elec277-part3

Optique et acoustique 3.Analyse lectromagntique

ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.1 Novembre 2002

1. Introduction

2. Optique gomtrique - rayons

3. Analyse lectromagntique - champs & modes - guide d'ondes plan "homogne" saut d'indice

- guide d'ondes cylindrique "homogne" saut d'indicemieux connu sous le nom de :

fibre optique saut d'indice

4. Proprits des fibres optiques de silice

5. Composants optiques fibrs et/ou intgrs

6. Senseurs

7. Conclusion et perspectives

Optique et acoustique

Guide d'ondes plan "homogne" saut d'indice


3.Analyse lectromagntique - guide SI

x

z

y

2a

2b

n2

n2

n1

- approche lectromagntique = recherche des configurations de champs lectromagntiques, solutions des quations de Maxwell,

satisfaisant aux conditions aux limites du problme (c--d : rpartition spatiale d'indices de rfraction, propagation,

confinement spatial de l'nergie, attnuation ngligeable, )(hypothse : dimensions gomtriques du cur sont proches de )

Hypothses de l'analyse bidimensionnelle xz :milieu dilectrique, non magntique, linaire, isotrope

milieu "homogne" (SI), indpendant de y, sans pertes

indice du cur = n1 > n2 = indice de la gaine

guidage "faible" n1 n2gaine "infinie" 2b >> 2a

2a 50 m




0 = permabilit magntique = 4 . 10-7 N . A-2

0 = permittivit dilectrique = 8.85 10-12 C2 . N-1 . m-2

linaire, isotrope

dilectrique,non magntique

champ magntiquechamp d'induction

magntiquechamp lectriquedplacement lectrique

polarisation lectrique susceptibilit lectrique

loi d'Ampre loi de Faraday

lois de Gauss

quations constitutives(description de l'interaction onde-matire)

c2 =1/(00) (3. 10+8 m.s-1)2

Equations de Maxwell et quations d'Helmholtz

H = - Dt + j E = - Bt

. D = = 0 . B = 0

D = 0E + P B = 0H

P(r,t) = 0 (r,t - t')-

+t

E(r,t') dt'

E = - 0Ht = - 1c2

2Et2

- 0 2Pt2




P(r,) = 0 (r,) E(r,)

D(r,) = (r,) E(r,)

Hypothses :description linaire en transforme de Fourier

(r,) = 0 1 + (r,) = 0 (r,) 0 n2(r,)

attnuation ngligeable[ n rel ]

milieu homogne

[ (r,) = () ]

(ou en termes de phaseurs)

Im(n)

Re(n)

3+3 quations d'Helmholtz

(r,) = (r,)0

n2(r,) = constante dilectrique

n(r,) = indice de rfraction

(+ idem pour H)~E +

2

c2E = 0

Buck (1995)

E(r, ) = E(r,t) exp(-i t) dt-

+

+ iE(r, ) = E(r,t)t

exp(-i t) dt-

+

E = - r,0

2

c2E = - r,

2

c2E

E = .E - E = - E




6 quations couples

Dmarche de rsolution :1. prise en compte de la symtrie du problme (x,y,z)

2. rsolution dans un milieu homogne d'indice n1 (en pratique le cur, soit |x | < a) ou n2 (en pratique la gaine, soit |x | > a)

3. raccord des composantes tangentielles de E (soit Ey et Ez) et de H (soit Hy et Hz) , et des composantes normales de D (soit Dx= Ex) et

B (soit Bx = 0000 Hx) l'interface cur-gaine, c'est--dire en |x | = a4. solution gnrale

milieu homogne

o

E + 2

c2E = 0

H + 2

c2H = 0

= longueur d'onde dans le vide = 2 c/ k0 = nombre d'onde dans le vide = /c

k = nombre d'onde = n k0

k1 = n1 k0 = nombre dans le coeur k2 = n2 k0 = nombre dans la gaine

propag. "forward"

propag. "backward"

propag. radie

E x,y,z, = ajj

Ej x,y,z, + a-jj

E-j x,y,z, + Erad x,y,z,

(+ idem pour H)~

quations linaires

() 2c2

= n2( ) 2

c2

= 2 n2() 00 = 2 ( ) 0

( ) 2c2

= n2() 2

c2

= n2( ) 2

2=

n2( ) k02( ) = k2()




