16
Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using ®nite dierence SAMEER A. HAMOUSH * , MOHAMED J. TERRO ** , AND W. MARK MCGINLEY *** * Dept. of civil and architectural Engineering, North Carolina A&T State University, Greensboro, NC27411, USA. ** Kuwait University ABSTRACT This paper studies the elastic and inelastic behavior of non-prismatic members subjected to combined eccentric axial and transverse forces. The inelastic material behavior of the member is taken into account using a bi-elastic constitutive relationship of the stress and strains. This is to simulate the elastic and inelastic analysis as well as elastic perfect plastic analysis. This is necessary to carry the model on various materials including metals, concrete and composites. Based on the curvature-de¯ection relationship, a ®nite dierence technique is implemented to simulate the de¯ected shape of non-prismatic members. An analytical computer model for the sectional equilibrium of the member is developed. Exact solutions for six cases of strain in the pure elastic, elastic-plastic, and pure plastic modes in both tension and compression are considered. The model relates beam curvature to de¯ection by analyzing strain distribution at sections of the member for a giver bending moment and axial force. The presented model provides a solution for any non-prismatic beams, but the focus of this investigation is on tapered beams only. Numberical examples are presented and validated against elastic solutions. Keywords: Axial and transverse loading; beam-column; computer model; elastic and inelastic. ®nite dierence; non-prismatic. 1. INTRODUCTION Beams that are deepened by haunches, to increase their moment resistance, and non-prismatic columns, such as those supporting crane girders in industrial buildings, are widely used in engineering practice. the elastic and inelastic analysis of such non-prismatic members is well documented in the literature. However, the inelastic analysis of non-prismatic members is limited to the use of ®nite element and equivalent systems methods. Furthermore, most of the work on equivalent systems has been established for cases where the loads are applied only in the transverse direction, and do not account for axial loads. Ferdis 1956, 1966, 1973, and 1984), and Ferdis and Zobel 1958 and 1961) Kuwait J. Sci. Eng. 292) 2002

Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

  • Upload
    others

  • View
    11

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

������� �� �������� �������� � ������������� ����� �����

���� �����

������ �� ������� ������� � ������

����� ������������

������ �� �� �� ������� � ���������� ����� � ���� ��� �� �� ���������

������ ���� ��!"#$$� ������ %�& � ��������

��������

���� ����� ��� ��� ��� �!����" �# �#�!����" $���%�&� &' #&#(����)���" )�)$��� ��$*�"��

�& "&)$�#� �""�#���" �+��! �# ���#�%���� '&�"��� ��� �#�!����" )������! $���%�&� &' ���

)�)$�� �� ��,�# �#�& �""&�#� ���#- � $�(�!����" "&#�������%� ��!���&#���� &' ��� ������ �#

�����#�� ���� �� �& ��)�!��� ��� �!����" �# �#�!����" �#�!.��� �� /�!! �� �!����" ���'�"�

�!����" �#�!.���� ���� �� #�"�����. �& "���. ��� )& �! &# %���&�� )������!� �#"!� �#-

)���!�� "&#"���� �# "&)�&������ 0��� &# ��� "��%�����( �1�"��&# ��!���&#����� � 2#���

�3���#"� ��"�#�4�� �� �)�!�)�#�� �& ��)�!��� ��� �1�"�� ����� &' #&#(����)���"

)�)$���� �# �#�!.��"�! "&)����� )& �! '&� ��� ��"��&#�! �4��!�$���) &' ��� )�)$�� ��

�%�!&�� � �+�"� �&!���&#� '&� ��+ "���� &' �����# �# ��� ���� �!����"� �!����"(�!����"� �#

���� �!����" )& �� �# $&�� ��#��&# �# "&)������&# ��� "&#�� ��� � ��� )& �! ��!����

$��) "��%����� �& �1�"��&# $. �#�!.5�#- �����# �����$���&# �� ��"��&#� &' ��� )�)$��

'&� � -�%�� $�# �#- )&)�#� �# �+��! '&�"�� ��� �����#�� )& �! ��&%� �� � �&!���&# '&�

�#. #&#(����)���" $��)�� $�� ��� '&"�� &' ���� �#%����-���&# �� &# ������ $��)� &#!.�

��)$���"�! �+�)�!�� ��� �����#�� �# %�!� ��� �-��#�� �!����" �&!���&#��

������� �+��! �# ���#�%���� !&� �#-6 $��)("&!�)#6 "&)����� )& �!6 �!����"

�# �#�!����"� 2#��� �3���#"�6 #&#(����)���"�

! "#��$%&��"$#

0��)� ���� ��� ����#� $. ���#"���� �& �#"����� ����� )&)�#� �������#"�� �#

#&#(����)���" "&!�)#�� ��"� �� ��&�� ����&���#- "��#� -�� ��� �# �# ������!

$��! �#-�� ��� /� �!. ��� �# �#-�#����#- ���"��"�� ��� �!����" �# �#�!����"

�#�!.��� &' ��"� #&#(����)���" )�)$��� �� /�!! &"�)�#�� �# ��� !����������

�&/�%��� ��� �#�!����" �#�!.��� &' #&#(����)���" )�)$��� �� !�)��� �& ��� ��� &'

2#��� �!�)�#� �# �4��%�!�#� �.���)� )���& �� 7������)&��� )&�� &' ��� /&�,

&# �4��%�!�#� �.���)� ��� $��# ����$!���� '&� "���� /���� ��� !&� � ��� ���!��

&#!. �# ��� ���#�%���� ���"��&#� �# & #&� �""&�#� '&� �+��! !&� ��

7�� �� 89:;<� 9:<<� 9:=>� �# 9:?@A� �# 7�� �� �# B&$�! 89:;? �# 9:<9A

%�& � '� �� ���� '(8CA CDDC

Page 2: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

�%�!&�� ��� )���& &' �4��%�!�#� �.���)� /��"� ��� � &�$!� �#��-����&#

��"�#�4�� �& �#�!.5� ����)���" )�)$��� ��$*�"�� �& 1�+��� &#!.� ��� ��� �"��

$���%�&� &' )�)$��� �# �� ���� $�# �#- ���#- ���� )���& "&)����

'�%&��$!. /��� �+����)�#��! ����!�� �%��!�$!� �# ��� !���������� 7�� �� �# ���#�

89::DA �# 7�� �� �# ��#�*� 89::9A '������ �+��# � ��� �4��%�!�#� �.���)�

)���& �& "&%�� $&�� ����)���" �# #&#(����)���" )�)$��� �# ��� �#�!����"

��#-�� ���� )���& ���)��� ��� ���!�"�)�#� &' ��� &��-�#�! )�)$�� &' %����$!�

���3#��� /��� &#� &' �#�'&�) �4��%�!�#� ���3#���� 0. ���#- ���� ��"�#�4�� ���.

