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ELC-1111 LECTROSTATIQUE
CHAMP ET POTENTIEL
LECTROSTATIQUES
Chapitre
2
Prof. Mourad ZEGRARI
UNIVERSIT HASSAN II DE CASABLANCAcole Nationale Suprieure dArts et MtiersDpartement de Gnie lectrique
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 2
Plan
Introduction
Forces lectrostatiques
Champ lectrostatique dans le vide
Potentiel lectrostatique
nergie potentielle
Diple lectrostatique
Mouvement des particules charges
lectrostatique
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 3
Introduction
lectrostatique : tude des phnomnes dinteraction entre corps
lectriss.
lectrisation dun corps : apparition de charges lectriques.
lectron : charge lmentaire ngative : qe = -1.610-19 C
Proton : charge lmentaire positive : qp = 1.610-19 C
Neutron : charge lmentaire neutre : qn = 0 C
La charge lectrique est exprime en Coulomb (C).
Llectrisation dun corps nat du dsquilibre entre le nombre
dlectrons et de protons du corps.
lectrostatique
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 4
Mise en vidence
Une tige en plastique est lectrise par frottement.
Une force dattraction apparat et modifie la position dquilibre.
Force lectrostatique.
Corps isolants : charge conserve l o le frottement a eu lieu.
Corps conducteurs : charge rpartie sur toute la surface.
Forces lectrostatiques
Tige de plastique
PapierAttraction
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 5
Loi de Coulomb
Deux charges ponctuelles qA et qB places la distance AB = r :
Force exerce par qA sur qB :
Vecteur unitaire :
Coefficient k dans le vide :
Permittivit absolue du vide :
Forces lectrostatiques
rA
qA
FA/B
FB/A
u
B
qB
A B A BA / B 22
q q q q ABF k u k
r ABAB
AB ru
rAB
9 2 20
1k 9 10 N.m / C
4
12 2 20 8.85 10 C / N.m
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 6
Proprits de la Loi de Coulomb
Dans un milieu autre que le vide de permittivit r :
Principe daction et de raction :
Force dpend de la nature des charges :
Forces rpulsives si :
Forces attractives si :
Forces lectrostatiques
A B A BA / B
2 2
0 r
q q q q1 1F u u
4 r 4 r
Charles de Coulomb (1736-1806)
0 r
A/ B B/ AF F
ouA B
A B
A B
q 0 et q 0
q q 0
q 0 et q 0
ouA B
A B
A B
q 0 et q 0
q q 0
q 0 et q 0
A
+q +q
FB/A B FA/B
A
+q +q
FB/A BFA/B
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 7
Exemple 1.1
On considre un atome dhydrogne de rayon : r = 0.5310-10 m
Calculer la force de Coulomb FC (lectrostatique) exerce entre un
lectron et un proton.
Calculer la force de Newton FN (gravitation) appliqu entre un
lectron et un proton.
Comparer ces forces en calculant le rapport FC/FN.
Donnes :
Quantits de charges : |q| = 1.610-19 C
Masses des charges : me = 9.1110-31 kg ; mp = 1.6710
-27 kg
Coefficient gravitation : G = 6.6710-11 (N.m/kg)
Forces lectrostatiques
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 8
Exemple 1.1
Calculer la force lectrostatique exerce entre un lectron et un proton dun atome
dhydrogne. Le rayon de latome est : r = 0.5310-10 m
Quantits des charges lectriques :
Force lectrostatique de Coulomb :
Comparaison avec la force de gravitation :
G = 6.6710-11 (N.m/kg) me = 9.1110-31 kg et mp = 1.6710
-27 kg
Force de gravitation (Loi de Newton) :
Comparaison des deux forces :
Forces lectrostatiques
19
p eq q e 1.6 10 C
21929 8
C 22 100
1.6 101 eF 9 10 8.2 10 N
4 r 0.53 10
p e 47
G 2
m mF G 3.61 10 N
r
839C
47
G
F 8.2 102.3 10
F 3.61 10
attractive
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 9
Loi de Coulomb gnralise
Ensemble de charges ponctuelles qi :
Principe de superposition :
A1
M
q
Fn
A2
An
q1
q2
qn
F2
F1
FT
n ni
iT i2i 1 i 10 i
q qF F u
4 r
r1
Somme vectorielle
Forces lectrostatiques
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 10
Exemple 1.2
Trois charges ponctuelles identiques q > 0 places aux sommets d'un triangle quilatral de ct a. On place une charge q0 < 0 au centre O de ce triangle.
