EL MÉTODO DE HARDY CROSS

INTRODUCCIÓN

Una red cerrada de tuberías es aquella en la cual los conductos o tuberías que la componen se ramifican sucesivamente, conformando circuitos o anillos cerrados. Un circuito es cualquier trayectoria cerrada que puede recorrer una partícula fluida, partiendo desde un punto o nudo de la red, fluyendo por distintos tramos, hasta llegar al punto de partida.

Las redes urbanas de distribución de agua potable, las redes de distribución de gas para usuarios urbanos, las redes de distribución de agua en distritos de riego, las redes de distribución de gas en sistemas de refrigeración, las redes de distribución de aceite en sistemas de lubricación y las redes de distribución de aire en sistema de ventilación, son ejemplos clásicos de conformación de redes cerradas de tuberías. Sin embargo, en esta oportunidad, el análisis se centrará en las redes de distribución de agua, cuya aplicación es de gran interés para los profesionales de las Ingenierías Hidráulica, Minas, Civil, Industrial, Agrícola y Sanitaria.

Las redes urbanas de distribución de agua forman ramificaciones sucesivas de tuberías, siguiendo el trazado de las calles y vías de acceso, conformando circuitos o anillos cerrados, de manera que el agua, en un nudo de la red, puede venir por dos o más direcciones distintas, lo cual presenta la ventaja de no interrumpirse el suministro en los eventos de reparación o de mantenimiento.

El análisis de una red cerrada de tuberías conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones no lineales, de solución muy laboriosa, que solamente es posible resolver por métodos de aproximaciones sucesivas, uno de los cuales es el Método de Hardy Cross.

 

RESUMEN

En este trabajo se presentan dos versiones del Método de Hardy Cross para analizar redes cerradas de tuberías. Cada versión del método consiste en un algoritmo matricial, programado en lenguaje BASIC, empleando una ecuación particular de resistencia para el cálculo de la pérdida de carga en los tramos de la red.

El primer de los programas emplea la ecuación de Hazen & Weisbach operando simultáneamente, a través de una subrutina, con la ecuación de Colebrook & White, para el cálculo del coeficiente de fricción, f.

Al final, se ilustra la aplicación del Método de Cross con un ejemplo de análisis de una red de cuatro circuitos, empleando ambos programas de cálculo.

GENERALIDADES

El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes:

Ley de continuidad de masa en los nudos; Ley de conservación de la energía en los circuitos.

El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o, bien, la ecuación de Darcy & Weisbach.

La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía.

La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.

Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva.

Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías.

Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC que aquí se presenta, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente.

FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS

El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

(1)

Donde,

Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Número de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".

(2)

donde,

hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo Tij.

n : Número de tramos del circuito i

ECUACIONES BÁSICAS

La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:

(3)

Donde,

V : Velocidad del flujo, m/s.

C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.

D : Diámetro de la tubería, m.

Sf : Pérdida unitaria de carga (m/m).

(4)

Por continuidad,

Luego,

(5)

De la cual resulta:

(6)

Donde,

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

L : Longitud del tramo de tubería, m.

hf : Pérdida de carga, m.

La ecuación anterior se puede transformar de tal manera que el diámetro se exprese en pulgadas y el caudal en l/s, obteniéndose la siguiente ecuación.

(7)

Haciendo

(8)

Resulta:

(9)

La ecuación de Darcy & Weisbach expresa, en términos de velocidad del flujo, la siguiente:

(10)

donde f es el coeficiente de fricción, de Darcy

Y en términos del caudal, expresa:

(11)

Haciendo;

(12)

Resulta:

(13)

En general, la ecuación de pérdidas de carga por fricción expresa:

(14)

Donde,

r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuación

empleada para el cálculo.

n : Exponente del caudal, que depende la ecuación de resistencia empleada.

n : 1.851, según la ecuación de Hazen & Williams.

n : 2.0 según la ecuación de Darcy & Weisbach.

El Método de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteración tras iteración, los caudales en los tramos, con la siguiente ecuación general:

(15)

El coeficiente de fricción, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuación de Colebrook & White, que expresa lo siguiente:

 

(16)

Donde:

k : El coeficiente de rugosidad de la tubería, mm.

D : Diámetro de la tubería, mm.

R : El número de Reynolds del flujo, adimensional.

Nótese que la relación k/D, en la ecuación (16) debe ser adimensional.

