El dibujo

G eomtrico

Una definicin y un poco de historia.

Geometra.

(Del lat. geometra, y este del gr. ).

1. f. Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

La necesidad de representar los conocimientos geomtricos nace de tiempos remotos. Podemos situar de manera clara su nacimiento prctico en el Antiguo Egipto donde se haca necesario realizar mediciones agrarias o de construccin. Estos conocimientos pasaron a los griegos. Fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inici la geometra del espacio. Euclides fue otro gran matemtico griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometra hasta su poca y, salvo algunas pequeas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseando en nuestros das. Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos bsicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, stos servirn para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lgico. Esta geometra, llamada geometra euclidiana se basa en lo que histricamente se conoce como 5 postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y slo una paralela a ella".

Mujer enseando geometra. Ilustracin del libro Los elementos. 1309-1316

Operaciones bsicas

Paralelas y perpendiculares Para dibujar rectas paralelas y perpendiculares sobre un papel utilizaremos la escuadra (tiene forma de tringulo issceles) y el cartabn (tringulo escaleno)

Ejercicio: Divide El siguiente espacio en cuadrculas de 05 cm.

La mediatriz de un segmento 1. Se le da al comps una abertura aproximada mayor que la mitad del segmento AB y haciendo centro en B se traza un arco. 2. Sin cambiar la abertura del comps se repite la operacin haciendo centro en A. 3. La recta que une los puntos C y D es la mediatriz.

La bisectriz de un ngulo 1. Se le da al comps una abertura cualquiera y se traza un arco con centro en A que corte a las semirectas r y s en los puntos R y S. 2. Con la misma abertura se trazan dos arcos de centros R y S de manera que se corten en un punto B. 3. La recta t que pasa por A y B es la bisectriz.

A B

A

s

r

Divisin de un segmento en partes iguales

TEOREMA DE THALES: Tales de Mileto (en la actual Turqua) vivi entre los aos 624 y 547 AC, aproximadamente. Obtuvo importantes resultados en el estudio de la geometra. Varios de estos resultados son conocidos con el nombre de Teorema de Tales. Una aplicacin de este teorema sirve para dividir un segmento en partes iguales. Para ellos seguiremos los siguientes pasos:

1 Dibujar el segmento AB que se quiere dividir. 2 A partir de A dibujar una recta cualquiera.

3 Sobre la recta anterior dibujar tantas partes iguales como divisiones queremos hacer en el segmento. P.ej.: dividir el segmento AB en 5 partes iguales.

4 Unir la ltima divisin (5) con el extremo B del segmento, y por las dems divisiones trazar paralelas a la recta anterior.

Ahora te toca a ti, aplicar el Teorema de Thales, as que divide los siguientes segmentos en 7partes iguales.

CONSTRUCCIN DE POLGONOS DADO EL LADO. TRINGULO EQUILTERO.

1 Sobre una recta dibujar el lado AB del tringulo equiltero.

BA

2 Con centro en A y radio AB traza un arco de circunferencia.

A B

3 Con centro en B repetir el paso anterior. El punto de corte entre los dos arcos anterior es el vrtice C del tringulo equiltero ABC.

BA

C

Ahora te toca a ti: Dibuja un tringulo equiltero de 5 cm. de lado

CONSTRUCCIN DE POLGONOS DADO EL LADO. CUADRADO

1 Sobre una recta dibujar el lado AB del cuadrado

A B

2 Por el extremo B trazar una perpendicular al lado AB.

3 Sobre la perpendicular anterior llevar la medida del lado AB y obtenemos el vrtice C.

BA

A B

C

4 Por el vrtice C trazar una paralela al lado AB 5 Por el vrtice A trazar una paralela al lado BC:

C

BA

A B

CD

Ahora te toca a ti: Dibuja un cuadrado de 5 cm. de lado

1. Polgonos regulares. Consideraciones generales

Un polgono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ngulos iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polgono, y equidista de los vrtices y lados del mismo.

Se denomina ngulo central de un polgono regular el que tiene como vrtice el centro del polgono, y sus lados pasan por dos vrtices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360 entre el nmero de lados del polgono. Se denomina ngulo interior, al formado por dos lados consecutivos.

Si unimos todos los vrtices del polgono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polgono obtenido se denomina convexo. Si la unin de los vrtices se realiza, de forma que el polgono cierra despus de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polgonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ngulo, es el caso del falso estrellado del hexgono, compuesto por dos tringulos girados entre s 60.

En un polgono regular convexo, se denomina apotema a la distancia del centro del polgono al punto medio de cada lado.

En un polgono regular convexo, se denomina permetro a la suma de la longitud de todos sus lados.

El rea de un polgono regular convexo, es igual al producto del semipermetro por la apotema.

2. Construccin de polgonos regulares dada la circunferencia circunscrita

La construccin de polgonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la divisin de dicha circunferencia en un nmero de partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtencin de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polgono, y otras ocasiones pasa por la obtencin del ngulo central del polgono correspondiente.

Cuando en una construccin obtenemos el lado del polgono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vrtice se lleve la mitad de los lados en una direccin y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construccin, inherentes al instrumental o al procedimiento.

2.1. Tringulo, hexgono y dodecgono (construccin exacta)

NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma

abertura del comps, igual al radio de la circunferencia dada.

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que nos determinarn, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.

A continuacin, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarn, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por ltimo con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinar el punto C sobre la circunferencia dada.

Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el tringulo inscrito. Uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexgono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecgono inscrito; para su total construccin solo tendramos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia.

De los tres polgonos, solo el dodecgono admite la construccin de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexgono admite la construccin de un falso estrellado, formado por dos tringulos girados entre s 60.

