Upload
zone
View
19
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Lรญmites y derivadas
Citation preview
GUIA 1
1. Calcular: โ ๐ ๐๐ โ ๐๐
๐=๐ en funciรณn de n.
Soluciรณn:
โ 5 ๐2 โ 2๐
๐=3 = โ (5 ๐2 โ 2)
2
๐=1 + โ (5 ๐2 โ 2)
๐
๐=3
โ (5 ๐2 โ 2)๐
๐=3 = โ (5 ๐2 โ 2)
๐
๐=1 + โ (5 ๐2 โ 2)
2
๐=1
5 . (๐(๐+1) (2๐+1)
6 - 2n - 5 .
2(3) (5)
6 + 4
5๐(๐+1) (2๐+1)
6โ 2๐ โ 10 + 4
5๐(๐+1) (2๐+1)
6 - 2n โ 6
5๐(๐ + 1) (2๐ + 1) โ 12๐ โ 36
6
๐(5(๐ + 1) (2๐ + 1) โ 12) โ 36
6
๐(5(2๐2 + 3๐ + 1) โ 12) โ 36
6
๐(10๐2 + 15๐ + 5 โ 12) โ 36
6
R// โ (5 ๐2 โ 2)๐
๐=3 =
๐(10๐2+15๐+5โ7)โ36
6
2. โ (๐๐ โ ๐๐)๐โ๐
๐=๐ en funciรณn de n.
Soluciรณn:
โ (๐2 โ 2๐)๐โ2
๐=1 =
(๐โ2)(๐โ2+1) (2๐โ4+1)
6 -
2(๐โ2) (๐โ2+1)
2
= (๐โ2)(๐โ1) (2๐โ3)
6โ (๐ โ 2) (๐ โ 1)
= (๐โ2)(๐โ1)
6 (2๐ โ 3 โ 1)
= (๐โ2)(๐โ1)
6 (2๐ โ 4)
= (๐โ2)(๐โ1)(2๐โ4)
6
3. โ (๐ + ๐)๐๐
๐=๐
โ (๐ + 1)3๐
๐=1 = โ (๐3 + 3๐2 + 3๐ + 1)๐
๐=1
= ๐2(๐+1)2
4 +
3๐(๐+1)(2๐+1)
6 +
3(๐+1)๐
2 + ๐
= ๐ (๐(๐+1)2
4+
3(๐+1)(2๐+1)
6+
3(๐+1)
2+ 1)
= ๐ ((๐ + 1) (๐(๐+1)
4+
(2๐+1)
2+
3(๐+1)
2) + 1)
= ๐ (๐ + 1) (๐(๐+1)+4๐+2+6๐+2
4) + ๐
= ๐ (๐ + 1) (๐2+๐+4๐+2+6๐+2
4) + ๐
= ๐ (๐ + 1) (๐2+11๐+4
4) + ๐
4. Simplificar โ (๐ + ๐)๐๐
๐=๐
โ (๐ + 1)3๐
๐=2 = โ (๐ + 1)3๐
๐=1- โ (๐ + 1)3๐
๐=1
= โ (๐3 โ 3๐2 + 3๐ โ 1)๐๐=1
= (๐2(๐+1)2)
4โ 3
(๐(๐+1)(2๐+1))
6+
3(๐(๐+1)
2โ ๐
= ๐2(๐+1)2
4โ
3(๐(๐+1)(2๐+1))
6+
3๐(๐+1)
2โ ๐
= ๐(๐ + 1) (๐(๐+1)
4โ
(2๐+1)
2+
3
2) โ ๐
= ๐(๐ + 1) (๐(๐+1)โ4๐โ2+6
4) โ ๐
= ๐(๐ + 1) (๐2+๐โ4๐โ2+6
4) โ ๐
= ๐(๐ + 1) (๐2โ3๐+4
4) โ ๐
5. ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐+๐๐+๐๐+โฏ+๐๐
๐๐ . ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐๐+๐๐+๐๐+โฏ+(๐โ๐)๐
๐๐
lim๐โโ
(13
๐4+
23
๐4+
33
๐4+ โฏ +
๐3
๐4) ( lim
๐โโ
12
๐3+
22
๐3+ โฏ +
๐2 โ 2๐ + 1
๐3)
( lim๐โโ
13
๐4+ lim
๐โโ
23
๐4+ โฏ + lim
๐โโ
1
๐) ( lim
๐โโ
12
๐3+ lim
๐โโ
22
๐3+ โฏ + lim
๐โโ
๐2
๐3โ lim
๐โโ
๐2
๐3โ lim
๐โโ
2
๐2
+ lim๐โโ
1
๐3)
(0 + 0 + โฏ + 0)(0 + 0 + โฏ + 0 + 0 + 0) = 0
6. ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐+๐+๐+โฏ+๐
๐๐
lim๐โโ
(5
๐2+
6
๐2+
7
๐2+ โฏ +
๐
๐2)
lim๐โโ
5
๐2+ lim
๐โโ
6
๐2+ lim
๐โโ
7
๐2+ โฏ + lim
๐โโ(
1
๐)
0 + 0 + 0 + โฏ + 0
7. Simplificar โ โ ๐๐๐=๐
๐๐=๐
= โ 2๐ =2(๐+1)๐
2= ๐(๐ + 1)๐
1
GUIA 2
1. โซ ๐๐๐ ๐๐
๐ Con 4, 8, 16 y 32 rectรกngulos.
๐ โ ๐
๐=
1 โ 0
๐=
1
๐
= ๐๐โ1 = 0 + (๐ โ 1)1
๐ =
(๐โ1)
๐
= ๐(๐๐โ1) = (๐โ1)2
๐2
= โ ๐(๐๐โ1)
๐โ๐
๐
๐๐=1 = โ
(๐โ1)2
๐2 (1
๐)๐
๐=1
= โ(๐โ1)2
๐3=
1
๐3โ (๐2 โ 2๐ + 1)๐
๐=1๐๐=1
= 1
๐3 (๐(๐+1)(2๐+1)
6โ
1
๐3(2)
๐(๐+1)
2+
1
๐2)
= 1
๐2
(๐+1)(2๐+1)
6โ
1
๐2(๐ + 1) +
1
๐2
= 1
๐2 ((๐+1)(2๐+1)
6โ (๐ + 1) + 1)
= 1
๐2 ((๐+1)(2๐+1)โ6๐โ6+6
6)
= 1
๐2 (2๐2+๐+2๐+1โ6๐โ6+6
6)
= 1
๐2 (2๐2โ3๐6+1
6)
๐๐๐๐: ๐ = 4
โ ๐๐๐โ1
๐ โ ๐
๐
4
๐=1
= 1
42(
2(4)2 โ 3(4) + 1
6)
= 1
16(
32โ12+1
6)
= 1
16(
21
6) = 0.21
๐๐๐๐: ๐ = 8
โ ๐๐๐โ1
๐ โ ๐
8
8
๐=1
= 1
82(
2(8)2 โ 3(8) + 1
6)
= 1
64(
128โ24+1
6)
= 1
64(17.5) = 0.2734
๐๐๐๐: ๐ = 16
โ ๐๐๐โ1
๐ โ ๐
16
16
๐=1
= 1
162(
2(16)2 โ 3(16) + 1
6)
= 0.3027
๐๐๐๐: ๐ = 32
โ ๐๐๐โ1
๐ โ ๐
32
32
๐=1
= 1
322(
2(32)2 โ 3(32) + 1
6)
= 0.32
2. Calcular โซ ๐๐๐ ๐๐
๐ Con 4, 8, 16 y 32 rectรกngulos.
๐ โ ๐
๐=
1 โ 0
๐=
1
๐
๐๐โ1 = 0 + (๐ โ 1)1
๐ =
(๐ โ 1)
๐
๐(๐๐โ1) = ( ๐ โ 1
๐)
3
= (๐ โ 1)3
๐3
= โ ๐(๐๐โ1)
๐โ๐
๐
๐๐=1 = โ
(๐โ1)3
๐3 (1
๐)๐
๐=1
= โ(๐โ1)3
๐4๐๐=1
= 1
๐4โ (๐3 โ 3๐2 + 3๐ โ 1)๐
๐=1
= 1
๐4 (๐2(๐+1)2
4) โ
3๐(๐+1)(2๐+1)
6+
3๐(๐+1)
2โ ๐
= 1
๐4 (๐(๐ + 1)๐(๐+1)
4โ
2๐+1
2+
3
2)
= 1
๐4 (๐(๐ + 1) (๐(๐+1)โ4๐โ2+6
4))
= 1
๐4 (๐(๐ + 1) (๐2+๐โ4๐โ2+6
4))
= 1
๐4(๐ + 1) (
๐2โ3๐+4
4)
= (๐+1)(๐2โ3๐+4)
4๐3
๐๐๐๐: ๐ = 4
โ ๐๐๐โ1
๐ โ ๐
๐
4
๐=1
= (4 + 1)(42 โ 3(4) + 4
4(4)3
= 0.156
๐๐๐๐: ๐ = 8
โ ๐๐๐โ1
๐ โ ๐
๐
8
๐=1
= (9)(82 โ 3(8) + 4
4(8)3
= 0.1933
๐๐๐๐: ๐ = 16
โ ๐๐๐โ1
๐ โ ๐
๐
16
๐=1
= (17)(162 โ 3(16) + 4)
4(16)3
= 0.2199
๐๐๐๐: ๐ = 32
โ ๐๐๐โ1
๐ โ ๐
๐
32
๐=1
= (33)(322 โ 3(32) + 4)
4(32)3
= 0.2346
3. Demostrar que: โซ ๐๐๐ ๐ =๐
๐
๐
๐ (Use sumas de Riemann)
4. โซ (๐๐ + ๐๐)๐ ๐๐
๐
๐ โ ๐
๐=
1 โ 0
๐=
1
๐
๐๐โ1 = 0 + (๐ โ 1)1
๐
๐(๐๐โ1) = 2 ((๐ โ 1)1
๐) + ((๐ โ 1)
1
๐)
2
๐(๐๐โ1) = 2(๐ โ 1)
๐+
(๐ โ 1)2
๐2
= โ ๐(๐๐โ1)
๐โ๐
๐
๐๐=1 = โ (
2(๐โ1)
๐+
(๐โ1)2
๐2 )1
๐
๐๐=1
= โ (2(๐โ1)
๐2+
(๐โ1)2
๐3 )๐๐=1
= 2
๐2โ ๐ โ 1๐
๐=1 +1
๐3โ (๐ โ 1)2๐
= 2
๐2
(๐2+๐)
2โ
2
๐+
1
๐3
(2๐3+3๐2+๐)
6โ
2
๐3
(๐2+๐)
2+
1
๐2
= 1 +1
๐โ
2
๐+
1
3+
1
2๐+
1
6๐2โ
1
๐โ
1
๐2+
1
๐2
= 1 โ3
2๐+
1
3+
1
6๐
๐ด = โซ (2๐ฅ + ๐ฅ2)๐๐ฅ = lim๐โโ
โ ๐(๐ฅ๐โ1)
๐ โ ๐
๐= lim
๐โโ(1 โ
3
2๐+
1
3+
1
6๐)