��� �"�� ��� )�)$�� $���%�&� �� �& '��!���� ����� ��� .� �&/�%��� � #&�

�#"!� � )�)$��� /��� �+��! !&� �#-�

�!(��5��#� �� �� 89::9A ��� ��&����)����" �!�#� ������ 2#��� �!�)�#�� �&

"&# �"� �# �#%����-���&# &' ��� $���%�&� &' '��)�� /��� #&#(����)���" )�)$����

����� ��� . ��&/� ���� ��� "&#%�#��&#�! )���& � &' �#�!.5�#- ����� �.�� &'

����"����� !�� �& ���&#�&�� ����!��� �����'&��� ���. ��"&))�# � ��� ��� &'

'��)� �#�!.��� "&)����� ��&-��)� �& )& �! '��)�� /��"� "&#���# #&#(

����)���" )�)$����

7�#, �# ��#- 89:??A �%�!&�� � #�)���"�! ��"�#�4�� '&� ��� "�!"�!���&#

&' � ���3#��� )����+ '&� #&#(����)���" )�)$���� ���� ��"�#�4��� "&��!� /���

��� 2#��� �!�)�#� )���& � /�� ��� �& &$���# ��� �1�"��&#� �� #& �� �!&#- ���

)�)$��� ��� )���& � �&/�%��� /�� #&� �$!� �& �""�����!. ��� �"� ��� $���%�&�

&' ��� #&#(����)���" )�)$��� �# ��� �#�!����" ��#-�� �!�&� ����# � �# �&.!�

89:?9A �# ��)�#� 89:?>A� /&�,�#- ��������!.� �%�!&�� 2#��� �!�)�#� )& �!�

'&� ��� �#�!.��� &' #&#(����)���" $��)� �# ��� �!����" �# �#�!����" ��#-�� �����

)& �!� ��� "&#�� ��� � ���#'&�"�)�#� &' ��� "&#%�#��&#�! 2#��� �!�)�#�

)���& �

���� ����� �+"��$�� ��� �%�!&�)�#� &' � %������!� �# ��)�!� #�)���"�!

��"�#�4�� �& ��� . ��� $���%�&� &' #&#(����)���" $��)("&!�)# )�)$���

������� $�.&# ����� �!����" !�)��� ���� ��"�#�4�� ���� � 2#��� �3���#"�

����&�"� &%�� ��� !�#-�� &' ��� )�)$�� "&��!� /��� '&�"� �4��!�$���) �#

�����# "&)����$�!��. �4����&#� ���!�� �"�&�� ��� ��"��&#� E�!� ���&# &'