Rsolution par sparation des variables pour Ex et Hx

Ey = Ey(Ex,Hx)Ez = Ez(Ex, Hx) 0

Hy = Hy(Ex, Hx)Hz = Hz(Ex, Hx) 0

Type de solution :Ex = Ex e +it= Ex x .Y y .Z z .e+it

1Ex

.

d2Exdx2

+ 2

c2. + 1

Y.

d2Ydy2

+ 1Z

.

d2Zdz2

=

0

(x) (y) (z)

invariance de translation solutions priodiques( dcomposition de Fourier )

Y y

= e - i y 1

Y.

d2Ydy2

=

-

2

Z z

= e - i z 1

Z.

d2Zdz2

=

-

2

d2Exdx2

+

2

c2. - 2 - 2 .Ex = 0 d

2Hxdx2

+

2

c2. - 2 - 2 .Hx = 0

Ex = Ex x . e +i t - z - y?

Hx = Hx x . e +i t - z - y?

R

R

(+ idem pour Hx)

E et H sont des solutions de modules invariants de translation en t, z et y :

elles sont appeles "modes de propagation"




Modes TE ( Ex = 0 ) et modes TM ( Hx = 0 )

Ey = Ey(Hx)Ez = Ez(Hx) 0

Hy = Hy(Hx)Hz = Hz(Hx) 0

Ex = 0

Ez = 02 + 2

Hx

Ey = - 02

+

2 Hx Hy = - i

2

+

2 Hxx

Hz = - i 2

+

2 Hxx

Si l'orientation du guide est telle que la propagation se fait selon z = 0

Ex = Ez = 0Hy = 0

= Mode TE

Hx = - 0 Ey

d2Eydx2

+

2

c2.j - 2 .Ey = 0

j = 1 dans le coeur

j = 2 dans la gaine

x z

y

n2

n2

n1

symtrie du guide en x j(x) = j (-x)

Ey(x) est soit paire, soit impaire en x

I.

Hz = - i

Hxx

=

+

i 0

Eyx




Ey = Ey(Ex)Ez = Ez(Ex) 0

Hy = Hy(Ex)Hz = Hz(Ex) 0

Hx = 0

Si l'orientation du guide est telle que la propagation se fait selon z = 0

Hx = Hz = 0Ey = 0

= Mode TM

j = 1 dans le coeur

j = 2 dans la gaine

j(x) = j (-x) Hy(x) est soit paire, soit impaire en x

II.

Ey = - i

12 + 2

.Exx

Ez = - i

12 + 2

.Exx

Hy = 0 2 + 2

Ex

Hz = - 0

2 + 2 Ex

Ex = 0 Hy Ez = - i

0

Hyx

d2Hydx2

+

2

c2.j - 2 .Hy = 0

Tout champ lectromagntique (E,H), solution des quations de Maxwell dans le guide d'ondes plan symtrique sera une

combinaison linaire de modes TE et TM de ce guide

cf pour TE

(Ey, Hx et Hz) (Hy, Ex et Ez)composantes non-nulles :

le champ d'un mode guids'tend dans la gaine

optique




Mode TE @ =0 : ( Ex = Ez = Hy = 0 )

Ey symtrique

d2Eydx2

+

2

c2.j - 2 .Ey = 0

j = 1 dans le coeur

j = 2 dans la gaine

si 2 > 0 est rel dcroissance exponentielle dans la gaine mode guid

I.(fonction paire en x)

|x | a (cur) |x | > a (gaine)

( continuit de Ey en x = a : OK )

2 =

2 - 2c2

2 = 2 - 2 2 0o

et

> n2 k0

si 2 < 0 est imaginaire oscillations dans la gaine mode radi

2 < n22 k02

Ey

x/a0 +1-1

2 =

2

c2

1 - 2 = 2 1 0 - 2

Ey = A sym cos .x Ey = A sym cos .a exp - . x - a





pour assurer la continuit de Hz en x = a :