2.2. Cuadrado y octgono (construccin exacta)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que nos determinarn, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.

A continuacin, trazaremos las bisectrices de los cuatro ngulos de 90, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarn sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8.

Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octgono inscrito.

El cuadrado no admite estrellados. El octgono s, concretamente el estrellado de 3. El octgono tambin admite la construccin de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre s 45.

NOTA: De esta construccin podemos deducir, la forma de construir un polgono de doble nmero de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ngulos centrales del polgono dado, y estas nos determinarn, sobre la circunferencia circunscrita, los vrtices necesarios para la construccin.

2.3. Pentgono y decgono (construccin exacta)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que nos determinarn sobre la circunferencia dada los puntos A- B y 1-C respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinar los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O.

Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinar el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentgono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decgono inscrito.

Para la construccin del pentgono y el decgono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia.

Nota: El pentgono tiene estrellado de 2. El decgono tiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentgonos estrellados girados entre s 36.

2.4. Heptgono (construccin aproximada)

Comenzaremos trazando una diagonal de la circunferencia dada, que nos determinar sobre ella puntos A y B.

A continuacin, con centro en A, trazaremos el arco de radio A-O, que nos determinar, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio del radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del heptgono inscrito.

Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptgono buscado. Como se indicaba al principio de este tema, partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tres veces en cada sentido de la circunferencia, para minimizar los errores de construccin. El heptgono tiene estrellado de 3 y de 2

2.5. Enegono (construccin aproximada)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares, que nos determinarn, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-C respectivamente.

Con centro en A, trazaremos un arco de radio A-O, que nos determinar, sobre la circunferencia dada, el punto D. Con centro en B y radio B-D, trazaremos un arco de circunferencia, que nos determinar el punto E, sobre la prolongacin de la diagonal 1-C. Por ltimo con centro en E y radio E-B=E-A, trazaremos un arco de circunferencia que nos determinar el punto F sobre la diagonal C-1. En 1-F habremos obtenido el lado del enegono inscrito en la circunferencia.

Procediendo como en el caso del heptgono, llevaremos dicho lado 9 veces sobre la circunferencia, para obtener el enegono buscado.

El enegono tiene estrellado de 4 y de 2. Tambin presenta un falso estrellado, formado por 3 tringulos girados entre s 40.

2.6. Decgono (construccin exacta)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares, que nos determinarn, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-6 respectivamente.

Con centro A, y radio A-O, trazaremos un arco que nos determinar los puntos C y D sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos, obtendremos el punto E, punto medio del radio A-O. A continuacin trazaremos la circunferencia de centro en E y radio E-O. Trazamos la recta 1-E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto F, siendo la distancia 1-F, el lado del decgono inscrito.

Procediendo con en el caso del heptgono, llevaremos dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia, para obtener el decgono buscado.

El decgono como se indic anteriormente presenta estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentgonos estrellados, girados entre s 36.

En pgina web: http://www.educacionplastica.net/ podrs encontrar mltiples recursos para poder consultar. Te recomiendo para este tema las siguientes:

Si tienes alguna duda para construir los polgonos puedes consultar las siguientes pginas:

http://www.educacionplastica.net/poligonos.htm

Si quieres practicar con una aplicacin para realizar polgonos estrellados, accede a la siguiente direccin

http://www.educacionplastica.net/PolEst0.htm Otras pginas interesantes: http://www.mallorcaweb.net/ffoaloke/aula/tgeo.htm

http://www.educacionplastica.net/http://www.educacionplastica.net/poligonos.htmhttp://www.educacionplastica.net/PolEst0.htmhttp://www.mallorcaweb.net/ffoaloke/aula/tgeo.htm

Polgonos estrellados

Si unimos los vrtices de un polgono saltando rtmicamente un nmero dado de vrtices hasta volver al primero conseguiremos un polgono estrellado. Dependiendo del nmero de vrtices podremos conseguir ms o menos polgonos estrellados a partir de un polgono. A continuacin explicamos cmo calcularlo y te ponemos ejemplos.

Un polgono regular estrellado puede construirse a partir del regular convexo uniendo vrtices no consecutivos de forma continua. Se denotan por N/M siendo N el numero de vrtices = N del regular convexo y M el salto entre vrtices. N/M ha de ser fraccin irreducible, de lo contrario no se genera el polgono estrellado que indica la fraccin. Es fcil ver que N/M es el mismo polgono que N/(N-M), ya que el polgono que se obtiene uniendo vrtices en un sentido y en el contrario es el mismo. Comportamiento similar a nmeros combinatorios. Para encontrar todos los polgonos regulares estrellados que se generan de un regular de N lados, basta con considerar M entero entre 2 y (N/2) con la condicin de que la fraccin que le denota sea irreducible.

Es fcil ver que no se genera ningn polgono estrellado a partir del

triangulo equiltero. 3/1 = 3 numero entero... No polgono

estrellado. 3/2=3/1

Tampoco el cuadrado genera polgonos estrellados regulares. 4/1 entero. 4/2

entero.

Polgono regular 5/2. Es claro que no puede

haber ms.

El hexgono regular no genera polgonos estrellados. 6/1 es el

polgono convexo. 6/2 =entero. 6/3 entero

7/3

El heptgono regular genera dos estrellados, 7/2 y 7/3

8/3

8/3 es el nico estrellado que se genera partiendo del octgono regular.

9/2 9/4

El enegono genera dos estrellados, 9/2 y 9/4

10/3

No hay ms, ya que 10/4 = 5/2.

11/2 11/3 11/4 11/5

Algunos ejemplos