EK_WEB_18_12

Prof. Neven Mijat Električni krugovi 2012/13 1/48

Električni krugovi

Uvod u teoriju linija


Uvod u teoriju linija Električni krugovi s koncentriranim elementima električna svojstva elemenata ne ovise o njihovim fizičkim dimenzijama. svaka promjena signala u jednoj točki trenutni odziv u svakoj drugoj točki mreže. pretpostavka o koncentriranosti parametara ako su dimenzije elemenata puno manje od valne duljine signala.


Na vrlo visokim frekvencijama valna duljina signala može postati usporediva s dimenzijama sustava. nema trenutnog odziva na promjenu pobude. signal putuje kroz sustav konačnom brzinom. signal ima različite faze u različitim točkama sustava.



Par paralelnih vodiča: izolirani jedan od drugog i prema okolini, na razmaku zanemarivome u odnosu na njihovu duljinu služe za prijenos električne energije ili signala na veće udaljenosti,

nazivamo električnim prijenosnim linijama.

Uvod u teoriju linija Električne prijenosne linije

Termin “veća udaljenost” relativan ovisi o valnoj duljini signala koji se prenosi.


Model linije: idealizirana homogena linija dva paralelno postavljena vodiča duljine l.


U1+ +

U2

l

Električna linija sistem s raspodijeljenim parametrima. Liniju nije moguće prikazati koncentriranim elementima R, L i C, ako njena duljina nije puno kraća od najmanje valne duljine signala koji se prenosi. Parametri su raspodijeljeni duž linije.



→→→→

CGLR otpor linije po jedinici duljine [W/m]

induktivitet linije po jedinici duljine [H/m] vodljivost linije po jedinici duljine [S/m] kapacitet linije po jedinici duljine [F/m]

R, L , C i G primarni parametri linije

U1+ +

U2

l


Zamislimo jedan segment linije duljine ∆x.

i

+

u

xD


U1

+ +U2

x=lx=0 xDx

∆x je puno manji od najmanje valne duljine signala.



( ) ( ) uudtdixLixRu ∆++⋅∆⋅+⋅∆⋅=

( ) ( ) iidtduxCuxGi ∆++⋅∆⋅+⋅∆⋅=

R

u

xR x L

xCxG x

i i+

u+

x

u

i

u

Vrijede slijedeće jednadžbe

Segment linije je moguće predočiti koncentriranim parametrima.

x∆:



dtdiLiR

xu

⋅+⋅=∆∆

−

dtduCuG

xi

⋅+⋅=∆∆

−

uu ∂→∆ii ∂→∆

Ako se ∆x smanjuje tako da ∆x →∂x tada se smanjuje i ∆i, kao i ∆u, pa vrijedi


tuCuG

xi

tiLiR

xu

∂∂⋅+⋅=

∂∂

−

∂∂⋅+⋅=

∂∂− PAR SIMULTANIH

DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI LINIJE


Dobiva se

U gornjim jednadžbama su

za svaki x i t ( )txuu ,=

),( txii =


0),(),(

0),(),(

=∂

∂⋅+⋅+

∂∂

=∂

∂⋅+⋅+

∂∂

ttxuCuG

xtxi

ttxiLiR

xtxu


Pri tome su:

pa jednadžbe glase:

u, i

t, x

zavisne varijable

nezavisne varijable


Linije o kojima je ovdje riječ su:


linearne, vremenski nepromjenjive i homogene.

Linearne parametri ne ovise o u(x,t) ni i(x,t) na liniji Vremenski nepromjenjive parametri neovisni o vremenu Homogene parametri ne ovise o mjestu na liniji x


Rješenje diferencijalnih jednadžbi: rubni i početni uvjeti

0=xRubni uvjeti

0=t

0

),(=∂

∂

tttxu

0

),(=∂

∂

tttxi


lx =

),0( tu ),0( ti

),( tlu ),( tli

)0,(xu )0,(xiPočetni uvjeti

Prof. Neven Mijat Električni krugovi 2012/13 14/47 xtuC

xuG

xi

tiL

tiR

txu

∂∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂

−

∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂∂

−

2

2

2

2

22


Dif. jednadžbe je moguće transformirati u drugi oblik Deriviramo li prvu jednadžbu po t i drugu po x

0),(),(=

∂∂⋅+⋅+

∂∂

ttxiLiR

xtxu

0),(),(=

∂∂⋅+⋅+

∂∂

ttxuCuG

xtxi

t∂∂

x∂∂


( ) ( ) ( ) ( )txiGRt

txiRCLGt

txiLCx

txi ,,,),(2

2

2

2

⋅⋅+∂

∂++∂

∂⋅=∂

∂


Nakon jednostavne računice dobiva se

( ) ),(),(),(),(2

2

2

2

txuGRt

txuGLCRt

txuLCx

txu ⋅⋅+∂

∂⋅+⋅+∂

∂⋅=∂

∂

Istim postupkom dobiva se i dif. jednadžba za napon

Ove su dif. jednadžbe u literaturi poznate kao telegrafske jednadžbe linije


Za liniju prema slici


uo(t)+ +

x=lx=0

x

ul(t)u(x,t)+

i(x,t)

odredit ćemo napon i struju na bilo kojem mjestu x linije.


Rješenja dif. jednadžbi linijeLaplaceovom transformacijom

tuCuG

xi

tiLiR

xu

∂∂⋅+⋅=

∂∂

−

∂∂⋅+⋅=

∂∂

−


Primjenom Laplace-a ( )txu , ( )sxU ,( )txi , ( )sxI ,


Naponi i struje na liniji funkcije od x i s


Laplaceova transformacija djeluje na funkcije od t.

Uo(s)+ +

x=lx=0

x

Ul(s)U(x,s)+

I(x,s)


( ) ( ) ( ) ( )0,,,, xiLsxIsLsxIRx

sxU ⋅−⋅⋅+⋅=∂

∂−

( ) ( ) ( ) ( )0,,,, xuCsxUsCsxUGx

sxI ⋅−⋅⋅+⋅=∂

∂−


i(x,0) i u(x,0) raspodjela struje i napona na liniji u t=0. Pretpostavka: i(x,0)=0 i u(x,0)=0 jednostavnije jednadžbe

( ) ( ) ( )sxIsLRx

sxU ,, ⋅⋅+=∂

∂−

( ) ( ) ( )sxUsCGx

sxI ,, ⋅⋅+=∂

∂−


( ) ( ) ( )dx

sxdIsLRdx

sxUd ,,2

2

⋅+=−


Deriviranjem prve jednadžbe po x

( ) ( )( ) ( )sxUsCGsLRdx

sxUd ,,2

2

++=

Nakon uvrštenja : ( ) ( ) ( )sxUsCGdx

sxdI ,, ⋅⋅+=−

Istim je postupkom jednadžba za struju ( ) ( )( ) ( )sxIsCGsLR

dxsxId ,,

2

2

++=

Formalno iste jednadžbe za napon i za struju


Uz oznaku ( )( ) 2γ=++ sCGsLR

dobiva se ( ) ( ) 0,, 22

2

=⋅− sxUdx

sxUd γ

Homogena dif. jed.2. reda za raspodjelu napona duž linije. Za raspodjelu struje na liniji jednadžba istoga oblika


( ) ( ) 0,, 22

2

=⋅− sxIdx

sxId γ


Opće rješenje za napon eksponencijalnoga oblika

( ) pxeAsxU ⋅=,

022 =− pxpx AeeAp γ 022 =−⇒ γp

γ±=⇒ 2,1p

( ) xx eAeAsxU γγ21, += −


Uvrštenjem u diferencijalnu jednadžbu

rješenja karakteristične jednadžbe

Rješenje diferencijalne jednadžbe za raspodjelu napona


Pri tome je

( )( )sCGsLR ++=γ faktor prijenosa homogene linije

( )sγγ =


Faktor prijenosa γ nije konstantan, već ovisi o s.

Često se koristi i termin faktor propagacije.


Pošto za struju I(x,s) vrijedi formalno isti izraz, rješenje je:

( ) xx eBeBsxI γγ21, += −

→2121 ,,, BBAA određuju se iz rubnih uvjeta


),0( sU ),0( sI ),( slU ),( slI


( ) ( ) ( )sxIsLRdx

sxdU ,, +=−

( ) ( ) ( )sxUsCGdx

sxdI ,, +=−


Veličine A1 i A2 povezane su s veličinama B1 i B2. To slijedi iz diferencijalnih jednadžbi


( )( )xxxx eBeBsLReAeA ⋅⋅−⋅⋅− ++=⋅−⋅ γγγγ γγ 2121

02211 =

++−

+− ⋅⋅− xx eBsLRAeBsLRA γγ

γγ

=+γ

sLR0Z

sCGsLR

=++ je valna ili karakteristična

impedancija homogene linije


Uvrštenjem rješenja za U(x,s) i I(x,s), dobiva se:

Izraz


0101 =− BZA

( ) xx eAeAsxU γγ21, += −

( ) xx eZAe

ZAsxI γγ

0

2

0

1, −= −


Iz zadnje jednadžbe slijedi:

0

11 Z

AB =⇒

0202 =+ BZA0

22 Z

AB −=⇒

pa rješenja za napon i struju glase


Rubni uvjeti za x=0 U(0,s)=U(0), i I(0,s)=I(0)

( ) ( )2

00 01

ZIUA +=( ) ( )

200 0

2ZIUA −=


( ) 210

20

10 AAeAeAU +=+= ⋅⋅− γγ

( )0

2

0

10

0

20

0

10ZA

ZAe

ZAe

ZAI −=−= ⋅⋅− γγ

Iznosi koeficijenata A1 i A2 su onda


Prema tome uz poznati napon i struju na početku linije, rješenje za napon i struju na mjestu x linije glasi


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx eZIUeZIUsxU ⋅⋅− −+

+= γγ

200

200, 00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx eIZUeIZUsxI γγ

200

200, 00 −

−+

= −

Uo(s)+ +

x=lx=0

x

Ul(s)U(x,s)+

I(x,s)


Homogena linija zaključena impedancijom Z2

→= lx( ) ( )lUsxU =, ( )

( ) 2ZlIlU =


( ) ( )lIsxI =,

I(0)

+U(0) U(x)

+ +

I(l)

Z2

x

U(l)

l


( ) ll eAeAlU γγ21 += −

( ) ( )ll eAeAZ

lI γγ21

0

1 −= −

( )( ) ll

ll

eAeAeAeAZ

lIlUZ γγ

γγ

21

2102 −

+== −

−


Iz izraza za rješenje linije slijedi za x=l


( ) ( )( ) lelIZlUA ⋅+= γ01 2

1

( ) ( )( ) lelIZlUA ⋅−−= γ02 2

1


Vrijedi nadalje ( ) ll eAeAlU ⋅⋅− += γγ

21

( ) ll eAeAlIZ ⋅⋅− −= γγ210

odakle slijedi za A1 i A2

( )( ) leZZlI ⋅+= γ022

( )( ) leZZlI ⋅−−= γ022


leZZZZ

AA γ2

02

02

1

2 −

+−=

02

022 ZZ

ZZ+−

=Γ

Omjer

leAA γ2212

−Γ=


02

02

ZZZZ

+−

se naziva koeficijentom refleksije na izlazu i označava kao

Prema tome vrijedi za A1 i A2


( ) ( )leAAAU ⋅−Γ+=+= γ22121 10

( )le

UA γ22

1 10−Γ+

=

( )01 2

2

22

2 Ue

eA l

l

γ

γ

−

−

Γ+Γ

=


Napon na početku linije je


( ) ( ) ( )xlxl eee

eUsxU ⋅γ⋅γ−⋅γ−

⋅γ− Γ+Γ+

= 222

210,

( ) ( )( )( )xlx

l eeeeZ

UsxI ⋅γ⋅γ−⋅γ−⋅γ− Γ−

Γ+= 2

2220 10,


Ako je poznat napon na početku linije, tada je moguće odrediti napon i struju na bilo kojem mjestu x linije kao


( ) ( )( ) ( )

ll

lxlx

eeeesUsxU γγ

γγ

−

−−−

Γ+Γ+⋅=2

2,0,

( ) ( ) ( ) ( )

ll

lxlx

eeee

ZsUsxI γγ

γγ

−

−−−

Γ+Γ−⋅=2

2

0

,0,


Nakon sređivanja


( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )lxlx

lxlx

eeeeZ

sxIsxUsxZ −γ−γ−

−γ−γ−

Γ−Γ+==

2

20,

,,


Impedancija na mjestu x linije gledana prema izlazu

U(0)+ +

x=lx=0

x

U(l)U(x,s)+

I(x,s)

Z(x,s)

Z2


Linija zaključena na oba kraja

( ) ( )( ) ( ) 2

1 00ZlIlU

IZUU g

=

−=


U(0)+ +

x=lx=0

x

U(l)U(x,s)+

I(x,s)

Z2

Z1

Ug

+I(0) I(l)

( ) 210 AAU +=

( )0

2

0

10ZA

ZAI −=


−−=+

0

2

0

1121 Z

AZAZUAA g

10

0

10

0121 ZZ

ZUZZZZAA g +

=+−

−


gUZ

ZZAZ

ZZA =

−+

+

0

102

0

101


10

01

ZZZZ

+−


Izraz

01

011 ZZ

ZZ+−

=Γ

se naziva koeficijentom refleksije na ulazu i označava kao


10

0211 ZZ

ZUAA g +=Γ−

10

022111 ZZ

ZUeAA gl

+=ΓΓ− − γ

lg eZZZUA γ2

2110

01 1

1−ΓΓ−

⋅+

=

l

l

g ee

ZZZUA γ

γ

221

22

10

02 1 −

−

ΓΓ−Γ⋅

+=


Vrijedi

leAA γ2212

−Γ=


Prijenosne jednadžbe linije


Linija je četveropol, kojeg je moguće opisati bilo kojim parametrima četveropola. Pošto je to sustav za prijenos signala ili energije

najpogodniji prijenosni parametri



Razmotrit ćemo prijenosne jednadžbe linije

U(0)+ +

x=lx=0

x

U(x)+

I(x)I(0)

Ul

( ) xx eAeAxU γγ21 += −

( ) xx eZAe

ZAxI γγ

0

2

0

1 −= −

( ) ( )( )2100 01 ⋅+= IZUA

( ) ( )( )2100 02 ⋅−= IZUA

Vrijedi


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx eIZUeIZUxU ⋅⋅− −+

+= γγ

200

200 00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx eIZUeIZUxI ⋅⋅− −−

+= γγ

200

200 00



( ) ( ) ( )2

02

0 0

xxxx eeIZeeUxU⋅−⋅⋅−⋅ −⋅−+⋅=

γγγγ

( ) ( ) ( )2

02

00

xxxx eeIeeZ

UxI⋅−⋅⋅−⋅ +⋅+−⋅−=

γγγγ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xshIZxchUxU γγ 00 0−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xchIxshZ

UxI γγ 000

+−=


Napon i struja na mjestu x linije:


( ) ( ) ( ) ( ) ( )xshxIZxchxUU γγ 00 +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xchxIxshZ

xUI γγ +=0

0

Za lx =


( ) ( ) ( ) ( ) ( )lshlIZlchlUU γγ 00 +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lchlIlshZ

lUI γγ +=0

0


( ) DlchA == γ

( )lshZB γ0=

( )0ZlshC γ

=


Pošto je A=D linija je simetričan četveropol.

Documents

EK_WEB_18_12