��� �"�� )�)$�� ����&#�� �-��#�� ����!�� &$���#� ���#- &���� �%��!�$!�

#�)���"�! ��"�#�4��� �� �����#�� �

��� ��&�&�� )& �! &' ���� �#%����-���&# /�� ���!�� �& ���#'&�"� "&#"����

$��)� 8����� � 9::?A �# $��)� ���#'&�"� /��� 7�F "&)�&���� )������!� �&

�%�!���� ��� �1�"��&# �# ��� "��%����� �!&#- ��� "�#��!�%��� $��)�

8��)&��� �� �� CDD9A� �� /�� '&�# ���� ��� ��&�&�� )& �! ��� �"�� ���

�1�"��&# /��� � ����&#�$!� �""���".�

$(( � )��� �� * )����� +�� )�� '� ������ �� ,� + �- +�����

Page 3: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

'! )$�*&+��"$#

�# ���� ��"��&#� ��� 2#��� �3���#"� '&�)�!���&# �# ��� �#�!����" $��)("&!�)#

��"��&#�! �#�!.��� ��� ��"��$� �

)���� ����� ����������

��#- � ��.!&� ����&+�)���&# '&� $��)("&!�)# )�)$��� ��� 2#��� �3���#"�

��!���&#���� $��/��# "��%����� �# �1�"��&# �� �����#�� $�!&/ 8�!!�# �#

0�!�&# 9:?DAG

,��9 � �C,��� � C,� �,��9 �9�

�����G

�H !�#-�� &' ��-)�#�� �!&#- ��� )�)$���,H �&��! ���!�"�)�#�� �H �����&#

#�)$��� �# ,�� H "��%������

�4����&# 89A ��&%� �� ��� ���!�"�)�#� �� ��� �# �����&# /��# ��&�� �� ���

�/& ���%�&�� �����&#� ��� ,#&/#� "&��!� /��� ��� "��%����� �� ��� ���%�&��

�����&#� �� ��&�! $� #&�� ���� ��-��� &� �� ���)� ��� #�-!�"�� $��� &# ���

����)���&# &' �)�!! �1�"��&#�� �&/�%��� �4����&# 89A "&�! $� ����!. )& �2�

�& �#"!� � ��-��� &� �� ���)� $. ���#- � ��#-�(����� ����&+�)���&#�

��� "��%����� 8,�� � 9

�� /���� � �� ��� �� ��� &' "��%�����A �� ����)�#�

����)�#- � !�#��� �����# �����$���&# �"�&�� ��� ��"��&# �� ��"� �����&#� ����

!�#��� �����# �����$���&# �� �2#� $. � �&� �# $&��&) %�!�� &' �����# �� ��"�

�# &' ��� ��"��&#� ��� �&� �# $&��&) �����#� ��� "�!"�!��� $��� &# ���

�4����&#� &' �4��!�$���) &' ��� ���!�� '&�"�� �# ��� "&)����$��. &' �����#� ��

��"� ��"��&#� ��� $&�# ��. "&# ���&#� '&� �4����&# 89A ��� ���# �#� &# ���

�.��� &' ����&�� ��� '&� ��� )�)$�� �# �� "&#�� �����&#�

��� ����� ���� ��� ���

7&� $��)("&!�)#� /��� ��)�!. ����&��� �# �� ����� ��� 5��& ���!�"�)�#�� ��

$&�� �# � 8��� 7�-��� 9A�

)���� � 7�#��� �3���#"� )& �!�#- &' � ��)�!. ����&��� $��)�

$("�� �� �� ��� �� � ���� �� ���.���) � )�) ��� ���� /��� �0�����

Page 4: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

�����G

,D H �#����! ���!�"�)�#� &' �#!&� � )�)$�� )������ '�&) ��� !�#� *&�#�#-

��� �# � &' ��� "�#���(!�#�� � H �""�#���"��. &' ��� "&)������%� !&� � �# 1 H

���!�� !&� �

�& ���!. ��� 2#��� �3���#"� ����&�"�� � %�!�� '&� ��� ���!�"�)�#� �� �����&# C

)��� $� ����)� � 0��� &# ���� %�!��� ��� ���!�� )&)�#� �# �+��! '&�"� ���

����)�#� � �����# "&)����$�!��. ��!���&#� ��� ���# �)�!&.� �& "�!"�!��� ���

�&� �# $&��&) �����# %�!��� �# ��� "��%����� &' ��� ��"��&# �� ��&/# �# ���

'&!!&/�#- ��"��&#�� ��%�#- �#����! %�!��� '&� ���!�"�)�#� �� �����&#� 9 �# C

8 ���!�"�)�#� �� �����&# 9 �4��!� 5��&A� �4����&# 89A �� ���# �� ��� �& ����)�#�

��� ���!�"�)�#� �� �����&# >� ��� ���!�"�)�#� �� �����&# @ �� ���# "�!"�!���

,#&/�#- ��� %�!��� �� �����&#� C �# >� ���� ��&"��� �� "&#��#�� �!&#- ���

)�)$�� �#��! ��� �����&# �� ��� �# ����&�� �� ���"�� � �' ��� �# ���!�"�)�#�

"&�#"� �� /��� ��� �"���! ����&�� "&# ���&#�� ���� 5��& ���!�"�)�#�� ���# ���

����)� �#����! �1�"��&# �� �����&# C �������#�� � ���� �&!���&#� �����/���� �

#�/ ����)���&# �� )� � $��� &# ��� �3���#"� $��/��# ��� "�!"�!��� �# ���

�"���! �# "&# ���&#��

�� ��&�! $� #&�� ���� ��� ���!�� )&)�#� �� �#. �����&# �#"!� �� $�# �#-

�� �& ��� ���#�%���� !&� �#- �# � ���&# �& ��� )&)�#� -�#����� $. ���

���!�� �""�#���" !&� 1� ��� )���& � �����'&��� �""&�#�� '&� -�&)����"

#&#!�#�������� $. "&#�� ���#- ��� 1� � �3�"�� 7������)&��� ��#"� ��� �1�"��&#�

��� )������ '�&) ��� "�#��� !�#��� �#����!!. "��%� )�)$��� "�# �!�& $�

�""&�#�� '&� $. ���� )���& �

��� ��������� ���� �

�# "���� /���� ��� �# � &' ��� $��)("&!�)# )�)$�� ��� 2+� � 5��& %�!��� '&�

$&�� ��� �# ���!�"�)�#�� �# �&����&#� ��� �)�&�� � �& �����'. �����

$&�# ��. "&# ���&#�� �# �#�!.��� �� 2��� "&# �"�� /��� ��� �# ���!�"�)�#�

��� �& 5��&� �� ��"��$� '&� ��� "��� &' � ��)�!. ����&��� $�� )("&!�)#� ����

�#�!.��� /�!! .��! � ��� &' ���!�"�)�#� %�!��� �� �����&#� �!&#- ��� )�)$��� �&

&$���# 5��& �# �&����&#�� � 2+� (�# )&)�#� �� ���!�� �� ��"� �# &' ���

$��) $��� &# ��� %�!�� &' ���!�"�)�#� �� ��� �����&#� � *�"�#� �& ��� �# ��

���� 2+� (�# )&)�#� �� "�!"�!��� �� '&!!&/�G

�' ,� �������#�� ��� ���!�"�)�#� �� ��� �# � �# �)�-�#��. �����&# �� 9 ��

����)� /��� ��� '&!!&/�#- ���!�"�)�#� %�!��G

,��9 � �C,��� � C,� �,��9 �C�

$(2 � )��� �� * )����� +�� )�� '� ������ �� ,� + �- +�����

Page 5: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

0�� ��� �&����&# �� �����&# � �4��!� 5��& ��&�3 � D� /��"� "�# $� #�)���"�!!.

'&�)�!��� ��G

,��9 �,��9C�

� D �>�

�����'&���

,��9 � ,��9

��$�������#- �4����&# 8>A �#�& �4����&# 89A !�� � �& ��� "��%����� �� ��� �# G

,��� �

C�,��9 �,���C

�@�

��#- ��� %�!��� &' ��� "��%����� �� �����&# � �# ��� "&#���#� �+��! !&� 1�

��� �&� �# $&��&) �����# %�!��� ��� "�!"�!��� � ��� 2+� (�# )&)�#� �� ���#

����!. ����)�#� $��� &# ����� �����# %�!��� ���#- ��� ��&"� ���� ��"��$� �#

��� !���� ��"��&#��

� ��"&# ��)�!�(�# �#�!.��� �� ���# "����� (&�� /��� ��� "�!"�!��� 2+� (�#

)&)�#� � � �& ��� ���!�� !&� �� � #�/ ��� &' �1�"��&# %�!��� ��� ���#

&$���#� �!&#- ��� )�)$�� !�� �#- �& �# �#"��)�#��! 2+� (�# )&)�#� /��"�

�� � � �# ���# �& ��� ���%�&�� !&� �� ��� �#�!.��� �� "&#��#�� �#��! ���

�#"��)�#��! )&)�#� $�"&)�� /����# ��� �&!���#"��

��� ������ ��� �������� ���� �

�# "���� /���� ��� $��)("&!�)# �� 2+� �� &#� �# �# ��)�!. ����&��� �� ���

&����� �# ���!�"�)�#�� �� ��� �/& ����&��� �# &#� �# �&����&# ���

�������#� � ��� �&!���&# /�!! $� �""&)�!���� $. ���'&�)�#- �# �#�!.��� /���

��)�!� ����&��� 2���� '&!!&/� $. � ��"&# &#� /��� �# �)�-�#��. �����&#

�+��# � $�.&# ��� 2+� (�# !&"���&# �& �#���� 5��& �&����&#� ��� "�!"�!���

2+� (�# )&)�#� �� ���# � � �& ��� !&� � �� ��� 2+� �# �# ��� �#�!.��� ��

"&#��#�� �#��! "&#%��-�#"� �# � '����&# ��)�!�� �& ���� &' �/& 2+� �# �

��"���� �# ��� ���%�&�� ��"��&#�

"������� �,�-��� � �����������

��� �#�!����" �#�!.��� �# ��� ��&�&�� )& �! �� $��� &# ��� ����)���&# ����

�!�#� ��"��&#� ��)��# �!�#� ���#- !&� �#-� # �� ���!�� !&� �#-� ��� �#��

�!&#-���&# &' � 2$�� �� ����#"� � '�&) ��� #�����! ���'�"� �� ��"��$� $.