Dterminer la force lectrostatique totale F laquelle est soumise la charge q0.
Force totale exerce sur q0 :
Forces lectrostatiques
O A B CF F F F 0 Charge q0 en quilibre.
FA
q0
A
FB FC
uA
B Cqq
q
O
uCuBr
OA = OB = OC = rr
a a
a
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 11
Mise en vidence
Deux charges qA et qB places proximit dune charge q0.
Les charges qA et qB subissent des forces lectrostatiques.
Ces forces sont dues au champ lectrostatique cr par q0 :
Le champ lectrostatique est exprim en Volt par mtre (V/m).
Champ lectrostatique
O
FA
FB
A
qA 0
qB 0
Bq0 0
F qE
FE
q
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 12
Cas dune charge ponctuelle
Deux charges qA et qB places la distance AB = r.
Force de Coulomb exerce par qA sur qB :
Champ lectrostatique cr par qA au point B :
Expression gnralise, charge q au point O la distance OM = r :
Champ lectrostatique
r FA/BE(B)A
qA
B
qB
A BA / B
2
0
q q1F u
4 r
A / B A
B2
B 0
qF 1E u
q 4 r
M 20
q1E u
4 r
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 13
Cas dune distribution discontinue
Ensemble de charges ponctuelles qi :
Principe de superposition :
Champ lectrostatique
A1
M
En
A2
An
q1
q2
qn
E2
E1
ET
n ni
iT i2i 1 i 10 i
q1E E u
4 r
r1
Somme vectorielle
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 14
Exemple 1.3
Une distribution de charges comporte quatre charges ponctuelles q1, q2, q3 et q4 places
aux sommets A, B, C et D dun carr de ct 1 cm.
Calculer le champ lectrostatique total cr au centre O de ce carr.
On donne : q1 = q4 = 10-8 C ; q2 = q3 = - 0.510
-8 C
Champ lectrostatique
q1
+
+
-
-
q2
q3q4
A B
CD
ex
ey
O
r1
r4
r2
r3
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 15
Exemple 1.3
Une distribution de charges comporte quatre charges ponctuelles q1, q2, q3 et q4 places
aux sommets A, B, C et D dun carr de ct 1 cm.
Calculer le champ lectrostatique total cr au centre O de ce carr.
On donne : q1 = q4 = 10-8 C ; q2 = q3 = - 0.510
-8 C
Application du principe de superpositions :
Champ rsultant au point O
Champ lectrostatique
q1
+
+
-
-
q2
q3q4
A B
CD
E1
E3
E4
E2ex
ey
ETO
r1
r4
r2
r3
n 4i
iT i2i 1 i 10 i
q1E E u
4 r
2 2
1 2 3 4
1r r r r 0.5 0.5 cm
2 1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
4 41 1
(O) x x
0 0
q q10 10 2E 3cos e 3 e
4 2 4 2 2
9 12 3(O) x x
3 2E 9 10 10 e 9.55 10 e
4
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 16
Cas dune distribution continue
La charge peut tre rpartie dune faon continue sur une ligne, une
surface ou un volume.
On choisit une charge lmentaire dq suffisamment petite.
Le champ rsultant est calcul daprs le principe de superposition :
Distribution discontinue :
Distribution continue :
Champ lectrostatique
ii i2
0 i
q1E u
4 r
Sommation
n ni
iT i2i 1 i 10 i
q1E E u
4 r
2
0
dq1dE u
4 r
Intgration T 2
charg e charg e0
dq1E dE u
4 r
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 17
Distribution Linique
La charge est rpartie sur toute une courbe (C).
Si est constante densit uniforme.
