga del electrón. Experiencia de Millikan. Robert Millikan, en 1909, fue el primero en determinar la carga del electrón con una ingeniosa experiencia. Pulverizó finas gotas de aceite entre las placas de un condensador plano, que durante la pulverización se cargaban eléctricamente. En ausencia de campo eléctrico, las gotas caían por efecto de la gravedad venciendo el empuje del aire y la fuerza debida a la viscosidad η del mismo. La velocidad final de caída resulta dada por el equilibrio entre el peso menos el empuje y la fuerza viscosa calculable según la ley de Stokes

34 . . .( ) 6. . . .3 ar r vπ ρ ρ π η− = (E.76)

Millikan, medía esta velocidad límite y luego aplicaba tensión a las placas del condensador hasta que la gota quedaba en equilibrio en el campo eléctrico generado, todo esto utilizando un anteojo con una escala calibrada. De estos datos, se calcula fácilmente la carga de cada gota. Millikan observó que la carga de cada gotas era siempre múltiplo entero de una cantidad de carga dada que supuso era la carga del electrón, lo que resultó coherente con muchas otras experiencias para verificarlo. La carga del electrón es hasta ahora una constante universal y vale

e = - 1,6021 x 10-19 C

FStokes e.E

Peso – Empuje Peso-Empuje

_ _

Fig. 32

40