��)&���#,& 89:<: �# 9:=<A �# ��&/# $�!&/G

$(4�� �� �� ��� �� � ���� �� ���.���) � )�) ��� ���� /��� �0�����

Page 6: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

� � �

�� �D �;�

������ �D �� ��� �����# ���'��#- '�&)

���� $�# �#- "���� $. ��� �+��!

'&�"�6 ��� ����#"� &' ��� #�����!

�+�� '�&) ��� ����� ���'�"� ��

�#&�� $. �9 � �9�� �# ���

����#"� $��/��# ��� #�����! �+��

�# ��� !&/�� ���'�"� �� �C � �� �C�

/���� � �� ��� �� ��� &' "��%������

��� )�-#��� � &' ��� ���!��

"&)������%� '&�"� �� -�%�# �# ���

'&!!&/�#- ��!���&#G

1 � �

� �9

��C

� �� � � �

� �9

�C

�� � � � �

�

� �9

�C

� � � �<�

/���� � � �9 � �C� �# � ��� ��� /� �� �# ��� ���� &' ��� ��"��&#

�����"��%�!.�

��� �#��-��! �+������&# &' �4����&# 8<A �� �4��%�!�#� �& ��� ���� �# �� ���

������(�����# ��-��)� �4����&# 8<A ��&%� �� � ��!���&#���� $��/��# �9 �# �C '&�

�#. -�%�# ���!�� !&� �

��� $�# �#- )&)�#� �� -�%�# $. ��� '&!!&/�#- ��!���&#G

+ �

� �9

��C

� ��� � �C� �9

�C

���� �D� � ��

&�

+ � 9C5

��

� �9

�C

���� �D�� � �=�

/���� 5 � �>

9C �� ��� )&)�#� &' �#����� '&� ��� ��"��&#�

+ "�# $� ���%� '&� �#. ��� &' %�!��� �9 �# �C� ���� �� �"���%� $. 2# �#-

��� �����" )&)�#� &' ��� ���� �# �� ��� ������ �����# ��-��) /��� �����"� �& ���

"�#��&� &' ��� ��"��&#�

+ "�# $� �%�!���� $. ���'&�)�#- ��� !�)��� �#��-����&# &' �4�8=A '&� �#.

��� &' )�+�)�) ����# %�!��� �9 �# �C�

)���� '! ��� ���'�� �#�!����" ������(�����# ��-��)

$"6 � )��� �� * )����� +�� )�� '� ������ �� ,� + �- +�����

Page 7: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

.! *$%�+ %�/�+$0*�#�

7&� � -�%�# ��� &' ���!�� '&�"� 1

�# $�# �#- )&)�#� +� �4����&#�

8<A �# 8=A ��� ��� $���" �4����&#�

�)�!&.� '&� ��� ����)�#���&# &'

��� �����# �����$���&# �"�&�� �#.

��"��&#� ��� �&� �# $&��&) �����#�

��� �%�!���� ���#- ��� � &��� $�(

!�#��� �!����" ������(�����# )& �!

��&/# �# 7�-��� >� ���� � ��!�5�

������(�����# )& �! ��"��$�� ���

)������! $���%�&� �# "&)������&#

�# ��#��&#�

��+ �3���#� )& �� &' �����# "�# $�

� �#��2� �# ���� ������(�����#

)& �!� ����� �����# )& �� ���

�+�!��#� �# ��� #�+� ��"��&#�

*�� � ������

��� �����# �����$���&# �"�&�� ��� ��"��&# �� ����)� �& $� !�#��� /��� �# �����

�����# �9 �# � !&/�� �����# �C� �����'&��� ���# �#- &# ��� %�!��� &' �9 �# �C�# ��� �$&%� �����# �����$���&#� ��+ �3���#� )& �� &' �����# "�# $� � �#��2� �

����� )& �� ��� �# "&)������&# �# ��� &���� ����� ��� �# "&)������&#(��#��&#

������� ����� �����# )& �� ��� ��"��$� $�!&/G

+��� $ �&)������&# ( �!����" ������ ��9� � �� �# ��C� � ��� ��� ����� �# !&/��

�����#� ��� �# "&)������&# �# $�!&/ ��� .��! �����#� ��� ������ �# �����#

�����$���&#� ��� ��&/# �# '�-��� @�

)���� 1! "&)������&# ( �!����" �����

)���� .! 0�(�!����" ����&+�)���&#

&' ��� ������(�����# ��!���&#����

$"$�� �� �� ��� �� � ���� �� ���.���) � )�) ��� ���� /��� �0�����

Page 8: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

+��� ! �&)������&# ( �!����"I�!����" ������ ��9� � �� �# ��C� � ��� ��� �����

"&)������%� �����# �� �!����" �# ��� !&/�� "&)������%� �����# �� �!����"�

+��� 7 �&)������&# ( �!����" ����� ��9� � >� �# ��C� � ��� $&�� ����� �# !&/��

�����#� ��� �# "&)������&# �# �+"�� ��� .��! �#- %�!���

+��� # �&)������&#I��#��&# ( �!����" ����� ��9� � �� �# ��C� � ��� ��� �����

"&)������%� �����# �� �# ��#��&# �# $�!&/ ��� .��! �����#� ��� !&/�� ��#��!�

�����# �� �!�& $�!&/ ��� .��! �����#� ��� ��"��&# $���%�� �!����"�!!.�

+��� 8 �&)������&#I��#��&# ( �!����"I�!����"� ��9� � �� �# ��C� � ��� ��� �����

"&)������&# �����# �+"�� � ��� .��! �����# /��!� ��� !&/�� ��#��!� �����# �� ���!!