Champ lmentaire cr au point M :
Champ total cr par la courbe (C) :
Champ lectrostatique
: densit linique de charge (C/m).
2 2
0 0
ddq1 1dE u u
4 r 4 r
T 2Courbe C0
d1E dE u
4 r
dq
d
M
r
d
dE
(C)
u
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 18
Exemple 1.4
Calculer le champ lectrostatique cr par une ligne indfinie, charge avec
une densit uniforme, en tout point M situ la distance d de la ligne.
Champ lmentaire cr par d :
Par symtrie, le champ est sur laxe OX :
Champ rsultant au point M :
Champ lectrostatique
M
r
d
()
u
eyd
dE'
d'
Xex
dE
dET
2 2
0 0
ddq1 1dE u u
4 r 4 r
T x x2
0
d cosdE dEcos e e
4 r
d dcos r
r cos
2
ddtg d d
cos
/ 2
T T x x x
fil / 20 0
E dE e cos d e e4 d 2 d
T x
0
E e2 d
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 19
Distribution Surfacique
La charge est rpartie sur toute une surface (S).
Si est constante densit uniforme.
Champ lmentaire cr au point M :
Champ total cr par la surface (S) :
Champ lectrostatique
: densit surfacique de charge (C/m2).
2 2
0 0
dSdq1 1dE u u
4 r 4 r
T 2Surface S0
dS1E dE u
4 r
dq
dS
Mr
dS
dE
(S)
u
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 20
Distribution Volumique
La charge est rpartie sur tout un volume ().
Si est constante densit uniforme.
Champ lmentaire cr au point M :
Champ total cr par le volume () :
Champ lectrostatique
: densit volumique de charge (C/m3).
2 2
0 0
ddq1 1dE u u
4 r 4 r
T 2Volume S0
d1E dE u
4 r
dq
d
Mr
d
dE()
u
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 21
Lignes de champ
Courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ associ.
quation caractristique :
Champ lectrostatique
M
N
P
E(M)
E(N)
E(P)
Ligne de champ
d E 0
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 22
Surface de niveau
Ensemble de points o le module du champ lectrique est constant.
Exemple : charge ponctuelle
Champ lectrostatique
teE r k C
0
q1E
4 r
Surfaces de
niveau
q
+Mr E(M)
N
E(N)
Lignes de champ
q
+
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 23
Proprits du champ lectrostatique
Tube de champ
Surface forme par un ensemble de lignes de
champ qui sappuient sur un contour ferm.
Champ uniforme
Le vecteur champ lectrostatique garde les
mmes proprits (module, direction, sens).
Lignes de champ = droites parallles.
Champ lectrostatique
Ligne de champ
+
+
+
+
+
E --
-
-
-
-
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 24
Circulation du champ lectrique
Circulation lmentaire de M vers M :
Soit :
Circulation totale de A vers B :
Soit :
Champ lectrostatique
d E.d Ed cos C
dr d cos
C2
0
q drd Edr
4 r
O
q
M
M'
d
r
r'
A
B
rA
rB
u
E (M)
C CB
A
rBB
A 2A r0
q drd
4 r
B
A
0 A B
q 1 1
4 r r
C Circulation indpendante de la trajectoire choisie.
Circulation nulle pour un parcours ferm.
dr
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 25
nergie du champ lectrostatique
Charge q0 place au point M Force lectrostatique.
Travail lmentaire :
Sur un parcours ferm :
Soit :
Force lectrostatiques conservatives nergie potentielle Ep
Champ lectrostatique
O
q
M
M'
d
r
u
E (M) F
0 0dW F.d q E.d q d C
0W q C
q0 dr
M
M M 0 MW q 0 C
M
M
0
q 1 1E.d 0
4 r r
C
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 26
nergie du champ lectrostatique
Formulation du travail lmentaire :
Force ayant tendance dplacer q0
Pour positionner q0 au point M :
Fournir une nergie potentielle Epoppose au travail de la force F :
Soit :
Champ lectrostatique
0
2
0
qq drdW F.d Fdr
4 r
O
q
M
M'
d
r
u
E (M) F
q0 dr
PdE dW
0P rf
0
qq 1E E
4 r
0P 2
0
qq drE dW
4 r
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 27
Dfinition du potentiel lectrostatique
Fonction scalaire introduite par Lagrange : Relation Force-nergie
Le champ lectrostatique dcrot le potentiel :
Si on introduit la notion dnergie lectrostatique :
Soit :
Le potentiel lectrostatique V traduit laspect nergtique du champ.
