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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
El concepto de logaritmo: una revisión histórica,
bibliográfica y una propuesta didáctica en el marco
de la Teoría Antropológica de lo Didáctico
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos
Aires
UNCPBA
Mayo 2016
2
El concepto de logaritmo: una revisión histórica,
bibliográfica y una propuesta didáctica en el marco
de la Teoría Antropológica de lo Didáctico
Profesora María Daniela Sanabria
Tesis de Licenciatura
realizada bajo la dirección de
la Dra. Viviana Angélica
Costa presentada en la
Facultad de Ciencias Exactas
de la Universidad Nacional
del Centro de la Provincia de
Buenos Aires, como
requisito parcial para la
obtención del título de
Licenciado en Educación
Matemática Tandil –Mayo
2016.
3
CONTENIDO
Resumen ........................................................................................................................... 7
Capítulo 1 ......................................................................................................................... 8
Introducción ...................................................................................................................... 9
Utilidad del logaritmo en las diferentes disciplinas ...................................................... 9
El logaritmo y su enseñanza ....................................................................................... 13
Objetivos de la investigación ...................................................................................... 14
Preguntas de investigación .......................................................................................... 15
Capítulo 2 ....................................................................................................................... 16
Revisión Histórica .......................................................................................................... 17
Tablas Logarítmicas .................................................................................................... 21
Tabla de base 2 (aproximando en tres decimales) ................................................... 22
Tabla de base 10 (aproximando en tres decimales)................................................. 22
Construcción de la tabla logarítmica en base 10 (aproximación con 3 decimales) . 23
Aportes de la revisión histórica a la investigación...................................................... 26
Capítulo 3 ....................................................................................................................... 27
Revisión Bibliográfica .................................................................................................... 28
Investigaciones sobre las dificultades en la comprensión de la noción de logaritmo
................................................................................................................................. 28
Aportes de la revisión bibliográfica a la investigación ............................................... 31
Capítulo 4 ....................................................................................................................... 32
Marco institucional ......................................................................................................... 33
Diseño Curricular de la Escuela Secundaria y el concepto de logaritmo................ 33
Definición de logaritmos en los libros de texto .......................................................... 35
Descripción de libros escolares de educación matemática secundaria ................... 35
Aportes de la descripción al análisis del marco institucional a la investigación ........ 39
Capítulo 5 ....................................................................................................................... 40
Marco Teórico ................................................................................................................ 41
Actividades de estudio e Investigación: Dispositivos de estudio ............................... 43
4
Capítulo 6 ....................................................................................................................... 45
PROPUESTA DE UNA AEI PARA LA ENSEÑANZA DE LOGARITMO ............... 46
Propuesta Didáctica .................................................................................................... 47
Modelo Praxeológico de Referencia ........................................................................... 47
Conclusiones ................................................................................................................... 57
Referencias ..................................................................................................................... 58
5
TABLAS
Tabla 1: Relación entre progresiones ............................................................................. 17
Tabla 2: Progresiones en base 2 ..................................................................................... 19
Tabla 3: Tabla de Stifel .................................................................................................. 21
Tabla 4: Tabla de base 2 ................................................................................................. 22
Tabla 5: Tabla de base 10 ............................................................................................... 22
Tabla 6: Construcción de tabla logarítmica en base 10 .................................................. 23
Tabla 7: Tabla de logaritmos decimales (Los valores que aparecen en la tabla son los de
la mantisa redondeada a las milésimas) .......................................................................... 25
Tabla 8: Cuadro Bibliográfico ........................................................................................ 30
6
ILUSTRACIONES
Ilustración 1: Mapa Curricular. Diseño Curricular para ES 5°Año . DGCyE. Pcia Bs. As
........................................................................................................................................ 34
Ilustración 2: Diseño Curricular para ES 5°Año. DGCyE. Pcia Bs. As. Pp 17. ............ 34
Ilustración 3: Bachillerato LOGSE Matemáticas I ......................................................... 35
Ilustración 4: Nueva Carpeta de Matemática VI ............................................................ 36
Ilustración 5: Matemática Polimodal. Funciones 2 ........................................................ 36
Ilustración 6: Matemáticas. Bachillerato 2 ..................................................................... 37
Ilustración 7: Propiedades del Logaritmo. Nueva Carpeta de Matemática VI ............... 38
7
“EL CONCEPTO DE LOGARITMO: UNA REVISIÓN HISTÓRICA, UNA
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA Y UNA PROPUESTA DIDÁCTICA EN EL
MARCO DE LA TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LA DIDÁCTICA”
RESUMEN
El presente trabajo tiene como finalidad analizar las potencialidades de una enseñanza
basada en Actividades de Estudio e Investigación (AEI) referido al concepto
matemático: logaritmo.
Para ello se expone una breve revisión histórica y bibliográfica, se describe el contexto
institucional (Quinto año de una Escuela Secundaria de la Provincia de Buenos Aires.),
en el cual podría ser implementado el diseño de la propuesta didáctica que se presenta
en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico.
Palabras claves: logaritmo, progresiones, enseñanza de la matemática, escuela
secundaria, Actividades de Estudio y de Investigación.
8
CAPÍTULO 1
9
INTRODUCCIÓN
Los logaritmos como concepto matemático, desde el momento de su invención, han
sido el motor de distintas ramas de las matemáticas y las ciencias. La palabra logaritmo
proviene de las palabras logos (razón) y arithmos (números) e indica que la diferencia
entre los términos de la progresión aritmética se corresponde a la razón de los términos
de la progresión geométrica.
Matemáticamente el concepto se define como:
Los logaritmos tienen una gran importancia en la ciencia y su surgir no fue de forma
inmediata. Desde el momento de su origen, han facilitado la resolución de cálculos
complejos, los cuales han contribuido al avance y al desarrollo de la ciencia.
Los logaritmos nacieron como una herramienta para resolver problemas muy prácticos
y su importancia está en la simplificación que supone para multitud de cálculos. Sin los
logaritmos y su contribución, sería imposible conseguir muchísimos de los avances que
hasta ahora han sido posibles.
Entre los muchos avances a los que ha contribuido está el de la astronomía, en la
navegación marítima y la matemática aplicada, en la economía, en la música, en la
topografía, en la biología, etc.
UTILIDAD DEL LOGARITMO EN LAS DIFERENTES DISCIPLINAS
Logaritmo y la Astronomía: La magnitud absoluta es la magnitud aparente
que tiene un objeto si estuviera a una distancia de 10 parsecs
(aproximadamente años luz o ). La magnitud aparente de
un cuerpo celeste, planeta o estrella es una medida de su brillo, es decir, de la
cantidad de luz que se recibe de dicho objeto. La fórmula que permite establecer
la magnitud absoluta es:
10
donde es la distancia en parcecs.
Logaritmo y la Química: El pH (potencial de hidrógeno) es una medida de
acidez o alcalinidad de una disolución. El pH indica la concentración de iones
hidronio [ ] presentes en determinadas sustancias. Este término fue acuñado
por el químico danés Sørensen, quien lo definió como el logaritmo negativo en
base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es:
( )
Logaritmo y la Arqueología: Los arqueólogos utilizan los logaritmos cuando
datan la antigüedad de los restos orgánicos por el método del carbono 14 ( ).
La velocidad de desintegración del en la materia se relaciona con su edad a
través de la siguiente ecuación:
⁄
(
)
donde es la cantidad de original del fósil al morir; es la cantidad de
final del fósil al encontrarlo, ⁄ es el período de
semidesintegración del y es el tiempo estimado de antigüedad del fósil.
Otra fórmula que es utilizada para determinar la antigüedad de un fósil es:
( )
Logaritmo y la Música: Los grados de tonalidad de la escala cromática no son
equidistantes por el número de vibraciones ni por la longitud de onda de sus
sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes.