$�!&/ ��� .��! �#- �����#�

+��� ( �&)������&#I��#��&# ( �!����"� ��9� � �� �# ��C� � �� 0&�� ��� �����

"&)������%� �����# �# ��� !&/�� ��#��!� �����# �+"�� ��� .��! �����#�

��#- ��� )����)���"�! '&�)�!���&# &' 1 �# + ��"���� �# ��� ���%�&��

��"��&#�� � #�)$���"�! )& �! �� �%�!&�� �& �%�!���� ��� ����� �# !&/��

�����#� 8�9 �# �CA '&� �#. ��"��&# ������#- '�&) ��� ,#&/!� -� &' ��� !&� �

���!�� � ��� ��"�#�4�� �)�!�)�#�� �# �%�!����&#- �9 �# �C )�. $�

��))���5� �� '&!!&/�G

�# �#����! ��� &' %�!��� �9 �# �C �� ����)� � 0��� &# ����� %�!���� ��� �+��!

'&�"� �# $�# �#- )&)�#� ��� "�!"�!��� � �# �#������%� ��"�#�4�� �� ��&/# �#

7�-���� ; �# <� �� �)�!&.� �& "&#%��-� �& � ��� &' %�!��� '&� �9 �# �C '&�

/��"� ��� �3���#"� $��/��# ��� ���!�� �# ��� "�!"�!��� '&�"�� �� ��� $�!&/ �

������ �&!���#"�� ���� ��"�#�4�� �� ��"��$� $. ����& �# ��)&��� 89::<A�

���� �������%� ��"�#�4�� �� �)�!�)�#�� �# ��� "&)����� )& �! �& "�!"�!���

��� �1�"��&#� �# �����#� �� ��"� ��"��&# '�&) ��� ,#&/!� -� &' ��� �+��! '&�"�

�# ��� $�# �#- )&)�#��

)���� 2! �&���"��&# &' �9 J �C �& )�#�)�5� �1

$"! � )��� �� * )����� +�� )�� '� ������ �� ,� + �- +�����

Page 9: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

)���� 3! �&���"��&# &' �9 J �C �& )�#�)�5� �+

1! #&*��"��+ �00+"���"$#

�# ���� ��"��&#� �# �+�)�!� &' � $��)("&!�)# �� �#�!.5� ���#- �/& "���� &'

$&�# ��. "&# ���&#�G ��)�!� ����&��� �# 2+� ����&���� ��3���#� !&� �#-

"&# ���&#� ��� ���!�� �& $&�� "���� �# ��� ����!� &$���#� ���#- ��� ��&�&��

)& �! �� %�!� ��� �-��#�� ��&�� ���%� '�&) "!����"�! �&!���&# )���& ��

���� �� ���������� ��� ���� �� ����

7�-��� = ��&/� ��� ��"����5���&# &' � �.��"�! �.))����"�!!. ������ ��)�!� $��)

�# �� "&)$�#� �+��! �# ���#�%���� !&� ��

)���� 4! 7�#��� ��3���#"� ��"����5���&# &' � �.))����" ��)�!.(����&��� $��)

��� $��) �# �� ��� . �� !�#���!. ������ �# �.))����" /��� �����"� �& ���

)� (���#� ��� "�&��(��"��&# �� ��� �# � �� C=:�@�9;C�@)) 899�< �#"���A /��!�

��� )� !� ��"��&# �� >D@�?�9;C�@)) 89C�< �#"���A� ��� �!����" �# �!����"

$"7�� �� �� ��� �� � ���� �� ���.���) � )�) ��� ���� /��� �0�����

Page 10: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

)& �!�� �� �# ��� ��� ������ �� 9=:�> �F� 8C<DDD ,��A �# 9=�:> �F� 8C<DD ,��A

�����"��%�!.� ��� $��) ��� � !�#-�� &' <�D:<) 8CD '���A �# �� �%� � �#�& CD

��-)�#��� D�>D@?) 89 '&&�A !&#- ��"��

)���� 5! ��)�!� $��) ��� �& %���'. ��� ��&�&�� )& �!

��� ��&�&�� #�)���"�! )& �! �� ��� �& 2# ��� �����# �����$���&# �#

�1�"��&# �� ��� "�&�� ��"��&# &' ��"� ��-)�#�� �# �!����" 2#��� �!�)�#� �&!���&#

)���& 8�����A �� ��� '&� %�!� ���&# ����&���� ��� $��) �� ��"����5� �#�&

CD �/&(#& � $��) 2#��� �!�)�#�� /��� C9 #& �� �# �&��!� ��#-�� &' ���!��

�+��! '&�"�� 9D,� �& 9D�9<D ,� 8C�C; ,��� �& CC?@�C ,���A� �# '&� ���#�%����

�����$��� !&� �� ;�> ,�I) �& => ,�I) 8D�><C,I'� �& ;,I'�A� ��� ��� �# ���

�#�!.����

��� )� (���# �1�"��&# &' ��� $��) �� "&)���� �& ��� �!����" �&!���&#

�#"!� �#- 1� � �3�"��� ��$!� 9 ��&/� � "&)�����&# $��/��# �1�"��&#�

&$���#� ���#- ��� ��&�&�� )& �! �# ��� 2#��� �!�)�#� )���& /��� > "."!��

�# : "."!�� &' 1� �� ��� �1�"��&# ����!�� &$���#� ���#- ��� ��&�&�� )& �!

"&�#"� � /��� ��&�� &' ��� 2#��� �!�)�#� )���& /��!� ��� �����# %�!��� ��)��#

�# ��� �!����" ��#-�� ���# ��� �����#� �+"�� ��� �!����" ��#-� !�)��� ��� )& �!