Potentiel lectrostatique
dV E.d d C
P 0dE dW q d C
P 0dE q dV
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 28
Potentiel cr par une charge ponctuelle
Soit q une charge place au point O et M un point la distance OM = r
La variation dV du potentiel au point M est :
Potentiel cr au point M :
Convention : V() = 0 k = 0
Potentiel lectrostatique
O
q
M
r
V (M)20
q drdV Edr
4 r
M
0
q 1V k
4 r
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 29
Potentiel cr par une distribution
Distribution discontinue :
Distribution continue :
Linique () :
Surfacique () :
Volumique () :
Potentiel lectrostatique
ii
0 i
q1V
4 r
Sommation
n ni
iMi 1 i 10 i
q1V V
4 r
(M)
(C)0
1 dV
4 r
0
dq1dV
4 r
Intgration
M
q q0
dq1V dV
4 r
(M)
(S)0
dS1V
4 r
(M)
( )0
1 dV
4 r
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 30
Exemple 1.5
Sphre de rayon R uniformment charge en surface avec la densit .
Calculer le potentiel cr en tout point de la surface.
Potentiel lmentaire :
Surface lmentaire :
Potentiel total :
Potentiel de la sphre :
Charge lectrique totale :
Potentiel lectrostatique
dS
R
O
0
dSdV
4 R
2dS R sin d d
2
0 0(S)0 0
dS R1V sin d d
4 R 4
0
RV
2
(S) 0
QQ dS 4 R V
4 R
(coordonnes sphriques)
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 31
Surface quipotentielle
Rgion de lespace o le potentiel est constant :
Exemple : charge ponctuelle
quipotentielles = Sphres concentrique
Potentiel lectrostatique
teV r k C
0
q1V r
4 r
Surfaces
quipotentielles
E
Lignes de champ
q
+
dV E.d 0 E d Vecteur champ perpendiculaire toute surface quipotentielle.
d
teV r C r k
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 32
Relation Champ-Potentiel
Le champ lectrique est fonction de la variation du potentiel :
La relation fondamentale Champ-Potentiel est :
Potentiel lectrostatique
dV E.d d C
x
y x y z
z
E dx
d E E .d dy E dx E dy E dz
E dz
CV V V
dV dx dy dzx y z
x y z
V V VE.d dV E dx E dy E dz dx dy dz
x y z
x x y y z z x y z
V V VE E e E e E e e e e
x y z
E gradV
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 33
Exemple 1.6
Deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont places dans un champ uniforme.
Calculer la diffrence de potentiel : VAB = VA VB
Champ uniforme :
Relation fondamentale :
Potentiel lectrostatique :
Diffrence de potentiel :
Expression finale :
Potentiel lectrostatique
X
A
B
xA xB
yA
yB
YChamp E uniformex
E E e
xdV
E gradV E edx
V x E.d Edx
B
AB A B
A
V V V Edx
AB B AV E x x E x
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 34
nergie dune charge ponctuelle
Nous avons vu que lnergie potentielle correspond loppos du travail
des forces lectrostatiques :
nergie potentielle au point M :
On dduit la relation Champ-nergie potentielle :
nergie Potentielle
0P 2
0
qq drdE dW
4 r
O
q
Mdr
r
X
u
q0F
(initial)
(final)
M M0 0
P 2
0 0
qq qqdr 1E dW
4 r 4 r
P 0 (M)E q V
PEE gradV gradq
PF qE gradE
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 35
nergie dun systme de charges
Systme de deux charges ponctuelles qA et qB :
Potentiel au point A :
Potentiel au point B :
Expression de lnergie potentielle :
nergie potentielle dun systme de N charges ponctuelles :
nergie Potentielle
BA
0
q 1V
4 r
A
qAB
r
qBVB
VA
AB
0
q 1V
4 r
A BP A A B B A A B B0
q q 1 1E q V q V q V q V
4 r 2
N
P i i
i 1
1E q V
2
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 36
nergie dune distribution continue
Formulation dduite partir de celle dune distribution discontinue :
V : potentiel au point o se trouve la charge lmentaire dq.