A su vez, el número de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuación:

 

(17)

Donde,

v : Velocidad del flujo, m/s.

: Densidad del fluido (agua), kg/m3.

: Viscosidad dinámica del fluido, kg/m.s.

: Viscosidad cinemática del fluido, m2/s.

D : Diámetro del conducto, m.

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

La ecuación (16) es una ecuación implícita para f y, por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error, en la subrutina 400, aplicando el Método de Newton & Raphson. Nótese que, para acelerar el cálculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f = X0, calculado con la siguiente fórmula:

(18)

CONVENCIONES

Los caudales Qij y sus correspondientes pérdidas de carga, hfij, y velocidades, vij serán positivos si fluyen en sentido de las manecillas del reloj, o negativos en sentido contrario.

La nomenclatura de los tramos Tij sólo requiere que el primer subíndice represente el número de circuito al cual pertenece. El subíndice j es un número consecutivo que inicia en 1 y termina en el número de tramos del circuito considerado. Ejemplo, el tramo T2.4 es el cuarto tramo del circuito No.2

En la nomenclatura de los tramos no se requiere designarlos siguiendo un estricto orden consecutivo, como tampoco un sentido horario o antihorario.

Un tramo cualquiera de la red puede pertenecer a un único circuito, o a dos, simultáneamente. En el primer caso, el número del circuito adyacente, solicitado por los programas, es cero. En el segundo caso, se entrará el número del otro circuito que lo camparte con el actual.

CONCLUSIONES

Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el cálculo de las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C, permanece constante, aún con las variaciones del caudal y del número de Reynolds.

Como consecuencia de lo anterior, las "pérdidas" de energía por fricción, hf, serán sobreestimadas en comparación con las calculadas con la ecuación de Darcy & Weisbach.

Así mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada con el Método de Cross y la ecuación de Hazen & Williams, conduciría a la especificación de diámetros mayores que los que se obtendrían si se aplicara el mismo método con la ecuación de Darcy & Weisbach. Ello se comprobaría cuando, de cumplir requerimientos de cargas de presión mínima y máxima, se trata.

El Método de Cross programado con las ecuaciones de Darcy & Weisbach y de Colebrook & White, no obstante ser más demorado en obtener la precisión deseada, es más racional en cuanto al cálculo de las pérdidas de carga, y conduce a la especificación de diámetros más económicos.

Debe quedar bien claro que, cualquiera sea la ecuación de resistencia que utilice el Método de Cross, éste nunca ha sido un método de diseño, sino una herramienta de análisis para redes cerradas de tuberías.

Si anteriormente los proyectistas de redes de acueducto evitaban el análisis hidráulico con la ecuación de Darcy & Weisbach, dado lo dispendioso del cálculo del factor de fricción, f, ahora no habrá más excusas para no hacerlo. Más aún, si ambos programas requieren ser alimentados con los mismos datos, excepto que el primero emplea C, y el segundo k, para representar el coeficiente de resistencia de la tubería.

La diferencia en el tiempo de cálculos computacionales, a favor del Método de Cross, Hazen & Williams, no es grande y tampoco compensa los mayores costos debidos a tuberías de diámetro mayores.

 

RECOMENDACIONES

Se recomienda la difusión y el uso más generalizado del Método de Cross con la ecuación de Darcy & Weisbach, en conjunción con la ecuación de Colebrook & White.

Es más confiable un valor de k que el correspondiente a C.

El valor del coeficiente de viscosidad cinemática, v, debe introducirse lo más acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo más real posible.

LISTADOS DE LOS PROGRAMAS EN LENGUAJE BASIC

LISTADO No. 1 DEL PROGRAMA DE CALCULO

5 ‘PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE REDES CERRADAS, POR EL MÉTODO DE HARDY CROSS

10 ‘ESTE PROGRAMA EMPLEA LA ECUACIÓN DE HAZEN & WILLIAMS

15 INPUT "COEFICIENTE DE HAZEN & WILLIAMS = " ; C

20 INPUT "NÚMERO TOTAL DE CIRCUITOS DE LA RED = " ; NC

25 INPUT "NÚMERO DE TRAMOS DEL CIRCUITO CON MAYOR NÚMERO DE TRAMOS = " ; N

30 NIT = 0

35 DIM L (NC, N), D (NC, N), Q (NC, N), A (NC, N), hf (NC, N), NT (NC) , DELTAQ (NC)

40 FOR I = 1 TO NC

45 PRINT "NÚMERO DE TRAMOS QUE TIENE EL CIRUITO No. N" ; I;

50 INPUT NT (I)

55 NEXT I

60 FOR I = 1 TO NC

65 FORJ = 1 TO NT (I)

70 PRINT "L ( "; I;" , ", J; " ) " ; "m" ;

75 INPUT L (I, J)

80’ PRINT "D (";I;" ; ";J;")"; "pulg" ;