Considerando que la nota do de la octava más baja, que representaremos por
cero, está determinada por vibraciones por segundo. El do de la primera
octava producirá vibraciones, el do de -ésima octava producirá
vibraciones cada segundo. Si hemos llamado cero a do, y seguimos
numerando las notas, tendremos que sol será la 7ª, la será la 9ª, la 12ª será de
nuevo do, en una octava más alta, etc. Como en la escala cada nota tiene √
más vibraciones que las anteriores, entonces el número de éstas en cualquier
tono se puede expresar con la fórmula:
11
( √
)
donde es la ubicación de la nota de la escala cromática y es el número de
vibraciones. Al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad
( ) y aplicando los logaritmos a base 2, se tiene que:
En el tono la de la segunda octava; 2 es la característica del logaritmo del
número de vibraciones y
la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Así
y el número de vibraciones es veces mayor que las
del tono do de la 1a octava.
Por tal motivo, los pentagramas tienen relación con la escala logarítmica.
Logaritmo y la Geología: Los logaritmos se utilizan para medir los movimientos
sísmicos. Una escala habitualmente utilizada en la medición de la intensidad de
los sismos es la escala Richter y mide la energía liberada por el movimiento de
rotura de las rocas. La relación entre la magnitud del sismo y la energía
liberada , es:
.
Se deduce de esta igualdad que un aumento de un punto en la escala de medida
equivale a multiplicar, aproximadamente por 30 la energía liberada en la
situación anterior.
Los grados en la escala de Richter de intensidad se calculan mediante la
expresión
(
)
donde es la amplitud medida en micrómetros (1 micrómetro = 10-4
cm) y es
el período medido en segundos.
Logaritmo y la Psicología: Según la ley de Fechner, mientras que la intensidad
de una sensación crece en progresión aritmética, el estímulo crece en progresión
geométrica. La formulación matemática de esta ley es la siguiente:
12
siendo S la sensación, E el estímulo y K es una constante, la constante de Weber,
distinta para cada modalidad sensorial.
Otra de las aplicaciones en la psicología es un modelo para describir el tiempo
de aprendizaje de una serie de símbolos por una persona está dada por la
ecuación:
(
)
donde para cada persona y se determinan empíricamente y es el número
de símbolos a aprender en horas.
Logaritmo y la Medicina: Cuando una mujer queda embarazada, se produce
una hormona llamada gonadotropina coriónica humana. Dado que los
niveles de esta hormona aumentan de forma exponencial, y a diferentes
velocidades con cada mujer, el logaritmo se puede utilizar para determinar
cuándo se produjo el embarazo y para predecir el crecimiento del feto.
Otra aplicación en el campo de la medicina es el cálculo de la intensidad del
sonido.
La intensidad es el flujo de energía por unidad de área que produce medida en
watts por metro cuadrado. Las intensidad de sonido mínima que puede
escucharse (el umbral de audibilidad) es aproximadamente W/m 2. La
sonoridad de un sonido se define como:
(
)
donde I es la intensidad y se mide en decibelios.
Asimismo encontramos, dentro de las aplicaciones en la medicina, la fórmula de
Ehrenberg: ln ln 2,4 1,84P A
Es la fórmula que relaciona el peso P (en kg) con la altura A (en metros) de
niños entre 5 y 13 años de edad.
Logaritmo y la Economía: Se puede aplicar en la oferta y la demanda; que
son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico
13
contemporáneo. Se utiliza los logaritmos para poder medir el crecimiento
de los depósitos de acuerdo al tiempo.
La fórmula que relaciona la cantidad de dinero M y tiempo invertido a una tasa
de interés anual es:
( )
Donde es el capital invertido, es la cantidad de años transcurridos e es la
tasa de interés. Así para determinar el tiempo , sólo basta con aplicar logaritmo.
( )
( )
Logaritmo y la Estadística: una de las aplicaciones es para calcular el
crecimiento de la población.
Escala Logarítmica: es una escala de medida que utiliza el logaritmo de una
cantidad física en lugar de la propia cantidad. Un ejemplo sencillo de escala
logarítmica muestra divisiones igualmente espaciadas en el eje vertical de un
gráfico marcadas con 1, 10, 100, 1000, ... en vez de 0, 1, 2, 3, ...
Si la magnitud a representar no es una potencia entera de la base de logaritmos
empleada, para representar dicha medida en la escala logarítmica habrá que
añadirle una constante aditiva. Por ejemplo, si la base de la escala logarítmica es
10:
log10 1 ; log100 2
log 40 log10 log 4 1 0,6 1,6
La presentación de datos en una escala logarítmica puede ser útil cuando los
datos cubren una amplia gama de valores, el logaritmo los reduce a un rango
más manejable.
EL LOGARITMO Y SU ENSEÑANZA
Generalmente en la mayoría de las situaciones escolares, la enseñanza de logaritmo se
realiza de manera mecánica y fuera de contexto. En una clase tradicional de matemática
se introduce la definición de logaritmo, se muestran ejemplos, se enuncian (sin
demostración alguna) y se dan ejemplos de las propiedades y finalmente se realizan los
14
ejercicios, siendo éste el único papel del alumno: reproducir, de una forma sistemática,
lo que el profesor presenta; dejando de lado el contexto histórico que dio origen al
logaritmo como herramienta para simplificar cálculos que permiten realizar
multiplicaciones, divisiones y potencias de manera rápida.
Como docentes esperamos que nuestros alumnos aprendan significativamente el
concepto de logaritmo y las propiedades que conllevan. Pero, uno de los mayores
obstáculos que existe es la enseñanza de los logaritmos como forma de aplicación
evaluando en una fórmula. Por este motivo, es recomendable enseñar el concepto de
logaritmo de forma tal, que los alumnos se apropien con sentido de dicho concepto.
Abrate y Pochulu (2007) escriben:
Creemos que muchas veces el modo en que se enseña Matemática dificulta que se
comprenda la relevancia del tema, que se entiendan los obstáculos del pasado y
que adquiera real sentido, al menos en parte, para muchos de nuestros alumnos.
Enseñar contenidos matemáticos desprovistos de su historia suele acarrear el
inconveniente de que pueden ser concebidos por los alumnos como algo
artificioso y arbitrario de esta ciencia. La perspectiva histórica no sólo permite
conocer cómo se crearon y construyeron los conceptos y las teorías que hoy
manejamos, producto de un trabajo acumulativo, sino también, faculta para
comparar técnicas y métodos actuales con otros que se utilizaron en el pasado.
Así, el quehacer matemático se torna valioso al poner de manifiesto que un mismo
problema se resolvió de maneras diferentes en distintas época. (pp 1)
OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
En este contexto, el presente trabajo tiene como finalidad analizar las potencialidades de
una enseñanza basada en Actividades de Estudio e Investigación (AEI) referido al
logaritmo en relación a su valor como herramienta algebraica, de utilidad por ejemplo
para el análisis de funciones logarítmicas y la resolución de ecuaciones logarítmicas,
que proporcione al estudiante los conceptos y técnicas necesarias para dar respuesta a
situaciones problemáticas y que no se limite a una presentación desarticulada y carente
de sentido de los mismos.
15
Para ello se hará una breve revisión histórica y bibliográfica, como así también un
análisis en el marco institucional acerca del logaritmo y su enseñanza, para finalmente
presentar una propuesta didáctica, en el marco de la Teoría Antropológica de lo
Didáctico que pueda ser implementada en Quinto año de una Escuela Secundaria de la
Provincia de Buenos Aires.
PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
Las preguntas que guían la presente investigación son:
¿Cuáles actividades de estudio e investigación podrían proponerse a los estudiantes de
un curso de quinto año de la escuela secundaria para estudiar con sentido y
funcionalidad el concepto de logaritmo?
¿Cuáles organizaciones matemáticas sería posible construir o reconstruir durante el
desarrollo de una AEI propuesta para el estudio del concepto logaritmo que contemple
su contexto histórico?
16
CAPÍTULO 2
17
REVISIÓN HISTÓRICA
La necesidad de simplificar los cálculos en campos como la navegación, la agrimensura
y la astronomía, tal como se mencionó en algunas utilidades (pag. 13), dio origen al
concepto de logaritmo que permitió enfrentar este problema antiguo, que actualmente se
resuelven por medio de calculadoras, computadoras y/o aplicaciones digitales.
