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ejercicios variados para algebra lineal
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FACULTAD DE INGENIERA UNA ALGEBRA LINEALTEMAS PRCTICOS PRIMER TALLER AO 2015
1. Determinar, verificando que se cumplen todos los axiomas que
corresponden, si el conjunto de polinomios realesp:X R, con X = [0,1], las operaciones de suma de funciones y producto por escalares definidas
como: (p + q)(x) = p(x) + q(x) y (p)(x) = p(x), xXR, constituye un espacio vectorial sobre R.
2. Si = = , , , , con las operaciones: + = 11, 22 ; , ; = 2, 1 ;
Donde = 1, 2 , = 1, 2 . Verificar si es o no un espacio vectorial.
3. Sea = = , ; , , con las operaciones suma y producto por escalares; definidas como:
+ = 1 + 1, 2 + 2 ; , ; = + 1 1, + 2 1 ;
donde = 1, 2 , = 1, 2 . Verificar cuales de los axiomas de los espacios vectoriales se verifican y cuales no.
4. Si V = {w / w = (x, y)} R2 y para u = (a, b) V; v = (c, d) V; kR; se definen:
a) u + v = (a + c, b + d + 2ac); b) ku = (ka, k2b)
Determinar la condicin que deben cumplir las componentes x e y de w para que V, con las operaciones definidas en i) y ii), constituya un espacio vectorial sobre R.
5. Sea U el subconjunto de vectores v Rn tales que v = (1, 2, , ), donde 0. Verificar si U es un subespacio de R
n.
6. Sea U el subconjunto de vectores v Rn tales que v = (1, 2, , ), donde
=0 0. Verificar si U es un subespacio de R
n.
7. Determinar si el conjunto de funciones realescontinuas f:X R, X = [-1,1], que verifican = es un subespacio de las funciones reales continuas.
8. Determinar si el conjunto de funciones realescontinuas f:X R, X = [-1,1], que verifican = 1 es un subespacio de las funciones reales continuas.
9. Hallar una ecuacin paramtrica del subespacio de 4 dada por la ecuacin implcita, = , , , + = 0; + = 0; + = 0 .
10. Determinar una base del subespacio de 4, cuya ecuacin paramtrica es: = + 2 ; = + + ; = 2 2; = +
11. Hallar una ecuacin paramtrica y una ecuacin implcita del subespacio de 4, siendo = 2, 1, 1, 1 , 1, 2, 1, 1 , 1, 2, 1, 1 .
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12. Hallar una ecuacin paramtrica y una ecuacin implcita del subespacio de 4, siendo = 1, 0, 1, 2 , 1, 2, 0, 1 , 2, 2, 4, 10 .
13. Para la matriz
34021
32732
41823
43021
A determinar una base de su espacio
fila y una base de su espacio columna.
14. Determine dos bases del espacio fila de la matriz A, que no tengan vectores en comn
1433
2654
1221
0000
0212
A
15. Determinar una transformacin lineal de coordenadas que exprese las variables , , , en funcin de las variables , , , tal que la forma cuadrtica sea diagonal:
, , = 2 + 2 4 6 + 2 10 2 + 62 + 18 + 112
16. Verificar si la matriz es unitaria, siendo:
= 1 1 + 1 1 +
1 + 1 + 0
17. Si , , , = 1, , 2 ; = 1, , 2 ; = 1, , 2 , determinar la relacin entre , para que , , constituya una base en R3.
18. Si = 2 + 1, , 1 es una base en 2, conjunto de polinomios de grado
menor o igual a dos, y = 1 2 30 1 40 0 1
la matriz de transicin de la base a
otra base .Determinar: a) Las coordenadas de = 32 2 + 1respecto a la base . b) La base.
19. Sean U = {(x, y, z, t) / y 2z + t = 0) y W = {(x, y, z, t) / x = t, y = 2z}.
Hallar una base y la dimensin de: a) U; b) W; c) UW.
20. Demostrar que S = ( 1 + x , 1 + 2x x3 , x x2 + 3x3 , x2 2x3 ) es una base de P3. Siendo P3 el conjunto de polinomios con coeficientes reales, de variable real y grado menor o igual a tres.
21. En el espacio vectorial P3:RR, de los polinomios de grado menor o igual a tres, se consideran los subespacios: U = lin{1+x3, 1+x+x2, 2xx2, 2+3x2
}, V = lin{1+3x2x3, 1+4x+x2x3, 2xx2 }. Se pide: a) Demostrar que V
U; y, b) Hallar un subespacio W de P3 tal que V W = U.
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22. Encontrar un conjunto generador del subespacio de R3definido por
cabacbazyx ,,32,,
23. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a dos, se tienen las bases S = { 2x2 + x, x2 + 3, x} y T = { x2 +1, x 2, x + 3}. Determinar la matriz de transicin de la base S hasta la base T.
24. Determinar un sistema homogneo cuyo conjunto solucin W est generado por { ( 1, 0, 1, 2 ), ( 3, 5, 2, 5 ), ( 1, 4, 0, 9 ) }.