85 INPUT D (I, J)

90 PRINT "ENTRE EL CAUDAL CON SIGNO (+/-)" ; "Q (";I;2;" , ";J;")" ; "1/s" ;

95 INPUT Q (I, J)

100 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL";

105 INPUT A (I, J)

110 NEXT J

120 NEXT I

125 NIT = NIT + 1

130 BEEP: BEEP: BEEP 1: BEEP 1

135 FOR I = 1 TO NC

140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0

145 FOR J = TO NT (I)

150 Q = ABS (Q(I, J)) 1.851 * Q (I, J) /ABS (Q (I, J))

155 hf(I, J) = ((56.23 / C 1.851) * (L(I, J) / D (I, J) 4.87) * Q

160 SUMAPER = SUMAPER + hf (I, J)

165 SUMARELQ = SUMARELQ+ hf (I, J) / Q (I, J)

170 NEXT J

175 DELTAQ (I) = - SUMAPER / (1.851* SUMARELQ)

180 NEXT I

185 FOR I = 1 TO NC

190 FOR J = 1 TO NT (I)

195 U = A (I, J)

200 IF U = 0 THEN GO TO 210

205 Q (I, J) = Q (I, J) + DELTAQ (I) – DELTAQ (U): GO TO 215

210 Q(I, J) = Q (I, J) + DELTAQ (I)

215 NEXT J

220 NEXT I

225 FOR I = 1 TO NC

230 FOR J = 1 NT (I)

235 IF ABS (DELTAQ (I) / Q(I, J) <=0.00001 THEN GO TO 240 ELSE GO TO 125

240 NEXT J

245 NEXT I

250 BEEP:BEEP:BEEP1:BEEP1

255 PRINT "NÚMERO DE ITERACIONES = " ; NIT

260 FOR I = 1 TO NC

265 PRINT "RESULTADOS DEL CIRCUITO No." ; I

270 PRINT "DELTAQ (";(I) " ) = " ; DELTAQ (I)

275 FOR J = 1 TO NT (I)

280 PRINT "Q ( ";I;" , " ;J;" ) =" ; INT (Q (I, J)*1000+.5) / 1000; " l / s"

285 PRINT "hf (";I ;" , ";J;") = "INT ( hf (I, J)* 1000 +.5) / 1000; " m"

290 PRINT "V" ( ";I" , ";J;" ) = ";INT (4*Q(I, J)*0.001 / (PI* (D(I, J) * 0.0254) 2)*1000+.5) /1000; " m/s "

295 NEXT J

300 NEXT I

305 IMPUT "DESEA OBSERVAR NUEVAMENTE LOS RESULTADOS (S/N) " ; R$

310 IF R$ = "S" THEN GO TO 250

315 INPUT "DESEA REALIZAR UN NUEVO CÁLCULO DE LA RED (S/N) " ; M$

320 IF M$ = "S" THEN GO TO 15

325 PRINT "ENCANTADO DE SERVIRLE HASTA PRONTO" : GO TO 330

330 END

LISTADO No. 2 DEL PROGRAMA DE CÁLCULO

5 ‘PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE REDES CERRADAS, POR EL MÉTODO DE HARDY CROSS

10 ‘ESTE PROGRAMA EMPLEA LA ECUACIÓN DE DARCY & WWISBACH

15 INPUT "COEFICIENTE DE RUGOSIDAD ABSOLUTA (mm) =" ;K

20 INPUT "NÚMERO TOTAL DE CIRCUITOS DE LA RED = " ;NC

25 INPUT "NÚMERO DE TRAMOS DEL CIRCUITO CON MAYOR NÚMERO DE TRAMOS = " ; N

30 NI = 0 : G = 9.81: NU = 1.00 E-6:C0 =4/ (PI * NU): C1 = K/3.7

35 DIM L (NC, N), D(NC, N), Q(NC, N), A(NC, N), A(NC, N), f(NC, N), R(NC, N), hf (NC, N)

40 DIM NT (NC), DELTAQ (NC)

45 FOR I = 1 TO NC

50 PRINT "NÚMERO DE TRAMOS QUE TIENE EL CIRCUITO No." ; I ;

55 INPUT NT (I)

60 NEXT I

65 FOR I = 1 TO NC