.��! � ��-��� �1�"��&# %�!����

��$!� C ��&/� ��� ����� �# !&/�� '�"� �����#� �&-����� /��� ��� �1�"��&# &'

��� )� ���# ��"��&# ���#- ��� ��&�&�� )& �!� ��� $���%�&� &' ��� )� !�

��"��&# $�"&)�� #&#!�#��� /��# ��� ���!�� �+��! '&�"� ���"��� 9D�DDD ,�

8CC@?�C,��A �# ��� �#�'&�)!. �����$��� ���#�%���� !&� ���"��� ;;�? ,�I)

8>�?C,I'�A� ���# ��� ���!�� ���#�%���� !&� � �+"�� � ��� %�!�� &' ;;�? ,�I)

8>�?C,I'�A� ��� )���& '��!� �& "&#%��-� �& %�!��� &' �1�"��&# �# �����#� /��"��

�# ����"����! ���)�� "�# $� ��#��!��� �� ��� '��!��� &' ��� $��) �& ����&�� ���

�#"��)�#�� ���!�� !&� ��

��� /� �� $ �� "&#���#� �# �4��! �& 9;D))�

$"# � )��� �� * )����� +�� )�� '� ������ �� ,� + �- +�����

Page 11: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

���� � ��� )� (���# �1�"��&# &' ��� $��) �#�!.5�

���#- ��� ��&�&�� )& �!� ���� /��� > "."!�� �# : "."!�� &' 1����678#9�:

2!'52 ;!;; '!'31 13!4'; 31!353 4.!;;; *�� &�078#:

9�>:C C�<:C C�::= 99�?99 9<�DDC 9?�DD: F�&�&�� �& �!

9D 9�>=C C�<@C C�:@< 9D�:CC 9;�@<@ 9=�?D; ����� > "."!��

9�:>D C�=:@ >�9;D 9C�>9: 9<�=<9 9:�D;D ����� : "."!��

9�>:= C�<:C >�CDD 9C�D9= 9<�C;< 9?�D>@ F�&�&�� �& �!

9DD 9�>=C C�<@C >�D@? 9D�:=> 9;�@:@ 9=�=?D ����� > "."!��

9�:?9 C�?9: >�>=? 9C�;=> 9<�?<< 9:�>D@ ����� : "."!��

9�@CC C�=<: >�@C: 9C�;=> 9=�D9? 9:�D;D F�&�&�� �& �!

9�DDD 9�>?= C�=@> >�>C= 99�=>; 9;�=@? 9?�;@C ����� > "."!��

C�DD= C�:C9 >�<D= 9>�CD? 9=�D@> 9?�=:< ����� : "."!��

9�:D; >�=D? @�>:@ 9<�C;< C9�::< C@�::@ F�&�&�� �& �!

;�DDD 9�?;@ >�<D= @�>@> 9;�=@? CD�=C< C@�;>< ����� > "."!��

C�DD: >�:9C @�<C> 9=�9CD C>�9<; C<�@9< ����� : "."!��

>�D:: ;�::@ =�9?? >9�@:< 7��!� 7��!� F�&�&�� �& �!

9D�DDD >�D@? ;�?@C =�99C C?�;;C >?�<;: @>�;9D ����� > "."!��

>�C<< <�>C; =�;<: >D�?:@ @9�?>@ @=�D:C ����� : "."!��

���� '� ��� �&� �# $&��&) �����#�� �9 J �C� �# ��� �1�"��&# &$���#�

�� ��� )� (���# ���#- ��� ��&�&�� )& �!

678#9�:2!'52 ;!;; '!'31 13!4'; 31!353 4.!;;;

078#:

9D D�D<9D D�9CD D�9>D D�;CD D�=DD D�=:D �9�9D�>

9�>:= C�<:C C�::= 99�?99 9<�DDC 9?�DD: �� (���# �1� 8))A

(D�D;= (D�99D (D�9>D (D�;CD (D�=DD (D�=?D �C�9D�>

9DD D�D=? D�9>D D�9<D D�;>D D�=>D D�?9D �9�9D�>

9�>:= C�<:C >�CDD 9C�D9@ 9<�C;< 9?�D>@ �� (���# �1� 8))A

(D�D@9 D�D:C (D�9>D (D�;DD (D�<?D (D�==D �C�9D�>

9�DDD D�9:D D�C@D D�C?D D�<:D D�:>D 9�DDD �9�9D�>

9�@CC C�=<: >�@C: 9C�;=> 9=�D9? 9:�D;D �� (���# �1� 8))A

D�D<D D�DD@ (D�D9@ (D�@9D (D�;;D (D�<>D �C�9D�>

;�DDD D�=DD D�=?D D�?9D 9�C<D 9�=DD 9�?DD �9�9D�>

9�:D; >�=D? @�>:@ 9<�C;< C9�::< C@�::@ �� (���# �1� 8))A

D�;>D D�@<D D�@>D D�9C: (D�C<D (D�>;D �C�9D�>

9D�DDD 9�@DD 9�;D; 9�;DD C�>DD ����"���� ����"���� �9�9D�>

>�D:: ;�::@ =�9?? >9�@:< 7��!� 7��!� �� (���# �1� 8))A

9�9DD D�:=D D�:CD D�D:@ �C�9D�>

��� '��!��� &' ����"���� �� ����)�#� /��# ��� $�'��"���&# �� )� (���# &""����

$"8�� �� �� ��� �� � ���� �� ���.���) � )�) ��� ���� /��� �0�����

Page 12: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

� ����)����" ��� . &' ��� $��)("&!�)# �+�)�!� �� ���'&�)� '&� � ��#-� &'

�+��! '&�"�� �# ���#�%���� !&� � �# ��� �1�"��&# ����!�� ��� �!&��� �# 2-��� :�

��� �+��! !&� � /��� %���� /����# ��� ��#-� &' 9D ,� �& 9D� 9<D ,� 8C�C; ,(

CC@?�C,A �# ��� ���#�%���� !&� �# ��� ��#-� ;�> ,�I) �& => ,�I) 8D�><C,I'�(

;,I'�A� ��� �!&�� �# 2-��� : �������#� ��� ���#�%���� !&� � %����� )� (���#

�1�"��&# '&� ��"� &' ��� ���!�� �+��! !&� �� ��� ����!�� &$���#� ���#- ���

��&�&�� )& �! ��� "&)���� �& ��� 2#��� �!�)�#� �&!���&# 8�����A ���#-

!�#��� ����)���&#�� ��� �1�"��&#� &$���#� $. ��� ��&�&�� )& �! /��� '&�#

�& )��"� /��� ��� 2#��� �!�)�#� �&!���&#� /��# �&��! $���%�&� &' �!! ��"��&#�

�!&#- ��� $��) �� �!����"�

)���� (! ��� )� (���# �1�"��&#� &' ��� $��)("&!�)# �+�)�!� �# �� "&)$�#� ����$���

�# "&#"�#����� �+��! !&� � ���#- ��� ��&�&�� )& �! �# ����� 8: "."!��A�

���# ��� �����# �# �#. ��"��&# &' ��� $��) ������ '�&) ��� �!����" ��#-�� ���

�1�"��&# &$���#� $. ��� ��&�&�� )& �! �+"�� � ���� &' ��� !�#��� 2#���

�!�)�#� �&!���&#�

7&� ��� "��� /��# ��� ���#�%���� !&� �� <;�@ ,�I) 8@�@? ,I'�A �# ��� �+��!