Hz = + i 0 Eyx

x > a

x < - a

soit

et

V = 2 0 1 - 2 . a2= 2

a n12 - n2

2 est la frquence normalise

il n'y a qu'un nombre discret de valeurs de , et donc de qui satisfont cette quation, donn et pour une gomtrie de guide donne, c'est--dire V donn

chaque valeur de identifie un mode guid de propagation

( mode guid : 2 > 0 )

Hz = i

0 Asym cos .a exp - . x - a Hz = - i 0 Asym sin .x

i 0

Asym sin .a = i 0 Asym cos .a

tg .a

=

. aa

u = .a =

a . 2

1 0 - 2 1/2

V2 = 2 + 2 . a2= 2 0 1 - 2 . a2

cotg u

=

u

V2 - u2

V2 - 2. a2 = V2 - u2 = 2. a2 > 0




quation transcendante : rsolution graphique

usym = 1.38, 4.17, 6.82

usym = 1.8, 5.425 solutions TE symtriques ( V = 8 )

cotg u = u

V2 - u2

cotg u

u

tg u

Cas particulier V=8

mode guid : : : : u < V

Sodha & Ghatak (1977)

+

u

V2 - u2

-

u

V2 - u2

8.0

plus V sera lev, plus il y aura de modes

guids




Ey antisymtrique

2 > 0 est rel mode guid

II.(fonction impaire en x)


( continuit de Ey en x = a : OK )

> n2 k0

pour assurer la continuit de Hz en x = a :

x > a

x < - a

x/a0 +1-1

Ey

tg u = u

V2 - u2

Ey = A asym sin .x Ey = A asym sin .a exp - . x - a

Hz = + i 0 Aasym cos .x Hz = i 0 Aasym sin .a exp - . x - a

i 0

Aasym cos .a = i 0 Aasym sin .a




quation transcendante : rsolution graphique

uasym = 3.73, 7.55

uasym = 2.77, 5.54 solutions TE antisymtriques ( V = 8 )

tg u

=

u

V2 - u2

u

mode guid : : : : u < V

Sodha & Ghatak (1977)

cotg u

tg u

+ uV2 - u2

-

u

V2 - u2

8.0

Cas particulier V=8




Discussion

Interprtation physique de I.

est appele "constante de propagation"

Ey = Ey x . e +i t - z - y = Ey x . e +i t - z = 0

[ ] = m-1

/ = vitesse de phase / = vitesse de groupe

2

n2 < < 2 n1

mode guid : 2 > 0 > n2 k0 propagation en z : 2 > 0 < n1 k0

la dpendance de en la pulsation , ()()()() , est appele"relation de dispersion"

cn1

<

<

cn2

vitesse d'une onde plane dans un milieu uniforme d'indice n1

vitesse d'une onde plane dans un milieu uniforme d'indice n2

@ donn

la vitesse de propagation / d'un mode reflte son extension dans le cur et dans la gaine




Puissance P transporte par un mode TEII.Ex = Ez = Hy = 0

= 0

o

et

A est la surface effective du mode

Sz est la composante longitudinale du vecteur de Poynting S = E x H

reprsente la valeur moyenne dans le temps de Sz

Lyeff reprsente la largeur effective du mode en y

P = Sz dAA

Leffy

Sz dx-

+

or

S z = - 12 Re Ey . -

0

Ey*

S z = - 12 Re Ey . H x* S z = Ex . H y - Ey . H x

d'o, pour TE symtrique|x | a (cur)

|x | > a (gaine)

P = L effy

2 0

Asym 2 a + 1

P = 2 Leffy dx

0

+

2 0

Ey2

Sz = 2 0

Ey 2

Ey = A sym cos .xEy = A sym cos .a exp - . x - a

P = Leffy

0

dx0

a

Asym cos .x 2 + dxa

+

Asym cos .a exp - . x - a 2




Distribution transverse du champ TE pour diffrentes III.Ex = Ez = Hy = 0

= 0TE symtrique

|x | a (cur)

|x | > a (gaine)