70 FOR J = 1 TO NT (I)

75 PRINT "L ( " ;I; " , " ;J; " ) " ; "m" ;

80 INPUT L (I, J)

85 PRINT "D (" ;I ;" , " ;J; " ) " ; " mm" ;

90 INPUT D (I, J)

95 PRINT "Q (" ;I; " , " ;J; " ) " ; " I/s " ;

100 INPUT Q (I, J)

105 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL" ;

110 INPUT A (I, J)

115 NEXT J

120 NEXT I

125 NI = NI + 1

130 BEEP: BEEP: BEEP 1

135 FOR I = 1 T0 NC

140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0

145 FOR J = 1 TO NT (I)

150 GOSUB 400

155 hf (I, J) = 8* f(I, J) * L(I, J) *(Q(I, J)*0.001) 2 / (PI 2*G*(D (I; J) *0.001) 5)

160 IF Q(I, J) <0 THEN hf (I; J) = -hf (I, J)

165 SUMAPER = SUMAPER + hf (I, J)

170 SUMARELQ = SUMARELQ + hf (I, J) /Q (I, J)

175 NEXT J

180 DELTAQ (I) = -SUMAPER / (2* SUMARELQ)

185 NEXT I

190 FOR I = 1 TO NC

195 FOR J = 1 TO NT (I)

200 U = A (I, J)

205 IF U = 0 THEN GO TO 220

210 Q(I, J) = Q(I, J) + DELTAQ(I) -DELTAQ (U)

215 GO TO 225

220 Q(I, J) = Q(I, J) + DELTAQ (I)

225 NEXT J

230 NEXT I

235 FOR I = 1 TO NC

240 FOR J = 1 TO NT(I)

245 IF ABS (DELTAQ(I) / Q(I,J) <= 0.000001 THEN GO TO 255

250 GO TO 125

255 NEXT J

260 NEXT I

265 BEEP:BEEP:BEEP1:BEEP1

270 PRIN " NÚMERO DE ITERACIONES = " ; NI

275 FOR I = 1 TO NC

280 PRINT "RESULTADOS DEL CIRCUITO No." ; I

285 FOR J = 1 TO NT (I)

290 PRINT "Q ( ";I;" , ";J;" ) = " ; INT (Q(I, J) * 1000+0.5 ) / 1000 ; "l/s"

295 PRINT "hf (";I;" , ";J;" ) = " ; INT (hf (I, J)* 1000+0.5) / 1000 ; "m"

300 PRINT "V (";I;" , ";J;" ) = " ; INT (4* Q(I, J) * 0.001 / (PI * (D(I, J)*0.001) 2)*1000+0.5)/1000; "m/s"

305 NEXT J

310 NEXT I

315 IMPUT "DESEA OBERVAR NUEVAMENTE LOS RESULTADOS (S/N) " ; R$

320 IF R$ "S" THEN GO TO 265

325 INPUT "DESEA REALIZAR UN NUEVO CÁLCULO DE REDES"; M$

330 IF M$ = "S" THEN GO TO 15

335 END

400 ‘SUBRUTINA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN, f, SEGÚN LA ECUACIÓN DE COLEBROOK & WHITE

405 R (I, J) = CO * ABS Q(I, J) / D(I, J) : X0 = -2 * LOG (C1 / D(I, J) + 5.1286 / R(I, J) 0.89

410 X = X0:C2 = LOG (C1/ D (I, J) + 2.51* X / R (I, J))

420 NIT = 0

430 FN = X + 2 * C2: DF = 1+5.02 / (C2 * R(I, J))

440 X1 = X – FN/DF

450 IF ABS (X1-X) > 1E-6 THEN X = X1 : NIT = NIT + 1: GOTO 430

460 f (I, J) = (1 / X) 2: beep1: RETURN

470 END

DEFINICIÓN DE VARIABLES

NC: Número total de circuitos que conforman la red.

NI: Contador de iteraciones

L(NC, N): Matriz que almacena los valores de longitudes de los tramos

D(NC, N): Matriz que almacena los valores de diámetros de los tramos.