Hasta el siglo XVI la escritura de los números racionales como una parte entera más una
fracción de la unidad hacía incluso de la suma una operación muy compleja y los
algoritmos de la multiplicación y de la división eran desconocidos.
El concepto de logaritmo se remonta hasta los estudios de Arquímedes y se origina a
partir de la comparación entre una progresión aritmética y una progresión geométrica.
Progresión
Aritmética
Progresión
Geométrica
Tabla 1: Relación entre progresiones
Los valores correspondientes a la progresión aritmética son llamados logaritmos y los
valores correspondientes a la progresión geométrica son llamados antilogaritmos.
Según Lefort (2001):
Cuando varios números están en proporción continua a partir de la unidad, y
algunos de estos números se multiplican entre sí, el producto estará en la misma
progresión, alejado del más grande de los números multiplicados tantos números
como el más pequeño de los números multiplicados lo está de la unidad en la
progresión, y alejado de la unidad la suma menos uno de los números de lugares
que los números multiplicados están alejados de la unidad" (Arenario, trad.
Verecke)
Estos números, llamados logaritmos, permiten reemplazar las multiplicaciones por
sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por cocientes,
18
lo que no sólo simplifica enormemente la realización manual de cálculos matemáticos,
sino que permite realizar otros que sin su invención no habrían sido posibles.
El origen de los logaritmos se dio mediante dos enfoques: los cálculos trigonométricos
para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo interés
compuesto asignados a la economía.
En 1614 Napier 1publica su obra “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque
usus in utroque Trigonometría; ut etiam in omni logística mathematica, amplissimi,
facillimi, et expeditissimi explicatio” en la que da a conocer los logaritmos, en donde él
los llamó “números artificiales”, y utilizando una aproximación cinemática pone en
relación una progresión geométrica con una progresión aritmética.
En 1619 apareció una segunda obra, "Mirifici logarithmorum canonis constructio"
donde explica cómo calcular los logaritmos, mediante tablas de logaritmos. La tabla de
Napier no daba los logaritmos de la sucesión de los números naturales, sino de los
valores de los senos de 0º a 90º. Para obviar los números negativos y para que los
términos de su progresión geométrica fueran potencias enteras muy cercanas a un seno
dado, tomó como razón un número próximo a la unidad, pero menor que ella:
Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción:
λόγος (logos) el sentido de proporción o razón, y ἀριθμός (arithmos) cuyo significado
es número, y se define, literalmente, como “un número que indica una relación o
proporción”.
Las tablas de logaritmos de Napier tenían la ventaja de que las largas multiplicaciones
se podían sustituir por sumas. El producto de dos términos de la progresión geométrica,
y , está asociado el término que corresponde a la suma de la progresión
aritmética.
1 John Napier, barón de Merchiston, llamado también Neper o Nepair (1550 -1617) fue un matemático
escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. También hizo común el uso del punto
decimal en las operaciones aritméticas y aportó la construcción de las primeras tablas de multiplicar.
19
Por ejemplo, dadas las progresiones:
P.A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P. G 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192
Tabla 2: Progresiones en base 2
Para realizar el producto de se procede como sigue:
Al 128 en el segundo renglón le corresponde el número 7 en el primer, y al
32 le corresponde el 5
La suma de estos números es: 7 + 5 = 12
Al número 12 en el segundo renglón le corresponde el 4096 en el primero
Entonces, 128 × 32 = 4096, y este resultado se obtuvo mediante una operación de suma.
Henry Briggs2 retoma la idea fundamental de Napier pero considerando una progresión
geométrica simple, la de las potencias de 10. En el año 1617, año de la muerte de
Napier, Briggs publicó sus “Logarithmorum chilias prima”, que comprende los
logaritmos de los números 1 a 1000, con una precisión de 14 decimales. En 1624
publica "Arithmetica Logarithmica" que contenía los logaritmos de "Briggs" con 14
cifras para los enteros de 1 a 20000 y de 90000 a 100000. En la obra de Briggs aparece
la palabra característica (parte entera), mientras que la palabra mantisa (parte decimal)
fue utilizada por primera vez por Wallis en 1693.
Los valores entre 20000 y 90000 la completó Ezechiel De Decker3, el cual ayudado por
Adriaan Vlacq4, publicó en 1627 una tabla de logaritmos completa.
Briggs escribió acerca de su nuevo descubrimiento:
Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar la solución de los
problemas aritméticos y geométricos. A través de ello se evitan todas las
complejas multiplicaciones y divisiones, transformándolo en algo completamente
simple a través de la sustitución de la multiplicación por la adición y la división
2 Henry Briggs (Warley Wood, 1561-Oxford, 1631) Clérigo y matemático inglés notable. Profesor en
Cambridge y Oxford, elaboró unas tablas astronómicas y de navegación, si bien su obra principal la
constituyen las completísimas tablas de logaritmos decimales que publicó entre 1618 y 1620. 3 Ezechiel De Decker (1603-1647) fue un agrimensor holandés y profesor de matemáticas.
4 Adriaan Vlacq (1600- 1667) fue un editor y autor de tablas matemáticas holandés.
20
por la substracción. Además, el cálculo de las raíces se realiza también con gran
facilidad.
Los logaritmos de Napier se conocieron en Europa debido a la difusión de Kepler, quien
consideró el aspecto analítico del logaritmo como una función, y a las tablas publicadas
por Vlacq retomando las tablas de Briggs. El objetivo de Vlacq fue proporcionar un
tratado de cálculo práctico, especialmente a los agrimensores.
Jobst Bürgi5 consideró por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su
descubrimiento cuatro años después que Napier. En 1620 publicó sus tablas
logarítmicas bajo el título “Arithmetische und geometrische Progress Tabulen”.
Observó que las propiedades logarítmicas no se extendían solamente sobre la sucesión
de potencias de base dos, sino sobre sucesiones con cualquier razón racional q.
Bürgi utilizó como base, aunque él mismo no lo supiera, el número:
( ) (
)
valor próximo al número
El hecho de que Napier trabajara originalmente con senos, lleva a decir que el enfoque
de su trabajo fue geométrico. En Bürgi, por el contrario, se habla de un enfoque
algebraico pues su trabajo se basa más directamente en la relación entre series
geométricas y aritméticas.
Miguel Stifel6 retoma la comparación de dos sucesiones: una aritmética (que llamamos
logaritmos) y otra geométrica (que llamamos antilogaritmos).
Por antilogaritmo nos referimos a:
El logaritmo de un número en una cierta base es el exponente al que debe
elevarse la base para obtener dicho número Análogamente, si es el
logaritmo de en una base , entonces es el antilogaritmo de en dicha base.
5 Joost Bürgi o Jobst Bürgi (1552 -1632) fue un relojero y matemático suizo. El método de los logaritmos
de Bürgi es completamente diferente al de Napier y ambos los descubrieron por caminos completamente
independientes. 6 Michael Stifel (1487-1567), fue un matemático alemán que descubrió los logaritmos e inventó una
primigenia forma de tablas logarítmicas antes que John Napier
21
En símbolos: o bien
Publicó en Nuremberg su obra "Arithmetica integra", en el año 1544. En esta obra se
encuentra por primera vez el cálculo con potencias de exponente racional cualquiera y,
en particular, la regla de la multiplicación: , para todos los números
racionales n, m. Stifel realiza la primera tabla de logaritmos que existe, aunque muy
elemental. Contiene sólo los números enteros desde -3 hasta 6, y las correspondientes
potencias de 2:
P.A -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
P. G
1 2 4 8 16 32 64
Tabla 3: Tabla de Stifel
En su libro, Stifel hace referencia a que la suma en la sucesión aritmética corresponde a
la multiplicación en la geométrica, lo mismo que la resta en la primera corresponde a la
división en segunda. La simple multiplicación en la sucesión aritmética, corresponde a
la multiplicación por sí mismo, potenciación, en la geométrica; y la división en la
primera corresponde a la extracción de la raíz en la segunda.