Linique () :
Surfacique () :
Volumique () :
nergie Potentielle
P
(Distrib.)
1E Vdq
2
P(C) (C)
1 1E Vdq V d
2 2
P(S) (S)
1 1E Vdq V dS
2 2
P( ) ( )
1 1E Vdq V d
2 2
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 37
Diple lectrostatique
Structure de deux charges opposes +q et q situes la distance .
Moment bipolaire :
Exemples de diples :
Diple lectrostatique
-q +q
up
B A
p
pp q q u
p
H+ C-
p
C+ O-
p = 0
C+ O-O-
H+
H+
O-p
Structure CO Structure HC Structure CO2Structure H2O
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 38
Potentiel cr par un diple
On considre un point M assez loign du diple : OM = r
Potentiel cr au point M :
Expression du potentiel :
Diple lectrostatique
M
-q +q
O
= 2a
r2 r1r
p
B AX
Y
2 1
A BM
0 1 2 0 1 2
q q r r1 1V V V
4 r r 4 r r
1 2 1
2
2 1 2
r r acos r r 2acosr
r r acos r r r
r
M 2 2
0 0
q p.ucos 1V
4 r 4 r
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 39
Champ cr par un diple
On dtermine le champ lectrique partir du potentiel dj calcul :
Relation Champ-Potentiel :
Expression du champ lectrostatique :
Diple lectrostatique
r 3
0
3
0
z
2pcosVE
r 4 r
p sin1 VE E
r 4 r
VE 0
z
2
0
p.u1E grad V grad
4 r
r
M 2 2
0 0
q p.ucos 1V
4 r 4 r
Coordonnes polaires
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 40
quipotentielles et lignes de champ
quation des quipotentielles :
quation des lignes de champ :
Soit :
Diple lectrostatique
0M 20
q cosV V
4 r
0 0
pcosr
4 V
d E 0
2
Ln r 2Ln sin A Ln sin A
2r K sin
Surfaces
quipotentielles
Lignes de
champ
r
rd cos d d sindr dr2 2
E E r sin sin
K : constante dintgration dont la valeur dfinie les lignes de champ.
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 41
Actions dun champ uniforme
Diple lectrostatique de moment p plac dans un champ uniforme.
Forces lectrostatiques
Diffrence de potentiel
nergie potentielle
Diple lectrostatique
Le diple ne subit aucune force de translation.
X
p
Y
Champ E uniforme
F2
F1
xB xA
B
A
E
T 1 2 1 2F F F q E E
TF 0
AB A B A BL
V V V E.d E x x
P ABE qV Eq cos dipleE p.E
ABV E cos
P PA PB A B ABE E E q V V qV
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 42
Moment du couple appliqu
Les forces F1 et F2 appliquent au diple un couple de moment T :
On dduit :
Expression du couple :
Le diple trouve une position dquilibre si p et E sont parallles.
Diple lectrostatique
X
p
Y
Champ E uniforme
F2
F1
xB xA
B
A
E
dO
T
1 2T T T
1 2T T d F d Fsin .Fsin2
1T 2T .Fsin q .Esin
T p E
Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 43
Mouvement des charges
Une charge ponctuelle q place dans un champ uniforme E :
Loi de Newton :
Loi de Coulomb :
lquilibre :
Principe de conservation de lnergie :
Soit :
Mouvement des charges
X
Y
Champ E uniforme
vi
Pi
vf
Vi
Pf
Vf
mF ma
cF qE
qa E
m
T i T fE P E P
2 2
i i f f
1 1m qV m qV
2 2 v v
2 2f i i f1
m q V V2
v v