Q(NC, N): Matriz que almacena los valores de caudales en los tramos.

A(NC, N): Matriz que almacena los números de circuitos adyacentes a los tramos

Hf (NC,N): Matriz que almacena los valores de pérdidas de carga en los tramos.

I: Contador de circuitos

J: Contador de tramos de un mismo circuito.

NT(I): Número de tramos que tiene el circuito.

A(I, J): Matriz que almacena los números de circuitos adyacentes a los tramos. Un tramo puede formar parte de un solo circuito, o de dos circuitos como máximo.

SUMAPER: Variable que suma las "pérdidas" de energía en un circuito

SUMARELQ: Variable que suma las relaciones hfij / Qij

DELTAQ(I): Valor de la corrección de los caudales del circuito I

U: Variable temporal que almacena un número de circuito que es adyacente al tramo actual, y que sirve para saber si el caudal de dicho tramo se corrige con su propio DELTAQ (I) o con los DELTAQ de los dos circuitos a los cuales pertenece.

V(I, J): Velocidad del flujo en el tramo Tij

K: Coeficiente de rugosidad de la tubería

G: Constante de aceleración gravitacional.

UN = n: Viscosidad cinemática del agua.

f (NC, N): Matriz que almacena los valores del coeficiente de fricción, f.

R(NC, N): Matriz que almacena los valores del número de Reynolds, R.

XO:Valor inicial de arranque de , para calcular más rápidamente el valor de f.

FN: Función necesaria para aplicar el Método de Newton Raphson.

DF: Derivada de la función FN.

XI:Valor más aproximado de , según el Método de Newton- Raphson.

NIT: Contador de iteraciones en el Método de Newton-Raphson para el cálculo del coeficiente de fricción, f

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del método de Cross.

Esquema de la red de tuberías del ejemplo.

Los resultados del análisis de la red

Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtuvieron los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.

Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos

DATOS INICIALES DE LA RED

C = 125; k = 0.15 mm

METODO DE CROSS-

HAZEN & WILLIAMS

METODO DE CROSS-

DARCY & WEISBACH

Circuito No.

Tramo Longitud Diámetro Qinicial No.

Circuito adyacente

QDEF Hf V QDEF hf v

    m pulg mm l/s   l/s m m/s l/s m m/s

I

1-1 600 16 400 180 0 195.711 3.526 1.557 196.076 3.094 1.560

*1-2 300 12 300 60 2 76.268 1.251 1.079 76.358 1.077 1.080

*1-3 300 8 200 10 3 25.011 1.144 0.796 25.249 1.004 0.804

*1-4 600 12 300 -70 4 -46.509 -1.001

-0.658

-45.841 -0.809

-0.649

1-5 600 16 400 -250 0 -234.289

-4.919

-1.864

-233.924

-4.367

-1.862

              hf = 0.001

    hf = -0.001

   

II

*2-1 300 12 300 -60 1 -76.268 -1.251

-1.079

-76.358 -1.077

-1.080

2-2 300 12 300 70 0 69.443 1.051 0.982 69.718 0.904 0.986

*2-3 300 8 200 -10 3 -11.257 -0.261

-0.358

-11.109 -0.212

-0.354

2-4 300 12 300 45 0 44.443 0.460 0.629 44.718 0.386 0.633

              hf = -0.001

    hf = -0.001

   

III

*3-1 300 8 200 -10 1 -25.011 -1.144

-0.796

-25.249 -1.004

-0.804

*3-2 300 8 200 10 2 11.257 0.261 0.358 11.109 0.212 0.354

3-3 300 8 200 25 0 25.700 1.203 0.818 25.827 1.049 0.822

*3-4 300 12 300 -45 4 -36.521 -0.320

-0.517

-36.091 -0.257

-0.511

              hf = 0.000

    hf = 0.000

   

IV

*4-1 600 12 300 70 1 46.509 1.001 0.658 45.841 0.809 0.649

4-2 300 12 300 -80 0 -87.779 -1.622

-1.242

-88.082 -1.420

-1.246

*4-3 300 12 300 45 3 36.521 0.320 0.517 36.091 0.257 0.511

4-4 300 8 200 60 0 52.221 4.469 1.662 51.918 4.050 1.653

4-5 900 8 200 -20 0 -27.779 -4.168

-0.884

-28.082 -3.695

-0.894

              hf = 0.000

    hf = -0.001

   

* Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultáneamente.