Geometrıa Analıtica IIEjercicios I

1. Completa las igualdades usando el dibujo.

γ − β =

α− β =

β + θ =

θ + ε+ ω =

θ + ε =

β + θ + ω =

α+ ε =

β + δ =

2. Dibuja seis vectores de tal manera que se cumplan las siguientes igualdades simultaneamente:

u1 − v1 = w2 w1 + u2 = v1 u1 + v2 = w1

3. Dibuja nueve vectores de tal manera que se cumplan las siguientes igualdades simultaneamente:u1 + u2 + v2 = v1

u1 + u2 + w2 = w1

v1 + x2 = u1

u1 + x3 = w1w1 + x1 = v1

Sugerencia: Estos problemas son mas divertidos si haces un dibujo en tres dimensiones

4. Dados u, v ∈ R3. Demuestra que u ⊥ v si y solo si para toda w ∈ R3 se tiene que〈v − w, u〉+ 〈w, u+ w〉 = ‖w‖2

5. Sean u =(52 ,−

13 ,

12

)y v =

(2,− 3

2 ,−12

)elementos de R3

a) Encuentra w ∈ R3 tal que:

1) 3(u− 2

3w)

= 2v + 35w

2) 12 (u− w) = 5u+ 3

2 (w + v)

3) 3w − 5v = 3 (w + u)

4) 57 (w − v) = 10

14 (u− w)

5) 97 (14w + 7u+ 21v) = 3 (2u+ 8v) + 17w

b) Encuentra las soluciones escalares r, t ∈ R tales que:

1) r (u− v) = 3u+ 2tv

2) r (u− v) = 5u+ tv

3) 3ru− 5tv = 3 (v + u)

4) t (u− v) = r (u+ v)

5) 2rv + tu = ru+ tv

6. Dados P1 = (1,−1, 1), P2 = (−1, 0, 3), P3 = (4,−1, 5)

a) Encuentra P4, P5 y P6 tales que P4 6= P5 6= P6 y cada uno forme un paralelogramo con lospuntos dados.

b) Demuestra que el area de los tres paralelogramos es la misma.

1

c) Demuestra que P1, P2 y P3 son los puntos medios de los lados del triangulo formado porP4, P5 y P6.

d) Demuestra que el area del triangulo P4P5P6 es igual a 4 veces el area del triangulo P1P2P3.

7. Dados P1 = (1, 1, 1), P2 = (−5, 3,−2) y P3 = (3,−2,−5).

a) Encuentra P4 tal que P1, P2, P3 y P4 formen un cuadrado y calcula su area

b) Encuentra P5, P6, P7 y P8 tales que P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 y P8 formen un cubo y calculasu area.

8. Encuentra w ∈ R3 tal que:

a) 3u− w = 〈u,w〉u para toda u ∈ R3

b) Supongamos que u ∦ e3. Encuentra todos los w en el plano XY que tienen norma 2 y formanun angulo de π

3 con u

9. Dados u = (6,−2,−3) y v = (3, 6, 2) encuentra todos los vectores w ∈ R3 que tienen las siguientestres propiedades:

a) w = ru+ sv

b) ‖w‖ = 7√

2

c) 〈v + w, v〉 = 0

10. Dados u y v en R3, con u 6= 0 6= v, demuestra que:

a) ‖u‖‖v‖ = A (u, v) si y solo si ] (u, v) = π2

b) A (u, v) = 0 si y solo si ] (u, v) = π o 0

c) Si u ∦ v, entonces ‖v‖ = ‖u‖ si y solo si ] (u+ v, u− v) = π2

Recuerda que dados dos vectores u y v en R3, A (u, v) y ] (u, v) denotan el area del paralelogramodeterminado por u y v y el angulo entre u y v respectivamente.

11. Encuentra todos los vectores w ∈ R3 tales que 〈w, u〉 = 〈w, v〉 = 0 para:

a) u = (−4, 3, 2), v = (2, 1,−8)

b) u = (1,−2, 14 ), v = (− 23 ,

43 ,−

16 )

Interpreta geometricamente las diferencias entre los dos casos.

