EJERCICIOS PROPUESTOS

Indicar cuales de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios.

1. x2 – x + 3.

2.

3. 4(x + y) – 5 (x + y) + 2 (x2 + y2)

4. 2 + 5x2 – 2

5. + 5x2 -2

6. x2 + + 16

7. x3 – 6x2 + 11x - 6

8. 5xy2 – yz +

Hallar el grado de cada expresión y su coeficiente si es monomio.

9. x2y Resp. Grado 3, coeficiente

10. 2 Resp. Un monomio constante de grado 0

11. 3x2y3 + 4 Resp. Grado 5

12. x2 – 9x + 14 Resp. Grado 2

13. 0.5 Resp. No es polinomio (variable en el denominador)

14. x2y3 Resp. Grado 5; coeficiente

15. 4a4 – 2a3b + 5a2b2 – 3ab3 + b4 Resp. Grado 5

16. x8 + y5 – x8 + 20 Resp. Grado 5 Efectuar las operaciones indicadas.

17. (4ab + a2 – 4b4) + (a2 + b2 – 2ab) – (4a2 – 3b + 7ab) Resp. – 5ab – 2a2 – 4b4 + 4b2 18. (3x + 2 – 5y) + (- 6y +3 + 7x) – (2y – 4 + 5x) Resp. 5x – 13y +9

19. (3y2z – 4x2y + 6xyz) + (- 7xyz + 3y2z – 4y2) – (- 6x2y + 7y2 +6) Resp. 6y2 + 2x2y – xyz – 11y2 – 6

20. [(4x2 -3y2) – (7xy + y2)] – (5x2 + 6xy + 10y2) Resp. – x2 – 14y2 – 13xy

21. ( x5 – 3x4y + y5) + (3x5 – y5) + (- x4y + 5 + x5)

Resp. x5 – x4y – y5 + 5

22. (2ab – ac + bc - ) + (5ac + 1 – bc + ab) + (- ab + bc – 3ac + )

Resp. ab + ac - bc +

23. (6a3 - a2b – 5ab2) + ( a2b + ab2 – 3ab3) + ( ab2 - a3 + 3ab3)

Resp. a3 – a2b – ab2

24. ( x3 – 3xy + 2y2) – (- 3x3 - xy + y2)

Resp. x3 – xy + y2

25. ( m3 – 2m2n + mn2) – (- mn2 – 6 + m3)

Resp. m3 – 2m2 + mn2 + 6

26. (20a2 – 12ab + 15b2) – [4 (a2 + 2b2) – (10ab – 5b2)] Resp. 16a2 – 2ab + 3b2 + 2b2

27. (6x4 – 3a2 + 4xy) – (2x4 + 5a2 – xy) + (3x4 + 2a2 + 3xy) Resp. 7x4 + 8xy – 6a2

28. (3,5xy + 9xy2 – ) – (2 + 3,2xy2 – 1,2xy)

Hallar los siguientes productos de monomios.

29. ( ax) (- x2y) (- 8a3x2y)

30. ( a) ( b2) (2a2b) (- 0,1ab3)

31. (0,25xp3) (- 5x2p2) (- 2x3p) (- xp3)

32. (- m2p) ( m3p-2q) (-2,5mp3q2)

33. ( x2y) (- 5x-3y-2) (3xy3) (- x-2y2)

34. (- a2b) (- 3ab2c) (- a-6b-6c-2) (- b2c3d-2)

Efectuar las siguientes multiplicaciones.

35. ( ab2c3) (- 2ab + 3bc – a2c)

36. (- mx + x3y2 – mn3) (- m4x2y)

37. (- a6x – b6y – 0,025a4b – 0,1) 8a3bx6

38. (4mn3 – m2n2 + 5m2n) 25m4

39. (4xy3 – x2y3 + 6x3y4) (- x-3y-2)

40. ( x3 – 2x3y + xy2 + y3) (- xy)

41. (- abx3) (- 5a3b + ab3 – 5)

Multiplicar los siguientes polinomios.

42. (5x4 – 3x3y + 6x2y2 + xy3 – y4) (2x2 + xy – y2)

Resp. 10x6 – x5y + 4x4y2 + 11x3y3 – 7x2y4 – 2xy + y6

43. (4a4 – 6ab2 + b3) (3a3 – b2 + 2) Resp. 12a7 + 8a4 – 22a4b2 + 3a3b3 + 6ab4 – 12ab2 + 2b3 – b5

44. (m3 + m2n + mn2 + n3) (m – n) Resp. m4 – n4

45. ( a2 + b2) ( a2 – b2)

Resp. a4 – b4

46. (a – b) (5a2 + 3ab + 3b2) Resp. 5a3 – 2a2 – 3b3

47. (4x3 – x2 + 6x – ) (2x – 0,1)