Ey = A sym cos .xaEy = A sym cos exp - .a . xa - 1

Ey / Asym

x/a0 +1-1

usym = 1.38

usym = 4.17

Ey / Asym

x/a0

+1-1 0.40.8- 0.8

- 0.4

l'ordre d'un mode reflte la complexit de son profil transverse

V lev nbre de modes lev complexit du champ guid

mode TEsym fondamental

mode TEsym d'ordre 1

u = .a = a . 2 1 0 - 2 1/2




Interprtation d'un mode TE en termes d'ondes planes IV.Ex = Ez = Hy = 0

= 0TE symtrique d'ordre N :

|x | a (cur)

onde plane o

k1 : vecteur d'onde d'une onde plane en propagation libre dans un milieu d'indice n1

: la constante de propagation d'un mode correspond la projection de k1

selon la direction de propagation z

cur n1

kNxk1

e +i t - kN .r = e +i t - kxN

.x - kzN.z kyN = 0

kzN = N

kNz

N

>

c

c'est la condition de guidage de l'optique gomtrique !

NB : mme dmarche pour l'autre onde plane dont le kx est de signe inverse

idem avec kx - kx

sin N > n2n1

=

sin ccos N

< Vk1.a =

2 1 - 2 0 a2

2 1 0 . a2 = 1 - 2

1 = 1 - n2n1

2

EyN = Asym cos uN .xa . e +i t - Nz

EyN = 12 Asym e+i t + uN .xa - Nz + e +i t - uN .xa - Nz

kxN = uNa

kN

2

=

uNa

2 +

N 2 = 2 1 0 = k12

kxN = k1.cos N = uNa <

Va




Ordres de grandeur V.

Guide de silice (SiO2)

Cas particulier (cf rsolution graphique) : V = 8

= 1.5 m a = 25 m n1 = 1,45(@ = 1.5 m)

n = (n1-n2)/n1 = ?

V2 2

2.

2 n1 . n . a2

V2 =

2

0 1 - 2 . a2 = 2 0 0 1 - 2 0 . a2 =

2

2 n1

2

- n2

2

. a2

n = 2 10-3

pertinence de l'hypothse de guidage "faible" n1 n2

u1111 = 1.38 u2222 = 4.17

N = ?

1 = 89.5 2 = 88.42

1er mode TEsym 2me mode TEsym

u = 8 = 86.98

incidence de tous les rayons guids l'interface cur-gaine quasi-rasante

,

cos N =

uNa

.

1k1

=

uNa

.

2 n1




Guide d'onde semiconducteur (AlxGa1-xAs)

1,5 m

3 m

3 m

x

y

z

3,5867

3,5679

3,5679

indice

Al0,06Ga0.94As

Al0,04Ga0.96As

GaAs

200

m


Guide d'ondes cylindrique "homogne" saut d'indice

ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.20 Dcembre 2002

3.Analyse lectromagntique - fibre SI

Rsolution par sparation des variables pour Ez 0 et Hz 0

Ey = Ey(Ez,Hz)Ex = Ex(Ez, Hz)

Hy = Hy(Ez, Hz)Hx = Hx(Ez, Hz)

Type de solution : onde propagative selon la direction zEz = Ez x,y e +i t-z Hz = Hz x,y e +i t-z

E +

2

c2E = 0 H + 2

c2H = 0

milieu homogne et analyse en phaseurs

2Ezx2

+ 2Ezy2

+ 2

c2 - 2 .Ez = 0

2Hzx2

+ 2Hzy2

+ 2

c2 - 2 .Hz = 0

1

Coordonnes cylindriques2

x = r .cos

y = r .sin

r = x 2+y2

= Arctg y

x

symtrie du problme

Er = E x.cos + E y.cos Er = E x.cos + E y.sin

x

= xr

r

-

yr2

y

= yr

r

+ xr2

: constante de propagation

v. Annexe I




2Ezr2

+ 1r

Ezr +

1r2

2Ez2

+ 2 0 - 2 .Ez = 0

2Hzr2

+ 1r

Hzr +

1r2

2Hz2

+ 2 0 - 2 .Hz = 0

Sparation de variables3

symtrie du problme(priodicit azimuthale)

Ez = Rz r .z

Er = - i2 0 - 2

Ezr

+ 0 1r

Hz

Hr = - i2

0 - 2

Hzr

- 1r

Ez

H = - i2 0 - 2

1r

Hz

+ Ez

r

E = - i2 0 - 2

1r

Ez

- 0 Hzr

quation de Bessel

N : nombre entier "azimuthal" ?