Por ejemplo:
3 5 3 5 8
9 5 4
33 2 2 2 2 6
8 32 2 2 2 2 256
512 :32 2 : 2 2 16
64 4 2 2 2 2 2 64
Las investigaciones dan muestra a las distintas transformaciones del logaritmo,
principalmente las transformaciones numéricas que pueden lograrse con el uso de las
propiedades de los logaritmos, y también, la disminución de la complejidad operativa
en los cálculos aplicados a las distintas disciplinas científicas.
TABLAS LOGARÍTMICAS
Toda tabla de logaritmos es a la vez tabla de antilogaritmos.
22
TABLA DE BASE 2 (APROXIMANDO EN TRES DECIMALES)
0
0,5
√
1
1,5
√
2
2,5
√
3
3,5 √
4 Tabla 4: Tabla de base 2
TABLA DE BASE 10 (APROXIMANDO EN TRES DECIMALES)
-2
-1
0
1
2
3 Tabla 5: Tabla de base 10
Así, para calcular podemos realizar el siguiente razonamiento:
√ ( )
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1 *2
*2
*2
*2
*2
*2
*2
+1
+1
+1
+1
+1 *10
*10
*10
*10
*10
23
Tomando como referencia el valor anterior y aplicando las propiedades que cumple el
logaritmo, se puede establecer el valor numérico de:
( )
( )
( )
( )
CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA LOGARÍTMICA EN BASE 10 (APROXIMACIÓN CON 3
DECIMALES)
0 10 1
0,301 20 1,301
0,477 30 1,477
0,602 40 1,602
0,698 50 1,698
0,778 60 1,778
0,845 70 1,845
Tabla 6: Construcción de tabla logarítmica en base 10
Los logaritmos decimales se pueden escribir como suma de dos números: la
característica y la mantisa.
La característica de un logaritmo decimal es el número entero inmediatamente
inferior o igual a dicho logaritmo y la mantisa de un logaritmo decimal es la diferencia
entre el logaritmo y su característica.
Por ejemplo: log345 2,5378 , donde la característica es 2 y la mantisa es 0,5378.
24
Para establecer el valor del logaritmo decimal, por ejemplo de 345, utilizando las tablas
decimales debemos analizar la característica basándonos en el número dado. La mantisa
se obtiene mediante las tablas.
Considerando el número al cual se le calculará el logaritmo, se presentan dos casos
Si el número es mayor que 1: En este caso, para determinar la característica que
le corresponde, se resta una unidad al número de cifras de su parte entera. Esto
se debe a que se divide el número dado entre la base del logaritmo, hasta obtener
otro número menor que la base 10 y mayor que 1.
Si el número es menor que 1: Para determinar la característica se suma la unidad
al números de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra
significativa. Dicha característica es negativa. Esto se debe a que se multiplica el
número dado entre la base del logaritmo, hasta obtener otro número menor que
la base, pero mayor que 1.
La mantisa de un número será la parte decimal y esta se calculará por medio de las
tablas de logaritmos.
Para su uso, tendremos en cuenta la siguiente Regla:
Si el número dado consta de menos de tres cifras, debemos completar con ceros
a la derecha hasta que se forme un número de tres cifras significativas, esto
incluye los ceros.
Si el número formado consta de tres cifras: Las dos primeras cifras se buscan en
la fila y la última en la columna, la cantidad de intercepción será la Mantisa.
Si el número formado consta de 4 cifras. Las dos primeras cifras se buscan en la
fila y la última en la columna, la cantidad de intercepción será la Mantisa. La
cuarta cifra de busca en la columna de las Partes Proporcionales (P.P)
intercepción con la misma fila usada anteriormente.
De esta manera, podemos calcular el logaritmo de cualquier número, de manera
aproximada, utilizando las tablas de logaritmos decimales.
25
Tabla 7: Tabla de logaritmos decimales (Los valores que aparecen en la tabla son los de la mantisa redondeada a las milésimas)
Por ejemplo si queremos calcular log345 ,
utilizando la tabla de logaritmos decimales,
debemos determinar la mantisa:
345 fila 34 columna 5
La mantisa correspondiente es 0,5378
La característica es 2, ya que hay que
dividir dos veces para obtener un número
menor que 10:
345 10 34,5; 34,5 10 3,45
Así log345 2 0,5378 2,5378
26
El avance tecnológico ha ayudado a realizar los cálculos de una forma más simple, sin
la necesidad de utilizar las tablas logarítmicas.
En la actualidad se trabaja con calculadoras científicas y/o aplicaciones en dispositivos
digitales que permiten el cálculo de logaritmos de manera rápida y fácil, otorgando así
un valor con mayor grado de exactitud.
APORTES DE LA REVISIÓN HISTÓRICA A LA INVESTIGACIÓN
Desde su inicio, el logaritmo y su estudio tuvo como finalidad simplificar productos y
cocientes por simples sumas y restas, cálculo de potencias y raíces por fáciles
multiplicaciones y cocientes. En síntesis, desde su origen se consideró al logaritmo
como herramienta facilitadora de cálculos algebraicos.
En este sentido, se considerará al logaritmo como herramienta para ser aplicable a
problemas de contexto real, en el diseño de las actividades de estudio e investigación
que se proponen para ser implementadas en su enseñanza.
27
CAPÍTULO 3
28
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
INVESTIGACIONES SOBRE LAS DIFICULTADES EN LA COMPRENSIÓN DE LA NOCIÓN DE
LOGARITMO
En esta sección se presenta una breve revisión bibliográfica, que aborda la problemática
de la enseñanza de logaritmo. Se seleccionaron artículos con no más de 15 años de
publicación, que hacen referencia explícita a la enseñanza de los logaritmos en la
escuela secundaria como así también artículos que hacen referencia a la historia del
mismo. Esto se resume en una Tabla (Tabla 4), en la cual se listan los autores, año de
publicación, título del artículo y su resumen. Para luego presentar un análisis de los
mismos.
Autores Título Resumen
Ferrari, Farfán (2001) Una visión socioepistemológica.
Estudio de la función logaritmo
Intenta poner en evidencia las
posibles causas de la “dislexia”
en el discurso matemático
escolar y concluye que la
“dislexia” en el concepto de
logaritmo es producida por la
enseñanza axiomática de su
definición y excesiva
algoritmización. El desarrollo
de los logaritmos puede ser
caracterizado por tres etapas: el
logaritmo como transformación
(momento de acción), como
modelizador (momento de
formulación) y como objeto
teórico (momento de
validación).
29
Ferrari (2004) La Covariación Como Elemento
De Resignificación De La
Función Logaritmo
En este artículo se discute la
noción de covariación como
argumento para el
enriquecimiento del significado
escolar de la función logaritmo.
Presenta una breve reflexión
sobre un ejemplo que se está
desarrollando en torno de la
función logaritmo enmarcado
en la aproximación
socioepistemológica.
Abrate, Pochulu (2007) Los logaritmos, un abordaje
desde la Historia de la
Matemática y las aplicaciones
actuales
Proponen recuperar la
reconstrucción histórica del
logaritmo, por medio de las
sucesiones aritméticas y
geométricas.
Schubring, Gert (2008) Gauss e a tábua dos logaritmos Sostiene que entender las tablas
de logaritmo como
herramientas de cálculo permite
estudiar y analizar el concepto
logaritmo, para su mejor
comprensión.
Gacharná León (2012) Algunas consideraciones
didácticas sobre el concepto de
logaritmo y de función
logarítmica y sus posibilidades en
la educación básica y media
Identifica aspectos didácticos
de los conceptos logaritmo y
función logarítmica por medio
de las perspectivas disciplinar,
histórica y epistemológica.
Morales Martínez (2013) Análisis De Las
Transformaciones De Las
Representaciones Semióticas En
El Estudio De La Función
Analiza las dificultades que se
presentan cuando el alumno
realiza actividades de
aprendizaje sobre la función
30
Logarítmica En La Educación
Escolar
logarítmica, analizadas a través
de los registros de
representación semiótica y las
transformaciones que se
realizan sobre estas
representaciones.