Resp. 8x4 – x3 + 12,02x2 – 1,6x + 0,05

48. (a3 – 2a2 + a – 1) (a2 + a + )

Resp. a5 – a7 + a3 – a2 – a –

49. (x – + x-1 – x-2) ( x + )

Resp. x2 – x-2

50. (x – y2) (x + ) (x – )

Resp. x3 – xy4 – x2y + y5

51. (x + 1) (x – 1) + (x + 2) (x – 3) Resp. 2x2 – x – 7

52. [(a – 1) b2 – 3b (a + 1) – (ab2 – 3b)] [(3a – 2) b2 – 3a (b2 - Resp. ab3 + 2b3 – 9a3b – 18a2b

DIVISION DE POLINOMIOS.

Hallar los siguientes cocientes y el resto si lo hay. Compruébense los resultados en la igualdad.

P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)

53. (x2 + y2 + 2xy) : (x + y) Resp. (x + y)

54. ( a4 + m2 – a2m) : ( a2 – m) Resp. a2 – a

55. (6x3 – 2x + 9x + ) : (3x2 – 2x + 2) Resp. 2x + ; resto: x –

56. (8x9 + 12x6 + 6x3 + 1) : (1 + 4x3 + 4x6) Resp. 2x3 +1

57. (a3 + x3) : (a – x) Resp. a2 + ax + x2; resto: 2x3

58. ( a4 – a3 + 11a2 + a + 40) : ( a3 – 3a2 – 8a – 9 )

Resp. a – 5; resto : -5

59. (12x5 – + x3) : (6x2 + 5 – 3x) Resp. 2x3 + x2 – x – ; resto: x + 5

60. (4y3 + y6 – y – y4 + 2) : (2y2 – y) Resp. y4 + y3 + 2y + ; resto: - y + 2

61. (6x4 + - 15x – 10x3) : (2x – 3) Resp. 3x3 – + 5

TEOREMA DEL RESTO.

Utilizar el teorema del resto para encontrar.

62. P (2) cuando P(x) = 3x2 – 5x + 3 Resp. 5

63. P ( ) cuando P(x) = x3 – x2 + x + Resp. 0

64. P (- ) cuando P(x) = x6 – x5 – x + Resp.

65. P (-2) cuando P(x) = 12x4 – 5x2 + 2x – 5 Resp. 163

66. P (-1) cuando P(x) = x3 + 3x2 + 3x +1 Resp. 0

67. P ( i ) cuando P(x) = x3 + (3 – i) x2 + (1 – 3i) x – i Resp. 0

Hallar el resto sin efectuar la división.

68. (5x3 – 3x2 – 4x – 3) : (x – 3) Resp. 93

69. (9x2 – 6x – 5) : (x – 1) Resp. – 2

70. ( x3 + 2x2 – 36) : (x + 6) Resp. 72

71. ( x5 + 4x2 – 3) : (x + 1) Resp. –

72. ( x4 + 2x3 + x – ) : (x + 4) Resp. –

Utilícese la división sintética para encontrar el cociente y el resto.

73.

Resp: cociente: 3x2 – 21x “ 67 ; resto: –

74.

Resp: cociente: x4 + 3x3 + 7x2 + 20x + 60; resto: 183

75.

Resp: cociente: x2 – x – ; resto:

76.

Resp: cociente: – ; resto:

77.

Resp: cociente: x3 + x2 +x + 1; resto: 0

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES.

Encontrar los factores de coeficientes enteros si existen.

78. 5x2 + 11x + 2 Resp. (5x + 1) (x + 2)

79. 4y2 + 7y + 3 Resp. (4y + 3) (y + 1)

80. 4x2 – 8x + 3 Resp. (2y – 3) (2y – 1)

81. 4w2 + 13wx + 3x2 Resp. (4w + x) (w + 3x)

82. 8 + 15h – 2h2 Resp. (8 – h) (1 + 2h)

83. 5 + 14x – 3x2 Resp. (5 – x) (1 + 3x)

84. 4 + 16b + 15b2 Resp. (2 + 3b) (2 + 5b)

85. x2 + x – 1 Resp. No se puede descomponer en factores.

86. 3x2 + 10xy + 7y2 Resp. (3x + 7y) (x + y)

87. 3t6 + 8t3 – 3 Resp. (t3 + 3) (t3 – 1)

88. 5c2d2 + 7cd + 2 Resp. (5cd + 2) (cd + 1)

89. 3 + 4x2 – 7x4 Resp. (3 + 7x2) (1 – x2)

90. y4 – 6y2 – 7 Resp. (y2 – 7) (y2 + 1)

91. x4 + 8x2y2 + 16y4 Resp. (x2 + 4y2) (x2 + 4y2)

92. x4y4 – 10x2y2 + 25 Resp. (x2y2 – 5) (x2y2 – 5)

Hallar el lado del cuadrado cuya área es:

93. (81 l2 + 18 l + 1) cm2 Resp. (9 l + 1) cm.