?2z2

+ N2 z = 0

2Rzr2

+ 1r

Rzr

+ 2 0 - 2 - N2r2

.Rz = 0




La dpendance azimuthale z() du champ est une fonction harmonique :

N = 0, 1, 2, 3, ...

@ N donn :

o :

physiquement inacceptable(fonctions non bornes)

La dpendance radiale Rz(r) du champ est une fonction de Bessel :

2 > 0 KN est solution mode guid > n2 k0

2 > 0 JN est solution mode guid n1 k0 >

2

n2 < < 2 n1

cf guide plan : la vitesse de propagation / d'un mode reflte son extension dans le cur et dans la gaine

z = cos N

sin N

Rz r = A JN(.r) + A' YN(.r) r a

Rz r = C KN(.r) + C' IN(.r) r a

2 =

2

c2

1 - 2 = 2 1 0 - 2 = n12 k02 - 2

2 =

2 - 2c2

2 = 2 - 2 2 0 = 2 - n22 k02




J0, J1

K0, K1

Y0, Y1

I0, I1

!

!

Fonctions de Bessel : rappel qualitatif

Rz r = A JN(.r) + A' YN(.r) r a

Rz r = C KN(.r) + C' IN(.r) r a




o :

Solution dans le cur : r a N 0

o :

u = p.a

=

a . 2 1 0 - 2 1/2 E z = A JN u.ra .sin N Hz = B JN

u.ra

.cos N

E r = - A iua

JN u.r

a + B i0

ua

2

Nr

JN u.ra . sin N

E = - A iua

2

Nr

JN u.ra + B i0

ua

JN u.r

a . cos N

Hr = + A i1ua

2

Nr

JN u.ra - B iua

JN u.r

a . cos N

H = - A i1ua

JN u.r

a + B i

ua

2

Nr

JN u.ra . sin N

JN

= ddr JN

u.ra

=

ua

dd u.r

a

JN u.ra




o :

Solution dans la gaine : r a N 0

o :

w = .a = a . 2 - 2 2 0 1/2 E z = C KN w.ra .sin N

E r = + C iwa

KN w.r

a - D i0

wa

2

Nr

KN w.ra . sin N

E = + C iwa

2

Nr

KN w.ra - D i0

wa

KN w.r

a . cos N

Hr = - C i2wa

2

Nr

KN w.ra + D iwa

KN w.r

a . cos N

H = + C i2wa

KN w.r

a - D i

wa

2

Nr

KN w.ra . sin N

KN

= ddr KN

w.ra

=

wa

dd w.r

a

KN w.ra

Hz = D KN w.ra .cos N




Classification des modes

1.1. Dans le cas particulier : N = 0

Squence1. nombre azimuthal N

1'. type de mode TE, TM ou hybride HE, EH2. nombre radial q

pas de dpendanceazimuthale

similitude avec le guide plan existence de modes TE et TM(indpendance en y)

modes TE0q

H = Ez = Er = 0

Hz , Hr et E 0

A = C = 0

modes TM0q

E = Hz = Hr = 0

Ez , Er et H 0

B = D = 0

1.2. Dans le cas gnral : N 0

plus de modes TE et TM ; seuls existent des modes hybridesHEN q et EHN q

Choix du nombre azimuthal N1




Pour un choix du nombre azimuthal N, dterminer l'ensemble qdes nombre radiaux possibles

(pour autant qu'il y en ait )via conditions de continuit des champs E et H, D et B l'interface

cur-gaine

2

Ezcoeur = Ezgaine

Ecoeur = Egaine

1 Ercoeur = 2 Ergaine

Hzcoeur = Hzgaine

Hcoeur = Hgaine

0 Hrcoeur = 0 Hrgaine

systme homogne de 4 quations 4 inconnues A, B, C et D

@ r = a

0 = A JN u - C KN w

0 = + A iua

2

Na

JN u - B i0ua

JN

u + C iwa

2

Na

KN w - D i0wa

KN

w

0 = B JN u - D KN w

0 = + A i1ua

JN

u - B iua

2

Na

JN u + C i2wa

KN

w - D iwa

2

Na

KN w

une solution non triviale si le dterminant des coefficients est nul




JN

u

u.JN u +

KN

w

w.KN w .

