TAREA N 3

Junio 2014PROBLEMAS

SOLUCIN

Datos AA=3AB=1p1=28p3=0

Las ecuaciones gobernantes son las siguientes:

Ecuacin de continuidad

Ecuacin de cantidad de movimiento

Los puntos 1,2 y 3 son nodos de presin, mientras que A y B son nodos de velocidad. As, las celdas de las velocidades UA y UB se extienden desde 1 hasta 2 y desde 2 hasta 3, respectivamente.

Integrando la ecuacin de cantidad de movimiento de 1 a 2 tenemos:

(fUA)2UA-(fUA)1 U1= AA(p1-p2)

Ya que le punto 1 tiene momento despreciable segn lo indicado por las condiciones el problema tenemos que

(fUA)2UA = AA(p1-p2); aAUA = AA(p1-p2); aA=(fUA)2 (Ec. 1.a)

Integrando la ecuacin de cantidad de movimiento de 2 a 3 tenemos:

(fUA)3UB-(fUA)2UB=AB(p2-p3), aBUBaAUA=AB(p2-p3); aB=(fUA)3 (Ec. 1.a)

Por consiguiente una correccin de presin p produce una correccin de velocidad u tal que:

De 1 a 2 tenemos:UA = AAdA(p1-p2), dA = 1/aA (Ec. 2.a)

De 2 a 3 tenemos:UB = ABdB(p2-p3)+ aAUA, dB = 1/aB

Donde el termino aAUA puede ser despreciado ya que si se retiene debe ser expresado en trminos de la correccin de presin y la correccin de velocidad en los vecinos anbUnb. Estos trminos traern sus vecinos, sus vecinos traern nuevos trminos y as sucesivamente. Finalmente, la frmula de correccin de velocidad envolver la correccin de la presin en todos los puntos de la malla del dominio de clculo, y la ecuacin de correccin de presin y velocidad se volver inimaginable. La omisin del trmino SanbUnb nos permite llevar la ecuacin p en la misma forma que la ecuacin phi en general y para adoptar un procedimiento de solucin secuencial de una variable a la vez

UB = ABdB(p2-p3), dB = 1/aB (Ec. 2.b) La celda de la presin p2 se extiende desde A hasta b. Integrando la ecuacin de continuidad a travs de esta celda se tiene:

ABUB-AAUA=0

Ya que las velocidades corregidas vienen dadas por:

UA = U*A+AAdA(p1-p2), dB = 1/aA (Ec. 3.a) UB = U*B+ABdB(p2-p3), dB = 1/aB (Ec. 3.b) La ecuacin discretizada de continuidad se convierte en la ecuacin de correccin de presin, a saber:

a2p2 = a3p3+ a1p1+ b, (Ec. 4)

donde a3 = ABABdB, a1 = AAAAdA, a2 = a2 + a3 y b=AAUA- ABUB

La secuencia de clculo es:

1. Inicio

2. Suponer UA, UB, P2

UA=5/3UB=5 P2=25

3. Resolver la ecuacin de cantidad de movimiento (Ecs. 1.a y 1.b)

aA=AAUA=3UAaB=ABUB=UB

U*A=0.5[((AA(28-p*2))/ aA)+ UA)]U*B=0.5[((((ABp*2)+(UA aA))/ aB) + UB)]

Donde se ha usado un factor de relajamiento de 0.5.

4. Resolver la ecuacin de correccin de presin

b=AAUA- ABUB=3UA-UBdA = 1/aAdB = 1/aB p2= b/((AAAAdA)+ ABABdB)=b/((9dA)+dB)

5. Corregir presin

p2= p*2 + p2

6. Corregir velocidad (Ecs. 3.a y 3.b)

UA = U*A+ AAdA(p1-p2), dA = 1/aA UB = U*B+ABdB(p2-p3), dB = 1/aB

7. En este problema no hay escalar afectando el campo de flujo

8. Hacer p2 = p*2 y repetir desde el paso 3 hasta que b, en el paso 4, sea suficientemente pequea.

9. En este problema no hay variables escalares .

10. Fin Clculos:

CantidadFormula

p*2p2

UAU*A+ AAdA(p1-p2)

UBU*B+ABdB(p2-p3)

aA3*UA

ABUB

U*A0.5[((AA(28-p*2))/ aA)+ UA)]

U*B0.5[((((ABp*2)+(UA aA))/ aB) + UB)]

b3UA-UB

dA1/aA

dB1/aB

p2b/((AAAAdA)+ABABdB)=b/((3dA)+dB)

p2p*2 + p2

Las iteraciones realizadas mostradas al final se obtienen los siguientes resultados:

UA=2 UB=6 P2=24

ITER 1ITER 2ITER 3ITER 4ITER 5

p*225.000p*224.667p*224.403p*224.242p*224.145

uA1.667uA1.933uA1.965uA1.980uA1.988

Ub5.000Ub5.800Ub5.895Ub5.939Ub5.964

aA5.000aA5.800aA5.895aA5.939aA5.964

aB5.000aB5.800aB5.895aB5.939aB5.964

U*A1.733U*A1.829U*A1.898U*A1.939U*A1.963

U*B5.867U*B5.941U*B5.966U*B5.980U*B5.988

b-0.667b-0.455b-0.273b-0.163b-0.097

dA0.200dA0.172dA0.170dA0.168dA0.168

dB0.200dB0.172dB0.170dB0.168dB0.168

p'2-0.333p'2-0.264p'2-0.161p'2-0.097p'2-0.058

p224.667p224.403p224.242p224.145p224.087

ITER 6ITER 7ITER 9ITER 10

p*224.087p*224.052p*224.031p*224.019

uA1.993uA1.996uA1.997uA1.998

Ub5.978Ub5.987Ub5.992Ub5.995

aA5.978aA5.987aA5.992aA5.995

aB5.978aB5.987aB5.992aB5.995

U*A1.978U*A1.987U*A1.992U*A1.995

U*B5.993U*B5.996U*B5.997U*B5.998

b-0.058b-0.035b-0.021b-0.013

dA0.167dA0.167dA0.167dA0.167

dB0.167dB0.167dB0.167dB0.167

p'2-0.035p'2-0.021p'2-0.013p'2-0.008

p224.052p224.031p224.019p224.011

ITER 11ITER 12ITER 13ITER 14ITER 15

p*224.011p*224.007p*224.004p*224.002p*224.001

uA1.999uA1.999uA2.000uA2.000uA2.000

Ub5.997Ub5.998Ub5.999Ub5.999Ub6.000

aA5.997aA5.998aA5.999aA5.999aA6.000

aB5.997aB5.998aB5.999aB5.999aB6.000

U*A1.997U*A1.998U*A1.999U*A1.999U*A2.000

U*B5.999U*B5.999U*B6.000U*B6.000U*B6.000

b-0.008b-0.005b-0.003b-0.002b-0.001

dA0.167dA0.167dA0.167dA0.167dA0.167

dB0.167dB0.167dB0.167dB0.167dB0.167

p'2-0.005p'2-0.003p'2-0.002p'2-0.001p'2-0.001

p224.007p224.004p224.002p224.001p224.001

ITER 16ITER 17

p*224.001p*224.001

uA2.000uA2.000

Ub6.000Ub6.000

aA6.000aA6.000

aB6.000aB6.000

U*A2.000U*A2.000

U*B6.000U*B6.000

b-0.001b0.000

dA0.167dA0.167

dB0.167dB0.167

p'20.000p'20.000

p224.001p224.000