Tabla 8: Cuadro Bibliográfico
Gert Schubrings en su trabajo “Gauss e a tábua dos logaritmos” (2008) se refiere a la
importancia de estudiar y analizar las tablas logarítmicas como herramienta para
entender los logaritmos, ya que hoy existen diferentes tecnologías que permiten el
cálculo de los logaritmos y omiten el significado de los mismos.
“El ejemplo particular de una tabla logarítmica alemana conduce no sólo a
reveladores estudios para determinar el autor de la misma, sino especialmente a
descubrimientos epistemológicos entorno a la naturaleza y el desarrollo de la
matemática, y a la relación entre la matemática pura y la matemática aplicada” (pp
383)
Trabajos realizados por Ferrari, M. y Farfán, R (2001) sostienen que “El conocimiento se
construye respondiendo a cuestionamientos enmarcados en un paradigma específico, en
una época y cultura particulares, dentro de una sociedad que le confiere pertinencia, y
que su transposición didáctica es inevitable” (pp 1). Las autoras intentan poner en
evidencia las posibles causas de la “dislexia” en el discurso matemático escolar en torno
a la noción logaritmo teniendo como último fin el generar hipótesis epistemológicas que
permitan gestionar las variables pertinentes a una situación didáctica. Su trabajo acerca
de la “dislexia” en el discurso matemático escolar en torno a la noción logaritmo,
sostiene que en el discurso matemático escolar no se establecen relaciones entre el
logaritmo, como herramienta facilitadora de operaciones, y la función logarítmica. Y
esto produce dicha “dislexia”.
Abrate, R y Pochulu, M. (2007), son quienes proponen enseñar logaritmos por medio de
actividades, recuperando la construcción histórica de los mismos, con la finalidad de
lograr la comprensión de los conceptos y procedimientos e intentando dotarlos de mayor
sentido para los alumnos. Sostienen que la Historia de la Matemática es un valioso
31
aliado para abordar los logaritmos al proporcionar datos del origen de dicho concepto, el
cómo y porqué; evitando así, el aprendizaje sin sentido por parte de los alumnos. En su
trabajo “Ideas para la clase de logaritmos” (2007) presentan sugerencias de diseño de
actividades para la clase de logaritmos. Proponen recuperar la construcción histórica por
la que atravesaron, las nociones de progresión geométrica y aritmética, y algunas de sus
múltiples aplicaciones.
Oscar Gacharná León (2012) propone una secuencia de actividades para apoyar la
construcción del concepto de logaritmo con la finalidad de comprenderlo. Se realiza una
propuesta que le otorga importancia a las relaciones entre las progresiones aritméticas y
geométricas, para poder generar un significado más completo y que permita tener acceso
a las diferentes aplicaciones del concepto de logaritmo.
.
APORTES DE LA REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA A LA INVESTIGACIÓN
En resumen, los artículos analizados, coinciden en cambiar el enfoque tradicional de la
enseñanza del concepto logaritmo, por una enseñanza basada en el contexto histórico
que le dio origen y que le otorga significado.
Por ello, para la propuesta didáctica se tomará como referencia los trabajos realizados
por Abrate, Pochulu (2007), por Gacharná León (2012) como así también la tesis
presentada por Morales Martínez (2013); quienes presentan diferentes estrategias
didácticas para la enseñanza de logaritmos.
32
CAPÍTULO 4
33
MARCO INSTITUCIONAL
DISEÑO CURRICULAR DE LA ESCUELA SECUNDARIA Y EL CONCEPTO DE LOGARITMO
El Diseño Curricular para ES 5°Año (DGCyE, Pcia. de Buenos Aires, Argentina)
sostiene que “el Ciclo Superior de la Escuela Secundaria representa para los jóvenes la
oportunidad de profundizar contenidos matemáticos anteriores, analizarlos desde el
punto de vista formal de la Matemática como ciencia, al mismo tiempo que se abre un
espacio de construcción de nuevos conceptos” y propone “un cambio sustancial en el
quehacer matemático del aula mediante el cual el docente, a partir de la asimetría, sea
un motor importante en la construcción de conocimientos que cobren sentido dentro de
la formación integral del alumno.” (Diseño Curricular para la Educación Secundaria 5o
año: Matemática-Ciclo Superior, pp 9)
Los contenidos de la materia Matemática-Ciclo Superior, presentados en el Diseño
Curricular de la Provincia de Buenos Aires, se organizan en cuatro ejes: Geometría y
Álgebra, Números y Operaciones, Álgebra y Funciones, Probabilidades y Estadística.
En el eje Números y Operaciones, el concepto de logaritmo se trabaja como una
operación entre números reales, la cual es útil para el estudio de las propiedades, que se
deducen y se emplean en problemas que las requieran como herramientas. En tanto que
dentro del eje Álgebra y Funciones, el concepto de logaritmo se introduce como inversa
de la función exponencial, tal como se observa en la Ilustración 1.
Dentro del bloque Números y Operaciones también se propone la enseñanza de
Sucesiones, pero el propio Diseño no considera la relación entre la enseñanza del
concepto logaritmo y de sucesiones.
34
Ilustración 1: Mapa Curricular. Diseño Curricular para ES 5°Año . DGCyE. Pcia Bs. As
El Diseño Curricular para ES 5°Año (DGCyE, Pcia. de Buenos Aires, Argentina),
propone desde el eje Números y Operaciones lo que se observa en la Ilustración 2.
.
Ilustración 2: Diseño Curricular para ES 5°Año. DGCyE. Pcia Bs. As. Pp 17.
35
En el mismo Diseño Curricular “se introduce al concepto del logaritmo desde el núcleo
de funciones, como inversa de a función exponencial”, y no como una herramienta
facilitadora de cálculo. No presenta relación alguna entre sucesiones aritméticas y
geométricas.
DEFINICIÓN DE LOGARITMOS EN LOS LIBROS DE TEXTO
Como expresa Morales Martínez (2013) en su trabajo:
En la Historia de las Matemáticas ha ocurrido que los objetivos que motivaron la
creación de un conocimiento matemático, debido al progreso de la ciencia, ya no es
el objetivo actual de su estudio, esta evolución de objetivos a ocurrido con los
logaritmos, que surgieron inicialmente para resolver complicados cálculos
aritméticos con sus tablas numéricas, y ahora tiene otros objetivos de estudio como
describir fenómenos físicos o químicos o aplicaciones de contexto de la vida real.
(pp 48)
DESCRIPCIÓN DE LIBROS ESCOLARES DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA SECUNDARIA
Para el presente trabajo, se realizó un estudio de algunos textos escolares que contienen
el estudio del concepto de logaritmo. En los textos analizados predomina el enfoque del
logaritmo como operación inversa de la potencia, como se muestra en las Ilustraciones
3, 4 y 5.
Ilustración 3: Bachillerato LOGSE Matemáticas I
36
Ilustración 4: Nueva Carpeta de Matemática VI7
Ilustración 5: Matemática Polimodal. Funciones 28
La idea que se trabaja es: “El logaritmo de un número es el exponente al que hay que
elevar la base para obtener dicho número”. En ninguno de los ejemplares hace
referencia al porqué de las condiciones que deben cumplir la base y el argumento del
logaritmo.
En tan sólo tres ejemplares, se presentan las propiedades del logaritmo con sus
respectivas demostraciones (Ilustración 6).
7 Cuadernillo I perteneciente a la Nueva Carpeta de Matemática VI. Autores: Claudio Turano, Carlos
Abdala, Luis Araventa, coordinados por Ruth Schaposchnik. Editorial Aique. Año 2007 8 Matemática Polimodal. Funciones 2. Autores: Silvia Altman, Claudia Comparatore, Liliana Kurzrok. 2°
Edición. Editorial Longseller. Año 2005
37
Ilustración 6: Matemáticas. Bachillerato 29
9 Matemática. Bachillerato 2.Autores: Miguel de Guzmán, José Colera, Adela Salvador. Editorial Anaya
38
De la misma forma, se encuentra en otros textos un enfoque mecanicista del concepto
logaritmo, donde no se presentan las demostraciones de sus propiedades y su
importancia como herramienta de cálculo. Esto se observa en la Ilustración 8.