n12

n22

JN

u

u.JN u +

KN

w

w.KN w = N2 1

u2 + 1

w2 .

n12

n22

1u2

+ 1w2

[M]ABCD

= 0 dt [M] = 0solution non triviale

hypothse de guidage "faible" n1 n2

JN

u

u.JN u +

KN

w

w.KN w

= N 1u2

+ 1w2

- : modes EH

+ : modes HE

N (et m = N-1) et v donns :les q solutions umq de cette quation (et les mq correspondant)

identifieront les q modes guids

()

1 pour les modes TE0q et TM0q ( N = 0 )N+1 pour les modes EHNq ( N 1 )N -1 pour les modes HENq ( N 2 )

m =

u Jm-1 uJm u

= - w Km-1 wKm w

quation unifiecorrespondant un ensemble de modes dgnrs : LPmq

NB : pour les modes HE1q , on a ( N = 1 ) et donc m = N -1 = 0, ce qui entrane :u J1 u

J0 u = + w

K1 wK0 w

J-1 u = + J1 u

K-1 w = - K1 w

car :

v. Annexe II




rsolution graphique pour m = 1 ou 0 (@ V = 2) : cas monomode

HE1q : TE0q et TM0q : J1 uJ0 u

= + wu

K1 wK0 w

Cas particulier V = 2

V2 = 2 0 1 - 2 . a2 = 2 + 2 . a2 = u2 + w2rappel :

w = 0 @ u = V : c'est la condition dite "de coupure" cutoff = k2

zros de la fonction J0 de Bessel

u11111111 = 1.5 1 seule solution HE : mode LP01

Pour V < 2.405, seul le mode LP01 est guid : le guide est monomode

la solution LP01 existe toujours !!

J. Buck (1995)

m = 1m = 0

J1 uJ0 u

= - uw

K1 wK0 w




rsolution graphique pour m = 1 ou 0 (@ V = 8) : cas multimode

HE1q : TE0q et TM0q : J1 uJ0 u

= + wu

K1 wK0 w

Cas particulier V = 8


u11111111 = 2.15, u12121212 = 4.87, u13131313 = 7.4

Pour V = 8, il y a au moins cinq modes LPmq qui peuvent coexister : le guide est multimode

u01010101 = 3.4, u02020202 = 6.15 solutions HE, TE ou TM

J. Buck (1995)

m = 1m = 0


J1 uJ0 u

= - uw

K1 wK0 w




rsum : classification, conditions de coupure, des modes LPmq dans une fibre SI

Vc : frquence normalise de

coupure du mode

fonction de Bessel dont le zro indentifie

Vc

m

m : nombreazimuthal

J. Buck (1995)




Proprits des modes LPmq

Distribution transverse d'intensit

LP01 = HE11

LP11

LP21

seul mode guid d'une fibre "monomode" (dans appr. gomtrique = rayon axial)

I.

J. Buck (1995)




LP02

LP31

LP12

Dans un mode LPmq , la valeur du nombre radial q reflte la complexit radiale de sa distribution d'intensit

Le nombre azimuthal m est un indicateur de la complexit azimuthale

J. Buck (1995)




courbes de dispersion des constantes de propagation des modes guids LPmq d'une fibre optique saut d'indice

= dpendance de en , ou de en , ou de b en V

2.4

fibre multimodefibre monomode

V

b

V < 2.4 V > 2.4

Courbes de dispersionII.

b = 1 - u2V2

= 2 - n22.k02

n12.k02 - n22.k02

neff - n2n1 - n2

0 < b < 1

b est appele "constante de propagation normalise"coupure

guidage parfait

coupure = n2k0

guidage parfait

= n1k0

J. Buck (1995)




2.4

fibre multimodefibre monomode

V

V < 2.4 V > 2.4

Confinement d'intensitIII.