๐
๐=1
1
0
= (1 +1
3) =
4
3 ๐ข2
5. โซ ๐๐๐ ๐๐
๐ Con 4, 8 y 16 rectรกngulos.
๐ โ ๐
๐ ๐(๐๐โ1) = ๐
(๐โ1)๐ ๐๐โ1 = 0 + (๐ โ 1)
1
๐=
๐ โ 1
๐
โ ๐(๐๐โ1)
๐ โ ๐
๐
๐
๐=1
= โ ๐(๐โ1)
๐
๐
๐=1
1
๐
= 1
๐โ ๐
(๐โ1)
๐๐๐=1
= 1
๐โ ๐
๐
๐โ
1
๐ =1
๐
๐๐=1 โ ๐
๐
๐๐๐=1 . ๐
1
๐
= 1
๐๐
โ1
๐ โ (๐1
๐)๐
๐๐=1
Se utiliza la expresiรณn ๐ + ๐2 + ๐3 + โฏ + ๐๐ = [(๐๐โ1โ1)
(๐โ1)] โ 1
โ ๐(๐๐โ1)
๐ โ ๐
๐
๐
๐=1
=1
๐๐
โ1๐ [
[(๐1/๐)(๐+1)
โ 1]
๐1๐ โ 1
โ 1]
= 1
๐๐
โ1
๐ [(๐
1 + 1๐
๐1๐
โ 1) โ 1]
๐๐๐๐: ๐ = 4
โ ๐(๐๐โ1)
4
๐=1
๐ โ ๐
๐=
1
๐ ๐โ
14 [
๐1+14 โ 1
๐14 โ 1
โ 1] = 1.51
๐๐๐๐: ๐ = 8
โ ๐(๐๐โ1) ๐ โ ๐
๐=
1
8 ๐โ
18 [
๐1+18 โ 1
๐18 โ 1
โ 1] = 1.6131
๐=8
๐=1
๐๐๐๐: ๐ = 16
โ ๐(๐๐โ1) ๐ โ ๐
๐=
1
16 ๐โ
116 [
๐1+1
16 โ 1
๐1
16 โ 1โ 1] = 1.665
๐=16
๐=1
GUIA 3
1. โซ (๐๐ + ๐๐ โ ๐)๐ ๐๐
โ๐ = โซ ๐ฅ3๐๐ฅ
3
โ1+ โซ 2๐๐ฅ โ โซ 1๐๐ฅ
3
โ1
3
โ1
= [๐ฅ4
4]
โ1
3
+ [๐ฅ2]โ1 3 โ [๐ฅ]โ1
3
= 34
4โ
(โ1)4
4+ 32 โ (โ1)2 โ [3 โ 1]
= 81
4โ
1
4+ 9 โ 1 โ 3 + 1
=26 ๐ข2
2. โซ ๐บ๐๐๐ฟ ๐ ๐ = [โ cos ๐ฅ]0
๐2โ
= โ๐๐๐ ๐
2โ โ [โ cos ๐2โ ]
๐
๐๐
= 0 โ (โ1) = 1 ๐ข2
3. โซ (๐๐ โ ๐)๐ ๐๐
โ๐
โซ (๐๐ฅ โ 1) = โซ (๐๐ฅ โ 1) + โซ (๐๐ฅ โ 1)3
0
0
โ1
3
โ1
= [๐๐ฅ โ ๐ฅ]โ1 0 + [๐๐ฅ โ ๐ฅ]
= [๐0 โ 0] โ (๐โ1 โ (โ1)) + [๐3 โ 3] โ [๐0 โ 0]
= โ[1 โ 0 โ (0.37 + 1)] + [20.09 โ 3 โ 1]
= โ[1 โ 1.37] + 16.09
= 16.46
4. โซ ๐ โ๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐
๐
๐ฅ = ๐๐๐๐ ๐ ๐๐ฅ = ๐๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ด๐๐๐๐๐๐ฅ
๐
๐ฅ2๐2๐๐๐2๐ ๐๐๐๐ =๐ฅ
๐ ๐ถ๐๐ ๐ = โ
๐2โ๐ฅ2
๐
โซ ๐โ๐2 โ ๐ฅ2 = ๐ โซ โ๐2โ๐2๐๐๐2๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
= ๐ โซ ๐โ1 โ ๐๐๐2 ๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
= ๐ โซ ๐2 โ๐ถ๐๐ 2 ๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
= ๐3 โซ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = ๐๐ฅ โ 1 -5 -2 -1 0 1 1.5 2 3