94. (9 – 30 l + 25 l2) m2 Resp. (3 – 5 l) m

95. (s2 – 12s + 36) cm2 Resp. (s – 6) cm.

96. (s4 – 24s2 + 144) Resp. (s2 – 12)

Descomponer en factores la expresión dada.

97. b3 – 16b Resp. b(b + 4) (b – 4)

98. r2 - 25 Resp. (r + 5) (r – 5)

99. – Resp. ( ) ( )

100. n6 – 25m10 m Resp. (n3 + 5m5) (n3 – 5m5)

101. 15mx + 6m + xy – 2x – 5x2 Resp. (5x + 2 – y) (3m – x)

102. 2ax + 2bx – ay + 5a – by + 5b Resp. (a + b) (2x – y + 5)

103. a3 – a2 + 1 – a Resp. (a – 1)2 (a + 1)

104. x4 – 1 – y2 + y2x2 Resp. (x + 1) (x – 1) (x2 + 1 + y2)

105. a4 – 4a2 – a3x + 4ax Resp. a (a + 2) (a – 2) (a – x)

106. 2ax3 + 6x3b – 2a – 6b Resp. 2 (a + 3b) (x – 1) (x2 + x + 1)

107. x2 – 3 Resp. (x + ) (x - )

108. a4 – b4 Resp. (a2 + b2) (a + b) (a – b)

109. 1 – c2 Resp. (1 + c6) (1 + c3) (1 – c3)

110. x3 + 8 Resp. (x + 2) (x2 – 2x + 4)

111. (x + 3)2 – (x + 7)2 Resp. (2x + 10) (- 4)

112. a3b3 + c3 Resp. ( ab + c) ( a2b2 - abc + c2)

Descomposición de un polinomio en factores por el método de la división sintética.

113. 2t3 – 16t2 + 30t Resp. 2t (t – 5) (t – 3)

114. 3x3 + 7x2 – 14x – 24 Resp. (x – 2) (x + 3) (3x + 4)

115. 2x5 – 3x4 – 6x3 + 9x2 + 2x – 3 Resp. (2x – 3) (x4 – 3x2 +1)

116. x4 –

117. 2x3 – 5x2 – x + 6 Resp. (x – 2) (x + 1) (2x – 3)

118. 3x4 – x3 – 21x2 – 11x + 6

119. 6x5 + 19x4 + 25x3 + 25x2 + 19x +6

120. 16x3 – 28x2 + 16x - 3

121. 8x4 + 6x3 – 51x2 + 11x + 6 Resp. (x – 2) (x + 3) (x – ) (8x + 2)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Reducir a su más simple expresión.

122. Resp.

123. Resp.

124. Resp. a – b

125. Resp.

126. Resp.

127. Resp.

128. Resp. – 1

129. Resp. a – 1

130. Resp. – 3x

131. Resp.

132. Resp.

133. Resp. 1

Efectuar las siguientes operaciones.

134. Resp.

135. Resp.

136. Resp.

137. Resp. 0

138. Resp.

139. Resp.

140. Resp.

141. Resp.

142. Resp.

143. Resp.

144. Resp.

145. Resp.

146. Resp.

147. Resp.

148. Resp.

Efectuar los productos y cocientes indicados.

149. . . Resp.

150. Resp.

151. Resp.

152. Resp.

153.

Resp.

154. Resp.

155. Resp.

156. Resp.

157. Resp.

158. Resp.

159. Resp.

160. Resp.

161. Resp.

162. Resp.

163. Resp.

164. Resp.

165. Resp.

166. Resp.

167. Resp.

168. Resp.

169. Resp.

170. Resp.

171. Resp.

172. Resp.

173. Resp.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES.

Resolver las siguientes ecuaciones.

174.

175.

176.

177.

178. Resp.

179. Resp.

180. Resp.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Resolver:

181. Resp.

182. Resp.

183. Resp.

184. Resp.

185. Resp.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LITERALES.

186. Resolver para x

Resp.

187. Resolver para x

Resp.

188. Resolver para cada una de las letras indicadas Para V

V.T =D

Para F

Para t

Para E

Para b

Resolver para y

3 (5 – y) = 7 (y – b)

Para n

1 = a + (n – 1) d

Para r

189. Resolver para x

Resp.

190. Resp.

191. Resp.

192. Resp.

193. Resp.

194. Resp.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Resolver por factorización.

195. Resp.

196. Resp.

197. Resp.

198. Resp.

199. Resp.

200. Resp.

Hallar el conjunto solución.