Ilustración 7: Propiedades del Logaritmo. Nueva Carpeta de Matemática VI
La demostración de las propiedades que verifica el logaritmo es de gran importancia
para el alumno, ya que ayuda a comprender de donde surgen y el porqué, como así
también su utilidad. Esto permitiría, también analizar y demostrar el resto de ellas:
Si
Propiedad 1
( )
Propiedad 2
( ) ( ) ( )⏟
Propiedad 3
39
( ) ( )⏟
⏟ ⏞
Propiedad 4
(√ ) (
)
⏟
APORTES DE LA DESCRIPCIÓN AL ANÁLISIS DEL MARCO INSTITUCIONAL A LA
INVESTIGACIÓN
Como ya se ha hecho referencia, la utilización de esta herramienta matemática permite
transformar la multiplicación en suma, la división en resta, la potencia en producto y la
raíz en cociente.
El logaritmo y sus propiedades no sólo serán de utilidad para realizar cálculos
complejos, sino también son una herramienta fundamental para la resolución de
problemas con modelización logarítmica, para la resolución de ecuaciones y
representación de valores en escala logarítmica.
40
CAPÍTULO 5
41
MARCO TEÓRICO
“No se puede abordar el tema de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas sin
preguntarse al mismo tiempo qué son las matemáticas, en qué consisten y para qué
sirve hacer matemáticas” (Chevallard, 1997)
La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) sostiene que el saber matemático se
construye como respuesta a cuestiones problemáticas y surge como el producto de un
proceso de estudio.
Dicha teoría presenta que toda actividad humana, regularmente realizada, puede
describirse con una praxeología. Esta teoría distingue dos tipos de praxeologías: las
Organizaciones Matemáticas (OM) y las Organizaciones Didácticas (OD). Las primeras
se refieren a la realidad matemática que se pretende estudiar y las segundas, a la forma
en que eso ocurre. Según Chevallard (1999), los elementos que forman la estructura de
la praxeología u organización matemática se pueden representar a través de la siguiente
simbología [ ]. En ésta se distinguen dos aspectos inseparables:
● El nivel de la práctica o “praxis” que consta de tareas y técnicas ( ) que se
identifican generalmente con el saber–hacer.
● De forma vinculada e inseparable se encuentra el discurso razonado sobre la
práctica o “logos” formados por las tecnologías y las teorías ( ).
El proceso de estudio puede ser entendido como el proceso de construcción de una
praxeología matemática. Por lo tanto, estudiar matemáticas consiste en construir o
reconstruir determinados elementos de una praxeología matemática para dar respuesta a
un determinado tipo de tareas problemáticas.
Los diferentes procesos de estudio permiten definir varios tipos de situaciones que
necesariamente estén presentes en todos ellos, y que Chevallard (1999) ha denominado
momentos de estudio o momentos didácticos:
Primer momento: El momento del primer encuentro con la organización que se
presenta. La principal función de este momento es encontrar O a través de al menos uno
de los tipos de tareas T constitutivas de O.
42
Segundo momento: El de la exploración del tipo de tareas y el de la elaboración
de una técnica relativa a este tipo de tareas. La actividad matemática debe consistir en la
elaboración de técnicas más que la resolución de problemas aislados.
Tercer momento: De la constitución del entorno tecnológico-teórico relativo a la
técnica. Momento en donde se permite establecer las justificaciones, de forma general, a
la práctica matemática.
Cuarto momento: El momento del trabajo de la técnica, transformándola en una
técnica útil, teniendo en cuenta la tecnología utilizada y de ser necesario, modificándola.
Quinto momento: el momento de la institucionalización, cuya finalidad es definir
lo que es "exactamente" la organización matemática.
Sexto momento: El momento de la evaluación. Se evalúa los componentes de la
praxeología construida: los tipos de tareas; las técnicas; y el discurso tecnológico. Esto
supone una conclusión final sobre la actividad matemática desarrollada en la
construcción o reconstrucción de la OM.
En este proceso, “hacer matemática” consiste en activar una OM: resolver determinados
tipos de tareas con determinados tipos de técnicas (el “saber hacer”), de manera
justificada, razonada y comprendida (mediante el correspondiente “saber”).
“Enseñar y aprender matemáticas” comprende la actividad de “reconstrucción” de una
OM para utilizarlas en nuevas situaciones y bajo distintas condiciones.
La TAD plantea la necesidad de introducir en los sistemas de enseñanza procesos de
estudio funcionales, donde los saberes no constituyan “obras muertas”, carentes de
sentido y razón de ser. La enseñanza de la matemática no se debe reducir la simple
enseñanza de “monumentos” terminados para ser admirados por los estudiantes, sino
herramientas conceptuales y materiales, útiles para estudiar y resolver situaciones
problemáticas.
Se propone un cambio de pedagogía, pasar de la pedagogía tradicional a la pedagogía
del cuestionamiento del mundo. Para ello la TAD ha propuesto introducir en el aula el
dispositivo didáctico que ha denominado: Actividades de Estudio e Investigación (AEI)
(Chevallard 2004, 2005, 2006).
43
Las AEI tienen un gran potencial para recuperar el sentido y la razón de ser del estudio
de la matemática, y de otras disciplinas, en los diferentes niveles de enseñanza.
ACTIVIDADES DE ESTUDIO E INVESTIGACIÓN: DISPOSITIVOS DE ESTUDIO
Las AEI emergen como modelo didáctico para abordar la problemática de la enseñanza
de la matemática con sentido y funcional. Si bien se trata de una alternativa incompleta
y limitada, es viable en nuestra escuela secundaria y permite comenzar a enfrentar el
problema de la monumentalización e instalar algunos elementos de la pedagogía de
cuestionamiento del mundo.
Las AEI introducen razón de ser de la Organización Matemática Local (OML) que se
quiere construir a partir del estudio de una cuestión, propuesta por el profesor, a la que
se tiene que dar respuesta (Chevallard, 2004). Toda AEI surge de una cuestión
generatriz, que permite hacer surgir un tipo de problemas y una técnica de resolución,
así como una tecnología apropiada para justificar y comprender mejor la actividad
matemática que se está desarrollando (Chevallard 2005). Es necesario partir de una
cuestión generatriz Q cuyo estudio produzca la elaboración de una respuesta R, y esta
contenga los elementos esenciales de la OML inicial.
Las AEI están compuesta por: las cuestiones, los ejercicios, una síntesis, que a su vez
genera nuevas cuestiones y los controles, que operan tanto en el análisis a priori como
durante su implementación.
Las AEI asumen los momentos del primer encuentro con un tipo de tareas , de la
exploración de y de la emergencia de la técnica , de la construcción del bloque
tecnológico-teórico La síntesis es el tiempo por excelencia de la
institucionalización de . Los ejercicios y problemas son un tiempo
indispensable de trabajo de la organización matemática O Ti / i / / , en particular
de la técnica , así como de la relación tanto de la clase como de cada uno de sus
miembros con O. Los controles están en el corazón del momento de la evaluación.
(Chevallard, 2007)
De esta manera, las AEI constituyen un proceso de estudio praxeológicamente
concluido, pues se atribuye la condición de que R contenga los principales componentes
de una OML determinada y conocida de antemano por la institución escolar. Una
44
enseñanza por AEI permite comenzar a enfrentar el problema de la monumentalización
de los saberes.
Las AEI suponen un cuestionamiento fuerte al contrato didáctico tradicional de la
escuela secundaria con la intención de provocar en los estudiantes la necesidad de
seguir aprendiendo, y que facilite abrir un proceso de investigación, que permita
explorar, conjeturar y validar.