0 < < 1

puissance dans gaine

puissance dans coeur

1111

l'extension spatiale du mode fondamental d'une fibre

monomode vers la gaine est exploite pour sonder l'existence de courbures de cbles trop importantes aprs installation

(long wavelength OTDR)

J. Buck (1995)

= PgainePcoeur + Pgaine

=

u2

V2. 1 - Km

2 wKm-1 w .Km+1 w




En considrant le champ lectrique du mode fondamental LP01 = HE11polaris selon la direction x, c'est--dire Ey = 0, nous avons une rpartition

transverse de profil J0 .

qui peut tre approche par une distribution de champ gaussienne de largeur W :

HE11

W >

a

@ V = 2.4

NB : @ V = 1,5 W/a = 1,8 Pcoeur/Ptotal = 0,46

Ex A exp(- r2W2

).exp(-iz) PcoeurPtotal = 1 - exp(-2 a2W2

)

r/a

- une fibre optique SI est dite "monomode" (angl. singlemode) si le seul mode fondamental HE11 = LP01 est guid

V < 2.405

> coupurea "petit"

(typ. : 5 m)

faible n(typ. : 3 . 10-3)

Et galement IV.




Annexe I : Ex ,Ey ,Hx , et Hy = f(Ez,Hz)

Ez = Ez x,y e +i t-z Hz = Hz x,y e +i t-z

2Ezx2

+ 2Ezy2

+ 2

c2 - 2 .Ez = 0

2Hzx2

+ 2Hzy2

+ 2

c2 - 2 .Hz = 0

H = Et E = - 0Ht

Ezy

+ i E y = - i 0 Hx

i E x + Ezx = i 0 Hy

Eyx

-

Exy

=

- i 0 HzHyx

-

Hxy

=

+ i E z

- i Hx - Hzx = i E y

Hzy

+ i Hy = + i E x

Ex = - i2 0 - 2

Ezx + 0 Hzy

Ey = - i2

0 - 2

Ezy

-

0 Hzx

Hx = - i2 0 - 2

Hzx - Ezy

Hy = - i2 0 - 2

Hzy + Ezx




Annexe II : proprits des fonctions de Bessel

Jn+1 u + Jn-1 u = 2 nu Jn u

Kn+1 w - Kn-1 w = 2 nw Kn w

-2 Kn w = Kn-1 w + Kn+1 w

2 Jn u = Jn-1 u - Jn+1 u

J-n u = -1 nJn u

K-n w = Kn w

Jn u = Jn-1 u

2 -

nu

Jn u - Jn-1 u2 = Jn-1 u - nu

Jn u

Jn u

u Jn u =

Jn-1 uu Jn u

-

nu2

= - Jn+1 uu Jn u

+

nu2

Kn w

w Kn w = -

Kn-1 ww Kn w

-

nw2

= - Kn+1 ww Kn w

+

nw2

rcriture de () :

N = 0 TE0q u J0 uJ1 u

= - w K0 wK1 w

N 1 EHNq u JN u

JN+1 u = - w

KN wKN+1 w

N 1 HENq u JN uJN-1 u = + w

KN wKN-1 w

(A2.1)

(A2.2)




Jn+1 u + Jn-1 u = 2 nu Jn u

Kn+1 w - Kn-1 w = 2 nw Kn w

N 1 HENq u JN uJN-1 u = + w

KN wKN-1 w

(A2.1)

(A2.2)

en posant n = N-1 dans (A2.1) et (A2.2)

JN u + JN-2 u = 2 N-1u JN-1 u KN w - KN-2 w = 2 N-1w

KN-1 w

u 2 N-1u JN-1 u - JN-2 u

JN-1 u = + w

2 N-1w KN-1 w + KN-2 wKN-1 w

N 1 HENq

nouveau nombreazimuthal m

1 pour les modes TE0q et TM0q ( N = 0 )N+1 pour les modes EHNq ( N 1 )N-1 pour les modes HENq ( N 2 )

m =

u Jm-1 uJm u

= - w Km-1 wKm w

u JN-2 uJN-1 u

= - w KN-2 wKN-1 w

quation unifiecorrespondant un ensemble de modes dgnrs : LPmq

NB : pour les modes HE1q , on a ( N = 1 ) et donc m = N-1 = 0, ce qui entrane :

u J1 uJ0 u

= + w K1 wK0 w

J-1 u = + J1 u

K-1 w = - K1 w

car :

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