201. Resp.

202. Resp.

203. Resp.

204. Resp.

205. Resp.

206. Resp.

207. Resp.

ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CUADRÁTICAS.

Hallar el conjunto solución siendo U C R.

208. Resp.

209. Resp.

210. Resp.

211. Resp.

212. Resp.

213. Resp.

214. Resp.

215. Resp.

216. Resp.

217. Resp.

218. Resp.

219. Resp.

220. Resp.

221. Resp.

222. Resp.

223. Resp.

224. Resp. si

225. Encontrar el valor de k para que una de las raíces de la ecuación sea el doble de la otra.

Resp.

226. Encontrar el valor de k, en la ecuación para que una de las raíces sea el doble de la otra y de signo contrario. Verificar el resultado obtenido. Resp.

227. Encontrar una ecuación cuadrática cuyas soluciones sean respectivamente la suma y el producto de las soluciones de

Resp.

228. Hallar el valor de k en la ecuación sabiendo que

Resp.

229. La longitud de un lote rectangular es 2 ms más que su ancho, hallar el largo y el ancho si su área es 80m2

Resp. 10m y 8m.

230. Hallar un número tal que su cuadrado disminuido en el triple del número es 18.

Resp. 6 o -3

231. Dada la ecuación . ¿Para qué valores de m la relación de las raíces es

?

Resp.

Si las raíces de la ecuación las designamos por y ¿Qué valores hay que dar al parámetro k para que:

232. Resp.

233. Resp.

234. Resp.

235. Resp.

236. Para que valores de (-a) las raíces de la ecuación son entre si como 2:3 ?

Resp.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO POR DESCOMPOSICIÓN DEL PRIMER MIEMBRO EN FACTORES.

Resolver la ecuación:

237. Resp. o

238. Resp.

239. Resp. ; ;

240. Resp. ; ;

Formar la ecuación que tenga las siguientes raíces:

241. 1, 2 y -3

242. -1, 2, 3 y 4243. a. b, -c y d

PROBLEMAS

244. Un grifo necesita 9 hs. para llenar un depósito, un segundo grifo lo hace en 6 hs. Finalmente, el orificio de salida vacía el depósito en 4 hs. Estando los 3 abiertos, ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse el depósito?

Resp. 36 horas.

245. Dos automóviles corren por una carretera prácticamente circular. Dan una vuelta en 2 hs. 45 minutos y 3 hs. 30 minutos respectivamente. Si parten del mismo punto, ¿Cuándo volverán a juntarse?

Resp. 12 hs. 50 minutos.

246. Dos personas A y B que distan entre si 45 km, se dirigen a encontrarse: A con la velocidad de 5 km por hora y, B con la velocidad de 4 km por hora. ¿Cuándo y donde se encontrarán?

Resp. Emplean 5 hs. y se encuentran a 25 km de A.

247. Un empresario quiere dar una gratificación a cada uno de sus empleados. Si les 75 $b. a cada uno, le sobran 24 $b. pero si les da 80 $b. le faltan $b. 6. ¿Cuánto repartió y cuántos son los empleados?

Resp. Hay 6 empleados y repartió 474 $b.

248. Un obrero tenía 100 $b. Le pagan entonces 6 días de trabajo y se gasta en comprar un pantalón, la cuarta parte de lo que tiene. A los 4 días cobra de nuevo, y tiene entonces 330 $b. ¿Cuál es su jornal y cuánto le costó el pantalón?

Resp. Su jornal es $b. 30 y el pantalón le costó $b. 70.

249. Hallar el número de dos cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 6, pero cuando se intercambian los dígitos, el nuevo número es tres veces el dígito de las decenas del número original.

Resp. 51.

250. Una loción contiene 50 % de alcohol. Qué cantidad de agua se debe agregar a 6 litros de

loción para reducirla a 25 % de alcohol.Resp. 12 litros de agua.

251. Un tren sale de A a 40 , y al mismo tiempo otro sale de B a su encuentro, con una

velocidad de 25 . Si la distancia A B = 162,5 km. ¿Cuánto tardan en encontrarse y a

que distancia de A y de B se produce el encuentro?.Resp. Tardan 2,5 horas se encuentran a 100 km de

A y a 62,5 de B.

252. Carlos tiene u$ 3,70 en el Banco y espera reunir u$ 10 haciendo depósitos semanales iguales. ¿Cuánto debe depositar si hace depósito durante: a) 14 semanas? b) 5 semanas?

Resp. a) 45C ; b) u$ 1,26.

253. El perímetro de un rectángulo es de 85 cms. y su diagonal 32,5 cms. Hallar los lados del rectángulo.

Resp. 30 cms y 12.5 cms.

MODIFICAR LA 52.