45
CAPÍTULO 6
46
PROPUESTA DE UNA AEI PARA LA ENSEÑANZA DE LOGARITMO
A continuación se presenta una actividad de estudio e investigación (AEI) para la
enseñanza del concepto logaritmo. Para ello se consideraran los aportes realizados en
relación a la revisión histórica y bibliográfica, como así también la descripción del
marco institucional. La misma podría ser implementada en un curso de Quinto año de la
escuela secundaria de la Provincia de Buenos Aires.
La implementación de la AEI en el curso, supondrá cambios en la forma de enseñar y de
estudiar. Habrá cambios en las responsabilidades asignadas a cada uno de los actores –
alumnos y profesor. Los estudiantes se dispondrán en grupos (4 integrantes por equipo).
Se presentará la actividad a los alumnos, tratando de que se involucren en el problema.
Cada equipo conformará un equipo que al final de las sesiones que dure la AEI
(posiblemente 3 sesiones) defenderá su trabajo.
Para realizar el trabajo podrán consultar libros, internet, etc. También podrán usar
software matemático (por ejemplo: Geogebra) y calculadora. Durante las sesiones, el
profesor administrará los tiempos, realizará un seguimiento de los grupos, dirigirá las
puestas en común y además deberá evitar sugerir o dar indicaciones acerca de las
respuestas o de cómo conseguirlas.
Al finalizar cada sesión, cada grupo presentaría un informe escrito en el que consignen
las preguntas que trabajaron, las respuestas que pudieron haber dado a las mismas, y las
que derivaron de ellas para la próxima sesión.
Al finalizar las sesiones, los equipos presentarían un informe. Se realizará una puesta en
común para concluir el trabajo y se propondrá una respuesta final a la pregunta inicial.
Habrá que mencionarles que de algún modo la actividad será evaluada.
47
PROPUESTA DIDÁCTICA
Actividad
Al bombardear un átomo de uranio con neutrones, su núcleo se divide en dos núcleos
más livianos, liberando energía y 3 neutrones. Bajo ciertas condiciones, es decir, si
existe una masa crítica de uranio, se inicia una reacción en cadena, cada uno de los tres
neutrones liberados choca al núcleo de otro átomo, al que dividen en dos núcleos,
liberando en cada colisión gran cantidad de energía y 3 neutrones y así sucesivamente.
a) ¿Cuántos neutrones liberados en total hay al cabo de 4 choques? ¿Y al cabo de
6? ¿y al cabo de 9?
b) ¿Es posible determinar la expresión matemática que permita establecer la
cantidad de neutrones liberados, dependiendo de la cantidad de choques
producidos desde el inicio?
c) Utilizando los datos obtenidos anteriormente, ¿es posible calcular cuántos
neutrones liberados habrá al cabo de 13 choques? ¿y de 15 choques? ¿Es posible
calcular los neutrones liberados en 32 choques?
d) ¿Cuántos choques fueron producidos si hay liberados 243 neutrones, 6561
neutrones, 59049 neutrones?
e) ¿Qué número de choques producen exactamente 500 neutrones?
f) Si sabemos la cantidad de choques que producen 729 neutrones y 6561
neutrones, ¿cuántos choques producen 4782969 neutrones?
¿Es posible determinar una expresión matemática que permita establecer la
cantidad de choques producidos desde el inicio, sabiendo la cantidad de neutrones
liberados?
MODELO PRAXEOLÓGICO DE REFERENCIA
Para abordar el estudio de una praxeología o de un conjunto de praxeologías es
necesario, en términos de la TAD (Chevallard, 2012), construir un modelo praxeológico
de referencia (MPR). Este modelo consiste en el análisis y descripción de las obras
matemáticas relacionadas con el estudio de tal praxeología. La construcción y análisis
de un MPR se encuadra en el nuevo paradigma de la pedagogía de la investigación y del
48
cuestionamiento del mundo cuyo objetivo primordial es establecer una relación más
funcional con el saber (Chevallard, 2012, 2013).
En este Modelo Praxeológico de Referencia se describe la organización matemática
local (OML) logaritmo y su relación con cuatro organizaciones matemáticas puntuales
(OMP) que son necesarias para construir la respuesta a la pregunta generatriz : ¿Es
posible determinar una expresión matemática que permita establecer la cantidad de
choques producidos desde el inicio, sabiendo la cantidad de neutrones liberados? y a
sus preguntas derivadas.
49
Análisis a priori del posible recorrido de la AEI
El estudio de la cuestión 0Q : ¿Es posible determinar una expresión matemática que
permita establecer la cantidad de choques producidos desde el inicio, sabiendo la
cantidad de neutrones liberados?, conduce a un estudio sobre la potenciación, sus
elementos y sus propiedades, para dar origen al logaritmo.
Para buscar respuesta el inciso a las cuestiones , el grupo de estudio
podría construir una tabla de valores considerando que la cantidad de neutrones
liberados al aumentar un choque, se efectúa al multiplicar por 3 la cantidad anterior.
Así pues, la tabla quedaría armada de la siguiente manera:
Número de
Choques 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cantidad
de
neutrones
liberados
1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683
Por lo que las posibles respuestas serán que: a los 4 choques habrán 81 neutrones
liberados, a los 6 choques producidos se habrán liberado 729 neutrones, y al cabo de 9
choques serán 19683 los neutrones liberados.
Para buscar la respuesta la cuestión , el grupo de estudios podría escribir la expresión
matemática general que se corresponde con el problema, considerando las respuestas
propuestas que se corresponden con las cuestiones .
𝑄 ¿Cuántos neutrones liberados en total hay al cabo de 4 choques?
𝑄 ¿Y al cabo de 6 choques?
𝑄 ¿Cuántos serán los neutrones liberados, en total, al cabo de 9?
𝑄 ¿Es posible determinar la expresión matemática que permita establecer la
cantidad de neutrones liberados, dependiendo de la cantidad de choques producidos
desde el inicio?
50
El grupo de estudio puede considerar que la cantidad de neutrones liberadas al aumentar
un choque, se efectúa al multiplicar por 3 la cantidad anterior. Podrían aplicar sus
conocimientos sobre potenciación de números reales y armar la siguiente tabla:
Número de
Choques 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c
Cantidad
de
neutrones
liberados
1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 N
03 13 23 33 43 53 63 73 83 93 3c
Si llaman c a la cantidad de choques producidos y N a la cantidad de neutrones
liberados, podrán establecer la expresión matemática: 3cN .
El grupo de estudio podría, para la búsqueda de las respuestas a las cuestiones, seguir
multiplicando hasta llegar a 13, 15 y 32, pero sería un trabajo “arduo, extenso y
aburrido”.
Si consideran como herramienta sus conocimientos previos sobre potenciación de
números reales, podrían utilizar la propiedad de la potenciación: producto de potencias
de igual base.
La propiedad producto de potencia de igual base es:
n m n ma a a
𝑄 : Utilizando los datos obtenidos anteriormente, ¿es posible calcular cuántos
neutrones liberados habrá al cabo de 13 choques?
𝑄 ¿Se puede calcular el total de neutrones liberados de 15 choques?
𝑄 ¿Es posible calcular los neutrones liberados en 32 choques?
51
Sabiendo que 13 4 9 , aplicando la propiedad de producto de potencia de igual base y
utilizando las respuestas dadas en las cuestiones , el grupo de estudio
podrá calcular 133 realizando el siguiente cálculo:
13 4 9 4 93 3 3 3 81 19683 1594323
La posible respuesta será que al cabo de 13 choques se habrán liberado 1.594.323
neutrones en total.
El grupo de estudio podría calcular la cantidad de neutrones liberados al cabo de 15
choques y 32 choques, utilizando la misma técnica.
Si 15 6 9 , entonces si se quiere calcular cuántos neutrones se habrán liberado en
total al cabo de 15 choques, el grupo de estudio podría realizar el cálculo de la siguiente
forma:
15 6 9 6 93 3 3 3 729 19683 14348907
El grupo de estudio podría responder que al cabo de 15 choques se habrán liberado
14.348.907 neutrones.