'&�"� �� 9D�9<D ,� 8CC@?�C ,���A� ��� &$���#� �1�"��&# �# ��� ��&�&�� )& �!

�%��-�� �� ��� �&�#� /���� F H 9D�9<D ,� 8CC@?�C ,A �# 4 H ;;�? ,�I)

8>�?C9 ,I'�A� ��� �����# �# "&)������&# �� ��� )� !� ��"��&# �+"�� � ��� .��!

�&�#� �# �!�& ��� �!����" �1�"��&# �� �# ��(����)��� � ���# ��� �+��! '&�"� &�

$"( � )��� �� * )����� +�� )�� '� ������ �� ,� + �- +�����

Page 13: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

��� ���#�%���� !&� �+"�� � ��� �$&%� !�)���� ��� $��) $�"&)�� "����"�! �#

'��!��� $. �+"����%� �1�"��&# )�. &""���

���� �� ����� �� ���� ���� ���� ���� �

7�-��� 9D ��&/� ��� ��"����5���&# &' � �.))����"�!!. ������ 2+� $��) �# ��

"&)$�#� �+��! �# ���#�%���� !&� ��

)���� ;! ��� 7�#��� ��3���#"� ��"����5���&# &' � �.))����" 2+� $��)

��� $��)("&!�)# �+�)�!� ��"��$� �# "��� � �� �#�!.5� /��� 2+� �# �

$&�# ��. "&# ���&#�� ��� ���!�� �+��! '&�"� �# ��� ���#�%���� !&� ��%� ���

��)� !�)��� �� ��� '&� ��� ��)�!. ����&��� "���� ����!�� ��))���5� �# ��$!�

> �# �"��� ���� ��� $��) ��)��#� �# ��� �!����" ��#-�� ��$!� > ��&/� ��� �����&#�

�1�"��&#� �# ��� �!����" �1�"��&# ���#- ��� 2#��� �!�)�#� )���& � �!! �����#

�# ��� �1�"��&# ����!�� "&�#"� � /��� ��&�� &$���#� ���#- ��� 2#��� �!�)�#�

)���& �#"!� �#- ��� 1� � �3�"��

���� .!�� (���# �1�"��&#� 8�# ))A &' ��� 2+� ($��)

�# �� "&)$�#� �����$��� 4 �# �+��! !&� F H 9D�DDD ,��

6 78#9�: 0����� *�� ����% . ����� ����% ( �����

9D�D D�??: D�?>? 9�D@9

@<�=C @�D9> @�DD; @�D9>

<@�?= ;�>;: ;�@C; ;�@C?

=>�D <�D:< <�D:< <�9D:

��� �&� �# $&��&) �����#�� �9 �# �C� �� ��� �# � &' ��� $��) ��� ����)�#�

���#- ��� '&!!&/�#- ��!���&#�G

$""�� �� �� ��� �� � ���� �� ���.���) � )�) ��� ���� /��� �0�����

Page 14: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

( 7&�),��� � ��!���&#���� $��/��# �9 �# �C "�# $� ����$!���� ��G

� � �9 � �C � � ��9 � �C� �?�

( �4��!�$���) &' '&�"�� -�%��G

1 � � �

� �9

�C

� � � �:�

��#- �4����&#� 8?A �# 8:A� ��� �����#� �9 �# �C "�# $� "�!"�!��� �

( ��� �4��!�$���) &' )&)�#��� ���#- ��� "�!"�!��� %�!��� &' �9 �# �C� -�%�� �

2+� )&)�#� �� '&!!&/�G

+ � 9C5

��

� �9

�C

���� �D� � � �9D�

2! �$#�+&�"$#�

��� �%�!&�� ��"�#�4�� �� $��� &# ����$!����#- � )&)�#�("��%�����

��!���&#���� '&� ��"��&#� ��$*�"�� �& � "&)$�#� �+��! '&�"� �# $�# �#-

)&)�#�� �������! �# -�&)����" #&#(!�#�����. ��� "&#�� ��� �# ��� )���& �

�!����"(�!����" "&#�������%� ��!���&#� ��� � &��� �& �"&�#� '&� ��� )������! #&#(

!�#�����.� ��� -�&)����" #&#(!�#�����. �� �&!%� ���#- � 2#��� �3���#"� ����&�"�

�& ��� �"� ��� �� ��� �1�"�� ����� &' ��� $��)("&!�)# �# � ����($.(����

�#������&# ��&"� ���� ���� ��"�#�4�� "�# $� ��� �& ��� . #&#(����)���" $��)(

"&!�)#�� �%�# ��&�-� ��� �#%����-���&# �� "����� &�� '&� $��)� /��� �# �+�� &'

�.))���. �$&�� ��� )� !� �&�#�� ��� )& �! �� "���$!� &' �&!%�#- #&#(

�.))����" "����� � ������ &' �1�"��&# %�!��� &' #& �� �!&#- ��� $��)("&!�)#

��� &$���#� � ����� �1�"��&# %�!��� ��"��$� ��� 2#�! �1�"�� ����� &' ���

�!�)�#� �# �� ��� . �� �& #&#!�#��� $���%�&�� ��� ����!�� '�&) � #�)$�� &'

"���� /��� %�!� ��� �-��#�� ��&�� &$���#� '�&) �# ����$!���� 2#��� �!�)�#�

����"����! ��&-��) 8�����A� ��� )���& /��"� /�� ��� ��$*�"� &' ����

������"� �� �""����� �# '��� "&)���� �& ��� 2#��� �!�)�#� ����&�"�� ����

��"�#�4�� "�# $� ��� �& 2# ��� $�",!�#- $���%�&� &' ��� $��)("&!�)#� /��"�

/��� �# �� �#%����-���&# $. ��� ����&���

��)���#���

����< =! >! �� ������< 0! �! (5;! 0�",-�&�# �& $�",!�#-� �"���/(��!! 0&&, �&)��#. 8�A

��)��� � ��� �#��� � 0��,������ �#-!�# �

���*?����< #!< ���8���< �! �� ������������< �! (( ! �#�!.��� &' '��)�� /��� #&# ����)���"

