Aplicaciones de derivadas

Ejercicios de profundizacion

1. Estudia la monotonıa y la curvatura de la funcion f(x) =x

1 + e1/x.

2. Estudia los siguientes lımites:

a) lımx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2

b) lımx→0

sinx + sin (2x)

2x

c) lımx→+∞

ln (1 + ex)

x

d) lımx→+∞

x + sinx

x− sinx

e) lımx→−∞

ln (1 + ex)

x

f ) lımx→1

tan (2x− 2− 2(x− 1)

(x− 1)3

3. Utiliza el teorema del valor medio y el teorema de Rolle para demostrar que las siguientesecuaciones tienen exactamente una solucion real.

a) x5 + x3 + x + 1 = 0 b) 3x + 1− sinx = 0

4. Representa graficamente las siguientes funciones:

a) f(x) =x + 1

x2 − 4

b) f(x) =x3√x2 − 4

c) f(x) = 2− 3

x2

d) f(x) = xe(x2+1)

5. Determina el punto sobre la grafica de la funcion f(x) = x2 que esta mas proximo al punto(2, 1/2).

6. Disponemos de un metro de cuerda. ¿De que manera se debe repartir para construir unacircunferencia y un cuadrado de manera que la suma del area del cırculo que determina lacircunferencia y el area del cuadrado sea mınima?

7. Encuentra dos numeros positivos que sumando 30 tengan mınima la suma de sus cuadrados.

8. En un dıa determinado, el ritmo o la tasa de flujo F (vehıculos por hora) en una autopista es

F =v

22 + 0, 02v2, donde v es la velocidad de transito en km/h. ¿Que velocidad maximizara el

ritmo o la tasa de flujo de la autopista?

9. Se quiere construir un recipiente cilındrico, con tapa, de volumen 100m3. ¿Cuales deben sersus dimensiones para que se utilice la mınima cantidad de material?

10. Encuentra los puntos de la grafica de la funcion y2 = 4x, tales que la distancia al punto (4, 0)sea mınima. Calcula esta distancia.

11. Calcula los puntos de la grafica de la funcion f(x) =1

1 + x2donde la tangente tiene pendiente

maxima.

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