El número 32 se podría armar de diferentes maneras, utilizando los datos obtenidos
anteriormente. Por ejemplo:
32 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8
32 6 9 9 4 4 6 2 9 2 4
32 15 13 4
En estas descomposiciones se utiliza la suma de un mismo número varias veces. A lo
que dicha suma se puede transformar en producto. Entonces el grupo de estudio puede
retomar otra propiedad de la potenciación: potencia de potencia.
m
n n ma a
Para dar respuesta a la cuestión , el grupo de estudio podría utilizar la propiedad
producto de potencia de igual base y la propiedad potencia de potencia.
52
832 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 8 15
2 2 2 232 6 9 9 4 4 6 9 2 4 2 6 9 2 4 2 6 9 4
15
32 15 13 4 15 13 4 15
3 3 3 3 81 1853020189 10
3 3 3 3 3 3 3 3 3 729 19683 81
1853020189 10
3 3 3 3 3 14348907 1594323 81 1853020189 10
Otra posibilidad que podría surgir dentro del grupo de estudio seria de considerar la
siguiente forma de armar el 32:
32 9 9 9 9 4 9 4 4
Esta manera permite utilizar otra de las propiedades de la potenciación: cociente de
potencia de igual base. La propiedad cociente de potencia de igual base es:
:n m n ma a a
Así 4
32 9 9 9 9 4 9 4 4 9 4 4 153 3 3 :3 3 :3 19683 :81 1853020189 10
Por lo tanto, podrían responder que al cabo de 32 choques se habrán liberado
151853020189 10 neutrones en total, desde el inicio.
Para dar respuesta a la cuestión ( ) sería necesario que el grupo de
estudio busque la respuesta de manera “inversa”. La consigna pregunta sobre la
cantidad de choques producidos, sabiendo la cantidad de neutrones liberados. El grupo
podría re-utilizar la misma tabla realizada que dieron respuestas a las cuestiones
, pero deberían interpretarlas “al revés”.
𝑄 : ¿Cuántos choques fueron producidos si hay liberados 243 neutrones?
𝑄 : ¿Cuántos choques fueron producidos si hay liberados6561 neutrones?
𝑄 : ¿Cuántos choques fueron producidos si hay liberados, 59049 neutrones?
53
Cantidad
de
neutrones
liberados
1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683
Número de
Choques
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
El grupo de estudio analizaría la propia tabla construida, y sin dificultad, podrían
responder que si hay liberados 243 neutrones, se produjeron 5 choques desde el inicio.
Mientras que se produjeron 8 choques si hay liberados 6561 neutrones.
Para buscar la respuesta sobre la cantidad de choques producidos para que estén
liberados en total 59049 neutrones, el grupo de estudio ha deducido anteriormente que
la cantidad de neutrones liberadas al aumentar un choque, se efectúa al multiplicar por 3
la cantidad anterior.
Entonces, si se multiplica por 3 la cantidad de neutrones, se aumenta en 1 la cantidad de
choques.
Cantidad
de
neutrones
liberados
1 3 9 27 81 243 … 19683 59049
Número de
Choques
0 1 2 3 4 5 … 9 10
Así pues, darían como posible respuesta que debieron transcurrir 10 choques para que se
hayan liberado 59049 neutrones.
𝑄 : ¿Qué número de choques producen exactamente 500 neutrones?
x 3
+ 1
54
Para buscar la respuesta a la cuestión , el grupo de estudio podrían discutir respecto a
la respuesta.
El grupo de estudio podría analizar la tabla y hacer referencia que la cantidad de
neutrones liberados pasa de 243 a 729, al aumentar sólo un choque. Como 500 es un
número comprendido entre 243 y 729, la cantidad de choques correspondiente a ese
número de neutrones liberados será un número entre 5 y 6. Pero en el contexto del
problema, al ser números naturales los que representan el número de choques, no habría
ningún número natural que se corresponda con el número 500 que representa la cantidad
de neutrones liberados.
El grupo de estudio lograría preguntarse porque, la misma cuestión, les hace referencia
a 729 y 6561 neutrones. Posiblemente, podrían analizar las técnicas utilizadas al buscar
respuesta a las primeras cuestiones y encontrar la respuesta a esta pregunta de manera
similar.
Luego interpretarían que la cantidad de choques producidos está indicada en el
exponente (como ellos ya lo indicaron en la expresión matemática correspondiente a la
cuestión ). Es decir, que si el grupo de estudio determinaría el valor del exponente,
establecería la cantidad de choques producidos para que estén liberados 4782969
neutrones.
Podrían considerar que el número 4782969 se descompone como producto de los
factores 729 y 6561, siendo los valores que otorga como dato la pregunta. Entonces
4782969 729 6561 .
Además si 86561 3 y 6729 3 entonces el grupo de estudio podría realizar una
sustitución en la forma de expresar los factores.
6 8 4782969 729 6561 3 3
Aplicando entonces la propiedad de la potencia, producto de potencia de igual base:
6 8 6 8 14 4782969 729 6561 3 3 3 3
𝑄 : Si sabemos la cantidad de choques que producen 729 neutrones y 6561
neutrones, ¿cuántos choques producen 4782969 neutrones?”
55
Entonces se deben producir 14 choques para que se liberen en total 4782969 neutrones.
Otra manera de encontrar respuesta a esta pregunta sería realizando un análisis de la
tabla producida por el mismo grupo, pero realizando un planteo “inverso”. Si la
cantidad de neutrones liberados se obtiene al multiplicar por 3 la cantidad anterior de
neutrones, entonces aumenta la cantidad de choques en una unidad. Y considerando que
lo que se desconoce es el exponente.
Cantidad de
neutrones
liberados 729 2187 6561 19683 59049 4782969
Número de
Choques 6 7 8 9 10 14
Entonces si hay 4782969 neutrones liberados, es porque se produjeron 14 choques.
Para responder la cuestión ¿Es posible determinar una expresión matemática que
permita establecer la cantidad de choques producidos desde el inicio, sabiendo la
cantidad de neutrones liberados?, deberían interpretar lo que se desconoce ahora es el
exponente de una potencia que ellos presentaron en las respuestas a cuestione anteriores.
Entonces los alumnos podrían preguntarse cuál es la operación matemática que permite
determinar el exponente de una potencia. Así puede surgir la primera pregunta por parte
de los alumnos:
Con esta cuestión continuaría la búsqueda de la respuesta.
x =
+ =
¿Cuál es la operación matemática que permite establecer el valor de un exponente?
56
El grupo de estudio podría valerse del saber de una de las operaciones inversa de la
potencia es la radicación. Pero será descartada porque no será de utilidad para responder
a la pregunta, ya que lo que se desconoce es el exponente.
Los alumnos encontrarán en libros o internet, el concepto de logaritmo. El logaritmo
como operación inversa de la potenciación, aunque el análisis que hicieron previamente
es por medio de la comparación de sucesiones aritméticas y geométricas.
Estableciendo que la potenciación posee dos operaciones inversas. Una que permite
determinar la base de la potencia, la radicación; y la otra que permite determinar el
exponente de la potencia, el logaritmo.
El profesor institucionalizaría en el grupo de estudio, que el logaritmo de un número es
un exponente, para luego poder ampliar sus saberes y aprender con sentido las
propiedades del logaritmo, por ejemplo.
57
CONCLUSIONES
En este trabajo de tesis, se realiza una breve revisión histórica y bibliográfica acerca del
concepto logaritmo y su enseñanza. También se diseñó AEI para ser implementada en
un Quinto año de Secundaria Superior de una escuela bonaerense, la cual revalorice el
contexto histórico.
La enseñanza del concepto logaritmo por medio de una AEI lograría realizar un estudio
amplio del concepto, estudiándolo como una de las operaciones inversas de la potencia
pero, al mismo tiempo estableciendo su relación con progresiones aritméticas y
geométricas. No se puede pretender que el concepto de logaritmo sea estudiado sólo
como la operación inversa de la potencia o sólo como una comparación entre dos
progresiones. Además, daría lugar al estudio sobre las propiedades del logaritmo como
así también al del concepto de función logarítmica.
58
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