)�)$���� &��#�! ����"����! ��%���&# ���� 473:G 9;=>(9;:C�

$"2 � )��� �� * )����� +�� )�� '� ������ �� ,� + �- +�����

Page 15: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

)��� %! >! (23! ���&����"�! �# �+����)�#��! �#%����-���&#� &# %�$����&# ���"����$�!����� &'

%���&�� ��-�/�. $�� -��� ������"� ���&��� ��"�� ����� �' ���#��&�����&#� ��#��#-� ��"��

)���< %! >! (33! �.#�)�" ��#-� "&#"��� '&� $��) %�$����&#�� &��#�! ����"����! ��%���&# ����

('G 9(?�

)���< %! >! (4.! �.#�)�" �# %�$����&# &' ����"������ &�# ��!�. �# �&#�� �#"�� ��/ �&�,�

����

)��� %! >! (51! �.#�)�"� �# %�$����&# &' ����"������ ��%��� � ���&#�� �&$��� �� ����-��

F�$!����#- �&� ��!�$&�� 7!��

)���< %! >! �� ��< *! �! ((;! �!����" �# �#�!����" �#�!.��� &' #&#(����)���" )�)$����

&��#�! ����"����! ��%���&# ���� 37':G @=;(@?:�

)���< %! >! �� ��?��< �! (3'! �&!���&# &' �1�"��&# &' %����$!� ���",#��� �!���� $. ��� )���&

&' �4��%�!�#� �.���)� &��#�! &' �# ������! �����)���"�� '7 :G C9>(CCC�

)���< %! >! �� ���@�< �! (( ! �4��%�!�#� �.���)� '&� �#�!����" �#�!.��� &' ����)���" �# #&#

����)���" )�)$���� &��#�! ����"����! ��%���&# ���� 47':G @=> ( @??�

)���< %! >! �� A���< �! (25! �4��%�!�#� �.���) '&� ��� �1�"��&# &' %����$!� ���3#��� )�)$����

&��#�! ����"����! ��%���&# ���� 9C>(9C:�

)��� %! >! �� A��� �! (3 ! ���#�%���� %�$����&# ���&�.� ���!�"���&#� &' �4��%�!�#� �.���)��

�&!�# F���� �&�� �#"� ��/ �&�,� ����

)��8< �! �� B���< �! �! (55! ���3#��� &' #&# ����)���" )�)$��� &��#�! ����"����! ��%���&#

���� 17':G @?@(@:<�

=�����,< �!< ���-������< C!< ����< *! C! �� �,�-�8����< �! ';; ! ����-# 7�F �&)�&�����

�������!� 7&� �-�� � &' �&#"���� 7��)� �&##�"��&#�� ���� CDD9(�#���#���&#�! �&#'���#"�

&# 7�F �&)�&����� �# ��%�! �#-�#����#- ���!�"���&#� ��"�)$�� 9C(9@� �&#- �&#-� ���#��

*�����< "! (5.! � 2#��� �!�)�#� )& �! '&� ��� �#�!.��� �# &���)�! ���-# &' $��)� �# �!����

/��� %����$!� 1�+���! ��-� !.� ������ �����#�� �& E�# ��$�!� #�%�����. �� ����%�!!�� ��## �#

������! '�!2!!)�#� &' ��� ��4����)�#�� '&� ��� �-��� &' �&"�&� &' F��!&�&��.�

���< C! B! �� %���< �! C! (5 ! �&# ����)���" �# �3�"��%� #&# ����)���" ����� �)�#��&#�!

$��) 2#��� �!�)�#�� �&)����� �# ����"����� 1 7 :� =9(==�

�,��< ��?� ((5! �#�!����" �#�!.��� &' ���#'&�"� �&#"���� 0��)� ��$*�"�� �& �&)$�#� �+��!

�# ���#�%���� �&� �� � ������ ��$)���� �# ������! '�!2!!)�#� &' ��� ��4����)�#�� '&� ���

�-��� &' ������ &' �"��#"�� �&��� ���&!�#� �J� ����� #�%�����.� ���

����< *! C! �� =�����,< �! �! ((3! �#�!����" �#�!.��� &' ��"��&#� ��$*�"�� �& �+��! '&�"� �#

$�# �#- )&)�#�� �&)����� �# ����"������ �# �#���#���&#�! &��#�! 2(7 :� 9>(9:�

�����,�8�< �! (43! ����#-�� &' )������!�� F��� �6 �!�)�#���. ���&�. �# ��&$!�)�� ����

� ���&#�� �&$��� �� ����-�� F�$!����#- �&�� ��#��#-�&#� ����

�����,�8�< �! (3(! ���&�. &' �!����" ���$�!��.� ��"&# � ���&#� �"���/(��!! ��/ �&�,� ����

��������� � ( ���) �� !666

�� ��� � ! ' �� �� !66!

�������� � $$ 9� �� �� !66!

$"4�� �� �� ��� �� � ���� �� ���.���) � )�) ��� ���� /��� �0�����

Page 16: Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite

�������������������������������� �����������������������������

��������������������������������

�������������������������� �������������������������������� �������������������������

����������������������������������������������������

� ��

���������������������������������������� ������!�������"#�����$������� ��������������$��%���&������������� ����������������'�(�%��������)����*����������������������������� �������+���������������� $%����������+��,�+����������������������-��� �����+����� !�� ������.�����*+�������.��������������� �����������)���������������(�����.��'���������"���������� �/�+����(�����0����������������"#���������)����*�������"#'�'"������ !'���+���.����������'�������'�����1#����������2������������2��������#%�2���������%�3�2����������#��������2���������%�3� �-%�2����� �3���,�����3����� !����������4�������(��� �-�����+'�$�#����������1#��������������������������������"��"������ !���������+���������!�������"#������������ �������������������%�3����������*���������2���0���'������������������

$26 � )��� �� * )����� +�� )�� '� ������ �� ,� + �- +�����