-0.99 -0.86 -0.63 0 1.71 3.48 6.38 14.08
= ๐3 โซ ๐ถ๐๐ 2 ๐ ๐ ๐
= ๐3 โซ1
2(1 + ๐ถ๐๐ 2 ๐) ๐ ๐
= ๐3
2 [โซ ๐ ๐ + โซ ๐ถ๐๐ 2 ๐ ๐ ๐]
= ๐3
2[๐ +
1
2 ๐๐๐ 2 ๐] + ๐ถ
= ๐3
2[๐ด๐๐๐๐๐ (
๐ฅ
๐) +
1
2(2๐๐๐๐๐ถ๐๐ ๐)] + ๐ถ
= ๐3
2[๐ด๐๐๐๐๐ (
๐ฅ
๐) + (
๐ฅ
๐) (
โ๐2โ๐ฅ2
๐)] + ๐ถ
= โซ ๐โ๐2 โ ๐ฅ21
0 ๐๐ฅ =
๐3
2[๐ด๐๐๐๐๐ (
1
๐) +
1
๐
โ๐2โ1
๐โ (๐ด๐๐๐๐๐(0) +
0
๐โ
๐2
0)]
= ๐3
2๐ด๐๐๐๐๐ (
1
๐) +
๐โ๐2โ1
2
5. Calcular el รrea de la elipse
๐ฅ2
๐2+
๐ฆ2
๐2= 1
๐ฆ2
๐2= 1 โ
๐ฅ2
๐2 ๐ฆ2 = ๐2 โ
๐2๐ฅ2
๐2
๐ฆ2 = ๐2 (1 โ๐ฅ2
๐2) ๐ฆ = ๐โ1 โ
๐ฅ2
๐2 ๐ฆ = ๐โ
1
๐2(๐2 โ ๐ฅ2)
๐ฆ =๐
๐โ๐2 โ ๐ฅ2
Tomado el intervalo desde [0, a]
๐ด = ๐ด๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ธ๐๐๐๐ ๐
๐ด = 4 โซ๐
๐โ๐2 โ ๐ฅ20
๐๐๐ฅ ๐๐๐๐
๐ฅ
๐ ๐ = ๐ด๐๐๐๐๐
๐ฅ
๐
๐ด = 4๐
๐โซ โ๐2 โ ๐ฅ2๐
0๐๐ฅ ๐ฅ = ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ = โ
๐ฅ2โ๐2
๐
๐๐ฅ = ๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
Calculando la Integral:
โซ โ๐2 โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ = โซ โ๐2 โ ๐2 ๐๐๐2 ๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
= ๐2 โซ โ1 โ ๐๐๐2๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
โซ โ๐2 โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ = ๐2 โซ โ1 โ ๐๐๐2 ๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
= ๐2 โซ โ๐ถ๐๐ 2๐ ๐ถ๐๐ ๐ ๐ ๐
= ๐2 โซ ๐ถ๐๐ 2๐ ๐ ๐ = ๐2 โซ1
2(1 + ๐ถ๐๐ 2 ๐) ๐ ๐
= ๐2
2[๐ +
1
2 ๐๐๐ 2 ๐] =
๐2
2[0 +
1
2(2 ๐๐๐๐ ๐ถ๐๐ ๐)]
= ๐2
2[๐ด๐๐๐๐๐ (
๐ฅ
๐) + (
๐ฅ
๐) (โ
๐ฅ2โ๐2
๐)] + ๐ถ
= ๐2
2[๐ด๐๐๐๐๐ (
๐ฅ
๐) +
๐ฅโ๐ฅ2โ๐2
๐2 ] + ๐ถ
๐ด =4๐
๐โซ โ๐2 โ ๐ฅ2
2
0
๐๐ฅ = 4๐
๐(
๐2
2) [๐ด๐๐๐๐๐ (
๐ฅ
๐) +
๐ฅโ๐ฅ2 โ ๐2
๐2]
0
๐
= 2 ๐ ๐ [๐ด๐๐๐๐๐ (๐
๐) +
๐โ๐2โ๐2
๐2 ] โ (๐ด๐๐๐๐๐ (0
๐) +
0โ02โ๐2
๐2 )
= 2 ๐ ๐ (๐
2)
= ๐ ๐ ๐
R//A eclipse = ๐ ๐ ๐