12. Dados los vectores u = (1,−2, 14 ) y v = (2, 12 ,−4)

a) Encuentra w1 ∈ R3 tal que w1 = ru+ sv y ] (w1, u) = ] (w1, v)

b) Encuentra w2 ∈ R3 tal que w2 = ru+ sv y ] (w2, u) = 3] (w2, v).

c) Calcula ] (w1, w2)

13. Sean u, v ∈ R3 tales que el angulo medido de u a v es menor que π. Demuestra que 3] (‖u‖v + ‖v‖u, u) =] (‖u‖v − ‖v‖u, u) si y solo si u ⊥ v.

14. Dados u, v ∈ R3 Prueba que

2

a) |‖v‖ − ‖u‖| 6 ‖v + u‖ y que la igualdad se tiene si y solo si ‖v‖u + ‖u‖v = 0. Interpretageometricamente.

b) |‖v‖ − ‖u‖| 6 ‖v − u‖ y encuentra una condicion necesaria y suficiente para que se de laigualdad. Interpreta geometricamente.

(Usa la desigualdad del triangulo) y que la igualdad se obtiene si y solo si w = ‖u‖v+ ‖v‖u = 0.Interpreta geometricamente.

15. Si u = (− 23 , 1,−2) y v = ( 3

2 , 3, 1).

a) Encuentra un vector w ∈ R3 tal que w = ru+ sv y:

1) 〈(12u+ ‖u‖w

), u〉 = 0

2) 〈(35u+ ‖u‖w

), u〉 = 0

3) 〈(

1√2u+ ‖u‖w

), u〉 = 0

b) Encuentra todos los vectores w ∈ R3 tal que w = ru+ sv, ‖w‖ = 1 y:

1) 〈(12u+ ‖u‖w

), u〉 = 0

2) 〈(35u+ ‖u‖w

), u〉 = 0

3) 〈(

1√2u+ ‖u‖w

), u〉 = 0

(Sugerencia: Recuerda que cada ecuacion de este tipo tiene asociado un dibujo, en estecaso es un triangulo).

16. Dados tres puntos P1, P2 y P3 en R3, demuestra que (P2 − P1) ⊥ (P3 − P1) si y solo si d (Q,P1) =d (Q,P2) = d (Q,P3) donde Q = 1

2 (P2 + P3)(Sugerencia: Haz un buen dibujo)

17. Dados cuatro puntos P1, P2, P3 y P4 distintos en R3 tales que d(0, P1) = d(0, P2) = d(0, P3) =d(0, P4) 6= 0. Demuestra que si P1 + P2 + P3 + P4 = 0 entonces P1, P2, P3 y P4 son los verticesde un rectangulo.

18. Dados cuatro puntos P1, P2, P3 y P4 distintos en R3. Demuestra que el cuadrilatero P1P2P3P4

es un paralelogramo si y solo si P1+P3

2 = P2+P4

2

19. Dados P1, P2 ∈ R3. Demuestra que Q esta sobre el segmento de recta entre P1 y P2 si y solo sid(P1, Q) + d(P2, Q) = d(P1, P2).

20. Dados u, v ∈ R3 demuestra:

a) ‖u× v‖ =√‖u‖2‖v‖2 − 〈u, v〉2

b) ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sen](u, v)

21. Dados tres vectores u, v y w ∈ R3 prueba:

a) (u× v)× w = 〈w, u〉v − 〈w, v〉ub) ‖u× (u× v)‖ = ‖u‖ ‖u× v‖c) u× (u× (u× v)) = (〈u, u〉) (u× v)

d) u× (v × w) + v × (w × u) + w × (u× v) = 0

(Sugerencia: Usando la definicion de u×v demuestra el primer inciso. Usa el primer inciso parademostrar los demas)

3

22. Dados v, u, w ∈ R3 tales que{u, v, w

}es linealmente independiente. Describe geometricamente

los siguientes conjuntos:

a) A1 ={X ∈ R3 | 〈X,u〉 = 〈X, v〉 = 〈X,w〉 = 0

}.

b) A2 ={X ∈ R3 | 〈X,u〉 = 〈X, v〉 y 〈X,w〉 = 0

}.

c) A3 ={X ∈ R3 | 〈X,u〉 = 〈X, v〉

}.

23. Sea{u, v, w

}∈ R3 −

{0}

tales que u ∦ v y 〈w, v〉 = 〈w, u〉 = 0. Demuestra que:

a) 〈{u, v, w

}〉 = R3.

b) 〈X,w〉 = 0 si y solo si X ∈ 〈{u, v}〉.

c) X ‖ w si y solo si 〈X,u〉 = 〈X, v〉 = 0.

4